Kvadratinės lygties šaknų formulės. Nagrinėjami realių, daugialypių ir sudėtingų šaknų atvejai. Kvadratinio trinalio faktorizavimas. Geometrinė interpretacija. Šaknų nustatymo ir faktorizavimo pavyzdžiai.

Pagrindinės formulės

Apsvarstykite kvadratinę lygtį:
(1) .
Kvadratinės lygties šaknys(1) nustatomi pagal formules:
; .
Šias formules galima derinti taip:
.
Kai žinomos kvadratinės lygties šaknys, antrojo laipsnio polinomas gali būti pavaizduotas kaip faktorių sandauga (faktorizuota):
.

Be to, manome, kad tai yra tikrieji skaičiai.
Apsvarstykite kvadratinės lygties diskriminantas:
.
Jei diskriminantas yra teigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi skirtingas realias šaknis:
; .
Tada kvadratinio trinalio faktorizacija turi tokią formą:
.
Jei diskriminantas lygus nuliui, tai kvadratinė lygtis (1) turi dvi daugkartines (lygias) realiąsias šaknis:
.
Faktorizavimas:
.
Jei diskriminantas yra neigiamas, kvadratinė lygtis (1) turi dvi sudėtingas konjuguotas šaknis:
;
.
Čia yra įsivaizduojamas vienetas ;
ir yra tikrosios ir įsivaizduojamos šaknų dalys:
; .
Tada

.

Grafinis interpretavimas

Jei nubraižysime funkciją
,
kuri yra parabolė, tada grafiko susikirtimo su ašimi taškai bus lygties šaknys
.
Kai , grafikas kerta abscisių ašį (ašį) dviejuose taškuose.
Kai , grafikas paliečia x ašį viename taške.
Kai , grafikas nekerta x ašies.

Žemiau pateikiami tokių grafikų pavyzdžiai.

Naudingos formulės, susijusios su kvadratine lygtimi

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadratinės lygties šaknų formulės išvedimas

Atliekame transformacijas ir taikome formules (f.1) ir (f.3):




,
kur
; .

Taigi antrojo laipsnio daugianario formulę gavome tokia forma:
.
Iš to matyti, kad lygtis

atliktas
ir .
Tai yra ir yra kvadratinės lygties šaknys
.

Kvadratinės lygties šaknų nustatymo pavyzdžiai

1 pavyzdys

(1.1) .

Sprendimas

.
Palyginus su mūsų lygtimi (1.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra teigiamas, lygtis turi dvi realias šaknis:
;
;
.

Iš čia gauname kvadratinio trinalio skaidymą į veiksnius:

.

Funkcijos y = grafikas 2 x 2 + 7 x + 3 kerta x ašį dviejuose taškuose.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis kerta x ašį (ašį) dviejuose taškuose:
ir .
Šie taškai yra pradinės lygties (1.1) šaknys.

Atsakymas

;
;
.

2 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(2.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį rašome bendra forma:
.
Palyginus su pradine lygtimi (2.1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Kadangi diskriminantas yra nulis, lygtis turi dvi daugkartines (lygias) šaknis:
;
.

Tada trinario faktorizacija turi tokią formą:
.

Funkcijos y = x grafikas 2–4 x + 4 paliečia x ašį viename taške.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis paliečia x ašį (ašį) viename taške:
.
Šis taškas yra pradinės lygties (2.1) šaknis. Kadangi ši šaknis koeficientas du kartus:
,
tada tokia šaknis vadinama kartotiniu. Tai yra, jie mano, kad yra dvi vienodos šaknys:
.

Atsakymas

;
.

3 pavyzdys

Raskite kvadratinės lygties šaknis:
(3.1) .

Sprendimas

Kvadratinę lygtį rašome bendra forma:
(1) .
Perrašykime pradinę lygtį (3.1):
.
Palyginus su (1), randame koeficientų reikšmes:
.
Raskite diskriminantą:
.
Diskriminantas yra neigiamas, . Todėl tikrų šaknų nėra.

Galite rasti sudėtingų šaknų:
;
;
.

Tada


.

Funkcijos grafikas nekerta x ašies. Tikrų šaknų nėra.

Nubraižykime funkciją
.
Šios funkcijos grafikas yra parabolė. Jis nekerta abscisės (ašies). Todėl tikrų šaknų nėra.

Atsakymas

Tikrų šaknų nėra. Sudėtingos šaknys:
;
;
.

Bibliografinis aprašymas: Gasanovas A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kvadratinių lygčių sprendimo metodai // Jaunasis mokslininkas. - 2016. - Nr.6.1. - S. 2019-02-17-20).



Mūsų projektas skirtas kvadratinių lygčių sprendimo būdams. Projekto tikslas: išmokti spręsti kvadratines lygtis tokiais būdais, kurie neįtraukti į mokyklos programą. Užduotis: suraskite visus įmanomus kvadratinių lygčių sprendimo būdus ir išmokite jomis naudotis patys bei supažindinkite klasės draugus su šiais metodais.

Kas yra „kvadratinės lygtys“?

Kvadratinė lygtis- formos lygtis kirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- kai kurie skaičiai ( a ≠ 0), x- nežinomas.

Skaičiai a, b, c vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b vadinamas antruoju koeficientu;
• c - laisvas narys.

O kas pirmasis „išrado“ kvadratines lygtis?

Kai kurios algebrinės tiesinių ir kvadratinių lygčių sprendimo technikos buvo žinomos dar prieš 4000 metų Senovės Babilone. Rastos senovės Babilono molio lentelės, datuojamos kažkur 1800–1600 m. pr. Kr., yra ankstyviausias kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tose pačiose tabletėse yra tam tikrų tipų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų paieška, astronomijos raida ir pati matematika.

Šių lygčių sprendimo taisyklė, nurodyta babiloniečių tekstuose, iš esmės sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto Babilono algebros išsivystymo lygio, dantiraščio tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus sampratos ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo metodų.

Babilono matematikai maždaug IV amžiuje prieš Kristų. naudojo kvadratinio komplemento metodą, kad išspręstų lygtis su teigiamomis šaknimis. Maždaug 300 m.pr.Kr. Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo būdą. Pirmasis matematikas, radęs lygties su neigiamomis šaknimis sprendimus algebrinės formulės pavidalu, buvo Indijos mokslininkas. Brahmagupta(Indija, VII a. po Kr.).

Brahmagupta išdėstė bendrą kvadratinių lygčių, sumažintų iki vienos kanoninės formos, sprendimo taisyklę:

ax2 + bx = c, a>0

Šioje lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmaguptos taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Indijoje vieši konkursai sprendžiant sudėtingas problemas buvo įprasti. Vienoje iš senų indų knygų apie tokias varžybas rašoma taip: „Kaip saulė savo spindesiu pranoksta žvaigždes, taip išmokęs žmogus pranoksta šlovę viešuose susirinkimuose, siūlydamas ir spręsdamas algebrines problemas“. Užduotys dažnai būdavo aprengiamos poetine forma.

Algebriniame traktate Al-Khwarizmi pateikta tiesinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius išvardija 6 lygčių tipus, išreikšdamas jas taip:

1) „Kvadratai lygūs šaknims“, ty ax2 = bx.

2) „Kvadratai lygūs skaičiui“, ty ax2 = c.

3) „Šaknys lygios skaičiui“, ty ax2 = c.

4) „Kvadratai ir skaičiai lygūs šaknims“, ty ax2 + c = bx.

5) „Kvadratai ir šaknys lygūs skaičiui“, ty ax2 + bx = c.

6) „Šaknys ir skaičiai lygūs kvadratams“, ty bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kuris vengė naudoti neigiamus skaičius, kiekvienos iš šių lygčių sąlygos yra sudėjimai, o ne atimtys. Šiuo atveju akivaizdžiai neatsižvelgiama į lygtis, kurios neturi teigiamų sprendinių. Autorius pateikia šių lygčių sprendimo būdus, naudodamas al-jabr ir al-muqabala metodus. Jo sprendimas, žinoma, ne visiškai sutampa su mūsų. Jau nekalbant apie tai, kad tai yra grynai retorinė, reikia pažymėti, kad, pavyzdžiui, spręsdamas nepilną pirmojo tipo kvadratinę lygtį, Al-Khwarizmi, kaip ir visi matematikai iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulį. sprendimas tikriausiai todėl, kad konkrečiose praktinėse užduotyse tai nesvarbu. Spręsdamas visas kvadratines lygtis, Al-Khwarizmi nustato jų sprendimo taisykles, naudodamas tam tikrus skaitinius pavyzdžius, o tada jų geometrinius įrodymus.

Kvadratinių lygčių sprendimo formos pagal Al-Khwarizmi modelį Europoje pirmą kartą buvo aprašytos „Abako knygoje“, parašytoje 1202 m. italų matematikas Leonardas Fibonačis. Autorius savarankiškai sukūrė keletą naujų algebrinių problemų sprendimo pavyzdžių ir pirmasis Europoje pradėjo taikyti neigiamus skaičius.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių sklaidos ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje bei kitose Europos šalyse. Daugelis šios knygos užduočių buvo perkeltos į beveik visus XIV–XVII amžiaus Europos vadovėlius. Bendroji kvadratinių lygčių, redukuotų į vieną kanoninę formą x2 + bx = c su visomis įmanomomis ženklų ir koeficientų kombinacijomis b, c, sprendimo taisyklė buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. Stiefel.

Vieta turi bendrą kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestį, tačiau Vieta atpažino tik teigiamas šaknis. italų matematikai Tartaglia, Cardano, Bombelli tarp pirmųjų XVI a. be teigiamų ir neigiamų šaknų, atsižvelkite į tai. Tik XVII a. darbo dėka Girardas, Dekartas, Niutonas ir kiti mokslininkai, kvadratinių lygčių sprendimo būdas įgauna šiuolaikinę formą.

Apsvarstykite kelis kvadratinių lygčių sprendimo būdus.

Standartiniai kvadratinių lygčių sprendimo būdai iš mokyklos mokymo programos:

1. Kairiosios lygties pusės faktorizavimas.
2. Viso kvadrato pasirinkimo metodas.
3. Kvadratinių lygčių sprendimas pagal formulę.
4. Grafinis kvadratinės lygties sprendimas.
5. Lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Išsamiau apsistokime ties redukuotų ir neredukuotų kvadratinių lygčių sprendimu, taikant Vieta teoremą.

Prisiminkite, kad duotoms kvadratinėms lygtims išspręsti pakanka rasti du tokius skaičius, kurių sandauga būtų lygi laisvajam nariui, o suma lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x 2 -5x+6=0

Turite rasti skaičius, kurių sandauga yra 6, o suma yra 5. Šie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: x 1 =2,x 2 =3.

Bet jūs galite naudoti šį metodą lygtims, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus vienetui.

Pavyzdys.3x 2 +2x-5=0

Imame pirmąjį koeficientą ir padauginame iš laisvojo nario: x 2 +2x-15=0

Šios lygties šaknys bus skaičiai, kurių sandauga yra – 15, o suma – 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3. Norėdami rasti pradinės lygties šaknis, gautas šaknis padaliname iš pirmojo koeficiento.

Atsakymas: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lygčių sprendimas „perkėlimo“ metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį ax 2 + bx + c = 0, kur a≠0.

Abi jo dalis padauginus iš a, gauname lygtį a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Tegu ax = y, iš kur x = y/a; tada gauname lygtį y 2 + by + ac = 0, kuri yra lygiavertė duotajai. Jo šaknis randame 1 ir 2, naudodami Vieta teoremą.

Galiausiai gauname x 1 = y 1 /a ir x 2 = y 2 /a.

Taikant šį metodą, koeficientas a dauginamas iš laisvojo termino, tarsi „perkeliamas“ į jį, todėl jis vadinamas „perkėlimo“ metodu. Šis metodas naudojamas, kai lengva rasti lygties šaknis naudojant Vietos teoremą ir, svarbiausia, kai diskriminantas yra tikslus kvadratas.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Perkelkime“ koeficientą 2 į laisvąjį terminą ir atlikę pakeitimą gausime lygtį y 2 - 11y + 30 = 0.

Pagal atvirkštinę Vietos teoremą

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atsakymas: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jei a + b + c \u003d 0 (t. y. lygties koeficientų suma lygi nuliui), tada x 1 \u003d 1.

2. Jei a - b + c \u003d 0 arba b \u003d a + c, tada x 1 = 1.

Pavyzdys.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Kadangi a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tada x 1 = 1, x 2 \u003d -208/345.

Atsakymas: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x 2 + 247x + 115 = 0

Nes a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atsakymas: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Yra ir kitų kvadratinės lygties koeficientų savybių. bet jų naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą.

1 pav. Nomograma

Tai senas ir šiuo metu pamirštas kvadratinių lygčių sprendimo metodas, patalpintas 83 rinkinio p.: Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.

XXII lentelė. Lygčių sprendimo nomograma z2 + pz + q = 0. Ši nomograma leidžia, neišsprendžiant kvadratinės lygties, pagal jos koeficientus nustatyti lygties šaknis.

Kreivinė nomogramos skalė sudaryta pagal formules (1 pav.):

Darant prielaidą OS = p, ED = q, OE = a(visi cm), iš 1 pav. trikampių panašumas SAN ir CDF gauname proporciją

iš kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtis z 2 + pz + q = 0, ir laiškas z reiškia bet kurio lenktos skalės taško etiketę.

Ryžiai. 2 Kvadratinės lygties sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) Dėl lygties z 2 – 9z + 8 = 0 nomograma pateikia šaknis z 1 = 8,0 ir z 2 = 1,0

Atsakymas: 8,0; 1.0.

2) Išspręskite lygtį naudodami nomogramą

2z 2 – 9z + 2 = 0.

Šios lygties koeficientus padaliname iš 2, gauname lygtį z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomograma pateikia šaknis z 1 = 4 ir z 2 = 0,5.

Atsakymas: 4; 0.5.

9. Geometrinis kvadratinių lygčių sprendimo metodas.

Pavyzdys.X 2 + 10x = 39.

Originale ši problema suformuluota taip: „Kvadratas ir dešimt šaknų yra lygūs 39“.

Apsvarstykite kvadratą, kurio kraštinė x, jo šonuose statomi stačiakampiai taip, kad kiekvienos iš jų kita kraštinė būtų 2,5, todėl kiekvienos vietos plotas yra 2,5 karto. Tada gauta figūra papildoma į naują kvadratą ABCD, kampuose užpildant keturis vienodus kvadratus, kurių kiekvieno kraštinė yra 2,5, o plotas - 6,25

Ryžiai. 3 Grafinis lygties x 2 + 10x = 39 sprendimo būdas

Kvadrato ABCD plotas S gali būti pavaizduotas kaip plotų suma: pradinis kvadratas x 2, keturi stačiakampiai (4∙2,5x = 10x) ir keturi pritvirtinti kvadratai (6,25∙4 = 25), t.y. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Pakeitus x 2 + 10x skaičiumi 39, gauname S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o tai reiškia, kad kvadrato ABCD kraštinė, t.y. segmentas AB \u003d 8. Norimą pradinio kvadrato kraštinę x gauname

10. Lygčių sprendimas naudojant Bezout teoremą.

Bezouto teorema. Likusioji dalis padalijus daugianarį P(x) iš dvejetainio x - α yra lygi P(α) (tai yra P(x) reikšmė, kai x = α).

Jei skaičius α yra daugianario P(x) šaknis, tai šis daugianomas dalijasi iš x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Padalinkite P(x) iš (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 arba x-3=0, x=3; Atsakymas: x1 =2, x2 =3.

Išvada: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratines lygtis tiesiog būtinas sprendžiant sudėtingesnes lygtis, pavyzdžiui, trupmenines racionaliąsias lygtis, aukštesnių galių lygtis, dvikvadratines lygtis, o vidurinėje mokykloje – trigonometrines, eksponencines ir logaritmines lygtis. Išnagrinėję visus rastus kvadratinių lygčių sprendimo būdus, galime patarti klasės draugams, be standartinių metodų, spręsti perkėlimo metodu (6) ir spręsti lygtis pagal koeficientų savybę (7), nes jie yra lengviau suprantami. .

Literatūra:

1. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematinės lentelės. - M., Išsilavinimas, 1990 m.
2. Algebra 8 klasė: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo įstaigos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. red. S. A. Telyakovsky 15-asis leidimas, pataisytas. - M.: Švietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazeris G.I. Matematikos istorija mokykloje. Vadovas mokytojams. / Red. V.N. Jaunesnis. - M.: Švietimas, 1964 m.

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Lygtis žmogus naudojo nuo seniausių laikų ir nuo to laiko jų naudojimas tik išaugo. Diskriminantas leidžia išspręsti bet kokias kvadratines lygtis naudojant bendrąją formulę, kurios forma yra tokia:

Diskriminacinė formulė priklauso nuo daugianario laipsnio. Aukščiau pateikta formulė tinka šios formos kvadratinėms lygtims išspręsti:

Diskriminantas turi šias savybes, kurias reikia žinoti:

* "D" yra 0, kai daugianomas turi kelias šaknis (lygias šaknis);

* "D" yra simetriškas daugianomas daugianario šaknų atžvilgiu, todėl yra daugianomas jo koeficientuose; be to, šio daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai, neatsižvelgiant į plėtinį, kuriame paimtos šaknys.

Tarkime, kad mums duota tokios formos kvadratinė lygtis:

1 lygtis

Pagal formulę turime:

Kadangi \, tada lygtis turi 2 šaknis. Apibrėžkime juos:

Kur galiu išspręsti lygtį per diskriminacinį internetinį sprendiklį?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https: //. Nemokamas internetinis sprendėjas leis per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetinę lygtį. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. O jei turite klausimų, galite užduoti juos mūsų Vkontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Kvadratinės lygtys. Diskriminuojantis. Sprendimas, pavyzdžiai.

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kvadratinių lygčių tipai

Kas yra kvadratinė lygtis? Kaip tai atrodo? Per terminą kvadratinė lygtis raktinis žodis yra "kvadratas". Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti x kvadratas. Be jo, lygtyje gali būti (arba gali nebūti!) Tik x (iki pirmojo laipsnio) ir tik skaičius (laisvas narys). Ir neturėtų būti x laipsniu, didesniu nei du.

Matematine prasme kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis:

čia a, b ir c- kai kurie skaičiai. b ir c- Visiškai bet koks, bet a- nieko, išskyrus nulį. Pavyzdžiui:

čia a =1; b = 3; c = -4

čia a =2; b = -0,5; c = 2,2

čia a =-3; b = 6; c = -18

Na, supranti...

Šiose kvadratinėse lygtyse kairėje yra pilna komplektacija nariai. x kvadratu su koeficientu a, x iki pirmojo laipsnio su koeficientu b ir laisvas narys

Tokios kvadratinės lygtys vadinamos užbaigti.

Ir jeigu b= 0, ką mes gausime? Mes turime X išnyks pirmame laipsnyje. Taip atsitinka padauginus iš nulio.) Pasirodo, pavyzdžiui:

5x2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 +4x=0

ir kt. Ir jei abu koeficientai b ir c yra lygūs nuliui, tada dar paprasčiau:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Tokios lygtys, kur kažko trūksta, vadinamos nepilnos kvadratinės lygtys. Tai gana logiška.) Atkreipkite dėmesį, kad x kvadratas yra visose lygtyse.

Beje, kodėl a negali būti nulis? Ir jūs vietoj to pakeičiate a nulis.) X kvadrate išnyks! Lygtis taps tiesinė. Ir daroma kitaip...

Tai visi pagrindiniai kvadratinių lygčių tipai. Pilnas ir neišsamus.

Kvadratinių lygčių sprendimas.

Piltinių kvadratinių lygčių sprendimas.

Kvadratines lygtis nesunku išspręsti. Pagal formules ir aiškias paprastas taisykles. Pirmajame etape reikia duotą lygtį perkelti į standartinę formą, t.y. į vaizdą:

Jei lygtis jums jau pateikta šioje formoje, jums nereikia atlikti pirmojo etapo.) Svarbiausia yra teisingai nustatyti visus koeficientus, a, b ir c.

Kvadratinės lygties šaknų radimo formulė atrodo taip:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminuojantis. Bet daugiau apie jį žemiau. Kaip matote, norėdami rasti x, naudojame tik a, b ir c. Tie. koeficientai iš kvadratinės lygties. Tiesiog atsargiai pakeiskite vertybes a, b ir cį šią formulę ir suskaičiuokite. Pakaitalas su savo ženklais! Pavyzdžiui, lygtyje:

a =1; b = 3; c= -4. Čia rašome:

Pavyzdys beveik išspręstas:

Tai yra atsakymas.

Viskas labai paprasta. O kaip tu manai, negali suklysti? Na taip, kaip...

Dažniausios klaidos – supainiojimas su vertybių ženklais a, b ir c. Tiksliau, ne jų ženklais (kur čia supainioti?), o neigiamų reikšmių pakeitimu į šaknų skaičiavimo formulę. Čia išsaugomas išsamus formulės įrašas su konkrečiais skaičiais. Jei kyla problemų su skaičiavimais, tai padaryk tai!

Tarkime, kad turime išspręsti šį pavyzdį:

čia a = -6; b = -5; c = -1

Tarkime, žinote, kad pirmą kartą retai sulaukiate atsakymų.

Na, netingėk. Papildomai eilutei parašyti prireiks 30 sekundžių.Ir klaidų skaičius smarkiai sumažės. Taigi mes rašome išsamiai, su visais skliaustais ir ženklais:

Atrodo neįtikėtinai sunku taip kruopščiai dažyti. Bet tik atrodo. Pabandyk tai. Na, arba pasirinkti. Kas geriau, greitas ar teisingas? Be to, aš tave pradžiuginsiu. Po kurio laiko nebereikės visko taip kruopščiai dažyti. Tai tiesiog pasirodys teisinga. Ypač jei taikote praktinius metodus, kurie aprašyti toliau. Šis piktas pavyzdys su daugybe minusų bus išspręstas lengvai ir be klaidų!

Tačiau dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitaip. Pavyzdžiui, taip:

Ar žinojai?) Taip! Tai yra nepilnos kvadratinės lygtys.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Jas taip pat galima išspręsti pagal bendrą formulę. Jums tiesiog reikia teisingai išsiaiškinti, kas čia yra lygus a, b ir c.

Supratau? Pirmame pavyzdyje a = 1; b = -4; a c? Jo visai nėra! Na, taip, tai tiesa. Matematikoje tai reiškia c = 0 ! Tai viskas. Vietoj to, formulėje pakeiskite nulį c, ir viskas mums susitvarkys. Panašiai ir su antruoju pavyzdžiu. Tik nulio mes čia neturime su, a b !

Tačiau neišsamias kvadratines lygtis galima išspręsti daug lengviau. Be jokių formulių. Apsvarstykite pirmąją nepilną lygtį. Ką galima padaryti kairėje pusėje? Galite išimti X iš skliaustų! Išimkime.

Ir kas iš šito? Ir tai, kad sandauga yra lygi nuliui, jei ir tik kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui! Netiki? Na, tada sugalvokite du ne nulius skaičius, kuriuos padauginus bus gautas nulis!
Neveikia? Kažkas...
Todėl drąsiai galime rašyti: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viskas. Tai bus mūsų lygties šaknys. Abu tinka. Pakeitus bet kurį iš jų į pradinę lygtį, gauname teisingą tapatybę 0 = 0. Kaip matote, sprendimas yra daug paprastesnis nei bendroji formulė. Beje, pažymiu, kuris X bus pirmasis, o kuris antras – tai visiškai abejinga. Lengva rašyti eilės tvarka x 1- kuris yra mažesnis x 2– kas daugiau.

Antroji lygtis taip pat gali būti lengvai išspręsta. Perkeliame 9 į dešinę pusę. Mes gauname:

Belieka ištraukti šaknį iš 9, ir viskas. Gaukite:

taip pat dvi šaknys . x 1 = -3, x 2 = 3.

Taip išsprendžiamos visos nepilnos kvadratinės lygtys. Arba išimant X iš skliaustų arba tiesiog perkeliant skaičių į dešinę, po to ištraukiant šaknį.
Šiuos metodus labai sunku supainioti. Tiesiog todėl, kad pirmuoju atveju turėsite ištraukti šaknį iš X, o tai kažkaip nesuprantama, o antruoju atveju nėra ko išimti iš skliaustų ...

Diskriminuojantis. Diskriminacinė formulė.

Magiškas žodis diskriminuojantis ! Retas gimnazistas nėra girdėjęs šio žodžio! Frazė „spręsk per diskriminantą“ ramina ir ramina. Nes nereikia laukti gudrybių iš diskriminanto! Juo naudotis paprasta ir be problemų.) Primenu bendriausią sprendimo formulę bet koks kvadratinės lygtys:

Išraiška po šaknies ženklu vadinama diskriminantu. Diskriminantas dažniausiai žymimas raide D. Diskriminacinė formulė:

D = b 2 - 4ac

Ir kuo ši išraiška ypatinga? Kodėl jis nusipelno ypatingo pavadinimo? Ką diskriminanto prasmė? Po visko -b, arba 2ašioje formulėje jie konkrečiai neįvardija ... Raidės ir raidės.

Esmė tokia. Sprendžiant kvadratinę lygtį naudojant šią formulę, tai įmanoma tik trys atvejai.

1. Diskriminantas yra teigiamas. Tai reiškia, kad iš jo galite išgauti šaknį. Kitas klausimas, ar šaknis išgauta gerai, ar blogai. Svarbu, kas išgaunama iš esmės. Tada jūsų kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Du skirtingi sprendimai.

2. Diskriminantas lygus nuliui. Tada jūs turite vieną sprendimą. Kadangi nulio pridėjimas ar atėmimas skaitiklyje nieko nekeičia. Griežtai kalbant, tai ne viena šaknis, bet du vienodi. Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta kalbėti apie vienas sprendimas.

3. Diskriminantas yra neigiamas. Neigiamas skaičius neįima kvadratinės šaknies. Na, gerai. Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Tiesą sakant, sprendžiant paprastą kvadratinių lygčių sprendimą, diskriminanto sąvoka tikrai nereikalinga. Formulėje pakeičiame koeficientų reikšmes ir svarstome. Ten viskas pasirodo savaime, ir dvi šaknys, ir viena, ir ne viena. Tačiau sprendžiant sudėtingesnes užduotis, be žinių prasmė ir diskriminacinė formulė nepakankamai. Ypač – lygtyse su parametrais. Tokios lygtys yra akrobatinis skraidis GIA ir vieningam valstybiniam egzaminui!)

Taigi, kaip išspręsti kvadratines lygtis per diskriminantą, kurį prisiminėte. Arba išmoko, kas irgi nėra blogai.) Mokate teisingai identifikuoti a, b ir c. Ar žinai kaip dėmesingai pakeiskite juos šaknies formule ir dėmesingai suskaičiuok rezultatą. Ar supratote, kad pagrindinis žodis čia yra - dėmesingai?

Dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių. Tie, kurie atsiranda dėl neatidumo... Už ką tada skaudu ir įžeidžiau...

Pirmas priėmimas . Nebūkite tingus prieš išspręsdami kvadratinę lygtį, kad ji būtų standartinė. Ką tai reiškia?
Tarkime, po bet kokių transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite rašyti šaknų formulės! Beveik neabejotinai sumaišysite šansus a, b ir c. Teisingai sukurkite pavyzdį. Pirma, x kvadratas, tada be kvadrato, tada laisvasis narys. Kaip šitas:

Ir vėl, neskubėkite! Minusas prieš x kvadratą gali jus labai nuliūdinti. Pamiršti lengva... Atsikratykite minuso. Kaip? Taip, kaip mokyta ankstesnėje temoje! Turime padauginti visą lygtį iš -1. Mes gauname:

O dabar galite drąsiai užsirašyti šaknų formulę, apskaičiuoti diskriminantą ir užbaigti pavyzdį. Spręskite patys. Turėtumėte gauti šaknis 2 ir -1.

Antrasis priėmimas. Patikrinkite savo šaknis! Pagal Vietos teoremą. Nesijaudink, aš viską paaiškinsiu! Tikrinama paskutinis dalykas lygtis. Tie. ta, kuria užrašėme šaknų formulę. Jei (kaip šiame pavyzdyje) koeficientas a = 1, lengvai patikrinkite šaknis. Užtenka juos padauginti. Turėtumėte gauti nemokamą terminą, t.y. mūsų atveju -2. Atkreipkite dėmesį, ne 2, o -2! laisvas narys su savo ženklu . Jei nepavyko, vadinasi, jie jau kažkur susipainiojo. Ieškokite klaidos.

Jei pavyko, šaknis reikia sulankstyti. Paskutinis ir paskutinis patikrinimas. Turėtų būti santykis b su priešingas ženklas. Mūsų atveju -1+2 = +1. Koeficientas b, kuris yra prieš x, yra lygus -1. Taigi, viskas teisinga!
Gaila, kad taip paprasta tik pavyzdžiams, kur x kvadratas yra grynas, su koeficientu a = 1. Bet bent jau patikrinkite tokias lygtis! Bus mažiau klaidų.

Trečias priėmimas . Jei jūsų lygtis turi trupmenų koeficientus, atsikratykite trupmenų! Padauginkite lygtį iš bendro vardiklio, kaip aprašyta pamokoje "Kaip išspręsti lygtis? Tapatybės transformacijos". Kai dirbate su trupmenomis, klaidos dėl tam tikrų priežasčių kyla ...

Beje, žadėjau supaprastinti blogą pavyzdį su krūva minusų. Sveiki atvykę! Štai kur jis.

Kad nesusipainiotume minusuose, lygtį padauginame iš -1. Mes gauname:

Tai viskas! Spręsti yra smagu!

Taigi, pakartokime temą.

Praktiniai patarimai:

1. Prieš spręsdami kvadratinę lygtį perkeliame į standartinę formą, pastatome teisingai.

2. Jei kvadrate prieš x yra neigiamas koeficientas, jį pašaliname visą lygtį padauginę iš -1.

3. Jei koeficientai trupmeniniai, tai trupmenas eliminuojame padauginę visą lygtį iš atitinkamo koeficiento.

4. Jei x kvadratas yra grynas, jo koeficientas lygus vienetui, sprendinį galima nesunkiai patikrinti naudojant Vietos teoremą. Daryk!

Dabar galite nuspręsti.)

Išspręskite lygtis:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atsakymai (netvarkingai):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x – bet koks skaičius

x 1 = -3
x 2 = 3

jokių sprendimų

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Ar viskas tinka? gerai! Kvadratinės lygtys nėra jūsų galvos skausmas. Pirmieji trys pasirodė, o likusieji ne? Tada problema yra ne kvadratinėse lygtyse. Problema yra identiškose lygčių transformacijose. Pažiūrėk nuorodą, tai naudinga.

Ne visai veikia? O gal visai neveikia? Tada jums padės skyrius 555. Ten visi šie pavyzdžiai surūšiuoti pagal kaulus. Rodoma pagrindinis klaidos sprendime. Žinoma, pasakojama ir apie identiškų transformacijų taikymą sprendžiant įvairias lygtis. Labai padeda!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Visiškos kvadratinės lygties transformacija į nepilną atrodo taip (atvejui \(b=0\)):

Tais atvejais, kai \(c=0\) arba kai abu koeficientai lygūs nuliui, viskas yra panašiai.

Atkreipkite dėmesį, kad \(a\) nėra lygus nuliui, jis negali būti lygus nuliui, nes šiuo atveju jis virsta:

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas.

Visų pirma, jūs turite suprasti, kad nepilna kvadratinė lygtis vis dar yra, todėl ją galima išspręsti taip pat, kaip ir įprastą kvadratinę (per). Norėdami tai padaryti, tiesiog pridedame trūkstamą lygties komponentą su nuliniu koeficientu.

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(3x^2-27=0\)
Sprendimas :

		Turime nepilną kvadratinę lygtį su koeficientu \(b=0\). Tai yra, lygtį galime parašyti tokia forma:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Tiesą sakant, čia yra ta pati lygtis kaip ir pradžioje, bet dabar ją galima išspręsti kaip įprastą kvadratą. Pirmiausia užrašome koeficientus.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Apskaičiuokite diskriminantą naudodami formulę \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Raskime lygties šaknis naudodami formules \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) ir \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Užsirašykite atsakymą

Atsakymas : \(x_(1)=3\); \(x_(2) = -3\)

Pavyzdys : Raskite lygties šaknis \(-x^2+x=0\)
Sprendimas :

		Vėlgi, nepilna kvadratinė lygtis, bet dabar koeficientas \(c\) yra lygus nuliui. Rašome lygtį kaip užbaigtą.