Soluzione delle disuguaglianze con il metodo degli intervalli. Risolvere le disuguaglianze quadratiche con il metodo dell'intervallo

Il metodo dell'intervallo è considerato universale per risolvere le disuguaglianze. A volte questo metodo è anche chiamato metodo gap. Può essere utilizzato sia per risolvere disuguaglianze razionali con una variabile che per disuguaglianze di altro tipo. Nel nostro materiale, abbiamo cercato di prestare attenzione a tutti gli aspetti del problema.

Cosa ti aspetta in questa sezione? Analizzeremo il metodo del gap e considereremo algoritmi per risolvere le disuguaglianze utilizzandolo. Tocchiamoci aspetti teorici su cui si basa l'applicazione del metodo.

Prestiamo particolare attenzione alle sfumature dell'argomento, che di solito non sono trattate nel curriculum scolastico. Ad esempio, considera le regole per posizionare i segni sugli intervalli e il metodo degli intervalli vista generale senza collegarlo a disuguaglianze razionali.

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Algoritmo

Chi si ricorda come viene introdotto il metodo gap nel corso di algebra scolastica? Di solito tutto inizia con la risoluzione delle disuguaglianze della forma f (x)< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >o ≥). Qui f(x) può essere un polinomio o un rapporto di polinomi. Il polinomio, a sua volta, può essere rappresentato come:

il prodotto di binomi lineari con coefficiente 1 per la variabile x;
il prodotto di trinomi quadrati con coefficiente direttivo 1 e con il discriminante negativo delle loro radici.

Ecco alcuni esempi di tali disuguaglianze:

(x + 3) (x 2 - x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x - 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

Scriviamo un algoritmo per risolvere disuguaglianze di questo tipo, come abbiamo dato negli esempi, usando il metodo dell'intervallo:

troviamo gli zeri del numeratore e del denominatore, per questo uguagliamo il numeratore e il denominatore dell'espressione sul lato sinistro della disuguaglianza a zero e risolviamo le equazioni risultanti;
determinare i punti che corrispondono agli zeri trovati e contrassegnarli con dei trattini sull'asse delle coordinate;
definire i segni di espressione f(x) dal lato sinistro della disuguaglianza risolta su ciascun intervallo e mettili sul grafico;
applica il tratteggio sulle sezioni desiderate del grafico, guidato da prossima regola: nel caso in cui la disuguaglianza abbia segni< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >o ≥ , quindi selezioniamo con ombreggiatura le aree contrassegnate dal segno “+”.

Il disegno con cui lavoreremo potrebbe avere una vista schematica. Dettagli eccessivi possono sovraccaricare il disegno e rendere difficile la decisione. Saremo di scarso interesse in termini di scala. Basterà attaccarsi posizione corretta punti all'aumentare dei valori delle loro coordinate.

Quando si lavora con disuguaglianze rigorose, useremo la notazione di un punto sotto forma di cerchio con un centro vuoto (vuoto). Nel caso di disuguaglianze non rigorose, i punti che corrispondono agli zeri del denominatore saranno indicati come vuoti e tutto il resto come nero ordinario.

I punti contrassegnati dividono la linea delle coordinate in diversi intervalli numerici. Questo ci permette di ottenere una rappresentazione geometrica dell'insieme di numeri, che in realtà è la soluzione alla disuguaglianza data.

Basi scientifiche del metodo del gap

L'approccio alla base del metodo dell'intervallo si basa sulla seguente proprietà di una funzione continua: la funzione mantiene un segno costante sull'intervallo (a, b) su cui questa funzione è continua e non svanisce. La stessa proprietà è tipica per raggi numerici(−∞ , a) e (a , +∞).

La suddetta proprietà della funzione è confermata dal teorema di Bolzano-Cauchy, che è riportato in molti manuali per la preparazione agli esami di ammissione.

È anche possibile giustificare la costanza del segno sugli intervalli sulla base delle proprietà delle disuguaglianze numeriche. Ad esempio, prendi la disuguaglianza x - 5 x + 1 > 0 . Se troviamo gli zeri del numeratore e del denominatore e li mettiamo sulla linea dei numeri, otteniamo una serie di spazi vuoti: (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) e (5 , + ∞) .

Prendiamo uno qualsiasi degli intervalli e mostriamo su di esso che sull'intero intervallo l'espressione dal lato sinistro della disuguaglianza avrà un segno costante. Sia questo l'intervallo (− ∞ , − 1) . Prendiamo un qualsiasi numero t da questo intervallo. Soddisferà le condizioni t< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

Usando sia le disuguaglianze ottenute sia la proprietà delle disuguaglianze numeriche, possiamo assumere che t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения t sull'intervallo (− ∞ , − 1) .

Usando la regola per dividere i numeri negativi, possiamo affermare che il valore dell'espressione t - 5 t + 1 sarà positivo. Ciò significa che il valore dell'espressione x - 5 x + 1 sarà positivo per qualsiasi valore X dal divario (− ∞ , − 1) . Tutto ciò permette di affermare che sull'intervallo preso ad esempio l'espressione ha segno costante. Nel nostro caso, questo è il segno "+".

Trovare gli zeri del numeratore e del denominatore

L'algoritmo per trovare gli zeri è semplice: uguagliamo le espressioni del numeratore e del denominatore a zero e risolviamo le equazioni risultanti. In caso di difficoltà, puoi fare riferimento all'argomento "Risoluzione di equazioni mediante factoring". In questa sezione ci limitiamo a un esempio.

Considera la frazione x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 . Per trovare gli zeri del numeratore e del denominatore, li uguagliamo a zero per ottenere e risolvere le equazioni: x (x − 0, 6) = 0 e x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

Nel primo caso, possiamo andare all'insieme di due equazioni x = 0 e x − 0 , 6 = 0 , che ci dà due radici 0 e 0 , 6 . Questi sono gli zeri del numeratore.

La seconda equazione è equivalente all'insieme delle tre equazioni x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . Eseguiamo una serie di trasformazioni e otteniamo x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0. La radice della prima equazione è 0, la seconda equazione non ha radici, poiché ha un discriminante negativo, la radice della terza equazione è 5. Questi sono gli zeri del denominatore.

0 in questo caso è sia lo zero del numeratore che lo zero del denominatore.

Nel caso generale, quando c'è una frazione sul lato sinistro della disuguaglianza, che non è necessariamente razionale, anche il numeratore e il denominatore vengono equiparati a zero per ottenere equazioni. Risolvere le equazioni consente di trovare gli zeri del numeratore e del denominatore.

Determinare il segno dell'intervallo è semplice. Per fare ciò, puoi trovare il valore dell'espressione dal lato sinistro della disuguaglianza per qualsiasi punto scelto arbitrariamente dall'intervallo dato. Il segno risultante del valore dell'espressione in un punto arbitrariamente scelto dell'intervallo coinciderà con il segno dell'intero intervallo.

Diamo un'occhiata a questa affermazione con un esempio.

Prendi la disuguaglianza x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 . L'espressione situata sul lato sinistro della disuguaglianza non ha zeri nel numeratore. Il denominatore zero sarà il numero - 3 . Otteniamo due spazi vuoti sulla linea dei numeri (− ∞ , − 3) e (− 3 , + ∞) .

Per determinare i segni degli intervalli, calcoliamo il valore dell'espressione x 2 - x + 4 x + 3 per punti presi arbitrariamente su ciascuno degli intervalli.

Dal primo intervallo (− ∞ , − 3) prendere - 4 . In x = -4 abbiamo (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 . Noi abbiamo significato negativo, quindi l'intero intervallo sarà con il segno "-".

Per span (− 3 , + ∞) eseguiamo calcoli con un punto di coordinata zero. Per x = 0 abbiamo 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 . Abbiamo ottenuto un valore positivo, il che significa che l'intero intervallo avrà un segno "+".

Puoi usare un altro modo per definire i segni. Per fare ciò, possiamo trovare il segno su uno degli intervalli e salvarlo o cambiarlo quando passiamo per zero. Per fare tutto correttamente, è necessario seguire la regola: passando per lo zero del denominatore, ma non del numeratore, o del numeratore, ma non del denominatore, possiamo cambiare il segno al contrario se il grado del l'espressione che dà questo zero è dispari e non possiamo cambiare il segno se il grado è pari. Se otteniamo un punto che è sia zero del numeratore che del denominatore, allora è possibile cambiare il segno al contrario solo se la somma delle potenze delle espressioni che danno questo zero è dispari.

Se ricordiamo la disuguaglianza che abbiamo considerato all'inizio del primo paragrafo di questo materiale, allora sull'intervallo all'estrema destra possiamo mettere un segno "+".

Passiamo ora agli esempi.

Prendi la disuguaglianza (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0 e risolvila usando il metodo dell'intervallo. Per fare ciò, dobbiamo trovare gli zeri del numeratore e del denominatore e contrassegnarli sulla linea delle coordinate. Gli zeri del numeratore saranno punti 2 , 3 , 4 , il denominatore del punto 1 , 3 , 4 . Li contrassegniamo sull'asse delle coordinate con dei trattini.

Gli zeri del denominatore sono contrassegnati da punti vuoti.

Poiché abbiamo a che fare con una disuguaglianza non rigida, sostituiamo i trattini rimanenti con punti ordinari.

Ora posizioniamo i punti sugli intervalli. L'intervallo più a destra (4, +∞) sarà il segno +.

Spostandoci da destra a sinistra, segneremo gli spazi rimanenti. Passiamo per il punto di coordinata 4 . È sia lo zero del numeratore che il denominatore. In sintesi, questi zeri danno le espressioni (x - 4) 2 e x - 4. Aggiungiamo i loro poteri 2 + 1 = 3 e otteniamo numero dispari. Ciò significa che il segno nella transizione in questo caso cambia nell'opposto. Sull'intervallo (3, 4) ci sarà un segno meno.

Passiamo all'intervallo (2 , 3) attraverso il punto con coordinata 3 . Questo è anche zero sia per il numeratore che per il denominatore. L'abbiamo ottenuto grazie a due espressioni (x − 3) 3 e (x - 3) 5, la cui somma delle potenze è 3 + 5 = 8 . Ottenere un numero pari ci permette di lasciare inalterato il segno dell'intervallo.

Il punto con coordinata 2 è lo zero del numeratore. Il grado di espressione x - 2 è uguale a 1 (dispari). Ciò significa che passando per questo punto, il segno deve essere invertito.

Rimane l'ultimo intervallo (− ∞ , 1) . Il punto con coordinata 1 è il denominatore zero. Deriva dall'espressione (x - 1) 4, con grado pari 4 . Pertanto, il segno rimane lo stesso. Il disegno finale sarà simile a questo:

L'uso del metodo dell'intervallo è particolarmente efficace nei casi in cui il calcolo del valore di un'espressione è associato a una grande quantità di lavoro. Un esempio potrebbe essere la necessità di valutare il valore di un'espressione

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

in qualsiasi punto dell'intervallo 3 - 3 4 , 3 - 2 4 .

Ora applichiamo nella pratica le conoscenze e le abilità acquisite.

Esempio 1

Risolvi la disuguaglianza (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 .

Decisione

Si consiglia di applicare il metodo degli intervalli per risolvere la disuguaglianza. Trova gli zeri del numeratore e del denominatore. Gli zeri del numeratore sono 1 e -5, gli zeri del denominatore sono 7 e 1. Segnaliamoli sulla linea dei numeri. Abbiamo a che fare con una disuguaglianza non rigida, quindi contrassegneremo gli zeri del denominatore con punti vuoti, lo zero del numeratore - 5 sarà contrassegnato con un punto pieno regolare.

Mettiamo giù i segni degli spazi vuoti usando le regole per cambiare il segno quando si passa per lo zero. Iniziamo con l'intervallo più a destra, per il quale calcoliamo il valore dell'espressione dal lato sinistro della disuguaglianza in un punto arbitrariamente preso dall'intervallo. Otteniamo il segno "+". Passiamo in sequenza attraverso tutti i punti sulla linea delle coordinate, ponendo i segni, e otteniamo:

Lavoriamo con una disuguaglianza non rigorosa di segno ≤ . Ciò significa che dobbiamo contrassegnare gli spazi vuoti contrassegnati dal segno "-" con l'ombreggiatura.

Risposta: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

La soluzione delle disuguaglianze razionali nella maggior parte dei casi richiede la loro trasformazione preliminare in il tipo giusto. Solo allora diventa possibile utilizzare il metodo dell'intervallo. Gli algoritmi per eseguire tali trasformazioni sono considerati nel materiale "Soluzione delle disuguaglianze razionali".

Si consideri un esempio di conversione di trinomi quadrati in disuguaglianze.

Esempio 2

Trova una soluzione alla disuguaglianza (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 .

Decisione

Vediamo se i discriminanti dei trinomi quadrati nel record di disuguaglianza sono davvero negativi. Questo ci consentirà di determinare se la forma di questa disuguaglianza ci consente di applicare il metodo dell'intervallo alla soluzione.

Calcola il discriminante per il trinomio x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0 . Calcoliamo ora il discriminante per il trinomio x 2 + 2 x - 8: D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . Come puoi vedere, la disuguaglianza richiede una trasformazione preliminare. Per fare ciò, rappresentiamo il trinomio x 2 + 2 x − 8 come (x + 4) (x - 2), quindi applica il metodo interval per risolvere la disuguaglianza (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 .

Risposta: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

Il metodo del gap generalizzato viene utilizzato per risolvere le disuguaglianze della forma f (x)< 0 (≤ , >, ≥) , dove f (x) è un'espressione arbitraria con una variabile X.

Tutte le azioni vengono eseguite secondo un determinato algoritmo. In questo caso, l'algoritmo per risolvere le disuguaglianze con il metodo dell'intervallo generalizzato differirà in qualche modo da quello che abbiamo analizzato in precedenza:

trova il dominio della funzione f e gli zeri di questa funzione;
segnare i punti limite sull'asse delle coordinate;
tracciare gli zeri della funzione sulla retta dei numeri;
determinare i segni degli intervalli;
applichiamo il tratteggio;
scrivi la risposta.

Sulla linea dei numeri è inoltre necessario segnare i singoli punti del dominio di definizione. Ad esempio, il dominio di una funzione è l'insieme (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . Ciò significa che dobbiamo contrassegnare i punti con le coordinate − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 e 10 . punti − 5 e 7 sono indicati come vuoti, il resto può essere evidenziato con una matita colorata per distinguerlo dagli zeri della funzione.

Gli zeri della funzione nel caso di disuguaglianze non rigorose sono contrassegnati da punti ordinari (ombreggiati) e per le disuguaglianze rigorose con punti vuoti. Se gli zeri coincidono con i punti limite o con i singoli punti del dominio di definizione, possono essere ricolorati in nero, rendendoli vuoti o pieni, a seconda del tipo di disuguaglianza.

Il record di risposta è numero impostato che include:

lacune tratteggiate;
singoli punti del dominio con segno più se si tratta di una disuguaglianza il cui segno è > o ≥ o con segno meno se nella disuguaglianza sono presenti segni< или ≤ .

Ora è diventato chiaro che l'algoritmo che abbiamo presentato all'inizio dell'argomento è un caso speciale dell'algoritmo per l'applicazione del metodo dell'intervallo generalizzato.

Si consideri un esempio di applicazione del metodo dell'intervallo generalizzato.

Esempio 3

Risolvi la disuguaglianza x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

Decisione

Introduciamo una funzione f tale che f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 . Trova il dominio della funzione f:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

Ora troviamo gli zeri della funzione. Per fare ciò, risolviamo l'equazione irrazionale:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

Otteniamo la radice x = 12 .

Per designare i punti limite sull'asse delle coordinate, utilizziamo colore arancione. Punti - 6, 4 saranno riempiti e 7 saranno lasciati vuoti. Noi abbiamo:

Contrassegniamo lo zero della funzione con un punto nero vuoto, poiché stiamo lavorando con una stretta disuguaglianza.

Determiniamo i segni su intervalli separati. Per fare ciò, prendi un punto da ogni intervallo, ad esempio, 16 , 8 , 6 e − 8 , e calcola il valore della funzione al loro interno f:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

Posizioniamo i segni che abbiamo appena definito e applichiamo il tratteggio sugli spazi vuoti con un segno meno:

La risposta sarà l'unione di due intervalli con il segno "-": (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

In risposta, abbiamo incluso un punto con la coordinata -6. Questo non è lo zero della funzione, che non includeremmo nella risposta quando si risolve una disuguaglianza rigorosa, ma il punto di confine del dominio di definizione, che è incluso nel dominio di definizione. Il valore della funzione a questo punto è negativo, il che significa che soddisfa la disuguaglianza.

Non abbiamo incluso il punto 4 nella risposta, così come non abbiamo incluso l'intero intervallo [4, 7) . A questo punto, proprio come sull'intero intervallo specificato, il valore della funzione è positivo, il che non soddisfa la disuguaglianza in via di risoluzione.

Scriviamolo di nuovo per una comprensione più chiara: i punti colorati devono essere inseriti nella risposta nei seguenti casi:

questi punti fanno parte di uno spazio vuoto tratteggiato,
questi punti sono punti separati del dominio della funzione, essendo risolti i valori della funzione in cui soddisfano la disuguaglianza.

Risposta: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

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Metodo di spaziaturaè un modo semplice per risolvere le disuguaglianze razionali frazionarie. Questo è il nome delle disuguaglianze che contengono espressioni razionali (o frazionarie-razionali) che dipendono da una variabile.

1. Si consideri, ad esempio, la seguente disuguaglianza

Il metodo dell'intervallo ti consente di risolverlo in un paio di minuti.

Sul lato sinistro di questa disuguaglianza c'è una funzione razionale frazionaria. Razionale, perché non contiene né radici, né seni, né logaritmi - solo espressioni razionali. A destra è zero.

Il metodo dell'intervallo si basa sulla seguente proprietà di una funzione razionale frazionaria.

Una funzione razionale frazionaria può cambiare segno solo nei punti in cui è uguale a zero o non esiste.

Ricorda come fattorizzare trinomio quadrato, cioè un'espressione della forma .

Dove e sono le radici equazione quadrata.

Disegniamo un asse e disponiamo i punti in cui il numeratore e il denominatore svaniscono.

Gli zeri del denominatore e sono punti punteggiati, poiché in questi punti la funzione sul lato sinistro della disuguaglianza non è definita (non puoi dividere per zero). Gli zeri del numeratore e - sono ombreggiati perché la disuguaglianza non è rigorosa. Perché e la nostra disuguaglianza è soddisfatta, poiché entrambe le sue parti sono uguali a zero.

Questi punti interrompono l'asse in intervalli.

Determiniamo il segno della funzione frazionario-razionale sul lato sinistro della nostra disuguaglianza su ciascuno di questi intervalli. Ricordiamo che una funzione razionale frazionaria può cambiare segno solo nei punti in cui è uguale a zero o non esiste. Ciò significa che su ciascuno degli intervalli tra i punti in cui il numeratore o il denominatore scompare, il segno dell'espressione sul lato sinistro della disuguaglianza sarà costante - "più" o "meno".

E quindi, per determinare il segno della funzione su ciascuno di tali intervalli, prendiamo qualsiasi punto appartenente a questo intervallo. Quello che fa per noi.
. Prendi, ad esempio, e controlla il segno dell'espressione sul lato sinistro della disuguaglianza. Ciascuna delle "parentesi" è negativa. Il lato sinistro ha un segno.

Prossimo intervallo: . Controlliamo il segno per . Otteniamo che il lato sinistro ha cambiato segno in .

Prendiamo . Quando l'espressione è positiva, quindi è positiva sull'intero intervallo da a .

Per , il lato sinistro della disuguaglianza è negativo.

E infine class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Abbiamo trovato su quali intervalli l'espressione è positiva. Resta da scrivere la risposta:

Risposta: .

Nota: i segni sugli intervalli si alternano. Questo è successo perché passando per ogni punto, esattamente uno dei fattori lineari cambiava segno e il resto lo manteneva invariato.

Vediamo che il metodo dell'intervallo è molto semplice. Per risolvere una disuguaglianza frazionario-razionale con il metodo degli intervalli, la portiamo alla forma:

O class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\sinistra(x\destra))(\displaystyle Q\sinistra(x\destra)) > 0"> !}, o o .

(a sinistra - una funzione frazionaria-razionale, a destra - zero).

Quindi - segniamo sulla linea dei numeri i punti in cui il numeratore o il denominatore svanisce.
Questi punti dividono l'intera retta dei numeri in intervalli, su ciascuno dei quali la funzione frazionario-razionale conserva il suo segno.
Resta solo da scoprire il suo segno su ogni intervallo.
Lo facciamo controllando il segno dell'espressione in qualsiasi punto all'interno dell'intervallo dato. Dopodiché, scriviamo la risposta. È tutto.

Ma sorge la domanda: i segni si alternano sempre? No non sempre! Dobbiamo stare attenti a non posizionare i segni in modo meccanico e sconsiderato.

2. Diamo un'occhiata a un'altra disuguaglianza.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \sinistra(x-3\destra))>0"> !}

Posizioniamo nuovamente i punti sull'asse. I punti e sono punteggiati perché sono gli zeri del denominatore. Anche il punto è forato, poiché la disuguaglianza è rigorosa.

Quando il numeratore è positivo, entrambi i fattori al denominatore sono negativi. Questo è facile da verificare prendendo qualsiasi numero da un dato intervallo, ad esempio, . Il lato sinistro ha il segno:

Quando il numeratore è positivo; il primo fattore al denominatore è positivo, il secondo fattore è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

Quando la situazione è la stessa! Il numeratore è positivo, il primo fattore al denominatore è positivo, il secondo è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

Infine, con class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Risposta: .

Perché l'alternanza dei personaggi è stata interrotta? Perché quando passa per il punto, il moltiplicatore "responsabile" di esso non ha cambiato segno. Di conseguenza, anche l'intero lato sinistro della nostra disuguaglianza non ha cambiato segno.

Conclusione: se il fattore lineare è in una potenza pari (ad esempio, in un quadrato), quando si passa per un punto, il segno dell'espressione sul lato sinistro non cambia. In caso di grado dispari, il segno, ovviamente, cambia.

3. Considera di più caso difficile. Si differenzia dal precedente in quanto la disuguaglianza non è rigorosa:

Il lato sinistro è lo stesso del problema precedente. L'immagine dei segni sarà la stessa:

Forse la risposta sarà la stessa? Non! La soluzione viene aggiunta Questo perché in , entrambi i lati sinistro e destro della disuguaglianza sono uguali a zero, quindi questo punto è una soluzione.

Risposta: .

Nel problema dell'esame di matematica si incontra spesso questa situazione. Qui, i candidati cadono in una trappola e perdono punti. Stai attento!

4. Cosa succede se il numeratore o il denominatore non possono essere scomposti in fattori lineari? Considera questa disuguaglianza:

Il trinomio quadrato non può essere fattorizzato: il discriminante è negativo, non ci sono radici. Ma questo è buono! Ciò significa che il segno dell'espressione è lo stesso per tutti e, nello specifico, è positivo. Puoi leggere di più su questo nell'articolo sulle proprietà. funzione quadratica.

E ora possiamo dividere entrambi i lati della nostra disuguaglianza per un valore positivo per tutti. Arriviamo a una disuguaglianza equivalente:

Che è facilmente risolvibile con il metodo dell'intervallo.

Fai attenzione: abbiamo diviso entrambi i lati della disuguaglianza per il valore, che sapevamo per certo fosse positivo. Ovviamente, nel caso generale, non dovresti moltiplicare o dividere la disuguaglianza per variabile, il cui segno è sconosciuto.

5 . Considera un'altra disuguaglianza, apparentemente abbastanza semplice:

Quindi voglio moltiplicarlo per . Ma siamo già intelligenti e non lo faremo. Dopotutto, può essere sia positivo che negativo. E sappiamo che se si moltiplicano entrambe le parti della disuguaglianza per un valore negativo, il segno della disuguaglianza cambia.

Agiremo in modo diverso: raccoglieremo tutto in una parte e lo porteremo a un denominatore comune. Zero rimarrà sul lato destro:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

E dopo quello - applicabile metodo dell'intervallo.

1. Si consideri, ad esempio, la seguente disuguaglianza

Il metodo dell'intervallo ti consente di risolverlo in un paio di minuti.

Sul lato sinistro di questa disuguaglianza c'è una funzione razionale frazionaria. Razionale, perché non contiene né radici, né seni, né logaritmi - solo espressioni razionali. A destra è zero.

Il metodo dell'intervallo si basa sulla seguente proprietà di una funzione razionale frazionaria.

Una funzione razionale frazionaria può cambiare segno solo nei punti in cui è uguale a zero o non esiste.

Ricordiamo come viene scomposto un trinomio quadrato, cioè un'espressione della forma .

Dove e sono le radici dell'equazione quadratica.

Disegniamo un asse e disponiamo i punti in cui il numeratore e il denominatore svaniscono.

Questi punti interrompono l'asse in intervalli.

Prossimo intervallo: . Controlliamo il segno per . Otteniamo che il lato sinistro ha cambiato segno in .

Prendiamo . Quando l'espressione è positiva, quindi è positiva sull'intero intervallo da a .

Per , il lato sinistro della disuguaglianza è negativo.

Abbiamo trovato su quali intervalli l'espressione è positiva. Resta da scrivere la risposta:

Risposta: .

Nota: i segni sugli intervalli si alternano. Questo è successo perché passando per ogni punto, esattamente uno dei fattori lineari cambiava segno e il resto lo manteneva invariato.

Vediamo che il metodo dell'intervallo è molto semplice. Per risolvere una disuguaglianza frazionario-razionale con il metodo degli intervalli, la portiamo alla forma:

O class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\sinistra(x\destra))(\displaystyle Q\sinistra(x\destra)) > 0"> !}, o o .

(a sinistra - una funzione frazionaria-razionale, a destra - zero).

Ma sorge la domanda: i segni si alternano sempre? No non sempre! Dobbiamo stare attenti a non posizionare i segni in modo meccanico e sconsiderato.

2. Diamo un'occhiata a un'altra disuguaglianza.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \sinistra(x-3\destra))>0"> !}

Posizioniamo nuovamente i punti sull'asse. I punti e sono punteggiati perché sono gli zeri del denominatore. Anche il punto è forato, poiché la disuguaglianza è rigorosa.

Quando il numeratore è positivo; il primo fattore al denominatore è positivo, il secondo fattore è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

Quando la situazione è la stessa! Il numeratore è positivo, il primo fattore al denominatore è positivo, il secondo è negativo. Il lato sinistro ha il segno:

Infine, con class="tex" alt="(!LANG:x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Risposta: .

3. Consideriamo un caso più complicato. Si differenzia dal precedente in quanto la disuguaglianza non è rigorosa:

Il lato sinistro è lo stesso del problema precedente. L'immagine dei segni sarà la stessa:

Risposta: .

Nel problema dell'esame di matematica si incontra spesso questa situazione. Qui, i candidati cadono in una trappola e perdono punti. Stai attento!

4. Cosa succede se il numeratore o il denominatore non possono essere scomposti in fattori lineari? Considera questa disuguaglianza:

E ora possiamo dividere entrambi i lati della nostra disuguaglianza per un valore positivo per tutti. Arriviamo a una disuguaglianza equivalente:

Che è facilmente risolvibile con il metodo dell'intervallo.

Fai attenzione: abbiamo diviso entrambi i lati della disuguaglianza per il valore, che sapevamo per certo fosse positivo. Ovviamente, nel caso generale, non dovresti moltiplicare o dividere una disuguaglianza per una variabile il cui segno è sconosciuto.

5 . Considera un'altra disuguaglianza, apparentemente abbastanza semplice:

Agiremo in modo diverso: raccoglieremo tutto in una parte e lo porteremo a un denominatore comune. Zero rimarrà sul lato destro:

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

E dopo quello - applicabile metodo dell'intervallo.

Come risolvere le disuguaglianze usando il metodo dell'intervallo (algoritmo con esempi)

Esempio . (compito dell'OGE) Risolvi la disuguaglianza con il metodo dell'intervallo \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Decisione:

Risposta : \((7;7+\sqrt(11))\)

Esempio . Risolvi la disuguaglianza con il metodo dell'intervallo \(≥0\)
Decisione:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Qui, a prima vista, tutto sembra normale e la disuguaglianza viene inizialmente ridotta alla forma desiderata. Ma non è così: dopotutto, nella prima e nella terza parentesi del numeratore, x è con un segno meno. Trasformiamo le parentesi, tenendo conto del fatto che il quarto grado è pari (cioè rimuoverà il segno meno) e il terzo è dispari (cioè non lo rimuoverà). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Come questo. Ora restituiamo le parentesi “in place” già convertite.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Ora tutte le parentesi sembrano come dovrebbero (prima arriva il seme non firmato e solo dopo il numero). Ma c'era un meno prima del numeratore. Lo rimuoviamo moltiplicando la disuguaglianza per \(-1\), senza dimenticare di invertire il segno di confronto
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Pronto. Ora la disuguaglianza sembra giusta. È possibile utilizzare il metodo dell'intervallo.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		Posizioniamo punti sull'asse, segni e dipingiamo sugli spazi necessari.
		Nell'intervallo da \(4\) a \(6\), non è necessario modificare il segno, perché la parentesi \((x-6)\) è pari (vedi paragrafo 4 dell'algoritmo) . La bandiera ci ricorderà che il sei è anche una soluzione alla disuguaglianza. Scriviamo la risposta.

Risposta : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\sinistra\(6\destra\)\)

Esempio.(Incarico dell'OGE) Risolvi la disuguaglianza usando il metodo dell'intervallo \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Decisione:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Sinistra e destra sono la stessa cosa - questo chiaramente non è casuale. Il primo desiderio è dividere per \(-x^2-64\), ma questo è un errore, perché c'è la possibilità di perdere la radice. Sposta invece \(64(-x^2-64)\) a lato sinistro
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Elimina il meno nella prima parentesi e calcola il secondo
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Nota che \(x^2\) è zero o maggiore di zero. Ciò significa che \(x^2+64\) è univocamente positivo per qualsiasi valore di x, ovvero questa espressione non influisce in alcun modo sul segno del lato sinistro. Pertanto, possiamo tranquillamente dividere entrambe le parti della disuguaglianza per questa espressione. Dividiamo anche la disuguaglianza per \(-1\) per eliminare il meno.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Ora puoi applicare il metodo dell'intervallo
\(x=8;\) \(x=-8\)		Scriviamo la risposta