Soluzione delle disuguaglianze logaritmiche più semplici. Preparazione per l'esame

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Tra l'intera varietà di disuguaglianze logaritmiche, le disuguaglianze a base variabile sono studiate separatamente. Sono risolti secondo una formula speciale, che per qualche motivo viene insegnata raramente a scuola:

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

Invece di una taccola "∨", puoi mettere qualsiasi segno di disuguaglianza: più o meno. La cosa principale è che in entrambe le disuguaglianze i segni sono gli stessi.

Quindi eliminiamo i logaritmi e riduciamo il problema a una disuguaglianza razionale. Quest'ultimo è molto più facile da risolvere, ma quando si scartano i logaritmi possono apparire radici extra. Per tagliarli è sufficiente trovare l'intervallo di valori ammissibili. Se hai dimenticato l'ODZ del logaritmo, ti consiglio vivamente di ripeterlo - vedi "Cos'è un logaritmo".

Tutto ciò che riguarda l'intervallo di valori accettabili deve essere scritto e risolto separatamente:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Queste quattro disuguaglianze costituiscono un sistema e devono essere soddisfatte simultaneamente. Quando viene trovata la gamma di valori accettabili, resta da incrociarla con la soluzione di una disuguaglianza razionale - e la risposta è pronta.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Per prima cosa, scriviamo la ODZ del logaritmo:

Le prime due disuguaglianze vengono eseguite automaticamente e l'ultima dovrà essere scritta. Poiché il quadrato di un numero è zero se e solo se il numero stesso è zero, abbiamo:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Risulta che la ODZ del logaritmo è tutti i numeri tranne zero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ora risolviamo la disuguaglianza principale:

Eseguiamo il passaggio dalla disuguaglianza logaritmica a quella razionale. Nella disuguaglianza originale c'è un segno "minore di", quindi anche la disuguaglianza risultante dovrebbe essere con un segno "minore di". Abbiamo:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x2) x2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Zeri di questa espressione: x = 3; x = -3; x = 0. Inoltre, x = 0 è la radice della seconda molteplicità, il che significa che passando per essa il segno della funzione non cambia. Abbiamo:

Otteniamo x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Questo insieme è completamente contenuto nell'ODZ del logaritmo, il che significa che questa è la risposta.

Trasformazione delle disuguaglianze logaritmiche

Spesso la disuguaglianza originale differisce da quella sopra. Questo è facile da risolvere secondo le regole standard per lavorare con i logaritmi - vedere "Proprietà di base dei logaritmi". Vale a dire:

Qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo con una data base;
La somma e la differenza di logaritmi con la stessa base possono essere sostituite da un unico logaritmo.

Separatamente, voglio ricordarti l'intervallo di valori accettabili. Poiché possono esserci diversi logaritmi nella disuguaglianza originale, è necessario trovare il DPV di ciascuno di essi. Pertanto, lo schema generale per risolvere le disuguaglianze logaritmiche è il seguente:

Trova la ODZ di ogni logaritmo incluso nella disuguaglianza;
Riduci la disuguaglianza a quella standard usando le formule per sommare e sottrarre logaritmi;
Risolvi la disuguaglianza risultante secondo lo schema sopra.

Compito. Risolvi la disuguaglianza:

Trova il dominio di definizione (ODZ) del primo logaritmo:

Risolviamo con il metodo dell'intervallo. Trovare gli zeri del numeratore:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Quindi - gli zeri del denominatore:

x - 1 = 0;
x = 1.

Segniamo zeri e segni sulla freccia delle coordinate:

Otteniamo x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Il secondo logaritmo dell'ODZ sarà lo stesso. Se non mi credi, puoi controllare. Ora trasformiamo il secondo logaritmo in modo che la base sia due:

Come puoi vedere, le triple alla base e prima del logaritmo si sono ridotte. Ottieni due logaritmi con la stessa base. Mettiamoli insieme:

log 2 (x - 1) 2< 2;
log 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Abbiamo ottenuto la disuguaglianza logaritmica standard. Eliminiamo i logaritmi con la formula. Poiché nella disuguaglianza originale è presente un segno minore di, anche l'espressione razionale risultante deve essere minore di zero. Abbiamo:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2)(2 - 1)< 0;
x 2 - 2 x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x - 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Abbiamo due set:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Candidato alla risposta: x ∈ (−1; 3).

Resta da attraversare questi insiemi: otteniamo la vera risposta:

Siamo interessati all'intersezione degli insiemi, quindi scegliamo gli intervalli ombreggiati su entrambe le frecce. Otteniamo x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tutti i punti sono punteggiati.

Pensi che ci sia ancora tempo prima dell'esame e avrai tempo per prepararti? Forse è così. Ma in ogni caso, prima lo studente inizia la formazione, più supera gli esami con successo. Oggi abbiamo deciso di dedicare un articolo alle disuguaglianze logaritmiche. Questo è uno dei compiti, il che significa un'opportunità per ottenere un punto extra.

Sai già cos'è un logaritmo (log)? Lo speriamo davvero. Ma anche se non hai una risposta a questa domanda, non è un problema. È molto facile capire cos'è un logaritmo.

Perché esattamente 4? Devi aumentare il numero 3 a tale potenza per ottenere 81. Quando comprendi il principio, puoi procedere a calcoli più complessi.

Hai attraversato le disuguaglianze qualche anno fa. E da allora, li incontri costantemente in matematica. Se hai problemi a risolvere le disuguaglianze, controlla la sezione appropriata.
Ora, quando avremo familiarizzato con i concetti separatamente, passeremo alla loro considerazione in generale.

La più semplice disuguaglianza logaritmica.

Le disuguaglianze logaritmiche più semplici non si limitano a questo esempio, ce ne sono altre tre, solo con segni diversi. Perché è necessario? Per capire meglio come risolvere la disuguaglianza con i logaritmi. Ora diamo un esempio più applicabile, ancora abbastanza semplice, lasciamo le disuguaglianze logaritmiche complesse per dopo.

Come risolverlo? Tutto inizia con ODZ. Dovresti saperne di più se vuoi risolvere sempre facilmente qualsiasi disuguaglianza.

Cos'è ODZ? DPV per le disuguaglianze logaritmiche

L'abbreviazione sta per l'intervallo di valori validi. Nei compiti per l'esame, questa dicitura compare spesso. DPV ti è utile non solo nel caso di disuguaglianze logaritmiche.

Guarda di nuovo l'esempio sopra. Considereremo l'ODZ basato su di esso, in modo da comprendere il principio e la soluzione delle disuguaglianze logaritmiche non solleva domande. Dalla definizione del logaritmo segue che 2x+4 deve essere maggiore di zero. Nel nostro caso, questo significa quanto segue.

Questo numero deve essere positivo per definizione. Risolvi la disuguaglianza presentata sopra. Questo può essere fatto anche oralmente, qui è chiaro che X non può essere inferiore a 2. La soluzione della disuguaglianza sarà la definizione dell'intervallo di valori accettabili.
Passiamo ora alla risoluzione della più semplice disuguaglianza logaritmica.

Scartiamo i logaritmi stessi da entrambe le parti della disuguaglianza. Cosa ci resta di conseguenza? semplice disuguaglianza.

È facile da risolvere. X deve essere maggiore di -0,5. Ora combiniamo i due valori ottenuti nel sistema. Così,

Questa sarà la regione dei valori ammissibili per la disuguaglianza logaritmica considerata.

Perché è necessario ODZ? Questa è un'opportunità per eliminare le risposte errate e impossibili. Se la risposta non rientra nell'intervallo di valori accettabili, la risposta semplicemente non ha senso. Vale la pena ricordare a lungo, poiché nell'esame è spesso necessario cercare ODZ e non riguarda solo le disuguaglianze logaritmiche.

Algoritmo per risolvere la disuguaglianza logaritmica

La soluzione è composta da più passaggi. Innanzitutto, è necessario trovare l'intervallo di valori accettabili. Ci saranno due valori nell'ODZ, lo abbiamo considerato sopra. Il prossimo passo è risolvere la disuguaglianza stessa. I metodi risolutivi sono i seguenti:

metodo di sostituzione del moltiplicatore;
decomposizione;
metodo di razionalizzazione.

A seconda della situazione, dovrebbe essere utilizzato uno dei metodi di cui sopra. Andiamo dritti alla soluzione. Sveleremo il metodo più popolare adatto per risolvere i compiti USE in quasi tutti i casi. Successivamente, considereremo il metodo di scomposizione. Può essere d'aiuto se ti imbatti in una disuguaglianza particolarmente "complicata". Quindi, l'algoritmo per risolvere la disuguaglianza logaritmica.

Esempi di soluzioni :

Non è vano che abbiamo preso proprio una tale disuguaglianza! Presta attenzione alla base. Ricorda: se è maggiore di uno, il segno rimane lo stesso quando trovi l'intervallo di valori validi; in caso contrario, il segno di disuguaglianza deve essere modificato.

Di conseguenza, otteniamo la disuguaglianza:

Ora portiamo il lato sinistro nella forma dell'equazione uguale a zero. Invece del segno "minore di", mettiamo "uguale", risolviamo l'equazione. Quindi, troveremo l'ODZ. Ci auguriamo che non avrai problemi a risolvere un'equazione così semplice. Le risposte sono -4 e -2. Non è tutto. Devi visualizzare questi punti sul grafico, posizionare "+" e "-". Cosa bisogna fare per questo? Sostituisci i numeri dagli intervalli nell'espressione. Dove i valori sono positivi, mettiamo lì "+".

Risposta: x non può essere maggiore di -4 e minore di -2.

Abbiamo trovato l'intervallo di valori validi solo per il lato sinistro, ora dobbiamo trovare l'intervallo di valori validi per il lato destro. Questo non è affatto più facile. Risposta: -2. Intersechiamo entrambe le aree ricevute.

E solo ora iniziamo a risolvere la disuguaglianza stessa.

Semplifichiamolo il più possibile per rendere più facile decidere.

Usiamo di nuovo il metodo dell'intervallo nella soluzione. Saltiamo i calcoli, con lui è già tutto chiaro dall'esempio precedente. Risposta.

Ma questo metodo è adatto se la disuguaglianza logaritmica ha le stesse basi.

La risoluzione di equazioni e disuguaglianze logaritmiche con basi diverse comporta la riduzione iniziale a una base. Quindi utilizzare il metodo sopra. Ma c'è anche un caso più complicato. Consideriamo uno dei tipi più complessi di disuguaglianze logaritmiche.

Disuguaglianze logaritmiche a base variabile

Come risolvere le disuguaglianze con tali caratteristiche? Sì, e questo può essere trovato nell'esame. Risolvere le disuguaglianze nel modo seguente avrà anche un effetto benefico sul tuo processo educativo. Esaminiamo la questione in dettaglio. Mettiamo da parte la teoria e passiamo subito alla pratica. Per risolvere le disuguaglianze logaritmiche, è sufficiente familiarizzare una volta con l'esempio.

Per risolvere la disuguaglianza logaritmica della forma presentata, è necessario portare il lato destro del logaritmo con la stessa base. Il principio ricorda transizioni equivalenti. Di conseguenza, la disuguaglianza sarà simile a questa.

In realtà, resta da creare un sistema di disuguaglianze senza logaritmi. Usando il metodo della razionalizzazione si passa ad un sistema equivalente di disuguaglianze. Capirai la regola stessa quando sostituisci i valori appropriati e segui le loro modifiche. Il sistema avrà le seguenti disuguaglianze.

Utilizzando il metodo di razionalizzazione, quando si risolvono le disuguaglianze, è necessario ricordare quanto segue: è necessario sottrarre uno dalla base, x, per definizione del logaritmo, viene sottratto da entrambe le parti della disuguaglianza (la destra da sinistra), il due espressioni vengono moltiplicate e poste sotto il segno originale rispetto a zero.

L'ulteriore soluzione viene eseguita con il metodo dell'intervallo, qui tutto è semplice. È importante che tu comprenda le differenze nei metodi di soluzione, quindi tutto inizierà a funzionare facilmente.

Ci sono molte sfumature nelle disuguaglianze logaritmiche. I più semplici sono abbastanza facili da risolvere. Come fare in modo da risolverli ciascuno senza problemi? Hai già ricevuto tutte le risposte in questo articolo. Ora hai una lunga pratica davanti a te. Esercitati costantemente a risolvere vari problemi durante l'esame e sarai in grado di ottenere il punteggio più alto. Buona fortuna per il tuo difficile lavoro!

Una disuguaglianza si dice logaritmica se contiene una funzione logaritmica.

I metodi per risolvere le disuguaglianze logaritmiche non sono diversi da tranne che per due cose.

In primo luogo, quando si passa dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, ne consegue seguire il segno della disuguaglianza risultante. Rispetta la seguente regola.

Se la base della funzione logaritmica è maggiore di $1$, quando si passa dalla disuguaglianza logaritmica alla disuguaglianza delle funzioni sublogaritmiche, il segno di disuguaglianza viene mantenuto e se è inferiore a $1$, viene invertito.

In secondo luogo, la soluzione di ogni disuguaglianza è un intervallo, e, quindi, al termine della soluzione della disuguaglianza di funzioni sublogaritmiche, è necessario comporre un sistema di due disuguaglianze: la prima disuguaglianza di questo sistema sarà la disuguaglianza di funzioni sublogaritmiche, e la seconda sarà l'intervallo del dominio di definizione delle funzioni logaritmiche incluse nella disuguaglianza logaritmica.