casa > Ingegneria Civile

Formule per la riduzione dei logaritmi. Logaritmo naturale, funzione ln x

Il logaritmo di un numero N per ragione un si chiama esponente X , a cui devi aumentare un per ottenere il numero N

Purché
,
,

Dalla definizione del logaritmo segue che
, cioè.
- questa uguaglianza è l'identità logaritmica di base.

I logaritmi in base 10 sono detti logaritmi decimali. Invece di
scrivere
.

logaritmi di base e sono detti naturali e denotati
.

Proprietà di base dei logaritmi.

    Il logaritmo di unità per ogni base è zero

    Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori.

3) Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi


Fattore
è chiamato modulo di transizione dai logaritmi alla base un ai logaritmi alla base b .

Utilizzando le proprietà 2-5, è spesso possibile ridurre il logaritmo di un'espressione complessa al risultato di semplici operazioni aritmetiche sui logaritmi.

Per esempio,

Tali trasformazioni del logaritmo sono dette logaritmi. Le trasformazioni reciproche dei logaritmi sono dette potenziamento.

Capitolo 2. Elementi di matematica superiore.

1. Limiti

limite di funzione
è un numero finito A se, quando si sforza xx 0 per ogni predeterminato
, c'è un numero
che non appena
, poi
.

Una funzione che ha un limite differisce da esso di una quantità infinitesima:
, dove - b.m.w., cioè
.

Esempio. Considera la funzione
.

Quando si lotta
, funzione y va a zero:

1.1. Teoremi di base sui limiti.

    Il limite di un valore costante è uguale a questo valore costante

.

    Il limite della somma (differenza) di un numero finito di funzioni è uguale alla somma (differenza) dei limiti di queste funzioni.

    Il limite di un prodotto di un numero finito di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di queste funzioni.

    Il limite del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti di queste funzioni se il limite del denominatore non è uguale a zero.

Limiti notevoli

,
, dove

1.2. Esempi di calcolo dei limiti

Tuttavia, non tutti i limiti si calcolano così facilmente. Più spesso, il calcolo del limite si riduce alla rivelazione dell'incertezza di tipo: o .

.

2. Derivata di una funzione

Diamo una funzione
, continuo sul segmento
.

Discussione ha avuto una spinta
. Quindi la funzione verrà incrementata
.

Valore dell'argomento corrisponde al valore della funzione
.

Valore dell'argomento
corrisponde al valore della funzione.

Quindi, .

Troviamo il limite di questa relazione in
. Se questo limite esiste, allora è chiamato derivata della funzione data.

Definizione della 3derivata di una data funzione
per argomento detto limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, quando l'incremento dell'argomento tende arbitrariamente a zero.

Derivata di funzione
può essere indicato come segue:

; ; ; .

Definizione 4 Viene chiamata l'operazione per trovare la derivata di una funzione differenziazione.

2.1. Il significato meccanico della derivata.

Considera il movimento rettilineo di un corpo rigido o di un punto materiale.

Lascia che ad un certo punto nel tempo punto in movimento
era a distanza dalla posizione di partenza
.

Dopo un certo periodo di tempo
si è allontanata
. Atteggiamento =- velocità media di un punto materiale
. Troviamo il limite di questo rapporto, tenendo conto che
.

Di conseguenza, la determinazione della velocità istantanea di un punto materiale si riduce a trovare la derivata del percorso rispetto al tempo.

2.2. Valore geometrico della derivata

Supponiamo di avere una funzione definita graficamente
.

Riso. 1. Il significato geometrico della derivata

Se un
, allora il punto
, si sposterà lungo la curva, avvicinandosi al punto
.

Quindi
, cioè. il valore della derivata dato il valore dell'argomento numericamente è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente in un dato punto con la direzione positiva dell'asse
.

2.3. Tabella delle formule di differenziazione di base.

Funzione di alimentazione

Funzione esponenziale

funzione logaritmica

funzione trigonometrica

Funzione trigonometrica inversa

2.4. Regole di differenziazione.

Derivato di

Derivata della somma (differenza) delle funzioni


Derivata del prodotto di due funzioni


La derivata del quoziente di due funzioni


2.5. Derivata di una funzione complessa.

Lascia che la funzione
tale da poter essere rappresentato come

e
, dove la variabile è un argomento intermedio, quindi

La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione data rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto a x.

Esempio 1.

Esempio2.

3. Differenziale di funzione.

Lascia che ci sia
, differenziabile su qualche intervallo
Lasciarlo andare A questa funzione ha una derivata

,

allora puoi scrivere

(1),

dove - una quantità infinitesima,

perché a

Moltiplicando tutti i termini di uguaglianza (1) per
noi abbiamo:

In cui si
- b.m.v. ordine superiore.

Valore
è detto differenziale della funzione
e indicato

.

3.1. Il valore geometrico del differenziale.

Lascia che la funzione
.

Fig.2. Il significato geometrico del differenziale.

.

Ovviamente, il differenziale della funzione
è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente nel punto dato.

3.2. Derivati ​​e differenziali di vari ordini.

Se ci
, poi
è chiamata derivata prima.

La derivata della prima derivata si chiama derivata del secondo ordine e si scrive
.

Derivata dell'ennesimo ordine della funzione
è detta derivata dell'ordine (n-1) e si scrive:

.

Il differenziale del differenziale di una funzione è chiamato secondo differenziale o differenziale del secondo ordine.

.

.

3.3 Risolvere problemi biologici utilizzando la differenziazione.

Compito 1. Gli studi hanno dimostrato che la crescita di una colonia di microrganismi obbedisce alla legge
, dove N – numero di microrganismi (in migliaia), t – tempo (giorni).

b) La popolazione della colonia aumenterà o diminuirà durante questo periodo?

Risposta. La colonia crescerà di dimensioni.

Compito 2. L'acqua del lago viene periodicamente testata per controllare il contenuto di batteri patogeni. Attraverso t giorni dopo il test, la concentrazione di batteri è determinata dal rapporto

.

Quando arriverà la minima concentrazione di batteri nel lago e sarà possibile nuotarci?

Soluzione Una funzione raggiunge max o min quando la sua derivata è zero.

,

Determiniamo che il massimo o il minimo saranno tra 6 giorni. Per fare questo, prendiamo la seconda derivata.


Risposta: Dopo 6 giorni ci sarà una concentrazione minima di batteri.

\(a^(b)=c\) \(\Frecciasinistra-destra\) \(\log_(a)(c)=b\)

Spieghiamolo più facilmente. Ad esempio, \(\log_(2)(8)\) è uguale alla potenza \(2\) che deve essere aumentata per ottenere \(8\). Da ciò risulta chiaro che \(\log_(2)(8)=3\).

Esempi:

\(\log_(5)(25)=2\)

perché \(5^(2)=25\)

\(\log_(3)(81)=4\)

perché \(3^(4)=81\)

\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)

perché \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argomento e base del logaritmo

Qualsiasi logaritmo ha la seguente "anatomia":

L'argomento del logaritmo è solitamente scritto al suo livello e la base è scritta in pedice più vicino al segno del logaritmo. E questa voce si legge così: "il logaritmo di venticinque alla base di cinque".

Come calcolare il logaritmo?

Per calcolare il logaritmo, devi rispondere alla domanda: fino a che punto dovrebbe essere alzata la base per ottenere l'argomento?

Per esempio, calcola il logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A quale potenza si deve elevare \(4\) per ottenere \(16\)? Ovviamente il secondo. Così:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(5)\) per ottenere \(1\)? E quale grado rende un numero un'unità? Zero, ovviamente!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(7)\) per ottenere \(\sqrt(7)\)? Nel primo - qualsiasi numero nel primo grado è uguale a se stesso.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A quale potenza deve essere elevato \(3\) per ottenere \(\sqrt(3)\)? Da sappiamo che è una potenza frazionaria, e quindi la radice quadrata è la potenza di \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esempio : Calcola il logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Decisione :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)

Dobbiamo trovare il valore del logaritmo, indichiamolo come x. Usiamo ora la definizione del logaritmo:
\(\log_(a)(c)=b\) \(\Freccia destra-sinistra\) \(a^(b)=c\)

\((4\sqrt(2))^(x)=8\)

Quali collegamenti \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Due, perché entrambi i numeri possono essere rappresentati da due:
\(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)

\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)

A sinistra, utilizziamo le proprietà del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)=a ^(m\cpunto n)\)

\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)

Le basi sono uguali, si procede all'uguaglianza degli indicatori

\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)

Moltiplica entrambi i membri dell'equazione per \(\frac(2)(5)\)

La radice risultante è il valore del logaritmo

Risposta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Perché è stato inventato il logaritmo?

Per capirlo, risolviamo l'equazione: \(3^(x)=9\). Basta abbinare \(x\) per far funzionare l'uguaglianza. Ovviamente \(x=2\).

Ora risolvi l'equazione: \(3^(x)=8\). A cosa è uguale x? Questo è il punto.

Il più ingegnoso dirà: "X è poco meno di due". Come deve essere scritto esattamente questo numero? Per rispondere a questa domanda, hanno inventato il logaritmo. Grazie a lui, la risposta qui può essere scritta come \(x=\log_(3)(8)\).

Voglio sottolineare che \(\log_(3)(8)\), così come qualsiasi logaritmo è solo un numero. Sì, sembra insolito, ma è breve. Perché se volessimo scriverlo come decimale, sarebbe simile a questo: \(1.892789260714.....\)

Esempio : Risolvi l'equazione \(4^(5x-4)=10\)

Decisione :

\(4^(5x-4)=10\)

\(4^(5x-4)\) e \(10\) non possono essere ridotti alla stessa base. Quindi qui non puoi fare a meno del logaritmo.

Usiamo la definizione del logaritmo:
\(a^(b)=c\) \(\Frecciasinistra-destra\) \(\log_(a)(c)=b\)

\(\log_(4)(10)=5x-4\)

Capovolgi l'equazione in modo che x sia a sinistra

\(5x-4=\log_(4)(10)\)

Prima di noi. Sposta \(4\) a destra.

E non aver paura del logaritmo, trattalo come un numero normale.

\(5x=\log_(4)(10)+4\)

Dividi l'equazione per 5

\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Ecco la nostra radice. Sì, sembra insolito, ma la risposta non è stata scelta.

Risposta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi decimali e naturali

Come indicato nella definizione del logaritmo, la sua base può essere qualsiasi numero positivo tranne uno \((a>0, a\neq1)\). E tra tutte le basi possibili, ce ne sono due che ricorrono così spesso che con esse è stata inventata una speciale notazione breve per i logaritmi:

Logaritmo naturale: un logaritmo la cui base è il numero di Eulero \(e\) (uguale a circa \(2.7182818…\)), e il logaritmo è scritto come \(\ln(a)\).

Cioè, \(\ln(a)\) è uguale a \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimale: un logaritmo la cui base è 10 è scritto \(\lg(a)\).

Cioè, \(\lg(a)\) è uguale a \(\log_(10)(a)\), dove \(a\) è un numero.

Identità logaritmica di base

I logaritmi hanno molte proprietà. Uno di questi si chiama "Identità logaritmica di base" e si presenta così:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Questa proprietà segue direttamente dalla definizione. Vediamo come è apparsa esattamente questa formula.

Ricordiamo la breve definizione del logaritmo:

se \(a^(b)=c\), allora \(\log_(a)(c)=b\)

Cioè, \(b\) è uguale a \(\log_(a)(c)\). Quindi possiamo scrivere \(\log_(a)(c)\) invece di \(b\) nella formula \(a^(b)=c\) . Si è scoperto \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identità logaritmica principale.

Puoi trovare il resto delle proprietà dei logaritmi. Con il loro aiuto, puoi semplificare e calcolare i valori delle espressioni con i logaritmi, che sono difficili da calcolare direttamente.

Esempio : Trova il valore dell'espressione \(36^(\log_(6)(5))\)

Decisione :

Risposta : \(25\)

Come scrivere un numero come logaritmo?

Come accennato in precedenza, qualsiasi logaritmo è solo un numero. È vero anche il contrario: qualsiasi numero può essere scritto come un logaritmo. Ad esempio, sappiamo che \(\log_(2)(4)\) è uguale a due. Quindi puoi scrivere \(\log_(2)(4)\) invece di due.

Ma \(\log_(3)(9)\) è anche uguale a \(2\), quindi puoi anche scrivere \(2=\log_(3)(9)\) . Allo stesso modo con \(\log_(5)(25)\), e con \(\log_(9)(81)\), ecc. Cioè, si scopre

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Quindi, se necessario, possiamo scrivere i due come un logaritmo con qualsiasi base ovunque (anche in un'equazione, anche in un'espressione, anche in una disuguaglianza) - scriviamo semplicemente la base quadrata come argomento.

È lo stesso con un triplo: può essere scritto come \(\log_(2)(8)\), o come \(\log_(3)(27)\), o come \(\log_(4)( 64) \) ... Qui scriviamo la base nel cubo come argomento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E con quattro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E con meno uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

E con un terzo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualsiasi numero \(a\) può essere rappresentato come un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esempio : Trova il valore di un'espressione \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Decisione :

Risposta : \(1\)

    Iniziamo con proprietà del logaritmo dell'unità. La sua formulazione è la seguente: il logaritmo dell'unità è uguale a zero, cioè log a 1=0 per ogni a>0 , a≠1 . La dimostrazione è semplice: poiché a 0 =1 per ogni a che soddisfa le condizioni di cui sopra a>0 e a≠1 , allora l'uguaglianza provata log a 1=0 segue immediatamente dalla definizione del logaritmo.

    Diamo esempi di applicazione della proprietà considerata: log 3 1=0 , lg1=0 e .

    Passiamo alla proprietà successiva: il logaritmo di un numero uguale alla base è uguale a uno, cioè, log a a=1 per a>0 , a≠1 . Infatti, poiché a 1 =a per ogni a , allora per la definizione del logaritmo log a a=1 .

    Esempi di utilizzo di questa proprietà dei logaritmi sono log 5 5=1 , log 5.6 5.6 e lne=1 .

    Ad esempio, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 e .

    Logaritmo del prodotto di due numeri positivi xey è uguale al prodotto dei logaritmi di questi numeri: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dimostriamo la proprietà del logaritmo del prodotto. Per le proprietà del grado a log a x+log a y =a log a x a log a y, e poiché per l'identità logaritmica principale a log a x =x e a log a y =y , allora a log a x a log a y =x y . Quindi, un log a x+log a y =x y , da cui l'uguaglianza richiesta segue dalla definizione del logaritmo.

    Mostriamo esempi di utilizzo della proprietà del logaritmo del prodotto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

    La proprietà del logaritmo prodotto può essere generalizzata al prodotto di un numero finito n di numeri positivi x 1 , x 2 , …, x n come log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Questa uguaglianza è facilmente dimostrabile.

    Ad esempio, il logaritmo naturale di un prodotto può essere sostituito dalla somma di tre logaritmi naturali dei numeri 4 , e e .

    Logaritmo del quoziente di due numeri positivi xey è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri. La proprietà del logaritmo quoziente corrisponde a una formula della forma , dove a>0 , a≠1 , xey sono alcuni numeri positivi. La validità di questa formula si dimostra come la formula per il logaritmo del prodotto: poiché , quindi per la definizione del logaritmo.

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà del logaritmo: .

    Passiamo a proprietà del logaritmo di grado. Il logaritmo di un grado è uguale al prodotto dell'esponente e il logaritmo del modulo della base di questo grado. Scriviamo questa proprietà del logaritmo del grado sotto forma di formula: log a b p =p log a |b|, dove a>0 , a≠1 , b e p sono numeri tali che il grado di b p ha senso e b p >0 .

    Dimostriamo prima questa proprietà per b positivo. L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come un log a b , quindi b p =(a log a b) p , e l'espressione risultante, per la proprietà power, è uguale a p log a b . Quindi arriviamo all'uguaglianza b p =a p log a b , dalla quale, per definizione del logaritmo, concludiamo che log a b p =p log a b .

    Resta da dimostrare questa proprietà per b negativo. Qui notiamo che l'espressione log a b p per b negativo ha senso solo per esponenti pari p (poiché il valore del grado b p deve essere maggiore di zero, altrimenti il ​​logaritmo non avrà senso), e in questo caso b p =|b| p . Quindi b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, da cui log a b p =p log a |b| .

    Per esempio, e ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

    Consegue dalla precedente proprietà proprietà del logaritmo dalla radice: il logaritmo della radice dell'ennesimo grado è uguale al prodotto della frazione 1/n e il logaritmo dell'espressione della radice, cioè , dove a>0 , a≠1 , n è un numero naturale maggiore di uno, b>0 .

    La dimostrazione si basa sull'uguaglianza (vedi ), che vale per ogni positivo b , e sulla proprietà del logaritmo del grado: .

    Ecco un esempio di utilizzo di questa proprietà: .

    Ora dimostriamo formula di conversione nella nuova base del logaritmo tipo . Per fare ciò è sufficiente provare la validità dell'uguaglianza log c b=log a b log c a . L'identità logaritmica di base ci permette di rappresentare il numero b come log a b , quindi log c b=log c a log a b . Resta da usare la proprietà del logaritmo del grado: log c a log a b = log a b log c a. Si dimostra quindi l'uguaglianza log c b=log a b log c a, il che significa che si dimostra anche la formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo.

    Mostriamo un paio di esempi di applicazione di questa proprietà dei logaritmi: e .

    La formula per passare a una nuova base consente di passare a lavorare con logaritmi che hanno una base “conveniente”. Ad esempio, può essere utilizzato per andare ai logaritmi naturali o decimali in modo da poter calcolare il valore del logaritmo dalla tabella dei logaritmi. La formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo permette anche in alcuni casi di trovare il valore di un dato logaritmo, quando sono noti i valori di alcuni logaritmi con altre basi.

    Viene spesso utilizzato un caso speciale della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo per c=b della forma . Questo mostra che log a b e log b a – . Per esempio, .

    Anche spesso usata è la formula , utile per trovare i valori dei logaritmi. A conferma delle nostre parole, mostreremo come viene calcolato il valore del logaritmo del modulo utilizzando esso. abbiamo . Per dimostrare la formula basta usare la formula di transizione alla nuova base del logaritmo a: .

    Resta da dimostrare le proprietà di confronto dei logaritmi.

    Dimostriamo che per tutti i numeri positivi b 1 e b 2 , b 1 log a b 2 , e per a>1, la disuguaglianza log a b 1

    Infine, resta da provare l'ultima delle proprietà elencate dei logaritmi. Ci limitiamo a dimostrare la sua prima parte, cioè dimostriamo che se a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 è vero log a 1 b>log a 2 b . Le restanti affermazioni di questa proprietà dei logaritmi sono dimostrate da un principio simile.

    Usiamo il metodo opposto. Supponiamo che per a 1 >1 , a 2 >1 e a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b è vero. Per le proprietà dei logaritmi, queste disuguaglianze possono essere riscritte come e rispettivamente, e da essi segue che log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, rispettivamente. Quindi, per le proprietà delle potenze aventi le stesse basi, devono essere soddisfatte le uguaglianze b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2, cioè a 1 ≥a 2 . Quindi, siamo arrivati ​​a una contraddizione con la condizione a 1

Bibliografia.

  • Kolmogorov AN, Abramov AM, Dudnitsyn Yu.P. e altri Algebra e gli inizi dell'analisi: un libro di testo per i gradi 10-11 delle istituzioni educative generali.
  • Gusev VA, Mordkovich AG Matematica (un manuale per i candidati alle scuole tecniche).

Logaritmo di b (b > 0) in base a (a > 0, a ≠ 1)è l'esponente a cui devi aumentare il numero a per ottenere b.

Il logaritmo in base 10 di b può essere scritto come registro (b), e il logaritmo in base e (logaritmo naturale) - ln(b).

Spesso usato per risolvere problemi con i logaritmi:

Proprietà dei logaritmi

Ci sono quattro principali proprietà dei logaritmi.

Sia a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.

Proprietà 1. Logaritmo del prodotto

Logaritmo del prodottoè uguale alla somma dei logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietà 2. Logaritmo del quoziente

Logaritmo del quozienteè uguale alla differenza dei logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietà 3. Logaritmo del grado

Logaritmo dei gradiè uguale al prodotto del grado e del logaritmo:

Se la base del logaritmo è nell'esponente, si applica un'altra formula:

Proprietà 4. Logaritmo della radice

Questa proprietà si ottiene dalla proprietà del logaritmo del grado, poiché la radice dell'ennesimo grado è uguale alla potenza di 1/n:

La formula per passare da un logaritmo in una base a un logaritmo in un'altra base

Questa formula viene spesso utilizzata anche quando si risolvono vari compiti per i logaritmi:

Caso speciale:

Confronto di logaritmi (disequazioni)

Supponiamo di avere 2 funzioni f(x) e g(x) sotto logaritmi con le stesse basi e che vi sia un segno di disuguaglianza tra di loro:

Per confrontarli, devi prima guardare la base dei logaritmi a:

  • Se a > 0, allora f(x) > g(x) > 0
  • Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Come risolvere i problemi con i logaritmi: esempi

Compiti con logaritmi inclusi nell'USE in matematica per il grado 11 nel compito 5 e nel compito 7, puoi trovare compiti con soluzioni sul nostro sito Web nelle sezioni appropriate. Inoltre, i compiti con logaritmi si trovano nella banca dei compiti in matematica. Puoi trovare tutti gli esempi cercando nel sito.

Che cos'è un logaritmo

I logaritmi sono sempre stati considerati un argomento difficile nel corso di matematica della scuola. Esistono molte definizioni diverse del logaritmo, ma per qualche ragione la maggior parte dei libri di testo usa la più complessa e sfortunata di esse.

Definiremo il logaritmo in modo semplice e chiaro. Creiamo una tabella per questo:

Quindi, abbiamo poteri di due.

Logaritmi - proprietà, formule, come risolvere

Se prendi il numero dalla linea di fondo, puoi facilmente trovare la potenza a cui devi aumentare un due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi aumentare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi alzare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora - infatti, la definizione del logaritmo:

base a dell'argomento x è la potenza a cui il numero a deve essere elevato per ottenere il numero x.

Notazione: log a x \u003d b, dove a è la base, x è l'argomento, b è effettivamente ciò a cui è uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Potrebbe anche registrare 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.

Si chiama l'operazione di trovare il logaritmo di un numero in una data base. Quindi aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
registro 2 2 = 1 registro 2 4 = 2 registro 2 8 = 3 registro 2 16 = 4 registro 2 32 = 5 registro 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi sono considerati così facilmente. Ad esempio, prova a trovare il log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte nel segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tali numeri sono chiamati irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti indefinitamente e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta essere irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che il logaritmo è un'espressione con due variabili (base e argomento). All'inizio, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l'argomento. Per evitare fastidiosi malintesi, basta dare un'occhiata alla foto:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione del logaritmo. Ricordare: il logaritmo è la potenza, a cui è necessario aumentare la base per ottenere l'argomento. È la base che si eleva a potenza - nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico questa meravigliosa regola ai miei studenti fin dalla prima lezione - e non c'è confusione.

Come contare i logaritmi

Abbiamo capito la definizione: resta da imparare come contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "registro". Per cominciare, notiamo che dalla definizione derivano due fatti importanti:

  1. L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione del grado da parte di un esponente razionale, a cui si riduce la definizione del logaritmo.
  2. La base deve essere diversa dall'unità, poiché un'unità per qualsiasi potenza è ancora un'unità. Per questo motivo, la domanda "a quale potere bisogna essere elevati per averne due" non ha senso. Non esiste un tale grado!

Tali restrizioni sono chiamate intervallo valido(ODZ). Si scopre che la ODZ del logaritmo è simile a questa: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Si noti che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo) non viene imposto. Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0.5 = −1, perché 0,5 = 2 -1 .

Tuttavia, ora stiamo considerando solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere la ODZ del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dai compilatori dei problemi. Ma quando entrano in gioco le equazioni logaritmiche e le disuguaglianze, i requisiti DHS diventeranno obbligatori. In effetti, nella base e nell'argomentazione possono esserci costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Consideriamo ora lo schema generale per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre passaggi:

  1. Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base più piccola possibile maggiore di uno. Lungo la strada, è meglio eliminare le frazioni decimali;
  2. Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
  3. Il numero risultante b sarà la risposta.

È tutto! Se il logaritmo risulta essere irrazionale, lo si vedrà già al primo passaggio. Il requisito che la base sia maggiore di uno è molto rilevante: ciò riduce la probabilità di errore e semplifica notevolmente i calcoli. Allo stesso modo con le frazioni decimali: se le converti immediatamente in quelle ordinarie, ci saranno molte volte meno errori.

Vediamo come funziona questo schema con esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

  1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

    2. Facciamo e risolviamo l'equazione:
    log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

  2. Ha ricevuto una risposta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

  1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
  2. Facciamo e risolviamo l'equazione:
    log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
  3. Ha ricevuto una risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

  1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
  2. Facciamo e risolviamo l'equazione:
    log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
  3. Ha ricevuto una risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

  1. Rappresentiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non è rappresentato come una potenza di sette, perché 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. Ne consegue dal paragrafo precedente che il logaritmo non è considerato;
  3. La risposta non è cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come assicurarsi che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? Molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se ci sono almeno due fattori distinti nell'espansione, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se le potenze esatte del numero sono: 8; 48; 81; 35; quattordici.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - il grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 non è una potenza esatta perché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grado esatto;
35 = 7 5 - ancora una volta non un grado esatto;
14 \u003d 7 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Nota anche che i numeri primi stessi sono sempre potenze esatte di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni da avere un nome e una designazione speciali.

dell'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè la potenza a cui bisogna elevare 10 per ottenere x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; registro 100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando una frase come "Trova lg 0.01" appare nel libro di testo, sappi che questo non è un errore di battitura. Questo è il logaritmo decimale. Tuttavia, se non sei abituato a una tale designazione, puoi sempre riscriverla:
log x = log 10 x

Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i decimali.

logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha una propria notazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Questo è il logaritmo naturale.

dell'argomento x è il logaritmo in base e, cioè la potenza a cui il numero e deve essere elevato per ottenere il numero x. Designazione: lnx.

Molti si chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale, il suo valore esatto non può essere trovato e annotato. Ecco solo i primi numeri:
e = 2.718281828459…

Non approfondiremo cos'è questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, l'unità: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.

Guarda anche:

Logaritmo. Proprietà del logaritmo (potenza del logaritmo).

Come rappresentare un numero come un logaritmo?

Usiamo la definizione di logaritmo.

Il logaritmo è un indicatore della potenza a cui la base deve essere elevata per ottenere il numero sotto il segno del logaritmo.

Quindi, per rappresentare un certo numero c come un logaritmo alla base a, è necessario mettere un grado sotto il segno del logaritmo con la stessa base della base del logaritmo, e scrivere questo numero c nell'esponente :

Sotto forma di logaritmo, puoi rappresentare assolutamente qualsiasi numero: positivo, negativo, intero, frazionario, razionale, irrazionale:

Per non confondere a e c in condizioni stressanti di una prova o esame, puoi usare la seguente regola per ricordare:

ciò che è in basso scende, ciò che è in alto sale.

Ad esempio, vuoi rappresentare il numero 2 come un logaritmo in base 3.

Abbiamo due numeri: 2 e 3. Questi numeri sono la base e l'esponente, che scriveremo sotto il segno del logaritmo. Resta da determinare quale di questi numeri dovrebbe essere annotato, nella base del grado, e quale - in alto, nell'esponente.

La base 3 nel record del logaritmo è in basso, il che significa che quando rappresentiamo il due come un logaritmo in base di 3, scriveremo anche 3 in base.

2 è maggiore di 3. E nella notazione del grado scriviamo i due sopra i tre, cioè nell'esponente:

Logaritmi. Primo livello.

Logaritmi

logaritmo numero positivo b per ragione un, dove a > 0, a ≠ 1, è l'esponente a cui il numero deve essere elevato. un, Ottenere b.

Definizione di logaritmo si può scrivere brevemente così:

Questa uguaglianza è valida per b > 0, a > 0, a ≠ 1. Di solito viene chiamato identità logaritmica.
Si chiama l'azione di trovare il logaritmo di un numero logaritmo.

Proprietà dei logaritmi:

Il logaritmo del prodotto:

Logaritmo del quoziente dalla divisione:

Sostituzione della base del logaritmo:

Logaritmo dei gradi:

logaritmo della radice:

Logaritmo con base di potenza:





Logaritmi decimali e naturali.

Logaritmo decimale i numeri chiamano il logaritmo in base 10 di quel numero e scrivono   lg b
logaritmo naturale i numeri chiamano il logaritmo di questo numero alla base e, dove eè un numero irrazionale, approssimativamente uguale a 2,7. Allo stesso tempo, scrivono ln b.

Altre note di algebra e geometria

Proprietà di base dei logaritmi

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e convertiti in ogni modo possibile. Ma poiché i logaritmi non sono numeri ordinari, qui ci sono regole che vengono chiamate proprietà di base.

Queste regole devono essere conosciute - nessun serio problema logaritmico può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi

Considera due logaritmi con la stessa base: log a x e log a y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

  1. log a x + log a y = log a (x y);
  2. log a x - log a y = log a (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è - stessi motivi. Se le basi sono diverse, queste regole non funzionano!

Queste formule aiuteranno a calcolare l'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e guarda:

registro 6 4 + registro 6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, utilizziamo la formula della somma:
ceppo 6 4 + ceppo 6 9 = ceppo 6 (4 9) = ceppo 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
ceppo 2 48 - ceppo 2 3 = ceppo 2 (48: 3) = ceppo 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso, le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
ceppo 3 135 − ceppo 3 5 = ceppo 3 (135: 5) = ceppo 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono costituite da logaritmi "cattivi", che non vengono considerati separatamente. Ma dopo le trasformazioni risultano numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, controllo - espressioni simili in tutta serietà (a volte - praticamente senza modifiche) vengono offerte all'esame.

Eliminando l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. E se c'è un grado nella base o nell'argomento del logaritmo? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo comunque: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva il logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che è più spesso richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo il grado nell'argomento secondo la prima formula:
registro 7 49 6 = 6 registro 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Si noti che il denominatore è un logaritmo la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Hanno presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi sotto forma di gradi e hanno estratto gli indicatori: hanno ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore hanno lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione - 2/4 rimarranno al denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è la risposta: 2.

Passaggio a una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre logaritmi, ho sottolineato in modo specifico che funzionano solo con le stesse basi. E se le basi sono diverse? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova base vengono in soccorso. Le formuliamo sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo log a x. Allora per ogni numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se mettiamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula deriva che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è “rivoltata”, cioè il logaritmo è al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle normali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che non possono essere risolti affatto se non passando a una nuova fondazione. Consideriamo un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Si noti che gli argomenti di entrambi i logaritmi sono esponenti esatti. Estraiamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ceppo 2 25 = ceppo 2 5 2 = 2 ceppo 2 5;

Ora capovolgiamo il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo tranquillamente moltiplicato quattro e due, quindi abbiamo calcolato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo e sbarazziamoci degli indicatori:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come un logaritmo su una data base.

In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:

In effetti, cosa accadrà se il numero b è elevato a un livello tale che il numero b in questo grado dia il numero a? Esatto: questo è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone "si appendono" ad esso.

Come le nuove formule di conversione di base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il valore dell'espressione:

Nota che log 25 64 = log 5 8 - hai appena estratto il quadrato dalla base e l'argomento del logaritmo. Date le regole per moltiplicare potenze con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non è a conoscenza, questo è stato un vero compito dall'Esame di Stato unificato 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che è difficile chiamare proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze dalla definizione del logaritmo. Si trovano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

  1. log a a = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo su qualsiasi base a da quella base stessa è uguale a uno.
  2. log a 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a 0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

derivato dalla sua definizione. E quindi il logaritmo del numero b per ragione un definito come l'esponente a cui un numero deve essere elevato un per ottenere il numero b(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione ne consegue che il calcolo x=log a b, equivale a risolvere l'equazione ascia = b. Per esempio, registro 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 . La formulazione del logaritmo permette di giustificare che se b=a c, quindi il logaritmo del numero b per ragione unè uguale a insieme a. È anche chiaro che il tema del logaritmo è strettamente correlato al tema della potenza di un numero.

Con i logaritmi, come con qualsiasi numero, puoi eseguire operazioni di addizione, sottrazione e trasforma in ogni modo possibile. Ma in considerazione del fatto che i logaritmi non sono numeri ordinari, qui si applicano le loro regole speciali, che vengono chiamate proprietà di base.

Addizioni e sottrazioni di logaritmi.

Prendi due logaritmi con la stessa base: registro x e log a y. Quindi rimuovere è possibile eseguire operazioni di addizione e sottrazione:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

registro a(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = registro x 1 + registro x 2 + registro x 3 + ... + log a x k.

A partire dal teoremi del logaritmo quoziente si può ottenere un'altra proprietà del logaritmo. È noto quel registro un 1= 0, quindi

tronco d'albero un 1 /b= registro un 1 - registro a b= -log a b.

Quindi c'è un'uguaglianza:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi di due numeri reciprocamente reciproci sulla stessa base differiranno tra loro solo nel segno. Così:

Registro 3 9= - registro 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Consigliamo anche
Caricamento in corso...Caricamento in corso...