Angka berapa yang irasional. Bilangan rasional dan irasional

Definisi bilangan irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang, dalam notasi desimal, merupakan pecahan desimal non-periodik tak terhingga.

Misalnya, angka yang diperoleh dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan asli, adalah irasional dan bukan kuadrat dari bilangan asli. Tetapi tidak semua bilangan irasional diperoleh dengan mengekstraksi akar kuadrat, karena angka "pi" yang diperoleh dengan pembagian juga tidak rasional, dan Anda tidak mungkin mendapatkannya saat mencoba mengekstrak akar kuadrat dari bilangan asli.

Sifat-sifat bilangan irasional

Tidak seperti bilangan yang ditulis dalam pecahan desimal tak hingga, hanya bilangan irasional yang ditulis dalam pecahan desimal tak terbatas non-periodik.
Jumlah dua bilangan irasional non-negatif akhirnya bisa menjadi bilangan rasional.
Bilangan irasional mendefinisikan bagian Dedekind dalam himpunan bilangan rasional, di kelas bawah yang tidak memiliki jumlah yang besar, dan tidak ada yang lebih kecil di atas.
Setiap bilangan transendental nyata adalah irasional.
Semua bilangan irasional adalah aljabar atau transendental.
Himpunan bilangan irasional pada garis itu padat, dan di antara dua bilangannya tentu ada ir bilangan rasional.
Himpunan bilangan irasional tidak terbatas, tidak terhitung dan merupakan himpunan dari kategori ke-2.
Saat melakukan operasi aritmatika pada bilangan rasional, kecuali pembagian dengan 0, hasilnya akan menjadi bilangan rasional.
Ketika menambahkan bilangan rasional ke bilangan irasional, hasilnya selalu merupakan bilangan irasional.
Saat menambahkan bilangan irasional, kita bisa mendapatkan bilangan rasional sebagai hasilnya.
Himpunan bilangan irasional tidak genap.

Angka tidak irasional

Kadang-kadang cukup sulit untuk menjawab pertanyaan apakah suatu bilangan irasional, terutama dalam kasus di mana bilangan tersebut dalam bentuk pecahan desimal atau dalam bentuk ekspresi numerik, akar atau logaritma.

Oleh karena itu, tidak akan berlebihan untuk mengetahui angka mana yang tidak irasional. Jika kita mengikuti definisi bilangan irasional, maka kita sudah mengetahui bahwa bilangan rasional tidak mungkin irasional.

Bilangan irasional bukan:

Pertama, semua bilangan asli;
Kedua, bilangan bulat;
Ketiga, pecahan biasa;
Keempat, nomor campuran yang berbeda;
Kelima, ini adalah pecahan desimal periodik tak terbatas.

Selain semua di atas, setiap kombinasi bilangan rasional yang dilakukan oleh tanda-tanda operasi aritmatika, seperti +, -, , :, tidak dapat menjadi bilangan irasional, karena dalam hal ini hasil dari dua bilangan rasional juga akan menjadi bilangan rasional.

Sekarang mari kita lihat bilangan mana yang irasional:

Tahukah Anda tentang keberadaan klub penggemar di mana para penggemar fenomena matematika misterius ini mencari informasi lebih lanjut tentang Pi, mencoba mengungkap misterinya. Setiap orang yang hafal sejumlah angka Pi setelah titik desimal dapat menjadi anggota klub ini;

Tahukah Anda bahwa di Jerman, di bawah perlindungan UNESCO, ada istana Castadel Monte, berkat proporsinya Anda dapat menghitung Pi. Seluruh istana didedikasikan untuk nomor ini oleh Raja Frederick II.

Ternyata mereka mencoba menggunakan angka Pi dalam pembangunan Menara Babel. Tetapi kami sangat menyesal, hal ini menyebabkan runtuhnya proyek, karena pada saat itu perhitungan yang tepat dari nilai Pi tidak dipelajari secara memadai.

Penyanyi Kate Bush dalam disk barunya merekam sebuah lagu berjudul "Pi", di mana seratus dua puluh empat angka dari seri nomor terkenal 3, 141 terdengar ... ..

Himpunan semua bilangan asli dilambangkan dengan huruf N. Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung benda: 1,2,3,4, ... Dalam beberapa sumber, angka 0 juga disebut bilangan asli.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Z. Bilangan bulat adalah semua bilangan asli, nol dan bilangan negatif:

1,-2,-3, -4, …

Sekarang kita tambahkan ke himpunan semua bilangan bulat himpunan semua pecahan biasa: 2/3, 18/17, -4/5 dan seterusnya. Kemudian kita mendapatkan himpunan semua bilangan rasional.

Himpunan bilangan rasional

Himpunan semua bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan semua bilangan rasional (Q) adalah himpunan yang terdiri dari bilangan-bilangan berbentuk m/n, -m/n dan bilangan 0. Dalam sebagai n, m dapat berupa bilangan asli apa saja. Perlu dicatat bahwa semua bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal PERIODIC terbatas atau tak terbatas. Kebalikannya juga benar, bahwa setiap pecahan desimal periodik yang terbatas atau tak terbatas dapat ditulis sebagai bilangan rasional.

Tapi bagaimana dengan, misalnya, angka 2.0100100010…? Ini adalah desimal NON-PERIODIK tak terhingga. Dan itu tidak berlaku untuk bilangan rasional.

Dalam kursus aljabar sekolah, hanya bilangan real (atau real) yang dipelajari. Banyak dari semuanya bilangan asli dilambangkan dengan huruf R. Himpunan R terdiri dari semua bilangan rasional dan semua bilangan irasional.

Konsep bilangan irasional

Bilangan irasional adalah semua pecahan desimal non-periodik tak terbatas. Bilangan irasional tidak memiliki notasi khusus.

Misalnya, semua bilangan yang diperoleh dengan mengekstrak akar kuadrat dari bilangan asli yang bukan kuadrat dari bilangan asli akan menjadi irasional. (√2, 3, 5, 6, dll.).

Namun jangan mengira bahwa bilangan irasional diperoleh hanya dengan mengekstrak akar kuadrat. Misalnya, angka "pi" juga irasional, dan diperoleh dengan pembagian. Dan tidak peduli seberapa keras Anda mencoba, Anda tidak bisa mendapatkannya dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan asli apa pun.

Dengan segmen satuan panjang, matematikawan kuno sudah tahu: mereka tahu, misalnya, ketidaksebandingan diagonal dan sisi bujur sangkar, yang setara dengan irasionalitas angka.

irasional adalah:

Contoh Bukti Irasionalitas

Akar dari 2

Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, itu direpresentasikan sebagai pecahan yang tidak dapat direduksi, di mana dan adalah bilangan bulat. Mari kita kuadratkan persamaan yang seharusnya:

.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa genap, oleh karena itu, genap dan . Biarkan di mana keseluruhan. Kemudian

Oleh karena itu, genap, oleh karena itu, genap dan . Kami telah memperoleh itu dan genap, yang bertentangan dengan ireduksibilitas pecahan . Oleh karena itu, asumsi awal salah, dan merupakan bilangan irasional.

Logaritma biner dari angka 3

Asumsikan sebaliknya: itu rasional, yaitu, direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat. Sejak , dan dapat diambil positif. Kemudian

Tapi yang jelas, itu aneh. Kami mendapatkan kontradiksi.

e

Cerita

Konsep bilangan irasional secara implisit diadopsi oleh matematikawan India pada abad ke-7 SM, ketika Manawa (± 750 SM - ± 690 SM) menemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa bilangan asli, seperti 2 dan 61 tidak dapat dinyatakan secara eksplisit.

Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Hippasus dari Metapontus (c. 500 SM), seorang Pythagoras yang menemukan bukti ini dengan mempelajari panjang sisi pentagram. Pada zaman Pythagoras, diyakini bahwa ada satu satuan panjang, cukup kecil dan tidak dapat dibagi, yang merupakan bilangan bulat yang dimasukkan ke dalam segmen mana pun. Namun, Hippasus berpendapat bahwa tidak ada satuan panjang tunggal, karena asumsi keberadaannya mengarah pada kontradiksi. Dia menunjukkan bahwa jika sisi miring dari sebuah sama kaki segitiga siku-siku berisi sejumlah bilangan bulat dari segmen unit, maka angka ini harus genap dan ganjil pada saat yang sama. Buktinya terlihat seperti ini:

• Perbandingan panjang sisi miring dengan panjang kaki segitiga siku-siku sama kaki dapat dinyatakan sebagai sebuah:b, di mana sebuah dan b dipilih sekecil mungkin.
• Menurut teorema Pythagoras: sebuah² = 2 b².
• Karena sebuah² genap, sebuah harus genap (karena kuadrat dari bilangan ganjil akan menjadi ganjil).
• Karena sebuah:b tidak dapat direduksi b harus ganjil.
• Karena sebuah genap, menunjukkan sebuah = 2kamu.
• Kemudian sebuah² = 4 kamu² = 2 b².
• b² = 2 kamu², oleh karena itu b genap, maka b bahkan.
• Namun, telah terbukti bahwa b aneh. Kontradiksi.

Matematikawan Yunani menyebut rasio jumlah yang tidak dapat dibandingkan ini logos(tidak dapat diungkapkan), tetapi menurut legenda, Hippasus tidak dihormati. Ada legenda bahwa Hippasus membuat penemuan saat dalam perjalanan laut dan dibuang ke laut oleh Pythagoras lainnya "karena menciptakan elemen alam semesta, yang menyangkal doktrin bahwa semua entitas di alam semesta dapat direduksi menjadi bilangan bulat dan rasionya. " Penemuan Hippas mendahului matematika Pythagoras masalah serius, menghancurkan asumsi yang mendasari seluruh teori bahwa bilangan dan objek geometris adalah satu dan tak terpisahkan.

Lihat juga

Catatan

Sistem numerik
Perhitungan set	Bilangan asli () Bilangan bulat ()

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan, dimana . Q adalah himpunan semua bilangan rasional.

Bilangan rasional dibagi menjadi: positif, negatif dan nol.

Setiap bilangan rasional dapat dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Relasi "ke kiri" untuk titik sesuai dengan relasi "kurang dari" untuk koordinat titik-titik ini. Dapat dilihat bahwa setiap bilangan negatif kurang dari nol dan setiap bilangan positif; dari dua bilangan negatif, yang modulusnya lebih besar lebih kecil. Jadi, -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Setiap bilangan rasional dapat direpresentasikan sebagai pecahan periodik desimal. Sebagai contoh, .

Algoritma untuk operasi pada bilangan rasional mengikuti aturan tanda untuk operasi yang sesuai pada nol dan pecahan positif. Q melakukan pembagian selain pembagian dengan nol.

Setiap persamaan linier, yaitu persamaan bentuk ax+b=0, di mana , dapat dipecahkan pada himpunan Q, tetapi tidak ada persamaan kuadrat jenis , dapat dipecahkan dalam bilangan rasional. Tidak setiap titik pada garis koordinat memiliki titik rasional. Bahkan pada akhir abad ke-6 SM. n. e di sekolah Pythagoras, terbukti bahwa diagonal sebuah persegi tidak sepadan dengan tingginya, yang sama dengan pernyataan: "Persamaan tidak memiliki akar rasional." Semua hal di atas menyebabkan kebutuhan untuk memperluas himpunan Q, konsep bilangan irasional diperkenalkan. Tunjukkan himpunan bilangan irasional dengan huruf J .

Pada garis koordinat, semua titik yang tidak memiliki koordinat rasional memiliki koordinat irasional. , di mana r adalah himpunan bilangan real. secara universal penugasan bilangan real adalah desimal. Desimal periodik mendefinisikan bilangan rasional, dan desimal non-periodik mendefinisikan bilangan irasional. Jadi, 2,03 (52) adalah bilangan rasional, 2.03003000300003 ... (periode setiap angka berikut "3" ditulis satu nol lebih) adalah bilangan irasional.

Himpunan Q dan R memiliki sifat positif: antara dua bilangan rasional ada bilangan rasional, misalnya, ecoi a

Untuk setiap bilangan irasional α seseorang dapat menentukan aproksimasi rasional baik dengan kekurangan maupun kelebihan dengan akurasi apa pun: a< α

Operasi ekstraksi akar dari beberapa bilangan rasional mengarah ke bilangan irasional. Mengekstrak akar pangkat alami adalah operasi aljabar, mis. pengantarnya terhubung dengan solusi persamaan aljabar bentuk . Jika n ganjil, mis. n=2k+1, dimana , maka persamaan memiliki akar tunggal. Jika n genap, n=2k, dimana , maka untuk a=0 persamaan memiliki akar tunggal x=0, untuk a<0 корней нет, при a>0 memiliki dua akar yang berlawanan satu sama lain. Mengekstraksi akar adalah operasi kebalikan dari menaikkan ke kekuatan alami.

Akar aritmatika (singkatnya, akar) dari derajat ke-n dari bilangan non-negatif a adalah bilangan non-negatif b, yang merupakan akar persamaan. Akar derajat ke-n dari bilangan a dilambangkan dengan simbol. Untuk n=2, derajat akar 2 tidak ditunjukkan: .

Misalnya , karena 2 2 =4 dan 2>0; , karena 3 3 =27 dan 3>0; tidak ada karena -empat<0.

Untuk n=2k dan a>0, akar-akar persamaan (1) ditulis sebagai dan . Misalnya, akar persamaan x 2 \u003d 4 adalah 2 dan -2.

Untuk n ganjil, persamaan (1) memiliki akar tunggal untuk sembarang . Jika a≥0, maka - akar persamaan ini. Jika sebuah<0, то –а>0 dan - akar persamaan. Jadi, persamaan x 3 \u003d 27 memiliki akar.

Apa itu bilangan irasional? Mengapa mereka disebut demikian? Di mana mereka digunakan dan apa itu? Hanya sedikit yang bisa menjawab pertanyaan-pertanyaan ini tanpa ragu-ragu. Tetapi pada kenyataannya, jawaban untuk mereka cukup sederhana, meskipun tidak semua orang membutuhkannya dan dalam situasi yang sangat jarang.

Esensi dan sebutan

Bilangan irasional tidak berhingga non-periodik Kebutuhan untuk memperkenalkan konsep ini disebabkan oleh kenyataan bahwa untuk memecahkan masalah baru yang muncul, konsep bilangan real atau real, integer, natural dan rasional yang sudah ada sebelumnya tidak lagi cukup. Misalnya, untuk menghitung kuadrat dari 2, Anda perlu menggunakan desimal tak terbatas yang tidak berulang. Selain itu, banyak persamaan paling sederhana juga tidak memiliki solusi tanpa memperkenalkan konsep bilangan irasional.

Himpunan ini dilambangkan sebagai I. Dan, seperti yang sudah jelas, nilai-nilai ini tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan sederhana, di mana pembilangnya akan ada bilangan bulat, dan di penyebutnya -

Untuk pertama kalinya, dengan satu atau lain cara, matematikawan India menemukan fenomena ini pada abad ke-7, ketika ditemukan bahwa akar kuadrat dari beberapa besaran tidak dapat ditunjukkan secara eksplisit. Dan bukti pertama tentang keberadaan angka-angka tersebut dikaitkan dengan Hippasus Pythagoras, yang melakukan ini dalam proses mempelajari segitiga siku-siku sama kaki. Kontribusi serius untuk mempelajari himpunan ini dibuat oleh beberapa ilmuwan lain yang hidup sebelum zaman kita. Pengenalan konsep bilangan irasional memerlukan revisi sistem matematika yang ada, itulah sebabnya mereka sangat penting.

asal nama

Jika rasio dalam bahasa Latin adalah "pecahan", "rasio", maka awalan "ir"
memberikan arti kata yang berlawanan. Dengan demikian, nama himpunan angka-angka ini menunjukkan bahwa mereka tidak dapat dikorelasikan dengan bilangan bulat atau pecahan, mereka memiliki tempat yang terpisah. Ini mengikuti dari sifat mereka.

Tempatkan dalam klasifikasi umum

Bilangan irasional, bersama dengan bilangan rasional, termasuk dalam kelompok bilangan real atau real, yang pada gilirannya kompleks. Tidak ada himpunan bagian, namun, ada varietas aljabar dan transendental, yang akan dibahas di bawah.

Properti

Karena bilangan irasional adalah bagian dari himpunan bilangan real, semua sifat mereka yang dipelajari dalam aritmatika (mereka juga disebut hukum aljabar dasar) berlaku untuk mereka.

a + b = b + a (komutatif);

(a + b) + c = a + (b + c) (asosiasi);

a + (-a) = 0 (adanya bilangan yang berlawanan);

ab = ba (hukum perpindahan);

(ab)c = a(bc) (distribusi);

a(b+c) = ab + ac (hukum distributif);

a x 1/a = 1 (adanya bilangan terbalik);

Perbandingan juga dilakukan sesuai dengan hukum dan prinsip umum:

Jika a > b dan b > c, maka a > c (transitivitas relasi) dan. dll.

Tentu saja, semua bilangan irasional dapat diubah menggunakan dasar operasi aritmatika. Tidak ada aturan khusus untuk ini.

Selain itu, aksioma Archimedes meluas ke bilangan irasional. Dikatakan bahwa untuk sembarang dua besaran a dan b, pernyataan benar bahwa dengan mengambil a sebagai suku kali cukup, adalah mungkin untuk melampaui b.

Penggunaan

Terlepas dari kenyataan bahwa di kehidupan biasa tidak begitu sering Anda harus berurusan dengan mereka, bilangan irasional tidak dapat dihitung. Ada banyak dari mereka, tetapi mereka hampir tidak terlihat. Kita dikelilingi oleh bilangan irasional di mana-mana. Contoh yang familiar bagi semua adalah pi, yaitu 3.1415926... atau e, yang pada dasarnya adalah basis logaritma natural, 2.718281828... Dalam aljabar, trigonometri, dan geometri, Anda harus menggunakannya setiap saat. Omong-omong, arti terkenal dari "bagian emas", yaitu, rasio bagian yang lebih besar ke bagian yang lebih kecil, dan sebaliknya, juga

milik himpunan ini. Kurang dikenal "perak" - juga.

Pada garis bilangan, mereka terletak sangat padat, sehingga antara dua kuantitas yang terkait dengan himpunan rasional, yang irasional pasti terjadi.

Masih banyak masalah yang belum terselesaikan terkait dengan set ini. Ada kriteria seperti ukuran irasionalitas dan normalitas suatu bilangan. Matematikawan terus memeriksa contoh yang paling signifikan untuk milik mereka ke dalam satu kelompok atau yang lain. Misalnya, dianggap bahwa e adalah bilangan normal, yaitu, peluang munculnya angka yang berbeda dalam entrinya adalah sama. Adapun pi, penelitian masih berlangsung mengenai hal itu. Ukuran irasionalitas adalah nilai yang menunjukkan seberapa baik bilangan tertentu dapat didekati dengan bilangan rasional.

Aljabar dan transendental

Seperti yang telah disebutkan, bilangan irasional secara kondisional dibagi menjadi aljabar dan transendental. Secara kondisional, karena, sebenarnya, klasifikasi ini digunakan untuk membagi himpunan C.

Di bawah penunjukan ini, bilangan kompleks disembunyikan, yang mencakup bilangan real atau real.

Jadi, nilai aljabar adalah nilai yang merupakan akar dari polinomial yang tidak identik sama dengan nol. Misalnya, akar kuadrat dari 2 termasuk dalam kategori ini karena merupakan solusi dari persamaan x 2 - 2 = 0.

Semua bilangan real lain yang tidak memenuhi kondisi ini disebut transendental. Varietas ini juga termasuk contoh yang paling terkenal dan telah disebutkan - bilangan pi dan basis logaritma natural e.

Menariknya, tidak satu pun atau yang kedua awalnya disimpulkan oleh matematikawan dalam kapasitas ini, irasionalitas dan transendensi mereka terbukti bertahun-tahun setelah penemuan mereka. Untuk pi, pembuktian diberikan pada tahun 1882 dan disederhanakan pada tahun 1894, yang mengakhiri kontroversi 2.500 tahun tentang masalah kuadrat lingkaran. Ini masih belum sepenuhnya dipahami, jadi matematikawan modern memiliki sesuatu untuk dikerjakan. Omong-omong, perhitungan pertama yang cukup akurat dari nilai ini dilakukan oleh Archimedes. Di hadapannya, semua perhitungan terlalu mendekati.

Untuk e (bilangan Euler atau Napier), bukti transendensinya ditemukan pada tahun 1873. Digunakan untuk menyelesaikan persamaan logaritma.

Contoh lain termasuk nilai sinus, cosinus, dan tangen untuk setiap nilai aljabar bukan nol.