Խորանարդի արմատի ֆունկցիայի գրաֆիկը. Հզորության ֆունկցիա և արմատներ - սահմանում, հատկություններ և բանաձևեր

Տղերք, մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել ուժային ֆունկցիաները։ Այսօրվա դասի թեման կլինի ֆունկցիա՝ x-ի խորանարդ արմատը: Ի՞նչ է խորանարդի արմատը: y թիվը կոչվում է x-ի խորանարդի արմատ (երրորդ աստիճանի արմատ), եթե հավասարությունը կատարվում է. Նշեք, որտեղ x-ը ռադիկալ թիվն է, 3-ը՝ աստիճանը:

Ինչպես տեսնում ենք, խորանարդի արմատը կարելի է հանել նաև բացասական թվերից։ Ստացվում է, որ մեր արմատը գոյություն ունի բոլոր թվերի համար։ Բացասական թվի երրորդ արմատը հավասար է բացասական թվի։ Երբ բարձրացվում է կենտ հզորության, նշանը պահպանվում է, երրորդ ուժը կենտ է: Եկեք ստուգենք հավասարությունը. Մենք երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնում ենք երրորդ աստիճանի Այնուհետև կամ Արմատների նշումով մենք ստանում ենք ցանկալի ինքնությունը:

Տղերք, եկեք հիմա գծենք մեր գործառույթը: 1) Սահմանման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է: 2) Ֆունկցիան կենտ է, քանի որ Next մենք մեր ֆունկցիան համարում ենք x 0, որից հետո արտացոլում ենք գրաֆիկը սկզբնաղբյուրի նկատմամբ։ 3) Ֆունկցիան մեծանում է x 0-ով: Մեր ֆունկցիայի համար արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, ինչը նշանակում է աճ: 4) Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից: Փաստորեն, ամեն ինչից մեծ թվովմենք կարող ենք հաշվարկել երրորդ աստիճանի արմատը և կարող ենք շարժվել դեպի անսահմանություն՝ գտնելով փաստարկի ավելի մեծ արժեքներ։ 5) x 0-ի համար ամենափոքր արժեքը 0 է: Այս հատկությունն ակնհայտ է:

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի մեր գրաֆիկը սահմանման ողջ տիրույթի վրա: Հիշեք, որ մեր ֆունկցիան տարօրինակ է: Ֆունկցիայի հատկությունները. 1) D(y)=(-;+) 2) տարօրինակ գործառույթ. 3) Աճում է (-;+) 4) Անսահմանափակ: 5) Չկա նվազագույն կամ առավելագույն արժեք: 6) Գործառույթը շարունակական է ամբողջ իրական գծի վրա: 7) E (y) \u003d (-; +): 8) Ուռուցիկ ներքև՝ (-; 0), ուռուցիկ վերև՝ (0; +):

Օրինակ. Գրեք ֆունկցիան և կարդացեք այն: Որոշում. Եկեք նույն կոորդինատային հարթության վրա կառուցենք ֆունկցիաների երկու գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով մեր պայմանները։ x-1-ում մենք կառուցում ենք խորանարդի արմատի գրաֆիկ, x-1-ում՝ գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ: 1) D(y)=(-;+) 2) Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ: 3) Նվազում է (-;-1-ով), մեծանում է (-1;+) 4) Վերևից անսահմանափակ, ներքևից սահմանափակված: 5) Ամենամեծ արժեքոչ Նվազագույն արժեքըհավասար է մինուս մեկ: 6) Գործառույթը շարունակական է ամբողջ իրական գծի վրա: 7) E(y)= (-1;+)

Ներածության փոխարեն

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների (CSE) և ուսումնական միջոցների (մուլտիմեդիա տախտակ) օգտագործումը դասերին օգնում է ուսուցչին պլանավորել և անցկացնել արդյունավետ դասեր, ստեղծել պայմաններ ուսանողների համար հասկանալու, մտապահելու և կիրառելու հմտությունները:

Դասը դինամիկ և հետաքրքիր է ստացվում, եթե դասի ընթացքում համատեղում եք ուսուցման տարբեր ձևեր։

Ժամանակակից դիդակտիկայի մեջ կան չորս ընդհանուր կազմակերպչական ձևերըսովորում:

• անհատապես միջնորդավորված;
• գոլորշու սենյակ;
• խումբ;

կոլեկտիվ (զույգերով փոխարինելի կազմով): (Dyachenko V.K. Ժամանակակից դիդակտիկա. - M .: Ազգային կրթություն, 2005):

Ավանդական դասին, որպես կանոն, օգտագործվում են վերը թվարկված կրթության միայն առաջին երեք կազմակերպչական ձևերը: կոլեկտիվ ձևդասավանդումը (զույգ հերթափոխով աշխատանք) գործնականում չի օգտագործվում ուսուցչի կողմից. Այնուամենայնիվ, ուսուցման այս կազմակերպչական ձևը թիմին հնարավորություն է տալիս վերապատրաստել յուրաքանչյուրին և բոլորին ակտիվորեն մասնակցել մյուսների վերապատրաստմանը: Կոլեկտիվ կրթության ձևն առաջատարն է ԿՍՊ տեխնոլոգիայի մեջ։

Կոլեկտիվ ուսուցման տեխնոլոգիայի ամենատարածված մեթոդներից մեկը «Փոխադարձ ուսուցման» մեթոդն է։

Այս «կախարդական» տեխնիկան լավ է ցանկացած առարկայի և ցանկացած դասի համար: Նպատակը մարզումն է։

Թրեյնինգը ինքնատիրապետման շարունակողն է, այն օգնում է ուսանողին իր կապը հաստատել ուսումնասիրվող առարկայի հետ՝ հեշտացնելով ճիշտ քայլեր-գործողություններ գտնելը։ Գիտելիքների ձեռքբերման, համախմբման, վերախմբավորման, վերանայման, կիրառման դասընթացների միջոցով տեղի է ունենում մարդու ճանաչողական կարողությունների զարգացում: (Yanovitskaya E.V. Ինչպես դասավանդել և սովորել դասարանում, որպեսզի ցանկանաք սովորել. Տեղեկագիրք. - Սանկտ Պետերբուրգ. Ուսումնական նախագծեր, Մ.: Հրատարակիչ Ա.Մ. Քուշնիր, 2009.-էջ 14;131)

Դա կօգնի արագ կրկնել ցանկացած կանոն, հիշել ուսումնասիրված հարցերի պատասխանները, համախմբել անհրաժեշտ հմտությունը։ Մեթոդի համաձայն աշխատելու օպտիմալ ժամանակը 5-10 րոպե է։ Որպես կանոն, վերապատրաստման քարտերի վրա աշխատանքը կատարվում է բանավոր հաշվման ժամանակ, այսինքն՝ դասի սկզբում, բայց ուսուցչի հայեցողությամբ այն կարող է իրականացվել դասի ցանկացած փուլում՝ կախված դրա նպատակներից և կառուցվածքը։ Ուսուցման քարտում կարող է լինել 5-ից 10 պարզ օրինակ (հարցեր, առաջադրանքներ): Դասարանի յուրաքանչյուր աշակերտ ստանում է բացիկ: Քարտերը տարբեր են բոլորի համար կամ տարբեր են բոլորի համար «համախմբված ջոկատում» (նույն շարքում նստած երեխաներ): Համախմբված ջոկատը (խումբը) սովորողների ժամանակավոր համագործակցությունն է, որը ձևավորվում է որոշակի ուսումնական առաջադրանք կատարելու համար: (Yalovets T.V. Ուսուցչի խորացված վերապատրաստման մեջ դասավանդման հավաքական մեթոդի տեխնոլոգիա. Ուսումնական և մեթոդական ձեռնարկ. - Նովոկուզնեցկ: IPC Publishing House, 2005 թ. - P. 122)

Դասի նախագիծ թեմայի շուրջ «y= ֆունկցիան, դրա հատկությունները և գրաֆիկը»

Դասի նախագծում, որի թեման է. y= ֆունկցիան, դրա հատկությունները և գրաֆիկը»ներկայացված է փոխադարձ ուսուցման տեխնիկայի կիրառումը ավանդական և մուլտիմեդիա ուսումնական միջոցների կիրառման հետ միասին։

Դասի թեման. y= ֆունկցիա, դրա հատկությունները և գրաֆիկը”

Նպատակները:

• հսկողության աշխատանքների նախապատրաստում;
• ստուգելով ֆունկցիայի բոլոր հատկությունների իմացությունը և ֆունկցիայի գրաֆիկները գծելու և դրանց հատկությունները կարդալու կարողությունը:

Առաջադրանքներ. առարկայի մակարդակ.

գերառարկայական մակարդակ.

• սովորել վերլուծել գրաֆիկական տեղեկատվությունը;
• զարգացնել երկխոսություն վարելու ունակություն;
• զարգացնել ինտերակտիվ գրատախտակի հետ աշխատելու կարողություն և հմտություն՝ օգտագործելով գրաֆիկների հետ աշխատելու օրինակը.

Դասի կառուցվածքը	Ժամանակը
1. Ուսուցչի տեղեկատվության մուտքագրում (ITI)	5 րոպե.
2. Հիմնական գիտելիքների ակտուալացում՝ մեթոդաբանությամբ աշխատանք զույգ հերթափոխով “Փոխադարձ ուսուցում”	8 րոպե
3. Ծանոթություն «y= ֆունկցիան, նրա հատկությունները և գրաֆիկը» թեմային. ուսուցչի ներկայացում	8 րոպե
4. Նոր ուսումնասիրված և արդեն անցած նյութի համախմբում «Գործառույթ» թեմայով. օգտագործելով ինտերակտիվ գրատախտակ	15 րոպե.
5. Ինքնավերահսկում : թեստի տեսքով	7 րոպե
6. Ամփոփում, տնային աշխատանքների ձայնագրում.	2 րոպե.

Եկեք մանրամասն նայենք յուրաքանչյուր փուլի բովանդակությանը:

1. Ուսուցչի տեղեկատվության մուտքագրումը (ITI) ներառում է Կազմակերպման ժամանակ; թեմայի, նպատակի և դասի պլանի բարձրաձայնում; զույգերով աշխատանքի նմուշի ցուցադրում ըստ փոխպատրաստման մեթոդի.

Դասի այս փուլում ուսանողների կողմից աշխատանքի նմուշի ցուցադրումը զույգերով խորհուրդ է տրվում կրկնել մեզ անհրաժեշտ տեխնիկայի աշխատանքի ալգորիթմը, քանի որ. Դասի հաջորդ փուլում դրա վրա նախատեսվում է ամբողջ դասարանի թիմի աշխատանքը: Միաժամանակ կարող եք անվանել աշխատանքի սխալներն ըստ ալգորիթմի (եթե այդպիսիք կան), ինչպես նաև գնահատել այս ուսանողների աշխատանքը։

2. Հղման գիտելիքների ակտուալացումն իրականացվում է հերթափոխային կազմի զույգերով՝ ըստ փոխպատրաստման մեթոդի:

Մեթոդաբանության ալգորիթմը ներառում է ուսուցման անհատական, զույգ (ստատիկ զույգեր) և կոլեկտիվ (հերթափոխային կազմի զույգեր) կազմակերպչական ձևերը։

Անհատական. յուրաքանչյուր ոք, ով ստանում է քարտը, ծանոթանում է դրա բովանդակությանը (կարդում է քարտի ետևում գտնվող հարցերն ու պատասխանները):

• առաջին(«սովորողի» դերում) կարդում է առաջադրանքը և պատասխանում գործընկերոջ քարտի հարցերին.
• երկրորդ(«մարզչի» դերում) - ստուգում է քարտի հետևի պատասխանների ճիշտությունը.
• նմանապես աշխատել մեկ այլ քարտի վրա, փոխելով դերերը.
• անհատական ​​թերթիկում նշում կատարել և փոխել քարտերը.
• անցնել նոր զույգի:

Հավաքական:

• Նոր զույգում նրանք աշխատում են այնպես, ինչպես առաջինում; անցում դեպի նոր զույգ և այլն:

Անցումների քանակը կախված է ուսուցչի կողմից հատկացված ժամանակից այս փուլըդաս՝ յուրաքանչյուր ուսանողի և համագործակցության մեջ գտնվող գործընկերների ջանասիրությունից և արագ ըմբռնումից:

Զույգերով աշխատելուց հետո աշակերտները նշումներ են կատարում գրանցամատյանների վրա, ուսուցիչը կատարում է աշխատանքի քանակական և որակական վերլուծություն:

Ցուցակը կարող է այսպիսի տեսք ունենալ.

Իվանով Պետյա 7 «բ» դաս

ամիսը, ամսաթիվը	Քարտի համար	Սխալների քանակը	Ո՞ւմ հետ եք աշխատել
20.12.09	№7	0	Սիդորով Կ.
	№3	2	Պետրովա Մ.
	№2	1	Սամոյլովա Զ.

3. «Յ = ֆունկցիան, նրա հատկությունները և գրաֆիկը» թեմային ծանոթությունը ուսուցչի կողմից իրականացվում է մուլտիմեդիա ուսուցման գործիքների միջոցով ներկայացման ձևով (հավելված 4): Սա մի կողմից վիզուալիզացիայի տարբերակ է, որը հասկանալի է ժամանակակից ուսանողներին, մյուս կողմից՝ ժամանակ է խնայում նոր նյութը բացատրելու վրա։

4. Նոր ուսումնասիրված և արդեն անցած նյութի համախմբում «Գործառույթ ” կազմակերպված երկու տարբերակով՝ ավանդական ուսումնական միջոցների (տախտակ, դասագիրք) և նորարարական (ինտերակտիվ գրատախտակ) օգտագործմամբ։

Նախ՝ դասագրքից առաջարկվում են մի քանի առաջադրանքներ՝ նոր ուսումնասիրված նյութը համախմբելու համար։ Օգտագործված է դասավանդման համար օգտագործվող դասագիրքը։ Աշխատանքն իրականացվում է ամբողջ դասարանի հետ միաժամանակ։ Այս դեպքում մեկ ուսանող կատարում է «ա» առաջադրանքը՝ ավանդական գրատախտակի վրա. մյուսը ինտերակտիվ գրատախտակին «բ» առաջադրանքն է, մնացած աշակերտները նոթատետրում գրում են նույն առաջադրանքների լուծումները և դրանց լուծումը համեմատում գրատախտակների վրա ներկայացված լուծման հետ: Այնուհետև ուսուցիչը գրատախտակի մոտ գնահատում է ուսանողների աշխատանքը:

Այնուհետև «Ֆունկցիա» թեմայով ուսումնասիրված նյութն ավելի արագ համախմբելու համար առաջարկվում է ճակատային աշխատանք ինտերակտիվ գրատախտակով, որը կարելի է կազմակերպել հետևյալ կերպ.

• առաջադրանքը և ժամանակացույցը հայտնվում են ինտերակտիվ գրատախտակում.
• ուսանողը, ով ցանկանում է պատասխանել, գնում է գրատախտակ, կատարում է անհրաժեշտ կոնստրուկցիաները և բարձրաձայնում պատասխանը.
• գրատախտակին հայտնվում է նոր առաջադրանք և նոր ժամանակացույց.
• Մեկ այլ ուսանող դուրս է գալիս պատասխանելու.

Այսպիսով, կարճ ժամանակահատվածում հնարավոր է լուծել բավականին շատ խնդիրներ, գնահատել ուսանողների պատասխանները։ Որոշ հետաքրքրություն ներկայացնող առաջադրանքներ (նման են գալիք առաջադրանքները վերահսկողական աշխատանք), կարելի է գրանցել նոթատետրում։

5. Ինքնտիրապետման փուլում ուսանողներին առաջարկվում է թեստ, որին հաջորդում է ինքնաքննությունը (հավելված 3):

գրականություն

1. Դյաչենկոն, Վ.Կ. Ժամանակակից դիդակտիկա [Տեքստ] / V.K. Դյաչենկո - Մ.: Հանրային կրթություն, 2005 թ.
2. Յալովեց, Տ.Վ. Ուսուցչի մասնագիտական ​​\u200b\u200bզարգացման մեջ ուսուցման կոլեկտիվ մեթոդի տեխնոլոգիա. Ուսումնական և մեթոդական ձեռնարկ [Տեքստ] / T.V. Յալովեց. - Նովոկուզնեցկ: IPC հրատարակչություն, 2005 թ.
3. Յանովիցկայա, Է.Վ. Ինչպես դասավանդել և սովորել դասարանում, որպեսզի ցանկանաս սովորել: Տեղեկագիրք [Տեքստ] / E.V. Yanovitskaya. - Սանկտ Պետերբուրգ. Կրթական նախագծեր, Մ.: Հրատարակիչ Ա.Մ. Քուշնիր, 2009 թ.

«Հզորության ֆունկցիաներ.Խորանարդ արմատ.Խորանարդ արմատի հատկությունները» թեմայով դաս և ներկայացում.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ «Ինտեգրալ» առցանց խանութում 9-րդ դասարանի համար
Կրթահամալիր 1Գ՝ «Հանրահաշվական խնդիրներ պարամետրերով, 9-11 դասարաններ» Ծրագրային միջավայր «1C՝ մաթեմատիկական կոնստրուկտոր 6.0».

Հզորության ֆունկցիայի սահմանում` խորանարդի արմատ

Տղերք, մենք շարունակում ենք ուսումնասիրել ուժային ֆունկցիաները։ Այսօր մենք խոսելու ենք x ֆունկցիայի Cube Root-ի մասին:
Ի՞նչ է խորանարդի արմատը:
Y թիվը կոչվում է x-ի խորանարդի արմատ (երրորդ աստիճանի արմատ), եթե $y^3=x$-ը ճշմարիտ է:
Դրանք նշվում են $\sqrt(x)$-ով, որտեղ x-ը արմատային թիվն է, 3-ը՝ ցուցիչը։
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Ինչպես տեսնում ենք, խորանարդի արմատը կարելի է հանել նաև բացասական թվերից։ Ստացվում է, որ մեր արմատը գոյություն ունի բոլոր թվերի համար։
Բացասական թվի երրորդ արմատը հավասար է բացասական թվի։ Երբ բարձրացվում է կենտ հզորության, նշանը պահպանվում է, երրորդ ուժը կենտ է:

Եկեք ստուգենք հավասարությունը՝ $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$:
Թող $\sqrt((-x))=a$ և $\sqrt(x)=b$: Երկու արտահայտություններն էլ բարձրացնենք երրորդ ուժի։ $–x=a^3$ և $x=b^3$։ Այնուհետև $a^3=-b^3$ կամ $a=-b$: Արմատների նշումով մենք ստանում ենք ցանկալի ինքնությունը:

Խորանարդի արմատների հատկությունները

ա) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$:
բ) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$:

Ապացուցենք երկրորդ հատկությունը. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Մենք գտանք, որ խորանարդի $\sqrt(\frac(a)(b))$ թիվը հավասար է $\frac(a)(b)$-ի, այնուհետև այն հավասար է $\sqrt(\frac(a) (բ))$, որը և պետք էր ապացուցել:

Տղերք, եկեք գծենք մեր ֆունկցիայի գրաֆիկը:
1) Սահմանման տիրույթը իրական թվերի բազմությունն է:
2) Ֆունկցիան տարօրինակ է, քանի որ $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$: Հաջորդը, հաշվի առեք մեր ֆունկցիան $x≥0$-ի համար, այնուհետև արտացոլեք գրաֆիկը սկզբնաղբյուրի համեմատ:
3) Ֆունկցիան մեծանում է $х≥0$-ով: Մեր ֆունկցիայի համար արգումենտի ավելի մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին, ինչը նշանակում է մեծացում։
4) Գործառույթը չի սահմանափակվում վերեւից: Փաստորեն, կամայականորեն մեծ թվից դուք կարող եք հաշվարկել երրորդ աստիճանի արմատը, և մենք կարող ենք շարժվել դեպի անսահմանություն՝ գտնելով փաստարկի ավելի մեծ արժեքներ:
5) $x≥0$-ի համար ամենափոքր արժեքը 0 է: Այս հատկությունն ակնհայտ է:
Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկը ըստ կետերի x≥0-ի համար:

Եկեք կառուցենք ֆունկցիայի մեր գրաֆիկը սահմանման ողջ տիրույթի վրա: Հիշեք, որ մեր ֆունկցիան տարօրինակ է:

Ֆունկցիոնալ հատկություններ.
1) D(y)=(-∞;+∞):
2) Կենտ ֆունկցիա.
3) Աճում է (-∞;+∞):
4) անսահմանափակ:
5) Չկա նվազագույն կամ առավելագույն արժեք:

7) E(y)= (-∞;+∞):
8) Ուռուցիկ դեպի վար (-∞;0), ուռուցիկ դեպի վեր (0;+∞):

Հզորության ֆունկցիաների լուծման օրինակներ

Օրինակներ
1. Լուծե՛ք $\sqrt(x)=x$ հավասարումը։
Որոշում. Եկեք կառուցենք երկու գրաֆիկ նույն կոորդինատային հարթության վրա $y=\sqrt(x)$ և $y=x$:

Ինչպես տեսնում եք, մեր գրաֆիկները հատվում են երեք կետով:
Պատասխան՝ (-1;-1), (0;0), (1;1):

2. Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը: $y=\sqrt((x-2))-3$:
Որոշում. Մեր գրաֆիկը ստացվում է $y=\sqrt(x)$ ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ երկու միավոր աջ և երեք միավոր ներքև տեղափոխելով զուգահեռ։

3. Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկ և կարդացեք այն: $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$:
Որոշում. Եկեք նույն կոորդինատային հարթության վրա կառուցենք ֆունկցիաների երկու գրաֆիկ՝ հաշվի առնելով մեր պայմանները։ $х≥-1$-ի համար մենք կառուցում ենք խորանարդ արմատի գրաֆիկ, $х≤-1$-ի համար՝ գծային ֆունկցիայի գրաֆիկ։
1) D(y)=(-∞;+∞):
2) Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ:
3) Նվազում է (-∞;-1), մեծանում է (-1;+∞):
4) Վերևից անսահմանափակ, ներքևից սահմանափակ:
5) առավելագույն արժեք չկա: Ամենափոքր արժեքը մինուս մեկ է:
6) Գործառույթը շարունակական է ամբողջ իրական գծի վրա:
7) E(y)= (-1;+∞).

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Լուծե՛ք $\sqrt(x)=2-x$ հավասարումը։
2. Գրեք $y=\sqrt((x+1))+1$ ֆունկցիան:
3. Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը և կարդացեք այն: $\սկիզբ(դեպքեր)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(դեպքեր)$:

Տրված են հզորության ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները՝ ներառյալ արմատների բանաձևերը և հատկությունները։ Ներկայացված է հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ, ինտեգրալ, հզորության շարքի ընդլայնումը և ներկայացումը կոմպլեքս թվերի միջոցով։

Սահմանում

Սահմանում
Հզորության գործառույթցուցիչով p f ֆունկցիան է (x) = xp, որի արժեքը x կետում հավասար է արժեքին էքսպոնենցիալ ֆունկցիա x հիմքով p-ում:
Բացի այդ, զ (0) = 0 p = 0համար p > 0 .

Ցուցանիշի բնական արժեքների համար հզորության ֆունկցիան n թվերի արտադրյալն է, որը հավասար է x-ին.
.
Այն սահմանված է բոլոր իրական համար:

Ցուցանիշի դրական ռացիոնալ արժեքների համար հզորության ֆունկցիան m աստիճանի n արմատների արտադրյալն է x թվից.
.
Կենտ m-ի համար այն սահմանվում է բոլոր իրական x-ի համար: Նույնիսկ m-ի համար հզորության ֆունկցիան սահմանված է ոչ բացասականի համար:

Բացասականի համար հզորության ֆունկցիան սահմանվում է բանաձևով.
.
Հետևաբար, այն կետում սահմանված չէ:

p ցուցիչի իռացիոնալ արժեքների համար էքսպոնենցիալ ֆունկցիան որոշվում է բանաձևով.
,
որտեղ a-ն կամայական դրական թիվ է, ոչ մեկին հավասար: .
Համար, այն սահմանվում է.
Համար, հզորության ֆունկցիան սահմանված է .

Շարունակականություն. Հզորության ֆունկցիան շարունակական է իր սահմանման տիրույթում:

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները և բանաձևերը x ≥ 0-ի համար

Այստեղ մենք համարում ենք ուժային ֆունկցիայի հատկությունները ոչ-ի համար բացասական արժեքներփաստարկ x. Ինչպես նշվեց վերևում, p ցուցիչի որոշ արժեքների համար էքսպոնենցիալ ֆունկցիան սահմանվում է նաև x-ի բացասական արժեքների համար: Այս դեպքում նրա հատկությունները կարելի է ձեռք բերել ի հատկություններից՝ օգտագործելով զույգ կամ կենտ հավասարություն: Այս դեպքերը մանրամասն քննարկվում և պատկերված են «» էջում։

P ցուցիչով y = x p ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.
(1.1) սահմանված և շարունակական հավաքածուի վրա
ժամը,
ժամը ;
(1.2) շատ իմաստներ ունի
ժամը,
ժամը ;
(1.3) խստորեն ավելանում է,
խստորեն նվազում է;
(1.4) ժամը ;
ժամը ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Հատկությունների ապացույցը տրված է էջում » Հզորության ֆունկցիա (շարունակականության և հատկությունների ապացույց) »

Արմատներ - սահմանում, բանաձևեր, հատկություններ

Սահմանում
x-ի արմատը՝ n-ի հզորությամբայն թիվն է, որի n աստիճանի բարձրացումը տալիս է x.
.
Այստեղ n = 2, 3, 4, ... - բնական թիվ, մեկից մեծ։

Կարող եք նաև ասել, որ n աստիճանի x թվի արմատը հավասարման արմատն է (այսինքն՝ լուծումը).
.
Նկատի ունեցեք, որ ֆունկցիան ֆունկցիայի հակառակն է:

x-ի քառակուսի արմատը 2 աստիճանի արմատ է:

խորանարդի արմատ x թվից 3 աստիճանի արմատ է:

Նույնիսկ աստիճան

Զույգ հզորությունների համար n = 2 մ, արմատը սահմանվում է x ≥-ի համար 0 . Հաճախ օգտագործվող բանաձևը վավեր է և՛ դրական, և՛ բացասական x-ի համար.
.
Քառակուսի արմատի համար.
.

Այստեղ կարևոր է գործողությունների կատարման հաջորդականությունը, այսինքն՝ սկզբում կատարվում է քառակուսի, որի արդյունքում ստացվում է ոչ բացասական թիվ, այնուհետև դրանից հանվում է արմատը (ոչ բացասական թվից կարելի է հանել Քառակուսի արմատ): Եթե ​​փոխեինք հերթականությունը՝ , ապա x բացասականի համար արմատը կմնար անորոշ, և դրա հետ մեկտեղ ամբողջ արտահայտությունը կլիներ անորոշ:

տարօրինակ աստիճան

Կենտ հզորությունների համար արմատը սահմանվում է բոլոր x-ի համար.
;
.

Արմատների հատկությունները և բանաձևերը

x-ի արմատը հզորության ֆունկցիա է.
.
x ≥-ի համար 0 պահպանվում են հետևյալ բանաձևերը.
;
;
, ;
.

Այս բանաձևերը կարող են կիրառվել նաև փոփոխականների բացասական արժեքների համար: Պետք է միայն ապահովել, որ նույնիսկ ուժերի արմատական ​​արտահայտությունը բացասական չլինի։

Մասնավոր արժեքներ

0-ի արմատը 0 է:
1-ի արմատը 1 է:
0-ի քառակուսի արմատը 0 է:
1-ի քառակուսի արմատը 1 է:

Օրինակ. Արմատ արմատներից

Դիտարկենք արմատների քառակուսի արմատի օրինակը.
.
Փոխակերպեք ներքին քառակուսի արմատը՝ օգտագործելով վերը նշված բանաձևերը.
.
Հիմա եկեք փոխակերպենք սկզբնական արմատը.
.
Այսպիսով,
.

y = x p ցուցիչի տարբեր արժեքների համար:

Ահա x արգումենտի ոչ բացասական արժեքների ֆունկցիայի գրաֆիկները: Էջում տրված են x-ի բացասական արժեքների համար սահմանված հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկները: Հզորության ֆունկցիան, դրա հատկությունները և գրաֆիկները »

Հակադարձ ֆունկցիա

P ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հակադարձը 1/p ցուցիչով հզորության ֆունկցիա է:

Եթե, ապա .

Հզորության ֆունկցիայի ածանցյալ

n-րդ կարգի ածանցյալ.
;

Բանաձևերի ածանցում > > >

Հզորության ֆունկցիայի ինտեգրալ

P≠- 1 ;
.

Հզորության շարքի ընդլայնում

ժամը - 1 < x < 1 տեղի է ունենում հետևյալ տարրալուծումը.

Արտահայտություններ բարդ թվերով

Դիտարկենք z կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիան.
զ (z) = z t.
Մենք արտահայտում ենք z կոմպլեքս փոփոխականը r մոդուլի և φ արգումենտի (r = |z| ):
z = r e i φ .
Մենք ներկայացնում ենք t կոմպլեքս թիվը որպես իրական և երևակայական մասեր.
t = p + i q .
Մենք ունենք:

Ավելին, մենք հաշվի ենք առնում, որ φ արգումենտը եզակիորեն սահմանված չէ.
,

Դիտարկենք այն դեպքը, երբ q = 0 , այսինքն՝ ցուցիչը իրական թիվ, t = p . Հետո
.

Եթե ​​p-ն ամբողջ թիվ է, ապա kp-ն նույնպես ամբողջ թիվ է։ Այնուհետև, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականության պատճառով.
.
այսինքն էքսպոնենցիալ ֆունկցիաամբողջ թվով ցուցիչով, տրված z-ի համար ունի միայն մեկ արժեք և, հետևաբար, միարժեք է:

Եթե ​​p-ն իռացիոնալ է, ապա kp-ի արտադրյալները ոչ մի k-ի համար չեն տալիս ամբողջ թիվ: Քանի որ k-ն անցնում է արժեքների անսահման շարքով k = 0, 1, 2, 3, ..., ապա z p ֆունկցիան ունի անսահման շատ արժեքներ։ Ամեն անգամ, երբ z արգումենտն ավելանում է 2 պ(մեկ պտույտ), տեղափոխվում ենք ֆունկցիայի նոր ճյուղ։

Եթե ​​p-ն ռացիոնալ է, ապա այն կարող է ներկայացվել հետևյալ կերպ.
, որտեղ մ, նամբողջ թվեր են՝ առանց ընդհանուր բաժանարարների: Հետո
.
Առաջին n արժեքները, k = k-ի համար 0 = 0, 1, 2, ... n-1, տալ n տարբեր իմաստներ kp:
.
Այնուամենայնիվ, հետագա արժեքները տալիս են արժեքներ, որոնք նախորդներից տարբերվում են ամբողջ թվով: Օրինակ, k = k-ի համար 0+nմենք ունենք:
.
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, որի արգումենտները տարբերվում են բազմապատիկներով 2 pi, ունեն հավասար արժեքներ։ Հետևաբար, k-ի հետագա աճով մենք ստանում ենք z p-ի նույն արժեքները, ինչ k = k-ի համար 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Այսպիսով, էքսպոնենցիալ ֆունկցիան հետ ռացիոնալ ցուցանիշաստիճանը բազմարժեք է և ունի n արժեք (ճյուղ): Ամեն անգամ, երբ z արգումենտն ավելանում է 2 pi(մեկ պտույտ), տեղափոխվում ենք ֆունկցիայի նոր ճյուղ։ Նման n պտույտներից հետո մենք վերադառնում ենք առաջին ճյուղը, որտեղից սկսվել է հետհաշվարկը:

Մասնավորապես, n աստիճանի արմատն ունի n արժեք: Որպես օրինակ, դիտարկենք իրական դրական թվի n-րդ արմատը z = x: Այս դեպքում φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Այսպիսով, քառակուսի արմատի համար n = 2 ,
.
Նույնիսկ k-ի համար (- 1 ) k = 1. Կենտ k-ի համար, (- 1 ) k = - 1.
Այսինքն՝ քառակուսի արմատն ունի երկու նշանակություն՝ + և -։

Հղումներ:
Ի.Ն. Բրոնշտեյն, Կ.Ա. Սեմենդյաև, Մաթեմատիկայի ձեռնարկ ինժեներների և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար, Լան, 2009 թ.