Hogyan találjuk meg a négyzetgyököt? Tulajdonságok, gyökérkivonási példák. A gyökök tulajdonságai: megfogalmazások, bizonyítások, példák

Óra és előadás a témában:
"A négyzetgyök tulajdonságai. Képletek. Példák megoldásokra, feladatok válaszokkal"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el meghagyni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 8. osztály számára
Interaktív tanulmányi segédlet „Geometria 10 percben” 8. osztály számára
Oktatási komplexum "1C: Iskola. Geometria, 8. osztály"

Négyzetgyök tulajdonságai

Folytatjuk a négyzetgyökök tanulmányozását. Ma megvizsgáljuk a gyökerek fő tulajdonságait. Az összes fő tulajdonság intuitív, és összhangban van az összes korábban elvégzett művelettel.

Tulajdonság 1. Két nem negatív szám szorzatának négyzetgyöke egyenlő a szorzattal négyzetgyök ezek közül a számok közül: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Bármilyen tulajdonságot igazolni szokás, tegyük meg.
Legyen $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Ekkor be kell bizonyítanunk, hogy $x=y*z$.
Nézzük négyzetre az egyes kifejezéseket.
Ha $\sqrt(a*b)=x$, akkor $a*b=x^2$.
Ha $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, akkor mindkét kifejezést négyzetre emelve a következőket kapjuk: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, azaz $x^2=(y*z)^2$. Ha két nemnegatív szám négyzete egyenlő, akkor maguk a számok is egyenlőek, amit igazolni kellett.

Tulajdonságunkból az következik, hogy például $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Megjegyzés 1. A tulajdonság arra az esetre is érvényes, ha a gyökér alatt kettőnél több nem negatív tényező található.
2. tulajdonság. Ha $a≥0$ és $b>0$, akkor a következő egyenlőség teljesül: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Vagyis a hányados gyöke egyenlő a gyökök hányadosával.
Bizonyíték.
Használjuk a táblázatot, és röviden bizonyítsuk tulajdonunkat.

Példák a négyzetgyök tulajdonságok használatára

1. példa
Számítsa ki: $\sqrt(81*25*121)$.

Megoldás.
Természetesen vehetünk egy számológépet, megszorozhatjuk a gyök alatti összes számot, és elvégezhetjük a négyzetgyök kinyerésének műveletét. És ha nincs kéznél számológép, mi van akkor?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Válasz: 495.

2. példa Számítsa ki: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Megoldás.
A gyökszámot nem megfelelő törtként ábrázoljuk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Használjuk a 2. tulajdonságot.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dollár.
Válasz: 3.4.

3. példa
Számítsa ki: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Megoldás.
Kifejezésünket közvetlenül kiértékelhetjük, de szinte mindig leegyszerűsíthető. Próbáljuk meg ezt megtenni.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Tehát $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Válasz: 32.

Srácok, kérjük, vegye figyelembe, hogy nincsenek képletek a radikális kifejezések összeadási és kivonási műveleteire, és az alábbi kifejezések nem helyesek.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

4. példa
Számítsa ki: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Megoldás.
A fent bemutatott tulajdonságok balról jobbra és befelé is működnek fordított sorrendben, vagyis:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Használjuk ezt a példánk megoldására.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Válasz: a) 16; b) 2.

3. tulajdonság. Ha $a≥0$ és n természetes szám, akkor a következő egyenlőség teljesül: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Például. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ és így tovább.

5. példa
Számítsa ki: $\sqrt(129600)$.

Megoldás.
A elénk tárt szám elég nagy, bontsuk prímtényezőkre.
A következőt kaptuk: $129600=5^2*2^6*3^4$ vagy $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Válasz: 360.

Önálló megoldási feladatok

1. Számítsa ki: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Számítsa ki: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Számítsa ki: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Számolja ki:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

A matematika akkor született, amikor az ember tudatára ébredt önmagának, és elkezdte a világ autonóm egységeként pozícionálni magát. Az a vágy, hogy mérni, összehasonlítani, kiszámítani azt, ami körülvesz – ez az alapja napjaink egyik alaptudományának. Eleinte ezek az elemi matematika darabjai voltak, amelyek lehetővé tették a számok fizikai kifejezéseihez való társítását, később a következtetéseket csak elméletileg kezdték bemutatni (az elvontságuk miatt), de egy idő után, ahogy egy tudós fogalmazott, " a matematika elérte a bonyolultság felső határát, amikor minden szám." A „négyzetgyök” fogalma akkor jelent meg, amikor már könnyen alátámasztható volt empirikus adatokkal, túllépve a számítási síkon.

Hogy kezdődött az egész

A gyökér első említése, amely a Ebben a pillanatban√-ként jelölve, a babiloni matematikusok írásaiban rögzítették, akik lefektették a modern aritmetika alapjait. Természetesen egy kicsit hasonlítottak a jelenlegi formájukra - az akkori évek tudósai először használtak terjedelmes tablettákat. De a Kr.e. második évezredben. e. kidolgoztak egy hozzávetőleges számítási képletet, amely megmutatta, hogyan kell venni a négyzetgyököt. Az alábbi képen egy kő látható, amelyre a babiloni tudósok a kimeneti folyamatot √2 faragták, és ez annyira helyesnek bizonyult, hogy a válasz eltérését csak a tizedik tizedesjegyben találták meg.

Ezenkívül a gyökéröt akkor használták, ha meg kellett találni egy háromszög oldalát, feltéve, hogy a másik kettő ismert. Nos, a másodfokú egyenletek megoldásánál nincs menekvés a gyökér kinyerése elől.

A babiloni munkákkal együtt a cikk tárgyát a "Mathematics in Nine Books" című kínai mű is tanulmányozta, és az ókori görögök arra a következtetésre jutottak, hogy minden szám, amelyből a gyökér nem kerül kivonásra maradék nélkül, irracionális eredményt ad. .

E kifejezés eredete a szám arab ábrázolásához kapcsolódik: az ókori tudósok úgy vélték, hogy egy tetszőleges szám négyzete a gyökérből nő ki, mint egy növény. Latinul ez a szó úgy hangzik, mint a radix (nyomon követhető a minta - minden, aminek "gyökér" szemantikai terhelése van, mássalhangzó, legyen az retek vagy isiász).

A következő generációk tudósai felvették ezt az ötletet, és Rx-nek nevezték el. Például a 15. században annak jelzésére, hogy a négyzetgyök tetszőleges a számból származik, R 2 a-t írtak. Szokásos modern megjelenés A "pipa" √ csak a 17. században jelent meg Rene Descartesnak köszönhetően.

A mi napjaink

Matematikailag y négyzetgyöke az a z szám, amelynek négyzete y. Más szavakkal, z 2 =y ekvivalens √y=z-vel. Ez a meghatározás azonban csak azokra vonatkozik számtani gyök, mivel ez a kifejezés nem negatív értékét jelenti. Más szavakkal, √y=z, ahol z nagyobb vagy egyenlő, mint 0.

Általában, ami érvényes az algebrai gyök meghatározására, a kifejezés értéke lehet pozitív vagy negatív. Így annak következtében, hogy z 2 =y és (-z) 2 =y, a következőt kapjuk: √y=±z vagy √y=|z|.

Tekintettel arra, hogy a matematika iránti szeretet a tudomány fejlődésével csak nőtt, a hozzá való kötődésnek különféle megnyilvánulásai vannak, amelyek nem fejeződnek ki száraz számításokban. Például az olyan érdekes események mellett, mint a Pi napja, a négyzetgyök ünnepeit is megünneplik. Száz év alatt kilencszer ünneplik őket, és a következő elv szerint határozzák meg: a napot és a hónapot sorrendben jelölő számoknak az év négyzetgyökének kell lenniük. Igen, be legközelebb Ezt az ünnepet 2016. április 4-én ünnepeljük.

A négyzetgyök tulajdonságai az R mezőn

Szinte minden matematikai kifejezésnek van geometriai alapja, ez a sors nem múlt el, és √y, amelyet egy négyzet y területű oldalaként határozunk meg.

Hogyan lehet megtalálni egy szám gyökerét?

Számos számítási algoritmus létezik. A legegyszerűbb, de ugyanakkor meglehetősen körülményes a szokásos aritmetikai számítás, amely a következő:

1) abból a számból, amelynek gyökére szükségünk van, a páratlan számokat sorra kivonjuk - amíg a kimenet maradéka kisebb lesz, mint a kivont vagy páros nulla. A lépések száma végül a kívánt szám lesz. Például a 25 négyzetgyökének kiszámítása:

Következő páratlan szám 11, akkor a következő maradékunk van: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Ilyen esetekre van egy Taylor sorozat bővítés:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , ahol n értéket vesz fel 0-tól

+∞, és |y|≤1.

A z=√y függvény grafikus ábrázolása

Tekintsünk egy z=√y elemi függvényt az R valós számok mezején, ahol y nullánál nagyobb vagy egyenlő. A diagramja így néz ki:

A görbe az origótól növekszik, és szükségszerűen keresztezi az (1; 1) pontot.

A z=√y függvény tulajdonságai R valós számok mezején

1. A vizsgált függvény definíciós tartománya a nullától a plusz végtelenig terjedő intervallum (nulla is benne van).

2. A vizsgált függvény értéktartománya a nullától a plusz végtelenig terjedő intervallum (a nulla is benne van).

3. A függvény csak a (0; 0) pontban veszi fel a minimális értéket (0). Nincs maximális érték.

4. A z=√y függvény se nem páros, se nem páratlan.

5. A z=√y függvény nem periodikus.

6. A z=√y függvény grafikonjának csak egy metszéspontja van a koordinátatengelyekkel: (0; 0).

7. A z=√y függvény grafikonjának metszéspontja ennek a függvénynek a nullája is.

8. A z=√y függvény folyamatosan növekszik.

9. A z=√y függvény csak pozitív értékeket vesz fel, ezért grafikonja az első koordinátaszöget foglalja el.

A z=√y függvény megjelenítési lehetőségei

A matematikában az összetett kifejezések kiszámításának megkönnyítésére néha a négyzetgyök beírásának hatványformáját használják: √y=y 1/2. Ez az opció kényelmes például egy függvény hatványra emelésekor: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ez a módszer az integrációval való differenciáláshoz is jó reprezentáció, mivel ennek köszönhetően a négyzetgyök egy közönséges hatványfüggvényben van ábrázolva.

A programozásban pedig a √ szimbólumot a sqrt betűkombináció helyettesíti.

Érdemes megjegyezni, hogy ezen a területen nagy a kereslet a négyzetgyökre, mivel ez a legtöbb számításhoz szükséges geometriai képlet része. Maga a számláló algoritmus meglehetősen bonyolult, és rekurzión (egy önmagát meghívó függvény) alapul.

A négyzetgyök a C komplex mezőben

Nagyjából ennek a cikknek a témája ösztönözte a C komplex számok mezejének felfedezését, mivel a matematikusokat kísértette a negatív számból páros fokgyök megszerzésének kérdése. Így jelent meg az i képzeletbeli egység, amelyet egy igen érdekes tulajdonság jellemez: négyzete -1. Ennek köszönhetően a másodfokú egyenletek és a negatív diszkrimináns megoldást kaptak. C-ben a négyzetgyökre ugyanazok a tulajdonságok érvényesek, mint az R-ben, csak az a dolog, hogy a gyökkifejezés korlátozásai megszűnnek.

A négyzetgyökök tulajdonságai

Eddig öt aritmetikai műveletet hajtottunk végre számokkal: összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás, és ezeknek a műveleteknek a különféle tulajdonságait aktívan használták a számításokban, például a + b = b + a, an-bn = (ab) n stb.

Ez a fejezet egy új műveletet mutat be – egy nem negatív szám négyzetgyökének felvételét. Sikeres használatához meg kell ismerkednie ennek a műveletnek a tulajdonságaival, amit ebben a részben fogunk megtenni.

Bizonyíték. Vezessük be a következő jelölést: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Így fogalmazzuk meg a következő tételt.

(Egy rövid, a gyakorlatban kényelmesebb megfogalmazás: egy tört gyöke egyenlő a gyökök törtével, vagy a hányados gyöke egyenlő a gyökök hányadosával.)

Ezúttal csak egy rövid feljegyzést adunk a bizonyításról, és megpróbálhat megfelelő megjegyzéseket tenni, amelyek hasonlóak az 1. Tétel bizonyításának lényegéhez.

3. megjegyzés. Természetesen ezt a példát másképp is meg lehet oldani, főleg, ha van kéznél számológép: szorozd meg a 36, 64, 9 számokat, majd vedd a kapott szorzat négyzetgyökét. Ön azonban egyetért azzal, hogy a fent javasolt megoldás kulturáltabbnak tűnik.

Megjegyzés 4. Az első módszernél homlokzati számításokat végeztünk. A második mód elegánsabb:
jelentkeztünk képlet a2 - b2 = (a - b) (a + b) és a négyzetgyök tulajdonságot használta.

Megjegyzés 5. Néhány "forró fej" néha a következő "megoldást" kínálja a 3. példában:

Ez persze nem igaz: látod - az eredmény nem ugyanaz, mint a 3. példánkban. A tény az, hogy nincs tulajdonság https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Feladat" width="148" height="26 id=">!} Csak a négyzetgyökök szorzására és osztására vonatkozó tulajdonságok vannak. Legyen óvatos és óvatos, ne vágyakozzon.

A szakasz végén megjegyezünk még egy meglehetősen egyszerűt és ugyanakkor fontos tulajdon:
ha a > 0 és n - természetes szám, akkor

Négyzetgyök műveletet tartalmazó kifejezések konvertálása

Eddig csak átalakításokat végeztünk racionális kifejezések, ehhez felhasználva a polinomokra vonatkozó műveleti szabályokat és algebrai törtek, rövidített szorzóképletek stb. Ebben a fejezetben egy új műveletet vezettünk be - a négyzetgyök kinyerésének műveletét; ezt megállapítottuk

ahol felidézzük, a, b nemnegatív számok.

Ezek felhasználásával képletek, a négyzetgyök műveletet tartalmazó kifejezések különféle átalakításait hajthatja végre. Nézzünk meg néhány példát, és minden példában feltételezzük, hogy a változók csak nem negatív értékeket vesznek fel.

3. példaÍrjon be egy tényezőt a négyzetgyök jel alá:

6. példa. Egyszerűsítse a Megoldás kifejezést. Végezzünk el egymás utáni átalakításokat:

Gyökérképletek. négyzetgyök tulajdonságai.

Figyelem!
Vannak további
anyag az 555. külön szakaszban.
Azoknak, akik erősen "nem nagyon..."
És azoknak, akik "nagyon...")

Az előző leckében rájöttünk, mi az a négyzetgyök. Ideje kitalálni, mik azok képletek a gyökerekhez, mik gyökér tulajdonságaiés mit lehet tenni mindezzel.

Gyökérképletek, gyökértulajdonságok és szabályok a gyökerekkel végzett műveletekhez- ez lényegében ugyanaz. Meglepően kevés képlet létezik négyzetgyökre. Ami persze örömet okoz! Inkább sok mindenféle képletet lehet írni, de a gyakorlati és magabiztos, gyökeres munkához csak három elég. Minden más ebből a háromból fakad. Bár sokan eltévednek a gyökér három képletében, igen...

Kezdjük a legegyszerűbbel. Ott van:

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

1. tény.
$\bullet$ Vegyünk egy nem negatív számot $a$ (azaz $a\geqslant 0$ ). Akkor (számtani) négyzetgyök az $a$ számból egy ilyen nemnegatív $b$ számot hívunk, a négyzetre emelésekor a $a$ számot kapjuk: \[\sqrt a=b\quad \text(ugyanaz, mint )\quad a=b^2\] A definícióból az következik $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Ezek a korlátozások fontos feltétel a négyzetgyök létezését, és emlékezni kell rájuk!
Emlékezzünk vissza, hogy bármely szám négyzetre vetve nem negatív eredményt ad. Vagyis $100^2=10000\geqslant 0$ és $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Mi az a $\sqrt(25)$? Tudjuk, hogy $5^2=25$ és $(-5)^2=25$ . Mivel definíció szerint nemnegatív számot kell találnunk, a $-5$ nem megfelelő, ezért $\sqrt(25)=5$ (mivel $25=5^2$ ).
A $\sqrt a$ érték megtalálását az $a$ szám négyzetgyökének, az $a$ számot pedig gyökérkifejezésnek nevezzük.
$\bullet$ A definíció alapján a $\sqrt(-25)$ , $\sqrt(-4)$ , stb. nincs értelme.

2. tény.
A gyors számításokhoz hasznos lesz megtanulni a négyzettáblázatot természetes számok$1$-től $20$-ig: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

3. tény.
Mit lehet tenni négyzetgyökökkel?
$\golyó$ A négyzetgyökök összege vagy különbsége NEM EGYENLŐ az összeg vagy különbség négyzetgyökével, azaz. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Így, ha például ki kell számítania a $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , akkor először meg kell találnia a $\sqrt(25)$ és $\sqrt) értékeket (49)\ ), majd add össze őket. Következésképpen, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Ha a \(\sqrt a$ vagy $\sqrt b$ értékek nem találhatók a $\sqrt a+\sqrt b$ hozzáadásakor, akkor az ilyen kifejezés nem konvertálódik tovább, és úgy marad, ahogy van. Például a $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ összegben megtaláljuk a $\sqrt(49)$ - ez $7$ , de $\sqrt 2$ nem lehet bármilyen módon átalakítva, ezért $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Továbbá ez a kifejezés sajnos semmilyen módon nem egyszerűsíthető.$\bullet$ A négyzetgyökök szorzata/hányadosa egyenlő a szorzat/hányados négyzetgyökével, azaz. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (feltéve, hogy az egyenlőség mindkét részének van értelme)
Példa: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ Ezekkel a tulajdonságokkal kényelmesen megkeresheti a négyzetgyökét nagy számok azok faktorálásával.
Vegyünk egy példát. Keresse meg a következőt: $\sqrt(44100)$ . Mivel $44100:100=441$ , akkor $44100=100\cdot 441$ . Az oszthatóság kritériuma szerint a $441$ szám osztható $9$-el (mivel számjegyeinek összege 9 és osztható 9-cel), ezért $441:9=49$ , azaz $441=9\ cdot 49$ .
Így kaptuk: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Nézzünk egy másik példát: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Mutassuk meg, hogyan kell számokat beírni a négyzetgyök jel alá a $5\sqrt2$ kifejezés példáján (a $5\cdot \sqrt2$ kifejezés rövidítése). Mivel $5=\sqrt(25)$ , akkor \ Vegye figyelembe azt is, hogy pl.
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Miert van az? Magyarázzuk meg az 1. példával). Ahogy már értette, a $\sqrt2$ számot valahogy nem tudjuk átalakítani. Képzelje el, hogy $\sqrt2$ egy szám $a$ . Ennek megfelelően a $\sqrt2+3\sqrt2$ kifejezés nem más, mint $a+3a$ (egy szám $a$ plusz még három azonos szám $a$ ). És tudjuk, hogy ez négy ilyen számmal egyenlő $a$ , azaz $4\sqrt2$ .

4. tény.
$\bullet$ Gyakran mondják, hogy „nem lehet kivonni a gyökeret”, amikor nem lehet megszabadulni a gyökér (gyök) $\sqrt () \ $ előjelétől, amikor valamelyik szám értékét megtaláljuk. Például rootolhatja a $16$ számot, mert $16=4^2$ , tehát $\sqrt(16)=4$ . De a $3$ számból a gyökér kinyerése, vagyis a $\sqrt3$ megtalálása lehetetlen, mert nincs olyan szám, amelyik négyzetével $3$ -t adna.
Az ilyen számok (vagy az ilyen számokkal rendelkező kifejezések) irracionálisak. Például számok $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ stb. irracionálisak.
Szintén irracionálisak a $\pi$ (a „pi” szám, megközelítőleg $3,14$ ), $e$ (ezt a számot Euler-számnak nevezik, megközelítőleg egyenlő $2) ,7$ ) stb.
$\bullet$ Kérjük, vegye figyelembe, hogy bármely szám racionális vagy irracionális. És együtt minden racionális és minden irracionális számok nevű halmazt alkotnak valós (valós) számok halmaza. Ezt a halmazt a $\mathbb(R)$ betű jelöli.
Ez azt jelenti, hogy az összes számot, amelyet jelenleg ismerünk, valós számoknak nevezzük.

5. tény.
$\bullet$ Valós szám modulusa $a$ egy nem negatív szám $|a|$, amely egyenlő a valós szám $a$ és $0$ pontja közötti távolsággal. vonal. Például $|3|$ és $|-3|$ egyenlő 3-mal, mivel a $3$ és $-3$ és $0$ pontok távolsága a azonos és egyenlő $3 $ .
$\bullet$ Ha $a$ nemnegatív szám, akkor $|a|=a$ .
Példa: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Ha $a$ negatív szám, akkor $|a|=-a$ .
Példa: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Azt mondják, hogy a negatív számok esetében a modul „megeszi” a mínuszt, a pozitív számokat, valamint a $0$ számot pedig a modul változatlanul hagyja.
DE ez a szabály csak a számokra vonatkozik. Ha a modul jele alatt van egy ismeretlen $x$ (vagy más ismeretlen), például $|x|$ , amelyről nem tudjuk, hogy pozitív, nullával egyenlő vagy negatív, akkor nem tudunk megszabadulni a modultól. Ebben az esetben ez a kifejezés így marad: $|x|$ . $\bullet$ A következő képletek érvényesek: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text( megadva ) a\geqslant 0\] Gyakran előfordul a következő hiba: azt mondják, hogy $\sqrt(a^2)$ és $(\sqrt a)^2$ ugyanaz. Ez csak akkor igaz, ha $a$ pozitív szám vagy nulla. De ha $a$ negatív szám, akkor ez nem igaz. Elég egy ilyen példát figyelembe venni. Vegyük a $-1$ számot $a$ helyett. Ekkor $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , de a $(\sqrt (-1))^2$ kifejezés egyáltalán nem létezik (mert az lehetetlen a gyökjel alá negatív számokat írjon be!).
Ezért felhívjuk a figyelmet arra, hogy $\sqrt(a^2)$ nem egyenlő $(\sqrt a)^2$ -vel! Példa: 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, mert $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Mivel $\sqrt(a^2)=|a|$ , akkor \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (a $2n$ kifejezés páros számot jelöl)
Vagyis ha olyan számból kinyerjük a gyökét, amely bizonyos fokon van, ez a fok megfeleződik.
Példa:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (vegye figyelembe, hogy ha a modul nincs beállítva, akkor kiderül, hogy a szám gyöke egyenlő $-25) $ ; de emlékszünk -ra, ami a gyökér definíciója szerint nem lehet: a gyökér kinyerésekor mindig pozitív számot vagy nullát kell kapnunk)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (mivel a páros hatvány bármely szám nem negatív)

6. tény.
Hogyan hasonlítsunk össze két négyzetgyököt?
$\bullet$ Igaz a négyzetgyökökre: ha $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aPélda:
1) Hasonlítsa össze a \(\sqrt(50)$ és $6\sqrt2$ . Először a második kifejezést alakítjuk át $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Így, mivel $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Mely egész számok között van a $\sqrt(50)$ ?
Mivel $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ és $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Hasonlítsa össze a $\sqrt 2-1$ és $0,5$ . Tegyük fel, hogy $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin(igazított) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((egyet ad hozzá mindkét oldalhoz))\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((mindkét részt négyzetre állítva))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(igazított)\] Látjuk, hogy helytelen egyenlőtlenséget kaptunk. Ezért a feltevésünk téves volt, és $\sqrt 2-1<0,5$ .
Vegye figyelembe, hogy egy bizonyos szám hozzáadása az egyenlőtlenség mindkét oldalához nem befolyásolja az előjelét. Egy egyenlőtlenség mindkét oldalának pozitív számmal való szorzása/osztása szintén nem változtatja meg az előjelét, viszont egy negatív számmal való szorzás/osztás megfordítja az egyenlőtlenség előjelét!
Egy egyenlet/egyenlőtlenség mindkét oldala CSAK HA mindkét oldal nem negatív. Például az előző példa egyenlőtlenségében mindkét oldalt négyzetre emelheti, a $-3) egyenlőtlenségben<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Jegyezze meg \[\begin(igazított) &\sqrt 2\kb 1,4\\ &\sqrt 3\kb 1,7 \end(igazított)\] Ezen számok hozzávetőleges jelentésének ismerete segít a számok összehasonlításában! $\bullet$ Ahhoz, hogy a gyökér kinyeréséhez (ha ki van húzva) olyan nagy számból, amely nem szerepel a négyzettáblázatban, először meg kell határozni, hogy melyik „száz” között van, majd melyik „tízes” között. majd határozza meg ennek a számnak az utolsó számjegyét. Mutassuk meg, hogyan működik egy példán.
Vegyük a következőt: $\sqrt(28224)$ . Tudjuk, hogy $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ és így tovább. Vegye figyelembe, hogy a $28224$ $10\,000$ és $40\,000$ között van. Ezért a $\sqrt(28224)$ $100$ és $200$ között van.
Most határozzuk meg, hogy melyik „tíz” között van a számunk (azaz például $120$ és $130$ ). A négyzettáblázatból azt is tudjuk, hogy $11^2=121$ , $12^2=144$ stb., majd $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 $ ) . Tehát azt látjuk, hogy a $28224$ $160^2$ és $170^2$ között van. Ezért a $\sqrt(28224)$ szám $160$ és $170$ között van.
Próbáljuk meg meghatározni az utolsó számjegyet. Emlékezzünk arra, hogy négyzetesítéskor milyen egyjegyű számok adnak a végén \ (4 \) ? Ezek a $2^2$ és $8^2$ . Ezért a $\sqrt(28224)$ 2-re vagy 8-ra végződik. Ellenőrizzük ezt. $162^2$ és $168^2$ keresése:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Ezért $\sqrt(28224)=168$ . Voálá!

A matematika vizsga megfelelő megoldásához mindenekelőtt az elméleti anyagot kell áttanulmányozni, amely számos tételt, képletet, algoritmust stb. vezet be. Első pillantásra úgy tűnhet, hogy ez meglehetősen egyszerű. Valójában azonban meglehetősen nehéz feladat megtalálni azt a forrást, amelyben az egységes matematika államvizsga elmélete könnyen és érthetően bemutatásra kerül bármely képzettségi szintű hallgató számára. Az iskolai tankönyveket nem mindig lehet kéznél tartani. A matematika vizsga alapképleteinek megtalálása pedig még az interneten is nehéz lehet.

Miért olyan fontos matematikából elméletet tanulni, nem csak azok számára, akik vizsgáznak?

Mert kitágítja a látókörét. A matematika elméleti anyagának tanulmányozása mindenki számára hasznos, aki a világ megismerésével kapcsolatos kérdések széles körére szeretne választ kapni. A természetben minden rendezett és világos logikával rendelkezik. Pontosan ez tükröződik a tudományban, amelyen keresztül meg lehet érteni a világot.
Mert fejleszti az intellektust. A matematika vizsga referenciaanyagainak tanulmányozása, valamint különféle problémák megoldása során az ember megtanul logikusan gondolkodni és érvelni, helyesen és világosan megfogalmazni a gondolatait. Fejleszti az elemzés, az általánosítás, a következtetések levonásának képességét.

Meghívjuk Önt, hogy személyesen értékelje az oktatási anyagok rendszerezésére és bemutatására irányuló megközelítésünk minden előnyét.

Azt is ajánljuk

Betöltés...

itthon > egészségügyi ellátás