itthon > Csiszolóanyagok

Adott egy algoritmus a másodfokú egyenlet gyökereinek megkeresésére. Állítsunk össze egy algoritmust egy másodfokú egyenlet megoldására

1. Keresse meg a diszkriminánst D képlet szerint D= -4ac.

2. Ha D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Ha D=0, akkor az egyenletnek egy gyöke van:

4. Ha D>0, akkor az egyenletnek két gyöke van:

Most kezdjük el megoldani az egyenletünket 3 -10x+3=0,

ahol =3, b=-10 és c=3.

A diszkrimináns megtalálása:

D= -4*3*3=64

Mivel D>0, akkor ennek az egyenletnek két gyöke van. Megtaláljuk őket:

; .

Így a polinom gyökerei f(x)=3 -10+3 a 3 és a számok lesznek.

Horner séma

Horner séma(vagy Horner-szabály, Horner-módszer) - egy algoritmus egy polinom értékének kiszámítására, amelyet polinomok (monomiálisok) összegeként írnak fel egy változó adott értékére . Ő viszont segít kideríteni, hogy a szám egy adott polinom gyöke-e vagy sem.

Először nézzük meg, hogyan oszlik meg a polinom f(x) binomiálissá g(x).

Ezt a következőképpen írhatjuk fel: f(x):g(x)=n(x), ahol f(x)- osztalék, g(x)- osztó a n(x)- magán.

De abban az esetben, amikor f(x)-vel nem osztható g(x) van egy általános jelölése a kifejezésnek

Itt az r(x) fok< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Fontolja meg, hogy elosztunk egy polinomot egy binomimmal. Legyen

,

Kapunk

Ahol r egy szám, mert r fokának kisebbnek kell lennie (x-c) fokánál.

Szorozzuk meg s(x) fel és kap

Így a binomiális osztásnál a kapott képletekből meg lehet határozni a hányados együtthatóit. Az együtthatók meghatározásának ezt a módszerét Horner-sémának nevezik.

...
+ ...
c ... r

Most nézzünk meg néhány példát a Horner-séma alkalmazására.

Példa. Hajtsa végre a polinomiális osztást f(x)= a x+3.

Döntés. Az elején írni kell x+3) mint ( x-(-3)), mivel magában a sémában pontosan -3 fog részt venni.A felső sorban az együtthatók, az alsó sorban a műveletek eredményét írjuk.


f(x)=(x-2)(1)+16.

Gyökerek keresése Horner séma szerint. Gyökértípusok

A Horner-séma szerint egy polinom egész szám gyökét találhatjuk meg f(x). Nézzük ezt egy példával.

Példa. Keresse meg a polinom összes egész gyökét f(x)= , a Horner-séma használatával.

Döntés. Ennek a polinomnak az együtthatói egész számok. A legmagasabb fok előtti (esetünkben előtti) együttható eggyel egyenlő. Ezért keressük a polinom egész gyökét a szabad tag osztói között (15 van), ezek számok:

Kezdjük az 1-es számmal.

Asztal 1

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

A kapott táblázatból látható, hogy =1 esetén a polinom polinomja f(x)= , az r=192 maradékot kaptuk, nem 0-t, ami azt jelenti, hogy az egység nem gyök. Ezért az ellenőrzést =-1-nél folytatjuk. Ehhez nem hozunk létre új táblát, hanem folytatjuk a régiben, és kihúzzuk a már nem szükséges adatokat.

2. számú táblázat

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

Ahogy a táblázatból is láthatjuk, az utolsó cella nullának bizonyult, ami azt jelenti, hogy r=0. Ennélfogva? a -1 szám ennek a polinomnak a gyöke. Polinom polinomunk felosztása f(x)= on ()=x+1 polinomot kaptunk

f(x)=(x+1)(),

az együtthatók, amelyekre a 2. számú táblázat harmadik sorából vettük.

Az ekvivalens jelölést is elvégezhetjük

(x+1)(). Jelölje meg (1)

Most folytatni kell az egész gyökök keresését, de csak most már keressük a polinom gyökereit. Ezeket a gyököket a polinom szabad tagja, a 45-ös szám között fogjuk keresni.

Ellenőrizzük újra a -1 számot.

3. táblázat

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

Így a -1 szám a polinom gyöke, így írható fel

A (2) egyenlőséget figyelembe véve az (1) egyenlőséget a következő formában írhatjuk fel

Most a polinom gyökereit keressük, ismét a szabad tag osztói között. Ellenőrizzük újra a -1 számot.

táblázat 4. sz

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

A táblázat szerint azt látjuk, hogy a -1 szám a polinom gyöke.

Adott (3*) átírhatjuk a (2*) egyenlőséget a következőképpen:

Most meg fogjuk keresni a gyökerét. Ismét megnézzük a szabad tag osztóit. Kezdjük újra az ellenőrzést a -1 számmal.

5. számú táblázat

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

Olyan maradékot kaptunk, amely nem egyenlő nullával, ami azt jelenti, hogy a -1 szám nem gyöke a polinomnak. Ellenőrizzük a következő 1-es számot.

táblázat 6. sz

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

És látjuk, hogy megint nem illik, a maradék r(x) = 24. Vegyünk egy új számot.

Ellenőrizzük a 3-as számot.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

7. számú táblázat

r(x)= 0, ez azt jelenti, hogy a 3 szám a polinom gyöke, ezt a polinomot így írhatjuk fel:

=(x-3)( )

A kapott kifejezés alapján az (5) egyenlőséget a következőképpen írhatjuk fel:

(x-3)( ) (6)

Most nézzük meg a polinomot

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

8. sz. táblázat

A táblázat alapján azt látjuk, hogy a 3-as szám a polinom gyöke . Most írjuk a következőket:

Az (5*) egyenlőséget a kapott kifejezés figyelembevételével a következőképpen írjuk fel:

(x-3)()= = .

Keresse meg a binomiális gyökét a szabad tag osztói közül!

Vegyük az 5-ös számot

táblázat 9. sz

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0, tehát 5 a binomiális gyöke.

Így tudunk írni

Döntés ezt a példát 8-as számú táblázat lesz.

Amint a táblázatból látható, a -1; 3; 5 számok a polinom gyökerei.

Most menjünk közvetlenül a a gyökerek típusai.

1 a harmadik fok gyöke, mivel a zárójel (x + 1) a harmadik fokban van;

3- a másodfokú gyökér, a zárójel (x-3) a második fokban;

Az 5 az első fokú vagy más szóval egyszerű gyöke.

Fontos jegyzetek!
1. Ha a képletek helyett abrakadabra jelenik meg, törölje a gyorsítótárat. Itt van leírva, hogyan kell ezt böngészőben csinálni:
2. Mielőtt elkezdené olvasni a cikket, figyeljen leginkább navigátorunkra hasznos forrás számára

A "másodfokú egyenlet" kifejezésben a kulcsszó a "másodfokú". Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek szükségszerűen tartalmaznia kell egy változót (ugyanazt az X-et) a négyzetben, ugyanakkor nem lehetnek X-ek harmadik (vagy nagyobb) fokozatban.

Sok egyenlet megoldása másodfokú egyenletek megoldására redukálódik.

Tanuljuk meg meghatározni, hogy másodfokú egyenletünk van, és nem valami más.

1. példa

Szabaduljon meg a nevezőtől, és szorozza meg az egyenlet minden tagját ezzel

Vigyünk át mindent a bal oldalra, és rendezzük a kifejezéseket x hatványai szerint csökkenő sorrendbe

Most már teljes bizonyossággal kijelenthetjük adott egyenlet négyzet alakú!

2. példa

Szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt a következővel:

Ez az egyenlet, bár eredetileg benne volt, nem négyzet!

3. példa

Szorozzunk meg mindent a következővel:

Ijedős? A negyedik és a második fok... Ha azonban cserét végzünk, látni fogjuk, hogy van egy egyszerű másodfokú egyenletünk:

4. példa

Úgy tűnik, hogy van, de nézzük meg közelebbről. Tegyünk mindent a bal oldalra:

Látod, összezsugorodott – és most ez egy egyszerű lineáris egyenlet!

Most próbálja meg meghatározni, hogy az alábbi egyenletek közül melyik másodfokú és melyik nem:

Példák:

Válaszok:

  1. négyzet;
  2. négyzet;
  3. nem négyzet alakú;
  4. nem négyzet alakú;
  5. nem négyzet alakú;
  6. négyzet;
  7. nem négyzet alakú;
  8. négyzet.

A matematikusok feltételesen felosztják az összes másodfokú egyenletet a következő típusokra:

  • Teljes másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együtthatók és, valamint a c szabad tag nem egyenlő nullával (mint a példában). Ezenkívül a teljes másodfokú egyenletek között vannak adott olyan egyenletek, amelyekben az együttható (az első példából származó egyenlet nemcsak teljes, hanem redukált is!)
  • Hiányos másodfokú egyenletek- olyan egyenletek, amelyekben az együttható és/vagy c szabad tag egyenlő nullával:

    Hiányosak, mert hiányzik belőlük valamilyen elem. De az egyenletnek mindig x négyzetet kell tartalmaznia!!! Ellenkező esetben ez már nem másodfokú, hanem valami más egyenlet.

Miért találtak ki ilyen felosztást? Úgy tűnik, hogy van egy X négyzet, és rendben van. Az ilyen felosztás a megoldási módszereknek köszönhető. Tekintsük mindegyiket részletesebben.

Hiányos másodfokú egyenletek megoldása

Először is koncentráljunk a hiányos másodfokú egyenletek megoldására – ezek sokkal egyszerűbbek!

A nem teljes másodfokú egyenletek a következő típusúak:

  1. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.
  2. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.
  3. , ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

1. i. Mivel tudjuk, hogyan kell kivonni Négyzetgyök, akkor fejezzük ki ebből az egyenletből

A kifejezés lehet negatív vagy pozitív. A négyzetes szám nem lehet negatív, mert két negatív vagy két pozitív szám szorzásakor mindig pozitív szám lesz az eredmény, tehát: ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása.

És ha, akkor két gyökeret kapunk. Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A lényeg az, hogy mindig tudnod kell és emlékezned kell, hogy nem lehet kevesebb.

Próbáljunk meg néhány példát megoldani.

5. példa:

Oldja meg az egyenletet

Most marad a gyökér kinyerése a bal és a jobb oldali részből. Végül is emlékszel, hogyan kell kivonni a gyökereket?

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!!!

6. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

7. példa:

Oldja meg az egyenletet

Jaj! Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerek!

Az ilyen egyenletekhez, amelyekben nincsenek gyökerek, a matematikusok egy speciális ikont találtak ki - (üres halmaz). A választ pedig így írhatjuk:

Válasz:

Így ennek a másodfokú egyenletnek két gyöke van. Itt nincsenek korlátozások, mivel nem bontottuk ki a gyökeret.
8. példa:

Oldja meg az egyenletet

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

És így,

Ennek az egyenletnek két gyökere van.

Válasz:

A nem teljes másodfokú egyenletek legegyszerűbb típusa (bár mindegyik egyszerű, igaz?). Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

Itt példák nélkül megyünk.

Teljes másodfokú egyenletek megoldása

Emlékeztetünk arra, hogy a teljes másodfokú egyenlet az alakegyenlet egyenlete, ahol

A teljes másodfokú egyenletek megoldása egy kicsit bonyolultabb (csak egy kicsit) a megadottaknál.

Emlékezik, bármely másodfokú egyenlet megoldható a diszkrimináns segítségével! Méghozzá hiányosan.

A többi módszer segít gyorsabban megtenni, de ha problémái vannak a másodfokú egyenletekkel, először sajátítsa el a megoldást a diszkrimináns segítségével.

1. Másodfokú egyenletek megoldása a diszkrimináns segítségével.

A másodfokú egyenletek ilyen módon történő megoldása nagyon egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzen a műveletek sorrendjére és néhány képletre.

Ha, akkor az egyenletnek van gyöke Speciális figyelem húzz egy lépést. A diszkrimináns () az egyenlet gyökeinek számát adja meg.

  • Ha, akkor a lépésben szereplő képlet erre csökken. Így az egyenletnek csak gyöke lesz.
  • Ha, akkor a lépésnél nem tudjuk kinyerni a diszkrimináns gyökerét. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Térjünk vissza az egyenletekhez, és nézzünk meg néhány példát.

9. példa:

Oldja meg az egyenletet

1. lépés kihagyni.

2. lépés

A diszkrimináns megtalálása:

Tehát az egyenletnek két gyöke van.

3. lépés

Válasz:

10. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában van, tehát 1. lépés kihagyni.

2. lépés

A diszkrimináns megtalálása:

Tehát az egyenletnek egy gyöke van.

Válasz:

11. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet szabványos formában van, tehát 1. lépés kihagyni.

2. lépés

A diszkrimináns megtalálása:

Ez azt jelenti, hogy nem tudjuk kivonni a gyökeret a diszkriminánsból. Az egyenletnek nincsenek gyökerei.

Most már tudjuk, hogyan írjuk le helyesen az ilyen válaszokat.

Válasz: nincsenek gyökerei

2. Másodfokú egyenletek megoldása a Vieta-tétel segítségével.

Ha emlékszel, akkor vannak ilyen típusú egyenletek, amelyeket redukáltnak neveznek (amikor az a együttható egyenlő):

Az ilyen egyenleteket nagyon könnyű megoldani Vieta tételével:

A gyökerek összege adott másodfokú egyenlet egyenlő, és a gyökök szorzata egyenlő.

12. példa:

Oldja meg az egyenletet

Ez az egyenlet alkalmas a Vieta-tétel segítségével történő megoldásra, mert .

Az egyenlet gyökeinek összege, i.e. megkapjuk az első egyenletet:

A termék pedig:

Készítsük el és oldjuk meg a rendszert:

  • és. Az összeg:
  • és. Az összeg:
  • és. Az összeg egyenlő.

és ezek a rendszer megoldásai:

Válasz: ; .

13. példa:

Oldja meg az egyenletet

Válasz:

14. példa:

Oldja meg az egyenletet

Az egyenlet redukált, ami azt jelenti:

Válasz:

NEGYEDES EGYENLETEK. KÖZÉPSZINT

Mi az a másodfokú egyenlet?

Más szóval a másodfokú egyenlet egy olyan alakú egyenlet, ahol - ismeretlen, - néhány szám is.

A számot a legmagasabb ill első együttható másodfokú egyenlet, - második együttható, a - ingyenes tag.

Miért? Mert ha, az egyenlet azonnal lineárissá válik, mert el fog tűnni.

Ebben az esetben és egyenlő lehet nullával. Ebben a székletegyenletben hiányosnak nevezik. Ha az összes kifejezés a helyén van, akkor az egyenlet teljes.

Megoldások különböző típusú másodfokú egyenletekre

Nem teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

Először is elemezzük a hiányos másodfokú egyenletek megoldásának módszereit - ezek egyszerűbbek.

A következő egyenlettípusok különböztethetők meg:

I. , ebben az egyenletben az együttható és a szabad tag egyenlő.

II. , ebben az egyenletben az együttható egyenlő.

III. , ebben az egyenletben a szabad tag egyenlő.

Most fontolja meg ezen altípusok mindegyikének megoldását.

Nyilvánvaló, hogy ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van:

A négyzetes szám nem lehet negatív, mert ha két negatív vagy két pozitív számot szorozunk, az eredmény mindig pozitív szám lesz. Így:

ha, akkor az egyenletnek nincsenek megoldásai;

ha két gyökerünk van

Ezeket a képleteket nem kell megjegyezni. A legfontosabb dolog, amit ne felejts el, az az, hogy nem lehet kevesebb.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Soha ne feledkezz meg a negatív előjelű gyökerekről!

Egy szám négyzete nem lehet negatív, ami azt jelenti, hogy az egyenlet

nincsenek gyökerei.

Ahhoz, hogy röviden írjuk, hogy a problémának nincs megoldása, az üres készlet ikont használjuk.

Válasz:

Tehát ennek az egyenletnek két gyökere van: és.

Válasz:

Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelekből:

A szorzat nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek van megoldása, ha:

Tehát ennek a másodfokú egyenletnek két gyökere van: és.

Példa:

Oldja meg az egyenletet.

Döntés:

Tényezőzzük az egyenlet bal oldalát, és megkeressük a gyököket:

Válasz:

Teljes másodfokú egyenletek megoldási módszerei:

1. Diszkrimináns

A másodfokú egyenletek ilyen módon történő megoldása egyszerű, a lényeg az, hogy emlékezzen a műveletek sorrendjére és néhány képletre. Ne feledje, hogy a diszkrimináns segítségével bármilyen másodfokú egyenlet megoldható! Méghozzá hiányosan.

Észrevetted a diszkrimináns gyökerét a gyökképletben? De a megkülönböztető lehet negatív is. Mit kell tenni? Különös figyelmet kell fordítanunk a 2. lépésre. A diszkrimináns megmondja az egyenlet gyökeinek számát.

  • Ha, akkor az egyenletnek van gyöke:
  • Ha, akkor az egyenletnek ugyanaz a gyöke, de valójában egy gyöke:

    Az ilyen gyökereket kettős gyökérnek nevezzük.

  • Ha, akkor a diszkrimináns gyökerét nem nyerjük ki. Ez azt jelzi, hogy az egyenletnek nincs gyökere.

Miért van különböző számú gyökér? Térjünk rá a másodfokú egyenlet geometriai jelentésére. A függvény grafikonja egy parabola:

Egy adott esetben, ami egy másodfokú egyenlet, . Ez pedig azt jelenti, hogy a másodfokú egyenlet gyökei az x tengellyel (tengely) való metszéspontok. Előfordulhat, hogy a parabola egyáltalán nem keresztezi a tengelyt, vagy egy (ha a parabola teteje a tengelyen van) vagy két pontban metszi azt.

Ezenkívül az együttható felelős a parabola ágainak irányáért. Ha, akkor a parabola ágai felfelé, és ha - akkor lefelé irányulnak.

Példák:

Megoldások:

Válasz:

Válasz: .

Válasz:

Ez azt jelenti, hogy nincsenek megoldások.

Válasz: .

2. Vieta tétele

A Vieta-tétel használata nagyon egyszerű: csak ki kell választani egy olyan számpárt, amelynek szorzata egyenlő az egyenlet szabad tagjával, és az összeg egyenlő a második együtthatóval, ellenkező előjellel.

Fontos megjegyezni, hogy Vieta tétele csak erre alkalmazható adott másodfokú egyenletek ().

Nézzünk néhány példát:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Döntés:

Ez az egyenlet alkalmas a Vieta-tétel segítségével történő megoldásra, mert . Egyéb együtthatók: ; .

Az egyenlet gyökeinek összege:

A termék pedig:

Válasszunk ki olyan számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, és ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

  • és. Az összeg:
  • és. Az összeg:
  • és. Az összeg egyenlő.

és ezek a rendszer megoldásai:

Így és ezek az egyenletünk gyökerei.

Válasz: ; .

2. példa:

Döntés:

Kiválasztjuk azokat a számpárokat, amelyek a szorzatban szerepelnek, majd ellenőrizzük, hogy összegük egyenlő-e:

és: adja összesen.

és: adja összesen. Ahhoz, hogy megszerezze, csak meg kell változtatnia az állítólagos gyökerek jeleit: és végül is a munkát.

Válasz:

3. példa:

Döntés:

Az egyenlet szabad tagja negatív, ezért a gyökök szorzata negatív szám. Ez csak akkor lehetséges, ha az egyik gyökér negatív, a másik pedig pozitív. Tehát a gyökerek összege az moduljaik különbségei.

Olyan számpárokat választunk ki, amelyek megadják a szorzatot, és amelyek különbsége egyenlő:

és: különbségük - nem megfelelő;

és: - nem alkalmas;

és: - nem alkalmas;

és: - alkalmas. Csak emlékezni kell arra, hogy az egyik gyökér negatív. Mivel ezek összegének egyenlőnek kell lennie, ezért az abszolút értékben kisebb gyöknek negatívnak kell lennie: . Ellenőrizzük:

Válasz:

4. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Döntés:

Az egyenlet redukált, ami azt jelenti:

A szabad tag negatív, ezért a gyökök szorzata negatív. És ez csak akkor lehetséges, ha az egyenlet egyik gyöke negatív, a másik pedig pozitív.

Kiválasztjuk azokat a számpárokat, amelyek szorzata egyenlő, majd meghatározzuk, hogy melyik gyöknek legyen negatív előjele:

Nyilvánvalóan csak a gyökerek és az első feltételre alkalmasak:

Válasz:

5. példa:

Oldja meg az egyenletet.

Döntés:

Az egyenlet redukált, ami azt jelenti:

A gyökök összege negatív, ami azt jelenti, hogy legalább az egyik gyökér negatív. De mivel a termékük pozitív, ez azt jelenti, hogy mindkét gyökér mínusz.

Olyan számpárokat választunk ki, amelyek szorzata egyenlő:

Nyilvánvaló, hogy a gyökerek a számok és.

Válasz:

Egyetértek, nagyon kényelmes - szóban feltalálni a gyökereket, ahelyett, hogy ezt a csúnya megkülönböztetőt számolnánk. Próbálja meg minél gyakrabban használni Vieta tételét.

A Vieta-tétel azonban szükséges a gyökerek megtalálásának megkönnyítése és felgyorsítása érdekében. Ahhoz, hogy nyereséges legyen a használata, a műveleteket automatizálni kell. És ehhez oldj meg még öt példát. De ne csalj: nem használhatod a diszkriminánst! Csak Vieta tétele:

Megoldások önálló munkavégzésre:

1. feladat ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta tétele szerint:

A válogatást szokás szerint a termékkel kezdjük:

Nem alkalmas, mert az összeg;

: az összeg annyi, amennyire szüksége van.

Válasz: ; .

2. feladat.

És ismét a kedvenc Vieta-tételünk: az összegnek ki kell jönnie, de a szorzat egyenlő.

De mivel nem kellene, hanem, megváltoztatjuk a gyökerek jeleit: és (összesen).

Válasz: ; .

3. feladat.

Hmm... Hol van?

Az összes feltételt egy részbe kell áthelyezni:

A gyökerek összege egyenlő a szorzattal.

Igen, állj! Az egyenlet nincs megadva. De Vieta tétele csak az adott egyenletekben alkalmazható. Tehát először meg kell hoznia az egyenletet. Ha nem tudja felhozni, dobja el ezt az ötletet, és oldja meg más módon (például a diszkrimináns segítségével). Hadd emlékeztesselek arra, hogy egy másodfokú egyenlet létrehozása azt jelenti, hogy a vezető együtthatót egyenlővé kell tenni:

Bírság. Ekkor a gyökök összege egyenlő, és a szorzat.

Itt könnyebb felvenni: végül is - prímszám (elnézést a tautológiáért).

Válasz: ; .

4. feladat.

A szabad kifejezés negatív. Mi olyan különleges benne? És az a tény, hogy a gyökerek különböző előjelűek lesznek. És most a kiválasztás során nem a gyökerek összegét ellenőrizzük, hanem a moduljaik közötti különbséget: ez a különbség egyenlő, hanem a szorzat.

Tehát a gyökök egyenlőek és, de az egyik mínuszos. Vieta tétele azt mondja, hogy a gyökök összege egyenlő a második, ellenkező előjelű együtthatóval, azaz. Ez azt jelenti, hogy a kisebb gyökérnek mínusza lesz: és, mivel.

Válasz: ; .

5. feladat.

Mit kell először tenni? Így van, adja meg az egyenletet:

Ismét: kiválasztjuk a szám tényezőit, és különbségük egyenlő legyen:

A gyökerek egyenlőek és, de az egyik mínusz. Melyik? Összegüknek egyenlőnek kell lennie, ami azt jelenti, hogy mínusz esetén nagyobb gyökér lesz.

Válasz: ; .

Hadd foglaljam össze:
  1. Vieta tétele csak az adott másodfokú egyenletekben használatos.
  2. A Vieta-tétel segítségével kiválasztással, szóban megtalálhatja a gyökereket.
  3. Ha az egyenlet nincs megadva, vagy nem található a szabad tag megfelelő tényezőpárja, akkor nincsenek egész gyökök, és ezt más módon kell megoldani (például a diszkrimináns segítségével).

3. Teljes négyzet kiválasztási módszer

Ha az összes ismeretlent tartalmazó tagot a rövidített szorzás képleteiből - az összeg vagy a különbség négyzete - tagként ábrázoljuk, akkor a változók változása után az egyenlet egy ilyen típusú hiányos másodfokú egyenletként ábrázolható.

Például:

1. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Döntés:

Válasz:

2. példa:

Oldja meg az egyenletet: .

Döntés:

Válasz:

NÁL NÉL Általános nézet az átalakítás így fog kinézni:

Ez azt jelenti: .

Nem emlékeztet semmire? Ez a diszkrimináns! Pontosan így kaptuk meg a diszkrimináns képletet.

NEGYEDES EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐRŐL

Másodfokú egyenlet egy olyan egyenlet, ahol az ismeretlen, a másodfokú egyenlet együtthatói, a szabad tag.

Teljes másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együtthatók nem egyenlőek nullával.

Csökkentett másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható, azaz: .

Hiányos másodfokú egyenlet- egy egyenlet, amelyben az együttható és/vagy a c szabad tag egyenlő nullával:

  • ha az együttható, akkor az egyenlet alakja: ,
  • ha szabad tag, akkor az egyenlet alakja: ,
  • ha és, az egyenlet alakja: .

1. Algoritmus hiányos másodfokú egyenletek megoldására

1.1. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Fejezd ki az ismeretlent: ,

2) Ellenőrizze a kifejezés jelét:

  • ha, akkor az egyenletnek nincs megoldása,
  • ha, akkor az egyenletnek két gyöke van.

1.2. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

1) Vegyük ki a közös tényezőt a zárójelből: ,

2) A szorzat akkor egyenlő nullával, ha legalább az egyik tényező nulla. Ezért az egyenletnek két gyökere van:

1.3. A forma hiányos másodfokú egyenlete, ahol:

Ennek az egyenletnek mindig csak egy gyöke van: .

2. Algoritmus hol alakú teljes másodfokú egyenletek megoldására

2.1. Megoldás a diszkrimináns használatával

1) Hozzuk az egyenletet alapforma: ,

2) Számítsa ki a diszkriminánst a következő képlettel: , amely az egyenlet gyökeinek számát jelzi:

3) Keresse meg az egyenlet gyökereit:

  • ha, akkor az egyenletnek van gyöke, amelyet a következő képlettel találunk meg:
  • ha, akkor az egyenletnek van gyöke, amelyet a következő képlettel találunk meg:
  • ha, akkor az egyenletnek nincs gyöke.

2.2. Megoldás Vieta tételével

A redukált másodfokú egyenlet (alakú egyenlet, ahol) gyökeinek összege egyenlő, a gyökök szorzata pedig egyenlő, azaz. , a.

2.3. Teljes négyzet alakú megoldás

Ha az alak másodfokú egyenletének vannak gyökei, akkor a következő formában írható fel: .

Nos, a téma véget ért. Ha ezeket a sorokat olvasod, akkor nagyon menő vagy.

Mert csak az emberek 5%-a képes egyedül elsajátítani valamit. És ha a végéig elolvastad, akkor az 5%-ban vagy!

Most a legfontosabb.

Kitaláltad az elméletet ebben a témában. És ismétlem, ez... egyszerűen szuper! Már így is jobb vagy, mint a társaid túlnyomó többsége.

Az a baj, hogy ez nem elég...

Miért?

A sikerességért a vizsga letétele, az intézetbe való felvételért költségvetési és ami a LEGFONTOSABB életre szóló.

Nem foglak meggyőzni semmiről, csak egyet mondok...

Emberek, akik kaptak egy jó oktatás, sokkal többet keresnek, mint azok, akik nem kapták meg. Ez statisztika.

De nem ez a fő.

A lényeg, hogy TÖBBEN BOLDOGAK legyenek (vannak ilyen tanulmányok). Talán azért, mert sokkal több lehetőség nyílik meg előttük, és az élet fényesebbé válik? nem tudom...

De gondold meg magad...

Mi kell ahhoz, hogy biztosan jobb legyen, mint mások a vizsgán, és végül… boldogabb legyen?

TÖLTSE MEG A KEZÉT, MEGOLDÁSA EBBEN A TÉMÁBAN.

A vizsgán nem kérdeznek elméletet.

Szükséged lesz időben oldja meg a problémákat.

És ha nem oldotta meg őket (SOK!), akkor valahol biztosan elkövet egy hülye hibát, vagy egyszerűen nem fog időben elkövetni.

Ez olyan, mint a sportban – sokszor meg kell ismételni a biztos győzelemhez.

Keressen gyűjteményt bárhol, ahol csak akar szükségszerűen megoldásokkal részletes elemzés és dönts, dönts, dönts!

Feladatainkat (nem feltétlenül) használhatja, és mindenképpen ajánljuk.

Ahhoz, hogy segítséget kaphasson feladataink segítségével, hozzá kell járulnia az éppen olvasott YouClever tankönyv élettartamának meghosszabbításához.

Hogyan? Két lehetőség van:

  1. A cikkben található összes rejtett feladathoz való hozzáférés feloldása -
  2. Nyissa meg a hozzáférést az összes rejtett feladathoz az oktatóanyag mind a 99 cikkében - Tankönyv vásárlása - 499 rubel

Igen, 99 ilyen cikkünk van a tankönyvben, és azonnal megnyitható az összes feladat és minden rejtett szöveg.

Az összes rejtett feladathoz hozzáférés biztosított a webhely teljes élettartama alatt.

Összefoglalva...

Ha nem tetszenek a feladataink, keress másokat. Csak ne hagyd abba az elméletet.

Az „értettem” és a „tudom, hogyan kell megoldani” teljesen különböző képességek. Mindkettőre szüksége van.

Találd meg a problémákat és oldd meg!

2. dia

Az algebra órák másodfokú egyenletek ciklusa a 8. osztályban A.G. tankönyve szerint. Mordkovich

Tanár MBOU Grushevskaya középiskola Kireeva T.A.

3. dia

Célok: a másodfokú egyenlet fogalmainak bemutatása, a másodfokú egyenlet gyökere; másodfokú egyenletek megoldásainak bemutatása; másodfokú egyenletek megoldási képességének kialakítása; mutasson módot teljes másodfokú egyenletek megoldására a másodfokú egyenlet gyökeinek képletével.

4. dia

5. dia

Egy kis történelem Másodfokú egyenletek az ókori Babilonban. A nem csak első, hanem másodfokú egyenletek megoldásának igényét már az ókorban is az okozta, hogy a földterületek, ill. földmunkák katonai jelleggel, valamint magának a csillagászatnak és a matematikának a fejlődésével. A babilóniaiak körülbelül 2000 évvel hitünk előtt tudták, hogyan kell másodfokú egyenleteket megoldani. A modern algebrai jelölést alkalmazva elmondható, hogy ékírásos szövegeikben a hiányosak mellett vannak például teljes másodfokú egyenletek.

6. dia

Ezen egyenletek megoldásának a babiloni szövegekben megfogalmazott szabálya egybeesik a modernnel, de nem ismert, hogy a babilóniaiak hogyan jutottak el ehhez a szabályhoz. Az eddig talált ékírásos szövegek szinte mindegyike csak recept formájában megfogalmazott megoldási problémákat ad, a megtalálás módját nem jelzik. Ellenére magas szint az algebra fejlődése Babilóniában, az ékírásos szövegekben nincs negatív szám fogalma és általános módszerek a másodfokú egyenletek megoldására.

7. dia

Definíció 1. A másodfokú egyenlet olyan alakú egyenlet, ahol az a, b, c együtthatók bármely valós számok, és a polinomot négyzetes trinomnak nevezzük. a az első vagy a legmagasabb együttható c a második együttható c szabad tag

8. dia

Definíció 2. Egy másodfokú egyenletet redukáltnak nevezünk, ha a vezető együtthatója 1; egy másodfokú egyenletet redukálatlannak nevezünk, ha a vezető együttható eltér 1-től. Példa. 2 - 5 + 3 = 0 - redukálatlan másodfokú egyenlet - redukált másodfokú egyenlet

9. dia

Definíció 3. A teljes másodfokú egyenlet olyan másodfokú egyenlet, amelyben mindhárom tag jelen van. a + in + c \u003d 0 A nem teljes másodfokú egyenlet olyan egyenlet, amelyben nincs mindhárom tag jelen; olyan egyenlet, amelyben a c együtthatók legalább egyike egyenlő nullával.

10. dia

Hiányos másodfokú egyenletek megoldási módszerei.

dia 11

24.16 (a, b) feladatok megoldása Oldja meg az egyenletet: vagy Válasz! vagy Válasz.

dia 12

4. definíció A másodfokú egyenlet gyöke az x változó tetszőleges értéke, amelynél a hármas négyzet eltűnik; az x változó ilyen értékét a négyzetes trinom gyökének is nevezik.. Egy másodfokú egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az összes gyökerét, vagy megállapítani, hogy nincsenek gyökök.

dia 13

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa D 0 D=0 Az egyenletnek nincs gyökere Az egyenletnek két gyöke van Az egyenletnek egy gyöke van Képletek másodfokú egyenlet gyökére

14. dia

D>0 a másodfokú egyenletnek két gyöke van, amelyeket a képletekkel találhatunk meg Példa. Oldja meg az egyenletet Megoldás. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Válasz: 1; -3

dia 15

Másodfokú egyenlet megoldásának algoritmusa 1. Számítsa ki a D diszkriminánst a D = 2 képlettel. Ha D 0, akkor a másodfokú egyenletnek két gyökere van.

Beprogramozás Lázár iskolásoknak.

12. lecke.

Másodfokú egyenlet megoldása.

Matycin Igor Vladimirovics

Matematika és számítástechnika tanár

MBOU középiskola. leányka

Cél: program írása másodfokú egyenlet megoldására, bármilyen bevitel mellett.

Lány 2013.

A másodfokú egyenlet az egyik leggyakoribb iskolai kurzusegyenlet. Bár meglehetősen könnyen megoldható, néha ellenőrizni kell a válaszokat. Ehhez használhatja egy egyszerű program. Nem tart sokáig megírni.

Magával a másodfokú egyenlettel kell kezdenie. Az algebra kurzusból tudjuk, hogy a másodfokú egyenlet az alak egyenlete fejsze 2 + bx + c =0, hol x - változó, a , b és c néhány szám, és a .

A definícióból látható, hogy az egyenletben csak az együtthatók változnak a , b és c . Ezeket a paramétereket fogjuk beírni a programunkba, és ehhez a komponensekből három beviteli mezőt készítünk.

14.1. ábra Az együtthatók beviteli mezői.

A meghatározásból az is következik, hogy a . Ebben az esetben az egyenlet nem másodfokú. És mindenekelőtt ezt a feltételt fogjuk ellenőrizni. Az operátor segítségével hozzuk létre a „Megoldás” gombot és annak eseményfejlesztőjét ha ellenőrizze az állapotot a . És ha a =0 azt mondjuk, hogy az egyenletünk nem másodfokú.Íme a gomb eseménykezelője:eljárás TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(szerkesztés2.Szöveg); c:=strtofloat(szerkesztés3.Szöveg); ha a=0, akkor Label4.Caption:="Az egyenlet nem négyzet";vége;

Rizs. 14.2 Egyenlet létezésének tesztelése.

Most le kell írni, mi történik, ha az egyenlet másodfokú. Ez is benne lesz ugyanabban a nyilatkozatban ha a szó után más és az összetett operátor használatakor.

Ha az egyenlet másodfokú, akkor azonnal megoldjuk a diszkrimináns képletével és a másodfokú egyenlet gyökeivel.

A diszkriminánst a következő képlettel találjuk meg: D := b * b – 4* a * c ;

Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Így lesz leírva:

Ha d azután címke 4. Felirat :='Az egyenletnek nincs megoldása' más …

És akkor más az egyenlet gyökereinek közvetlen keresése lesz a képletekkel:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Itt van a teljes kezelői kód ha :

ha a=0, akkor Label4.Caption:="Az egyenlet nem négyzet" else

kezdődik

D:=b*b-4*a*c;

ha d

kezdődik

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

vége;

vége;

Rizs. 14.3 A program másodfokú egyenletének munkaablakja.

A másodfokú egyenlet egy a*x^2 +b*x+c=0 alakú egyenlet, ahol a,b,c tetszőleges valós (valós) számok, x pedig egy változó. És a szám a=0.

Az a,b,c számokat együtthatóknak nevezzük. Az a - számot vezető együtthatónak, a b számot x-ben lévő együtthatónak, a c számot szabadtagnak nevezzük.

Másodfokú egyenletek megoldása

Egy másodfokú egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell találni az összes gyökerét, vagy megállapítani, hogy a másodfokú egyenletnek nincs gyöke. Az a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 másodfokú egyenlet gyöke az x változó tetszőleges értéke, így négyzetes trinomikus a*x^2 +b*x+c eltűnik. Néha az x ilyen értékét négyzetes trinom gyökének nevezik.

A másodfokú egyenletek megoldásának többféle módja van. Tekintsük az egyiket - a legsokoldalúbbat. Bármilyen másodfokú egyenlet megoldására használható.

Képletek másodfokú egyenletek megoldására

A másodfokú egyenlet gyökeinek képlete a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), ahol D =b^2-4*a*c.

Ezt a képletet az a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 egyenlet általános formában történő megoldásával kapjuk meg, a binomiális négyzetének kiemelésével.

A másodfokú egyenlet gyökeinek képletében a D (b^2-4*a*c) kifejezést az a*x^2 +b*x+c=0 másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. Ez a név innen származott latin, fordításban "megkülönböztető". A diszkrimináns értékétől függően a másodfokú egyenletnek két vagy egy gyöke lesz, vagy egyáltalán nincs gyöke.

Ha a diszkrimináns nagyobb, mint nulla, akkor a másodfokú egyenletnek két gyöke van. (x=(-b±√D)/(2*a))

Ha a diszkrimináns nulla, akkor a másodfokú egyenletnek egy gyöke van. (x=(-b/(2*a))

Ha a diszkrimináns negatív, akkor a másodfokú egyenletnek nincs gyöke.

Általános algoritmus másodfokú egyenlet megoldására

A fentiek alapján egy általános algoritmust fogalmazunk meg az a*x^2 +b*x+c=0 másodfokú egyenlet megoldására a következő képlet segítségével:

1. Keresse meg a diszkrimináns értékét a D =b^2-4*a*c képlet segítségével.

2. A diszkrimináns értékétől függően számítsa ki a gyököket a képletekkel:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Ez az algoritmus univerzális és bármilyen másodfokú egyenlet megoldására alkalmas. Teljes és hiányos, idézett és nem idézett.

Azt is ajánljuk

Betöltés...Betöltés...