Mit jelent az egyformán egyenlő. Azonos egyenlő kifejezések: definíció, példák

Az algebra tanulmányozása során találkoztunk a polinom (például ($yx$ ,$\ 2x^2-2x$ és így tovább) és az algebrai tört (például $\frac(x+5)(x) fogalmával )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(xy)(yx)$ stb.) Ezeknek a fogalmaknak a hasonlósága az, hogy mind a polinomokban, mind az algebrai törtekben ott van változók és számértékek, aritmetikai műveletek: összeadás, kivonás, szorzás, hatványozás. A különbség ezek között a fogalmak között az, hogy a változóval való osztás nem polinomokban, míg a változóval való osztás végrehajtható algebrai törtekben.

Mind a polinomokat, mind az algebrai törteket racionális algebrai kifejezéseknek nevezik a matematikában. De a polinomok egész racionális kifejezések, az algebrai törtek pedig azok töredékesen racionális kifejezéseket.

A tört-racionális kifejezésből egész számot kaphat algebrai kifejezés az azonos transzformáció segítségével, amely ebben az esetben a tört fő tulajdonsága lesz - a törtek csökkentése. Vizsgáljuk meg a gyakorlatban:

1. példa

Átalakítás: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Megoldás:Átalakítás Adott tört racionális egyenlet a főtulajdon használatával lehetséges törtek - rövidítések, azaz a számlálót és a nevezőt elosztva ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel, amely nem $0$.

Ez a tört nem csökkenthető azonnal, szükséges a számláló konvertálása.

A kifejezést a tört számlálójában alakítjuk át, ehhez a különbség négyzetének képletét használjuk: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

A törtnek van formája

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Most látjuk, hogy van egy közös tényező a számlálóban és a nevezőben - ez a $x-2$ kifejezés, amelyen csökkentjük a törtet

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

A redukció után megkapjuk, hogy az eredeti tört racionális kifejezés$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ egy $x-2$ polinom lett, azaz. egész racionális.

Most figyeljünk arra, hogy a $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ és a $x-2\ $ kifejezések nem tekinthetők azonosnak a változó minden értékénél, mert annak érdekében, hogy létezzen egy tört-racionális kifejezés, és hogy lehetséges legyen a $x-2$ polinommal való csökkentés, a tört nevezője nem lehet egyenlő $0$-val (valamint az a tényező, amellyel csökkentjük. ezt a példát a nevező és a szorzó ugyanaz, de ez nem mindig van így).

Azokat a változó értékeket, amelyekhez az algebrai tört létezik, érvényes változóértékeknek nevezzük.

Feltételt teszünk a tört nevezőjére: $x-2≠0$, majd $x≠2$.

Tehát a $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ és a $x-2$ kifejezések a változó összes értékére azonosak, kivéve a $2$-t.

1. definíció

egyformán egyenlő A kifejezések azok, amelyek a változó összes lehetséges értékére egyenlők.

Azonos transzformáció az eredeti kifejezés bármilyen azonos azonosságúra történő cseréje. Ilyen transzformációk a következők: összeadás, kivonás, szorzás, zárójelek algebrai törtek közös nevezőre, algebrai törtek redukálása, hasonló tagok redukciója stb. Figyelembe kell venni, hogy számos transzformáció, például redukció, hasonló kifejezések csökkentése megváltoztathatja a változó megengedett értékeit.

A személyazonosság bizonyítására használt technikák

Alakítsa át az identitás bal oldalát a jobb oldalra vagy fordítva identitástranszformációk segítségével

Csökkentse mindkét részt ugyanarra a kifejezésre azonos transzformációkkal

Vigye át a kifejezések egyik részében lévő kifejezéseket a másikba, és bizonyítsa be, hogy az eredményül kapott különbség egyenlő: $0$

Az, hogy a fenti módszerek közül melyiket kell használni egy adott azonosság bizonyítására, az eredeti személyazonosságtól függ.

2. példa

Igazolja az azonosságot $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Megoldás: Ennek az azonosságnak a bizonyítására a fenti módszerek közül az elsőt használjuk, vagyis az azonosság bal oldalát addig alakítjuk, amíg az egyenlő nem lesz a jobb oldallal.

Tekintsük az azonosság bal oldalát: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- ez két polinom különbsége. Ebben az esetben az első polinom három tag összegének négyzete. Több tag összegének négyzetére a következő képletet használjuk:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Ehhez meg kell szoroznunk egy számot egy polinommal Emlékezzünk vissza, hogy ehhez meg kell szoroznunk a zárójelen kívüli közös tényezőt a zárójelben lévő polinom minden tagjával. Ekkor kapjuk:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Most térjünk vissza az eredeti polinomhoz, ez a következő formában lesz:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Vegye figyelembe, hogy a zárójel előtt egy „-” jel található, ami azt jelenti, hogy a zárójelek kinyitásakor a zárójelben lévő összes jel megfordul.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ha hasonló kifejezéseket hozunk, akkor azt kapjuk, hogy a $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ és $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ monomiumok kioltják egymást, azaz. ezek összege 0 dollár.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Tehát azonos transzformációkkal megkaptuk az azonos kifejezést az eredeti azonosság bal oldalán

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Vegye figyelembe, hogy az eredményül kapott kifejezés azt mutatja, hogy az eredeti azonosság igaz.

Vegye figyelembe, hogy az eredeti azonosságban a változó minden értéke megengedett, ami azt jelenti, hogy az azonosságot azonos transzformációkkal igazoltuk, és ez igaz a változó összes megengedett értékére.

Az eredeti kifejezést alkotó számok és kifejezések helyettesíthetők velük azonos kifejezésekkel. Az eredeti kifejezés ilyen átalakítása egy vele azonos kifejezéshez vezet.

Például a 3+x kifejezésben a 3-as szám helyettesíthető az 1+2 összeggel, ami az (1+2)+x kifejezést eredményezi, amely megegyezik az eredeti kifejezéssel. Egy másik példa: az 1+a 5 kifejezésben az 5 foka helyettesíthető vele azonos szorzattal, például a·a 4 alakú. Így az 1+a·a 4 kifejezést kapjuk.

Ez az átalakulás kétségtelenül mesterséges, és általában valamilyen további átalakulás előkészülete. Például a 4·x 3 +2·x 2 összegben a fok tulajdonságait figyelembe véve a 4·x 3 tag 2·x 2 ·2·x szorzatként ábrázolható. Egy ilyen transzformáció után az eredeti kifejezés 2·x 2 ·2·x+2·x 2 alakot vesz fel. Nyilvánvaló, hogy a kapott összegben szereplő tagok közös tényezője 2 x 2, így a következő transzformációt hajthatjuk végre - zárójelek. Utána a következő kifejezéshez jutunk: 2 x 2 (2 x+1) .

Ugyanazon szám összeadása és kivonása

Egy kifejezés másik mesterséges átalakítása ugyanazon szám vagy kifejezés egyidejű összeadása és kivonása. Egy ilyen transzformáció azonos, mivel valójában egyenértékű a nulla hozzáadásával, és a nulla hozzáadása nem változtatja meg az értéket.

Vegyünk egy példát. Vegyük az x 2 +2 x kifejezést. Ha hozzáad egyet és kivon egyet, akkor ez lehetővé teszi, hogy a jövőben egy másik azonos transzformációt hajtson végre - válassza ki a binomiális négyzetét: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliográfia.

Algebra: tankönyv 7 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: tankönyv 8 cellához. Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerk. S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M. : Oktatás, 2008. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 7. osztály. 14 órakor 1. rész Tanulói tankönyv oktatási intézmények/ A. G. Mordkovich. - 17. kiadás, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

A számok összeadásának és szorzásának alapvető tulajdonságai.

Összeadás kommutatív tulajdonsága: a tagok átrendezésekor az összeg értéke nem változik. Bármely a és b számra igaz az egyenlőség

Az összeadás asszociatív tulajdonsága: ahhoz, hogy két szám összegéhez egy harmadik számot adjunk, az első számhoz hozzáadhatjuk a második és a harmadik összegét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

A szorzás kommutatív tulajdonsága: a tényezők permutációja nem változtatja meg a szorzat értékét. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

A szorzás asszociatív tulajdonsága: ahhoz, hogy két szám szorzatát megszorozzuk egy harmadik számmal, az első számot megszorozhatjuk a második és a harmadik szorzatával.

Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

Eloszlási tulajdonság: Ha egy számot összeggel szeretne megszorozni, megszorozhatja ezt a számot minden egyes taggal, és összeadhatja az eredményeket. Bármely a, b és c számra igaz az egyenlőség

Az összeadás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik, hogy tetszőleges összegben tetszőlegesen átrendezheti a kifejezéseket, és tetszőleges módon csoportosíthatja őket.

1. példa Számítsuk ki az 1,23+13,5+4,27 összeget.

Ehhez célszerű az első kifejezést a harmadikkal kombinálni. Kapunk:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

A szorzás kommutatív és asszociatív tulajdonságaiból következik: bármely szorzatban a tényezőket tetszőlegesen átrendezheti és tetszőlegesen csoportokba vonhatja.

2. példa Határozzuk meg a szorzat értékét 1,8 0,25 64 0,5.

Az első tényezőt a negyedikkel és a másodikat a harmadikkal kombinálva a következőket kapjuk:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Az elosztási tulajdonság akkor is érvényes, ha a számot megszorozzuk három vagy több tag összegével.

Például bármely a, b, c és d számra igaz az egyenlőség

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Tudjuk, hogy a kivonás helyettesíthető összeadással, ha a minuendhez hozzáadjuk a kivonandó számmal ellentétes számot:

Ez lehetővé teszi a numerikus kifejezést típusú a-b tekintsük az a és -b számok összegét, tekintsük az a + b-c-d alakú numerikus kifejezést a, b, -c, -d stb. számok összegének. A cselekvések figyelembe vett tulajdonságai ilyen összegekre is érvényesek.

3. példa Keressük meg a 3,27-6,5-2,5+1,73 kifejezés értékét.

Ez a kifejezés a 3,27, -6,5, -2,5 és 1,73 számok összege. Az összeadási tulajdonságokat alkalmazva a következőt kapjuk: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. példa Számítsuk ki a 36·() szorzatot.

A szorzó felfogható a számok és a - összegeként. A szorzás eloszlási tulajdonságát felhasználva a következőket kapjuk:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitások

Meghatározás. Két olyan kifejezést, amelyeknek a megfelelő értéke megegyezik a változó bármely értékével, azonosnak mondjuk.

Meghatározás. Azt az egyenlőséget, amely a változók bármely értékére igaz, azonosságnak nevezzük.

Keressük meg a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések értékét x=5, y=4 esetén:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Ugyanazt az eredményt kaptuk. Az eloszlási tulajdonságból következik, hogy általában a változók bármely értékére a 3(x+y) és 3x+3y kifejezések megfelelő értékei egyenlőek.

Tekintsük most a 2x+y és 2xy kifejezéseket. x=1, y=2 esetén egyenlő értékeket vesznek fel:

Azonban megadhat x és y értékeket úgy, hogy ezeknek a kifejezéseknek az értékei nem egyenlőek. Például, ha x=3, y=4, akkor

A 3(x+y) és 3x+3y kifejezések azonosak, de a 2x+y és 2xy kifejezések nem azonosak.

A 3(x+y)=x+3y egyenlőség, amely x és y bármely értékére igaz, azonosság.

A valódi számszerű egyenlőségeket is azonosságnak tekintjük.

Tehát az azonosságok egyenlőségek, amelyek kifejezik a számokkal kapcsolatos műveletek fő tulajdonságait:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Az identitásokra további példák is hozhatók:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Kifejezések identitástranszformációi

Az egyik kifejezés helyettesítését egy másikkal, azzal azonosan nevezzük identitás-átalakítás vagy egyszerűen egy kifejezés átalakításával.

A változókkal rendelkező kifejezések azonos átalakításait a számokkal végzett műveletek tulajdonságai alapján hajtjuk végre.

Az xy-xz kifejezés értékének megtalálásához az x, y, z értékek mellett három lépést kell végrehajtania. Például, ha x=2.3, y=0.8, z=0.2, a következőt kapjuk:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ez az eredmény csak két lépésben érhető el, az x(y-z) kifejezéssel, amely azonos az xy-xz kifejezéssel:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Egyszerűsítettük a számításokat, az xy-xz kifejezést az azonosra cseréltük egyenlő kifejezés x(y-z).

A kifejezések identitás-transzformációit széles körben használják a kifejezések értékeinek kiszámításához és más problémák megoldásához. Néhány azonos átalakítás már megtörtént, például a hasonló kifejezések redukciója, zárójelek felnyitása. Emlékezzünk vissza az átalakítások végrehajtásának szabályaira:

hasonló kifejezések létrehozásához össze kell adni az együtthatóikat, és meg kell szorozni az eredményt a közös betűrésszel;

ha a zárójelek előtt plusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, megtartva az egyes kifejezések zárójelbe tett jelét;

ha a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók az egyes zárójelbe tett kifejezések előjelének megváltoztatásával.

1. példa Adjunk hozzá hasonló kifejezéseket az 5x+2x-3x összegben.

A hasonló kifejezések csökkentésére a szabályt használjuk:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ez a transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán alapul.

2. példa Bontsuk ki a zárójeleket a 2a+(b-3c) kifejezésben.

A pluszjel előtti zárójelek nyitására vonatkozó szabály alkalmazása:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Az elvégzett transzformáció az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul.

3. példa Bontsuk ki a zárójeleket az a-(4b-c) kifejezésben.

Használjuk a szabályt a mínuszjel előtti zárójelek bővítésére:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Az elvégzett transzformáció a szorzás elosztó tulajdonságán és az összeadás asszociatív tulajdonságán alapul. Mutassuk meg. Jelenítsük meg a -(4b-c) második tagot ebben a kifejezésben szorzatként (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

A műveletek ezen tulajdonságait alkalmazva a következőket kapjuk:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

2. § Identitáskifejezések, identitás. Egy kifejezés identitástranszformációja. Személyazonossági igazolások

Keressük meg a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezések értékeit az x változó adott értékeihez. Az eredményeket táblázatba írjuk:

Megállapítható, hogy a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezések értékei mindegyikre adott értéket x változó egyenlő egymással. A szorzás eloszlási tulajdonsága szerint a kivonáshoz képest 2(x - 1) = 2x - 2. Ezért az x változó bármely más értékénél a 2(x - 1) 2x - 2 kifejezés értéke is egyenlő egymással. Az ilyen kifejezéseket azonosan egyenlőnek nevezzük.

Például a 2x + 3x és 5x kifejezések szinonimák, mivel az x változó minden egyes értékére ezek a kifejezések ugyanazok az értékek(ez a szorzásnak az összeadásra vonatkozó elosztó tulajdonságából következik, hiszen 2x + 3x = 5x).

Tekintsük most a 3x + 2y és 5xy kifejezéseket. Ha x \u003d 1 és b \u003d 1, akkor ezeknek a kifejezéseknek a megfelelő értékei megegyeznek egymással:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Megadhat azonban olyan x és y értékeket, amelyeknél ezeknek a kifejezéseknek az értékei nem lesznek egyenlők egymással. Például, ha x = 2; y = 0, akkor

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Következésképpen a változóknak vannak olyan értékei, amelyeknél a 3x + 2y és 5xy kifejezések megfelelő értékei nem egyenlők egymással. Ezért a 3x + 2y és 5xy kifejezések nem azonosak.

A fentiek alapján az azonosságok különösen egyenlőségek: 2(x - 1) = 2x - 2 és 2x + 3x = 5x.

Az identitás minden egyenlőség, ami meg van írva ismert tulajdonságait számokkal kapcsolatos műveletek. Például,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Vannak olyan egyenlőségek is, mint az identitások:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Ha redukáljuk a hasonló tagokat a -5x + 2x - 9 kifejezésben, akkor azt kapjuk, hogy 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Ebben az esetben azt mondják, hogy az 5x + 2x - 9 kifejezést a 7x - kifejezés váltotta fel. 9, ami megegyezik vele.

A változókkal rendelkező kifejezések azonos transzformációit a számokra vonatkozó műveletek tulajdonságainak alkalmazásával hajtjuk végre. Különösen az azonos átalakítások a zárójelek nyitásával, a hasonló kifejezések felépítése és hasonlók.

Azonos transzformációkat kell végrehajtani a kifejezés egyszerűsítésekor, vagyis egy kifejezést egy vele azonos kifejezéssel helyettesítünk, aminek rövidebbnek kell lennie.

1. példa: Egyszerűsítse a kifejezést:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 perc;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - de + 2 b + 3 b - de= 3a + 5b + 2.

Annak bizonyítására, hogy az egyenlőség identitás (más szóval, az azonosság bizonyítására a kifejezések identitástranszformációit használjuk).

A személyazonosságot az alábbi módok egyikével igazolhatja:

bal oldalának azonos átalakításait hajtsa végre, ezáltal a jobb oldal formájára redukálja;
jobb oldalának azonos átalakításait hajtsa végre, ezáltal a bal oldal formájára redukálja;
mindkét részének azonos transzformációit hajtja végre, ezáltal mindkét részt ugyanarra a kifejezésre emeli.

2. példa: Igazolja az azonosságot:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206-4a = 5(2a-3b)-7(2a-5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Fejlődés

1) Alakítsuk át ennek az egyenlőségnek a bal oldalát:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - x- 5 - 11 = x - 16.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség bal oldalán lévő kifejezést a jobb oldal formájára redukáltuk, és ezzel bebizonyították, hogy ez az egyenlőség azonosság.

2) Alakítsuk át ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát:

5(2a-3b)-7(2a-5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b-4a.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség jobb oldalát a bal oldal formájára redukáltuk, és ezzel bebizonyították, hogy ez az egyenlőség azonosság.

3) Ebben az esetben célszerű egyszerűsíteni az egyenlőség bal és jobb oldalát, és összehasonlítani az eredményeket:

2(3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Azonos transzformációkkal az egyenlőség bal és jobb oldali részét ugyanarra a formára redukáltuk: 26x - 44. Ezért ez az egyenlőség azonosság.

Milyen kifejezéseket nevezünk azonosnak? Mondjon példát az azonos kifejezésekre! Milyen egyenlőséget nevezünk identitásnak? Mondjon példát az azonosságra! Mit nevezünk egy kifejezés identitástranszformációjának? Hogyan lehet igazolni a személyazonosságot?

(Szóbeli) Vagy vannak azonos kifejezések:

1) 2a + a és 3a;

2) 7x + 6 és 6 + 7x;

3) x + x + x és x 3;

4) 2 (x - 2) és 2x - 4;

5) m-n és n-m;

6) 2a ∙ r és 2p ∙ a?

A kifejezések azonosak:

1) 7x - 2x és 5x;

2) 5a-4 és 4-5a;

3) 4m + n és n + 4m;

4) a + a és a 2;

5) 3(a-4) és 3a-12;

6) 5m ∙ n és 5m + n?

(szóban) Az egyenlőség azonossága:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r-1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Nyitott zárójel:

Nyitott zárójel:

Hasonló kifejezések csökkentése:

Nevezzen meg néhány olyan kifejezést, amelyek megegyeznek a 2a + 3a kifejezésekkel!
Egyszerűsítse a kifejezést a szorzás permutációs és konjunktív tulajdonságaival:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Egyszerűsítse a kifejezést:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 év);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Szóbeli) Egyszerűsítse a kifejezést:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Hasonló kifejezések csökkentése:

1) 56-8a + 4b-a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7-9a)-(4-18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3 m - 5) + 2 (3 m - 7).

Nyissa ki a zárójeleket, és csökkentse a hasonló kifejezéseket:

1) 3(8a-4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20), ha x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ha a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ha m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ha x = -1, y = 1.

Egyszerűsítse a kifejezést, és keresse meg az értékét:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ha x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ha v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ha a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, ha m = 1,8; n = -0,9.

Igazolja a személyazonosságot:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Igazolja a személyazonosságot:

1) -(m-3n) = 3n-m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

A háromszög egyik oldalának hossza egy cm, a másik két oldalé pedig 2 cm-rel hosszabb nála. Írja fel a háromszög kerületét kifejezésként, és egyszerűsítse a kifejezést.
A téglalap szélessége x cm, hossza pedig 3 cm-rel nagyobb, mint a szélessége. Írja fel a téglalap kerületét kifejezésként, és egyszerűsítse a kifejezést.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Bontsa ki a zárójeleket és egyszerűsítse a kifejezést:

1) a-(a-(3a-1));

2) 12 m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

Igazolja a személyazonosságot:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

Igazolja a személyazonosságot:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Bizonyítsuk be, hogy a kifejezés értéke

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) nem függ a változó értékétől.

Bizonyítsuk be, hogy a változó bármely értékére a kifejezés értéke

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

ugyanaz a szám.

Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám összege osztható 6-tal.
Bizonyítsuk be, hogy ha n természetes szám, akkor a -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) kifejezés értéke páros szám.

Ismétlendő gyakorlatok

Egy 1,6 kg tömegű ötvözet 15% rezet tartalmaz. Hány kg rezet tartalmaz ez az ötvözet?
Hány százaléka ennek a 20-as száma:

1) négyzet;

A turista 2 órát gyalogolt és 3 órát biciklizett. Összesen 56 km-t tett meg a turista. Határozza meg azt a sebességet, amellyel a turista kerékpározott, ha az 12 km/h-val nagyobb, mint az a sebesség, amellyel gyalogolt.

Érdekes feladatok lusta diákoknak

A városi labdarúgó-bajnokságban 11 csapat vesz részt. Minden csapat egy mérkőzést játszik a többiekkel. Bizonyítsuk be, hogy a verseny bármely pillanatában van olyan csapat, amely páros számú mérkőzést játszott, vagy még nem játszott.