Kako napisati kvadratnu jednadžbu znajući korijene. Kvadratne jednadžbe - primjeri s rješenjima, značajkama i formulama

Nastavljamo proučavati temu rješenje jednadžbi". Već smo se upoznali s linearnim jednadžbama, a sada ćemo se upoznati s kvadratne jednadžbe.

Najprije ćemo raspraviti što je kvadratna jednadžba, kako se piše u općem obliku i dati povezane definicije. Nakon toga ćemo na primjerima detaljno analizirati kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe. Dalje, prijeđimo na rješavanje potpunih jednadžbi, dobivamo formulu za korijene, upoznajemo se s diskriminantom kvadratne jednadžbe i razmatramo rješenja tipičnih primjera. Konačno, pratimo veze između korijena i koeficijenata.

Navigacija po stranici.

Što je kvadratna jednadžba? Njihove vrste

Prvo morate jasno razumjeti što je kvadratna jednadžba. Stoga je logično govoriti o kvadratnim jednadžbama definicijom kvadratne jednadžbe, kao i definicijama vezanim uz nju. Nakon toga možete razmotriti glavne vrste kvadratnih jednadžbi: reducirane i nereducirane, kao i potpune i nepotpune jednadžbe.

Definicija i primjeri kvadratnih jednadžbi

Definicija.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika a x 2 +b x+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c su neki brojevi, a a se razlikuje od nule.

Recimo odmah da se kvadratne jednadžbe često nazivaju jednadžbama drugog stupnja. To je zato što je kvadratna jednadžba algebarska jednadžba drugi stupanj.

Zvučna definicija omogućuje nam davanje primjera kvadratnih jednadžbi. Dakle 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija.

Brojevi a , b i c se nazivaju koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, a koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b je drugi koeficijent ili koeficijent na x, a c je slobodni član.

Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu oblika 5 x 2 −2 x−3=0, ovdje je vodeći koeficijent 5, drugi koeficijent je −2, a slobodni član je −3. Imajte na umu da kada su koeficijenti b i/ili c negativni, kao u upravo navedenom primjeru, koristi se kratki oblik kvadratne jednadžbe oblika 5 x 2 −2 x−3=0, a ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Vrijedi napomenuti da kada su koeficijenti a i/ili b jednaki 1 ili −1, tada oni obično nisu eksplicitno prisutni u zapisu kvadratne jednadžbe, što je zbog osobitosti zapisa takvog . Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 −y+3=0, vodeći koeficijent je jedan, a koeficijent na y je −1.

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Ovisno o vrijednosti vodećeg koeficijenta razlikuju se reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe. Dajemo odgovarajuće definicije.

Definicija.

Kvadratna jednadžba u kojoj je vodeći koeficijent 1 naziva se reducirana kvadratna jednadžba. Inače, kvadratna jednadžba je nesveden.

Prema ovoj definiciji, kvadratne jednadžbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0, itd. - smanjen, u svakom od njih je prvi koeficijent jednak jedan. I 5 x 2 −x−1=0, itd. - nereducirane kvadratne jednadžbe, njihovi vodeći koeficijenti su različiti od 1.

Iz bilo koje nereducirane kvadratne jednadžbe, dijeljenjem oba njezina dijela s vodećim koeficijentom, možete prijeći na smanjenu. Ova radnja je ekvivalentna transformacija, odnosno ovako dobivena reducirana kvadratna jednadžba ima iste korijene kao izvorna nereducirana kvadratna jednadžba ili, poput nje, nema korijena.

Uzmimo primjer kako se izvodi prijelaz iz nereducirane kvadratne jednadžbe u reduciranu.

Primjer.

Iz jednadžbe 3 x 2 +12 x−7=0 prijeđite na odgovarajuću redukovanu kvadratnu jednadžbu.

Riješenje.

Dovoljno nam je izvršiti dijeljenje oba dijela izvorne jednadžbe s vodećim koeficijentom 3, on je različit od nule, pa možemo izvršiti ovu radnju. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, što je isto kao (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, i tako dalje (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , odakle . Tako smo dobili reduciranu kvadratnu jednadžbu, koja je ekvivalentna izvornoj.

Odgovor:

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

U definiciji kvadratne jednadžbe postoji uvjet a≠0. Ovaj uvjet je neophodan kako bi jednadžba a x 2 +b x+c=0 bila točno kvadratna, budući da s a=0 zapravo postaje linearna jednadžba oblika b x+c=0 .

Što se tiče koeficijenata b i c, oni mogu biti jednaki nuli, kako odvojeno tako i zajedno. U tim se slučajevima kvadratna jednadžba naziva nepotpuna.

Definicija.

Kvadratna jednadžba a x 2 +b x+c=0 zove se nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata b, c jednak nuli.

Zauzvrat

Definicija.

Potpuna kvadratna jednadžba je jednadžba u kojoj su svi koeficijenti različiti od nule.

Ova imena nisu data slučajno. To će postati jasno iz sljedeće rasprave.

Ako je koeficijent b jednak nuli, tada kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +0 x+c=0 , a ekvivalentna je jednadžbi a x 2 +c=0 . Ako je c=0 , odnosno kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 +b x+0=0 , tada se može prepisati kao x 2 +b x=0 . A s b=0 i c=0 dobivamo kvadratnu jednadžbu a·x 2 =0. Rezultirajuće jednadžbe razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, ni oboje. Otuda njihov naziv - nepotpune kvadratne jednadžbe.

Dakle, jednadžbe x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 su primjeri potpunih kvadratnih jednadžbi, a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Iz podataka iz prethodnog stavka proizlazi da postoji tri vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 =0, njemu odgovaraju koeficijenti b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 kada je b=0;
i a x 2 +b x=0 kada je c=0 .

Analizirajmo kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe svakog od ovih tipova.

a x 2 \u003d 0

Počnimo s rješavanjem nepotpunih kvadratnih jednadžbi u kojima su koeficijenti b i c jednaki nuli, odnosno s jednadžbama oblika a x 2 =0. Jednadžba a·x 2 =0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 =0, koja se dobiva iz originala dijeljenjem njezina oba dijela brojem a koji nije nula. Očito je korijen jednadžbe x 2 = 0 nula, budući da je 0 2 = 0. Ova jednadžba nema druge korijene, što je objašnjeno, doista, za bilo koji broj p različit od nule, postoji nejednakost p 2 >0, što implicira da se za p≠0 jednakost p 2 =0 nikada ne postiže.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 \u003d 0 ima jedan korijen x \u003d 0.

Kao primjer dajemo rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe −4·x 2 =0. Ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0, njen jedini korijen je x \u003d 0, stoga izvorna jednadžba ima jednu korijensku nulu.

Kratko rješenje u ovom slučaju može se izdati na sljedeći način:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sada razmotrite kako se rješavaju nepotpune kvadratne jednadžbe u kojima je koeficijent b jednak nuli, a c≠0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 +c=0. Znamo da prijenos člana s jedne strane jednadžbe na drugu s suprotnim predznakom, kao i dijeljenje obje strane jednadžbe brojem koji nije nula, daju ekvivalentnu jednadžbu. Stoga se mogu provesti sljedeće ekvivalentne transformacije nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 +c=0:

pomaknite c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 =−c,
i podijeliti oba njegova dijela po a , dobivamo .

Rezultirajuća jednadžba omogućuje nam da izvučemo zaključke o njezinim korijenima. Ovisno o vrijednostima a i c, vrijednost izraza može biti negativna (na primjer, ako je a=1 i c=2, onda ) ili pozitivna, (na primjer, ako je a=−2 i c=6 , tada ), nije jednako nuli , jer po uvjetu c≠0 . Zasebno ćemo analizirati slučajeve i .

Ako , tada jednadžba nema korijena. Ova izjava proizlazi iz činjenice da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan broj. Iz ovoga slijedi da kada , Tada za bilo koji broj p jednakost ne može biti istinita.

Ako je , tada je situacija s korijenima jednadžbe drugačija. U ovom slučaju, ako se prisjetimo, tada korijen jednadžbe odmah postaje očit, to je broj, budući da. Lako je pogoditi da je broj također korijen jednadžbe , Dapače, . Ova jednadžba nema druge korijene, što se može pokazati, na primjer, proturječjem. Učinimo to.

Označimo upravo glasovne korijene jednadžbe kao x 1 i −x 1 . Pretpostavimo da jednadžba ima drugi korijen x 2 različit od navedenih korijena x 1 i −x 1 . Poznato je da zamjena u jednadžbu umjesto x njezinih korijena pretvara jednadžbu u pravu brojčanu jednakost. Za x 1 i −x 1 imamo , a za x 2 imamo . Svojstva brojčanih jednakosti omogućuju nam da izvodimo oduzimanje po članu pravih brojčanih jednakosti, pa oduzimanje odgovarajućih dijelova jednakosti daje x 1 2 − x 2 2 =0. Svojstva operacija s brojevima omogućuju nam da prepišemo rezultirajuću jednakost kao (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Znamo da je umnožak dvaju brojeva jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od njih jednak nuli. Dakle, iz dobivene jednakosti proizlazi da je x 1 −x 2 =0 i/ili x 1 +x 2 =0 , što je isto, x 2 =x 1 i/ili x 2 = −x 1 . Tako smo došli do kontradikcije, budući da smo na početku rekli da je korijen jednadžbe x 2 različit od x 1 i −x 1 . To dokazuje da jednadžba nema druge korijene osim i .

Sumirajmo informacije u ovom odlomku. Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +c=0 je ekvivalentna jednadžbi , koja

nema korijena ako,
ima dva korijena i ako .

Razmotrimo primjere rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi oblika a·x 2 +c=0 .

Počnimo s kvadratnom jednadžbom 9 x 2 +7=0 . Nakon prijenosa slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe, on će poprimiti oblik 9·x 2 =−7. Dijelimo obje strane rezultirajuće jednadžbe s 9 , dolazimo do . Budući da je na desnoj strani dobiven negativan broj, ova jednadžba nema korijena, stoga izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 +7=0 nema korijena.

Riješimo još jednu nepotpunu kvadratnu jednadžbu −x 2 +9=0. Prenosimo devet na desnu stranu: -x 2 \u003d -9. Sada oba dijela podijelimo s −1, dobivamo x 2 =9. Desna strana sadrži pozitivan broj, iz čega zaključujemo da ili . Nakon što zapišemo konačni odgovor: nepotpuna kvadratna jednadžba −x 2 +9=0 ima dva korijena x=3 ili x=−3.

a x 2 +b x=0

Ostaje pozabaviti se rješenjem posljednje vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi za c=0 . Nepotpune kvadratne jednadžbe oblika a x 2 +b x=0 omogućuju rješavanje metoda faktorizacije. Očito možemo, smješteni na lijevoj strani jednadžbe, za što je dovoljno uzeti zajednički faktor x iz zagrada. To nam omogućuje da prijeđemo s izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe na ekvivalentnu jednadžbu oblika x·(a·x+b)=0 . A ova jednadžba je ekvivalentna skupu dviju jednadžbi x=0 i a x+b=0, od kojih je posljednja linearna i ima korijen x=−b/a.

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 +b x=0 ima dva korijena x=0 i x=−b/a.

Kako bismo konsolidirali gradivo, analizirat ćemo rješenje konkretnog primjera.

Primjer.

Riješite jednadžbu.

Riješenje.

Izvlačimo x iz zagrada, to daje jednadžbu. To je ekvivalentno dvjema jednadžbama x=0 i . Dobivenu linearnu jednadžbu rješavamo: , i nakon dijeljenja mješovitog broja običnim razlomkom nalazimo . Stoga su korijeni izvorne jednadžbe x=0 i .

Nakon što ste dobili potrebnu praksu, rješenja takvih jednadžbi mogu se ukratko napisati:

Odgovor:

x=0 , .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za rješavanje kvadratnih jednadžbi postoji formula korijena. Zapišimo formula korijena kvadratne jednadžbe: , gdje D=b 2 −4 a c- tzv diskriminanta kvadratne jednadžbe. Zapis u biti znači da .

Korisno je znati kako je dobivena formula korijena i kako se ona primjenjuje u pronalaženju korijena kvadratnih jednadžbi. Pozabavimo se ovim.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu a·x 2 +b·x+c=0 . Izvršimo neke ekvivalentne transformacije:

Oba dijela ove jednadžbe možemo podijeliti brojem a koji nije nula, kao rezultat dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu.
Sada odaberite cijeli kvadrat na njegovoj lijevoj strani: . Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik.
U ovoj fazi moguće je izvršiti prijenos posljednja dva člana na desnu stranu sa suprotnim predznakom, imamo .
I transformirajmo izraz na desnoj strani: .

Kao rezultat, dolazimo do jednadžbe , koja je ekvivalentna izvornoj kvadratnoj jednadžbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Jednadžbe slične forme već smo riješili u prethodnim paragrafima kada smo analizirali . To nam omogućuje da izvučemo sljedeće zaključke u vezi s korijenima jednadžbe:

ako , tada jednadžba nema pravih rješenja;
ako , tada jednadžba ima oblik , dakle, , iz kojeg je vidljiv njezin jedini korijen;
ako , onda ili , što je isto kao ili , To jest, jednadžba ima dva korijena.

Dakle, prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe, a time i izvorne kvadratne jednadžbe, ovisi o predznaku izraza na desnoj strani. Zauzvrat, predznak ovog izraza određen je predznakom brojnika, budući da je nazivnik 4 a 2 uvijek pozitivan, odnosno predznak izraza b 2 −4 a c . Ovaj izraz b 2 −4 a c naziva se diskriminanta kvadratne jednadžbe i označena slovom D. Odavde je jasna bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuje se ima li kvadratna jednadžba stvarne korijene, i ako ima, koliki je njihov broj - jedan ili dva.

Vraćamo se na jednadžbu , prepisujemo je koristeći zapis diskriminanta: . I zaključujemo:

ako D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ako je D=0, tada ova jednadžba ima jedan korijen;
konačno, ako je D>0, tada jednadžba ima dva korijena ili , što se može prepisati u obliku ili , a nakon proširenja i svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, dobivamo .

Tako smo izveli formule za korijene kvadratne jednadžbe, izgledaju kao , gdje se diskriminanta D izračunava po formuli D=b 2 −4 a c .

Uz njihovu pomoć, uz pozitivan diskriminant, možete izračunati oba realna korijena kvadratne jednadžbe. Kada je diskriminant jednak nuli, obje formule daju istu vrijednost korijena koja odgovara jedinom rješenju kvadratne jednadžbe. A kod negativnog diskriminanta, kada pokušavamo upotrijebiti formulu za korijene kvadratne jednadžbe, suočeni smo s izvlačenjem kvadratnog korijena iz negativnog broja, što nas vodi izvan okvira školskog kurikuluma. S negativnim diskriminantom, kvadratna jednadžba nema pravi korijen, ali ima par složeni konjugat korijene, koji se mogu pronaći pomoću istih formula korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

U praksi, prilikom rješavanja kvadratne jednadžbe, možete odmah koristiti formulu korijena, pomoću koje možete izračunati njihove vrijednosti. Ali ovdje se više radi o pronalaženju složenih korijena.

Međutim, u školskom tečaju algebre obično ne govorimo o složenim, već o stvarnim korijenima kvadratne jednadžbe. U ovom slučaju poželjno je prvo pronaći diskriminant prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, provjeriti je li nenegativan (inače možemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a nakon toga izračunaj vrijednosti korijena.

Gornje nam razmišljanje omogućuje pisanje algoritam za rješavanje kvadratne jednadžbe. Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c \u003d 0, trebate:

koristeći diskriminantnu formulu D=b 2 −4 a c izračunaj njegovu vrijednost;
zaključiti da kvadratna jednadžba nema pravih korijena ako je diskriminant negativan;
izračunaj jedini korijen jednadžbe koristeći formulu ako je D=0 ;
pronađite dva realna korijena kvadratne jednadžbe koristeći formulu korijena ako je diskriminant pozitivan.

Ovdje samo napominjemo da ako je diskriminant jednak nuli, formula se također može koristiti, dat će istu vrijednost kao .

Možete prijeći na primjere primjene algoritma za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Razmotrimo rješenja tri kvadratne jednadžbe s pozitivnim, negativnim i nultim diskriminantom. Nakon što se pozabavimo njihovim rješenjem, analogno će biti moguće riješiti bilo koju drugu kvadratnu jednadžbu. Počnimo.

Primjer.

Pronađite korijene jednadžbe x 2 +2 x−6=0 .

Riješenje.

U ovom slučaju imamo sljedeće koeficijente kvadratne jednadžbe: a=1 , b=2 i c=−6 . Prema algoritmu, prvo morate izračunati diskriminanta, za to zamjenjujemo naznačene a, b i c u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Budući da je 28>0, odnosno diskriminant veći od nule, kvadratna jednadžba ima dva realna korijena. Pronađimo ih po formuli korijena , dobivamo , Ovdje možemo pojednostaviti izraze dobivene tako da oduzimanje predznaka korijena nakon čega slijedi smanjenje frakcije:

Odgovor:

Prijeđimo na sljedeći tipičan primjer.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riješenje.

Počinjemo s pronalaženjem diskriminanta: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dakle, ova kvadratna jednadžba ima jedan korijen, koji nalazimo kao , tj.

Odgovor:

x=3,5.

Ostaje razmotriti rješenje kvadratnih jednadžbi s negativnim diskriminantom.

Primjer.

Riješite jednadžbu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Riješenje.

Evo koeficijenata kvadratne jednadžbe: a=5, b=6 i c=2. Zamjenom ovih vrijednosti u diskriminantnu formulu, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminant je negativan, stoga ova kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

Ako trebate specificirati složene korijene, tada koristimo dobro poznatu formulu za korijene kvadratne jednadžbe i izvodimo operacije s kompleksnim brojevima:

Odgovor:

nema pravih korijena, složeni su korijeni: .

Još jednom napominjemo da ako je diskriminant kvadratne jednadžbe negativan, onda škola obično odmah zapiše odgovor u kojem ukazuju da nema pravih korijena, te da ne nalaze kompleksne korijene.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Formula za korijene kvadratne jednadžbe, gdje D=b 2 −4 a c omogućuje vam da dobijete kompaktniju formulu koja vam omogućuje rješavanje kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili jednostavno s koeficijentom koji izgleda kao 2 n , na primjer, ili 14 ln5=2 7 ln5 ). Izvadimo je van.

Recimo da trebamo riješiti kvadratnu jednadžbu oblika a x 2 +2 n x + c=0 . Pronađimo njegove korijene koristeći nam poznatu formulu. Da bismo to učinili, izračunavamo diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a zatim koristimo formulu korijena:

Označimo izraz n 2 −a c kao D 1 (ponekad se označava D"). Tada formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprima oblik , gdje je D 1 =n 2 −a c .

Lako je vidjeti da je D=4·D 1 ili D 1 =D/4. Drugim riječima, D 1 je četvrti dio diskriminanta. Jasno je da je predznak D 1 isti kao i znak D . To jest, znak D 1 je također pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Dakle, za rješavanje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n, trebate

Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
Ako je D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ako je D 1 =0, onda izračunajte jedini korijen jednadžbe koristeći formulu;
Ako je D 1 >0, pronađite dva realna korijena koristeći formulu.

Razmotrimo rješenje primjera koristeći formulu korijena dobivenu u ovom odlomku.

Primjer.

Riješite kvadratnu jednadžbu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Riješenje.

Drugi koeficijent ove jednadžbe može se predstaviti kao 2·(−3) . To jest, možete prepisati izvornu kvadratnu jednadžbu u obliku 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , ovdje a=5 , n=−3 i c=−32 , i izračunati četvrti dio diskriminirajući: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Budući da je njezina vrijednost pozitivna, jednadžba ima dva realna korijena. Pronalazimo ih pomoću odgovarajuće formule korijena:

Imajte na umu da je bilo moguće koristiti uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali u ovom slučaju bi se moralo obaviti više računskog rada.

Odgovor:

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad, prije nego što krenemo u izračun korijena kvadratne jednadžbe pomoću formula, ne škodi postaviti pitanje: "Je li moguće pojednostaviti oblik ove jednadžbe"? Složite se da će u smislu proračuna biti lakše riješiti kvadratnu jednadžbu 11 x 2 −4 x −6=0 nego 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Obično se pojednostavljenje oblika kvadratne jednadžbe postiže množenjem ili dijeljenjem obje strane s nekim brojem. Na primjer, u prethodnom odlomku uspjeli smo postići pojednostavljenje jednadžbe 1100 x 2 −400 x −600=0 dijeljenjem obje strane sa 100 .

Slična se transformacija provodi s kvadratnim jednadžbama čiji koeficijenti nisu . U ovom slučaju, oba dijela jednadžbe obično se dijele apsolutnim vrijednostima njegovih koeficijenata. Na primjer, uzmimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 −42 x+48=0. apsolutne vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 , dolazimo do ekvivalentne kvadratne jednadžbe 2 x 2 −7 x+8=0 .

A množenje oba dijela kvadratne jednadžbe obično se radi kako bi se riješili razlomaka koeficijenata. U ovom slučaju, množenje se provodi na nazivnicima njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se oba dijela kvadratne jednadžbe pomnože s LCM(6, 3, 1)=6 , tada će poprimiti jednostavniji oblik x 2 +4 x−18=0 .

U zaključku ovog odlomka napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na najvećem koeficijentu kvadratne jednadžbe promjenom predznaka svih članova, što odgovara množenju (ili dijeljenju) oba dijela s −1. Na primjer, obično se iz kvadratne jednadžbe −2·x 2 −3·x+7=0 ide na rješenje 2·x 2 +3·x−7=0 .

Odnos između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe

Formula za korijene kvadratne jednadžbe izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata. Na temelju formule korijena možete dobiti druge odnose između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i primjenjive formule iz Vietinog teorema oblika i . Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena jednak je drugom koeficijentu suprotnog predznaka, a umnožak korijena je slobodni član. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 x 2 −7 x+22=0 možemo odmah reći da je zbroj njezinih korijena 7/3, a umnožak korijena 22/3.

Koristeći već napisane formule, možete dobiti niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, možete izraziti zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe u smislu njezinih koeficijenata: .

Bibliografija.

Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati Dio 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.

U nastavku teme “Rješavanje jednadžbi”, materijal u ovom članku će vas upoznati s kvadratnim jednadžbama.

Razmotrimo sve potanko: bit i zapis kvadratne jednadžbe, postavimo popratne članove, analiziramo shemu za rješavanje nepotpunih i potpunih jednadžbi, upoznamo se s formulom korijena i diskriminanta, uspostavimo veze između korijena i koeficijenata i naravno dat ćemo vizualno rješenje praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratna jednadžba, njezine vrste

Definicija 1

Kvadratna jednadžba je jednadžba zapisana kao a x 2 + b x + c = 0, gdje x– varijabla, a, b i c su neki brojevi, dok a nije nula.

Često se kvadratne jednadžbe nazivaju i jednadžbama drugog stupnja, budući da je kvadratna jednadžba zapravo algebarska jednadžba drugog stupnja.

Navedimo primjer da ilustriramo danu definiciju: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, itd. su kvadratne jednadžbe.

Definicija 2

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, dok je koeficijent a naziva se prvi, ili stariji, ili koeficijent na x 2, b - drugi koeficijent, ili koeficijent pri x, a c naziva slobodnim članom.

Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najveći koeficijent je 6 , drugi koeficijent je − 2 , a slobodni pojam je jednak − 11 . Obratimo pažnju na činjenicu da kada se koeficijenti b i/ili c su negativni, tada se koristi skraćeni oblik 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ali ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Pojasnimo i ovaj aspekt: ako su koeficijenti a i/ili b jednak 1 ili − 1 , onda možda neće sudjelovati izričito u pisanju kvadratne jednadžbe, što se objašnjava osobitostima pisanja naznačenih brojčanih koeficijenata. Na primjer, u kvadratnoj jednadžbi y 2 − y + 7 = 0 viši koeficijent je 1, a drugi koeficijent je − 1 .

Reducirane i nereducirane kvadratne jednadžbe

Prema vrijednosti prvog koeficijenta kvadratne se jednadžbe dijele na reducirane i nereducirane.

Definicija 3

Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba gdje je vodeći koeficijent 1 . Za ostale vrijednosti vodećeg koeficijenta kvadratna jednadžba nije redukovana.

Evo nekoliko primjera: reducirane su kvadratne jednadžbe x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, u svakoj od kojih je vodeći koeficijent 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducirana kvadratna jednadžba, gdje se prvi koeficijent razlikuje od 1 .

Svaka nereducirana kvadratna jednadžba može se pretvoriti u reduciranu jednadžbu dijeljenjem oba njezina dijela s prvim koeficijentom (ekvivalentna transformacija). Transformirana jednadžba imat će iste korijene kao zadana nereducirana jednadžba ili će također uopće imati korijene.

Razmatranje konkretnog primjera omogućit će nam da jasno demonstriramo prijelaz s nereducirane kvadratne jednadžbe na reduciranu.

Primjer 1

S obzirom na jednadžbu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Izvornu jednadžbu potrebno je pretvoriti u reducirani oblik.

Riješenje

Prema gornjoj shemi, oba dijela izvorne jednadžbe dijelimo vodećim koeficijentom 6 . Tada dobivamo: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, a ovo je isto kao: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 i dalje: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Odavde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tako se dobiva jednadžba ekvivalentna zadanoj.

Odgovor: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Potpune i nepotpune kvadratne jednadžbe

Okrenimo se definiciji kvadratne jednadžbe. U njemu smo to precizirali a ≠ 0. Sličan uvjet je neophodan za jednadžbu a x 2 + b x + c = 0 bila točno kvadratna, budući da a = 0 u biti se pretvara u linearnu jednadžbu b x + c = 0.

U slučaju kada su koeficijenti b i c su jednake nuli (što je moguće, pojedinačno i zajedno), kvadratna jednadžba se naziva nepotpuna.

Definicija 4

Nepotpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba a x 2 + b x + c \u003d 0, gdje je barem jedan od koeficijenata b i c(ili oboje) je nula.

Potpuna kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba u kojoj svi brojčani koeficijenti nisu jednaki nuli.

Razmotrimo zašto se tipovima kvadratnih jednadžbi daju upravo takva imena.

Za b = 0, kvadratna jednadžba ima oblik a x 2 + 0 x + c = 0, što je isto kao a x 2 + c = 0. Na c = 0 kvadratna jednadžba je zapisana kao a x 2 + b x + 0 = 0, što je ekvivalentno a x 2 + b x = 0. Na b = 0 i c = 0 jednadžba će poprimiti oblik a x 2 = 0. Jednadžbe koje smo dobili razlikuju se od pune kvadratne jednadžbe po tome što njihove lijeve strane ne sadrže ni član s varijablom x, ni slobodni član, niti oboje odjednom. Zapravo, ova činjenica je dala naziv ovoj vrsti jednadžbi - nepotpuna.

Na primjer, x 2 + 3 x + 4 = 0 i − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 su potpune kvadratne jednadžbe; x 2 = 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 su nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Gore navedena definicija omogućuje razlikovanje sljedećih vrsta nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

a x 2 = 0, koeficijenti odgovaraju takvoj jednadžbi b = 0 i c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 za b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 za c = 0 .

Razmotrimo sukcesivno rješenje svake vrste nepotpune kvadratne jednadžbe.

Rješenje jednadžbe a x 2 \u003d 0

Kao što je već spomenuto, takva jednadžba odgovara koeficijentima b i c, jednako nuli. Jednadžba a x 2 = 0 može se pretvoriti u ekvivalentnu jednadžbu x2 = 0, što dobivamo dijeljenjem obje strane izvorne jednadžbe brojem a, nije jednako nuli. Očita je činjenica da je korijen jednadžbe x2 = 0 je nula jer 0 2 = 0 . Ova jednadžba nema druge korijene, što se objašnjava svojstvima stupnja: za bilo koji broj p , nije jednako nuli, nejednakost je istinita p2 > 0, iz čega proizlazi da kada p ≠ 0 jednakost p2 = 0 nikada neće biti dostignut.

Definicija 5

Dakle, za nepotpunu kvadratnu jednadžbu a x 2 = 0, postoji jedan korijen x=0.

Primjer 2

Na primjer, riješimo nepotpunu kvadratnu jednadžbu − 3 x 2 = 0. To je ekvivalentno jednadžbi x2 = 0, njegov jedini korijen je x=0, tada izvorna jednadžba ima jedan korijen - nulu.

Rješenje je sažeto kako slijedi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x \u003d 0.

Rješenje jednadžbe a x 2 + c \u003d 0

Sljedeće na redu je rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi, gdje je b \u003d 0, c ≠ 0, odnosno jednadžbe oblika a x 2 + c = 0. Transformirajmo ovu jednadžbu prijenosom člana s jedne strane jednadžbe na drugu, mijenjanjem predznaka u suprotan i dijeljenjem obje strane jednadžbe brojem koji nije jednak nuli:

izdržati c na desnu stranu, što daje jednadžbu a x 2 = − c;
podijelite obje strane jednadžbe sa a, dobivamo kao rezultat x = - c a .

Naše transformacije su ekvivalentne, odnosno rezultirajuća jednadžba je također ekvivalentna izvornoj, a ta činjenica omogućuje zaključak o korijenima jednadžbe. Od čega su vrijednosti a i c ovisi o vrijednosti izraza - c a: može imati znak minus (na primjer, ako a = 1 i c = 2, zatim - c a = - 2 1 = - 2) ili znak plus (na primjer, ako a = -2 i c=6, tada - c a = - 6 - 2 = 3); nije jednako nuli jer c ≠ 0. Zaustavimo se detaljnije na situacijama kada - c a< 0 и - c a > 0 .

U slučaju kada - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа str jednakost p 2 = - c a ne može biti istinita.

Sve je drugačije kada je - c a > 0: zapamtite kvadratni korijen i postat će očito da će korijen jednadžbe x 2 \u003d - c a biti broj - c a, budući da - c a 2 \u003d - c a. Lako je razumjeti da je broj - - c a - također korijen jednadžbe x 2 = - c a: doista, - - c a 2 = - c a .

Jednadžba neće imati druge korijene. To možemo pokazati koristeći suprotnu metodu. Prvo, postavimo oznaku gore pronađenih korijena kao x 1 i − x 1. Pretpostavimo da jednadžba x 2 = - c a također ima korijen x2, što se razlikuje od korijena x 1 i − x 1. Znamo da zamjenom u jednadžbu umjesto x njezinih korijena, transformiramo jednadžbu u poštenu brojčanu jednakost.

Za x 1 i − x 1 zapiši: x 1 2 = - c a , i za x2- x 2 2 \u003d - c a. Na temelju svojstava brojčanih jednakosti, oduzimamo jednu pravu jednakost od drugog člana po član, što će nam dati: x 1 2 − x 2 2 = 0. Upotrijebite svojstva brojčanih operacija da prepišete posljednju jednakost kao (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Poznato je da je umnožak dva broja nula ako i samo ako je barem jedan od brojeva nula. Iz rečenog proizlazi da x1 − x2 = 0 i/ili x1 + x2 = 0, što je isto x2 = x1 i/ili x 2 = − x 1. Nastala je očita kontradikcija, jer se isprva složilo da je korijen jednadžbe x2 razlikuje od x 1 i − x 1. Dakle, dokazali smo da jednadžba nema drugih korijena osim x = - c a i x = - - c a .

Sažimamo sve gore navedene argumente.

Definicija 6

Nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + c = 0 je ekvivalentna jednadžbi x 2 = - c a , koja:

neće imati korijene na - c a< 0 ;
imat će dva korijena x = - c a i x = - - c a kada je - c a > 0 .

Navedimo primjere rješavanja jednadžbi a x 2 + c = 0.

Primjer 3

Zadana je kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 . Potrebno je pronaći njegovo rješenje.

Riješenje

Prenosimo slobodni član na desnu stranu jednadžbe, tada će jednadžba poprimiti oblik 9 x 2 \u003d - 7.
Obje strane rezultirajuće jednadžbe dijelimo sa 9 , dolazimo do x 2 = - 7 9 . Na desnoj strani vidimo broj sa predznakom minus, što znači: data jednadžba nema korijena. Zatim izvorna nepotpuna kvadratna jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 neće imati korijene.

Odgovor: jednadžba 9 x 2 + 7 = 0 nema korijena.

Primjer 4

Potrebno je riješiti jednadžbu − x2 + 36 = 0.

Riješenje

Pomaknimo 36 na desnu stranu: − x 2 = − 36.
Podijelimo oba dijela na − 1 , dobivamo x2 = 36. Na desnoj strani je pozitivan broj, iz čega to možemo zaključiti x = 36 ili x = - 36 .
Izvlačimo korijen i zapisujemo konačni rezultat: nepotpunu kvadratnu jednadžbu − x2 + 36 = 0 ima dva korijena x=6 ili x = -6.

Odgovor: x=6 ili x = -6.

Rješenje jednadžbe a x 2 +b x=0

Analizirajmo treću vrstu nepotpunih kvadratnih jednadžbi, kada c = 0. Pronaći rješenje nepotpune kvadratne jednadžbe a x 2 + b x = 0, koristimo metodu faktorizacije. Faktorizirajmo polinom, koji se nalazi na lijevoj strani jednadžbe, vadeći zajednički faktor iz zagrada x. Ovaj korak će omogućiti transformaciju izvorne nepotpune kvadratne jednadžbe u njezin ekvivalent x (a x + b) = 0. A ova je jednadžba, zauzvrat, ekvivalentna skupu jednadžbi x=0 i a x + b = 0. Jednadžba a x + b = 0 linearni, i njegov korijen: x = − b a.

Definicija 7

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba a x 2 + b x = 0 imat će dva korijena x=0 i x = − b a.

Konsolidirajmo gradivo na primjeru.

Primjer 5

Potrebno je pronaći rješenje jednadžbe 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Riješenje

Izvadimo x izvan zagrada i dobivamo jednadžbu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Ova jednadžba je ekvivalentna jednadžbama x=0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Sada biste trebali riješiti rezultirajuću linearnu jednadžbu: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Ukratko, zapisujemo rješenje jednadžbe na sljedeći način:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 ili x = 3 3 7

Odgovor: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, formula korijena kvadratne jednadžbe

Za pronalaženje rješenja za kvadratne jednadžbe postoji korijenska formula:

Definicija 8

x = - b ± D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c je takozvani diskriminant kvadratne jednadžbe.

Pisanje x \u003d - b ± D 2 a u biti znači da x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Bit će korisno razumjeti kako je navedena formula izvedena i kako je primijeniti.

Izvođenje formule korijena kvadratne jednadžbe

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom rješavanja kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0. Izvršimo niz ekvivalentnih transformacija:

podijelite obje strane jednadžbe brojem a, različito od nule, dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
odaberite puni kvadrat na lijevoj strani rezultirajuće jednadžbe:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Nakon toga, jednadžba će poprimiti oblik: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
sada je moguće posljednja dva člana prenijeti na desnu stranu, mijenjajući predznak u suprotan, nakon čega dobivamo: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
na kraju transformiramo izraz napisan na desnoj strani zadnje jednakosti:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Dakle, došli smo do jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , koja je ekvivalentna izvornoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0.

O rješenju takvih jednadžbi raspravljali smo u prethodnim odlomcima (rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi). Već stečeno iskustvo omogućuje da se izvede zaključak o korijenima jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

za b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
za b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, jednadžba ima oblik x + b 2 · a 2 = 0, tada je x + b 2 · a = 0.

Odavde je jedini korijen x = - b 2 · a očit;

za b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, ispravan je: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , što je isto kao x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 ili x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.j. jednadžba ima dva korijena.

Moguće je zaključiti da prisutnost ili odsutnost korijena jednadžbe x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a time i izvorne jednadžbe) ovisi o predznaku izraza b 2 - 4 a c 4 · 2 napisano na desnoj strani. A predznak ovog izraza je dat znakom brojnika (nazivnik 4 a 2 uvijek će biti pozitivan), odnosno znak izraza b 2 − 4 a c. Ovaj izraz b 2 − 4 a c daje se naziv - diskriminant kvadratne jednadžbe i slovo D definira se kao njezina oznaka. Ovdje možete zapisati bit diskriminanta - po njegovoj vrijednosti i predznaku zaključuju hoće li kvadratna jednadžba imati stvarne korijene, i, ako ima, koliko korijena - jedan ili dva.

Vratimo se na jednadžbu x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Prepišimo ga pomoću diskriminantnog zapisa: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Rezimirajmo zaključke:

Definicija 9

na D< 0 jednadžba nema pravi korijen;
na D=0 jednadžba ima jedan korijen x = - b 2 · a ;
na D > 0 jednadžba ima dva korijena: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 ili x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Na temelju svojstava radikala, ovi korijeni se mogu napisati kao: x \u003d - b 2 a + D 2 a ili - b 2 a - D 2 a. A kada otvorimo module i smanjimo razlomke na zajednički nazivnik, dobivamo: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dakle, rezultat našeg razmišljanja bio je izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , diskriminanta D izračunato po formuli D = b 2 − 4 a c.

Ove formule omogućuju, kada je diskriminant veći od nule, određivanje oba stvarna korijena. Kada je diskriminant nula, primjena obje formule dat će isti korijen kao jedino rješenje kvadratne jednadžbe. U slučaju kada je diskriminant negativan, pokušavajući koristiti formulu kvadratnog korijena, suočit ćemo se s potrebom izvlačenja kvadratnog korijena negativnog broja, što će nas odvesti dalje od realnih brojeva. Uz negativan diskriminant, kvadratna jednadžba neće imati realne korijene, ali je moguć par kompleksnih konjugiranih korijena, određen istim formulama korijena koje smo dobili.

Algoritam za rješavanje kvadratnih jednadžbi korištenjem korijenskih formula

Kvadratnu jednadžbu moguće je riješiti odmah koristeći formulu korijena, ali u osnovi se to radi kada je potrebno pronaći kompleksne korijene.

U većini slučajeva traženje obično nije za kompleksne, već za stvarne korijene kvadratne jednadžbe. Tada je optimalno, prije korištenja formula za korijene kvadratne jednadžbe, prvo odrediti diskriminant i uvjeriti se da nije negativan (inače ćemo zaključiti da jednadžba nema pravih korijena), a zatim nastaviti računati vrijednost korijena.

Gornje obrazloženje omogućuje formuliranje algoritma za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Definicija 10

Za rješavanje kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0, potrebno:

prema formuli D = b 2 − 4 a c pronaći vrijednost diskriminanta;
kod D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
za D = 0 pronađite jedini korijen jednadžbe po formuli x = - b 2 · a ;
za D > 0, odrediti dva realna korijena kvadratne jednadžbe formulom x = - b ± D 2 · a.

Imajte na umu da kada je diskriminant nula, možete koristiti formulu x = - b ± D 2 · a , dat će isti rezultat kao i formula x = - b 2 · a .

Razmotrite primjere.

Primjeri rješavanja kvadratnih jednadžbi

Predstavljamo rješenja primjera za različite vrijednosti diskriminanta.

Primjer 6

Potrebno je pronaći korijene jednadžbe x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riješenje

Zapisujemo numeričke koeficijente kvadratne jednadžbe: a \u003d 1, b \u003d 2 i c = − 6. Zatim postupamo prema algoritmu, tj. Počnimo s izračunavanjem diskriminanta, za koji zamjenjujemo koeficijente a , b i c u diskriminantnu formulu: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Dakle, dobili smo D > 0, što znači da će izvorna jednadžba imati dva realna korijena.
Da bismo ih pronašli, koristimo formulu korijena x \u003d - b ± D 2 · a i, zamjenom odgovarajućih vrijednosti, dobivamo: x = - 2 ± 28 2 · 1. Dobiveni izraz pojednostavljujemo tako da faktor izvučemo iz predznaka korijena, nakon čega slijedi smanjenje razlomka:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 ili x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 ili x = - 1 - 7

Odgovor: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Primjer 7

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riješenje

Definirajmo diskriminanta: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Uz ovu vrijednost diskriminanta, izvorna jednadžba imat će samo jedan korijen, određen formulom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Odgovor: x = 3, 5.

Primjer 8

Potrebno je riješiti jednadžbu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Riješenje

Numerički koeficijenti ove jednadžbe bit će: a = 5 , b = 6 i c = 2 . Koristimo ove vrijednosti za pronalaženje diskriminanta: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Izračunati diskriminant je negativan, tako da izvorna kvadratna jednadžba nema pravi korijen.

U slučaju kada je zadatak naznačiti kompleksne korijene, primjenjujemo formulu korijena izvodeći operacije sa kompleksnim brojevima:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 ili x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i ili x = - 3 5 - 1 5 i .

Odgovor: nema pravih korijena; složeni korijeni su: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

U školskom kurikulumu, kao standardu, ne postoji zahtjev za traženjem složenih korijena, stoga, ako je diskriminanta tijekom odluke definirana kao negativna, odmah se bilježi odgovor da pravih korijena nema.

Formula korijena za parne druge koeficijente

Korijenska formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) omogućuje dobivanje druge formule, kompaktnije, koja vam omogućuje pronalaženje rješenja kvadratnih jednadžbi s parnim koeficijentom na x (ili s koeficijentom oblika 2 a n, na primjer, 2 3 ili 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokažimo kako se ova formula izvodi.

Pretpostavimo da smo suočeni sa zadatkom da pronađemo rješenje kvadratne jednadžbe a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Postupamo prema algoritmu: odredimo diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , a zatim koristimo formulu korijena:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Neka izraz n 2 − a c bude označen kao D 1 (ponekad se označava kao D "). Tada će formula za korijene razmatrane kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom 2 n poprimiti oblik:

x \u003d - n ± D 1 a, gdje je D 1 \u003d n 2 - a c.

Lako je vidjeti da je D = 4 · D 1 ili D 1 = D 4 . Drugim riječima, D 1 je četvrtina diskriminanta. Očito, predznak D 1 je isti kao predznak D, što znači da predznak D 1 može poslužiti i kao pokazatelj prisutnosti ili odsutnosti korijena kvadratne jednadžbe.

Definicija 11

Dakle, da bismo pronašli rješenje kvadratne jednadžbe s drugim koeficijentom od 2 n, potrebno je:

naći D 1 = n 2 − a c ;
na D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
za D 1 = 0 odredimo jedini korijen jednadžbe po formuli x = - n a ;
za D 1 > 0, odredimo dva realna korijena koristeći formulu x = - n ± D 1 a.

Primjer 9

Potrebno je riješiti kvadratnu jednadžbu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Riješenje

Drugi koeficijent zadane jednadžbe može se predstaviti kao 2 · (− 3) . Zatim zadanu kvadratnu jednadžbu prepisujemo kao 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , gdje je a = 5 , n = − 3 i c = − 32 .

Izračunajmo četvrti dio diskriminanta: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Dobivena vrijednost je pozitivna, što znači da jednadžba ima dva realna korijena. Definiramo ih odgovarajućom formulom korijena:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 ili x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 ili x = - 2

Bilo bi moguće izvesti izračune koristeći uobičajenu formulu za korijene kvadratne jednadžbe, ali bi u ovom slučaju rješenje bilo glomaznije.

Odgovor: x = 3 1 5 ili x = - 2 .

Pojednostavljenje oblika kvadratnih jednadžbi

Ponekad je moguće optimizirati oblik izvorne jednadžbe, što će pojednostaviti proces izračunavanja korijena.

Na primjer, kvadratna jednadžba 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 očito je prikladnija za rješavanje od 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Češće se pojednostavljivanje oblika kvadratne jednadžbe provodi množenjem ili dijeljenjem njezina oba dijela određenim brojem. Na primjer, gore smo prikazali pojednostavljeni prikaz jednadžbe 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, dobivenu dijeljenjem oba njezina dijela sa 100.

Takva je transformacija moguća kada koeficijenti kvadratne jednadžbe nisu relativno prosti brojevi. Tada se obično oba dijela jednadžbe dijele najvećim zajedničkim djeliteljem apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata.

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definirajmo gcd apsolutnih vrijednosti njegovih koeficijenata: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6 . Podijelimo oba dijela izvorne kvadratne jednadžbe sa 6 i dobijemo ekvivalentnu kvadratnu jednadžbu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Množenjem obje strane kvadratne jednadžbe obično se eliminiraju razlomki koeficijenti. U ovom slučaju, pomnožite s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika njegovih koeficijenata. Na primjer, ako se svaki dio kvadratne jednadžbe 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 pomnoži s LCM (6, 3, 1) = 6, tada će biti napisan u jednostavnijem obliku x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Na kraju, napominjemo da se gotovo uvijek riješite minusa na prvom koeficijentu kvadratne jednadžbe, mijenjajući predznake svakog člana jednadžbe, što se postiže množenjem (ili dijeljenjem) oba dijela s −1. Na primjer, iz kvadratne jednadžbe - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, možete prijeći na njegovu pojednostavljenu verziju 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Odnos između korijena i koeficijenata

Već poznata formula za korijene kvadratnih jednadžbi x = - b ± D 2 · a izražava korijene jednadžbe u smislu njezinih brojčanih koeficijenata. Na temelju ove formule imamo priliku postaviti druge ovisnosti između korijena i koeficijenata.

Najpoznatije i najprimjenjivije su formule Vietinog teorema:

x 1 + x 2 \u003d - b a i x 2 \u003d c a.

Konkretno, za danu kvadratnu jednadžbu, zbroj korijena je drugi koeficijent suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Na primjer, oblikom kvadratne jednadžbe 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, moguće je odmah odrediti da je zbroj njezinih korijena 7 3, a umnožak korijena 22 3.

Također možete pronaći niz drugih odnosa između korijena i koeficijenata kvadratne jednadžbe. Na primjer, zbroj kvadrata korijena kvadratne jednadžbe može se izraziti u obliku koeficijenata:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U suvremenom društvu, sposobnost rada s jednadžbama koje sadrže varijablu na kvadrat može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i široko se koristi u praksi u znanstvenom i tehničkom razvoju. To se može dokazati projektiranjem morskih i riječnih plovila, zrakoplova i projektila. Uz pomoć takvih proračuna određuju se putanje kretanja različitih tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektiranju i gradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Možda će vam trebati na kampiranju, na sportskim događanjima, u trgovinama prilikom kupovine i u drugim vrlo čestim situacijama.

Razbijmo izraz na sastavne faktore

Stupanj jednadžbe određen je maksimalnom vrijednošću stupnja varijable koju dati izraz sadrži. Ako je jednako 2, tada se takva jednadžba naziva kvadratna jednadžba.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ti izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti do oblika kada se lijeva strana izraza sastoji od tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve je to na desnoj strani jednako 0. U slučaju kada takav polinom nema jedan od svojih sastavnih članova, s izuzetkom osi 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednadžba. Najprije treba razmotriti primjere s rješavanjem takvih zadataka, u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda kao da ima dva člana na desnoj strani izraza, točnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očito da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. To diktira jedno od svojstava množenja. Pravilo kaže da umnožak dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobivamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednadžbe ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene točke, uzete kao ishodište. Ovdje matematički zapis ima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane s 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje je proteklo od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućuje rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrimo primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo transformiramo izraz i rastavljamo ga na faktore. Dva su od njih: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri s rješenjem kvadratnih jednadžbi u 9. razredu omogućuju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, nego čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s varijablom, postoje tri od njih, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očito da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednadžbe drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da se desna strana gradi od komponenti ax 2 i c. Ovdje se, da bi se dobila vrijednost varijable, slobodni član prenosi na desnu stranu, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednadžbe. Jedina iznimka su jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže negativnom. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe bit će brojevi -4 i 4.

Proračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima uvelike bio posljedica potrebe da se s najvećom točnošću odrede površine i opseg zemljišnih parcela.

Također trebamo razmotriti primjere s rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na temelju problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravokutni komad zemlje čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći duljinu, širinu i opseg mjesta, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Krenuvši na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednadžbu. Označimo širinu presjeka kao x, tada će njegova duljina biti (x + 16). Iz napisanog proizlazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema uvjetu našeg zadatka, 612. To znači da je x (x + 16) = 612.

Rješenje potpunih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se napraviti na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov umnožak uopće nije 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminirajući

Prije svega, napravit ćemo potrebne transformacije, a onda će izgled ovog izraza izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje a=1, b=16, c= -612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednadžbi kroz diskriminant. Ovdje se izrađuju potrebni izračuni prema shemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućuje pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već određuje i broj mogućih opcija. U slučaju D>0, dva su; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. To ukazuje da naš problem ima odgovor. Ako znate, do, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućuje vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rješenje, jer se veličina parcele ne može mjeriti u negativnim vrijednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo duljinu: 18+16=34, a opseg 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljno rješenje nekoliko njih bit će navedeni u nastavku.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti, napravimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednadžbe koji se obično naziva standardnim i izjednačimo ga s nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavanjem sličnih, određujemo diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Dakle, naša će jednadžba imati dva korijena. Računamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Hajdemo saznati ima li ovdje uopće korijena x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovodimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminant. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednadžbu, jer bit problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da stvarno nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne je jednadžbe prikladno rješavati kroz gornje formule i diskriminant, kada se iz vrijednosti potonjeg izvuče kvadratni korijen. Ali to se ne događa uvijek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina za dobivanje vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietinog teorema. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. stoljeću i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. Dokazao je da je zbroj korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov umnožak odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristeći Vietin teorem, to će nam dati sljedeće: zbroj korijena je -7, a njihov umnožak je -18. Odavde dobivamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon što smo izvršili provjeru, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli stvarno uklapaju u izraz.

Graf i jednadžba parabole

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe usko su povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednadžba opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takva ovisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno točku iz koje izlaze njezine grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u točkama gdje se crta grafikona siječe s 0x. Koordinate vrha mogu se pronaći po formuli koja je upravo data x 0 = -b / 2a. I, zamjenom rezultirajuće vrijednosti u izvornu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koji pripada y-osi.

Sjecište grana parabole s osi apscise

Postoji puno primjera s rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Razmotrimo ih. Jasno je da je presjek grafa s osi 0x za a>0 moguć samo ako y 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. Vrijedi i obrnuto. Odnosno, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza s 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući točke presjeka s osi 0x, lakše je crtati.

Iz povijesti

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima, nisu samo radili matematički izračuni i određivali područje geometrijskih oblika. Drevnima su takvi izračuni bili potrebni za grandiozna otkrića na području fizike i astronomije, kao i za izradu astroloških prognoza.

Kao što sugeriraju moderni znanstvenici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su riješili kvadratne jednadžbe. To se dogodilo četiri stoljeća prije dolaska naše ere. Naravno, njihovi su se izračuni bitno razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i pokazali su se mnogo primitivnijima. Na primjer, mezopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Također nisu bili upoznati s drugim suptilnostima onih koje poznaje bilo koji student našeg vremena.

Možda čak i prije nego babilonski znanstvenici, mudrac iz Indije, Baudhayama, preuzeo je rješenje kvadratnih jednadžbi. To se dogodilo oko osam stoljeća prije dolaska Kristove ere. Istina, jednadžbe drugog reda, metode za rješavanje koje je dao, bile su najjednostavnije. Osim njega, slična su pitanja u stara vremena zanimala i kineske matematičare. U Europi su se kvadratne jednadžbe počele rješavati tek početkom 13. stoljeća, ali su ih kasnije u svom radu koristili veliki znanstvenici poput Newtona, Descartesa i mnogih drugih.

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *Dalje u tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko pojavljivanja Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, a ovo je ljeto, a što će biti tijekom školske godine – zahtjeva će biti duplo više. To i ne čudi, jer oni momci i djevojke koji su već odavno završili školu i spremaju se za ispit traže te podatke, a i školarci pokušavaju osvježiti pamćenje.

Unatoč činjenici da postoji mnogo stranica koje govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam također dati svoj doprinos i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi govor “KU”, dat ću poveznicu na ovaj članak; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Započnimo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

gdje su koeficijenti a,bi s proizvoljnim brojevima, s a≠0.

U školskom kolegiju gradivo se daje u sljedećem obliku - uvjetno se vrši podjela jednadžbi u tri razreda:

1. Imati dva korijena.

2. * Imati samo jedan korijen.

3. Nemati korijena. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule moraju se znati napamet.

Možete odmah zapisati i odlučiti:

Primjer:

1. Ako je D > 0, tada jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, tada jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

Ovom prilikom, kada je diskriminant nula, školski tečaj kaže da se dobiva jedan korijen, ovdje je jednak devet. Tako je, tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netočan. Zapravo, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednaka korijena, a da budemo matematički točni, u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, pa u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. To je iznimno važno razumjeti (u budućnosti ćemo, u jednom od članaka, detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednadžbe).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c su dati brojevi, gdje je a ≠ 0

Graf je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakim nuli, nalazimo točke presjeka parabole s x-osi. Te točke mogu biti dvije (diskriminant je pozitivan), jedan (diskriminant je nula) ili nijedan (diskriminant je negativan). Više o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Razmotrimo primjere:

Primjer 1: Odlučite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Mogli biste odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednadžbe s 2, odnosno pojednostaviti je. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dopušteno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Neću ovdje ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i nužnost u matematici, to je tema za veliki poseban članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne zbrajanje.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobiti dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednadžba ima oblik:

transformirajmo:

Primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednadžba ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, zatim

— ako za koeficijente jednadžbe ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, zatim

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je brojčano jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je brojčano jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), i koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu "a", tada su mu korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem je dobio ime po slavnom francuskom matematičaru Francoisu Vieti. Koristeći Vietin teorem, može se izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

U zbroju, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazani teorem, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štoviše, Vietin teorem. zgodno jer se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajen način (kroz diskriminanta) mogu provjeriti rezultirajući korijeni. Preporučam da to radite cijelo vrijeme.

NAČIN PRIJENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" množi se slobodnim pojmom, kao da se "prenosi" na njega, zbog čega se naziva način prijenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako je a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vietinom teoremu u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se podijeliti s 2 (budući da su dva "izbačena" iz x 2), dobivamo

x 1 = 5 x 2 \u003d 0,5.

Što je obrazloženje? Vidi što se događa.

Diskriminante jednadžbi (1) i (2) su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, onda se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu na x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako bacimo tri vrste, onda rezultat dijelimo s 3, i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie i ispit.

Reći ću ukratko o njegovoj važnosti – TREBA DA ODLUČITI brzo i bez razmišljanja, potrebno je napamet znati formule korijena i diskriminanta. Mnogi zadaci koji su dio zadataka USE svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Što je vrijedno pažnje!

1. Oblik jednadžbe može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili pri rješavanju).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Diskriminanta, kao i kvadratne jednadžbe, počinje se proučavati u kolegiju algebre u 8. razredu. Kvadratnu jednadžbu možete riješiti preko diskriminanta i pomoću Vietinog teorema. Metodologija proučavanja kvadratnih jednadžbi, kao i diskriminantna formula, prilično se neuspješno usađuje školarcima, kao i mnogo toga u realnom obrazovanju. Dakle, školske godine prolaze, obrazovanje od 9. do 11. razreda zamjenjuje "visoko obrazovanje" i svi opet traže - "Kako riješiti kvadratnu jednadžbu?", "Kako pronaći korijene jednadžbe?", "Kako pronaći diskriminanta?" i...

Diskriminantna formula

Diskriminant D kvadratne jednadžbe a*x^2+bx+c=0 je D=b^2–4*a*c.
Korijeni (rješenja) kvadratne jednadžbe ovise o predznaku diskriminanta (D):
D>0 - jednadžba ima 2 različita realna korijena;
D=0 - jednadžba ima 1 korijen (2 podudarna korijena):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula za izračun diskriminanta je prilično jednostavna, pa mnoge stranice nude online diskriminantni kalkulator. Ovakve skripte još nismo smislili, pa tko zna kako to implementirati neka piše na mail Ova e-mail adresa je zaštićena od spambota. Morate imati omogućen JavaScript za pregled. .

Opća formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe:

Korijeni jednadžbe nalaze se po formuli
Ako je koeficijent varijable u kvadratu uparen, tada je preporučljivo izračunati ne diskriminanta, već njegov četvrti dio
U takvim slučajevima korijeni jednadžbe se nalaze po formuli

Drugi način pronalaženja korijena je Vietin teorem.

Teorem je formuliran ne samo za kvadratne jednadžbe, već i za polinome. Ovo možete pročitati na Wikipediji ili drugim elektroničkim izvorima. Međutim, da pojednostavimo, razmotrimo onaj dio koji se tiče reduciranih kvadratnih jednadžbi, odnosno jednadžbi oblika (a=1)
Bit Vietinih formula je da je zbroj korijena jednadžbe jednak koeficijentu varijable, uzetoj s suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednadžbe jednak je slobodnom članu. Formule Vietinog teorema imaju oznaku.
Izvođenje Vieta formule je prilično jednostavno. Napišimo kvadratnu jednadžbu u terminima prostih faktora
Kao što vidite, sve genijalno je u isto vrijeme jednostavno. Učinkovito je koristiti Vietinu formulu kada je razlika u modulu korijena ili razlika u modulu korijena 1, 2. Na primjer, sljedeće jednadžbe, prema Vietinom teoremu, imaju korijene

Analiza do 4 jednadžbe trebala bi izgledati ovako. Umnožak korijena jednadžbe je 6, tako da korijeni mogu biti vrijednosti (1, 6) i (2, 3) ili parovi s suprotnim predznakom. Zbroj korijena je 7 (koeficijent varijable s suprotnim predznakom). Odavde zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe jednaka x=2; x=3.
Lakše je odabrati korijene jednadžbe među djeliteljima slobodnog člana, ispravljajući njihov predznak kako bi se ispunile Vietine formule. U početku se to čini teško izvedivim, ali uz praksu na brojnim kvadratnim jednadžbama, ova tehnika će biti učinkovitija od izračunavanja diskriminanta i pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe na klasičan način.
Kao što vidite, školska teorija proučavanja diskriminanta i načina pronalaženja rješenja jednadžbe je lišena praktičnog značenja - "Zašto je školarcima potrebna kvadratna jednadžba?", "Koje je fizičko značenje diskriminanta?".

Pokušajmo to shvatiti što diskriminant opisuje?

Na tečaju algebre proučavaju funkcije, sheme za proučavanje funkcija i crtanje funkcija. Od svih funkcija važno mjesto zauzima parabola čija se jednadžba može zapisati u obliku
Dakle, fizičko značenje kvadratne jednadžbe su nule parabole, odnosno točke presjeka grafa funkcije s apscisnom osi Ox
Molim vas da zapamtite svojstva parabola koja su opisana u nastavku. Doći će vrijeme za polaganje ispita, testova ili prijemnih ispita i bit ćete zahvalni na referentnom materijalu. Predznak varijable u kvadratu odgovara hoće li grane parabole na grafu ići gore (a>0),

ili parabola s granama prema dolje (a<0) .

Vrh parabole leži na sredini između korijena

Fizičko značenje diskriminanta:

Ako je diskriminant veći od nule (D>0), parabola ima dvije točke presjeka s osi Ox.
Ako je diskriminant jednak nuli (D=0), tada parabola na vrhu dodiruje x-os.
I posljednji slučaj, kada je diskriminant manji od nule (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).