U matematici postoji nekoliko različitih skupova brojeva: realni, kompleksni, cjelobrojni, racionalni, iracionalni,... Svakidašnjica najčešće koristimo prirodne brojeve, jer ih susrećemo prilikom brojanja i pretraživanja, označavajući broj objekata.

U kontaktu s

Koji se brojevi nazivaju prirodnim

Od deset znamenki možete zapisati apsolutno bilo koji postojeći zbroj klasa i rangova. Prirodne vrijednosti su to koji se koriste:

• Prilikom brojanja bilo koje stavke (prvi, drugi, treći, ... peti, ... deseti).
• Prilikom označavanja broja stavki (jedan, dva, tri...)

N vrijednosti su uvijek cijeli brojevi i pozitivni. Ne postoji najveći N, jer skup cjelobrojnih vrijednosti nije ograničen.

Pažnja! Prirodni brojevi dobivaju se prebrojavanjem predmeta ili označavanjem njihove količine.

Apsolutno svaki broj se može rastaviti i predstaviti kao bitni pojmovi, na primjer: 8.346.809=8 milijuna+346 tisuća+809 jedinica.

Skup N

Skup N je u skupu realni, cjelobrojni i pozitivni. U dijagramu skupa, oni bi bili jedno u drugom, budući da je skup prirodnih vrijednosti dio njih.

Skup prirodnih brojeva označen je slovom N. Ovaj skup ima početak, ali nema kraj.

Postoji i prošireni skup N, gdje je uključena nula.

najmanji prirodni broj

Većina matematičkih škola najmanju vrijednost N računati kao jedinica, budući da se odsutnost objekata smatra praznim.

Ali u stranim matematičkim školama, na primjer, na francuskom, to se smatra prirodnim. Prisutnost nule u nizu olakšava dokaz neke teoreme.

Skup vrijednosti N koji uključuje nulu naziva se proširenim i označava se simbolom N0 (nulti indeks).

Niz prirodnih brojeva

N red je niz svih N skupova znamenki. Ovaj niz nema kraja.

Posebnost prirodne serije je da će se sljedeći broj razlikovati za jedan od prethodnog, odnosno da će se povećati. Ali značenja ne može biti negativan.

Pažnja! Radi praktičnosti brojanja, postoje klase i kategorije:

• jedinice (1, 2, 3),
• Desetice (10, 20, 30),
• Stotine (100, 200, 300),
• Tisuće (1000, 2000, 3000),
• Deseci tisuća (30.000),
• Stotine tisuća (800.000),
• Milijuni (4000000) itd.

Svi N

Svi N su u skupu realnih, cjelobrojnih, nenegativnih vrijednosti. Oni su njihovi sastavni dio.

Te vrijednosti idu u beskonačnost, mogu pripadati klasama milijuna, milijardi, kvintiliona itd.

Na primjer:

• Pet jabuka, tri mačića,
• Deset rubalja, trideset olovaka,
• Sto kilograma, tri stotine knjiga,
• Milijun zvijezda, tri milijuna ljudi itd.

Slijed u N

U različitim matematičkim školama mogu se pronaći dva intervala kojima pripada niz N:

od nula do plus beskonačno, uključujući krajeve, i od jedan do plus beskonačno, uključujući krajeve, tj. pozitivni cjeloviti odgovori.

N skupova znamenki može biti paran ili neparan. Razmotrite koncept neparnosti.

Neparni (svi neparni završavaju brojevima 1, 3, 5, 7, 9.) s dva imaju ostatak. Na primjer, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Što znači čak N?

Bilo koji čak i iznosi razredi završavaju brojevima: 0, 2, 4, 6, 8. Prilikom dijeljenja parnog N s 2 neće biti ostatka, odnosno rezultat je cijeli odgovor. Na primjer, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Važno! Brojčani niz od N ne može se sastojati samo od parnih ili neparnih vrijednosti, jer se moraju izmjenjivati: nakon parnog broja uvijek slijedi neparan broj, zatim opet paran broj i tako dalje.

N svojstva

Kao i svi drugi skupovi, N ima svoja posebna svojstva. Razmotrite svojstva N serije (nije proširena).

• Vrijednost koja je najmanja i koja ne slijedi nijednu drugu je jedna.
• N je niz, tj. jedna prirodna vrijednost slijedi drugu(osim jednog - prvi je).
• Kada izvodimo računske operacije nad N zbroja znamenki i klasa (zbrajamo, množimo), tada je odgovor uvijek ispadne prirodno značenje.
• U izračunima možete koristiti permutaciju i kombinaciju.
• Svaka sljedeća vrijednost ne može biti manja od prethodne. Također u nizu N djelovat će sljedeći zakon: ako je broj A manji od B, tada će u nizu brojeva uvijek postojati C, za koji je jednakost istinita: A + C \u003d B.
• Ako uzmemo dva prirodna izraza, na primjer, A i B, tada će jedan od izraza biti istinit za njih: A \u003d B, A je veći od B, A manji od B.
• Ako je A manji od B, a B manji od C, onda slijedi da da je A manji od C.
• Ako je A manji od B, onda slijedi: ako im dodamo isti izraz (C), onda je A + C manji od B + C. Također je točno da ako se te vrijednosti pomnože s C, tada je AC manji od AB.
• Ako je B veći od A, ali manji od C, tada: B-A manje S-A.

Pažnja! Sve navedene nejednakosti vrijede i u suprotnom smjeru.

Kako se zovu komponente množenja?

U mnogim jednostavnim i ravnomjernim teške zadatke pronalaženje odgovora ovisi o sposobnostima učenika

Prirodni brojevi poznati su čovjeku i intuitivni, jer nas okružuju od djetinjstva. U članku u nastavku dat ćemo osnovnu ideju o značenju prirodnih brojeva, opisati osnovne vještine njihovog pisanja i čitanja. Cijeli teorijski dio bit će popraćen primjerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opća ideja prirodnih brojeva

U određenoj fazi razvoja čovječanstva pojavio se zadatak prebrojavanja određenih objekata i označavanja njihove količine, što je zauzvrat zahtijevalo pronalaženje alata za rješavanje ovog problema. Prirodni brojevi su postali takav alat. Glavna svrha prirodnih brojeva je također jasna - dati ideju o broju objekata ili serijskom broju određenog objekta, ako pričamo o mnoštvu.

Logično je da je za korištenje prirodnih brojeva potrebno imati način da ih percipira i reproducira. Dakle, prirodni broj se može izraziti ili prikazati, što je prirodnim putevima prijenos informacija.

Razmotrite osnovne vještine izgovaranja (čitanja) i slika (pisanja) prirodnih brojeva.

Decimalni zapis prirodnog broja

Prisjetimo se kako su prikazani slijedeći znakovi(odvajamo ih zarezima): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ti se znakovi nazivaju brojevima.

Uzmimo sada kao pravilo da se prilikom prikazivanja (pisanja) bilo kojeg prirodnog broja koriste samo naznačene znamenke bez sudjelovanja ikakvih drugih simbola. Neka znamenke pri pisanju prirodnog broja imaju istu visinu, pišu se jedna za drugom u retku, a s lijeve strane uvijek postoji znamenka koja je različita od nule.

Navedimo primjere ispravnog zapisa prirodnih brojeva: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Uvlake između znamenki nisu uvijek iste, o tome će se detaljnije govoriti u nastavku prilikom proučavanja klasa brojeva. Navedeni primjeri pokazuju da prilikom pisanja prirodnog broja nije potrebno imati sve znamenke iz navedenog niza. Neki ili svi se mogu ponoviti.

Definicija 1

Zapisi oblika: 065 , 0 , 003 , 0791 nisu zapisi prirodnih brojeva, jer lijevo je broj 0.

Točan zapis prirodnog broja, napravljen uzimajući u obzir sve opisane zahtjeve, naziva se decimalni zapis prirodnog broja.

Kvantitativno značenje prirodnih brojeva

Kao što je već spomenuto, prirodni brojevi u početku nose, između ostalog, kvantitativno značenje. Prirodni brojevi, kao alat za numeriranje, obrađeni su u temi usporedbe prirodnih brojeva.

Počnimo s prirodnim brojevima čiji se unosi podudaraju s unosima znamenki, tj.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Zamislite određeni objekt, na primjer, ovo: Ψ . Možemo zapisati ono što vidimo 1 predmet. Prirodni broj 1 čita se kao "jedan" ili "jedan". Pojam "jedinica" ima i drugo značenje: nešto što se može promatrati kao cjelina. Ako postoji skup, onda se bilo koji njegov element može označiti jednim. Na primjer, od mnogih miševa, svaki miš je jedan; svaki cvijet iz skupa cvijeća je jedinica.

Sada zamislite: Ψ Ψ . Vidimo jedan predmet i drugi objekt, t.j. u zapisniku će biti - 2 stavke. Prirodni broj 2 čita se kao "dva".

Nadalje, analogno: Ψ Ψ Ψ - 3 stavke ("tri"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("četiri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pet"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("šest"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("sedam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("osam"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ devet").

S naznačene pozicije, funkcija prirodnog broja je da označava količina stavke.

Definicija 1

Ako se unos broja podudara s unosom znamenke 0, tada se takav broj naziva "nula". Nula nije prirodan broj, ali se smatra zajedno s drugim prirodnim brojevima. Nula znači ne, tj. nula stavki znači ništa.

Jednoznamenkasti prirodni brojevi

Očigledna je činjenica da pri pisanju svakog od gore navedenih prirodnih brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) koristimo jedan znak - jednu znamenku.

Definicija 2

Jednoznamenkasti prirodni broj- prirodni broj, koji se piše jednim znakom - jednom znamenkom.

Postoji devet jednoznamenkastih prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Dvoznamenkasti i troznamenkasti prirodni brojevi

Definicija 3

Dvoznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se zapisuju pomoću dva znaka - dvije znamenke. U ovom slučaju korišteni brojevi mogu biti ili isti ili različiti.

Na primjer, prirodni brojevi 71, 64, 11 su dvoznamenkasti.

Razmotrimo značenje dvoznamenkastih brojeva. Oslonit ćemo se na kvantitativno značenje nama već poznatih jednovrijednih prirodnih brojeva.

Uvedimo koncept kao što je "deset".

Zamislite skup objekata koji se sastoji od devet i još jednog. U ovom slučaju možemo govoriti o 1 tucetu ("jedan tucet") stavki. Ako zamislite jedan desetak i još jedan, tada ćemo govoriti o 2 desetice („dvije desetice“). Zbrajanjem još jedne desetice na dvije desetice, dobivamo tri desetice. I tako dalje: nastavljajući zbrajati deseticu, dobivamo četiri desetice, pet desetica, šest desetica, sedam desetica, osam desetica i konačno devet desetica.

Pogledajmo dvoznamenkasti broj kao skup jednoznamenkastih brojeva od kojih je jedan napisan desno, drugi lijevo. Broj s lijeve strane označava broj desetica u prirodnom broju, a broj s desne strane označava broj jedinica. U slučaju kada se broj 0 nalazi s desne strane, tada govorimo o odsutnosti jedinica. Gore navedeno je kvantitativno značenje prirodnih dvoznamenkastih brojeva. Ukupno ih je 90.

Definicija 4

Troznamenkasti prirodni brojevi- prirodni brojevi, koji se pišu pomoću tri znaka - tri znamenke. Brojevi mogu biti različiti ili se ponavljati u bilo kojoj kombinaciji.

Na primjer, 413, 222, 818, 750 su troznamenkasti prirodni brojevi.

Da bismo razumjeli kvantitativno značenje trovrijednih prirodnih brojeva, uvodimo pojam "sto".

Definicija 5

sto (sto) je skup od deset desetica. Sto plus sto je dvjesto. Dodajte još sto i dobijete 3 stotine. Postupno zbrajajući sto, dobivamo: četiri stotine, petsto, šest stotina, sedamsto, osamsto, devetsto.

Razmotrimo sam zapis troznamenkastog broja: jednoznamenkasti prirodni brojevi koji su u njemu uključeni su napisani jedan za drugim s lijeva na desno. Krajnja desna jednoznamenkasta znamenka označava broj jedinica; sljedeći jednoznamenkasti broj lijevo - brojem desetica; krajnja lijeva jednoznamenkasta znamenka je broj stotina. Ako je broj 0 uključen u unos, to označava odsutnost jedinica i/ili desetica.

Dakle, troznamenkasti prirodni broj 402 znači: 2 jedinice, 0 desetica (nema desetica koje se ne spajaju u stotine) i 4 stotine.

Analogno se daje definicija četveroznamenkastih, peteroznamenkastih i tako dalje prirodnih brojeva.

Viševrijedni prirodni brojevi

Iz svega navedenog sada je moguće prijeći na definiciju viševrijednih prirodnih brojeva.

Definicija 6

Viševrijedni prirodni brojevi- prirodni brojevi koji se pišu pomoću dva ili više znakova. Višeznamenkasti prirodni brojevi su dvoznamenkasti, troznamenkasti itd. brojevi.

Tisuću je skup koji uključuje deset stotina; milijun se sastoji od tisuću tisuća; jedna milijarda - tisuću milijuna; jedan trilijun je tisuću milijardi. Čak i veći setovi također imaju nazive, ali njihova upotreba je rijetka.

Slično gore navedenom principu, svaki višeznamenkasti prirodni broj možemo smatrati skupom jednoznamenkastih prirodnih brojeva, od kojih svaki, na određenom mjestu, označava prisutnost i broj jedinica, desetica, stotina, tisuća, desetica od tisuća, stotina tisuća, milijuna, desetaka milijuna, stotina milijuna, milijardi i tako dalje (s desna na lijevo, respektivno).

Na primjer, višeznamenkasti broj 4 912 305 sadrži: 5 jedinica, 0 desetica, tri stotine, 2 tisuće, 1 desetke tisuća, 9 stotina tisuća i 4 milijuna.

Rezimirajući, ispitali smo vještinu grupiranja jedinica u razne skupove (desetice, stotine itd.) i vidjeli da su brojevi u zapisu višeznamenkastog prirodnog broja oznaka broja jedinica u svakom od takvih skupova.

Čitanje prirodnih brojeva, nastava

U gornjoj teoriji označili smo nazive prirodnih brojeva. U tablici 1 navodimo kako pravilno koristiti nazive jednoznamenkastih prirodnih brojeva u govoru i u abecednom zapisu:

Broj	muški	Ženski	Srednji rod
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet

Broj	nominativan padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan Dva Tri četiri Pet šest Polu osam Devet	do jednog dva Trem četiri Pet šest Polu osam Devet	Jedan Dva Tri Četiri Pet Šest sedam Osam Devet	Jedan dva Tri četiri Pet šest obitelj osam Devet	O jednom Oko dva Oko tri Oko četiri Opet Oko šest Oko sedam Oko osam Oko devet

Za kompetentno čitanje i pisanje dvoznamenkastih brojeva morate naučiti podatke u tablici 2:

Broj	Muški, ženski i srednji rod
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset

Broj	nominativan padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset devedeset	Deset Jedanaest Dvanaest Trinaest Četrnaest Petnaest Šesnaest Sedamnaest Osamnaest Devetnaest Dvadeset Trideset Četrdeset Pedeset Šezdeset Sedamdeset Osamdeset Devedeset	deset Jedanaest dvanaest trinaest četrnaest petnaest šesnaest sedamnaest osamnaest devetnaest dvadeset trideset Svraka pedeset šezdeset Sedamdeset osamdeset Devedeset	Oko deset Oko jedanaest Oko dvanaest Oko trinaest Oko četrnaest Otprilike petnaestak Oko šesnaest Oko sedamnaest godina Oko osamnaest Oko devetnaest Dvadesetak Tridesetak O svraka Pedesetak Šezdesetak Oko sedamdeset Oko osamdeset Oko devedeset

Za čitanje drugih prirodnih dvoznamenkastih brojeva koristit ćemo podatke iz obje tablice, razmotrite to na primjeru. Recimo da trebamo pročitati prirodni dvoznamenkasti broj 21. Ovaj broj sadrži 1 jedinicu i 2 desetice, tj. 20 i 1. Okrećući se tablicama, navedeni broj čitamo kao "dvadeset jedan", dok spoj "i" između riječi nije potrebno izgovarati. Pretpostavimo da u nekoj rečenici trebamo upotrijebiti naznačeni broj 21, koji označava broj objekata u genitivu: "nema 21 jabuke." U ovom slučaju, izgovor će zvučati ovako: "nema dvadeset i jedne jabuke."

Navedimo još jedan primjer radi jasnoće: broj 76, koji se čita kao "sedamdeset šest" i, na primjer, "sedamdeset i šest tona".

Broj	Nominativni padež	Genitiv	Dativ	Akuzativ	Instrumentalna kutija	Prijedložni
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Jedna stotina Dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	Sta dvjesto tristo četiri stotine petsto šesto Sedamsto osamsto devet stotina	Sta dvjesto Tremstam četiri stotine petsto Šesto sedamsto osamsto Devet stotina	Jedna stotina Dvije stotine Tristo Četiri stotine Petsto Šesto Sedamsto Osamsto Devet stotina	Sta dvjesto Tristo četiri stotine petsto šesto sedamsto osamsto Devet stotina	Otprilike stotinjak Oko dvjesto Tristotinjak Oko četiri stotine Oko pet stotina Oko šest stotina Oko sedamsto Oko osam stotina Oko devet stotina

Za potpuno čitanje troznamenkastog broja koristimo se i podacima svih navedenih tablica. Na primjer, zadan prirodni broj 305 . Ovaj broj odgovara 5 jedinica, 0 deseticama i 3 stotine: 300 i 5. Uzimajući tablicu kao osnovu, čitamo: "trista i pet" ili u deklinaciji po padežima, na primjer, ovako: "trista i pet metara".

Pročitajmo još jedan broj: 543. Prema pravilima tablica, naznačeni broj će zvučati ovako: "petsto četrdeset i tri" ili u slučaju deklinacije, na primjer, ovako: "nema petsto četrdeset i tri rublja".

Idemo dalje na opći principčitanje višeznamenkastih prirodnih brojeva: da biste pročitali višeznamenkasti broj, trebate ga podijeliti s desna na lijevo u skupine od tri znamenke, a krajnja lijeva grupa može imati 1, 2 ili 3 znamenke. Takve grupe nazivaju se klasama.

Ekstremna desna klasa je klasa jedinica; zatim sljedeći razred, lijevo - klasa tisuća; dalje - klasa milijuna; zatim dolazi klasa milijardi, a zatim klasa trilijuna. Sljedeće klase također imaju naziv, ali se sastoje od prirodnih brojeva veliki broj znakovi (16, 17 ili više) rijetko se koriste u čitanju, prilično ih je teško percipirati sluhom.

Radi praktičnosti percepcije zapisa, klase su međusobno odvojene malom uvlakom. Na primjer, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Razred bilijun	Razred milijardi	Razred milijuna	Tisuću razreda	Klasa jedinice
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Za čitanje višeznamenkastog broja pozivamo redom brojeve koji ga čine (s lijeva na desno, po razredu, dodajući naziv razreda). Naziv klase jedinica se ne izgovara, a ne izgovaraju se i one klase koje čine tri znamenke 0. Ako su jedna ili dvije znamenke 0 prisutne s lijeve strane u jednom razredu, tada se ne koriste ni na koji način pri čitanju. Na primjer, 054 se čita kao "pedeset četiri" ili 001 kao "jedan".

Primjer 1

Pogledajmo detaljno čitanje broja 2 533 467 001 222:

Čitamo broj 2, kao komponentu klase trilijuna – „dva“;

Dodajući naziv klase, dobivamo: "dva trilijuna";

Čitamo sljedeći broj, dodajući naziv odgovarajuće klase: “petsto trideset i tri milijarde”;

Nastavljamo analogijom, čitajući sljedeći razred s desne strane: “četiristo šezdeset sedam milijuna”;

U sljedećoj klasi vidimo dvije znamenke 0 koje se nalaze na lijevoj strani. Prema gornjim pravilima čitanja, znamenke 0 se odbacuju i ne sudjeluju u čitanju zapisa. Tada dobivamo: "tisuću";

Čitamo posljednju klasu jedinica bez dodavanja njenog naziva - "dvjesto dvadeset i dvije".

Tako će broj 2 533 467 001 222 zvučati ovako: dva trilijuna petsto trideset tri milijarde četiri stotine šezdeset sedam milijuna tisuću dvjesto dvadeset i dva. Koristeći ovaj princip, možemo čitati i ostale zadane brojeve:

31 013 736 - trideset jedan milijun trinaest tisuća sedamsto trideset šest;

134 678 - sto trideset i četiri tisuće šest stotina sedamdeset i osam;

23 476 009 434 - dvadeset i tri milijarde četiri stotine sedamdeset šest milijuna devet tisuća četiri stotine trideset i četiri.

Dakle, osnova za ispravno čitanje višeznamenkastih brojeva je sposobnost razbijanja višeznamenkastog broja u klase, poznavanje odgovarajućih naziva i razumijevanje principa čitanja dvoznamenkastih i troznamenkastih brojeva.

Kao što već postaje jasno iz svega navedenog, njegova vrijednost ovisi o poziciji na kojoj se znamenka nalazi u zapisu broja. To jest, na primjer, broj 3 u prirodnom broju 314 označava broj stotina, odnosno 3 stotine. Broj 2 je broj desetica (1 desetica), a broj 4 je broj jedinica (4 jedinice). U ovom slučaju ćemo reći da je broj 4 na mjestu jedinica i da je vrijednost jedinica koje se nalaze zadani broj. Broj 1 nalazi se na mjestu desetica i služi kao vrijednost mjesta desetica. Broj 3 nalazi se na mjestu stotina i vrijednost je mjesta stotina.

Definicija 7

Pražnjenje je položaj znamenke u zapisu prirodnog broja, kao i vrijednost te znamenke, koja je određena njezinim položajem u danom broju.

Pražnjenja imaju svoja imena, već smo ih koristili gore. S desna na lijevo slijede brojke: jedinice, desetice, stotine, tisuće, desetke tisuća itd.

Za praktičnost pamćenja možete koristiti sljedeću tablicu (naznačavamo 15 znamenki):

Pojasnimo ovaj detalj: broj znamenki u danom višeznamenkastom broju jednak je broju znakova u unosu broja. Na primjer, ova tablica sadrži nazive svih znamenki za broj od 15 znakova. Naknadna pražnjenja također imaju nazive, ali se koriste iznimno rijetko i vrlo su nezgodna za slušanje.

Uz pomoć takve tablice moguće je razviti vještinu određivanja ranga upisivanjem zadanog prirodnog broja u tablicu tako da se krajnja desna znamenka upisuje u znamenku jedinica, a zatim u svaku znamenku po znamenku. Na primjer, zapišimo višeznamenkasti prirodni broj 56 402 513 674 ovako:

Obratite pozornost na broj 0, koji se nalazi u pražnjenju desetaka milijuna - to znači odsutnost jedinica ove kategorije.

Uvodimo i pojmove najniže i najviše znamenke višeznamenkastog broja.

Definicija 8

Najniži (junior) rang bilo koji viševrijedni prirodni broj je znamenka jedinice.

Najviša (senior) kategorija bilo kojeg višeznamenkastog prirodnog broja - znamenka koja odgovara krajnjoj lijevoj znamenki u zapisu zadanog broja.

Tako, na primjer, u broju 41.781: najniži rang je rang jedinica; najviši rang je znamenka deseci tisuća.

Logično slijedi da je moguće govoriti o starješini znamenki u odnosu na drugu. Svaka sljedeća znamenka pri pomicanju s lijeva na desno je niža (mlađa) od prethodne. I obrnuto: kada se krećete s desna na lijevo, svaka sljedeća znamenka je viša (starija) od prethodne. Na primjer, znamenka tisuća je starija od znamenke stotine, ali je mlađa od znamenke milijuna.

Pojasnimo to prilikom rješavanja nekih praktični primjeri ne koristi se sam prirodni broj, već zbroj bitnih članova zadanog broja.

Ukratko o decimalnom brojevnom sustavu

Definicija 9

Notacija- metoda pisanja brojeva pomoću znakova.

Pozicijski brojevni sustavi- one kod kojih vrijednost znamenke u broju ovisi o njenom položaju u zapisu broja.

Prema ovoj definiciji možemo reći da smo, proučavajući prirodne brojeve i način na koji su gore zapisani, koristili pozicijski brojevni sustav. Posebno mjesto broj 10 igra ovdje. Stalno brojimo u deseticama: deset jedinica čini deset, deset desetica sjedinjenih u sto, itd. Broj 10 služi kao baza ovog brojevnog sustava, a sam sustav naziva se i decimalnim.

Osim njega, postoje i drugi brojevni sustavi. Na primjer, informatika koristi binarni sustav. Kada pratimo vrijeme, koristimo seksagezimalni brojevni sustav.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Cijeli brojevi

Definicija prirodnih brojeva su cijeli pozitivni brojevi. Prirodni brojevi se koriste za brojanje objekata i za mnoge druge svrhe. Evo brojeva:

Ovo je prirodan niz brojeva.
Nula je prirodan broj? Ne, nula nije prirodan broj.
Koliko ima prirodnih brojeva? Postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.
Koji je najmanji prirodni broj? Jedan je najmanji prirodni broj.
Koji je najveći prirodni broj? Ne može se odrediti, jer postoji beskonačan skup prirodnih brojeva.

Zbroj prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, zbrajanje prirodnih brojeva a i b:

Umnožak prirodnih brojeva je prirodan broj. Dakle, umnožak prirodnih brojeva a i b:

c je uvijek prirodan broj.

Razlika prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako je minus veći od oduzetog, onda je razlika prirodnih brojeva prirodan broj, inače nije.

Kvocijent prirodnih brojeva Ne postoji uvijek prirodan broj. Ako za prirodne brojeve a i b

gdje je c prirodan broj, to znači da je a jednako djeljiv s b. U ovom primjeru, a je dividenda, b je djelitelj, c je kvocijent.

Djelitelj prirodnog broja je prirodni broj kojim je prvi broj jednako djeljiv.

Svaki prirodni broj djeljiv je s 1 i sam sa sobom.

Jednostavni prirodni brojevi djeljivi su samo s 1 i sami sa sobom. Ovdje mislimo na potpuno podijeljeno. Primjer, brojevi 2; 3; 5; 7 je djeljivo samo s 1 i samim sobom. To su jednostavni prirodni brojevi.

Jedan se ne smatra prostim brojem.

Brojevi koji su veći od jedan i koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi. Primjeri složenih brojeva:

Jedan se ne smatra složenim brojem.

Skup prirodnih brojeva sastoji se od jedan, prostih brojeva i složenih brojeva.

Skup prirodnih brojeva je označen latinično slovo N.

Svojstva zbrajanja i množenja prirodnih brojeva:

komutativno svojstvo zbrajanja

asocijativno svojstvo zbrajanja

(a + b) + c = a + (b + c);

komutativno svojstvo množenja

asocijativno svojstvo množenja

(ab)c = a(bc);

distributivno svojstvo množenja

A (b + c) = ab + ac;

Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, nula i suprotni prirodni brojevi.

Brojevi suprotni prirodnim brojevima negativni su cijeli brojevi, na primjer:

1; -2; -3; -4;...

Skup cijelih brojeva označava se latiničnim slovom Z.

Racionalni brojevi

Racionalni brojevi su cijeli brojevi i razlomci.

Bilo koji racionalni broj može se predstaviti kao periodični razlomak. primjeri:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Iz primjera se može vidjeti da je svaki cijeli broj periodični razlomak s periodom nula.

Svaki racionalni broj može se predstaviti kao razlomak m/n, gdje je m cijeli broj broj, n prirodan broj. Predstavimo broj 3,(6) iz prethodnog primjera kao takav razlomak.

Gdje počinje studij matematike? Da, tako je, iz proučavanja prirodnih brojeva i radnji s njima.Cijeli brojevi (izlat. naturalis- prirodni; prirodni brojevi)brojevima koji nastaju prirodno pri brojanju (na primjer, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). Niz svih prirodnih brojeva poredanih uzlaznim redoslijedom naziva se prirodni broj.

Postoje dva pristupa definiciji prirodnih brojeva:

1. brojanje (numeracija) stavke ( prvi, drugi, treći, Četvrta, peti"…);
2. prirodni brojevi su brojevi koji se javljaju kada oznaka količine stavke ( 0 predmeta, 1 stavka, 2 predmeta, 3 predmeta, 4 predmeta, 5 predmeta ).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje od jedan, u drugom - od nule. Za većinu matematičara ne postoji zajedničko mišljenje o preferiranju prvog ili drugog pristupa (odnosno, treba li smatrati nulu prirodnim brojem ili ne). Velika većina ruskih izvora tradicionalno je usvojila prvi pristup. Drugi pristup se, primjerice, koristi u radovimaNicolas Bourbaki , gdje su prirodni brojevi definirani kaovlast konačni skupovi .

Negativan i necijeli broj (racionalno , stvaran ,…) brojevi se ne klasificiraju kao prirodni.

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom N (odlat. naturalis- prirodno). Skup prirodnih brojeva je beskonačan, jer za svaki prirodni broj n postoji prirodan broj veći od n.

Prisutnost nule olakšava formulaciju i dokaz mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan pojam prošireni prirodni niz , uključujući nulu. Produženi red je označen sa N 0 ili Z0 .

Dozatvorene operacije (operacije koje ne daju rezultat iz skupa prirodnih brojeva) na prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

• dodatak: pojam + pojam = zbroj;
• množenje: množitelj × množitelj = proizvod;
• eksponencijalnost: a b , gdje je a baza stupnja, b je eksponent. Ako su a i b prirodni brojevi, tada će rezultat također biti prirodan broj.

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (s formalne točke gledišta, to nisu operacije nad prirodnim brojevima, budući da nisu definirane za sveparovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

• oduzimanje: minuend - subtrahend = razlika. U ovom slučaju, minuend mora biti veći od oduzetog (ili jednak njemu, ako nulu smatramo prirodnim brojem)
• podjela s ostatkom: dividenda / djelitelj = (kvocijent, ostatak). Kvocijent p i ostatak r od dijeljenja a sa b definirani su na sljedeći način: a=p*r+b, i 0<=r

Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i množenja temeljne. Posebno,