Sposobnost izračunavanja volumena prostornih figura važna je u rješavanju niza praktičnih problema iz geometrije. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom članku ćemo razmotriti piramide, pune i krnje.

Piramida kao trodimenzionalni lik

Svi znaju za egipatske piramide, dakle, dobro je predstavljeno o kojoj će brojci biti riječi. Ipak, egipatske kamene građevine samo su poseban slučaj goleme klase piramida.

Geometrijski objekt koji se razmatra u općem slučaju je poligonalna baza čiji je svaki vrh povezan s nekom točkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravnini. Ova definicija vodi do lika koji se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.

Bilo koja piramida se sastoji od n+1 lica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, brojevi označenih elemenata odgovaraju Eulerovoj jednadžbi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u bazi daje naziv piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida sa različite osnove prikazano na fotografiji ispod.

Točka u kojoj su spojeni n trokuta lika naziva se vrh piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i ona je siječe u geometrijskom središtu, tada će se takav lik zvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, postoji nagnuta piramida.

Ravni lik, čiju bazu čini jednakostranični (jednakokutni) n-kut, naziva se pravilnim.

Formula volumena piramide

Za izračunavanje volumena piramide koristimo integralni račun. Da bismo to učinili, dijelimo lik po sekantnim ravninama paralelnim s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Na slici ispod prikazana je četverokutna piramida visine h i duljine stranice L, u kojoj je četverokut označava tanki sloj sekcije.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati po formuli:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 površina baze, z je vrijednost vertikalne koordinate. Može se vidjeti da ako je z = 0, onda formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivata dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.

Imajte na umu da je rezultirajući izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. Odnosno, može biti nagnuta, a baza mu može biti proizvoljan n-kut.

i njegov volumen

Primljeno u gornjem stavku opća formula za volumen se može specificirati u slučaju piramide s pravi temelj. Površina takve baze izračunava se sljedećom formulom:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L duljina stranice pravilnog poligona s n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu, dobivamo volumen pravilne piramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutastu piramidu ova formula dovodi do sljedećeg izraza:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Za ispravan četverokutna piramida formula volumena ima oblik:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje stranice njihove baze i visine figure.

Piramida skraćena

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali dio njene bočne površine koja sadrži vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih povezuju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira skraćena piramida s paralelnim sličnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s nekim koeficijentom k.

Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan, a vidi se da njegovu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.

Formula koja se može izvesti korištenjem integralnog računa sličnog gore navedenom je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) i gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena koji sadrži najveća egipatska piramida.

1984. osnovali su britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman točne dimenzije Keopsova piramida. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutačno oko 137 metara). Prosječna duljina svaka od četiri strane strukture bila je 230.363 metra. Baza piramide je kvadratna s visokom preciznošću.

Zadanim brojkama odredimo volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilna četverokutna, za nju vrijedi formula:

Ubacivanjem brojeva dobivamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumen Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m 3. Za usporedbu, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuća m 3. Odnosno, za popunjavanje cijele Keopsove piramide bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!

Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čije je jedno lice mnogokut ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (slika 15). Piramida se zove ispravan , ako mu je baza pravilan mnogokut, a vrh piramide projiciran u središte baze (slika 16). Zove se trokutasta piramida u kojoj su svi bridovi jednaki tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva stranica bočne strane koja ne pripada bazi Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne strane pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apotema . dijagonalni presjek Presjek piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj površini.

Bočna površina piramida se naziva zbroj površina svih bočnih strana. područje puna površina je zbroj površina svih bočnih strana i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi jednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice u blizini baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.

3. Ako su u piramidi sva lica jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračunavanje volumena proizvoljne piramide, formula je točna:

gdje V- volumen;

S glavni- temeljna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu vrijedi sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S glavni- temeljna površina;

V je volumen pravilne piramide.

krnje piramide nazivamo dio piramide zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Ispravna skraćena piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide.

Temelji skraćena piramida – slični poligoni. Bočna lica - trapez. Visina krnje piramide naziva se udaljenost između njenih baza. dijagonala Skraćena piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj površini. dijagonalni presjek Presjek krnje piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj površini.

Za skraćenu piramidu vrijede formule:

(4)

gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je bočna površina;

H- visina;

V je volumen krnje piramide.

Za pravilnu skraćenu piramidu vrijedi sljedeća formula:

gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;

h a- apotema pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trokutastoj piramidi, diedralni kut na bazi je 60º. Nađi tangentu kuta nagiba bočnog ruba prema ravnini baze.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je pravilna, što znači da je baza jednakostranični trokut, a sve bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut na bazi - ovo je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice: t.j. Vrh piramide projiciran je u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokutu ABC). Kut nagiba bočnog rebra (npr SB) je kut između samog brida i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebro SB ovaj će kut biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu, morate poznavati noge TAKO I OB. Neka duljina segmenta BD je 3 ali. točka OKO odjeljak BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2 Nađi volumen pravilne skraćene četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza cm i cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Da bismo pronašli volumen krnje piramide, koristimo formulu (4). Da biste pronašli područja baza, morate pronaći stranice osnovnih kvadrata, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su 2 cm odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Nađite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokraki trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati baze i visinu. Osnove su dane uvjetom, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite ga odakle ALI 1 E okomito iz točke ALI 1 na ravnini donje baze, A 1 D- okomito od ALI 1 na AC. ALI 1 E\u003d 2 cm, jer je ovo visina piramide. Za pronalaženje DE napravit ćemo dodatni crtež, na kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Točka OKO- projekcija središta gornje i donje baze. budući da (vidi sliku 20) i S druge strane u redu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočna površina lica:

Odgovor:

Primjer 4 U bazi piramide leži jednakokraki trapez čije su baze ali I b (a> b). Svaka bočna strana tvori kut jednak ravnini baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednak je zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Koristimo se tvrdnjom da ako su sva lica piramide jednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka OKO- projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na osnovnu ravninu. Prema teoremu o površini ortogonalne projekcije ravne figure, dobivamo:

Slično, znači Dakle, problem se sveo na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtajte trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka OKO je središte kružnice upisane u trapez.

Kako se kružnica može upisati u trapez, onda ili Po Pitagorinom teoremu imamo

• 09.10.2014

  Predpojačalo prikazano na slici je dizajnirano za korištenje s 4 vrste izvora zvuka, kao što su mikrofon, CD player, magnetofon, itd. Istovremeno, pretpojačalo ima jedan ulaz koji može promijeniti osjetljivost od 50mV do 500mV . izlazni napon pojačala je 1000mV. Povezivanje različiti izvori signal pri prebacivanju prekidača SA1, uvijek ćemo dobiti ...

• 20.09.2014

  PSU je dizajniran za opterećenje snage 15 ... 20 vata. Izvor je izrađen prema shemi jednociklusnog impulsnog visokofrekventnog pretvarača. Na tranzistoru je sastavljen oscilator koji radi na frekvenciji od 20 ... 40 kHz. Frekvencija se podešava kapacitivnošću C5. Elementi VD5, VD6 i C6 čine sklop za pokretanje oscilatora. U sekundarnom krugu, nakon mostnog ispravljača, nalazi se konvencionalni linearni stabilizator na mikrokrugu, koji vam omogućuje da imate ...

• 28.09.2014

  Na slici je prikazan generator na čipu K174XA11, čija je frekvencija kontrolirana naponom. Promjenom kapacitivnosti C1 sa 560 na 4700pF može se dobiti širok raspon frekvencija, dok se frekvencija podešava promjenom otpora R4. Na primjer, autor je otkrio da se pri C1 = 560pF frekvencija generatora može promijeniti pomoću R4 od 600Hz do 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Jedinica je dizajnirana za napajanje snažnog ULF-a, dizajnirana je za izlazni napon od ± 27V i tako opterećuje do 3A na svakoj ruci. Napojna jedinica je bipolarna, izrađena na kompletnim kompozitnim tranzistorima KT825-KT827. Oba kraka stabilizatora izrađena su prema istoj shemi, ali u drugom kraku (nije prikazano), mijenja se polaritet kondenzatora i koriste se tranzistori drugog ...