Kako pronaći kosinus kuta između ravnina. Diedarski kut

Ovaj članak govori o kutu između ravnina i kako ga pronaći. Najprije je dana definicija kuta između dvije ravnine i grafička ilustracija. Nakon toga je analiziran princip pronalaženja kuta između dvije ravnine koje se sijeku koordinatnom metodom, dobivena je formula koja omogućuje izračunavanje kuta između ravnina koje se sijeku koristeći poznate koordinate vektora normale tih ravnina. U zaključku su prikazana detaljna rješenja tipičnih problema.

Navigacija po stranici.

Kut između ravnina - definicija.

Navedimo argumente koji će nam omogućiti da se postupno približimo definiciji kuta između dviju ravnina koje se sijeku.

Neka nam se daju dvije ravnine koje se sijeku i . Ove ravnine sijeku se u pravoj liniji, koju označavamo slovom c. Konstruirajmo ravninu koja prolazi točkom M pravca c i okomita je na pravac c. U tom slučaju, ravnina će presjeći ravnine i . Označimo pravac duž kojeg se ravnine sijeku i kao a, a pravac duž kojeg se ravnine sijeku i kao b. Očito se pravci a i b sijeku u točki M.

Lako je pokazati da kut između pravaca a i b koji se sijeku ne ovisi o položaju točke M na pravcu c kojim ravnina prolazi.

Konstruirajmo ravninu okomitu na pravac c i različitu od ravnine . Ravninu sijeku ravnine i ravne linije, koje označavamo s a 1 odnosno b 1.

Iz metode konstruiranja ravnina i proizlazi da su pravci a i b okomiti na pravac c, a a 1 i b 1 okomiti na pravac c. Kako pravci a i a 1 leže u istoj ravnini i okomiti su na pravac c, oni su paralelni. Slično, pravci b i b 1 leže u istoj ravnini i okomiti su na pravac c, pa su stoga paralelni. Tako je moguće izvesti paralelni prijenos ravnine u ravninu, u kojoj se pravac a 1 poklapa s pravom a, a pravac b s pravom b 1. Stoga je kut između dviju pravaca a 1 i b 1 koji se sijeku jednak kutu između pravaca a i b koji se sijeku.

To dokazuje da kut između pravaca a i b koji se sijeku leže u ravninama koje se sijeku i da ne ovisi o izboru točke M kroz koju ravnina prolazi. Stoga je logično uzeti ovaj kut kao kut između dvije ravnine koje se sijeku.

Sada možete izraziti definiciju kuta između dvije ravnine koje se sijeku i .

Definicija.

Kut između dvije ravnine koje se sijeku u pravoj liniji i je kut između dvaju pravca a i b koji se sijeku, duž kojih se ravnine i sijeku s ravninom okomitom na pravac c.

Definicija kuta između dvije ravnine može se dati malo drugačije. Ako na pravci c, duž koje se ravnine sijeku, označite točku M i povučete kroz nju prave a i b, okomite na pravac c i koje leže u ravninama i, respektivno, tada je kut između pravih a i b jednak kut između ravnina i. Obično se u praksi takve konstrukcije izvode kako bi se dobio kut između ravnina.

Budući da kut između linija koje se sijeku ne prelazi , iz navedene definicije proizlazi da je stupanjska mjera kuta između dviju ravnina koje se sijeku izražena realnim brojem iz intervala . U ovom slučaju se nazivaju ravnine koje se sijeku okomito ako je kut između njih devedeset stupnjeva. Kut između paralelnih ravnina ili uopće nije određen ili se smatra jednakim nuli.

Pronalaženje kuta između dvije ravnine koje se sijeku.

Obično, pri pronalaženju kuta između dvije ravnine koje se sijeku, prvo morate izvesti dodatne konstrukcije kako biste vidjeli linije koje se sijeku, među kojima je kut jednak željenom kutu, a zatim povezati ovaj kut s izvornim podacima pomoću znakova jednakosti, znakove sličnosti, kosinusni teorem ili definicije sinusa, kosinusa i tangenta kuta. U kolegiju geometrije u srednjoj školi postoje slični problemi.

Na primjer, dajmo rješenje zadatka C2 s Jedinstvenog državnog ispita iz matematike za 2012. godinu (uvjet je namjerno promijenjen, ali to ne utječe na princip rješenja). U njemu je samo bilo potrebno pronaći kut između dvije ravnine koje se sijeku.

Primjer.

Riješenje.

Prvo, napravimo crtež.

Izvodimo dodatne konstrukcije da "vidimo" kut između ravnina.

Najprije definirajmo ravnu liniju duž koje se sijeku ravnine ABC i BED 1. Točka B jedna je od njihovih zajedničkih točaka. Pronađite drugu zajedničku točku ovih ravnina. Pravci DA i D 1 E leže u istoj ravnini ADD 1 i nisu paralelni, pa se stoga sijeku. S druge strane, pravac DA leži u ravnini ABC, a pravac D 1 E leži u ravnini BED 1, stoga će presjek pravih DA i D 1 E biti zajednička točka ravnina ABC i KREVET 1. Dakle, nastavljamo linije DA i D 1 E sve dok se ne sijeku, točku njihovog sjecišta označavamo slovom F. Tada je BF ravna crta duž koje se sijeku ravnine ABC i BED 1.

Ostaje konstruirati dvije linije koje leže u ravninama ABC, odnosno BED 1, prolazeći kroz jednu točku na liniji BF i okomito na pravu BF - kut između ovih pravaca, po definiciji, bit će jednak željenom kutu između ravnine ABC i BED 1 . Učinimo to.

Točka A je projekcija točke E na ravninu ABC. Nacrtaj pravac koji siječe pod pravim kutom pravac BF u točki M. Tada je pravac AM projekcija pravca EM na ravninu ABC, a prema teoremu o tri okomice.

Dakle, željeni kut između ravnina ABC i BED 1 je .

Iz pravokutnog trokuta AEM možemo odrediti sinus, kosinus ili tangent ovog kuta (a time i sam kut) ako znamo duljine njegovih dviju stranica. Iz uvjeta je lako pronaći duljinu AE: budući da točka E dijeli stranicu AA 1 u odnosu na 4 do 3, računajući od točke A, a duljina stranice AA 1 je 7, tada je AE = 4. Nađimo duljinu AM.

Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut ABF s pravim kutom A, gdje je AM visina. Po uvjetu AB=2. Duljinu stranice AF možemo pronaći iz sličnosti pravokutnih trokuta DD 1 F i AEF :

Po Pitagorinom teoremu, iz trokuta ABF nalazimo . Duljinu AM nalazimo kroz površinu trokuta ABF: s jedne strane površina trokuta ABF jednaka je , s druge strane , gdje .

Dakle, iz pravokutnog trokuta AEM imamo .

Tada je željeni kut između ravnina ABC i BED 1 (imajte na umu da ).

Odgovor:

U nekim slučajevima, za pronalaženje kuta između dvije ravnine koje se sijeku, prikladno je navesti Oxyz i koristiti koordinatnu metodu. Zaustavimo se na tome.

Postavimo zadatak: pronaći kut između dvije ravnine koje se sijeku i . Označimo željeni kut kao .

Pretpostavit ćemo da u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz znamo koordinate vektora normale ravnina koje se sijeku i ili ih je moguće pronaći. Neka bude je normalni vektor ravnine, i je normalni vektor ravnine . Pokažimo kako pronaći kut između ravnina koje se sijeku i kroz koordinate vektora normale tih ravnina.

Označimo liniju po kojoj se sijeku ravnine i kao c . Kroz točku M na pravcu c povučemo ravninu okomitu na pravac c. Ravnina siječe ravnine i duž pravaca a odnosno b, pravci a i b sijeku se u točki M. Po definiciji, kut između ravnina koje se sijeku i jednak je kutu između pravaca a i b koji se sijeku.

Odvojimo od točke M u ravnini normalne vektore i ravnina i . U ovom slučaju vektor leži na pravcu koji je okomit na pravac a, a vektor leži na pravcu koji je okomit na pravac b. Dakle, u ravnini je vektor normalni vektor pravaca a, normalni je vektor pravaca b.

U članku Pronalaženje kuta između linija koje se sijeku dobili smo formulu koja vam omogućuje da izračunate kosinus kuta između linija koje se sijeku koristeći koordinate vektora normale. Dakle, kosinus kuta između pravaca a i b, i, posljedično, i kosinus kuta između ravnina koje se sijeku i nalazi se formulom , gdje je I su normalni vektori ravnina i, respektivno. Tada se izračunava kao .

Rješimo prethodni primjer koordinatnom metodom.

Primjer.

Dat je pravokutni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, u kojem AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 i točka E dijeli stranu AA 1 u omjeru 4 prema 3, računajući od točke A. Pronađite kut između ravnina ABC i BED 1.

Riješenje.

Budući da su stranice pravokutnog paralelepipeda na jednom vrhu u paru okomite, prikladno je uvesti pravokutni koordinatni sustav Oxyz na sljedeći način: početak je poravnat s vrhom C, a koordinatne osi Ox, Oy i Oz usmjerene su duž stranica CD, CB i CC 1, redom.

Kut između ravnina ABC i BED 1 može se pronaći kroz koordinate vektora normale ovih ravnina pomoću formule , gdje su i normalni vektori ravnina ABC i BED 1, respektivno. Odredimo koordinate vektora normale.

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i obavijestimo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

U slučaju da je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim redom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i strogo provodimo praksu privatnosti.

Teorema

Kut između ravnina ne ovisi o izboru rezne ravnine.

Dokaz.

Neka postoje dvije ravnine α i β koje se sijeku duž pravca c. povuci ravninu γ okomitu na pravac c. Tada ravnina γ siječe ravnine α i β duž pravaca a i b. Kut između ravnina α i β jednak je kutu između pravih a i b.
Uzmimo drugu reznu ravninu γ`, okomitu na c. Tada će ravnina γ` presjeći ravnine α i β duž pravaca a` odnosno b`.
Uz paralelno prevođenje, točka presjeka ravnine γ s pravcem c ići će do točke presjeka ravnine γ` s pravom c. u ovom slučaju, po svojstvu paralelnog prevođenja, pravac a će ići na pravac a`, b - na pravac b`. stoga su kutovi između pravaca a i b, a` i b` jednaki. Teorem je dokazan.

Navigacija po stranici.

Kut između ravnina - definicija.

Prilikom izlaganja gradiva koristit ćemo se definicijama i pojmovima danim u člancima ravnina u prostoru i ravna linija u prostoru.

Navedimo argumente koji će nam omogućiti da se postupno približimo definiciji kuta između dviju ravnina koje se sijeku.

Neka nam se daju dvije ravnine koje se sijeku i . Ove ravnine sijeku se u pravoj liniji, koju označavamo slovom c. Konstruirajte ravninu koja prolazi kroz točku M ravno c i okomito na pravu c. U tom slučaju, ravnina će presjeći ravnine i . Označavamo liniju po kojoj se sijeku ravnine i kao a, ali ravna crta po kojoj se sijeku ravnine i kako b. Očito izravno. a I b sijeku u točki M.

Lako je pokazati da je kut između linija koje se sijeku a I b ne ovisi o mjestu točke M na ravnoj liniji c kroz koji avion prolazi.

Konstruirajte ravninu okomitu na pravu c i drugačiji od aviona. Ravninu sijeku ravnine i po ravnim linijama, koje označavamo a 1 I b 1 odnosno.

Iz metode konstruiranja ravnina proizlazi da su pravci a I b okomito na liniju c, i izravno a 1 I b 1 okomito na liniju c. Od ravno a I a 1 c, onda su paralelne. Isto tako, ravno b I b 1 leže u istoj ravnini i okomite su na pravi c pa su paralelne. Dakle, moguće je izvesti paralelni prijenos ravnine na ravninu, u kojoj je ravna crta a 1 poklapa se s linijom a, i ravna linija b s ravnom linijom b 1. Dakle, kut između dvije linije koje se sijeku a 1 I b 1 jednak kutu između linija koje se sijeku a I b.

To dokazuje da je kut između linija koje se sijeku a I b leži u ravninama koje se sijeku i ne ovisi o izboru točke M kroz koji avion prolazi. Stoga je logično uzeti ovaj kut kao kut između dvije ravnine koje se sijeku.

Sada možete izraziti definiciju kuta između dvije ravnine koje se sijeku i .

Definicija.

Kut između dvije linije koje se sijeku c avioni i je kut između dvije linije koje se sijeku a I b, uz koje se ravnine i sijeku s ravninom okomitom na pravu c.

Definicija kuta između dvije ravnine može se dati malo drugačije. Ako na ravnoj liniji iz, duž koje se ravnine i sijeku, označi točku M i povuci ravne linije kroz njega ali I b, okomito na pravu c i koji leže u ravninama, odnosno, zatim kut između linija ali I b je kut između ravnina i . Obično se u praksi takve konstrukcije izvode kako bi se dobio kut između ravnina.

Vrh stranice

Pronalaženje kuta između dvije ravnine koje se sijeku.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, u kojem AB=3, AD=2, AA 1 =7 i točka E dijeli stranu AA 1 u vezi 4 do 3 , računajući od točke ALI ABC I KREVET 1.

Prvo, napravimo crtež.

Izvodimo dodatne konstrukcije da "vidimo" kut između ravnina.

Najprije definiramo ravnu liniju duž koje se sijeku ravnine ABC I Krevet 1. Točka U jedna je od njihovih zajedničkih točaka. Pronađite drugu zajedničku točku ovih ravnina. Direktno DA I D 1 E leže u istoj ravnini DODAJ 1, i nisu paralelni, pa se stoga sijeku. S druge strane, ravno DA leži u ravnini ABC, i ravna linija D 1 E- u avionu Krevet 1, dakle točka presjeka pravaca DA I D 1 E bit će zajednička točka ravnina ABC I Krevet 1. Dakle, nastavimo ravno DA I D 1 E prije nego što se sijeku, točku njihova sjecišta označavamo slovom F. Zatim bf- pravac po kojoj se sijeku ravnine ABC I Krevet 1.

Ostaje konstruirati dvije ravne crte koje leže u ravninama ABC I Krevet 1 odnosno prolazeći kroz jednu točku na pravci bf i okomito na pravu bf, - kut između ovih pravaca, po definiciji, bit će jednak željenom kutu između ravnina ABC I Krevet 1. Učinimo to.

Točka ALI je projekcija točke E do aviona ABC. Nacrtajte liniju koja siječe liniju pod pravim kutom BF u točki M. Zatim linija prije podne je projekcija ravne linije JESTI do aviona ABC, te po teoremu o tri okomice.

Dakle, željeni kut između ravnina ABC I Krevet 1 jednako je .

Sinus, kosinus ili tangent ovog kuta (a time i sam kut) možemo odrediti iz pravokutnog trokuta AEM ako znamo duljine njegovih dviju stranica. Iz uvjeta je lako pronaći duljinu AE: od točke E dijeli stranu AA 1 u vezi 4 do 3 , računajući od točke ALI, i duljina strane AA 1 jednako je 7 , onda AE=4. Nađimo drugu dužinu prije podne.

Da biste to učinili, razmotrite pravokutni trokut ABF pravi kut ALI, gdje prije podne je visina. Po uvjetu AB=2. dužina strane AF možemo pronaći iz sličnosti pravokutnih trokuta DD 1F I AEF:

Po Pitagorinom teoremu iz trokuta ABF pronaći . Duljina prije podne pronaći kroz površinu trokuta ABF: na jednoj strani površina trokuta ABF je jednako , s druge strane , odakle .

Dakle iz pravokutnog trokuta AEM imamo .

Zatim željeni kut između ravnina ABC I Krevet 1 jednako (imajte na umu da ).

U nekim slučajevima, za pronalaženje kuta između dvije ravnine koje se sijeku, prikladno je postaviti pravokutni koordinatni sustav Oxyz i koristiti koordinatnu metodu. Zaustavimo se na tome.

Postavimo zadatak: pronaći kut između dvije ravnine koje se sijeku i . Označimo željeni kut kao .

Pretpostavljamo da u zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz znamo koordinate vektora normale ravnina koje se sijeku i ili ih imamo priliku pronaći. Dopustiti biti normalan vektor ravnine , i biti normalan vektor ravnine . Pokažimo kako pronaći kut između ravnina koje se sijeku i kroz koordinate vektora normale tih ravnina.

Označimo liniju po kojoj se sijeku ravnine i kao c. Kroz točku M na ravnoj liniji c nacrtati ravninu okomitu na pravu c. Ravnina siječe ravnine i duž ravnih linija a I b odnosno izravno a I b sijeku u točki M. Po definiciji, kut između ravnina koje se sijeku i jednak je kutu između linija koje se sijeku a I b.

Odvojite od točke M u ravnini su normalni vektori i ravnina i . Vektor leži na pravci koja je okomita na pravu a, a vektor je na liniji koja je okomita na pravac b. Dakle, u ravnini je vektor normalni vektor pravca a, - vektor normalne linije b.

U članku Pronalaženje kuta između linija koje se sijeku dobili smo formulu koja vam omogućuje da izračunate kosinus kuta između linija koje se sijeku koristeći koordinate vektora normale. Dakle, kosinus kuta između linija a I b, i, posljedično, kosinus kuta između ravnina koje se sijeku i nalazi se formulom , gdje su i normalni vektori ravnina i, respektivno. Zatim kut između ravnina koje se sijeku izračunava se kao .

Rješimo prethodni primjer koordinatnom metodom.

Zadan je pravokutni paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, u kojem AB=3, AD=2, AA 1 =7 i točka E dijeli stranu AA 1 u vezi 4 do 3 , računajući od točke ALI. Pronađite kut između ravnina ABC I KREVET 1.

Budući da su stranice pravokutnog paralelepipeda u jednom tjemenu u paru okomite, prikladno je uvesti pravokutni koordinatni sustav Oxyz ovako: počnite kombinirati s vrhom IZ, i koordinatne osi Vol, Oy I Oz poslati okolo CD, CB I CC 1 odnosno.

Kut između ravnina ABC I Krevet 1 može se pronaći kroz koordinate vektora normale ovih ravnina po formuli , gdje su i normalni vektori ravnina ABC I Krevet 1 odnosno. Odredimo koordinate vektora normale.

Od aviona ABC poklapa se s koordinatnom ravninom Oxy, tada je njegov normalni vektor koordinatni vektor , odnosno .

Kao normalni ravan vektor Krevet 1 možemo uzeti križni proizvod vektora i , zauzvrat, koordinate vektora i mogu se naći kroz koordinate točaka U, E I D1(koje su u članku zapisane koordinate vektora kroz koordinate točaka njegovog početka i kraja), te koordinate točaka U, E I D1 u uvedenom koordinatnom sustavu određujemo iz uvjeta zadatka.

Očito, . Budući da , tada nalazimo po koordinatama točaka (ako je potrebno, pogledajte članak podjelu segmenta u danom omjeru). Tada i Oxyz su jednadžbe i .

Kada smo proučavali opću jednadžbu ravne linije, saznali smo da su koef ALI, U I IZ su odgovarajuće koordinate vektora normale ravnine. Dakle, i su normalni vektori ravnina i, respektivno.

Zamjenjujemo koordinate normalnih vektora ravnina u formulu za izračun kuta između dvije ravnine koje se sijeku:

Zatim . Budući da kut između dviju ravnina koje se sijeku nije tup, onda pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta nalazimo sinus kuta:.

Mjera kuta između ravnina je oštar kut koji čine dvije ravne linije koje leže u tim ravninama i povučene okomito na liniju njihova presjeka.

Algoritam izgradnje

Iz proizvoljne točke K povučene su okomice na svaku od zadanih ravnina.
Rotacija oko linije razine određuje vrijednost kuta γ° s vrhom u točki K.
Izračunajte kut između ravnina ϕ° = 180 - γ° pod uvjetom da je γ° > 90°. Ako je γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Na slici je prikazan slučaj kada su ravnine α i β zadane tragovima. Sve potrebne konstrukcije izrađene su prema algoritmu i opisane su u nastavku.

Riješenje

Na proizvoljnom mjestu crteža označavamo točku K. Iz nje spuštamo okomice m odnosno n na ravnine α i β. Smjer projekcija m i n je sljedeći: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Određujemo stvarnu veličinu ∠γ° između linija m i n. Da biste to učinili, zarotirajte kutnu ravninu s vrhom K oko frontalnog f u položaj paralelan s ravninom frontalne projekcije. Polumjer okretanja R točke K jednak je vrijednosti hipotenuze pravokutnog trokuta O""K""K 0 , čiji je krak K""K 0 = y K – y O .
Željeni kut je ϕ° = ∠γ°, budući da je ∠γ° oštar.

Na donjoj slici prikazano je rješenje zadatka u kojem je potrebno pronaći kut γ° između ravnina α i β, dan paralelnim i pravcima koji se sijeku.

Riješenje

Određujemo smjer projekcija horizontala h 1 , h 2 i frontala f 1 , f 2 koje pripadaju ravninama α i β, redoslijedom označenim strelicama. Iz proizvoljne točke K na kvadratu. α i β ispustimo okomice e i k. U ovom slučaju, e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 i k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Određujemo ∠γ° između pravaca e i k. Da bismo to učinili, nacrtamo horizontalu h 3 i zakrenemo točku K oko nje u položaj K 1, pri čemu će △CKD postati paralelan s horizontalnom ravninom i odraziti se na nju u punoj veličini - △C "K" 1 D ". Projekcija središta rotacije O" je na nacrtanoj na h "3 okomita K "O". Polumjer R određen je iz pravokutnog trokuta O "K" K 0, čija je stranica K "K 0 \u003d ZO - ZK.
Željena vrijednost je ∠ϕ° = ∠γ°, budući da je kut γ° oštar.

Prilikom rješavanja geometrijskih zadataka u prostoru često postoje oni kod kojih je potrebno izračunati kutove između različitih prostornih objekata. U ovom članku ćemo razmotriti pitanje pronalaženja kutova između ravnina i između njih i ravne linije.

Ravna linija u prostoru

Poznato je da se apsolutno svaka ravna linija u ravnini može definirati sljedećom jednakošću:

Ovdje su a i b neki brojevi. Ako istim izrazom predstavimo ravnu liniju u prostoru, tada dobivamo ravninu paralelnu s osi z. Za matematičku definiciju prostorne linije koristi se drugačija metoda rješenja nego u dvodimenzionalnom slučaju. Sastoji se od korištenja koncepta "usmjeravajući vektor".

Primjeri rješavanja zadataka za određivanje kuta presjeka ravnina

Znajući kako pronaći kut između ravnina, riješit ćemo sljedeći problem. Dane su dvije ravnine čije jednadžbe imaju oblik:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Koliki je kut između ravnina?

Da bismo odgovorili na pitanje problema, podsjećamo da su koeficijenti koji stoje na varijablama u općoj jednadžbi ravnine koordinate vodećih vektora. Za ove ravnine imamo sljedeće koordinate njihovih normala:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Sada nalazimo skalarni proizvod ovih vektora i njihovih modula, imamo:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Sada možete zamijeniti pronađene brojeve u formulu danu u prethodnom odlomku. dobivamo:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Rezultirajuća vrijednost odgovara oštrom kutu presjeka ravnina navedenih u uvjetu problema.

Pogledajmo sada još jedan primjer. S obzirom na dvije ravnine:

Presijecaju li se? Napišimo vrijednosti koordinata njihovih vektora smjera, izračunajmo njihov skalarni proizvod i module:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2 ¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Tada je kut presjeka:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Ovaj kut označava da se ravnine ne sijeku, već su paralelne. Činjenica da se međusobno ne podudaraju lako je provjeriti. Uzmimo za to proizvoljnu točku koja pripada prvoj od njih, na primjer, P(0; 3; 2). Zamjenom njegovih koordinata u drugu jednadžbu dobivamo:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To jest, točka P pripada samo prvoj ravnini.

Dakle, dvije ravnine su paralelne kada su njihove normale.

Ravnina i linija

U slučaju razmatranja relativnog položaja između ravnine i ravne, postoji nekoliko više opcija nego s dvije ravnine. Ova činjenica je povezana s činjenicom da je ravna crta jednodimenzionalni objekt. Prava i ravnina mogu biti:

međusobno paralelni, u ovom slučaju ravnina ne siječe pravu;
potonji može pripadati ravnini, dok će također biti paralelan s njom;
oba se objekta mogu križati pod nekim kutom.

Razmotrimo prvo posljednji slučaj, budući da zahtijeva uvođenje koncepta kuta presjeka.

Pravac i ravnina, vrijednost kuta između njih

Ako pravac siječe ravninu, onda se naziva nagnutom u odnosu na nju. Točka presjeka naziva se baza nagiba. Za određivanje kuta između ovih geometrijskih objekata potrebno je s bilo koje točke spustiti ravnu okomicu na ravninu. Tada točka presjeka okomice s ravninom i mjesto presjeka nagnute crte s njom čine ravnu liniju. Potonji se naziva projekcija izvorne linije na ravninu koja se razmatra. Akutna i njena projekcija je poželjna.

Pomalo zbunjujuća definicija kuta između ravnine i kose razjasnit će se donjom slikom.

Ovdje je kut ABO kut između pravca AB i ravnine a.

Da biste napisali formulu za to, razmotrite primjer. Neka postoje ravna i ravnina, koje su opisane jednadžbama:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Lako je izračunati željeni kut za ove objekte ako pronađete skalarni proizvod između vektora smjera pravca i ravnine. Dobiveni oštri kut treba oduzeti od 90 o, a zatim se dobije između ravne i ravnine.

Gornja slika prikazuje opisani algoritam za pronalaženje razmatranog kuta. Ovdje je β kut između normale i pravca, a α između pravca i njegove projekcije na ravninu. Vidi se da je njihov zbroj jednak 90 o .

Iznad je predstavljena formula koja odgovara na pitanje kako pronaći kut između ravnina. Sada dajemo odgovarajući izraz za slučaj ravne i ravnine:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modul u formuli omogućuje izračunavanje samo oštrih kutova. Funkcija arksinusa pojavila se umjesto arkkosinusa zbog upotrebe odgovarajuće redukcijske formule između trigonometrijskih funkcija (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problem: ravnina siječe pravac

Sada ćemo pokazati kako raditi s gornjom formulom. Riješimo problem: potrebno je izračunati kut između y-ose i ravnine zadane jednadžbom:

Ova je ravnina prikazana na slici.

Može se vidjeti da siječe osi y i z u točkama (0; -12; 0) odnosno (0; 0; 12), te da je paralelna s osi x.

Vektor pravca y ima koordinate (0; 1; 0). Vektor okomit na danu ravninu karakteriziraju koordinate (0; 1; -1). Primjenjujemo formulu za kut presjeka ravne i ravnine, dobivamo:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problem: ravna linija paralelna s ravninom

Sada riješimo problem sličan prethodnom, čije se pitanje postavlja drugačije. Poznate su jednadžbe ravnine i ravne:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Potrebno je utvrditi jesu li ti geometrijski objekti međusobno paralelni.

Imamo dva vektora: usmjerivačka je (0; 2; 2) i usmjerivačka ravnina je (1; 1; -1). Pronalazimo njihov skalarni proizvod:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Dobivena nula označava da je kut između ovih vektora 90 o , što dokazuje paralelnost ravne i ravnine.

Sada provjerimo je li ovaj pravac samo paralelan ili također leži u ravnini. Da biste to učinili, odaberite proizvoljnu točku na liniji i provjerite pripada li ravnini. Na primjer, uzmimo λ = 0, tada točka P(1; 0; 0) pripada pravcu. Zamjenjujemo u jednadžbu ravnine P:

Točka P ne pripada ravnini, pa stoga cijeli pravac ne leži u njoj.

Gdje je važno znati kutove između razmatranih geometrijskih objekata?

Gore navedene formule i primjeri rješavanja problema nisu samo teorijski interesantni. Često se koriste za određivanje važnih fizičkih veličina stvarnih trodimenzionalnih figura, kao što su prizme ili piramide. Važno je znati odrediti kut između ravnina pri izračunavanju volumena likova i površina njihovih površina. Štoviše, ako je u slučaju ravne prizme moguće ne koristiti ove formule za određivanje naznačenih količina, tada je za bilo koju vrstu piramide njihova upotreba neizbježna.

U nastavku ćemo razmotriti primjer korištenja navedene teorije za određivanje kutova piramide s kvadratnom bazom.

Piramida i njezini uglovi

Na slici ispod prikazana je piramida u čijem podnožju leži kvadrat sa stranicom a. Visina figure je h. Morate pronaći dva kuta:

između bočne površine i baze;
između bočnog ruba i baze.

Da biste riješili problem, prvo morate unijeti koordinatni sustav i odrediti parametre odgovarajućih vrhova. Slika pokazuje da se ishodište koordinata poklapa s točkom u središtu kvadratne baze. U ovom slučaju, osnovna ravnina je opisana jednadžbom:

To jest, za bilo koji x i y, vrijednost treće koordinate je uvijek nula. Bočna ravnina ABC siječe os z u točki B(0; 0; h), a os y u točki s koordinatama (0; a/2; 0). Ne prelazi x-os. To znači da se jednadžba ravnine ABC može zapisati kao:

y / (a / 2) + z / h = 1 ili
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektor AB¯ je bočni brid. Njegove početne i krajnje koordinate su: A(a/2; a/2; 0) i B(0; 0; h). Zatim koordinate samog vektora:

Pronašli smo sve potrebne jednadžbe i vektore. Sada ostaje koristiti razmatrane formule.

Prvo, u piramidi, izračunamo kut između ravnina baze i stranice. Odgovarajući normalni vektori su: n 1 ¯(0; 0; 1) i n 2 ¯(0; 2*h; a). Tada će kut biti: