Ono što leži u osnovi ispravne prizme. Prizma

Grana matematike koja proučava svojstva različitih oblika (točaka, linija, kutova, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih objekata), njihove veličine i relativni položaj. Radi praktičnosti nastave geometrija se dijeli na planimetriju i geometriju čvrstog tijela. NA… … Enciklopedija Collier

Geometrija prostora dimenzija veće od tri; pojam se primjenjuje na one prostore čija je geometrija izvorno razvijena za slučaj tri dimenzije, a tek onda generalizirana na broj dimenzija n> 3, prvenstveno euklidski prostor, ... ... Matematička enciklopedija

N dimenzionalna euklidska geometrija generalizacija euklidske geometrije na prostor više mjerenja. Iako je fizički prostor trodimenzionalan, a ljudska osjetila su dizajnirana da percipiraju tri dimenzije, N je dimenzionalan ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Pyramidatsu (značenja). Dovedena je u pitanje pouzdanost ovog dijela članka. Potrebno je provjeriti točnost činjenica navedenih u ovom odjeljku. Možda postoje objašnjenja na stranici za razgovor ... Wikipedia

- (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrste tvari. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Omogućuje vam stvaranje složene scene ili ... Wikipedia

Constructive Solid Geometry (CSG) je tehnologija koja se koristi u modeliranju čvrstih tijela. Geometrija strukturnih blokova je često, ali ne uvijek, tehnika modeliranja u 3D grafici i CAD-u. Ona ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Opseg (značenja). Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez strogih ... ... Wikipedije

Tip kocke Pravilni poliedar Lice kvadrat Vrhovi Bridovi Lica ... Wikipedia

Volumen je aditivna funkcija skupa (mjere) koja karakterizira kapacitet područja prostora koji zauzima. U početku je nastao i primjenjivan bez stroge definicije u odnosu na trodimenzionalna tijela trodimenzionalnog euklidskog prostora. ... ... Wikipedia.

Dio prostora omeđen skupom konačnog broja ravnih poligona (vidi GEOMETRIJA) povezanih na takav način da je svaka strana bilo kojeg poligona stranica točno jednog drugog poligona (zvanog ... ... Enciklopedija Collier

knjige

Set stolova. Geometrija. 10. razred. 14 tablica + metodologija, . Tablice su tiskane na debelom poligrafskom kartonu dimenzija 680 x 980 mm. Brošura sa smjernice za učitelja. Studijski album od 14 listova...

Predavanje: Prizma, njezine baze, bočni rubovi, visina, bočna površina; ravna prizma; desna prizma

Prizma

Ako ste kod nas naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.

Prizma je voluminozno tijelo koje ima veliki broj lica.

Ova figura ima dva poligona na bazama, koji se nalaze u paralelnim ravninama, a sve bočne strane su u obliku paralelograma.

Slika 1. Sl. 2

Dakle, shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pozornost na sl.1

Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su paralelne jedna s drugom - to su peterokuti ABCEF i GMNJK. Štoviše, ti su poligoni međusobno jednaki.

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočnima - sastoje se od paralelograma. Na primjer, BMNC, AGKF, FKJE, itd.

Zajednička površina svih bočnih strana naziva se bočna površina.

Svaki par susjednih lica ima zajedničku stranu. Takva zajednička strana naziva se brid. Na primjer, MB, CE, AB, itd.

Ako su gornja i donja baza prizme spojene okomicom, tada će se to zvati visinom prizme. Na slici je visina označena ravnom linijom OO 1.

Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.

Ako bočni rubovi prizme nisu okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva koso.

Ako su svi bridovi prizme okomiti na osnovice, tada se takva prizma naziva ravno.

Ako su osnovice prizme pravilni poligoni (oni s jednakim stranicama), tada se takva prizma naziva ispravan.

Ako osnovice prizme nisu međusobno paralelne, tada će se takva prizma zvati krnji.

Možete ga vidjeti na sl.2

Formule za pronalaženje volumena, površine prizme

Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po svojoj primjeni:

Slične formule za pronalaženje površine prizme:

Bilo koji poligon može ležati u podnožju prizme - trokuta, četverokuta itd. Obje baze su potpuno iste, te su prema tome, po kojima su kutovi paralelnih strana međusobno povezani, uvijek paralelni. U podnožju pravilne prizme leži pravilan mnogokut, odnosno onaj u kojem su sve strane jednake. U ravnoj prizmi rubovi između bočnih strana su okomiti na bazu. U ovom slučaju, poligon s bilo kojim brojem kutova može ležati na bazi ravne prizme. Prizma čija je baza paralelogram naziva se paralelepiped. pravokutnik - poseban slučaj paralelogram. Ako ova figura leži u bazi, a bočne strane se nalaze pod pravim kutom u odnosu na bazu, paralelepiped se naziva pravokutnim. Drugi naziv ovog geometrijskog tijela je pravokutni.

Kako ona izgleda

Okružene pravokutne prizme modernog čovjeka prilično malo. Ovo je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, komponenata računala itd. Razgledati. Čak iu sobi sigurno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo je kućište za računalo, i polica za knjige, i hladnjak, i ormar i mnoge druge stvari. Obrazac je iznimno popularan ponajviše zato što vam omogućuje što učinkovitije korištenje prostora, bilo da uređujete interijer ili pakirate stvari u karton prije preseljenja.

Svojstva pravokutne prizme

Pravokutna prizma ima broj specifična svojstva. Bilo koji par lica može poslužiti kao njegova, budući da se sva susjedna lica nalaze pod istim kutom jedna prema drugoj, a taj kut je 90 °. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati od bilo koje druge. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ova mjerenja. Odnosno, formula izgleda ovako: V \u003d a * b * h, gdje je V volumen, a i b su stranice baze, h je visina koja se podudara sa bočnim rubom ovog geometrijskog tijela. Površina baze izračunava se po formuli S1=a*b. Da biste dobili bočnu površinu, prvo morate izračunati opseg baze pomoću formule P=2(a+b), a zatim je pomnožiti s visinom. Ispada da je formula S2=P*h=2(a+b)*h. Izračunati puna površina Za pravokutnu prizmu dodajte dva puta površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

NA školski kurikulum u toku geometrije čvrstog tijela, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma

Pravilna četverokutna prizma je heksaedar, u čijim se bazama nalaze 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravan paralelepiped.

Slika, koja prikazuje četverokutnu prizmu, prikazana je u nastavku.

Možete vidjeti i na slici bitne elemente, koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:

Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći pojam presjeka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravnini. Presjek je okomit (prelazi rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može izgraditi je 2), koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih su poznati iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i volumen

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njezine baze i visinu:

V = Sprim h

Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a² h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezin zamah.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravokutnika. Njegova se površina izračunava kao umnožak opsega baze i visine figure:

Bočna strana = Poz h

Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Bočna strana = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:

Puno = Sside + 2Sbase

Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:

Puno = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačni elementi geometrijsko tijelo.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:

duljina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
osnovna površina: Sprim = V / h;
bočna površina lica: Strana gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:

Sdiag = ah√2

Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti gore navedene omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema s rješenjima

Ovdje su neki od zadataka koji se pojavljuju na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm. Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?

Treba ga argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom spremniku nije se promijenila, odnosno njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari bit će:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Ukoliko V₁ = V2, izrazi se mogu izjednačiti:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednadžbe za a², dobivamo:

Kao rezultat nova razina pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.

Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu vrijednost, dakle, bočna strana također ima oblik kvadrata jednakog bazi. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi po formuli za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi su mu okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Duljina sobe je a = √9 = 3 m.

Trg će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.

Dakle, za rješavanje zadataka na pravokutnoj prizmi dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Definicija. Prizma- ovo je poliedar, čiji su svi vrhovi smješteni u dvije paralelne ravnine, a u iste dvije ravnine postoje dvije površine prizme, koje su jednaki poligoni s odgovarajućim paralelnim stranicama, i svi bridovi koji ne leže u tim ravnine su paralelne.

Zovu se dva jednaka lica baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Sva ostala lica prizme nazivaju se bočna lica(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Formiraju se sve bočne strane bočna površina prizme .

Sve bočne strane prizme su paralelogrami .

Rubovi koji ne leže u bazama nazivaju se bočni rubovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Dijagonala prizme naziva se segment čiji su krajevi dva vrha prizme koji ne leže na jednoj njezinoj strani (AD 1).

Duljina segmenta koji povezuje osnovice prizme i okomito na obje baze u isto vrijeme naziva se visina prizme .

Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Prvo, u redoslijedu zaobilaznice, naznačeni su vrhovi jedne baze, a zatim, istim redoslijedom, vrhovi druge; krajevi svakog bočnog ruba označeni su istim slovima, samo vrhovi koji leže u jedna baza je označena slovima bez indeksa, au drugoj - s indeksom)

Naziv prizme povezan je s brojem kutova na slici koja leži u njenoj osnovi, na primjer, na slici 1, baza je peterokut, pa se prizma naziva peterokutna prizma. Ali pošto takva prizma ima 7 lica, onda je heptaedar(2 lica su osnove prizme, 5 lica su paralelogrami, njene su bočne strane)

Među ravnim prizmama ističe se privatni pogled: pravilne prizme.

Ravna prizma se zove ispravno, ako su mu baze pravilni mnogokuti.

Pravilna prizma ima sve bočne strane jednake pravokutnike. Poseban slučaj prizme je paralelepiped.

Paralelopiped

Paralelopiped- Ovo četverokutna prizma, koji se temelji na paralelogramu (kosi paralelepiped). Desni paralelepiped- paralelepiped čiji su bočni bridovi okomiti na ravnine baze.

kuboidan- pravi paralelepiped čija je baza pravokutnik.

Svojstva i teoremi:

Neka svojstva paralelepipeda su slična poznata svojstva paralelogram.Pravokutni paralelepiped koji ima jednake mjere, se zovu kocka .Sve strane kocke su jednake kvadratima. Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata njezine tri dimenzije

gdje je d dijagonala kvadrata;
a - strana kvadrata.

Ideju prizme daje:

razne arhitektonske strukture;
Dječje igračke;
kutije za pakiranje;
dizajnerski predmeti itd.

Ukupna i bočna površina prizme

Ukupna površina prizme je zbroj površina svih njegovih lica Bočna površina naziva se zbroj površina njegovih bočnih strana. osnovice prizme su jednaki poligoni, tada su im površine jednake. Tako

S puni \u003d S strana + 2S glavni,

gdje S puna- ukupna površina, S strana- bočna površina, S glavni- temeljna površina

Površina bočne površine ravne prizme jednaka je umnošku opsega baze i visine prizme.

S strana\u003d P glavni * h,

gdje S strana je površina bočne površine ravne prizme,

P glavni - opseg baze ravne prizme,

h je visina ravne prizme, jednaka bočnom rubu.