Funkcija oblika , gdje se zove kvadratna funkcija.

Graf kvadratne funkcije − parabola.

Razmotrite slučajeve:

SLUČAJ I, KLASIČNA PARABOLA

tj , ,

Za izgradnju, ispunite tablicu zamjenom x vrijednosti u formulu:

Označite točke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatnoj ravnini (što manji korak uzmemo x vrijednosti (u ovom slučaju, korak 1), a što više x vrijednosti uzmemo, to je krivulja glatkija), dobivamo parabolu:

Lako je vidjeti da ako uzmemo slučaj , , , to jest, onda ćemo dobiti parabolu simetričnu oko osi (ox). To je lako provjeriti ispunjavanjem slične tablice:

II SLUČAJ, "a" RAZLIČIT OD JEDNOG

Što će se dogoditi ako uzmemo , , ? Kako će se promijeniti ponašanje parabole? S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prva slika (vidi gore) jasno pokazuje da su točke iz tablice za parabolu (1;1), (-1;1) transformirane u točke (1;4), (1;-4), tj. s istim vrijednostima, ordinata svake točke se množi s 4. To će se dogoditi sa svim ključnim točkama izvorne tablice. Slično tvrdimo u slučajevima slika 2 i 3.

A kada parabola "postane šira" parabola:

da rezimiramo:

1)Predznak koeficijenta odgovoran je za smjer grana. S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Apsolutna vrijednost koeficijent (modulus) odgovoran je za "širenje", "kompresiju" parabole. Što je veća, što je parabola uža, što je |a| manja, to je parabola šira.

POJAVA SE SLUČAJ III, "C".

Sada idemo u igru ​​(to jest, razmatramo slučaj kada ), razmotrit ćemo parabole oblika . Lako je pogoditi (uvijek možete pogledati tablicu) da će se parabola kretati gore ili dolje duž osi, ovisno o predznaku:

IV POJAVA SE SLUČAJ, "b".

Kada će se parabola "otrgnuti" od osi i konačno "prošetati" duž cijele koordinatne ravnine? Kad prestane biti jednak.

Ovdje nam treba za konstruiranje parabole formula za izračun vrha: , .

Dakle, u ovom trenutku (kao u točki (0; 0) novi sustav koordinate) izgradit ćemo parabolu, što je već u našoj moći. Ako se bavimo slučajem, onda od vrha odvajamo jedan jedini segment udesno, jedan prema gore, - rezultirajuća točka je naša (slično, korak ulijevo, korak gore je naša točka); ako imamo posla, na primjer, onda odozgo odvajamo jedan segment udesno, dva - prema gore itd.

Na primjer, vrh parabole:

Sada je glavna stvar koju treba razumjeti je da ćemo na ovom vrhu izgraditi parabolu prema predlošku parabole, jer u našem slučaju.

Prilikom konstruiranja parabole nakon pronalaženja koordinata vrha je vrloPrikladno je razmotriti sljedeće točke:

1) parabola mora proći kroz točku . Doista, zamjenom x=0 u formulu, dobivamo da . To jest, ordinata točke presjeka parabole s osi (oy), to je. U našem primjeru (gore), parabola siječe y-os na , budući da .

2) osi simetrije parabole je ravna linija, tako da će sve točke parabole biti simetrične oko nje. U našem primjeru odmah uzimamo točku (0; -2) i gradimo parabolu simetričnu oko osi simetrije, dobivamo točku (4; -2) kroz koju će parabola proći.

3) Izjednačujući s , Doznajemo točke presjeka parabole s osi (ox). Da bismo to učinili, rješavamo jednadžbu. Ovisno o diskriminantu, dobit ćemo jedan (, ), dva ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . U prethodnom primjeru imamo korijen iz diskriminanta - ne cijeli broj, kada ga gradimo, nema smisla pronaći korijene, ali možemo jasno vidjeti da ćemo imati dvije točke presjeka s (oh) os (od naslova = "(!LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Pa idemo vježbati

Algoritam za konstruiranje parabole ako je data u obliku

1) odrediti smjer grana (a>0 - gore, a<0 – вниз)

2) pronaći koordinate vrha parabole po formuli , .

3) nalazimo točku presjeka parabole s osi (oy) slobodnim članom, gradimo točku simetričnu zadanoj s obzirom na os simetrije parabole (treba napomenuti da se događa da je neisplativo označiti ovu točku, na primjer, jer je vrijednost velika ... ovu točku preskačemo ...)

4) U pronađenoj točki – vrhu parabole (kao u točki (0; 0) novog koordinatnog sustava), gradimo parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Pronalazimo točke presjeka parabole s osi (oy) (ako one same još nisu "isplivale"), rješavajući jednadžbu

Primjer 1

Primjer 2

Napomena 1. Ako nam je parabola u početku data u obliku , gdje su neki brojevi (na primjer, ), tada će je biti još lakše izgraditi, jer smo već dobili koordinate vrha . Zašto?

Uzmimo kvadratni trinom i odaberite puni kvadrat u njemu: Gledajte, ovdje smo dobili da , . Prethodno smo zvali vrh parabole, odnosno sada,.

Na primjer, . Označavamo vrh parabole na ravnini, razumijemo da su grane usmjerene prema dolje, parabola je proširena (relativno). To jest, izvodimo korake 1; 3; 4; 5 iz algoritma za konstruiranje parabole (vidi gore).

Napomena 2. Ako je parabola data u obliku sličnom ovome (to jest, predstavljena kao umnožak dvaju linearnih faktora), tada odmah vidimo točke presjeka parabole s (x) osi. U ovom slučaju - (0;0) i (4;0). Za ostalo djelujemo prema algoritmu, otvarajući zagrade.

Svi znaju što je parabola. Ali kako ga pravilno koristiti, kompetentno u rješavanju raznih praktičnih problema, razumjet ćemo u nastavku.

Najprije označimo osnovne pojmove koje algebra i geometrija daju ovom pojmu. Uzmite u obzir sve moguće vrste ovaj grafikon.

Saznajemo sve glavne karakteristike ove funkcije. Shvatimo osnove konstruiranja krivulje (geometrije). Naučimo kako pronaći gornje, druge osnovne vrijednosti grafa ove vrste.

Saznat ćemo: kako je tražena krivulja ispravno konstruirana prema jednadžbi, na što trebate obratiti pozornost. Pogledajmo glavno praktična upotreba ovu jedinstvenu vrijednost u ljudskom životu.

Što je parabola i kako izgleda

Algebra: Ovaj se pojam odnosi na graf kvadratne funkcije.

Geometrija: Ovo je krivulja drugog reda koja ima niz specifičnih značajki:

Jednadžba kanonske parabole

Na slici je prikazan pravokutni koordinatni sustav (XOY), ekstrem, smjer crtanja funkcije grana se duž osi apscise.

Kanonska jednadžba je:

y 2 \u003d 2 * p * x,

gdje je koeficijent p žarišni parametar parabole (AF).

U algebri se drugačije piše:

y = a x 2 + b x + c (prepoznatljivi uzorak: y = x 2).

Svojstva i graf kvadratne funkcije

Funkcija ima os simetrije i središte (ekstremum). Domena definicije su sve vrijednosti x-ose.

Raspon vrijednosti funkcije - (-∞, M) ili (M, +∞) ovisi o smjeru grana krivulje. Parametar M ovdje znači vrijednost funkcije na vrhu retka.

Kako odrediti kamo su usmjerene grane parabole

Da biste pronašli smjer ove vrste krivulje iz izraza, morate odrediti znak ispred prvog parametra algebarski izraz. Ako je a ˃ 0, onda su usmjereni prema gore. Inače, dolje.

Kako pronaći vrh parabole koristeći formulu

Pronalaženje ekstrema glavni je korak u rješavanju mnogih praktičnih problema. Naravno, možete otvoriti posebne online kalkulatori ali bolje je da to možete učiniti sami.

Kako to definirati? Postoji posebna formula. Kada b nije jednako 0, moramo tražiti koordinate ove točke.

Formule za pronalaženje vrha:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Primjer.

Postoji funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Nađimo vrhove ove funkcije.

Za takvu liniju:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Dobivamo koordinate vrha (-2, -41).

Pomak parabole

Klasičan slučaj je kada su u kvadratnoj funkciji y = a x 2 + b x + c, drugi i treći parametar 0, a = 1 - vrh je u točki (0; 0).

Kretanje duž apscisne ili ordinatne osi posljedica je promjene parametara b i c. Pomak linije na ravnini izvršit će se točno brojem jedinica, što je jednako vrijednosti parametra.

Primjer.

Imamo: b = 2, c = 3.

To znači da će se klasični pogled na krivulju pomaknuti za 2 jedinična segmenta duž osi apscise i za 3 duž ordinatne osi.

Kako izgraditi parabolu pomoću kvadratne jednadžbe

Za školarce je važno naučiti kako pravilno nacrtati parabolu prema zadanim parametrima.

Analizom izraza i jednadžbi možete vidjeti sljedeće:

1. Točka presjeka željene linije s ordinatnim vektorom imat će vrijednost jednaku c.
2. Sve točke grafa (duž x-osi) bit će simetrične u odnosu na glavni ekstrem funkcije.

Osim toga, sjecišta s OX mogu se pronaći poznavanjem diskriminanta (D) takve funkcije:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Da biste to učinili, morate izraz izjednačiti s nulom.

Prisutnost korijena parabole ovisi o rezultatu:

• D ˃ 0, tada je x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, zatim x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tada nema točaka presjeka s vektorom OX.

Dobivamo algoritam za konstruiranje parabole:

• odrediti smjer grana;
• pronaći koordinate vrha;
• pronaći sjecište s y-osi;
• pronađite sjecište s x-osi.

Primjer 1

S obzirom na funkciju y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Potrebno je izgraditi parabolu. Radimo prema algoritmu:

1. a \u003d 1, dakle, grane su usmjerene prema gore;
2. koordinate ekstrema: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. siječe se s y-osi na vrijednosti y = 4;
4. naći diskriminanta: D = 25 - 16 = 9;
5. tražeći korijene

• X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 = (5 - 3) / 2 = 1; (deset).

Primjer 2

Za funkciju y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, morate izgraditi parabolu. Radimo prema gore navedenom algoritmu:

1. a \u003d 3, dakle, grane su usmjerene prema gore;
2. koordinate ekstrema: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. s y-osi će se presijecati na vrijednosti y \u003d -1;
4. pronađite diskriminant: D = 4 + 12 = 16. Dakle, korijeni:

• X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Od dobivenih točaka možete izgraditi parabolu.

Directrix, ekscentricitet, fokus parabole

Na temelju kanonske jednadžbe, žarište F ima koordinate (p/2, 0).

Prava crta AB je direktrisa (vrsta tetive parabole određene duljine). Njezina je jednadžba x = -p/2.

Ekscentricitet (konstanta) = 1.

Zaključak

Razmotrili smo temu po kojoj studenti uče Srednja škola. Sada znate, gledajući kvadratnu funkciju parabole, kako pronaći njezin vrh, u kojem smjeru će grane biti usmjerene, postoji li pomak duž osi i, ako imate algoritam konstrukcije, možete nacrtati njezin graf.

The metodički materijal je u referentne svrhe i pokriva širok raspon tema. Članak daje pregled grafova glavnih elementarnih funkcija i razmatra najvažnije pitanje - kako pravilno i BRZO izgraditi graf. Tijekom studija viša matematika bez poznavanja grafova osnovnih elementarnih funkcija bit će teško pa je vrlo važno zapamtiti kako izgledaju grafovi parabole, hiperbole, sinusa, kosinusa itd., zapamtite neke vrijednosti funkcija. Također ćemo govoriti o nekim svojstvima glavnih funkcija.

Ne pretendiram na cjelovitost i znanstvenu temeljitost materijala, naglasak će biti stavljen, prije svega, na praksu – ono s čime treba se suočiti doslovno na svakom koraku, u bilo kojoj temi više matematike. Tablice za lutke? Možete reći tako.

Po popularnoj potražnji čitatelja sadržaj koji se može kliknuti:

Osim toga, postoji ultra-kratak sažetak na tu temu
– savladajte 16 vrsta grafikona proučavajući ŠEST stranica!

Ozbiljno, šest, čak sam i sam bio iznenađen. Ovaj sažetak sadrži poboljšanu grafiku i dostupan je uz nominalnu naknadu, može se pogledati demo verzija. Prikladno je ispisati datoteku tako da su grafikoni uvijek pri ruci. Hvala na podršci projektu!

I krećemo odmah:

Kako pravilno graditi koordinatne osi?

U praksi, testove učenici gotovo uvijek sastavljaju u zasebne bilježnice, poredane u kavez. Zašto su vam potrebne karirane oznake? Uostalom, rad se, u principu, može obaviti na listovima A4. A kavez je neophodan samo za kvalitetan i točan dizajn crteža.

Svaki crtež funkcijskog grafa počinje s koordinatnim osi.

Crteži su dvodimenzionalni i trodimenzionalni.

Razmotrimo prvo dvodimenzionalni slučaj Kartezijanski koordinatni sustav:

1) Crtamo koordinatne osi. Os se zove x-os , i os y-os . Uvijek ih pokušavamo nacrtati uredan i ne iskrivljen. Strijele također ne bi trebale nalikovati bradi Pape Carla.

2) Potpisujemo sjekire velika slova"x" i "y". Ne zaboravite potpisati sjekire.

3) Postavite skalu duž osi: nacrtaj nulu i dvije jedinice. Prilikom izrade crteža najprikladnija i najčešća ljestvica je: 1 jedinica = 2 ćelije (crtež lijevo) - pridržavajte se toga ako je moguće. Međutim, s vremena na vrijeme se dogodi da crtež ne stane na list bilježnice - tada smanjujemo mjerilo: 1 jedinica = 1 ćelija (crtež s desne strane). Rijetko, ali se događa da se razmjer crteža mora još više smanjiti (ili povećati).

NE škrabajte iz strojnice ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Jer koordinatna ravnina nije Descartesu spomenik, a učenik nije golub. Stavljamo nula i dvije jedinice duž osi. Ponekad umjesto jedinicama, prikladno je "detektirati" druge vrijednosti, na primjer, "dva" na osi apscise i "tri" na osi ordinata - i ovaj sustav (0, 2 i 3) također će jedinstveno postaviti koordinatnu mrežu.

Bolje je procijeniti procijenjene dimenzije crteža PRIJE crtanja crteža.. Tako, na primjer, ako zadatak zahtijeva crtanje trokuta s vrhovima , , , onda je sasvim jasno da popularna skala 1 jedinica = 2 ćelije neće raditi. Zašto? Pogledajmo stvar - ovdje morate izmjeriti petnaest centimetara prema dolje i, očito, crtež neće stati (ili jedva stati) na list bilježnice. Stoga odmah odabiremo manji razmjer 1 jedinica = 1 ćelija.

Usput, o centimetrima i ćelijama bilježnice. Je li istina da u 30 ćelija bilježnice ima 15 centimetara? Izmjerite u bilježnici za kamate 15 centimetara ravnalom. U SSSR-u je to možda bilo točno... Zanimljivo je primijetiti da ako te iste centimetre mjerite vodoravno i okomito, tada će rezultati (u ćelijama) biti drugačiji! Strogo govoreći, moderne bilježnice nisu kockaste, već pravokutne. Možda se čini kao besmislica, ali crtanje, na primjer, kruga s šestarom u takvim situacijama je vrlo nezgodno. Iskreno govoreći, u takvim trenucima počinjete razmišljati o ispravnosti druga Staljina, koji je poslan u logore zbog hakerskog rada u proizvodnji, a da ne spominjemo domaću automobilsku industriju, padajuće avione ili eksplodirajuće elektrane.

Govoreći o kvaliteti, odn kratka preporuka dopisnicom. Do danas je većina bilježnica u prodaji, bez izgovaranja loših riječi, potpuni goblin. Iz razloga što se smoče, i to ne samo od gel olovaka, već i od kemijskih! Uštedite na papiru. Za odobrenje kontrolni radovi Preporučujem korištenje bilježnica Arkhangelske tvornice celuloze i papira (18 listova, kavez) ili Pyaterochka, iako je skuplje. Preporučljivo je odabrati gel olovku, čak i najjeftiniji kineski gel refil je puno bolji od kemijske olovke koja ili razmazuje ili trga papir. Jedina "konkurentska" kemijska olovka u mom sjećanju je Erich Krause. Piše jasno, lijepo i stabilno - bilo s punim, bilo s gotovo praznim.

Dodatno: u članku je obrađena vizija pravokutnog koordinatnog sustava očima analitičke geometrije Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova, detaljne informacije o koordinatnim četvrtima možete pronaći u drugom odlomku lekcije Linearne nejednakosti.

3D kućište

Ovdje je gotovo isto.

1) Crtamo koordinatne osi. Standard: primijeniti os – usmjereno prema gore, axis – usmjereno udesno, axis – dolje ulijevo strogo pod kutom od 45 stupnjeva.

2) Potpisujemo sjekire.

3) Postavite skalu duž osi. Razmjer duž osi - dva puta manji od mjerila duž ostalih osi. Također imajte na umu da sam na desnom crtežu koristio nestandardni "serif" duž osi (ova mogućnost je već spomenuta gore). S moje točke gledišta, to je točnije, brže i estetski ugodnije - ne morate tražiti sredinu ćelije pod mikroskopom i "klesati" jedinicu sve do izvora.

Kada ponovno radite 3D crtež - dajte prednost mjerilu
1 jedinica = 2 ćelije (crtež s lijeve strane).

Čemu služe sva ova pravila? Pravila su tu da se krše. Što ću sad. Činjenica je da ću sljedeće crteže članka izraditi u Excelu, a koordinatne osi izgledat će netočno sa stajališta ispravan dizajn. Mogao bih sve grafikone nacrtati rukom, ali stvarno ih je strašno nacrtati, jer ih Excel nerado crta mnogo točnije.

Grafovi i osnovna svojstva elementarnih funkcija

Linearna funkcija je dana jednadžbom. Grafikon linearne funkcije je direktno. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je poznavati dvije točke.

Primjer 1

Iscrtajte funkciju. Nađimo dvije točke. Povoljno je odabrati nulu kao jednu od točaka.

Ako tada

Uzimamo neku drugu točku, na primjer, 1.

Ako tada

Prilikom pripreme zadataka koordinate točaka obično su sažete u tablici:

I same vrijednosti izračunavaju se usmeno ili na nacrtu, kalkulator.

Pronađene su dvije točke, nacrtajmo:

Prilikom izrade crteža uvijek potpisujemo grafiku.

Neće biti suvišno prisjetiti se posebnih slučajeva linearne funkcije:

Primijetite kako sam postavio natpise, potpisi ne bi trebali biti dvosmisleni prilikom proučavanja crteža. U ovom slučaju bilo je krajnje nepoželjno stavljati potpis uz točku presjeka linija, odnosno dolje desno između grafikona.

1) Linearna funkcija oblika () naziva se izravna proporcionalnost. Na primjer, . Graf izravne proporcionalnosti uvijek prolazi kroz ishodište. Dakle, konstrukcija ravne linije je pojednostavljena - dovoljno je pronaći samo jednu točku.

2) Jednadžba oblika definira ravnu liniju paralelnu s osi, posebno, sama os je dana jednadžbom. Graf funkcije se gradi odmah, bez pronalaženja točaka. Odnosno, unos treba shvatiti na sljedeći način: "y je uvijek jednak -4, za bilo koju vrijednost x."

3) Jednadžba oblika definira ravnu liniju paralelnu s osi, posebice, sama os je dana jednadžbom. Odmah se gradi i graf funkcije. Unos treba shvatiti na sljedeći način: "x je uvijek, za bilo koju vrijednost y, jednak 1."

Neki će pitati, pa zašto se sjećati 6. razreda?! Tako je, možda i tako, samo sam tijekom godina prakse susreo dobrih desetak učenika koji su bili zbunjeni zadatkom konstruiranja grafa poput ili .

Crtanje ravne linije najčešća je radnja pri izradi crteža.

Prava linija je detaljno obrađena u okviru analitičke geometrije, a oni koji žele mogu pogledati članak Jednadžba ravne na ravnini.

Graf kvadratne funkcije, graf kubične funkcije, graf polinoma

Parabola. Graf kvadratne funkcije () je parabola. Razmotrimo poznati slučaj:

Prisjetimo se nekih svojstava funkcije.

Dakle, rješenje naše jednadžbe: - u ovoj točki se nalazi vrh parabole. Zašto je to tako može se naučiti iz teorijskog članka o derivaciji i lekcije o ekstremima funkcije. U međuvremenu izračunavamo odgovarajuću vrijednost "y":

Dakle, vrh je u točki

Sada nalazimo druge točke, dok drsko koristimo simetriju parabole. Valja napomenuti da je funkcija – nije ravnomjeran, ali, unatoč tome, nitko nije otkazao simetriju parabole.

Kojim redoslijedom pronaći preostale bodove, mislim da će biti jasno iz konačne tablice:

Ovaj algoritam konstrukcija se figurativno može nazvati "šatlom" ili principom "naprijed-nazad" s Anfisom Čehovom.

Napravimo crtež:

Iz razmotrenih grafova dolazi na pamet još jedna korisna značajka:

Za kvadratnu funkciju () istina je sljedeće:

Ako , tada su grane parabole usmjerene prema gore.

Ako , tada su grane parabole usmjerene prema dolje.

Dubinsko znanje o krivulji može se dobiti u lekciji Hiperbola i parabola.

Kubična parabola je dana funkcijom . Evo crteža poznatog iz škole:

Navodimo glavna svojstva funkcije

Grafikon funkcije

Predstavlja jednu od grana parabole. Napravimo crtež:

Glavna svojstva funkcije:

U ovom slučaju, os je vertikalna asimptota za graf hiperbole na .

Bit će VELIKA pogreška ako pri sastavljanju crteža iz nemara dopustite da se graf siječe s asimptotom.

Također jednostrane granice, recite nam da je hiperbola nije ograničeno odozgo i nije ograničeno odozdo.

Istražimo funkciju u beskonačnosti: , to jest, ako se počnemo kretati duž osi lijevo (ili desno) do beskonačnosti, tada će "igre" biti vitki korak beskrajno blizu približavaju se nuli i, sukladno tome, grane hiperbole beskrajno blizu približiti osi.

Dakle, os je horizontalna asimptota za graf funkcije, ako "x" teži plus ili minus beskonačnost.

Funkcija je neparan, što znači da je hiperbola simetrična u odnosu na ishodište. Ova činjenica vidljivo je iz crteža, štoviše, lako se može analitički provjeriti: .

Graf funkcije oblika () predstavlja dvije grane hiperbole.

Ako je , tada se hiperbola nalazi u prvom i trećem koordinatnom kvadrantu(vidi sliku iznad).

Ako je , tada se hiperbola nalazi u drugom i četvrtom koordinatnom kvadrantu.

Navedenu pravilnost mjesta stanovanja hiperbole nije teško analizirati s gledišta geometrijskih transformacija grafova.

Primjer 3

Konstruiraj desnu granu hiperbole

Koristimo metodu konstrukcije po točkama, dok je povoljno odabrati vrijednosti tako da se potpuno dijele:

Napravimo crtež:

Neće biti teško konstruirati lijevu granu hiperbole, ovdje će neparnost funkcije samo pomoći. Grubo govoreći, u tablici konstrukcije po točkama, mentalno dodajte minus svakom broju, stavite odgovarajuće točke i nacrtajte drugu granu.

Detaljne geometrijske informacije o razmatranoj liniji možete pronaći u članku Hiperbola i parabola.

Graf eksponencijalne funkcije

U ovom ću odlomku odmah razmotriti eksponencijalnu funkciju, budući da se u zadacima više matematike u 95% slučajeva javlja eksponent.

Podsjećam vas da je ovo iracionalan broj: , to će biti potrebno pri izgradnji grafa, koji ću, zapravo, graditi bez ceremonije. Tri boda su vjerojatno dovoljna:

Ostavimo za sada graf funkcije na miru, o tome kasnije.

Glavna svojstva funkcije:

U osnovi, grafovi funkcija izgledaju isto, itd.

Moram reći da je drugi slučaj rjeđi u praksi, ali se događa, pa sam ga smatrao potrebnim uključiti u ovaj članak.

Grafikon logaritamske funkcije

Razmotrimo funkciju s prirodni logaritam.
Napravimo linijski crtež:

Ako ste zaboravili što je logaritam, pogledajte školske udžbenike.

Glavna svojstva funkcije:

Domena:

Raspon vrijednosti: .

Funkcija nije ograničena odozgo: , doduše polako, ali grana logaritma ide do beskonačnosti.
Ispitajmo ponašanje funkcije blizu nule s desne strane: . Dakle, os je vertikalna asimptota za graf funkcije s "x" koji teži nuli na desnoj strani.

Budite sigurni da znate i zapamtite tipičnu vrijednost logaritma: .

U osnovi, dijagram logaritma na bazi izgleda isto: , , (decimalni logaritam do baze 10) itd. Istodobno, što je veća baza, to će grafikon biti ravniji.

Nećemo razmatrati slučaj, ne sjećam se kad sam zadnji put napravio graf s takvom osnovom. Da, i čini se da je logaritam vrlo rijedak gost u problemima više matematike.

U zaključku paragrafa, reći ću još jednu činjenicu: Eksponencijalna funkcija i logaritamska funkcijasu dvije uzajamne inverzne funkcije . Ako pažljivo pogledate graf logaritma, možete vidjeti da je ovo isti eksponent, samo što se nalazi malo drugačije.

Grafovi trigonometrijskih funkcija

Kako počinju trigonometrijske muke u školi? Ispravno. Od sinusa

Nacrtajmo funkciju

Ova linija se zove sinusoida.

Podsjećam vas da je "pi" iracionalan broj:, a u trigonometriji zasljepljuje u očima.

Glavna svojstva funkcije:

Ova funkcija je časopis s točkom. Što to znači? Pogledajmo rez. Lijevo i desno od njega, potpuno isti dio grafa ponavlja se beskonačno.

Domena: , to jest, za bilo koju vrijednost "x" postoji vrijednost sinusa.

Raspon vrijednosti: . Funkcija je ograničeno: , odnosno sve "igre" sjede striktno u segmentu .
To se ne događa: ili, točnije, događa se, ali ove jednadžbe nemaju rješenje.

Važne bilješke!
1. Ako umjesto formula vidite abrakadabru, izbrišite predmemoriju. Ovdje je napisano kako to učiniti u vašem pregledniku:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs za

Da biste razumjeli što će ovdje biti napisano, morate dobro znati što je kvadratna funkcija i s čime se jede. Ako se smatrate profesionalcem u kvadratnim funkcijama, dobrodošli. Ali ako ne, trebali biste pročitati temu.

Počnimo s malim provjere:

1. Kako kvadratna funkcija izgleda u općem obliku (formuli)?
2. Kako se zove graf kvadratne funkcije?
3. Kako vodeći koeficijent utječe na graf kvadratne funkcije?

Ako možete odmah odgovoriti na ova pitanja, nastavite čitati. Ako je barem jedno pitanje izazvalo poteškoće, idite na.

Dakle, već znate rukovati kvadratnom funkcijom, analizirati njezin graf i graditi graf po točkama.

Pa, evo ga: .

Pogledajmo na brzinu što rade. izgledi.

1. Viši koeficijent odgovoran je za “strminu” parabole, odnosno, drugim riječima, za njenu širinu: što je veća, to je parabola uža (strmija), a što je manja, to je šira (ravnija) parabola.
2. Slobodni član je koordinata presjeka parabole s y-osi.
3. A koeficijent je nekako odgovoran za pomak parabole iz središta koordinata. Evo sad više o tome.

Zašto uvijek počinjemo graditi parabolu? Koja je njezina prepoznatljiva točka?

Ovo je vrh. A kako pronaći koordinate vrha, sjećate se?

Apscisa se traži po sljedećoj formuli:

Ovako: što više, teme nalijevo vrh parabole se pomiče.

Ordinat vrha može se pronaći zamjenom u funkciju:

Zamijenite se i brojite. Što se dogodilo?

Ako sve napravite kako treba i što je više moguće pojednostavnite rezultirajući izraz, dobit ćete:

Ispada da što više modulo, teme viši htjeti vrh parabole.

Konačno, prijeđimo na crtanje.
Najlakši način je izgraditi parabolu počevši od vrha.

Primjer:

Iscrtajte funkciju.

Odluka:

Najprije definirajmo koeficijente: .

Sada izračunajmo koordinate vrha:

A sada zapamtite: sve parabole s istim vodećim koeficijentom izgledaju isto. Dakle, ako izgradimo parabolu i pomaknemo njen vrh u točku, dobit ćemo graf koji nam treba:

Jednostavno, zar ne?

Ostaje samo jedno pitanje: kako brzo nacrtati parabolu? Čak i ako nacrtamo parabolu s vrhom u ishodištu, ipak je moramo graditi točku po točku, što je dugo i nezgodno. Ali sve parabole izgledaju isto, možda postoji način da se ubrza njihovo crtanje?

Kad sam bio u školi, moj učitelj matematike rekao je svima da izrežu šablonu u obliku parabole iz kartona kako bi je mogli brzo nacrtati. Ali nećete moći posvuda hodati s šablonom, a oni je neće smjeti polagati na ispit. Dakle, nećemo koristiti strane predmete, već ćemo tražiti uzorak.

Razmotrimo najjednostavniju parabolu. Izgradimo ga po točkama:

Ovdje je pravilo ovo. Pomaknemo li se od vrha udesno (duž osi) do, i prema gore (duž osi) do, tada ćemo doći do točke parabole. Dalje: ako se od ove točke pomaknemo udesno malo gore, opet ćemo doći do točke parabole. Sljedeće: odmah dalje i gore. Što je sljedeće? Tako dalje i gore. I tako dalje: pomaknite se udesno, pa na sljedeće neparan broj gore. Zatim radimo isto s lijevom granom (na kraju krajeva, parabola je simetrična, odnosno njezine grane izgledaju isto):

Sjajno, ovo će pomoći u izgradnji bilo koje parabole iz vrha s najvećim koeficijentom jednakim. Na primjer, naučili smo da je vrh parabole u točki. Konstruirajte (sam, na papiru) ovu parabolu.

Izgrađen?

Trebalo bi ispasti ovako:

Sada povezujemo dobivene točke:

To je sve.

OK, dobro, sada gradi samo parabole?

Naravno da ne. Sada ćemo shvatiti što učiniti s njima, ako.

Razmotrimo neke tipične slučajeve.

Super, naučili smo nacrtati parabolu, a sada vježbajmo na stvarnim funkcijama.

Dakle, nacrtajte grafikone takvih funkcija:

odgovori:

3. Vrh: .

Sjećate li se što učiniti ako je viši koeficijent manji?

Gledamo nazivnik razlomka: jednak je. Pa ćemo se kretati ovako:

• desno - gore
• desno - gore
• desno - gore

i također lijevo:

4. Vrh: .

Oh, što učiniti s tim? Kako izmjeriti ćelije ako je vrh negdje između linija?..

I varamo se. Najprije nacrtajmo parabolu, a tek onda pomaknimo njezin vrh u točku. Čak ni, učinimo to još složenije: Nacrtajmo parabolu, a zatim pomicanje osi:- na dolje, a - na pravo:

Ova tehnika je vrlo prikladna u slučaju bilo koje parabole, zapamtite je.

Dopustite da vas podsjetim da funkciju možemo predstaviti u ovom obliku:

Na primjer: .

Što nam ovo daje?

Činjenica je da je broj koji se oduzima u zagradama () apscisa vrha parabole, a izraz izvan zagrada () je ordinata vrha.

To znači da, nakon što ste izgradili parabolu, samo trebate pomaknite os ulijevo, a os prema dolje.

Primjer: nacrtajmo graf funkcije.

Odaberimo cijeli kvadrat:

Koji broj oduzeti iz u zagradama? Ovo (a ne kako možete odlučiti bez razmišljanja).

Dakle, gradimo parabolu:

Sada pomičemo os dolje, odnosno gore:

A sada - lijevo, odnosno desno:

To je sve. To je isto kao i pomicanje parabole s njezinim vrhom od ishodišta do točke, samo što je ravnu os puno lakše pomicati od krive parabole.

Sada, kao i obično, ja:

I ne zaboravite izbrisati stare osovine gumicom!

Ja sam kao odgovori radi provjere napisat ću vam ordinate vrhova ovih parabola:

Je li sve odgovaralo?

Ako da, onda ste super! Znati rukovati parabolom vrlo je važno i korisno, a ovdje smo otkrili da to uopće nije teško.

GRAFICANJE KVADRATNE FUNKCIJE. UKRATKO O GLAVNOM

kvadratna funkcija je funkcija oblika, gdje, i su bilo koji brojevi (koeficijenti), je slobodni član.

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Vrh parabole:
, tj. što je veći \displaystyle b, to se vrh parabole više pomiče ulijevo.
Zamijenite u funkciji i dobijete:
, tj. što je veći \displaystyle b modulo, to će biti viši vrh parabole

Slobodni član je koordinata presjeka parabole s y-osi.

Eto, tema je gotova. Ako čitate ove retke, onda ste jako cool.

Jer samo 5% ljudi je sposobno nešto samostalno svladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sad ono najvažnije.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je ... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan polaganje ispita, za upis u institut na proračunu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas u ništa uvjeravati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zaraditi puno više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili sigurni da ćete na ispitu biti bolji od drugih i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje pogriješiti ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu – potrebno je mnogo puta ponoviti da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite nužno s rješenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije potrebno) i svakako ih preporučujemo.

Kako biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - Kupite udžbenik - 499 rubalja

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je tijekom cijelog vijeka trajanja stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati s teorijom.

“Razumijem” i “Znam riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!