Kako opisati svojstva grafa funkcije parabole. Kvadratna funkcija i njezin graf

Na satovima matematike u školi već ste se upoznali s najjednostavnijim svojstvima i grafom funkcije y=x2. Proširimo svoje znanje kvadratna funkcija.

Vježba 1.

Nacrtajte funkciju y=x2. Mjerilo: 1 = 2 cm Označite točku na osi Oy F(0; 1/4). Koristeći šestar ili traku papira, izmjerite udaljenost od točke F do neke točke M parabole. Zatim pričvrstite traku u točki M i zarotirajte je oko ove točke tako da postane okomita. Kraj trake će pasti malo ispod x-ose (Sl. 1). Označite na traci koliko ide dalje od x-osi. Uzmite sada još jednu točku na paraboli i ponovno ponovite mjerenje. Koliko je rub trake sada pao izvan x-ose?

Proizlaziti: bez obzira koju točku na paraboli y \u003d x 2 uzmete, udaljenost od ove točke do točke F (0; 1/4) bit će veća od udaljenosti od iste točke do osi x uvijek za istu broj - za 1/4.

Može se reći drugačije: udaljenost od bilo koje točke parabole do točke (0; 1/4) jednaka je udaljenosti od iste točke parabole do pravca y = -1/4. Ova divna točka F(0; 1/4) se zove usredotočenost parabole y \u003d x 2, i ravna linija y \u003d -1/4 - ravnateljica ova parabola. Svaka parabola ima direktrisu i fokus.

Zanimljiva svojstva parabole:

1. Bilo koja točka parabole jednako je udaljena od neke točke, koja se naziva žarište parabole, i neke linije koja se zove njezina direktrisa.

2. Ako zarotirate parabolu oko osi simetrije (na primjer, parabolu y \u003d x 2 oko osi Oy), dobit ćete vrlo zanimljivu površinu, koja se naziva paraboloidom okretanja.

Površina tekućine u rotirajućoj posudi ima oblik paraboloida okretanja. Ovu površinu možete vidjeti ako žlicom snažno promiješate u nepotpunoj čaši čaja, a zatim izvadite žlicu.

3. Ako bacite kamen u prazninu pod određenim kutom prema horizontu, tada će letjeti uzduž parabole (slika 2).

4. Presiječete li površinu stošca ravninom koja je paralelna s bilo kojim od njegovih generatora, tada ćete u presjeku dobiti parabolu (slika 3).

5. U zabavnim parkovima ponekad uređuju smiješnu atrakciju pod nazivom Paraboloid čuda. Svakome od onih koji stoje unutar rotirajućeg paraboloida čini se da stoji na podu, a ostali ljudi, nekim čudom, drže na zidovima.

6. U zrcalnim teleskopima koriste se i parabolična zrcala: svjetlost udaljene zvijezde, koja putuje u paralelnom snopu, pada na zrcalo teleskopa, skuplja se u fokusu.

7. Za reflektore, ogledalo se obično izrađuje u obliku paraboloida. Ako postavite izvor svjetlosti u žarište paraboloida, tada zrake, reflektirane od paraboličkog zrcala, tvore paralelni snop.

Iscrtavanje kvadratne funkcije

Na satovima matematike učili ste kako dobiti grafove funkcija oblika iz grafa funkcije y = x 2:

1) y=ax2– proširenje grafa y = x 2 duž osi Oy u |a| puta (za |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riža. 4).

2) y=x2+n– pomak grafikona za n jedinica duž osi Oy, a ako je n > 0, onda je pomak gore, a ako je n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– pomak grafa za m jedinica duž osi Ox: ako je m< 0, то вправо, а если m >0, zatim lijevo, (slika 5).

4) y=-x2- simetričan prikaz oko osi Ox grafa y = x 2 .

Zaustavimo se detaljnije na crtanju grafa funkcije. y = a(x - m) 2 + n.

Kvadratna funkcija oblika y = ax 2 + bx + c uvijek se može svesti na oblik

y \u003d a (x - m) 2 + n, gdje je m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Dokažimo to.

Stvarno,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Uvedimo novu notaciju.

Neka bude m = -b/(2a), ali n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

tada dobivamo y = a(x - m) 2 + n ili y - n = a(x - m) 2 .

Napravimo još neke zamjene: neka je y - n = Y, x - m = X (*).

Tada dobivamo funkciju Y = aX 2, čiji je graf parabola.

Vrh parabole je u ishodištu. x=0; Y = 0.

Zamjenom koordinata vrha u (*) dobivamo koordinate vrha grafa y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Dakle, kako bi se nacrtala kvadratna funkcija predstavljena kao

y = a(x - m) 2 + n

transformacijom možete postupiti na sljedeći način:

a) izgraditi graf funkcije y = x 2 ;

b) paralelnim prevođenjem duž osi Ox za m jedinica i duž osi Oy za n jedinica - prenijeti vrh parabole iz ishodišta u točku s koordinatama (m; n) (slika 6).

Napišite transformacije:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Primjer.

Koristeći transformacije, konstruirajte graf funkcije y = 2(x - 3) 2 u kartezijanskom koordinatnom sustavu – 2.

Riješenje.

Lanac transformacija:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

Konstrukcija grafa je prikazana u riža. 7.

Možete sami vježbati crtanje kvadratne funkcije. Na primjer, izgradite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 u jednom koordinatnom sustavu koristeći transformacije. Ako imate pitanja ili želite dobiti savjet od učitelja, onda imate priliku provesti besplatna 25-minutna lekcija s online učiteljem nakon . Za daljnji rad s učiteljem možete odabrati onaj koji vam odgovara

Imate li kakvih pitanja? Ne znate grafički prikazati kvadratnu funkciju?
Za pomoć od učitelja -.
Prva lekcija je besplatna!

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je poveznica na izvor.