रैखिक समीकरणों के निकाय को जोड़ कहा जाता है यदि mti. रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक सामान्य और विशेष समाधान कैसे खोजें

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों से निपटना जारी रखते हैं। अब तक, हमने उन प्रणालियों पर विचार किया है जिनका एक अनूठा समाधान है। ऐसी प्रणालियों को किसी भी तरह से हल किया जा सकता है: प्रतिस्थापन विधि("स्कूल") क्रैमर के सूत्रों द्वारा, मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि. हालाँकि, दो और मामले व्यवहार में व्यापक हैं जब:

1) प्रणाली असंगत है (कोई समाधान नहीं है);

2) प्रणाली के असीम रूप से कई समाधान हैं।

इन प्रणालियों के लिए, सभी समाधान विधियों में सबसे सार्वभौमिक उपयोग किया जाता है - गॉस विधि. वास्तव में, "स्कूल" का रास्ता भी उत्तर की ओर ले जाएगा, लेकिन में उच्च गणितयह अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की गाऊसी पद्धति का उपयोग करने के लिए प्रथागत है। जो लोग गॉस विधि एल्गोरिथ्म से परिचित नहीं हैं, कृपया पहले पाठ का अध्ययन करें गॉस विधि

प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन स्वयं बिल्कुल समान हैं, अंतर समाधान के अंत में होगा। सबसे पहले, कुछ उदाहरणों पर विचार करें जहां सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

उदाहरण 1

इस प्रणाली में आपकी नज़र तुरंत क्या है? समीकरणों की संख्या चरों की संख्या से कम होती है। एक प्रमेय है जो कहता है: "यदि सिस्टम में समीकरणों की संख्या कम मात्राचर, तो प्रणाली या तो असंगत है या उसके पास असीम रूप से कई समाधान हैं।और यह पता लगाना ही बाकी है।

समाधान की शुरुआत काफी सामान्य है - हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाते हैं:

(एक)। ऊपरी बाएँ चरण पर, हमें (+1) या (-1) प्राप्त करने की आवश्यकता है। पहले कॉलम में ऐसी कोई संख्या नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से काम नहीं चलेगा। इकाई को स्वतंत्र रूप से संगठित करना होगा, और यह कई तरीकों से किया जा सकता है। हमने ऐसा किया। पहली पंक्ति में हम तीसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-1) से गुणा किया जाता है।

(2). अब हमें पहले कॉलम में दो शून्य मिलते हैं। दूसरी पंक्ति में, पहली पंक्ति जोड़ें, 3 से गुणा करें। तीसरी पंक्ति में, पहली जोड़ें, 5 से गुणा करें।

(3). परिवर्तन हो जाने के बाद, हमेशा यह देखने की सलाह दी जाती है कि क्या परिणामी तारों को सरल बनाना संभव है? कर सकना। हम दूसरी पंक्ति को 2 से विभाजित करते हैं, उसी समय दूसरे चरण पर वांछित एक (-1) प्राप्त करते हैं। तीसरी पंक्ति को (-3) से विभाजित करें।

(4). दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें। शायद, सभी ने खराब रेखा पर ध्यान दिया, जो प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप निकला:

. स्पष्ट है कि ऐसा नहीं हो सकता।

दरअसल, हम परिणामी मैट्रिक्स को फिर से लिखते हैं

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर वापस:

यदि प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप प्रपत्र की एक स्ट्रिंग , कहाँ पेλ एक गैर-शून्य संख्या है, तो सिस्टम असंगत है (इसका कोई समाधान नहीं है)।

किसी कार्य के अंत को कैसे रिकॉर्ड करें? आपको वाक्यांश लिखना होगा:

"प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग प्राप्त होती है, जहां λ ≠ 0 ". उत्तर: "सिस्टम का कोई समाधान नहीं है (असंगत)।"

कृपया ध्यान दें कि इस मामले में गॉसियन एल्गोरिदम की कोई रिवर्स चाल नहीं है, कोई समाधान नहीं है और खोजने के लिए बस कुछ भी नहीं है।

उदाहरण 2

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह स्वयं का उदाहरण है। पूरा समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

फिर से, हम आपको याद दिलाते हैं कि आपका समाधान पथ हमारे समाधान पथ से भिन्न हो सकता है, गॉस विधि एक स्पष्ट एल्गोरिथम सेट नहीं करती है, आपको प्रत्येक मामले में स्वयं प्रक्रिया और कार्यों का अनुमान लगाना चाहिए।

एक और तकनीकी विशेषतासमाधान: प्राथमिक परिवर्तनों को रोका जा सकता है तुरंत, जैसे ही कोई लाइन पसंद आती है , जहाँ λ ≠ 0 . विचार करना सशर्त उदाहरण: मान लीजिए कि पहले परिवर्तन के बाद हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

.

यह मैट्रिक्स अभी तक एक चरणबद्ध रूप में कम नहीं हुआ है, लेकिन आगे प्राथमिक परिवर्तनों की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि फॉर्म की एक पंक्ति दिखाई दी है, जहां λ ≠ 0 . इसका तुरंत उत्तर दिया जाना चाहिए कि सिस्टम असंगत है।

जब रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, तो यह छात्र के लिए लगभग एक उपहार है, क्योंकि एक संक्षिप्त समाधान प्राप्त होता है, कभी-कभी शाब्दिक रूप से 2-3 चरणों में। लेकिन इस दुनिया में सब कुछ संतुलित है, और जिस समस्या में सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं, वह अभी लंबी है।

उदाहरण 3:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

4 समीकरण और 4 अज्ञात हैं, इसलिए सिस्टम में या तो एक ही समाधान हो सकता है, या कोई समाधान नहीं हो सकता है, या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं। जो कुछ भी था, लेकिन गॉस पद्धति किसी भी मामले में हमें उत्तर की ओर ले जाएगी। यह इसकी बहुमुखी प्रतिभा है।

शुरुआत फिर से मानक है। हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

बस इतना ही, और तुम डर गए।

(एक)। कृपया ध्यान दें कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं, इसलिए ऊपरी बाएँ चरण पर हम एक ड्यूस से भी संतुष्ट हैं। दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-4) से गुणा करते हैं। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-2) से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को (-1) से गुणा करते हैं।

ध्यान!चौथी पंक्ति से कई लोगों को लुभाया जा सकता है घटानापहली पंक्ति। यह किया जा सकता है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है, अनुभव से पता चलता है कि गणना में त्रुटि की संभावना कई गुना बढ़ जाती है। हम बस जोड़ते हैं: चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, (-1) से गुणा करते हैं - बिल्कुल सही!

(2). अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, उनमें से दो को हटाया जा सकता है। यहां फिर से दिखाना जरूरी है बढ़ा हुआ ध्यान, लेकिन क्या रेखाएँ वास्तव में समानुपाती होती हैं? पुनर्बीमा के लिए, दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करना और चौथी पंक्ति को 2 से विभाजित करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा, जिसके परिणामस्वरूप तीन समान पंक्तियाँ होंगी। और उसके बाद ही उनमें से दो को हटा दें। प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स एक चरणबद्ध रूप में कम हो जाता है:

एक नोटबुक में कार्य पूरा करते समय, स्पष्टता के लिए पेंसिल में समान नोट्स बनाने की सलाह दी जाती है।

हम समीकरणों की संगत प्रणाली को फिर से लिखते हैं:

सिस्टम का "सामान्य" एकमात्र समाधान यहां गंध नहीं करता है। खराब लाइन जहां λ ≠ 0, भी नहीं। इसलिए, यह तीसरा शेष मामला है - सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं।

सिस्टम के समाधान के अनंत सेट को तथाकथित के रूप में संक्षेप में लिखा गया है सामान्य प्रणाली समाधान.

हम गॉस विधि की उलटी गति का उपयोग करके निकाय का सामान्य हल ज्ञात करेंगे। समाधान के अनंत सेट वाले समीकरण प्रणालियों के लिए, नई अवधारणाएँ दिखाई देती हैं: "मूल चर"और "मुक्त चर". सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि हमारे पास कौन से चर हैं बुनियादी, और क्या चर - नि: शुल्क. रैखिक बीजगणित की शर्तों को विस्तार से समझाने की आवश्यकता नहीं है, यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे हैं आधार चरऔर मुक्त चर.

मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते हैं". इस उदाहरण में, आधार चर हैं एक्स 1 और एक्स 3 .

मुक्त चर सब कुछ हैं शेषवेरिएबल्स जिन्हें एक कदम नहीं मिला। हमारे मामले में, दो हैं: एक्स 2 और एक्स 4 - मुक्त चर।

अब आपको चाहिए सबआधार चरव्यक्त करना केवल भीतर सेमुक्त चर. गाऊसी एल्गोरिथ्म का उल्टा कदम परंपरागत रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है। प्रणाली के दूसरे समीकरण से, हम मूल चर को व्यक्त करते हैं एक्स 3:

अब पहले समीकरण को देखें: . सबसे पहले, हम इसमें मिली अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं:

यह मूल चर को व्यक्त करने के लिए बनी हुई है एक्स 1 मुक्त चर के माध्यम से एक्स 2 और एक्स 4:

परिणाम वही है जो आपको चाहिए - सबआधार चर ( एक्स 1 और एक्स 3) व्यक्त केवल भीतर सेमुक्त चर ( एक्स 2 और एक्स 4):

दरअसल, सामान्य समाधान तैयार है:

.

सामान्य समाधान कैसे लिखें? सबसे पहले, मुक्त चर को सामान्य समाधान में "अपने दम पर" और सख्ती से उनके स्थानों पर लिखा जाता है। इस मामले में, मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 को दूसरे और चौथे स्थान पर लिखा जाना चाहिए:

.

मूल चर के लिए परिणामी व्यंजक और स्पष्ट रूप से पहले और तीसरे स्थान पर लिखे जाने की आवश्यकता है:

प्रणाली के सामान्य समाधान से, कोई भी असीम रूप से कई पा सकता है निजी निर्णय. यह बहुत सरल है। मुक्त चर एक्स 2 और एक्स 4 इसलिए कहा जाता है क्योंकि उन्हें दिया जा सकता है कोई अंतिम मान. सबसे लोकप्रिय मान शून्य मान हैं, क्योंकि यह किसी विशेष समाधान को प्राप्त करने का सबसे आसान तरीका है।

प्रतिस्थापन ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0) सामान्य समाधान में, हमें एक विशेष समाधान मिलता है:

, या मूल्यों के साथ मुक्त चर के अनुरूप एक विशेष समाधान है ( एक्स 2 = 0; एक्स 4 = 0).

एक और प्यारा जोड़ा है, चलो स्थानापन्न करें ( एक्स 2 = 1 और एक्स 4 = 1) सामान्य समाधान में:

, यानी (-1; 1; 1; 1) एक और विशेष समाधान है।

यह देखना आसान है कि समीकरणों की प्रणाली में है असीम रूप से कई समाधानचूंकि हम मुफ्त चर दे सकते हैं कोई भीमूल्य।

प्रत्येकएक विशेष समाधान को संतुष्ट करना चाहिए प्रत्येक के लिएप्रणाली समीकरण। यह समाधान की शुद्धता की "त्वरित" जांच का आधार है। उदाहरण के लिए, एक विशेष समाधान (-1; 1; 1; 1) लें और इसे मूल प्रणाली में प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

सब कुछ एक साथ आना है। और किसी विशेष समाधान के साथ, सब कुछ भी अभिसरण होना चाहिए।

कड़ाई से बोलते हुए, किसी विशेष समाधान का सत्यापन कभी-कभी धोखा देता है, अर्थात। कुछ विशेष समाधान प्रणाली के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं, और सामान्य समाधान वास्तव में गलत तरीके से पाया जाता है। इसलिए, सबसे पहले, सामान्य समाधान का सत्यापन अधिक गहन और विश्वसनीय है।

परिणामी सामान्य समाधान की जांच कैसे करें ?

यह मुश्किल नहीं है, लेकिन इसके लिए काफी लंबे बदलाव की जरूरत है। हमें भाव लेने की जरूरत है बुनियादीचर, इस मामले में और, और उन्हें सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर स्थानापन्न करें।

सिस्टम के पहले समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के मूल प्रथम समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

सिस्टम के दूसरे समीकरण के बाईं ओर:

निकाय के मूल द्वितीय समीकरण का दायाँ पक्ष प्राप्त होता है।

और आगे - सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ भागों में। यह जांच लंबी है, लेकिन यह समग्र समाधान की 100% शुद्धता की गारंटी देती है। इसके अलावा, कुछ कार्यों में सामान्य समाधान की जांच करना आवश्यक है।

उदाहरण 4:

गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें। एक सामान्य समाधान और दो निजी समाधान खोजें। समग्र समाधान की जाँच करें।

यह स्वयं का उदाहरण है। यहाँ, वैसे, फिर से समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम है, जिसका अर्थ है कि यह तुरंत स्पष्ट है कि सिस्टम या तो असंगत होगा या उसके पास अनंत संख्या में समाधान होंगे।

उदाहरण 5:

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें। यदि सिस्टम में असीम रूप से कई समाधान हैं, तो दो विशेष समाधान खोजें और सामान्य समाधान की जांच करें

समाधान:आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं:

(एक)। पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ें। तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करते हैं। चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करते हैं।

(2). तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-5) से गुणा किया जाता है। चौथी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे (-7) से गुणा किया जाता है।

(3). तीसरी और चौथी पंक्तियाँ समान हैं, हम उनमें से एक को हटा देते हैं। यहाँ ऐसी सुंदरता है:

आधार चर चरणों पर बैठते हैं, इसलिए वे आधार चर हैं।

केवल एक मुक्त चर है, जिसे एक कदम नहीं मिला:।

(4). उलटी चाल। हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:

तीसरे समीकरण से:

दूसरे समीकरण पर विचार करें और उसमें पाए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें:

, , ,

पहले समीकरण पर विचार करें और पाए गए भावों को और उसमें स्थानापन्न करें:

इस प्रकार, एक मुक्त चर के साथ सामान्य समाधान एक्स 4:

एक बार फिर, यह कैसे हुआ? मुक्त चर एक्स 4 अकेले अपने सही चौथे स्थान पर बैठता है। मूल चरों के लिए परिणामी व्यंजक भी अपने स्थान पर हैं।

आइए तुरंत सामान्य समाधान की जांच करें।

हम सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर मूल चर को प्रतिस्थापित करते हैं:

समीकरणों के संगत दाहिने हाथ प्राप्त होते हैं, इस प्रकार, सही सामान्य समाधान पाया जाता है।

अब पाए गए सामान्य समाधान से हमें दो विशेष समाधान मिलते हैं। सभी चर यहाँ एक के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं मुक्त चर x 4. आपको अपना सिर तोड़ने की जरूरत नहीं है।

रहने दो एक्स 4 = 0, तब पहला विशेष उपाय है।

रहने दो एक्स 4 = 1, तो एक और विशेष उपाय है।

उत्तर:सामान्य निर्णय: . निजी समाधान:

और ।

उदाहरण 6:

रैखिक समीकरणों के निकाय का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

हमने पहले ही सामान्य समाधान की जाँच कर ली है, उत्तर पर भरोसा किया जा सकता है। आपकी कार्रवाई का तरीका हमारी कार्रवाई से भिन्न हो सकता है। मुख्य बात यह है कि सामान्य समाधान मेल खाते हैं। शायद, कई लोगों ने समाधान में एक अप्रिय क्षण देखा: बहुत बार, गॉस पद्धति के विपरीत पाठ्यक्रम के दौरान, हमें इसके साथ खिलवाड़ करना पड़ा साधारण अंश. व्यवहार में, यह सच है, ऐसे मामले जहां कोई भिन्न नहीं हैं, बहुत कम आम हैं। मानसिक रूप से तैयार रहें, और सबसे महत्वपूर्ण, तकनीकी रूप से।

आइए हम समाधान की विशेषताओं पर ध्यान दें जो हल किए गए उदाहरणों में नहीं पाए गए। सिस्टम के सामान्य समाधान में कभी-कभी स्थिर (या स्थिरांक) शामिल हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य समाधान: . यहां एक मूल चर एक स्थिर संख्या के बराबर है: . इसमें कुछ भी विदेशी नहीं है, ऐसा होता है। जाहिर है, इस मामले में, किसी विशेष समाधान में पहली स्थिति में पांच होगा।

शायद ही कभी, लेकिन ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें समीकरणों की संख्या चर की संख्या से अधिक है. हालांकि, गॉस विधि सबसे गंभीर परिस्थितियों में काम करती है। आपको मानक एल्गोरिथ्म के अनुसार सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक चरणबद्ध रूप में शांति से लाना चाहिए। ऐसी प्रणाली असंगत हो सकती है, असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं, और विचित्र रूप से पर्याप्त, एक अद्वितीय समाधान हो सकता है।

हम अपनी सलाह में दोहराते हैं - गॉस पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करते समय सहज महसूस करने के लिए, आपको अपना हाथ भरना चाहिए और कम से कम एक दर्जन प्रणालियों को हल करना चाहिए।

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:

समाधान:आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरणबद्ध रूप में लाएं।

प्रदर्शन प्राथमिक परिवर्तन:

(1) पहली और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई है।

(2) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे (-6) से गुणा किया गया। पहली पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, जिसे (-7) से गुणा किया गया।

(3) दूसरी पंक्ति को (-1) से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

प्राथमिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, प्रपत्र की एक स्ट्रिंग, कहाँ पे λ ≠ 0 .इसलिए व्यवस्था असंगत है।उत्तर: कोई समाधान नहीं हैं।

उदाहरण 4:

समाधान:हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

प्रदर्शन किए गए रूपांतरण:

(एक)। पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे चरण के लिए कोई इकाई नहीं है , और परिवर्तन (2) का उद्देश्य इसे प्राप्त करना है।

(2). दूसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3). दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली की गई (परिणामस्वरूप -1 को दूसरे चरण में ले जाया गया)

(4). दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, 3 से गुणा किया गया।

(पांच)। पहली दो पंक्तियों का चिह्न बदल दिया गया था (-1 से गुणा), तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

उलटी चाल:

(एक)। यहां मूल चर हैं (जो चरणों पर हैं), और मुक्त चर हैं (जिन्हें चरण नहीं मिला)।

(2). हम मूल चर को मुक्त चर के रूप में व्यक्त करते हैं:

तीसरे समीकरण से: .

(3). दूसरे समीकरण पर विचार करें:, विशेष समाधान:

उत्तर: सामान्य निर्णय:

जटिल आंकड़े

इस खंड में, हम अवधारणा का परिचय देंगे जटिल संख्या, विचार करना बीजगणितीय, त्रिकोणमितीयऔर फॉर्म दिखाओजटिल संख्या। और यह भी सीखें कि जटिल संख्याओं के साथ संचालन कैसे करें: जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ निष्कर्षण।

जटिल संख्याओं में महारत हासिल करने के लिए, आपको उच्च गणित के पाठ्यक्रम से किसी विशेष ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, और सामग्री एक स्कूली बच्चे के लिए भी उपलब्ध है। यह "साधारण" संख्याओं के साथ बीजगणितीय संचालन करने और त्रिकोणमिति को याद रखने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त है।

सबसे पहले, आइए "साधारण" नंबरों को याद रखें। गणित में इन्हें कहा जाता है बहुत वास्तविक संख्या और पत्र के साथ चिह्नित हैं आर,या आर (मोटा)। सभी वास्तविक संख्याएँ परिचित संख्या रेखा पर बैठती हैं:

वास्तविक संख्याओं की कंपनी बहुत रंगीन है - यहाँ पूर्ण संख्याएँ और भिन्न हैं, और तर्कहीन संख्या. इस मामले में, संख्यात्मक अक्ष का प्रत्येक बिंदु आवश्यक रूप से कुछ वास्तविक संख्या से मेल खाता है।

• प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान।
  रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करनासंख्याओं का ऐसा समुच्चय है ( एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन), जिसे सिस्टम के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करके, सही समानता प्राप्त की जाती है।
  कहाँ पे एक ij , मैं = 1, …, एम; जे = 1, …, एनप्रणाली के गुणांक हैं;
  बी मैं, मैं = 1, …, एम- मुक्त सदस्य;
  एक्स जे, जे = 1, …, एन- अनजान।
  उपरोक्त प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है: ए एक्स = बी,
  
  
  
  
  कहाँ पे ( ए|बी) प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स है;
  ए- सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स;
  एक्स- अज्ञात का स्तंभ;
  बीमुक्त सदस्यों का एक स्तंभ है।
  यदि मैट्रिक्स बीएक अशक्त मैट्रिक्स ∅ नहीं है, तो रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को अमानवीय कहा जाता है।
  यदि मैट्रिक्स बी= , तब रैखिक समीकरणों के इस निकाय को समांगी कहते हैं। एक सजातीय प्रणाली में हमेशा शून्य (तुच्छ) समाधान होता है: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  रैखिक समीकरणों की संयुक्त प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका एक समाधान है।
  रैखिक समीकरणों की असंगत प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका कोई हल नहीं है।
  रैखिक समीकरणों की कुछ प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसका एक अनूठा समाधान है।
  रैखिक समीकरणों की अनिश्चित प्रणालीरैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।
• n अज्ञात के साथ n रैखिक समीकरणों के निकाय
  यदि अज्ञात की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है, तो मैट्रिक्स वर्ग है। मैट्रिक्स निर्धारक को रैखिक समीकरणों की प्रणाली का मुख्य निर्धारक कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है।
  क्रैमर विधिसिस्टम को हल करने के लिए एनके साथ रैखिक समीकरण एनअनजान।
  क्रेमर का नियम।
  यदि रैखिक समीकरणों के निकाय का मुख्य निर्धारक नहीं है शून्य, तो सिस्टम सुसंगत और परिभाषित होता है, और एकमात्र समाधान की गणना Cramer सूत्रों द्वारा की जाती है:
  जहां मैं प्रणाली के मुख्य निर्धारक से प्राप्त निर्धारक हैं प्रतिस्थापित करके मैंमुक्त सदस्यों के स्तंभ का वां स्तंभ। .
• n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों के निकाय
  क्रोनकर-कैपेली प्रमेय.
  
  
  रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली के सुसंगत होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो, रैंक (Α) = रैंक (Α | बी).
  अगर रंग (Α) रंग (Α | बी), तो सिस्टम के पास स्पष्ट रूप से कोई समाधान नहीं है।
  अगर रैंक (Α) = रैंक (Α | बी), तो दो मामले संभव हैं:
  1) रंग (Α) = n(अज्ञात की संख्या के लिए) - समाधान अद्वितीय है और क्रैमर के सूत्रों द्वारा प्राप्त किया जा सकता है;
  2) रैंक (Α)< n - असीम रूप से कई समाधान हैं।
• गॉस विधिरैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए
  
  
  आइए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स की रचना करें ( ए|बी) अज्ञात और दाहिनी ओर गुणांकों की दी गई प्रणाली का।
  गॉसियन विधि या अज्ञात विधि को समाप्त करने में संवर्धित मैट्रिक्स को कम करना शामिल है ( ए|बी) अपनी पंक्तियों पर एक विकर्ण रूप (ऊपरी त्रिकोणीय रूप में) पर प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से। समीकरणों की प्रणाली में लौटने पर, सभी अज्ञात निर्धारित किए जाते हैं।
  तारों पर प्राथमिक परिवर्तनों में निम्नलिखित शामिल हैं:
  1) दो पंक्तियों की अदला-बदली;
  2) एक स्ट्रिंग को 0 के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
  3) स्ट्रिंग में एक और स्ट्रिंग को एक मनमाना संख्या से गुणा करना;
  4) एक अशक्त स्ट्रिंग को त्यागना।
  एक विकर्ण रूप में कम किया गया एक विस्तारित मैट्रिक्स दिए गए एक के बराबर एक रैखिक प्रणाली से मेल खाता है, जिसका समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है। .
• सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली।
  सजातीय प्रणाली का रूप है:
  
  यह मैट्रिक्स समीकरण से मेल खाती है ए एक्स = 0.
  1) एक समांगी प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है, क्योंकि आर (ए) = आर (ए | बी), हमेशा शून्य समाधान होता है (0, 0, …, 0)।
  2) एक सजातीय प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि आर = आर (ए)< n , जो = 0 के बराबर है।
  3) अगर आर< n , फिर = 0, फिर मुक्त अज्ञात हैं सी 1 , सी 2 ,…, सी एन-आर, सिस्टम में गैर-तुच्छ समाधान हैं, और उनमें से असीमित रूप से कई हैं।
  4) सामान्य समाधान एक्सपर आर< n मैट्रिक्स रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
  एक्स \u003d सी 1 एक्स 1 + सी 2 एक्स 2 + ... + सी एन-आर एक्स एन-आर,
  समाधान कहां हैं एक्स 1 , एक्स 2 ,…, एक्स एन-आरसमाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाएं।
  5) समाधान की मौलिक प्रणाली सजातीय प्रणाली के सामान्य समाधान से प्राप्त की जा सकती है:
  
  ,
  यदि हम क्रमिक रूप से मान लेते हैं कि पैरामीटरों का मान (1, 0,…, 0) है, (0, 1,…, 0)…, (0, 0,…, 1)।
  समाधान की मौलिक प्रणाली के संदर्भ में सामान्य समाधान का अपघटनमौलिक प्रणाली से संबंधित समाधानों के रैखिक संयोजन के रूप में सामान्य समाधान का रिकॉर्ड है।
  प्रमेय. रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि 0।
  इसलिए, यदि सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है।
  यदि 0 है, तो रैखिक समांगी समीकरणों के निकाय के अनंत हल हैं।
  प्रमेय. एक सजातीय प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होना आवश्यक और पर्याप्त है कि आर (ए)< n .
  प्रमाण:
  1) आरअधिक नहीं हो सकता एन(मैट्रिक्स रैंक कॉलम या पंक्तियों की संख्या से अधिक नहीं है);
  2) आर< n , इसलिये अगर आर = एन, तो सिस्टम का मुख्य निर्धारक 0, और, क्रैमर के सूत्रों के अनुसार, एक अद्वितीय तुच्छ समाधान है x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, जो शर्त के विपरीत है। साधन, आर (ए)< n .
  परिणाम. एक सजातीय प्रणाली के लिए एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात का एक शून्येतर हल होता है, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि = 0.

सेवा असाइनमेंट. ऑनलाइन कैलकुलेटर को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का अध्ययन करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। आमतौर पर समस्या की स्थिति में खोजने की आवश्यकता होती है प्रणाली का सामान्य और विशेष समाधान. रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन करते समय, निम्नलिखित समस्याओं का समाधान किया जाता है:

1. क्या सिस्टम सहयोगी है;
2. यदि सिस्टम संगत है, तो यह निश्चित या अनिश्चित है (सिस्टम संगतता की कसौटी प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है);
3. यदि सिस्टम को परिभाषित किया गया है, तो इसका अनूठा समाधान कैसे खोजा जाए (क्रैमर विधि, उलटा मैट्रिक्स विधि या जॉर्डन-गॉस विधि का उपयोग किया जाता है);
4. यदि निकाय अनिश्चित है, तो उसके हलों के समुच्चय का वर्णन कैसे करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों का वर्गीकरण

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली का रूप है:
ए 1 1 एक्स 1 + ए 1 2 एक्स 2 + ... + ए 1 एन एक्स एन = बी 1
ए 2 1 एक्स 1 + ए 2 2 एक्स 2 + ... + ए 2 एन एक्स एन = बी 2
...................................................
ए एम 1 एक्स 1 + ए एम 2 एक्स 2 + ... + ए एम एन एक्स एन = बी एम

1. रैखिक अमानवीय समीकरणों की प्रणाली (चर की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर है, एम = एन)।
2. रैखिक अमानवीय समीकरणों की मनमानी प्रणाली (एम> एन या एम< n).

परिभाषा. किसी निकाय का हल संख्याओं का कोई समुच्चय c 1, c 2 ,...,c n होता है, जिसका संगत अज्ञात के स्थान पर निकाय में प्रतिस्थापन, निकाय के प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल देता है।

परिभाषा. दो प्रणालियों को समतुल्य कहा जाता है यदि पहले का समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत।

परिभाषा. एक प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान होता है उसे कहा जाता है संयुक्त. जिस प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है उसे असंगत कहा जाता है।

परिभाषा. एक अद्वितीय समाधान वाली प्रणाली को कहा जाता है कुछ, और एक से अधिक हल होने पर अनिश्चित है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

1. मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक खोजें। यदि वे समान नहीं हैं, तो क्रोनकर-कैपेली प्रमेय द्वारा, प्रणाली असंगत है, और यहीं पर अध्ययन समाप्त होता है।
2. मान लें कि रैंक (ए) = रैंक (बी) है। हम मूल नाबालिग का चयन करते हैं। इस मामले में, रैखिक समीकरणों की सभी अज्ञात प्रणालियों को दो वर्गों में बांटा गया है। अज्ञात, जिसके गुणांक मूल नाबालिग में शामिल होते हैं, आश्रित कहलाते हैं, और अज्ञात, जिनके गुणांक मूल नाबालिग में शामिल नहीं होते हैं, मुक्त कहलाते हैं। ध्यान दें कि आश्रित और मुक्त अज्ञात का चुनाव हमेशा अद्वितीय नहीं होता है।
3. हम सिस्टम के उन समीकरणों को पार करते हैं जिनके गुणांक मूल नाबालिग में शामिल नहीं थे, क्योंकि वे बाकी के परिणाम हैं (मूल लघु प्रमेय के अनुसार)।
4. मुक्त अज्ञात वाले समीकरणों की शर्तों को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाएगा। नतीजतन, हम अज्ञात के साथ r समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं, जो दिए गए एक के बराबर है, जिसका निर्धारक शून्य से अलग है।
5. परिणामी प्रणाली को निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किया जाता है: क्रैमर विधि, उलटा मैट्रिक्स विधि, या जॉर्डन-गॉस विधि। संबंध पाए जाते हैं जो स्वतंत्र चर के रूप में आश्रित चर को व्यक्त करते हैं।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है

कहाँ पे ऐजोऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा , जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.

समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।

सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फैसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.

सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम

आइए उत्पाद खोजें

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए यह प्रणालीफॉर्म में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स = बी.

यहाँ मैट्रिसेस एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए आव्यूह सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . जहां तक ​​कि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,

बुलाया प्रणाली निर्धारक.

हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं

तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और

प्रमाण. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्त्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .

अंत में, यह देखना आसान है कि

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

फलस्वरूप, ।

समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत

उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।

तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं लेकिन 21 और गुणा करें - लेकिन 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं लेकिन 31 और गुणा करें - लेकिन 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। नतीजतन, मूल प्रणाली फॉर्म लेगी:

अब, अंतिम समीकरण से, हम युक्त पद को समाप्त करते हैं x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।

अक्सर लिखने के बजाय नई प्रणालीसमीकरण सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक सीमित हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

प्रति प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
2. एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग में आर्थिक उद्योग में समीकरणों की प्रणाली का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्ग (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरण प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित के क्षेत्र में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या के आकार को खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरणों के लिए एक शब्द है जिसके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा क्रम जिसके लिए सभी समीकरण वास्तविक समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध करते हैं कि अनुक्रम मौजूद नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं, जिनका मान ज्ञात होना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
इसका ग्राफ बनाकर समीकरण को हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद का हल हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फलन हैं और (x, y) फलन चर हैं।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें - इसका अर्थ है ऐसे मान (x, y) को खोजना, जिस पर सिस्टम एक वास्तविक समानता में बदल जाता है या उसे स्थापित करता है उपयुक्त मूल्य x और y मौजूद नहीं हैं।

बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में लिखे गए मानों (x, y) की एक जोड़ी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम का एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की समांगी प्रणालियाँ ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनका दायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। यदि "बराबर" चिह्न के बाद दाहिने भाग का मान है या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया है, तो ऐसी प्रणाली सजातीय नहीं है।

चरों की संख्या दो से अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

सिस्टम का सामना करते हुए, स्कूली बच्चे मानते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाना चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है, उनमें से एक मनमाने ढंग से बड़ी संख्या में हो सकती है।

समीकरणों के निकाय को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक तरीका नहीं है, सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि द्वारा समाधान जैसी विधियों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हल करने के तरीकों को पढ़ाने में मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही विश्लेषण कैसे करें और खोजें इष्टतम एल्गोरिथमप्रत्येक उदाहरण के लिए समाधान। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और क्रियाओं की प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि किसी विशेष विधि को लागू करने के सिद्धांतों को समझना है।

कार्यक्रम की 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरण हल करना माध्यमिक स्कूलकाफी सरल और विस्तार से समझाया गया है। गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में इस खंड पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षण संस्थानों के पहले पाठ्यक्रमों में गॉस और क्रैमर की विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों के समाधान का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना है। व्यंजक को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर रूप में घटाया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए प्रतिस्थापन विधि द्वारा 7वीं कक्षा के रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एक उदाहरण दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर एक्स को एफ (एक्स) = 7 + वाई के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, एक्स के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, ने दूसरे समीकरण में एक चर वाई प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण का समाधान कठिनाइयों का कारण नहीं बनता है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मूल्यों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और दूसरे अज्ञात के संदर्भ में चर की अभिव्यक्ति आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगी। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात होते हैं, तो प्रतिस्थापन समाधान भी अव्यावहारिक होता है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करके समाधान

जोड़ विधि द्वारा सिस्टम के समाधान की खोज करते समय, टर्म-बाय-टर्म जोड़ और समीकरणों का गुणा विभिन्न नंबर. गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर वाला समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोगों के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चरों की संख्या के साथ योग विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। बीजगणितीय योग तब उपयोगी होता है जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव संख्याएँ हों।

समाधान क्रिया एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी संख्या से गुणा करें। नतीजतन अंकगणितीय संक्रियाचर के गुणांकों में से एक को 1 के बराबर होना चाहिए।
2. परिणामी व्यंजक पद को पद के अनुसार जोड़ें और अज्ञात में से एक का पता लगाएं।
3. शेष चर को खोजने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर पेश करके समाधान विधि

एक नया चर पेश किया जा सकता है यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता होती है, तो अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का प्रयोग किसी एक समीकरण को एक नए चर का परिचय देकर सरल बनाने के लिए किया जाता है। नया समीकरण दर्ज अज्ञात के संबंध में हल किया जाता है, और परिणामी मूल्य का उपयोग मूल चर को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया चर टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को मानक तक कम करना संभव था वर्ग त्रिपद. आप विभेदक का पता लगाकर बहुपद को हल कर सकते हैं।

इसके द्वारा विवेचक का मूल्य ज्ञात करना आवश्यक है प्रसिद्ध सूत्र: D = b2 - 4*a*c, जहाँ D वांछित विभेदक है, b, a, c बहुपद के गुणक हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विवेचक शून्य से बड़ा है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विवेचक शून्य से कम है, तो केवल एक ही समाधान है: x= -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान अतिरिक्त विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए एक दृश्य विधि

3 समीकरणों वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त। इस पद्धति में समन्वय अक्ष पर प्रणाली में शामिल प्रत्येक समीकरण के आलेखों को आलेखित करना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निकाय का सामान्य हल होंगे।

ग्राफिक विधि में कई बारीकियां हैं। एक दृश्य तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरणों पर विचार करें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निकाय का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजना आवश्यक है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0.

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और उनकी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 के सिस्टम समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान अलग हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं है कि सिस्टम के पास कोई समाधान है या नहीं, एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n-पंक्तियाँ और m-स्तंभ हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। एक मैट्रिक्स-वेक्टर एक एकल-स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें असीमित संभव पंक्तियों की संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों के साथ इकाइयों के साथ एक मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक ऐसा मैट्रिक्स है, जिसे गुणा करने पर मूल एक इकाई में बदल जाता है, ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग एक के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त सदस्यों को मैट्रिक्स की संख्या के रूप में लिखा जाता है, एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य के बराबर नहीं है। इसलिए, यदि किसी भी समीकरण में चर की संख्या भिन्न होती है, तो लापता अज्ञात के स्थान पर शून्य दर्ज करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स के कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होने चाहिए। इसका मतलब है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पहला, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

मैट्रिक्स को गुणा करते समय, सभी मैट्रिक्स तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहाँ K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और |K| - मैट्रिक्स निर्धारक। |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

निर्धारक की गणना दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए आसानी से की जाती है, केवल तत्वों को एक दूसरे से तिरछे गुणा करना आवश्यक है। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि उत्पाद में तत्वों के स्तंभ और पंक्ति संख्या दोहराई न जाए।

मैट्रिक्स विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के सिस्टम के उदाहरणों का समाधान

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि से सिस्टम को हल करते समय बोझिल नोटेशन को कम करना संभव हो जाता है बड़ी राशिचर और समीकरण।

उदाहरण में, एक एनएम समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त शब्द हैं।

गॉस विधि द्वारा प्रणालियों का समाधान

उच्च गणित में, गॉस विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम का समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर को खोजने के लिए किया जाता है।

गाऊसी विधि प्रतिस्थापन और बीजीय जोड़ समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूल के पाठ्यक्रम में, गाऊसी समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों के सिस्टम के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य प्रणाली को एक उल्टे ट्रेपोजॉइड के रूप में लाना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापन द्वारा, एक चर का मान सिस्टम के समीकरणों में से एक में पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, और 3 और 4 - क्रमशः 3 और 4 चर के साथ।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के क्रमिक प्रतिस्थापन के लिए आगे का समाधान कम हो जाता है।

कक्षा 7 की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में गाऊसी समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) में दो समीकरण 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7 प्राप्त हुए। किसी भी समीकरण का हल आपको x n में से किसी एक चर का पता लगाने की अनुमति देगा।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, में कहा गया है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणामी प्रणाली भी मूल के बराबर होगी।

गॉस विधि को समझना विद्यार्थियों के लिए कठिन है उच्च विद्यालय, लेकिन सबसे अधिक में से एक है दिलचस्प तरीकेगणित और भौतिकी कक्षाओं में गहन अध्ययन कार्यक्रम में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करने के लिए।

गणनाओं को रिकॉर्ड करने में आसानी के लिए, यह निम्नलिखित करने के लिए प्रथागत है:

समीकरण गुणांक और मुक्त शब्द एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या को दर्शाते हैं।

सबसे पहले, वे उस मैट्रिक्स को लिखते हैं जिसके साथ काम करना है, फिर सभी क्रियाओं को पंक्तियों में से एक के साथ किया जाता है। परिणामी मैट्रिक्स "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजीय संचालन करना जारी रखता है।

नतीजतन, एक मैट्रिक्स प्राप्त किया जाना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात मैट्रिक्स को एक रूप में कम किया जाता है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह संकेतन कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात की गणना से विचलित नहीं होने देता है।

समाधान के किसी भी तरीके के मुफ्त आवेदन के लिए देखभाल और एक निश्चित मात्रा में अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी तरीके लागू नहीं होते हैं। मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में समाधान खोजने के कुछ तरीके अधिक बेहतर होते हैं, जबकि अन्य सीखने के उद्देश्य से मौजूद होते हैं।