प्रपत्र का कार्य, जहां कहा जाता है द्विघात फंक्शन.

द्विघात फलन का ग्राफ − परवलय.

मामलों पर विचार करें:

केस I, शास्त्रीय परवलय

अर्थात , ,

बनाने के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:

अंक अंक (0;0); (1;1); (-1;1) आदि। समन्वय तल पर (हम जितना छोटा कदम x मान लेते हैं (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेते हैं, वक्र उतना ही चिकना होता है), हमें एक परवलय मिलता है:

यह देखना आसान है कि यदि हम मामले को लेते हैं, अर्थात, तो हमें अक्ष (बैल) के बारे में एक परवलय सममित मिलता है। एक समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:

II केस, "ए" एक से अलग

क्या होगा अगर हम ले , , ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

पहली तस्वीर (ऊपर देखें) स्पष्ट रूप से दिखाती है कि परवलय (1;1), (-1;1) के लिए तालिका के बिंदु बिंदुओं (1;4), (1;-4) में बदल गए थे, अर्थात, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क देते हैं।

और जब परवलय "व्यापक हो जाता है" परवलय:

आओ पूर्वावलोकन कर लें:

1)गुणांक का चिन्ह शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार होता है। शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार", "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा होगा, परवलय उतना ही छोटा होगा |a|, परवलय उतना ही चौड़ा होगा।

केस III, "सी" प्रकट होता है

अब चलो खेलते हैं (अर्थात, हम मामले पर विचार करते हैं जब), हम रूप के परवलय पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना आसान है (आप हमेशा तालिका का उल्लेख कर सकते हैं) कि परवलय अक्ष के साथ ऊपर या नीचे जाएगा, यह संकेत पर निर्भर करता है:

चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है

परवलय कब अक्ष से "फट जाएगा" और अंत में पूरे समन्वय विमान के साथ "चलेगा"? जब यह बराबर होना बंद हो जाता है।

यहाँ, एक परवलय बनाने के लिए, हमें चाहिए शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .

तो इस बिंदु पर (जैसे बिंदु पर (0; 0) नई प्रणालीनिर्देशांक) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो पहले से ही हमारी शक्ति के भीतर है। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो ऊपर से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर, एक ऊपर सेट करते हैं, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम ऊपर हमारा बिंदु है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर, आदि में सेट करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक परवलय का शीर्ष:

अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय टेम्पलेट के अनुसार एक परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।

एक परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक खोजने के बाद बहुत हैनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:

1) परवलय बिंदु से गुजरना होगा . वास्तव में, x=0 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि, यह है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय y-अक्ष को , क्योंकि , पर प्रतिच्छेद करता है।

2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और समरूपता की धुरी के बारे में एक परवलय सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है, जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।

3) के बराबर, हम अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विभेदक के आधार पर, हमें एक (,), दो (शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया) मिलेगा।" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, हमारे पास विवेचक से एक जड़ है - पूर्णांक नहीं, इसे बनाते समय, हमारे लिए जड़ों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमारे पास (ओह) के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे। अक्ष (चूंकि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

तो चलिए वर्कआउट करते हैं

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम यदि इसे फॉर्म में दिया गया है

1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - up, a<0 – вниз)

2) सूत्र द्वारा परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3) हम मुक्त पद से परवलय के अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, हम परवलय की समरूपता के अक्ष के संबंध में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि यह है इस बिंदु को चिह्नित करने के लिए लाभहीन, उदाहरण के लिए, क्योंकि मान बड़ा है ... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं ...)

4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) के रूप में), हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। यदि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) हम अक्ष (ओए) के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं (यदि वे स्वयं अभी तक "सामने" नहीं आए हैं), समीकरण को हल करते हुए

उदाहरण 1

उदाहरण 2

टिप्पणी 1.यदि परवलय शुरू में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें पहले ही शीर्ष के निर्देशांक दिए जा चुके हैं। क्यों?

आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल लें और उसमें एक पूर्ण वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया है। हमने पहले परवलय के शीर्ष को बुलाया था, यानी अब,।

उदाहरण के लिए, । हम विमान पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार (अपेक्षाकृत) होता है। यही है, हम चरण 1 करते हैं; 3; 4; एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम से 5 (ऊपर देखें)।

टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसी तरह के रूप में दिया जाता है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है), तो हम तुरंत (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0)। बाकी के लिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं।

हर कोई जानता है कि परवलय क्या है। लेकिन विभिन्न व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में सक्षम रूप से इसका सही तरीके से उपयोग कैसे करें, हम नीचे समझेंगे।

सबसे पहले, आइए हम उन बुनियादी अवधारणाओं को निरूपित करें जो बीजगणित और ज्यामिति इस शब्द को देते हैं। सब कुछ पर विचार करें संभावित प्रकारयह चार्ट।

हम इस फ़ंक्शन की सभी मुख्य विशेषताओं को सीखते हैं। आइए एक वक्र (ज्यामिति) के निर्माण की मूल बातें समझते हैं। आइए जानें कि इस प्रकार के ग्राफ के शीर्ष, अन्य बुनियादी मूल्यों को कैसे खोजें।

हम यह पता लगाएंगे: समीकरण के अनुसार आवश्यक वक्र को सही ढंग से कैसे बनाया गया है, जिस पर आपको ध्यान देने की आवश्यकता है। आइए देखें मुख्य प्रायोगिक उपयोगमानव जीवन में यह अद्वितीय मूल्य।

परवलय क्या है और यह कैसा दिखता है

बीजगणित: यह शब्द द्विघात फलन के ग्राफ को दर्शाता है।

ज्यामिति: यह एक दूसरे क्रम का वक्र है जिसमें कई विशिष्ट विशेषताएं हैं:

विहित परवलय समीकरण

आंकड़ा एक आयताकार समन्वय प्रणाली (XOY), एक चरम, एब्सिस्सा अक्ष के साथ फ़ंक्शन ड्राइंग शाखाओं की दिशा दिखाता है।

विहित समीकरण है:

वाई 2 \u003d 2 * पी * एक्स,

जहां गुणांक p परवलय (AF) का फोकल पैरामीटर है।

बीजगणित में, इसे अलग तरह से लिखा जाता है:

y = a x 2 + b x + c (पहचानने योग्य पैटर्न: y = x 2)।

द्विघात फलन के गुण और ग्राफ

फ़ंक्शन में समरूपता की धुरी और एक केंद्र (चरम) होता है। परिभाषा का क्षेत्र x-अक्ष के सभी मान हैं।

फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी - (-∞, M) या (M, +∞) वक्र शाखाओं की दिशा पर निर्भर करती है। यहाँ पैरामीटर M का अर्थ है पंक्ति के शीर्ष पर फ़ंक्शन का मान।

कैसे निर्धारित करें कि एक परवलय की शाखाएँ कहाँ निर्देशित हैं

व्यंजक से इस प्रकार के वक्र की दिशा ज्ञात करने के लिए, आपको पहले पैरामीटर के सामने चिह्न निर्दिष्ट करना होगा बीजगणतीय अभिव्यक्ति. यदि a 0, तो वे ऊपर की ओर निर्देशित होते हैं। अन्यथा, नीचे।

सूत्र का उपयोग करके परवलय का शीर्ष कैसे ज्ञात करें

कई व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए चरम सीमा का पता लगाना मुख्य कदम है। बेशक, आप विशेष खोल सकते हैं ऑनलाइन कैलकुलेटरलेकिन इसे स्वयं करने में सक्षम होना बेहतर है।

इसे कैसे परिभाषित करें? एक विशेष सूत्र है। जब b, 0 के बराबर न हो, तो हमें इस बिंदु के निर्देशांकों को देखना चाहिए।

शीर्ष खोजने के लिए सूत्र:

• एक्स 0 \u003d -बी / (2 * ए);
• वाई 0 = वाई (एक्स 0)।

उदाहरण।

एक फ़ंक्शन y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 है। आइए इस फ़ंक्शन के कोने खोजें।

ऐसी लाइन के लिए:

• एक्स \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• वाई = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41।

हमें शीर्ष (-2, -41) के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

परबोला ऑफसेट

क्लासिक मामला तब होता है जब द्विघात फ़ंक्शन y = a x 2 + b x + c में, दूसरा और तीसरा पैरामीटर 0 होता है, और = 1 - शीर्ष बिंदु (0; 0) पर होता है।

एब्सिस्सा या कोर्डिनेट कुल्हाड़ियों के साथ आंदोलन क्रमशः पैरामीटर बी और सी में बदलाव के कारण होता है।विमान पर लाइन की शिफ्ट बिल्कुल इकाइयों की संख्या से की जाएगी, जो कि पैरामीटर के मान के बराबर है।

उदाहरण।

हमारे पास है: बी = 2, सी = 3।

इसका मतलब यह है कि वक्र का क्लासिक दृश्य भुज अक्ष के साथ 2 इकाई खंडों और 3 निर्देशांक अक्ष के साथ स्थानांतरित हो जाएगा।

द्विघात समीकरण का उपयोग करके परवलय का निर्माण कैसे करें

स्कूली बच्चों के लिए यह सीखना महत्वपूर्ण है कि दिए गए मापदंडों के अनुसार परवलय को सही ढंग से कैसे बनाया जाए।

व्यंजकों और समीकरणों का विश्लेषण करके, आप निम्नलिखित देख सकते हैं:

1. निर्देशांक वेक्टर के साथ वांछित रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का मान c के बराबर होगा।
2. ग्राफ के सभी बिंदु (एक्स-अक्ष के साथ) फ़ंक्शन के मुख्य चरम के संबंध में सममित होंगे।

इसके अलावा, ऐसे फ़ंक्शन के विवेचक (D) को जानकर OX के साथ प्रतिच्छेदन पाया जा सकता है:

डी \u003d (बी 2 - 4 * ए * सी)।

ऐसा करने के लिए, आपको व्यंजक को शून्य के बराबर करना होगा।

परवलय जड़ों की उपस्थिति परिणाम पर निर्भर करती है:

• डी 0, फिर एक्स 1, 2 = (-बी ± डी 0.5) / (2 * ए);
• डी \u003d 0, फिर एक्स 1, 2 \u003d -बी / (2 * ए);
• D 0, तो सदिश OX के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं।

हम एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म प्राप्त करते हैं:

• शाखाओं की दिशा निर्धारित करें;
• शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए;
• y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए;
• x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन ज्ञात कीजिए।

उदाहरण 1

एक फ़ंक्शन को देखते हुए y \u003d x 2 - 5 * x + 4. एक परवलय का निर्माण करना आवश्यक है। हम एल्गोरिथ्म के अनुसार कार्य करते हैं:

1. ए \u003d 1, इसलिए, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-5) / 2 = 5/2; वाई = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. y-अक्ष के साथ y = 4 के मान पर प्रतिच्छेद करता है;
4. विभेदक का पता लगाएं: डी = 25 - 16 = 9;
5. जड़ों की तलाश

• एक्स 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• एक्स 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10)।

उदाहरण 2

फ़ंक्शन y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 के लिए, आपको एक परवलय बनाने की आवश्यकता है। हम उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं:

1. ए \u003d 3, इसलिए, शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है;
2. चरम निर्देशांक: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; वाई = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. y-अक्ष के साथ y \u003d -1 के मान पर प्रतिच्छेद करेगा;
4. विवेचक खोजें: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. तो जड़ें:

• एक्स 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• एक्स 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0)।

प्राप्त बिंदुओं से, आप एक परवलय का निर्माण कर सकते हैं।

डायरेक्ट्रिक्स, विलक्षणता, एक परवलय का फोकस

विहित समीकरण के आधार पर, फ़ोकस F के निर्देशांक (p/2, 0) हैं।

सीधी रेखा AB एक डायरेक्ट्रिक्स (एक निश्चित लंबाई की परवलय जीवा का एक प्रकार) है। उसका समीकरण x = -p/2 है।

विलक्षणता (स्थिर) = 1.

निष्कर्ष

हमने उस विषय पर विचार किया जिसमें छात्र पढ़ते हैं उच्च विद्यालय. अब आप जानते हैं, एक परवलय के द्विघात कार्य को देखते हुए, इसके शीर्ष को कैसे खोजना है, शाखाओं को किस दिशा में निर्देशित किया जाएगा, क्या कुल्हाड़ियों के साथ एक ऑफसेट है, और, एक निर्माण एल्गोरिथ्म होने पर, आप इसका ग्राफ खींच सकते हैं।

विधिवत सामग्रीसंदर्भ उद्देश्यों के लिए है और विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला को शामिल करता है। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और सबसे महत्वपूर्ण मुद्दे पर विचार करता है - कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. अध्ययन के दौरान उच्च गणितबुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ को जाने बिना, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के ग्राफ़ क्या दिखते हैं, कुछ फ़ंक्शन मान याद रखें। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं सामग्री की पूर्णता और वैज्ञानिक पूर्णता का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले, अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

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और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाया जाए?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें कार्तीय समन्वय प्रणाली:

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं बड़े अक्षर"एक्स" और "वाई"। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....समन्वय के लिए विमान डेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम डालते है शून्यऔर कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी - कभी के बजायइकाइयाँ, अन्य मानों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 सेल काम नहीं करेंगे। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और, जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक शासक के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात कर रहे हैं, या संक्षिप्त अनुशंसास्टेशनरी द्वारा। आज तक, बिक्री पर अधिकांश नोटबुक, बिना बुरे शब्द कहे, पूर्ण भूत हैं। इस कारण से कि वे गीले हो जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। निकासी के लिए नियंत्रण कार्यमैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट, पिंजरा) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रीफिल भी बॉलपॉइंट पेन से काफी बेहतर है, जो या तो स्मीयर करता है या पेपर फाड़ता है। मेरी स्मृति में एकमात्र "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट पेन एरिच क्रूस है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और दृढ़ता से लिखती है - या तो एक पूर्ण तने के साथ, या लगभग खाली के साथ।

इसके साथ ही: विश्लेषणात्मक ज्यामिति की आंखों के माध्यम से एक आयताकार समन्वय प्रणाली की दृष्टि लेख में शामिल है वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, विस्तृत जानकारीनिर्देशांक के बारे में पाठ के दूसरे पैराग्राफ में पाया जा सकता है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर कठोरता से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया था (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखण)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। अब में क्या करने वाला हूँ। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय अक्ष के दृष्टिकोण से गलत दिखेंगे सही डिजाइन. मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक कार्य समीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है सीधे. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम कुछ अन्य बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. इस मामले में, लाइनों के चौराहे के बिंदु के बगल में या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना अत्यधिक अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठवीं कक्षा क्यों याद है?! तो शायद ऐसा है, अभ्यास के वर्षों के दौरान ही मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। द्विघात फलन का आलेख () एक परवलय है। प्रसिद्ध मामले पर विचार करें:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का निर्लज्जतापूर्वक उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

यह एल्गोरिथमनिर्माण को आलंकारिक रूप से "शटल" या अनफिसा चेखोवा के साथ "आगे और पीछे" का सिद्धांत कहा जा सकता है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

हाइपरबोला और परवलय पाठ में वक्र का गहन ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

यह एक बड़ी भूल होगी यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, आप ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "गेम" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। इस तथ्यड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो अतिपरवलय पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण की तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित अंक डालें और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

इस पैराग्राफ में, मैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यह है अपरिमेय संख्या: , ग्राफ़ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जो वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन बिंदु शायद पर्याप्त हैं:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

के साथ एक समारोह पर विचार करें प्राकृतिक.
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का प्लॉट समान दिखता है: , , (दशमलव लघुगणक से आधार 10), आदि। उसी समय, आधार जितना बड़ा होगा, चार्ट उतना ही चापलूसी करेगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, कुछ ऐसा जो मुझे याद नहीं है जब मैंने पिछली बार इस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया था। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: एक्सपोनेंशियल फंक्शन और लॉगरिदमिक फंक्शनदो परस्पर हैं उलटा कार्य . यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही। साइन से

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

इस लाइन को कहा जाता है sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह फ़ंक्शन है नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, बिल्कुल वही ग्राफ़ का टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।

महत्वपूर्ण लेख!
1. यदि फ़ार्मुलों के बजाय आप अब्रकदबरा देखते हैं, तो कैशे साफ़ करें। इसे अपने ब्राउज़र में कैसे करें यहाँ लिखा है:
2. इससे पहले कि आप लेख पढ़ना शुरू करें, हमारे नेविगेटर पर अधिक से अधिक ध्यान दें उपयोगी संसाधनके लिये

यह समझने के लिए कि यहां क्या लिखा जाएगा, आपको यह अच्छी तरह से जानना होगा कि द्विघात फलन क्या है और इसके साथ क्या खाया जाता है। यदि आप अपने आप को द्विघात कार्यों में एक समर्थक मानते हैं, तो आपका स्वागत है। लेकिन अगर नहीं, तो आपको इस धागे को पढ़ना चाहिए।

आइए एक छोटे से शुरू करते हैं चेकों:

1. द्विघात फलन सामान्य रूप (सूत्र) में कैसा दिखता है?
2. द्विघात फलन के ग्राफ का नाम क्या है?
3. अग्रणी गुणांक द्विघात फलन के ग्राफ को कैसे प्रभावित करता है?

अगर आप इन सवालों का तुरंत जवाब दे सकते हैं, तो पढ़ते रहें। यदि कम से कम एक प्रश्न के कारण कठिनाइयाँ होती हैं, तो जाएँ।

तो, आप पहले से ही जानते हैं कि द्विघात फ़ंक्शन को कैसे संभालना है, इसके ग्राफ़ का विश्लेषण करना और बिंदुओं द्वारा एक ग्राफ़ बनाना है।

खैर, यहाँ यह है:।

आइए एक नज़र डालते हैं कि वे क्या करते हैं। अंतर.

1. वरिष्ठ गुणांक परवलय की "स्थिरता" के लिए जिम्मेदार है, या, दूसरे शब्दों में, इसकी चौड़ाई के लिए: बड़ा, संकरा (खड़ी) परवलय, और छोटा, व्यापक (चापलूसी) परवलय।
2. मुक्त पद y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है।
3. और गुणांक किसी तरह निर्देशांक के केंद्र से परवलय के विस्थापन के लिए जिम्मेदार है। यहाँ इसके बारे में अब और है।

हम हमेशा परवलय का निर्माण क्यों शुरू करते हैं? उसका विशिष्ट बिंदु क्या है?

इस शिखर. और शीर्ष के निर्देशांक कैसे ज्ञात करें, याद रखें?

एब्सिस्सा की खोज निम्न सूत्र द्वारा की जाती है:

इस तरह: क्या अधिक, विषय बांई ओरपरवलय का शीर्ष चलता है।

फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके एक शीर्ष की कोटि ज्ञात की जा सकती है:

अपने आप को प्रतिस्थापित करें और गिनें। क्या हुआ?

यदि आप सब कुछ ठीक करते हैं और परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाते हैं, तो आपको मिलता है:

यह पता चला है कि अधिक सापेक्ष, विषय के ऊपरमर्जी शिखरपरवलय

अंत में, चलो साजिश रचने के लिए आगे बढ़ते हैं।
सबसे आसान तरीका है कि ऊपर से शुरू करके एक परवलय का निर्माण किया जाए।

उदाहरण:

फ़ंक्शन प्लॉट करें।

समाधान:

सबसे पहले, आइए गुणांकों को परिभाषित करें: .

आइए अब शीर्ष निर्देशांक की गणना करें:

और अब याद रखें: समान प्रमुख गुणांक वाले सभी परवलय समान दिखते हैं। इसलिए, यदि हम एक परवलय का निर्माण करते हैं और उसके शीर्ष को एक बिंदु पर ले जाते हैं, तो हमें वह ग्राफ़ प्राप्त होता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है:

सरल, है ना?

केवल एक ही प्रश्न बचा है: परवलय को जल्दी से कैसे खींचना है? यहां तक ​​​​कि अगर हम मूल में एक शीर्ष के साथ एक परवलय खींचते हैं, तब भी हमें इसे बिंदु से बिंदु बनाना होगा, जो लंबा और असुविधाजनक है। लेकिन सभी परवलय एक जैसे दिखते हैं, हो सकता है कि उनके चित्र को गति देने का कोई तरीका हो?

जब मैं स्कूल में था, मेरे गणित के शिक्षक ने सभी को कार्डबोर्ड से एक परवलय के आकार का स्टैंसिल काटने के लिए कहा ताकि वे इसे जल्दी से खींच सकें। लेकिन आप स्टैंसिल के साथ हर जगह नहीं चल पाएंगे, और उन्हें परीक्षा में ले जाने की अनुमति नहीं होगी। इसलिए, हम विदेशी वस्तुओं का उपयोग नहीं करेंगे, लेकिन हम एक पैटर्न की तलाश करेंगे।

सबसे सरल परवलय पर विचार करें। आइए इसे बिंदुओं से बनाते हैं:

यहाँ का नियम यह है। यदि हम ऊपर से दायीं ओर (अक्ष के अनुदिश) और ऊपर (अक्ष के अनुदिश) की ओर बढ़ते हैं, तो हम परवलय के बिंदु पर पहुंचेंगे। आगे: यदि इस बिंदु से हम धीरे-धीरे दाईं ओर बढ़ते हैं, तो हम फिर से परवलय के बिंदु पर पहुंच जाएंगे। अगला: सही पर और ऊपर। आगे क्या होगा? ठीक ऊपर और ऊपर। और इसी तरह: दाईं ओर, और अगले पर जाएँ विषम संख्यायूपी। फिर हम बाईं शाखा के साथ भी ऐसा ही करते हैं (आखिरकार, परवलय सममित है, अर्थात इसकी शाखाएँ समान दिखती हैं):

बढ़िया, यह उच्चतम गुणांक के साथ शीर्ष से किसी भी परवलय को बनाने में मदद करेगा। उदाहरण के लिए, हमने सीखा है कि परवलय का शीर्ष एक बिंदु पर होता है। इस परवलय का निर्माण (अपने दम पर, कागज पर) करें।

बनाया?

यह इस तरह निकलना चाहिए:

अब हम प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं:

बस इतना ही।

ठीक है, ठीक है, अब इसके साथ केवल परवलय बनाएँ?

बिलकूल नही। अब आइए जानें कि उनके साथ क्या करना है, अगर।

आइए कुछ विशिष्ट मामलों पर विचार करें।

बढ़िया, हमने सीखा कि परवलय कैसे खींचना है, अब आइए वास्तविक कार्यों पर अभ्यास करें।

तो, ऐसे कार्यों के रेखांकन बनाएं:

उत्तर:

3. शीर्ष:।

क्या आपको याद है कि वरिष्ठ गुणांक कम होने पर क्या करना चाहिए?

हम भिन्न के हर को देखते हैं: यह बराबर है। तो हम इस तरह आगे बढ़ेंगे:

• जल्द आ रहा है
• जल्द आ रहा है
• जल्द आ रहा है

और बाईं ओर भी:

4. शीर्ष:।

ओह, इससे क्या लेना-देना? कोशिकाओं को कैसे मापें यदि शीर्ष रेखाओं के बीच कहीं है?..

और हम धोखा देते हैं। सबसे पहले, एक परवलय खींचते हैं, और उसके बाद ही उसके शीर्ष को एक बिंदु पर ले जाते हैं। यहां तक ​​कि नहीं, आइए इसे और भी मुश्किल करते हैं: आइए एक परवलय बनाएं, और फिर कुल्हाड़ियों को स्थानांतरित करें:- पर नीचे, ए - ऑन सही:

किसी भी परवलय के मामले में यह तकनीक बहुत सुविधाजनक है, याद रखें।

मैं आपको याद दिला दूं कि हम इस रूप में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

उदाहरण के लिए: ।

यह हमें क्या देता है?

तथ्य यह है कि कोष्ठक () में से घटाई गई संख्या परवलय के शीर्ष का भुज है, और कोष्ठक के बाहर का पद () शीर्ष की कोटि है।

इसका मतलब यह है कि, एक परवलय का निर्माण करने के बाद, आपको बस जरूरत है अक्ष को बाईं ओर और अक्ष को नीचे की ओर ले जाएँ।

उदाहरण: आइए एक फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें।

आइए एक पूर्ण वर्ग चुनें:

कौन सा नंबर घटायाकोष्ठक में से? यह (और यह नहीं कि आप बिना सोचे समझे कैसे निर्णय ले सकते हैं)।

तो, हम एक परवलय बनाते हैं:

अब हम अक्ष को नीचे की ओर शिफ्ट करते हैं, अर्थात ऊपर:

और अब - बाईं ओर, यानी दाईं ओर:

बस इतना ही। यह एक परवलय को उसके शीर्ष से एक बिंदु तक ले जाने के समान है, केवल सीधी धुरी को कुटिल परवलय की तुलना में स्थानांतरित करना बहुत आसान है।

अब, हमेशा की तरह, मैं:

और पुराने एक्सल को इरेज़र से मिटाना न भूलें!

मैं जैसा हूँ जवाबसत्यापन के लिए, मैं आपको इन परवलय के शीर्षों के निर्देशांक लिखूंगा:

क्या सब कुछ फिट था?

यदि हाँ, तो आप महान हैं! परवलय को कैसे संभालना है, यह जानना बहुत महत्वपूर्ण और उपयोगी है, और यहाँ हमने पाया है कि यह बिल्कुल भी मुश्किल नहीं है।

एक द्विघात समारोह को रेखांकन करना। संक्षेप में मुख्य के बारे में

द्विघात फंक्शन फॉर्म का एक फंक्शन है, जहां, और कोई भी संख्या (गुणांक) हैं, एक स्वतंत्र सदस्य है।

द्विघात फलन का आलेख एक परवलय होता है।

परवलय के ऊपर:
, अर्थात। \displaystyle b जितना बड़ा होगा, परवलय का शीर्ष उतना ही अधिक बाईं ओर होगा।
फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें, और प्राप्त करें:
, अर्थात। जितना बड़ा \displaystyle b modulo , परवलय का शीर्ष उतना ही ऊंचा होगा

मुक्त पद y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन का निर्देशांक है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आपने अंत तक पढ़ा है, तो आप 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात।

आपने इस विषय पर सिद्धांत का पता लगा लिया है। और, मैं दोहराता हूं, यह ... यह सिर्फ सुपर है! आप अपने अधिकांश साथियों से पहले से ही बेहतर हैं।

समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

किसलिए?

सफलता के लिए परीक्षा उत्तीर्ण करना, बजट पर संस्थान में प्रवेश के लिए और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जीवन भर के लिए।

मैं तुम्हें किसी बात के लिए नहीं मनाऊँगा, बस एक बात कहूँगा...

प्राप्त करने वाले लोग एक अच्छी शिक्षा, उन लोगों की तुलना में बहुत अधिक कमाते हैं जिन्होंने इसे प्राप्त नहीं किया। यह सांख्यिकी है।

लेकिन यह मुख्य बात नहीं है।

मुख्य बात यह है कि वे अधिक खुश हैं (ऐसे अध्ययन हैं)। शायद इसलिए कि उनके सामने बहुत अधिक अवसर खुलते हैं और जीवन उज्जवल हो जाता है? मालूम नहीं...

लेकिन आप खुद सोचिए...

परीक्षा में दूसरों की तुलना में बेहतर होने और अंततः ... अधिक खुश होने के लिए यह सुनिश्चित करने के लिए क्या आवश्यक है?

इस विषय पर समस्याओं का समाधान करते हुए अपना हाथ भरें।

परीक्षा में आपसे थ्योरी नहीं पूछी जाएगी।

आपको चाहिये होगा समस्याओं का समाधान समय पर करें.

और, यदि आपने उन्हें हल नहीं किया है (बहुत!), तो आप निश्चित रूप से कहीं न कहीं एक मूर्खतापूर्ण गलती करेंगे या बस इसे समय पर नहीं करेंगे।

यह खेल की तरह है - निश्चित रूप से जीतने के लिए आपको कई बार दोहराना होगा।

आप कहीं भी एक संग्रह खोजें आवश्यक रूप से समाधान के साथ विस्तृत विश्लेषण और तय करो, तय करो, तय करो!

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निष्कर्ष के तौर पर...

अगर आपको हमारे काम पसंद नहीं हैं, तो दूसरों को खोजें। बस सिद्धांत के साथ मत रुको।

"समझ गया" और "मुझे पता है कि कैसे हल करना है" पूरी तरह से अलग कौशल हैं। आपको दोनों की जरूरत है।

समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!