परवलय फलन के ग्राफ के गुणों का वर्णन कैसे करें। द्विघात फलन और उसका ग्राफ

स्कूल में गणित के पाठों में, आप पहले से ही सरलतम गुणों और फ़ंक्शन के ग्राफ से परिचित हो चुके हैं वाई = x2. आइए अपने ज्ञान का विस्तार करें द्विघात फंक्शन.

अभ्यास 1।

एक फ़ंक्शन प्लॉट करें वाई = x2. पैमाना: 1 = 2 सेमी. ओए अक्ष पर एक बिंदु चिह्नित करें एफ(0; 1/4)। एक कंपास या कागज की पट्टी का उपयोग करके, बिंदु से दूरी नापें एफकिसी बिंदु पर एमपरवलय फिर पट्टी को बिंदु M पर पिन करें और इसे इस बिंदु के चारों ओर घुमाएं ताकि यह लंबवत हो जाए। पट्टी का सिरा x-अक्ष से थोड़ा नीचे गिरेगा (चित्र .1). पट्टी पर अंकित करें कि यह x-अक्ष से कितनी दूर जाती है। अब परवलय पर एक और बिंदु लें और माप को फिर से दोहराएं। पट्टी का किनारा अब x-अक्ष से कितना नीचे गिरा है?

नतीजा:कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप परवलय y \u003d x 2 पर कौन सा बिंदु लेते हैं, इस बिंदु से बिंदु F (0; 1/4) की दूरी समान बिंदु से x-अक्ष तक की दूरी से हमेशा समान होगी संख्या - 1/4 से।

इसे अलग तरह से कहा जा सकता है: परवलय के किसी भी बिंदु से बिंदु (0; 1/4) तक की दूरी परवलय के समान बिंदु से रेखा y = -1/4 तक की दूरी के बराबर होती है। इस अद्भुत बिंदु F(0; 1/4) को कहा जाता है केंद्रपरवलय y \u003d x 2, और सीधी रेखा y \u003d -1/4 - स्कूल की संचालिकायह परवलय। प्रत्येक परवलय में एक डायरेक्ट्रिक्स और एक फोकस होता है।

एक परवलय के दिलचस्प गुण:

1. परवलय का कोई भी बिंदु किसी बिंदु से समान दूरी पर होता है, जिसे परवलय का फोकस कहा जाता है, और कुछ रेखा, इसकी नियता कहलाती है।

2. यदि आप समरूपता की धुरी के चारों ओर एक परवलय घुमाते हैं (उदाहरण के लिए, एक परवलय y \u003d x 2 ओए अक्ष के चारों ओर), तो आपको एक बहुत ही दिलचस्प सतह मिलती है, जिसे क्रांति का परवलय कहा जाता है।

एक घूमने वाले बर्तन में एक तरल की सतह में क्रांति के परवलयिक का आकार होता है। आप इस सतह को देख सकते हैं यदि आप चाय के अधूरे गिलास में चम्मच से जोर से हिलाते हैं, और फिर चम्मच को हटा देते हैं।

3. यदि आप क्षितिज पर एक निश्चित कोण पर शून्य में एक पत्थर फेंकते हैं, तो यह एक परवलय के साथ उड़ जाएगा (रेखा चित्र नम्बर 2)।

4. यदि आप शंकु की सतह को उसके किसी एक जनित्र के समांतर समतल से काटते हैं, तो अनुभाग में आपको एक परवलय प्राप्त होता है (चित्र 3).

5. मनोरंजन पार्कों में, वे कभी-कभी एक अजीब आकर्षण की व्यवस्था करते हैं जिसे पैराबोलॉइड ऑफ वंडर्स कहा जाता है। घूर्णन पैराबोलॉइड के अंदर खड़े लोगों में से प्रत्येक के लिए, ऐसा लगता है कि वह फर्श पर खड़ा है, और बाकी लोग, किसी चमत्कार से, दीवारों पर रहते हैं।

6. दर्पण दूरबीनों में, परवलयिक दर्पण का भी उपयोग किया जाता है: दूर के तारे का प्रकाश, समानांतर किरण में यात्रा करते हुए, दूरबीन के दर्पण पर पड़ता है, फोकस में एकत्र किया जाता है।

7. स्पॉटलाइट के लिए, दर्पण आमतौर पर एक परवलयिक के रूप में बनाया जाता है। यदि आप एक प्रकाश स्रोत को परवलयिक के फोकस पर रखते हैं, तो परवलयिक दर्पण से परावर्तित किरणें एक समानांतर किरण बनाती हैं।

द्विघात फलन प्लॉट करना

गणित के पाठों में, आपने अध्ययन किया कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 के ग्राफ़ से फ़ॉर्म के कार्यों के ग्राफ़ कैसे प्राप्त करें:

1) वाई = कुल्हाड़ी 2- ओए अक्ष के अनुदिश ग्राफ़ y = x 2 का विस्तार |a| . में टाइम्स (के लिए |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, चावल। 4).

2) y=x2+n- ओए अक्ष के साथ n इकाइयों द्वारा ग्राफ शिफ्ट, और यदि n> 0, तो शिफ्ट ऊपर है, और यदि n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) वाई = (एक्स + एम)2- ऑक्स अक्ष के साथ एम इकाइयों द्वारा ग्राफ शिफ्ट: यदि एम< 0, то вправо, а если m >0, फिर बाईं ओर, (चित्र 5).

4) y=-x2- ग्राफ y = x 2 के ऑक्स अक्ष के बारे में सममित प्रदर्शन।

आइए फ़ंक्शन ग्राफ़ को अधिक विस्तार से प्लॉट करने पर ध्यान दें। वाई = ए (एक्स - एम) 2 + एन.

y = ax 2 + bx + c के रूप का द्विघात फलन हमेशा रूप में घटाया जा सकता है

y \u003d a (x - m) 2 + n, जहाँ m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a)।

आइए इसे साबित करें।

सच में,

वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = ए (एक्स 2 + (बी/ए) एक्स + सी/ए) =

ए(एक्स 2 + 2एक्स (बी/ए) + बी 2 /(4ए 2) - बी 2 /(4ए 2) + सी/ए) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a)।

आइए नए नोटेशन का परिचय दें।

रहने दो एम = -बी/(2ए), ए एन \u003d - (बी 2 - 4 एसी) / (4 ए),

तब हमें y = a(x - m) 2 + n या y - n = a(x - m) 2 प्राप्त होता है।

आइए कुछ और प्रतिस्थापन करें: मान लीजिए y - n = Y, x - m = X (*)।

तब हमें फलन Y = aX 2 प्राप्त होता है, जिसका आलेख एक परवलय है।

परवलय का शीर्ष मूल में है। एक्स = 0; वाई = 0।

शीर्ष के निर्देशांकों को (*) में प्रतिस्थापित करने पर, हम ग्राफ y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n के शीर्ष के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

इस प्रकार, एक द्विघात फलन की साजिश रचने के लिए जिसे के रूप में दर्शाया गया है

वाई = ए (एक्स - एम) 2 + एन

परिवर्तन द्वारा, आप निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं:

ए)फ़ंक्शन y = x 2 का एक ग्राफ बनाएं;

बी)ऑक्स अक्ष के साथ समानांतर अनुवाद द्वारा m इकाइयों द्वारा और Oy अक्ष के साथ n इकाइयों द्वारा - निर्देशांक के साथ परवलय के शीर्ष को मूल से बिंदु तक स्थानांतरित करें (m; n) (चित्र 6).

परिवर्तन लिखें:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n।

उदाहरण।

रूपांतरणों का उपयोग करते हुए, कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2(x - 3) 2 का एक ग्राफ बनाएं – 2.

फेसला।

परिवर्तन की श्रृंखला:

वाई = x2 (1) → वाई = (एक्स - 3) 2 (2) → y = 2(x - 3) 2 (3) → y = 2(x - 3) 2 - 2 (4) .

ग्राफ का निर्माण में दिखाया गया है चावल। 7.

आप स्वयं द्विघात फलन आलेखन का अभ्यास कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, रूपांतरणों का उपयोग करके एक समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन y = 2(x + 3) 2 + 2 का एक ग्राफ बनाएं। यदि आपके कोई प्रश्न हैं या शिक्षक से सलाह लेना चाहते हैं, तो आपके पास संचालन करने का अवसर है एक ऑनलाइन ट्यूटर के साथ 25 मिनट का निःशुल्क पाठबाद । शिक्षक के साथ आगे के काम के लिए, आप वह चुन सकते हैं जो आपको सूट करे

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