इसके गुणों और ग्राफ के प्रतिलोम फलन का निर्धारण। परस्पर उलटा कार्य

समुच्चय $X$ और $Y$ को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में शामिल करने दें। आइए हम एक व्युत्क्रमणीय फलन की अवधारणा का परिचय दें।

परिभाषा 1

एक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ एक सेट $X$ को एक सेट $Y$ में मैप करना उलटा कहा जाता है यदि किसी भी तत्व $x_1,x_2\in X$ के लिए यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $x_1\ne x_2$ $f(x_1 )\ne f(x_2)$।

अब हम व्युत्क्रम फलन की अवधारणा का परिचय दे सकते हैं।

परिभाषा 2

फ़ंक्शन $f:X\to Y$ को सेट $X$ को सेट $Y$ में मैप करने के लिए उलटा होने दें। फिर फ़ंक्शन $f^(-1):Y\to X$ सेट $Y$ को सेट $X$ में मैप करना और $f^(-1)\left(y\right)=x$ स्थिति द्वारा परिभाषित किया गया $f(x)$ के लिए व्युत्क्रम कहा जाता है।

आइए प्रमेय तैयार करें:

प्रमेय 1

मान लें कि फलन $y=f(x)$ को परिभाषित किया जाए, नीरस रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और कुछ अंतराल $X$ में निरंतर है। फिर, इस फ़ंक्शन के मूल्यों के संगत अंतराल $Y$ में, इसका एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो कि एकान्त रूप से बढ़ रहा है (घट रहा है) और अंतराल $Y$ पर निरंतर है।

आइए अब हम परस्पर प्रतिलोम फलनों की अवधारणा का प्रत्यक्ष परिचय दें।

परिभाषा 3

परिभाषा 2 के ढांचे के भीतर, फ़ंक्शन $f(x)$ और $f^(-1)\left(y\right)$ परस्पर प्रतिलोम फ़ंक्शन कहलाते हैं।

परस्पर प्रतिलोम फलनों के गुण

मान लें कि फलन $y=f(x)$ और $x=g(y)$ परस्पर प्रतिलोम हैं, तो

$y=f(g\left(y\right))$ और $x=g(f(x))$

फ़ंक्शन का डोमेन $y=f(x)$ फ़ंक्शन के मान के डोमेन के बराबर है $\ x=g(y)$। और फ़ंक्शन का डोमेन $x=g(y)$ फ़ंक्शन के मान के डोमेन के बराबर है $\ y=f(x)$।

$y=f(x)$ और $x=g(y)$ फ़ंक्शन के ग्राफ़ सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित हैं।

यदि एक फलन बढ़ता है (घटता है), तो दूसरा फलन भी बढ़ता है (घटता है)।

उलटा कार्य ढूँढना

चर $x$ के संबंध में समीकरण $y=f(x)$ हल हो गया है।

प्राप्त जड़ों से, जो अंतराल $X$ से संबंधित हैं, वे पाए जाते हैं।

पाए गए $x$ को $y$ नंबर पर असाइन किया गया है।

उदाहरण 1

$X=[-1,0]$ . के अंतराल पर फ़ंक्शन $y=x^2$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

चूँकि यह फलन अंतराल $X$ पर घट रहा है और निरंतर है, तो अंतराल $Y=$ पर, जो इस अंतराल पर घट रहा है और निरंतर है (प्रमेय 1)।

$x$ की गणना करें:

\ \

उपयुक्त $x$ चुनें:

उत्तर:उलटा फ़ंक्शन $y=-\sqrt(x)$।

प्रतिलोम फलन ज्ञात करने में समस्या

इस भाग में हम कुछ प्राथमिक फलनों के प्रतिलोम फलनों पर विचार करेंगे। कार्यों को ऊपर दी गई योजना के अनुसार हल किया जाएगा।

उदाहरण 2

$y=x+4$ . फ़ंक्शन के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समीकरण $y=x+4$ से $x$ खोजें:

उदाहरण 3

फ़ंक्शन $y=x^3$ . के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

चूँकि फलन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ रहा है और निरंतर है, तो प्रमेय 1 के अनुसार इसका उलटा निरंतर और बढ़ता हुआ फलन होता है।

समीकरण $y=x^3$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

हमारे मामले में मूल्य उपयुक्त है (चूंकि दायरा सभी संख्याएं हैं)

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

उदाहरण 4

$$ . के अंतराल पर फ़ंक्शन $y=cosx$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

सेट $X=\left$ पर फ़ंक्शन $y=cosx$ पर विचार करें। यह सेट $X$ पर निरंतर और घट रहा है और सेट $X=\left$ को सेट $Y=[-1,1]$ पर मैप करता है, इसलिए, एक व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, फ़ंक्शन $y=cosx$ सेट $ Y$ में एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो निरंतर भी होता है और सेट $Y=[-1,1]$ में बढ़ता है और सेट $[-1,1]$ को मैप करता है सेट करने के लिए $\बाएं$।

समीकरण $y=cosx$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

उदाहरण 5

अंतराल $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फंक्शन $y=tgx$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें।

समाधान।

सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फ़ंक्शन $y=tgx$ पर विचार करें। यह सेट $X$ पर निरंतर और बढ़ रहा है और सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ को सेट $Y पर ​​मैप करता है =R$, इसलिए, एक व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, फ़ंक्शन $y=tgx$ सेट $Y$ में एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो निरंतर भी होता है और सेट $Y=R में बढ़ता है $ और सेट $R$ को सेट पर मैप करता है $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$

समीकरण $y=tgx$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

उलटा कार्य क्या है? किसी दिए गए फ़ंक्शन का उलटा कैसे पता करें?

परिभाषा ।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को सेट D पर परिभाषित किया गया है और E इसके मानों का सेट है। के संबंध में उलटा कार्यफ़ंक्शन y=f(x) एक फ़ंक्शन x=g(y) है, जिसे सेट E पर परिभाषित किया गया है और प्रत्येक y∈E को एक मान x∈D असाइन करता है जैसे कि f(x)=y।

इस प्रकार, फलन y=f(x) का प्रांत प्रतिलोम फलन का प्रांत है, और y=f(x) का प्रांत प्रतिलोम फलन का प्रांत है।

दिए गए फलन y=f(x) के प्रतिलोम फलन को ज्ञात करने के लिए, :

1) फलन सूत्र में, y के स्थान पर x - y के स्थान पर x को प्रतिस्थापित करें:

2) परिणामी समानता से, y को x के रूप में व्यक्त करें:

फलन y=2x-6 का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

फलन y=2x-6 तथा y=0.5x+3 परस्पर प्रतिलोम हैं।

सीधी रेखा के संबंध में प्रत्यक्ष और प्रतिलोम फलनों के रेखांकन सममित होते हैं y=x(I और III के द्विभाजक तिमाहियों का समन्वय करते हैं)।

y=2x-6 और y=0.5x+3 - . एक रेखीय फलन का ग्राफ है। एक सीधी रेखा खींचने के लिए, हम दो बिंदु लेते हैं।



जब समीकरण x=f(y) का एक अद्वितीय हल होता है, तो y को x के पदों में विशिष्ट रूप से व्यक्त करना संभव है। यह तब किया जा सकता है जब फ़ंक्शन y=f(x) अपने प्रत्येक मान को अपनी परिभाषा के डोमेन के एक बिंदु पर लेता है (ऐसे फ़ंक्शन को कहा जाता है प्रतिवर्ती).

प्रमेय (फ़ंक्शन के उलटने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त)

यदि फ़ंक्शन y=f(x) एक संख्यात्मक अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है, तो फ़ंक्शन के उलटा होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि f(x) सख्ती से मोनोटोनिक हो।

इसके अलावा, यदि y=f(x) अंतराल पर बढ़ता है, तो इसके विपरीत फलन भी इस अंतराल पर बढ़ता है; यदि y=f(x) घट रहा है, तो प्रतिलोम फलन भी घट रहा है।

यदि परिभाषा के पूरे क्षेत्र में प्रतिवर्तीता की स्थिति संतुष्ट नहीं है, तो कोई एक अंतराल को बाहर कर सकता है जहां फ़ंक्शन केवल बढ़ता है या केवल घटता है, और इस अंतराल पर दिए गए एक के विपरीत एक फ़ंक्शन खोजें।

क्लासिक उदाहरण है। बीच में

ई (वाई) \u003d [-π / 2; / 2]

y (-x) \u003d आर्कसिन (-x) \u003d - आर्कसिन x - विषम फलन, ग्राफ़ बिंदु O (0; 0) के बारे में सममित है।

आर्क्सिन x = 0 x = 0 पर।

आर्क्सिन x > 0 पर x (0; 1]

आर्कसिन x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d आर्कसिन x किसी भी x [-1; 1] के लिए बढ़ता है

1 x 1< х 2 ≤ 1 <=>आर्क्सिन एक्स 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

चाप कोसाइन

खंड पर कोसाइन फ़ंक्शन घटता है और -1 से 1 तक सभी मान लेता है। इसलिए, किसी भी संख्या के लिए ऐसा |a|1, खंड पर समीकरण cosx=a में एक ही मूल है। इस संख्या को संख्या a का चापकोसाइन कहा जाता है और इसे चाप a से दर्शाया जाता है।

परिभाषा . संख्या a का चाप कोज्या, जहाँ -1 a 1, उस खंड की एक संख्या है जिसका कोज्या a के बराबर है।

गुण।

1. ई (वाई) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम।

   आर्ककोस x = 0 पर x = 1

   आर्ककोस x > 0 पर x [-1; 1)

आर्ककोस x< 0 – нет решений

y \u003d आर्ककोस x किसी भी x [-1; 1] के लिए घटता है

1 x 1< х 2 ≤ 1 <=>आर्कसिन x 1 आर्कसिन x 2 - घट रहा है।

आर्कटिक

खंड पर स्पर्शरेखा फलन बढ़ता है -
, इसलिए, मूल प्रमेय के अनुसार, समीकरण tgx \u003d a, जहां a कोई वास्तविक संख्या है, अंतराल पर एक अद्वितीय मूल x है -। इस मूल को संख्या a की चाप स्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे आर्कटिक द्वारा दर्शाया जाता है।

परिभाषा। किसी संख्या की चाप स्पर्शरेखा एआर इस संख्या को x . कहा जाता है , जिसकी स्पर्श रेखा a है।

गुण।

ई (वाई) \u003d (-π / 2; / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - फ़ंक्शन विषम है, ग्राफ़ बिंदु O (0; 0) के बारे में सममित है।

आर्कटग x = 0 पर x = 0

किसी भी x є R . के लिए फलन बढ़ता है

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>आर्कटिक एक्स 1< arctg х 2

चाप स्पर्शरेखा

अंतराल (0;) पर कोटेंजेंट फ़ंक्शन घट जाता है और आर से सभी मान लेता है। इसलिए, अंतराल (0;) में किसी भी संख्या के लिए समीकरण ctg x \u003d a का एक ही मूल होता है। यह संख्या a, संख्या a की चाप स्पर्शरेखा कहलाती है और इसे arcctg a से निरूपित किया जाता है।

परिभाषा। एक संख्या a की चाप स्पर्शरेखा, जहाँ एक R, अंतराल (0;) से एक ऐसी संख्या है , जिसका कोटैंजेंट ए है।

गुण।

ई (वाई) = (0; )

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - फलन न तो सम है और न ही विषम।

आर्कसीटीजी एक्स = 0- मौजूद नहीं होना।

समारोह वाई = आर्कसीटीजी एक्सकिसी के लिए घटता है आर

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>आर्कसीटीजी एक्स 1 > आर्कसीटीजी एक्स 2

किसी भी x R के लिए फलन सतत होता है।

2.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों वाले व्यंजकों की पहचान रूपांतरण

उदाहरण 1 । अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

लेकिन)
कहाँ पे

समाधान। चलो रखो
. फिर
और
ढूँढ़ने के लिए
, हम संबंध का उपयोग करते हैं
हमें मिला
परंतु । इस खंड पर, कोसाइन केवल सकारात्मक मान लेता है। इस प्रकार से,
, अर्थात
कहाँ पे
.

बी)

समाधान।

में)

समाधान। चलो रखो
. फिर
और
आइए सबसे पहले पता करें, जिसके लिए हम सूत्र का उपयोग करते हैं
, कहाँ पे
चूँकि इस अंतराल पर कोसाइन केवल सकारात्मक मान लेता है, तो
.

पाठ मकसद:

शैक्षिक:

• कार्यक्रम सामग्री के अनुसार एक नए विषय पर ज्ञान तैयार करना;
• किसी फ़ंक्शन की इनवर्टेबिलिटी की संपत्ति का अध्ययन करने के लिए और किसी दिए गए फ़ंक्शन के विपरीत फ़ंक्शन को कैसे खोजना है, यह सिखाने के लिए;

विकसित होना:

• आत्म-नियंत्रण कौशल, विषय भाषण विकसित करना;
• व्युत्क्रम फलन की अवधारणा में महारत हासिल करना और व्युत्क्रम फलन ज्ञात करने की विधियों को सीखना;

शैक्षिक: संचार क्षमता बनाने के लिए।

उपकरण:कंप्यूटर, प्रोजेक्टर, स्क्रीन, स्मार्ट बोर्ड इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड, समूह कार्य के लिए हैंडआउट (स्वतंत्र कार्य)।

कक्षाओं के दौरान।

1. संगठनात्मक क्षण।

लक्ष्य – कक्षा में काम के लिए छात्रों को तैयार करना:

अनुपस्थित की परिभाषा,

काम करने के लिए छात्रों का रवैया, ध्यान का संगठन;

पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में संदेश।

2. छात्रों के बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।सामने मतदान।

लक्ष्य - अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करने के लिए, कवर की गई सामग्री की पुनरावृत्ति।<Приложение 1 >

समारोह का एक ग्राफ छात्रों के लिए इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड पर दिखाया गया है। शिक्षक कार्य तैयार करता है - फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करने और फ़ंक्शन के अध्ययन किए गए गुणों को सूचीबद्ध करने के लिए। छात्र अनुसंधान डिजाइन के अनुसार किसी फ़ंक्शन के गुणों की सूची बनाते हैं। शिक्षक, फ़ंक्शन के ग्राफ़ के दाईं ओर, इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड पर एक मार्कर के साथ नामित गुणों को लिखता है।

समारोह गुण:

अध्ययन के अंत में, शिक्षक रिपोर्ट करता है कि आज पाठ में वे फ़ंक्शन की एक और संपत्ति से परिचित होंगे - प्रतिवर्तीता। नई सामग्री के सार्थक अध्ययन के लिए, शिक्षक बच्चों को उन मुख्य प्रश्नों से परिचित होने के लिए आमंत्रित करता है जिनका उत्तर छात्रों को पाठ के अंत में देना चाहिए। प्रश्न एक साधारण बोर्ड पर लिखे जाते हैं और प्रत्येक छात्र के पास एक हैंडआउट होता है (पाठ से पहले वितरित)

1. एक प्रतिवर्ती कार्य क्या है?
2. क्या प्रत्येक कार्य प्रतिवर्ती है?
3. उलटा दिया गया कार्य क्या है?
4. परिभाषा का डोमेन और किसी फ़ंक्शन के मानों का सेट और उसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन कैसे संबंधित हैं?
5. यदि फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक रूप से दिया गया है, तो आप उलटा फ़ंक्शन को सूत्र के साथ कैसे परिभाषित करते हैं?
6. यदि कोई फ़ंक्शन ग्राफिक रूप से दिया गया है, तो इसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन को कैसे प्लॉट करें?

3. नई सामग्री की व्याख्या।

लक्ष्य - कार्यक्रम सामग्री के अनुसार एक नए विषय पर ज्ञान तैयार करना; किसी फ़ंक्शन की इनवर्टेबिलिटी की संपत्ति का अध्ययन करने के लिए और किसी दिए गए फ़ंक्शन के विपरीत फ़ंक्शन को कैसे खोजना है, यह सिखाने के लिए; विषय वस्तु विकसित करें।

शिक्षक पैराग्राफ की सामग्री के अनुसार सामग्री की प्रस्तुति करता है। इंटरेक्टिव बोर्ड पर, शिक्षक दो कार्यों के ग्राफ़ की तुलना करता है जिनकी परिभाषा और मूल्यों के सेट समान हैं, लेकिन कार्यों में से एक मोनोटोनिक है और दूसरा नहीं है, जिससे छात्रों को एक उलटा फ़ंक्शन की अवधारणा के तहत लाया जाता है। .

शिक्षक तब एक इनवर्टिबल फंक्शन की परिभाषा तैयार करता है और इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड पर मोनोटोनिक फंक्शन ग्राफ का उपयोग करके इनवर्टिबल फंक्शन थ्योरम को साबित करता है।

परिभाषा 1: फलन y=f(x), x X कहलाता है प्रतिवर्ती, यदि यह अपने किसी भी मान को केवल सेट X के एक बिंदु पर लेता है।

प्रमेय: यदि फलन y=f(x) समुच्चय X पर एक स्वर है, तो यह व्युत्क्रमणीय है।

प्रमाण:

1. चलो समारोह वाई = एफ (एक्स)द्वारा बढ़ता है एक्सजाने दो एक्स 1 एक्स 2- सेट के दो बिंदु एक्स.
2. निश्चितता के लिए, चलो एक्स 1< एक्स 2.
   फिर किस बात से एक्स 1< एक्स 2उसका अनुसरण करता है एफ (एक्स 1) < च (एक्स 2).
3. इस प्रकार, तर्क के विभिन्न मूल्य फ़ंक्शन के विभिन्न मूल्यों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समारोह प्रतिवर्ती है।

(प्रमेय के प्रमाण के दौरान, शिक्षक एक मार्कर के साथ ड्राइंग पर सभी आवश्यक स्पष्टीकरण देता है)

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा तैयार करने से पहले, शिक्षक छात्रों से यह निर्धारित करने के लिए कहता है कि प्रस्तावित कार्यों में से कौन सा प्रतिवर्ती है? इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड कार्यों के रेखांकन दिखाता है और कई विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित कार्य लिखे गए हैं:

बी)

जी) वाई = 2x + 5

डी) वाई = -एक्स 2 + 7

शिक्षक प्रतिलोम फलन की परिभाषा का परिचय देता है।

परिभाषा 2: एक उलटा कार्य करने दें वाई = एफ (एक्स)सेट पर परिभाषित एक्सऔर ई (एफ) = वाई. आइए प्रत्येक का मिलान करें आपसे यूतब एकमात्र अर्थ एक्स, जिस पर एफ (एक्स) = वाई।तब हमें एक फ़ंक्शन मिलता है जिसे परिभाषित किया जाता है यू, लेकिन एक्ससमारोह की सीमा है

यह फ़ंक्शन निरूपित है एक्स = एफ -1 (वाई)और इसे फ़ंक्शन का व्युत्क्रम कहा जाता है वाई = एफ (एक्स).

छात्रों को परिभाषा के क्षेत्र और व्युत्क्रम कार्यों के मूल्यों के सेट के बीच संबंध के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए आमंत्रित किया जाता है।

इस प्रश्न पर विचार करने के लिए कि किसी दिए गए का प्रतिलोम फलन कैसे ज्ञात किया जाए, शिक्षक ने दो विद्यार्थियों को शामिल किया। एक दिन पहले, बच्चों को शिक्षक से व्युत्क्रम दिए गए फ़ंक्शन को खोजने के लिए विश्लेषणात्मक और चित्रमय तरीकों का स्वतंत्र रूप से विश्लेषण करने का कार्य मिला। पाठ के लिए छात्रों को तैयार करने में शिक्षक ने एक सलाहकार के रूप में कार्य किया।

पहले छात्र का संदेश।

नोट: किसी फ़ंक्शन की एकरसता है पर्याप्तएक व्युत्क्रम समारोह के अस्तित्व के लिए शर्त। लेकिन यह क्या नहीं हैआवश्यक शर्त।

छात्र ने विभिन्न स्थितियों का उदाहरण दिया जब फ़ंक्शन मोनोटोनिक नहीं है, लेकिन उलटा है, जब फ़ंक्शन मोनोटोनिक नहीं है और उलटा नहीं है, जब यह मोनोटोनिक और उलटा होता है

फिर छात्र छात्रों को विश्लेषणात्मक रूप से दिए गए व्युत्क्रम फ़ंक्शन को खोजने की विधि से परिचित कराता है।

एल्गोरिथ्म ढूँढना

1. सुनिश्चित करें कि फ़ंक्शन मोनोटोनिक है।
2. x को y के पदों में व्यक्त कीजिए।
3. चर का नाम बदलें। x \u003d f -1 (y) के बजाय वे y \u003d f -1 (x) लिखते हैं

फिर दिए गए के व्युत्क्रम का कार्य खोजने के लिए दो उदाहरण हल करता है।

उदाहरण 1:दिखाएँ कि फलन y=5x-3 के लिए एक प्रतिलोम फलन है और इसका विश्लेषणात्मक व्यंजक ज्ञात कीजिए।

समाधान। रैखिक फलन y=5x-3 को R पर परिभाषित किया गया है, R पर बढ़ता है, और इसका परिसर R है। इसलिए, R पर व्युत्क्रम फलन मौजूद है। इसकी विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति को खोजने के लिए, हम समीकरण y=5x-3 के संबंध में हल करते हैं एक्स; हमें यह वांछित प्रतिलोम फलन प्राप्त होता है। इसे आर द्वारा परिभाषित और बढ़ाया जाता है।

उदाहरण 2:दिखाएँ कि फलन y=x 2 , x≤0 के लिए एक प्रतिलोम फलन है और इसका विश्लेषणात्मक व्यंजक ज्ञात कीजिए।

फलन निरंतर है, परिभाषा के अपने क्षेत्र में एकरस है, इसलिए, यह उलटा है। परिभाषा के डोमेन और फ़ंक्शन के मानों के सेट का विश्लेषण करने के बाद, व्युत्क्रम फ़ंक्शन के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के बारे में एक संगत निष्कर्ष निकाला जाता है।

दूसरा छात्र के बारे में एक प्रस्तुति देता है ग्राफिकउलटा फ़ंक्शन कैसे खोजें। अपने स्पष्टीकरण के दौरान, छात्र इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड की क्षमताओं का उपयोग करता है।

फ़ंक्शन y=f -1 (x) का ग्राफ प्राप्त करने के लिए, फ़ंक्शन y=f(x) के विपरीत, फ़ंक्शन के ग्राफ को y=f(x) सममित रूप से सीधी रेखा के संबंध में बदलना आवश्यक है वाई = एक्स।

इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड पर स्पष्टीकरण के दौरान, निम्नलिखित कार्य किया जाता है:

एक ही निर्देशांक प्रणाली में किसी फलन का आलेख और उसके प्रतिलोम फलन का आलेख बनाइए। प्रतिलोम फलन के लिए विश्लेषणात्मक व्यंजक लिखिए।

4. नई सामग्री का प्राथमिक निर्धारण।

लक्ष्य - अध्ययन की गई सामग्री की समझ की शुद्धता और जागरूकता स्थापित करना, सामग्री की प्राथमिक समझ में अंतराल की पहचान करना, उन्हें ठीक करना।

छात्रों को जोड़े में बांटा गया है। उन्हें कार्यों के साथ पत्रक दिए जाते हैं जिसमें वे जोड़े में काम करते हैं। काम पूरा करने का समय सीमित है (5-7 मिनट)। छात्रों की एक जोड़ी कंप्यूटर पर काम करती है, प्रोजेक्टर इस समय के लिए बंद है और बाकी बच्चे यह नहीं देख सकते हैं कि छात्र कंप्यूटर पर कैसे काम करते हैं।

समय के अंत में (यह माना जाता है कि अधिकांश छात्रों ने काम पूरा कर लिया है), इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड (प्रोजेक्टर फिर से चालू हो जाता है) छात्रों के काम को दिखाता है, जहां परीक्षण के दौरान यह स्पष्ट किया जाता है कि कार्य पूरा हो गया था जोड़े। यदि आवश्यक हो, शिक्षक सुधारात्मक, व्याख्यात्मक कार्य करता है।

जोड़े में स्वतंत्र कार्य<परिशिष्ट 2 >

5. पाठ का परिणाम।व्याख्यान से पहले पूछे गए प्रश्नों पर। पाठ के लिए ग्रेड की घोषणा।

गृहकार्य 10. №№ 10.6 (ए, सी) 10.8-10.9 (बी) 10.12 (बी)

बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 10 शैक्षणिक संस्थानों (प्रोफाइल स्तर) / ए.जी. मोर्दकोविच, एल.ओ. डेनिसचेवा, टी.ए. कोरेशकोवा और अन्य के लिए 2 भागों में; ईडी। ए.जी. मोर्दकोविच, एम: मेनेमोसिन, 2007

परस्पर उलटा कार्य।

फ़ंक्शन को सख्ती से मोनोटोन (बढ़ते या घटते) और परिभाषा के क्षेत्र पर निरंतर होने दें, इस फ़ंक्शन की सीमा, फिर अंतराल पर मूल्यों की एक श्रृंखला के साथ एक निरंतर सख्ती से मोनोटोन फ़ंक्शन परिभाषित किया जाता है, जो के लिए उलटा है .

दूसरे शब्दों में, किसी विशिष्ट अंतराल पर किसी फ़ंक्शन के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन के बारे में बात करना समझ में आता है यदि इस अंतराल पर या तो बढ़ता या घटता है।

कार्यों एफ और जी पारस्परिक कहलाते हैं।

व्युत्क्रम कार्यों की अवधारणा पर बिल्कुल विचार क्यों करें?

यह समीकरणों को हल करने की समस्या के कारण होता है। समाधान केवल व्युत्क्रम कार्यों के संदर्भ में लिखे जाते हैं।

विचार करना व्युत्क्रम कार्यों को खोजने के कुछ उदाहरण .

आइए रैखिक पारस्परिक रूप से व्यस्त कार्यों से शुरू करें।

इसके विपरीत फलन ज्ञात कीजिए।

यह फलन रैखिक है, इसका आलेख एक सीधी रेखा है। इसलिए, परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन एकरस है। इसलिए, हम परिभाषा के पूरे क्षेत्र में इसके विपरीत फलन की तलाश करेंगे।

.

व्यक्त करना एक्स आर - पार आप (दूसरे शब्दों में, के लिए समीकरण हल करें एक्स ).

- यह उलटा कार्य है, सत्य यहाँ है आप एक तर्क है, और एक्स इस तर्क का कार्य है। अंकन में आदतों को न तोड़ने के लिए (यह मौलिक महत्व का नहीं है), अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करना एक्स और आप , लिखेंगे .

इस प्रकार, और परस्पर प्रतिलोम फलन हैं।

आइए परस्पर व्युत्क्रम रैखिक कार्यों का एक चित्रमय चित्रण दें।

जाहिर है, सीधी रेखा के संबंध में ग्राफ सममित हैं। (पहली और तीसरी तिमाही के द्विभाजक)। यह परस्पर प्रतिलोम फलनों के गुणों में से एक है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

यह फ़ंक्शन वर्गाकार है, ग्राफ़ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक परवलय है।

.

फ़ंक्शन जैसे-जैसे बढ़ता है और घटता जाता है। इसका अर्थ यह है कि कोई व्यक्ति दो अंतरालों में से किसी एक पर दिए गए प्रतिलोम फलन की खोज कर सकता है।

मान लीजिए, और, x और y को आपस में बदलने पर, हमें दिए गए अंतराल पर एक प्रतिलोम फलन प्राप्त होता है: .

प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

यह फ़ंक्शन घन है, ग्राफ़ एक बिंदु पर शीर्ष के साथ एक घन परवलय है।

.

पर समारोह बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि परिभाषा के पूरे डोमेन पर किसी दिए गए एक के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन की खोज करना संभव है।

, और x और y को आपस में बदलने पर, हमें व्युत्क्रम फलन प्राप्त होता है।

आइए इसे एक ग्राफ पर स्पष्ट करते हैं।

आइए सूचीबद्ध करें परस्पर प्रतिलोम फलनों के गुण और।

और।

यह पहली संपत्ति से देखा जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन का दायरा फ़ंक्शन के दायरे से मेल खाता है और इसके विपरीत।

परस्पर प्रतिलोम फलनों के आलेख एक सीधी रेखा के सापेक्ष सममित होते हैं।

बढ़ता है तो बढ़ता है, घटता है तो घटता है।

किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, उलटा फ़ंक्शन खोजें:

किसी दिए गए फलन के लिए, प्रतिलोम ज्ञात कीजिए और दिए गए और प्रतिलोम फलनों को आलेखित कीजिए: ज्ञात कीजिए कि दिए गए फलन के लिए कोई प्रतिलोम फलन है या नहीं। यदि हाँ, तो व्युत्क्रम फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित करें, दिए गए और व्युत्क्रम फ़ंक्शन को प्लॉट करें: फलन के विपरीत फलन का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए यदि:

1. पारस्परिक रूप से प्रतिलोम फलनों में से प्रत्येक का परिसर ज्ञात कीजिए और, यदि उनके परिसर दिए गए हैं:

क्या फलन परस्पर प्रतिलोम हैं यदि:

1. दिए गए एक का विलोम फलन ज्ञात कीजिए। एक ही समन्वय प्रणाली पर प्लॉट इन परस्पर उलटा कार्यों के रेखांकन:

   क्या यह कार्य स्वयं के विपरीत है: दिए गए फ़ंक्शन के विपरीत एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें और इसके ग्राफ को प्लॉट करें: