Comment trouver la vitesse de déplacement moyenne. Tâches à vitesse moyenne

Calculer vitesse moyenne utilisez la formule simple : Vitesse = Distance parcourue Temps (\displaystyle (\text(Speed))=(\frac (\text(Distance parcourue))(\text(Time)))). Mais dans certaines tâches, deux valeurs de vitesse sont données - sur différentes parties de la distance parcourue ou à des intervalles de temps différents. Dans ces cas, vous devez utiliser d'autres formules pour calculer la vitesse moyenne. Les compétences en résolution de problèmes peuvent être utiles pour vrai vie, et les tâches elles-mêmes peuvent être trouvées dans les examens, alors souvenez-vous des formules et comprenez les principes de résolution des problèmes.

Pas

Une valeur de chemin et une valeur de temps

la longueur du chemin parcouru par le corps ;
le temps qu'il a fallu au corps pour parcourir ce chemin.
Exemple : une voiture a parcouru 150 km en 3 heures. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture.

Formule : où v (\ displaystyle v)- vitesse moyenne, s (\ displaystyle s)- distance parcourue, t (\displaystyle t)- le temps qu'il a fallu pour voyager.

Remplacez la distance parcourue dans la formule. Remplacez la valeur du chemin par s (\ displaystyle s).
- Dans notre exemple, la voiture a parcouru 150 km. La formule s'écrira ainsi : v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).
Branchez le temps dans la formule. Remplacez la valeur de temps par t (\displaystyle t).
- Dans notre exemple, la voiture a roulé pendant 3 heures, la formule s'écrira comme suit :.
Divisez le chemin par le temps. Vous trouverez la vitesse moyenne (habituellement elle est mesurée en kilomètres par heure).
- Dans notre exemple :
  v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
  
  Ainsi, si une voiture parcourait 150 km en 3 heures, alors elle roulait à une vitesse moyenne de 50 km/h.
Calculez la distance totale parcourue. Pour ce faire, additionnez les valeurs des sections parcourues du chemin. Remplacez la distance totale parcourue dans la formule (au lieu de s (\ displaystyle s)).
- Dans notre exemple, la voiture a parcouru 150 km, 120 km et 70 km. Distance totale parcourue : .
T (\displaystyle t)).
- . Ainsi, la formule s'écrira :.
- Dans notre exemple :
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  
  Ainsi, si une voiture parcourait 150 km en 3 heures, 120 km en 2 heures, 70 km en 1 heure, alors elle roulait à une vitesse moyenne de 57 km/h (arrondie).

Plusieurs vitesses et plusieurs fois

Regardez ces valeurs. Utilisez cette méthode si les quantités suivantes sont données :

Notez la formule de calcul de la vitesse moyenne. Formule: v = s t (\displaystyle v=(\frac(s)(t))), où v (\ displaystyle v)- vitesse moyenne, s (\ displaystyle s)- la distance totale parcourue, t (\displaystyle t) est le temps total qu'il a fallu pour voyager.
Calculer le chemin commun. Pour cela, multipliez chaque vitesse par le temps correspondant. Cela vous donnera la longueur de chaque section du chemin. Pour calculer le chemin total, additionnez les valeurs des segments de chemin parcourus. Remplacez la distance totale parcourue dans la formule (au lieu de s (\ displaystyle s)).
- Par example:
  50 km/h pendant 3h = 50 × 3 = 150 (\displaystyle 50\times 3=150) kilomètres
  60 km/h pendant 2h = 60 × 2 = 120 (\displaystyle 60\times 2=120) kilomètres
  70 km/h pendant 1h = 70 × 1 = 70 (\displaystyle 70\times 1=70) kilomètres
  Distance totale parcourue : 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150+120+70=340) km. Ainsi, la formule s'écrira : v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).
Calculez le temps de trajet total. Pour ce faire, ajoutez les valeurs du temps pendant lequel chaque section du chemin a été parcourue. Insérez le temps total dans la formule (au lieu de t (\displaystyle t)).
- Dans notre exemple, la voiture a roulé pendant 3 heures, 2 heures et 1 heure, la durée totale du trajet est de : 3 + 2 + 1 = 6 (\displaystyle 3+2+1=6). Ainsi, la formule s'écrira : v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).
Divisez la distance totale par le temps total. Vous trouverez la vitesse moyenne.
- Dans notre exemple :
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  v = 56 , 67 (\displaystyle v=56,67)
  Ainsi, si une voiture roulait à une vitesse de 50 km/h pendant 3 heures, à une vitesse de 60 km/h pendant 2 heures, à une vitesse de 70 km/h pendant 1 heure, alors elle roulait à une vitesse moyenne vitesse de 57 km/h (arrondie).

Par deux vitesses et deux temps identiques

Regardez ces valeurs. Utilisez cette méthode si les quantités et conditions suivantes sont données :
- deux vitesses ou plus avec lesquelles le corps s'est déplacé;
- un corps se déplace à certaines vitesses pendant des périodes de temps égales.
- Par exemple : une voiture a roulé à une vitesse de 40 km/h pendant 2 heures et à une vitesse de 60 km/h pendant encore 2 heures. Trouvez la vitesse moyenne de la voiture sur l'ensemble du trajet.
Écrivez la formule de calcul de la vitesse moyenne étant donné deux vitesses auxquelles un corps se déplace pendant des périodes de temps égales. Formule: v = une + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), où v (\ displaystyle v)- vitesse moyenne, un (\displaystyle un)- la vitesse du corps pendant la première période de temps, b (\ displaystyle b)- la vitesse du corps pendant la deuxième (identique à la première) période de temps.
- Dans de telles tâches, les valeurs des intervalles de temps ne sont pas importantes - l'essentiel est qu'elles soient égales.
- Étant donné plusieurs vitesses et des intervalles de temps égaux, réécrivez la formule comme suit : v = une + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3))) ou alors v = une + b + c + ré 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Si les intervalles de temps sont égaux, additionnez toutes les valeurs de vitesse et divisez-les par le nombre de ces valeurs.
Remplacez les valeurs de vitesse dans la formule. Peu importe la valeur à remplacer un (\displaystyle un), et lequel au lieu de b (\ displaystyle b).
- Par exemple, si la première vitesse est de 40 km/h et la seconde de 60 km/h, la formule serait : .
Additionnez les deux vitesses. Puis divisez la somme par deux. Vous trouverez la vitesse moyenne pour tout le trajet.
- Par example:
  v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
  v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
  v=50 (\displaystyle v=50)
  Ainsi, si la voiture roulait à 40 km/h pendant 2 heures et à 60 km/h pendant encore 2 heures, la vitesse moyenne de la voiture pour l'ensemble du trajet était de 50 km/h.

Très simple! Vous devez diviser tout le chemin par le temps que l'objet du mouvement était en route. Autrement dit, on peut définir la vitesse moyenne comme la moyenne arithmétique de toutes les vitesses de l'objet. Mais il y a quelques nuances dans la résolution des problèmes dans ce domaine.

Par exemple, pour calculer la vitesse moyenne, on donne la version suivante du problème : le voyageur marche d'abord à une vitesse de 4 km/h pendant une heure. Puis une voiture qui passait l'a "récupéré", et il a fait le reste du trajet en 15 minutes. Et la voiture roulait à une vitesse de 60 km/h. Comment déterminer la vitesse moyenne d'un voyageur ?

Il ne faut pas simplement additionner 4 km et 60 et les diviser en deux, ce ne sera pas la bonne solution ! Après tout, les chemins parcourus à pied et en voiture nous sont inconnus. Donc, vous devez d'abord calculer le chemin complet.

La première partie du chemin est facile à trouver : 4 km par heure X 1 heure = 4 km

Avec la deuxième partie du chemin petits problèmes: La vitesse est exprimée en heures et le temps de conduite est exprimé en minutes. Cette nuance rend souvent difficile de trouver la bonne réponse lorsque des questions sont posées, comment trouver la vitesse, le chemin ou le temps moyen.

Exprimez 15 minutes en heures. Pour ces 15 minutes : 60 minutes = 0,25 heures. Calculons maintenant le chemin parcouru par le voyageur lors d'un trajet ?

60 km/h X 0,25 h = 15 km

Désormais, il ne sera plus possible de retrouver l'intégralité du chemin parcouru par le voyageur travail spécial: 15 km + 4 km = 19 km.

Le temps de trajet est également assez facile à calculer. C'est 1 heure + 0,25 heure = 1,25 heure.

Et maintenant, il est déjà clair comment trouver la vitesse moyenne: vous devez diviser tout le chemin par le temps que le voyageur a passé pour le surmonter. Soit 19 km : 1,25 heure = 15,2 km/h.

Il y a une telle anecdote dans le sujet. Un homme pressé demande au propriétaire du champ : « Puis-je aller à la gare par votre site ? Je suis un peu en retard et j'aimerais raccourcir mon chemin en allant tout droit. Ensuite, je vais certainement arriver au train, qui part à 16h45 ! « Bien sûr, vous pouvez raccourcir votre chemin en passant par ma prairie ! Et si mon taureau vous remarque là-bas, alors vous aurez même le temps pour ce train qui part à 16 heures et 15 minutes.

Cette situation comique, quant à elle, est directement liée à un concept mathématique tel que la vitesse moyenne de déplacement. Après tout, un passager potentiel essaie de raccourcir son trajet pour la simple raison qu'il connaît la vitesse moyenne de son déplacement, par exemple 5 km par heure. Et le piéton, sachant que le détour par la route goudronnée est de 7,5 km, ayant fait mentalement des calculs simples, comprend qu'il aura besoin d'une heure et demie sur cette route (7,5 km : 5 km/h = 1,5 heure).

Lui, quittant la maison trop tard, est limité dans le temps, et décide donc de raccourcir son chemin.

Et nous voilà face à la première règle qui nous dicte comment trouver la vitesse moyenne de déplacement : étant donné distance directe entre points extrêmes chemin ou calcul précis De ce qui précède, il est clair pour tout le monde: il faut effectuer un calcul, en tenant compte précisément de la trajectoire du chemin.

En raccourcissant le trajet, mais sans modifier sa vitesse moyenne, l'objet face à un piéton reçoit un gain de temps. L'agriculteur, en supposant la vitesse moyenne du "sprinter" fuyant le taureau en colère, fait également calculs simples et vous donne le résultat.

Les automobilistes utilisent souvent la deuxième règle, importante, pour calculer la vitesse moyenne, qui concerne le temps passé sur la route. Cela concerne la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne au cas où l'objet s'arrêterait en cours de route.

Dans cette option, généralement, s'il n'y a pas de clarifications supplémentaires, pour le calcul qu'ils prennent à temps plein y compris les arrêts. Ainsi, un automobiliste peut dire que sa vitesse moyenne le matin sur route libre est bien supérieure à la vitesse moyenne en heure de pointe, bien que le compteur de vitesse affiche le même chiffre dans les deux cas.

Connaissant ces chiffres, un conducteur expérimenté ne sera jamais en retard nulle part, ayant supposé à l'avance quelle sera sa vitesse moyenne de déplacement dans la ville. temps différent jours.

Il y a des valeurs moyennes dont la mauvaise définition est devenue une anecdote ou une parabole. Tout calcul incorrectement effectué est commenté par une référence communément comprise à un résultat aussi délibérément absurde. Tout le monde, par exemple, provoquera un sourire de compréhension sarcastique de l'expression "température moyenne à l'hôpital". Cependant, les mêmes experts additionnent souvent, sans hésitation, les vitesses sur des sections distinctes du chemin et divisent la somme calculée par le nombre de ces sections afin d'obtenir une réponse tout aussi dénuée de sens. Rappel du cours de mécanique lycée comment trouver la vitesse moyenne de la bonne manière et non de manière absurde.

Analogue de "température moyenne" en mécanique

Dans quels cas les conditions astucieusement formulées du problème nous poussent-elles à une réponse hâtive et irréfléchie ? Si l'on parle des "parties" du chemin, mais que leur longueur n'est pas indiquée, cela alarme même une personne qui n'est pas très expérimentée dans la résolution de tels exemples. Mais si la tâche indique directement des intervalles égaux, par exemple, "le train a parcouru la première moitié du trajet à une vitesse ...", ou "le piéton a parcouru le premier tiers du trajet à une vitesse ...", et puis il détaille comment l'objet s'est déplacé sur les surfaces égales restantes, c'est-à-dire que le rapport est connu S 1 \u003d S 2 \u003d ... \u003d S n et valeurs exactes vitesses v 1, v 2, ... v n, notre pensée donne souvent un raté impardonnable. La moyenne arithmétique des vitesses est considérée, c'est-à-dire valeurs connues v additionner et diviser en n. En conséquence, la réponse est fausse.

"Formules" simples pour calculer des quantités en mouvement uniforme

Et pour toute la distance parcourue, et pour ses sections individuelles, dans le cas de la moyenne de la vitesse, les relations écrites pour un mouvement uniforme sont valables :

S=vt(1), la « formule » du chemin ;
t=S/v(2), "formule" pour calculer le temps de mouvement ;
v=S/t(3), "formule" pour déterminer la vitesse moyenne sur le tronçon de voie S passé pendant le temps t.

C'est-à-dire pour trouver la valeur désirée v en utilisant la relation (3), nous avons besoin de connaître exactement les deux autres. C'est précisément lors de la résolution de la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne de déplacement que nous devons tout d'abord déterminer quelle est la distance totale parcourue S et quelle est la durée totale du mouvement t.

Détection mathématique de l'erreur latente

Dans l'exemple que nous résolvons, le chemin parcouru par le corps (train ou piéton) sera égal au produit nS n(parce que nous n une fois que nous additionnons des sections égales du chemin, dans les exemples donnés - moitiés, n=2, ou des tiers, n=3). Nous ne savons rien du temps de trajet total. Comment déterminer la vitesse moyenne si le dénominateur de la fraction (3) n'est pas défini explicitement ? Nous utilisons la relation (2), pour chaque section du chemin nous déterminons t n = S n : v n. Montant les intervalles de temps ainsi calculés seront écrits sous la ligne de la fraction (3). Il est clair que pour se débarrasser des signes "+", vous devez donner tous S n : v nà un dénominateur commun. Le résultat est une "fraction de deux étages". Ensuite, nous utilisons la règle : le dénominateur du dénominateur entre dans le numérateur. Par conséquent, pour le problème avec le train après la réduction de S n on a v cf \u003d nv 1 v 2 : v 1 + v 2, n \u003d 2 (4) . Pour le cas d'un piéton, la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne est encore plus difficile à résoudre : v cf \u003d nv 1 v 2 v 3 : v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1,n=3(5).

Confirmation explicite de l'erreur "en chiffres"

Afin de "sur les doigts" confirmer que la définition de la moyenne arithmétique est une manière erronée lors du calcul vMer, on concrétise l'exemple en remplaçant les lettres abstraites par des chiffres. Pour le train, prends la vitesse 40km/h et 60km/h(mauvaise réponse - 50 km/h). Pour le piéton 5 , 6 et 4km/h(moyen - 5km/h). Il est facile de voir, en substituant les valeurs dans les relations (4) et (5), que les bonnes réponses sont pour la locomotive 48km/h et pour un humain 4,(864) km/h(un décimal périodique, le résultat n'est mathématiquement pas très joli).

Quand la moyenne arithmétique échoue

Si le problème est formulé comme suit : « Pour des intervalles de temps égaux, le corps s'est d'abord déplacé avec une vitesse v1, alors v2, v 3 et ainsi de suite", une réponse rapide à la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne peut être trouvée dans le mauvais sens. Laissez le lecteur voir par lui-même en additionnant des périodes de temps égales au dénominateur et en utilisant au numérateur vcf rapport (1). C'est peut-être le seul cas où une méthode erronée conduit à un résultat correct. Mais pour des calculs précis garantis, vous devez utiliser le seul algorithme correct, se référant invariablement à la fraction v cf = S : t.

Algorithme pour toutes les occasions

Afin d'éviter les erreurs à coup sûr, lors de la résolution de la question de savoir comment trouver la vitesse moyenne, il suffit de se souvenir et de suivre une simple séquence d'actions:

déterminer le chemin complet en additionnant les longueurs de ses sections individuelles ;
mettre tout le chemin;
divisez le premier résultat par le second, les valeurs inconnues non spécifiées dans le problème sont réduites dans ce cas (sous réserve de la formulation correcte des conditions).

L'article considère les cas les plus simples où les données initiales sont données pour des parties égales du temps ou des sections égales du chemin. Dans le cas général, le rapport des intervalles chronologiques ou des distances parcourues par le corps peut être le plus arbitraire (mais défini mathématiquement, exprimé sous la forme d'un entier ou d'une fraction spécifique). La règle de référence au rapport v cf = S : t absolument universel et n'échoue jamais, peu importe à quel point les transformations algébriques doivent être effectuées à première vue.

Enfin, notons que pour les lecteurs attentifs, l'importance pratique d'utiliser le bon algorithme n'est pas passée inaperçue. La vitesse moyenne correctement calculée dans les exemples ci-dessus s'est avérée légèrement inférieure à la "température moyenne" sur la piste. Par conséquent, un faux algorithme pour les systèmes qui enregistrent les excès de vitesse signifierait Suite des règlements erronés de la police de la circulation envoyés dans des "lettres de bonheur" aux conducteurs.

Cet article explique comment trouver la vitesse moyenne. La définition de ce concept est donnée, et deux cas particuliers importants de recherche de la vitesse moyenne sont considérés. Introduit analyse détaillée tâches pour trouver la vitesse moyenne d'un corps d'un tuteur en mathématiques et en physique.

Détermination de la vitesse moyenne

vitesse moyenne le mouvement du corps s'appelle le rapport du chemin parcouru par le corps au temps pendant lequel le corps s'est déplacé :

Apprenons à le trouver sur l'exemple du problème suivant :

Veuillez noter que dans ce cas cette valeur ne coïncidait pas avec la moyenne arithmétique des vitesses et , qui est égale à :
Mme.

Cas particuliers de recherche de la vitesse moyenne

1. Deux sections identiques du chemin. Laissez le corps se déplacer la première moitié du chemin avec la vitesse , et la seconde moitié du chemin — avec la vitesse . Il est nécessaire de trouver la vitesse moyenne du corps.

2. Deux intervalles de mouvement identiques. Laissez le corps se déplacer à une vitesse pendant une certaine période de temps, puis a commencé à se déplacer à une vitesse pendant la même période de temps. Il est nécessaire de trouver la vitesse moyenne du corps.

Ici, nous avons obtenu le seul cas où la vitesse moyenne de déplacement coïncidait avec les vitesses moyennes arithmétiques et sur deux sections du chemin.

Résolvons le problème à la fin Olympiade panrusseécoliers en physique, qui a eu lieu l'année dernière, qui est liée au sujet de notre leçon d'aujourd'hui.

Le corps bougeait avec, et la vitesse moyenne de déplacement était de 4 m/s. On sait que pendant les dernières secondes la vitesse moyenne du même corps était de 10 m/s. Déterminer la vitesse moyenne du corps pour les premiers s de mouvement.

La distance parcourue par le corps est de : m. Vous pouvez également trouver le chemin que le corps a parcouru pour le dernier depuis son mouvement : m. Puis pour le premier depuis son mouvement, le corps a franchi le chemin en m. Par conséquent, la vitesse moyenne sur cette section du chemin a été:
Mme.

Ils aiment proposer des tâches pour trouver la vitesse moyenne de déplacement à l'examen d'État unifié et à l'OGE en physique, aux examens d'entrée et aux olympiades. Chaque étudiant devrait apprendre à résoudre ces problèmes s'il envisage de poursuivre ses études à l'université. Un ami bien informé peut aider à faire face à cette tâche, professeur de l'école ou tuteur en mathématiques et physique. Bonne chance avec vos études de physique!

Sergueï Valérievitch

Le concept de vitesse est l'un des principaux concepts de la cinématique.
Beaucoup de gens savent probablement que la vitesse est quantité physique, montrant à quelle vitesse (ou à quelle vitesse) un corps en mouvement se déplace dans l'espace. Bien sûr nous parlons sur le déplacement dans le système de référence choisi. Savez-vous cependant que ce n'est pas un, mais trois concepts de vitesse qui sont utilisés ? Il y a de la vitesse dans ce moment temps, appelée vitesse instantanée, et il existe deux concepts de vitesse moyenne pour une période de temps donnée - la vitesse moyenne au sol (en anglais speed) et la vitesse moyenne de déplacement (en anglais Velocity).
Nous allons considérer un point matériel dans le système de coordonnées X, y, z(Fig. a).

Position UN points à la fois t caractériser par des coordonnées x(t), y(t), z(t), représentant les trois composantes du rayon vecteur ( t). Le point se déplace, sa position dans le système de coordonnées sélectionné change au fil du temps - la fin du rayon vecteur ( t) décrit une courbe appelée la trajectoire du point mobile.
La trajectoire décrite pour l'intervalle de temps de t avant que t + ∆t représenté sur la figure b.

Par B indique la position du point à l'instant t + ∆t(il est fixé par le rayon vecteur ( t + ∆t)). Laisser être ∆s est la longueur de la trajectoire curviligne considérée, c'est-à-dire le chemin parcouru par le point dans le temps depuis t avant que t + ∆t.
La vitesse au sol moyenne d'un point pendant une période de temps donnée est déterminée par le rapport

Il est évident que v p − scalaire; il n'est caractérisé que par une valeur numérique.
Le vecteur illustré à la figure b

s'appelle le déplacement d'un point matériel dans le temps de t avant que t + ∆t.
La vitesse moyenne de déplacement pour une période de temps donnée est déterminée par le rapport

Il est évident que vcf− quantité vectorielle. direction du vecteur vcf coïncide avec la direction du mouvement Ar.
A noter que dans le cas d'un mouvement rectiligne, la vitesse sol moyenne du point mobile coïncide avec le module de la vitesse moyenne en déplacement.
Le mouvement d'un point le long d'une trajectoire rectiligne ou curviligne est dit uniforme si, dans la relation (1), la valeur vï ne dépend pas de Δt. Si, par exemple, on réduit Δt 2 fois, puis la longueur du chemin parcouru par le point ∆s diminuera de 2 fois. En mouvement uniforme, un point parcourt un chemin de longueur égale dans des intervalles de temps égaux.
Question:
Pouvons-nous supposer qu'avec un mouvement uniforme d'un point de Δt ne dépend pas aussi du vecteur cp de la vitesse moyenne par rapport au déplacement ?

Répondre:
Ceci ne peut être considéré que dans le cas d'un mouvement rectiligne (dans ce cas, on rappelle que le module de la vitesse moyenne de déplacement est égal à la vitesse sol moyenne). Si le mouvement uniforme est effectué le long d'une trajectoire curviligne, alors avec un changement dans l'intervalle de moyenne Δt le module et la direction du vecteur de vitesse moyenne le long du déplacement changeront. Avec uniforme mouvement curviligne intervalles de temps égaux Δt correspondra à différents vecteurs de déplacement Ar(et donc des vecteurs différents vcf).
Certes, dans le cas Mouvement uniforme autour du cercle, des intervalles de temps égaux correspondront à des valeurs égales du module de déplacement |r|(et donc égal |v cf |). Mais les directions des déplacements (et donc les vecteurs vcf) et dans ce cas sera différent pour le même Δt. Cela se voit sur la figure

Où un point se déplaçant uniformément le long d'un cercle décrit des arcs égaux dans des intervalles de temps égaux UN B, avant JC, CD. Bien que les vecteurs de déplacement 1 , 2 , 3 ont les mêmes modules, mais leurs directions sont différentes, il n'est donc pas nécessaire de parler de l'égalité de ces vecteurs.
Noter
Parmi les deux vitesses moyennes dans les problèmes, la vitesse au sol moyenne est généralement considérée et la vitesse de déplacement moyenne est utilisée assez rarement. Cependant, il mérite qu'on s'y attarde, puisqu'il permet d'introduire la notion de vitesse instantanée.