Sinus teoremasi ikkita radiusga teng. Sinus teoremasining isboti

Biz aylana ichiga yozilgan ixtiyoriy uchburchakni quramiz. Uni ABC deb belgilaymiz.
Butun teoremani isbotlash uchun uchburchakning o'lchamlari ixtiyoriy ravishda tanlanganligi sababli, bir ixtiyoriy tomonning unga qarama-qarshi burchakka nisbati 2R ga teng ekanligini isbotlash kifoya. 2R = a / sin a bo'lsin, ya'ni chizma bo'yicha 2R = BC / sin A ni olsak.

Cheklangan doira uchun BD diametrini chizing. Hosil boʻlgan BCD uchburchagi toʻgʻri burchakli, chunki uning gipotenuzasi chegaralangan aylana diametrida yotadi (aylanaga chizilgan burchaklar xossasi).

Xuddi shu yoyga asoslangan aylana ichiga chizilgan burchaklar teng bo'lganligi sababli, CDB burchagi CAB burchagiga teng (agar A va D nuqtalari BC chizig'ining bir tomonida bo'lsa) yoki p ga teng - CAB (aks holda).

Keling, xususiyatlarni ko'rib chiqaylik trigonometrik funktsiyalar. Sin(p - a) = sin a bo'lganligi sababli, uchburchakni qurish uchun ko'rsatilgan variantlar hali ham bir xil natijaga olib keladi.

2R = BC / sin A chizmasiga ko'ra 2R = a / sin a qiymatini hisoblang. Buning uchun sin A o'rniga to'g'ri burchakli uchburchakning tegishli tomonlari nisbati qo'yiladi.

2R=BC/sinA
2R=BC/(BC/DB)
2R = JB

Va JB aylananing diametri sifatida qurilganligi sababli, tenglik to'g'ri.
Uchburchakning qolgan ikki tomoni uchun bir xil fikrni takrorlab, biz quyidagilarni olamiz:

Sinus teoremasi isbotlangan.

Sinus teoremasi

Eslatma. Bu geometriya masalalari bo'yicha darsning bir qismidir (sinus teoremasi bo'limi). Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing. Vazifalarda "kvadrat ildiz" belgisi o'rniga sqrt () funktsiyasi qo'llaniladi, bunda sqrt belgidir. kvadrat ildiz, va qavslar ichida ildiz ifodasi.

Sinus teoremasi:
Uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir yoki kengaytirilgan formulada:
a / sin a = b / sin b = c / sin g = 2R
Bu erda R - aylananing radiusi

Nazariya - teoremani shakllantirish va isbotlash uchun batafsil "Sinuslar teoremasi" bobiga qarang. .

Vazifa

XYZ uchburchakda X=30 burchak Z=15. YQ ga perpendikulyar XZ tomonini XQ va QZ qismlarga ajratadi.QZ=1,5m bo‘lsa, XY ni toping.

Qaror.
Balandlik XYQ va ZYQ ikkita to'g'ri burchakli uchburchaklarni hosil qildi.
Muammoni hal qilish uchun sinus teoremasidan foydalanamiz.
QZ / gunoh(QYZ) = QY / gunoh(QZY)

QZY = 15 daraja, Shunga ko'ra, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75

Uchburchak balandligining uzunligi endi ma'lum bo'lganligi sababli, biz XY ni bir xil sinus teoremasi yordamida topamiz.

QY / gunoh (30) = XY / gunoh (90)

Keling, ba'zi trigonometrik funktsiyalarning jadval qiymatlarini hisobga olamiz:

30 graduslik sinus sin(30) = 1/2
90 daraja sinus sin(90) = 1

QY = XY gunoh(30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m

Javob: 0,8 m yoki 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)

Sinus teoremasi (2-qism)

Eslatma. Bu geometriya masalalari bo'yicha darsning bir qismidir (sinus teoremasi bo'limi). Agar siz geometriyadagi muammoni hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu erda yo'q - bu haqda forumda yozing .

Nazariyani "Sinuslar teoremasi" bobida batafsil ko'ring. .

Vazifa

ABC uchburchakning AB tomoni 16 sm. A burchagi 30 daraja. B burchagi 105 daraja. BC tomonining uzunligini hisoblang.

Qaror.
Sinus teoremasiga ko'ra, uchburchakning tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir:
a / sin a = b / sin b = c / sin g

Shunday qilib
BC / sin a = AB / sin g

Biz uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradus ekanligiga asoslanib, S burchakning qiymatini topamiz.
C \u003d 180 - 30 -105 \u003d 45 daraja.

Qayerda:
Miloddan avvalgi / gunoh 30 ° = 16 / gunoh 45 °

Miloddan avvalgi = 16 gunoh 30 ° / gunoh 45 °

Trigonometrik funktsiyalar jadvaliga murojaat qilib, biz quyidagilarni topamiz:

Miloddan avvalgi = (16 * 1/2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 sm

Javob: 16 / √2

Vazifa.
ABC uchburchakda, burchak A \u003d a, burchak C \u003d b, BC \u003d 7 sm, BH - uchburchakning balandligi.
AN toping

Teoremaning birinchi qismi: ixtiyoriy uchburchakning sinuslariga proporsional tomonlari qarama-qarshi burchaklar, ya'ni:

Teoremaning ikkinchi qismi: har bir kasr berilgan uchburchak atrofida aylananing diametriga teng, ya'ni:.

Matematika o'qituvchisining sharhi: sinus teoremasining ikkinchi qismidan foydalanish doira uchun deyarli har ikkinchi raqobat muammosida qo'yilgan. Nega? Gap shundaki, tenglik uchburchakning faqat ikkita elementiga ega bo'lgan aylananing radiusini topishga imkon beradi. Bu juda tez-tez kuchli muammolarni tuzuvchilar tomonidan qo'llaniladi, ular shartni shunday tanlaydilarki, uchburchakning boshqa elementlari (va butun rasm) umuman joylashmaydi! "Rasm" suzuvchi bo'ladi. Bu holat imtihondagi ishni juda qiyinlashtiradi, chunki u o'ziga xos xususiyatni chetlab o'tishga imkon bermaydi.

Sinus teoremasining isboti:

Atanasyanning darsligi bo'yicha
Tomonlari a, b, c va qarama-qarshi burchaklari A, B va C bo'lgan har qanday uchburchak uchun tenglik to'g'ri ekanligini isbotlaymiz: .
B cho'qqisidan BH balandligini chizing. Ikki holat mumkin:
1) H nuqtasi AC tomonida yotadi (bu va o'tkir bo'lganda mumkin).
O'tkir burchak sinusining ta'rifi bo'yicha to'g'ri uchburchak ABH yozamiz

Xuddi shunday, CBH uchburchagida bizda mavjud. BH iboralarini bir-biriga tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
2)H AC tomonining kengaytmasida yotsin (masalan, A ning chap tomonida). Bu sodir bo'ladi, agar - ahmoq. Xuddi shunday, ABH uchburchakda o'tkir burchak A sinusining ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni yozamiz, lekin qo'shni burchaklarning sinuslari teng bo'lgani uchun, bu tenglikni bilan almashtiramiz, biz birinchi holatda bo'lgani kabi olamiz. Shuning uchun, A va C burchaklaridan qat'i nazar, tenglik to'g'ri bo'ladi.
Uning ikkala qismini bo'lganimizdan keyin olamiz . Ikkinchi juft kasrlarning tengligi ham xuddi shunday isbotlangan

Pogorelov darsligi bo'yicha sinus teoremasining isboti:

Ikki burchak A va C uchun uchburchak maydoni formulasini qo'llang:

To'g'ri bo'laklarni tenglashtirib, kamaytirgandan so'ng, birinchi usul bilan isbotlashda bo'lgani kabi tenglikni olamiz. Undan xuddi shu tarzda kasrlar tengligini olamiz.

Sinus teoremasining ikkinchi qismini isbotlash:

Berilgan uchburchak atrofida aylana tasvirlab, uning diametri BD ni B orqali o‘tkazamiz. D va C burchaklari bir xil yoyga asoslanganligi sababli, ular tengdir (yozilgan burchaklar teoremasining natijasi). Keyin . D burchak sinusining taʼrifini ABD uchburchakda qoʻllaymiz: Bu isbotlanishi uchun talab qilingan.

Sinus teoremasining ikkinchi qismi uchun vazifalar:
1) Trapetsiya radiusi 15 ga teng aylana ichiga chizilgan. Trapetsiyaning diagonali uzunliklari va balandliklari mos ravishda 20 va 6 ga teng. Tomonini toping.
2) Trapetsiya atrofidagi aylananing radiusi 25 ga, uning oʻtmas burchagining kosinusu esa -0,28 (minus!!!) ga teng. Trapetsiyaning diagonali asos bilan burchak hosil qiladi. Trapetsiyaning balandligini toping.
3) Trapetsiya radiusi 10 ga teng aylana ichiga chizilgan. Trapetsiyaning diagonali va o’rta chizig’ining uzunliklari mos ravishda 15 va 12 ga teng.Trapezoidning yon tomoni uzunligini toping.
4) Olimpiada Moliya akademiyasi 2009 yil Aylana akkordlari Q nuqtada kesishadi.Ma’lumki, aylana radiusi 4 sm. PN akkord uzunligini toping. Moliya akademiyasi olimpiadasi 2009 yil
5) PST uchburchakda. Radiusi 8 sm bo'lgan aylana uning bissektrisalari bilan P va T cho'qqilarining kesishgan nuqtasi atrofida o'ralgan. PST uchburchagi atrofida chegaralangan aylananing radiusini toping (muallif masalasi).

Matematika o'qituvchisi har doim sinus teoremasini batafsil tahlil qilishda yordam beradi va uni vazifalarda qo'llash bo'yicha kerakli amaliyotni oladi. Uning rejalashtirilgan maktab ta'limi 9-sinf geometriya kursida uchburchaklarni yechish mavzusida (barcha dasturlar uchun) o'tkaziladi. Agar siz kamida 70 ball bilan imtihondan o'tish uchun matematika bo'yicha imtihonga tayyorgarlik ko'rishingiz kerak bo'lsa, siz C4 raqamlaridan kuchli planimetrik muammolarni hal qilishni mashq qilishingiz kerak bo'ladi. Ularda sinus teoremasi ko'pincha o'zaro bog'liqlik berilgan uchburchaklarga qo'llaniladi. Shuni yodda tuting!

Hurmat bilan, Kolpakov Aleksandr Nikolaevich,
matematika o'qituvchisi

Matematikadan imtihon topshirishga tayyorlanayotgan va ancha yuqori ball olishni istagan bitiruvchilar, albatta, sinuslar va kosinuslar teoremasidan foydalanib masalalar yechish tamoyilini puxta egallashlari kerak. Uzoq muddatli amaliyot shuni ko'rsatadiki, "Samolyotdagi geometriya" bo'limining bunday vazifalari sertifikatlashtirish test dasturining majburiy qismidir. Shuning uchun, agar sizdan biri zaif tomonlari kosinuslar va sinuslar teoremasi bo'yicha topshiriqlar bo'lsa, ushbu mavzu bo'yicha asosiy nazariyani albatta takrorlashingizni tavsiya qilamiz.

"Shkolkovo" ta'lim portali bilan imtihonga tayyorlaning

Oldin qo'lga olish imtihondan o'tish, ko'plab bitiruvchilar sinuslar va kosinuslar teoremasini qo'llash bo'yicha amaliy masalalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan asosiy nazariyani topish muammosiga duch kelishadi.

Darslik har doim ham kerakli vaqtda qo'lda bo'lavermaydi. Va kerakli formulalarni topish ba'zan Internetda ham juda muammoli.

Bilan sertifikatlash testiga tayyorgarlik ta'lim portali Shkolkovo eng yuqori sifat va samaradorlikka ega bo'ladi. Sinuslar va kosinuslar teoremasi bo'yicha vazifalarni osonlashtirish uchun ushbu mavzu bo'yicha butun nazariya xotirasini yangilashni tavsiya qilamiz. Bizning mutaxassislarimiz ushbu materialni boy tajriba asosida tayyorladilar va tushunarli shaklda taqdim etdilar. Siz uni "Nazariy ma'lumotnoma" bo'limida topishingiz mumkin.

Asosiy teoremalar va ta'riflarni bilish sertifikat sinovidan o'tishda muvaffaqiyatning yarmidir. Tegishli mashqlar sizga misollarni echish mahoratini oshirishga imkon beradi. Ularni topish uchun Shkolkovo o'quv veb-saytidagi Katalog bo'limiga o'ting. Vazifalarning katta ro'yxati mavjud. turli darajalar doimiy ravishda to'ldirilib, yangilanib turadigan murakkablik.

Sinuslar va kosinuslar teoremalari bo'yicha topshiriqlar, matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonida topilganlarga o'xshash, talabalar Moskvada yoki Rossiyaning boshqa har qanday shahrida onlayn tarzda bajarishlari mumkin.

Agar kerak bo'lsa, har qanday mashq, masalan, "Sevimlilar" bo'limida saqlanishi mumkin. Bu sizga kelajakda to'g'ri javobni topish algoritmini yana bir bor tahlil qilish va uni maktab o'qituvchisi yoki repetitor bilan muhokama qilish uchun unga qaytishga imkon beradi.

Trigonometriya nafaqat algebra - tahlilning boshlanishi bo'limida, balki geometriyada ham keng qo'llaniladi. Shu munosabat bilan trigonometrik funktsiyalarga tegishli teoremalar va ularning isbotlari mavjudligini taxmin qilish maqsadga muvofiqdir. Darhaqiqat, kosinus va sinus teoremalari uchburchaklarning tomonlari va burchaklari o'rtasidagi juda qiziqarli va eng muhimi, foydali munosabatlarni keltirib chiqaradi.

Ushbu formuladan foydalanib, siz uchburchakning istalgan tomonlarini olishingiz mumkin:

Bayonotning isboti Pifagor teoremasi asosida olingan: gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

ABC ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqaylik. C cho'qqisidan biz h balandligini rasmning asosiga tushiramiz, bu holda uning uzunligi mutlaqo muhim emas. Endi ACB ixtiyoriy uchburchakni ko'rib chiqsak, u holda C nuqtaning koordinatalarini trigonometrik orqali ifodalashimiz mumkin. cos funktsiyalari va gunoh.

Kosinusning ta'rifini eslang va ACD uchburchak tomonlari nisbatini yozing: cos a = AD/AC | tenglikning ikkala tomonini AC ga ko'paytiring; AD = AC * cos a.

AC uzunligini b deb olamiz va C nuqtaning birinchi koordinatasi ifodasini olamiz:
x = b * cos⁡a. Xuddi shunday, C ordinatasining qiymatini topamiz: y = b * sin a. Keyinchalik, biz Pifagor teoremasini qo'llaymiz va ACD va DCB uchburchaklari uchun navbat bilan h ni ifodalaymiz:

Shubhasiz, (1) va (2) iboralar bir-biriga teng. Biz o'ng tomonlarni tenglashtiramiz va shunga o'xshashlarni beramiz:

Amalda berilgan formula tomonidan uchburchakning noma'lum tomonining uzunligini topish imkonini beradi berilgan burchaklar. Kosinus teoremasi uchta natijaga ega: uchburchakning to'g'ri, o'tkir va o'tmas burchagi uchun.

cos a qiymatini odatdagi x o'zgaruvchisi bilan almashtiramiz, keyin ABC uchburchakning o'tkir burchagi uchun biz quyidagilarni olamiz:

Agar burchak to'g'ri bo'lib chiqsa, u holda 2bx ifodadan yo'qoladi, chunki cos 90 ° \u003d 0. Grafik jihatdan ikkinchi natijani quyidagicha ifodalash mumkin:

O'tkir burchak bo'lsa, formuladagi qo'sh argument oldidagi "-" belgisi "+" ga o'zgaradi:

Tushuntirishdan ko'rinib turibdiki, nisbatlarda murakkab narsa yo'q. Kosinus teoremasi Pifagor teoremasining trigonometrik miqdorlarda joylashishidan boshqa narsa emas.

Teoremaning amaliy qo'llanilishi

1-mashq. Tomoni BC = a = 4 sm, AC = b = 5 sm va cos a = ½ bo'lgan ABC uchburchak berilgan. AB tomonining uzunligini toping.

To'g'ri hisoblash uchun a burchagini aniqlash kerak. Buni amalga oshirish uchun trigonometrik funktsiyalar uchun qiymatlar jadvaliga qarang, unga ko'ra 60 ° burchak uchun yoy kosinasi 1/2 ni tashkil qiladi. Bunga asoslanib, biz teoremaning birinchi xulosasining formulasidan foydalanamiz:

Vazifa 2. ABC uchburchak uchun barcha tomonlari ma’lum: AB =4√2,BC=5,AC=7. Shaklning barcha burchaklarini topish talab qilinadi.

Bunday holda, siz muammoning shartlarini chizmasdan qilolmaysiz.

Burchaklarning qiymatlari noma'lumligi sababli, ulardan foydalanish kerak to'liq formula o'tkir burchak uchun.

Analogiya bo'yicha, boshqa burchaklarning qiymatlarini shakllantirish va hisoblash qiyin emas:

Xulosa qilib aytganda, uchburchakning uchta burchagi 180 ° bo'lishi kerak: 53 + 82 + 45 = 180, shuning uchun yechim topildi.

Sinus teoremasi

Teorema shuni ko'rsatadiki, ixtiyoriy uchburchakning barcha tomonlari qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga proportsionaldir. Nisbatlar uchlik tenglik shaklida yoziladi:

Bayonotning klassik isboti aylana ichiga chizilgan rasm misolida amalga oshiriladi.

Rasmdagi ABC uchburchagi misolidan foydalanib, bayonotning to'g'riligini tekshirish uchun 2R = BC / sin A ekanligini tasdiqlash kerak. Keyin boshqa tomonlar ham qarama-qarshi burchaklarning sinuslariga mos kelishini isbotlang, masalan, 2R yoki Aylana D.

Buning uchun B cho'qqisidan aylananing diametrini chizamiz. Aylana ichiga chizilgan burchaklarning xossalaridan ∠GCB to'g'ri chiziq, ∠CGB esa ∠CAB yoki (p - ∠CAB) ga teng. Sinus holatida, oxirgi holat muhim emas, chunki sin (p -a) \u003d sin a. Yuqoridagi xulosalarga asoslanib, quyidagilarni ta'kidlash mumkin:

sin ∠CGB = BC/ BG yoki sin A = BC/2R,

Shaklning boshqa burchaklarini hisobga olsak, sinus teoremasining kengaytirilgan formulasini olamiz: