To'liq tushuntirish darajalari bilan quyma formulalar. Qisqartirish formulalari: isbot, misollar, mnemonik qoida

Dars mavzusi

Burchakning ortishi bilan sinus, kosinus va tangensning o'zgarishi.

Dars maqsadlari

Yangi ta'riflar bilan tanishing va allaqachon o'rganilgan ba'zilarini eslang.
Burchakning ortib borishi bilan sinus, kosinus va tangens qiymatlarining o'zgarishi sxemasi bilan tanishing.
Rivojlanayotgan - o'quvchilarning e'tiborini, qat'iyatliligini, qat'iyatliligini rivojlantirish, mantiqiy fikrlash, matematik nutq.
Tarbiyaviy - dars orqali bir-biriga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishni, o'rtoqlarni tinglash, o'zaro yordam, mustaqillik qobiliyatini singdirish.

Dars maqsadlari

Talabalarning bilimini tekshirish.

Dars rejasi

Oldin o'rganilgan materialni takrorlash.
Takroriy vazifalar.
Burchakning ortishi bilan sinus, kosinus va tangensning o'zgarishi.
Amaliy foydalanish.

Oldin o'rganilgan materialni takrorlash

Keling, boshidan boshlaylik va xotirangizni yangilash uchun nima foydali bo'lishini eslaylik. Sinus, kosinus va tangens nima va bu tushunchalar geometriyaning qaysi qismiga tegishli.

Trigonometriya- bu juda murakkab yunoncha so'z: trigonon - uchburchak, metro - o'lchov. Shuning uchun, yunoncha bu: uchburchaklar bilan o'lchangan degan ma'noni anglatadi.

Mavzular > Matematika > Matematika 8-sinf

Trigonometriya, qisqartirish formulalari.

Quyma formulalarini o'rgatish shart emas, ularni tushunish kerak. Ularning chiqishi uchun algoritmni tushuning. Bu juda oson!

Keling, birlik aylana olamiz va unga barcha daraja o'lchovlarini (0°; 90°; 180°; 270°; 360°) qo'yamiz.

Keling, har chorakda sin(a) va cos(a) funksiyalarini tahlil qilaylik.

Esda tutingki, biz Y o'qi bo'ylab sin (a) funktsiyasini va X o'qi bo'ylab cos (a) funktsiyasini ko'rib chiqamiz.

Birinchi chorakda funktsiyani ko'rish mumkin sin(a)>0
Va funktsiya cos(a)>0
Birinchi chorakni (90-a) yoki (360+a) daraja o'lchovi orqali tasvirlash mumkin.

Ikkinchi chorakda funktsiyani ko'rish mumkin sin(a)>0, chunki u chorakda y o'qi musbat.
Funktsiya cos(a), chunki bu chorakda x o'qi manfiy.
Ikkinchi chorakni (90+a) yoki (180-a) daraja o'lchovi orqali tasvirlash mumkin.

Uchinchi chorakda vazifalarni bajarishini ko'rish mumkin gunoh (a) Uchinchi chorakni darajalar bo'yicha (180+a) yoki (270-a) deb ta'riflash mumkin.

To'rtinchi chorakda funktsiyani ko'rish mumkin sin(a) chunki u chorakda y o'qi manfiy.
Funktsiya cos(a)>0, chunki bu chorakda x o'qi musbat.
To'rtinchi chorakni darajalar bo'yicha (270+a) yoki (360-a) deb ta'riflash mumkin.

Endi qisqartirish formulalarining o'zini ko'rib chiqamiz.

Keling, oddiy narsani eslaylik algoritm:
1. Chorak.(Har doim qaysi chorakda ekanligingizga qarang).
2. Imzo.(Chorak uchun musbat yoki manfiy kosinus yoki sinus funksiyalariga qarang).
3. Qavs ichida (90° yoki p/2) va (270° yoki 3p/2) boʻlsa, u holda funktsiyasi o'zgaradi.

Shunday qilib, biz ushbu algoritmni choraklarda qismlarga ajratishni boshlaymiz.

cos(90-a) ifoda nimaga teng bo'lishini toping
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Birinchi chorak.

iroda cos(90-a) = sin(a)

Sin (90-a) ifodasi nimaga teng bo'lishini aniqlang
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Birinchi chorak.

iroda sin(90-a) = cos(a)

cos(360+a) ifoda nimaga teng bo'lishini toping
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Birinchi chorak.
2. Birinchi chorakda kosinus funksiyasining ishorasi musbat.

iroda cos(360+a) = cos(a)

Sin (360 + a) ifodasi nimaga teng bo'lishini aniqlang
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Birinchi chorak.
2. Birinchi chorakda sinus funksiyaning ishorasi musbat.
3. Qavslar ichida (90° yoki p/2) va (270° yoki 3p/2) yoʻq, u holda funksiya oʻzgarmaydi.
iroda gunoh(360+a) = gunoh(a)

cos(90+a) ifoda nimaga teng bo'lishini toping
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Ikkinchi chorak.

3. Qavslar ichida (90 ° yoki p / 2) mavjud, keyin funktsiya kosinusdan sinusga o'zgaradi.
iroda cos(90+a) = -sin(a)

Sin (90 + a) ifodasi nimaga teng bo'lishini aniqlang
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Ikkinchi chorak.

3. Qavs ichida (90 ° yoki p / 2) mavjud, keyin funktsiya sinusdan kosinusga o'zgaradi.
iroda sin(90+a) = cos(a)

cos(180-a) ifoda nimaga teng bo'lishini toping
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Ikkinchi chorak.
2. Ikkinchi chorakda kosinus funksiyasining belgisi manfiy.
3. Qavslar ichida (90° yoki p/2) va (270° yoki 3p/2) yoʻq, u holda funksiya oʻzgarmaydi.
iroda cos(180-a) = cos(a)

Sin (180-a) ifodasi nimaga teng bo'lishini aniqlang
Keling, algoritm haqida gapiraylik:
1. Ikkinchi chorak.
2. Ikkinchi chorakda sinus funksiyaning ishorasi musbat.
3. Qavslar ichida (90° yoki p/2) va (270° yoki 3p/2) yoʻq, u holda funksiya oʻzgarmaydi.
iroda gunoh (180-a) = gunoh (a)

Men uchinchi va to'rtinchi chorak haqida shunga o'xshash tarzda gapiryapman, biz jadval tuzamiz:

Obuna bo‘ling YOUTUBE dagi kanalga va videoni tomosha qiling, matematika va geometriyadan imtihonlarga biz bilan birga tayyorlaning.

Ta'rif. Qisqartirish formulalari - bu sizga o'tishga imkon beradigan formulalar trigonometrik funktsiyalar argument funktsiyalariga xosdir. Ularning yordami bilan ixtiyoriy burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi 0 dan 90 gradusgacha (0 dan radiangacha) burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangenslariga keltirilishi mumkin. Shunday qilib, qisqartirish formulalari bizga 90 daraja ichida burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi, bu shubhasiz juda qulaydir.

Shakllangan formulalar:

Quyma formulalardan foydalanishning ikkita qoidasi mavjud.

1. Agar burchakni (p/2 ±a) yoki (3*p/2 ±a) shaklida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda funktsiya nomi o'zgaradi sin cosga, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Agar burchakni (p ±a) yoki (2*p ±a) shaklida ifodalash mumkin bo'lsa, u holda funktsiya nomi o'zgarishsiz qoladi.

Quyidagi rasmga qarang, u sxematik tarzda belgini qachon o'zgartirish kerakligini va qachon o'zgartirilmasligini ko'rsatadi.

2. Qisqartirilgan funksiya belgisi bir xil bo'lib qoladi. Agar asl funktsiya ortiqcha belgisiga ega bo'lsa, qisqartirilgan funksiya ham ortiqcha belgisiga ega. Agar asl funktsiya minus belgisiga ega bo'lsa, qisqartirilgan funksiya ham minus belgisiga ega.

Quyidagi rasmda chorakga qarab asosiy trigonometrik funktsiyalarning belgilari ko'rsatilgan.

Misol:

Hisoblash

Keling, qisqartirish formulalaridan foydalanamiz:

Sin(150˚) ikkinchi chorakda, bu chorakdagi gunoh belgisi "+" ga teng ekanligini rasmdan ko'rishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, yuqoridagi funktsiya ham "+" belgisiga ega bo'ladi. Biz ikkinchi qoidani qo'lladik.

Endi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ p/2. Ya'ni, biz p / 2 + 60 ishi bilan shug'ullanamiz, shuning uchun birinchi qoidaga ko'ra, biz funktsiyani sindan cosga o'zgartiramiz. Natijada biz Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ ni olamiz.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Kamaytirish formulalarini masalalarni yechishda qo'llash"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang. Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

10-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konida o'quv qo'llanmalari va simulyatorlar
1C: Maktab. 7-10-sinflar uchun interfaol qurilish vazifalari
1C: Maktab. Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. 10-11-sinflar uchun kosmosda qurish bo'yicha interaktiv vazifalar

Biz nimani o'rganamiz:
1. Keling, bir oz takrorlaymiz.
2. Qisqartirish formulalari qoidalari.
3. Qaytarilish formulalari uchun transformatsiyalar jadvali.
4. Misollar.

Trigonometrik funksiyalarni takrorlash

Bolalar, siz allaqachon arvoh formulalarini uchratdingiz, lekin ular hali bunday deb nomlanmagan. Qayerda deb o'ylaysiz?

Bizning chizmalarimizga qarang. To'g'ri, ular trigonometrik funktsiyalarning ta'riflarini kiritganlarida.

Qisqartirish formulalari uchun qoida

Keling, asosiy qoidani kiritamiz: Agar trigonometrik funktsiyaning belgisi p×n/2 + t ko'rinishdagi sonni o'z ichiga olsa, bu erda n har qanday butun son bo'lsa, u holda trigonometrik funktsiyamizni ko'proqqa qisqartirish mumkin. oddiy ko'rinish, bu faqat t argumentini o'z ichiga oladi. Bunday formulalar sharpa formulalari deb ataladi.

Keling, ba'zi formulalarni eslaylik:

sin(t + 2p*k) = sin(t)
cos(t + 2p*k) = cos(t)
sin(t + p) = -sin(t)
cos(t + p) = -cos(t)
sin(t + p/2) = cos(t)
cos(t + p/2) = -sin(t)
tg(t + p*k) = tg(x)
ctg(t + p*k) = ctg(x)

juda ko'p arvoh formulalari bor, keling, foydalanishda trigonometrik funktsiyalarimizni aniqlaydigan qoida yarataylik. sharpa formulalari:

Agar trigonometrik funktsiyaning ishorasida p + t, p - t, 2p + t va 2p - t ko'rinishdagi raqamlar mavjud bo'lsa, u holda funktsiya o'zgarmaydi, ya'ni, masalan, sinus sinus bo'lib qoladi, kotangent kotangent bo'lib qoladi.
Agar trigonometrik funktsiyaning belgisi quyidagi ko'rinishdagi raqamlarni o'z ichiga olsa: p/2 + t, p/2 - t,
3p/2 + t va 3p/2 - t bo'lsa, u holda funktsiya o'zaro bog'liq bo'ladi, ya'ni sinus kosinusga, kotangent tangensga aylanadi.
Olingan funktsiyadan oldin, agar 0 bo'lsa, aylantirilgan funktsiyaning belgisini qo'yishingiz kerak

Bu qoidalar funktsiya argumenti darajalarda bo'lganda ham amal qiladi!

Bundan tashqari, trigonometrik funktsiyalarni konvertatsiya qilish jadvalini tuzishimiz mumkin:

Qisqartirish formulalaridan foydalanishga misollar

1. cos(p + t) ni o‘zgartiramiz. Funktsiya nomi qoladi, ya'ni. cos(t)ni olamiz. Keyin, p/2 deb faraz qilaylik

2. Sin(p/2 + t) ni o‘zgartiring. Funktsiyaning nomi o'zgartiriladi, ya'ni. cos(t)ni olamiz. Faraz qilaylik, 0 sin(t + p/2) = cos(t)

3. tg(p + t) ni aylantiramiz. Funktsiya nomi qoladi, ya'ni. tg(t) ni olamiz. Yana deylik, 0

4. ctg(270 0 + t) ni aylantiramiz. Funktsiyaning nomi o'zgaradi, ya'ni tg(t) ni olamiz. Yana deylik, 0

Mustaqil yechish uchun qisqartirish formulalari bilan bog'liq masalalar

Bolalar, bizning qoidalarimizdan foydalanib, o'zingizni aylantiring:

1) tg (p + t),
2) tg(2p - t),
3) ctg(p - t),
4) tg(p/2 - t),
5) ctg(3p + t),
6) sin(2p + t),
7) gunoh (p/2 + 5t),
8) sin(p/2 - t),
9) sin(2p - t),
10) cos(2p - t),
11) cos(3p/2 + 8t),
12) cos(3p/2 - t),
13) cos(p - t).

Ular matematikaning "trigonometriya" bo'limiga tegishli. Ularning mohiyati burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini yanada "oddiy" shaklga keltirishdir. Ularning bilimlarining ahamiyati haqida ko'p yozish mumkin. Bu formulalardan 32 tasi bor!

Xavotir olmang, matematika kursidagi boshqa ko'plab formulalar kabi ularni o'rganishingiz shart emas. Boshingizni keraksiz ma'lumotlar bilan to'ldirishingiz shart emas, siz "kalitlar" yoki qonunlarni yodlashingiz kerak va kerakli formulani eslab qolish yoki olish muammo bo'lmaydi. Aytgancha, men maqolalarda yozganimda "... o'rganishingiz kerak !!!" - bu haqiqatan ham uni o'rganish kerakligini anglatadi.

Agar siz qisqartirish formulalari bilan tanish bo'lmasangiz, unda ularni olishning soddaligi sizni hayratda qoldiradi - buni qilish oson bo'lgan "qonun" mavjud. Va 32 ta formuladan istalgan birini 5 soniyada yozasiz.

Men matematika bo'yicha imtihonda bo'ladigan ba'zi vazifalarni sanab o'taman, bu formulalarni bilmasdan, hal qilishda muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimoli yuqori. Misol uchun:

- tashqi burchak haqida gapiradigan to'g'ri burchakli uchburchakni echish uchun vazifalar va ichki burchaklar bu formulalardan ba'zilari ham kerak.
- trigonometrik ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun topshiriqlar; sonli trigonometrik ifodalarni o'zgartirishlar; literal trigonometrik ifodalarni o'zgartirish.
– tangens uchun vazifalar va geometrik ma'no tangens, tangensni kamaytirish formulasi, shuningdek, boshqa vazifalar talab qilinadi.
- stereometrik masalalar, yechish jarayonida ko'pincha 90 dan 180 gradusgacha bo'lgan oraliqda joylashgan burchakning sinusi yoki kosinusini aniqlash kerak bo'ladi.

Va bu faqat imtihonga tegishli fikrlar. Va algebra kursining o'zida juda ko'p muammolar mavjud bo'lib, ularni hal qilishda kamaytirish formulalarini bilmasdan turib, amalga oshirish mumkin emas.

Xo'sh, bu nimaga olib keladi va belgilangan formulalar biz uchun muammolarni hal qilishni qanday soddalashtiradi?

Masalan, siz 0 dan 450 darajagacha bo'lgan har qanday burchakning sinusini, kosinusini, tangensini yoki kotangensini aniqlashingiz kerak:

alfa burchagi 0 dan 90 darajagacha

* * *

Shunday qilib, bu erda ishlaydigan "qonun" ni tushunish kerak:

1. Funksiyaning tegishli chorakdagi belgisini aniqlang.

Ularga eslatib o'taman:

2. Quyidagilarni yodda tuting:

funktsiya kofunktsiyaga o'zgaradi

funktsiya kofunktsiyaga o'zgarmaydi

Tushuncha nimani anglatadi - funktsiya kofunktsiyaga o'tadi?

Javob: sinus kosinusga yoki aksincha, kotangentga teginish yoki aksincha.

Hammasi shu!

Endi, taqdim etilgan qonunga muvofiq, biz bir nechta qisqartirish formulalarini mustaqil ravishda yozamiz:

Bu burchak uchinchi chorakda yotadi, uchinchi chorakdagi kosinus manfiy. Biz kofunktsiya uchun funktsiyani o'zgartirmaymiz, chunki bizda 180 daraja bor, ya'ni:

Burchak birinchi chorakda yotadi, birinchi chorakdagi sinus musbat. Biz funktsiyani kofunktsiyaga o'zgartirmaymiz, chunki bizda 360 daraja bor, ya'ni:

Qo'shni burchaklarning sinuslari teng ekanligini yana bir qo'shimcha tasdiq:

Burchak ikkinchi chorakda yotadi, ikkinchi chorakdagi sinus musbat. Biz funktsiyani kofunktsiyaga o'zgartirmaymiz, chunki bizda 180 daraja bor, ya'ni:

Har bir formulani aqliy yoki yozma ravishda ishlang va siz hech qanday murakkab narsa yo'qligini ko'rasiz.

***

Yechim haqidagi maqolada bunday fakt qayd etilgan - bir o'tkir burchakning sinusi to'g'ri uchburchak undagi boshqa o'tkir burchakning kosinusiga teng.