Murakkab tengsizliklarni onlayn hal qilish. Tengsizliklar qanday hal qilinishi haqida ba'zi fikrlar

Birinchidan, interval usuli hal qiladigan muammoni his qilish uchun ba'zi qo'shiqlar. Aytaylik, biz quyidagi tengsizlikni echishimiz kerak:

(x − 5)(x + 3) > 0

Variantlar qanday? Ko‘pchilik o‘quvchilarning xayoliga keladigan birinchi narsa bu “ortiqcha ko‘p marta ortiqcha ortiqcha qiladi” va “minus marta minus ortiqcha qiladi” qoidalari. Shuning uchun ikkala qavs musbat bo'lgan holatni ko'rib chiqish kifoya: x − 5 > 0 va x + 3 > 0. Keyin ikkala qavs manfiy bo'lgan holatni ham ko'rib chiqamiz: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Ilg'or o'quvchilar chap tomonda grafigi parabola bo'lgan kvadratik funktsiya borligini (ehtimol) eslashadi. Bundan tashqari, bu parabola OX o'qini x = 5 va x = -3 nuqtalarda kesib o'tadi. Keyingi ish uchun siz qavslarni ochishingiz kerak. Bizda ... bor:

x 2 − 2x − 15 > 0

Endi parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltirilganligi aniq bo'ldi, chunki a = 1 > 0 koeffitsienti. Keling, ushbu parabolaning diagrammasini chizishga harakat qilaylik:

Funktsiya OX o'qidan o'tgan joyda noldan katta. Bizning holatda, bu (−∞ −3) va (5; +∞) oraliqlari - bu javob.

E'tibor bering, rasmda aniq ko'rsatilgan funktsiya diagrammasi, uning jadvali emas. Chunki haqiqiy diagramma uchun siz koordinatalarni hisoblashingiz, ofsetlarni hisoblashingiz va boshqa axlatlarni hisoblashingiz kerak, bu bizga hozir umuman kerak emas.

Nima uchun bu usullar samarasiz?

Shunday qilib, biz bir xil tengsizlikning ikkita yechimini ko'rib chiqdik. Ularning ikkalasi ham juda og'ir bo'lib chiqdi. Birinchi qaror paydo bo'ladi - bu haqda o'ylab ko'ring! tengsizliklar sistemasi yig’indisidir. Ikkinchi yechim ham unchalik oson emas: siz parabola grafigini va boshqa bir qancha kichik faktlarni eslab qolishingiz kerak.

Bu juda oddiy tengsizlik edi. U faqat 2 ta ko'paytirgichga ega. Endi tasavvur qiling-a, 2 ta emas, balki kamida 4 ta koʻpaytuvchi boʻladi. Masalan:

(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0

Bunday tengsizlikni qanday hal qilish mumkin? Ijobiy va salbiy tomonlarning barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalaridan o'tingmi? Ha, biz yechim topganimizdan ko'ra tezroq uxlab qolamiz. Grafikni chizish ham variant emas, chunki bunday funktsiya koordinata tekisligida qanday ishlashi aniq emas.

Bunday tengsizliklar uchun maxsus yechim algoritmi kerak, biz bugun ko'rib chiqamiz.

Interval usuli nima

Intervalli usul f (x) > 0 va f (x) ko‘rinishdagi murakkab tengsizliklarni yechish uchun mo‘ljallangan maxsus algoritmdir.< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:

1. f (x) \u003d 0 tenglamasini yeching. Shunday qilib, tengsizlik o'rniga biz yechish ancha oson bo'lgan tenglamani olamiz;
2. Olingan barcha ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Shunday qilib, to'g'ri chiziq bir necha oraliqlarga bo'linadi;
3. Eng o'ng oraliqdagi f (x) funksiyaning ishorasini (ortiqcha yoki minus) toping. Buning uchun f (x) ga barcha belgilangan ildizlarning o'ng tomonida bo'ladigan istalgan raqamni almashtirish kifoya;
4. Boshqa intervallarda belgilarni belgilang. Buning uchun har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishini eslash kifoya.

Hammasi shu! Shundan so'ng, bizni qiziqtirgan intervallarni yozishgina qoladi. Agar tengsizlik f (x) > 0 ko'rinishda bo'lsa, ular "+" belgisi bilan yoki tengsizlik f (x) ko'rinishda bo'lsa, "-" belgisi bilan belgilanadi.< 0.

Bir qarashda, intervalli usul qandaydir qalay bo'lib tuyulishi mumkin. Lekin amalda hamma narsa juda oddiy bo'ladi. Bir oz mashq qilish kerak - va hamma narsa aniq bo'ladi. Misollarni ko'rib chiqing va o'zingiz ko'ring:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x − 2)(x + 7)< 0

Biz intervallar usuli ustida ishlaymiz. 1-qadam: Tengsizlikni tenglama bilan almashtiring va uni yeching:

(x − 2)(x + 7) = 0

Agar omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng bo'ladi:

x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.

Ikkita ildiz bor. 2-bosqichga o'ting: bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilang. Bizda ... bor:

Endi 3-qadam: biz funktsiyaning belgisini eng o'ng oraliqda topamiz (belgilangan nuqtaning o'ng tomonida x = 2). Buning uchun siz x = 2 sonidan katta bo'lgan istalgan raqamni olishingiz kerak. Masalan, x = 3 ni olaylik (lekin hech kim x = 4, x = 10 va hatto x = 10 000 ni olishni taqiqlamaydi). Biz olamiz:

f(x) = (x - 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 - 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;

Biz f (3) = 10 > 0 ni olamiz, shuning uchun biz eng o'ng oraliqda ortiqcha belgisini qo'yamiz.

Biz oxirgi nuqtaga o'tamiz - qolgan intervallardagi belgilarga e'tibor berish kerak. Esda tutingki, har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgarishi kerak. Misol uchun, x = 2 ildizining o'ng tomonida ortiqcha (biz oldingi bosqichda bunga ishonch hosil qildik), shuning uchun chap tomonda minus bo'lishi kerak.

Bu minus butun intervalgacha (-7; 2) tarqaladi, shuning uchun x = -7 ildizning o'ng tomonida minus mavjud. Demak, x = −7 ildizining chap tomonida plyus mavjud. Bu belgilarni koordinata o'qida belgilash qoladi. Bizda ... bor:

Keling, asl tengsizlikka qaytaylik, u quyidagicha ko'rinardi:

(x − 2)(x + 7)< 0

Shunday qilib, funktsiya noldan kichik bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, bizni faqat bitta oraliqda uchraydigan minus belgisi qiziqtiradi: (−7; 2). Bu javob bo'ladi.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

1-qadam: Chap tomonni nolga tenglashtiring:

(x + 9)(x - 3)(1 - x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = -9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.

Esingizda bo'lsin: omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Shuning uchun biz har bir alohida qavsni nolga tenglashtirish huquqiga egamiz.

2-qadam: koordinata chizig'idagi barcha ildizlarni belgilang:

3-qadam: eng o'ngdagi bo'shliqning belgisini toping. Biz x = 1 dan katta bo'lgan har qanday sonni olamiz. Masalan, biz x = 10 ni olamiz. Bizda:

f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 - 3)(1 - 10) = 19 7 (-9) = - 1197;
f(10) = -1197< 0.

4-qadam: Qolgan belgilarni joylashtiring. Esda tutingki, har bir ildizdan o'tayotganda belgi o'zgaradi. Natijada bizning rasmimiz quyidagicha ko'rinadi:

Hammasi shu. Faqat javob yozish qoladi. Asl tengsizlikka yana bir nazar tashlang:

(x + 9)(x - 3)(1 - x )< 0

Bu f (x) ko'rinishdagi tengsizlikdir.< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:

x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)

Bu javob.

Funktsiya belgilari haqida eslatma

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, intervalli usulda eng katta qiyinchiliklar oxirgi ikki bosqichda paydo bo'ladi, ya'ni. belgilarni qo'yishda. Ko'pgina talabalar chalkashishni boshlaydilar: qanday raqamlarni olish va qaerga belgilar qo'yish kerak.

Nihoyat interval usulini tushunish uchun u qurilgan ikkita eslatmani ko'rib chiqing:

1. Uzluksiz funksiya belgini faqat nuqtalarda o'zgartiradi bu erda u nolga teng. Bunday nuqtalar koordinata o'qini qismlarga ajratadi, ular ichida funktsiyaning belgisi hech qachon o'zgarmaydi. Shuning uchun biz f (x) \u003d 0 tenglamasini echamiz va topilgan ildizlarni to'g'ri chiziqda belgilaymiz. Topilgan raqamlar ortiqcha va minuslarni ajratib turadigan "chegara" nuqtalari.
2. Funksiyaning istalgan oraliqdagi ishorasini bilish uchun funksiyaga shu oraliqdagi istalgan sonni qo‘yish kifoya. Masalan, (−5; 6) oraliq uchun, agar xohlasak, x = −4, x = 0, x = 4 va hatto x = 1,29374 ni olishimiz mumkin. Nima uchun bu muhim? Ha, chunki ko'p talabalar shubhalarni kemirishni boshlaydilar. Masalan, x = −4 uchun ortiqcha, x = 0 uchun esa minus bo'lsa-chi? Hech qachon bunday narsa bo'lmaydi. Xuddi shu oraliqdagi barcha nuqtalar bir xil belgini beradi. Buni eslab qoling.

Interval usuli haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsa shu. Albatta, biz uni eng oddiy shaklda demontaj qildik. Keyinchalik murakkab tengsizliklar mavjud - qat'iy bo'lmagan, kasrli va takroriy ildizlar bilan. Ular uchun siz intervalli usulni ham qo'llashingiz mumkin, ammo bu alohida katta dars uchun mavzu.

Endi men interval usulini keskin soddalashtiradigan ilg'or hiylani tahlil qilmoqchiman. Aniqroq aytganda, soddalashtirish faqat uchinchi bosqichga - chiziqning eng o'ng qismidagi belgini hisoblashga ta'sir qiladi. Ba'zi sabablarga ko'ra, bu uslub maktablarda o'tkazilmaydi (hech bo'lmaganda menga buni hech kim tushuntirmadi). Lekin behuda - aslida, bu algoritm juda oddiy.

Demak, funktsiyaning belgisi son o'qning o'ng qismida joylashgan. Bu qism (a; +∞) ko'rinishga ega bo'lib, bu erda a tenglamaning eng katta ildizi f (x) = 0. Miyamizga zarba bermaslik uchun aniq bir misolni ko'rib chiqing:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x - 1)(2 + x )(7 - x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;

Bizda 3 ta ildiz bor. Biz ularni o'sish tartibida sanab o'tamiz: x = -2, x = 1 va x = 7. Shubhasiz, eng katta ildiz x = 7.

Grafik jihatdan mulohaza yuritishni oson topadiganlar uchun men bu ildizlarni koordinata chizig'ida belgilayman. Keling, nima bo'lishini ko'rib chiqaylik:

Eng o'ng oraliqda f (x) funksiyaning ishorasini topish talab qilinadi, ya'ni. yoqilgan (7; +∞). Ammo biz allaqachon ta'kidlaganimizdek, belgini aniqlash uchun siz ushbu intervaldan istalgan raqamni olishingiz mumkin. Masalan, siz x = 8, x = 150 va hokazolarni olishingiz mumkin. Va endi - maktablarda o'qitilmaydigan o'sha texnika: cheksizlikni raqam sifatida olaylik. Aniqroq aytganda, ortiqcha cheksizlik, ya'ni. +∞.

"Siz toshbo'ronmisiz? Qanday qilib cheksizlikni funktsiyaga almashtirish mumkin? balki, deb so'rarsiz. Ammo o'ylab ko'ring: bizga funktsiyaning o'zi qiymati kerak emas, bizga faqat belgi kerak. Shuning uchun, masalan, f (x) = -1 va f (x) = -938 740 576 215 qiymatlari bir xil narsani anglatadi: funktsiya bu oraliqda manfiy. Shuning uchun sizdan talab qilinadigan narsa bu funksiyaning qiymatini emas, balki cheksizlikda yuzaga keladigan belgini topishdir.

Aslida, cheksizlikni almashtirish juda oddiy. Funktsiyamizga qaytaylik:

f(x) = (x - 1)(2 + x)(7 - x)

Tasavvur qiling-a, x juda katta son. Bir milliard yoki hatto trillion. Keling, har bir qavs ichida nima sodir bo'lishini ko'rib chiqaylik.

Birinchi qavs: (x − 1). Agar milliarddan bittani ayirsangiz nima bo'ladi? Natijada milliarddan unchalik farq qilmaydigan raqam bo'ladi va bu raqam ijobiy bo'ladi. Xuddi shunday ikkinchi qavs bilan: (2 + x). Agar milliardni ikkiga qo'shsak, biz kopek bilan milliard olamiz - bu ijobiy raqam. Nihoyat, uchinchi qavs: (7 - x). Bu erda minus milliard bo'ladi, undan ettita ko'rinishidagi baxtsiz bo'lak "kemirildi". Bular. natijada olingan raqam minus milliarddan unchalik farq qilmaydi - bu salbiy bo'ladi.

Butun ishning belgisini topish qoladi. Birinchi qavslarda ortiqcha va oxirgi qavsda minus bo'lganligi sababli biz quyidagi konstruktsiyani olamiz:

(+) · (+) · (−) = (−)

Yakuniy belgi - minus! Funktsiyaning o'zi qanday qiymatga ega bo'lishi muhim emas. Asosiysi, bu qiymat salbiy, ya'ni. eng o'ng oraliqda minus belgisi mavjud. Intervalli usulning to'rtinchi bosqichini bajarish uchun qoladi: barcha belgilarni tartibga soling. Bizda ... bor:

Dastlabki tengsizlik quyidagicha edi:

(x − 1)(2 + x )(7 − x )< 0

Shuning uchun biz minus belgisi bilan belgilangan oraliqlarga qiziqamiz. Javobni yozamiz:

x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)

Bu men aytmoqchi bo'lgan butun hiyla edi. Xulosa qilib aytadigan bo'lsak, yana bitta tengsizlik mavjud bo'lib, u cheksizlikdan foydalangan holda interval usuli bilan yechiladi. Yechimni vizual ravishda qisqartirish uchun men qadam raqamlari va batafsil sharhlarni yozmayman. Haqiqiy muammolarni hal qilishda faqat yozilishi kerak bo'lgan narsalarni yozaman:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

x (2x + 8)(x − 3) > 0

Tengsizlikni tenglama bilan almashtiramiz va uni yechamiz:

x (2x + 8)(x - 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒ x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.

Biz uchta ildizni koordinata chizig'ida belgilaymiz (darhol belgilar bilan):

Koordinata o'qining o'ng tomonida ortiqcha bor, chunki funktsiya quyidagicha ko'rinadi:

f(x) = x(2x + 8)(x − 3)

Va agar biz cheksizlikni (masalan, milliard) almashtirsak, biz uchta musbat qavs olamiz. Asl ifoda noldan katta bo'lishi kerakligi sababli, bizni faqat ortiqcha narsalar qiziqtiradi. Javob yozish qoladi:

x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)

Va bugungi kunda hamma ham ratsional tengsizliklarni hal qila olmaydi. Aniqrog'i, faqat hamma ham qaror qila olmaydi. Buni kam odam qila oladi.
Klichko

Bu dars qiyin bo'ladi. Shu qadar qiyinki, faqat tanlanganlar buning oxiriga etadi. Shuning uchun, o'qishdan oldin, men ayollarni, mushuklarni, homilador bolalarni va ...

OK, aslida bu juda oddiy. Faraz qiling, siz intervalli metodni o‘zlashtirgansiz (agar o‘zlashtirmagan bo‘lsangiz, orqaga qaytib, o‘qishni tavsiya qilaman) va $P\left(x \right) \gt 0$ ko‘rinishdagi tengsizliklarni yechish yo‘llarini o‘rgandingiz, bu yerda $P. \left(x \right)$ — baʼzi koʻphad yoki koʻphadlarning koʻpaytmasi.

Ishonamanki, masalan, bunday o'yinni hal qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi (aytmoqchi, uni isinish uchun sinab ko'ring):

\[\begin(align) & \left(2((x)^(2))+3x+4 \right)\left(4x+25 \right) \gt 0; \\ & x\left(2((x)^(2))-3x-20 \o'ng)\left(x-1 \o'ng)\ge 0; \\ & \left(8x-((x)^(4)) \right)((\left(x-5 \o'ng))^(6))\le 0. \\ \end(align)\]

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz va nafaqat ko'phadlarni, balki shaklning ratsional kasrlarini ham ko'rib chiqamiz:

bu yerda $P\left(x \right)$ va $Q\left(x \right)$ $((a)_(n))((x)^(n))+( koʻrinishdagi bir xil polinomlardir. ( a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+((a)_(0))$ yoki bunday koʻphadlarning koʻpaytmasi.

Bu ratsional tengsizlik bo'ladi. Asosiy nuqta - $x$ o'zgaruvchisining maxrajda mavjudligi. Masalan, ratsional tengsizliklar:

\[\begin(align) & \frac(x-3)(x+7) \lt 0; \\ & \frac(\left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4)\ge 0; \\ & \frac(3((x)^(2))+10x+3)((\left(3-x \o'ng))^(2))\left(4-((x)^( 2)) \o‘ng))\ge 0. \\ \end(align)\]

Va bu mantiqiy emas, balki intervalli usul bilan hal qilinadigan eng keng tarqalgan tengsizlik:

\[\frac(((x)^(2))+6x+9)(5)\ge 0\]

Oldinga qarab, men darhol aytaman: ratsional tengsizliklarni hal qilishning kamida ikkita usuli bor, ammo ularning barchasi u yoki bu tarzda bizga ma'lum bo'lgan intervallar usuliga qisqartirilgan. Shuning uchun, ushbu usullarni tahlil qilishdan oldin, keling, eski faktlarni eslaylik, aks holda yangi materialdan hech qanday ma'no bo'lmaydi.

Siz allaqachon bilishingiz kerak bo'lgan narsa

Ko'p muhim faktlar mavjud emas. Bizga faqat to'rtta kerak.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Ha, ha: ular bizni maktab matematika o'quv dasturi davomida ta'qib qilishadi. Va universitetda ham. Ushbu formulalarning bir nechtasi bor, ammo bizga faqat quyidagilar kerak:

\[\begin(align) & ((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \o'ng))^(2)); \\ & ((a)^(2))-(b)^(2))=\left(a-b \o'ng)\left(a+b \o'ng); \\ & ((a)^(3))+(b)^(3))=\left(a+b \o'ng)\left(((a)^(2))-ab+((b) ^(2))\o'ng); \\ & ((a)^(3))-(b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+(b)^( 2))\o‘ng). \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi ikkita formulaga e'tibor bering - bu kublarning yig'indisi va farqi (yig'indi yoki farqning kubi emas!). Agar birinchi qavsdagi belgi asl iboradagi belgi bilan bir xil, ikkinchi qavsdagi esa asl ifodadagi belgiga qarama-qarshi ekanligini sezsangiz, ularni eslab qolish oson.

Chiziqli tenglamalar

Bular $ax+b=0$ koʻrinishidagi eng oddiy tenglamalar boʻlib, bu yerda $a$ va $b$ oddiy sonlar va $a\ne 0$. Bu tenglamani yechish oson:

\[\begin(align) & ax+b=0; \\ &ax=-b; \\ & x=-\ frac(b)(a). \\ \end (tekislash)\]

Shuni ta'kidlaymanki, biz $a$ koeffitsientiga bo'lish huquqiga egamiz, chunki $a\ne 0$. Bu talab juda mantiqiy, chunki $a=0$ bilan biz buni olamiz:

Birinchidan, bu tenglamada $x$ o'zgaruvchisi yo'q. Bu, umuman olganda, bizni chalkashtirmasligi kerak (bu, masalan, geometriyada va juda tez-tez sodir bo'ladi), lekin biz endi chiziqli tenglama emasmiz.

Ikkinchidan, bu tenglamaning yechimi faqat $b$ koeffitsientiga bog'liq. Agar $b$ ham nolga teng bo'lsa, bizning tenglamamiz $0=0$ bo'ladi. Bu tenglik har doim to'g'ri; shuning uchun $x$ har qanday raqam (odatda \mathbb(R)$da $x\ shaklida yoziladi). Agar $b$ koeffitsienti nolga teng bo'lmasa, u holda $b=0$ tengligi hech qachon bajarilmaydi, ya'ni. javob yo'q ($x\da \varnothing $ deb yoziladi va "yechimlar to'plami bo'sh" deb o'qiladi).

Bu murakkabliklarning oldini olish uchun biz shunchaki $a\ne 0$ ni qabul qilamiz, bu esa bizni keyingi mulohazalarni hech qanday tarzda cheklamaydi.

Kvadrat tenglamalar

Sizga shuni eslatib o'tamanki, bu kvadrat tenglama deyiladi:

Bu erda chap tomonda ikkinchi darajali ko'phad va yana $a\ne 0$ (aks holda kvadrat tenglama o'rniga chiziqli tenglamani olamiz). Diskriminant yordamida quyidagi tenglamalar yechiladi:

1. Agar $D \gt 0$ bo'lsa, biz ikki xil ildiz olamiz;
2. Agar $D=0$ boʻlsa, unda ildiz bitta boʻladi, lekin ikkinchi koʻplikdan (u qanday koʻplik va uni qanday hisobga olish kerak - bu haqda keyinroq). Yoki tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb aytishimiz mumkin;
3. $D \lt 0$ uchun umuman ildizlar yoʻq va har qanday $x$ uchun $a((x)^(2))+bx+c$ koʻphadning belgisi $a koeffitsienti belgisiga toʻgʻri keladi. $. Aytgancha, bu juda foydali fakt bo'lib, negadir algebra darslarida aytilishi unutilgan.

Ildizlarning o'zi taniqli formula bo'yicha hisoblanadi:

\[((x)_(1,2))=\frac(-b\pm \sqrt(D))(2a)\]

Aytgancha, diskriminantga nisbatan cheklovlar. Axir, manfiy sonning kvadrat ildizi mavjud emas. Ildizlarga kelsak, ko'plab talabalarning boshlarida dahshatli tartibsizlik bor, shuning uchun men butun darsni maxsus yozib oldim: algebrada ildiz nima va uni qanday hisoblash mumkin - men uni o'qishni tavsiya qilaman. :)

Ratsional kasrlar bilan amallar

Yuqorida yozilganlarning barchasi, siz intervallar usulini o'rganganmisiz, allaqachon bilasiz. Ammo biz hozir tahlil qiladigan narsaning o'tmishda o'xshashi yo'q - bu mutlaqo yangi fakt.

Ta'rif. Ratsional kasr shaklning ifodasidir

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\chap(x \o'ng))\]

bu yerda $P\left(x \right)$ va $Q\left(x \right)$ polinomlardir.

Ko'rinib turibdiki, bunday kasrdan tengsizlikni olish oson - o'ngga "kattaroq" yoki "kichik" belgisini qo'yish kifoya. Va biroz oldinroq biz bunday muammolarni hal qilish zavq ekanligini bilib olamiz, u erda hamma narsa juda oddiy.

Muammolar bir ifodada bir nechta shunday kasrlar mavjud bo'lganda boshlanadi. Ularni umumiy maxrajga qisqartirish kerak - va ayni paytda ko'plab hujumkor xatolarga yo'l qo'yilmoqda.

Shuning uchun ratsional tenglamalarni muvaffaqiyatli yechish uchun ikkita ko'nikmani mustahkam egallash kerak:

1. $P\left(x \right)$ koʻphadini koʻpaytmalarga ajratish;
2. Aslida, kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Polinomni qanday qilib faktorlarga ajratish mumkin? Juda onson. Shaklning ko'phadiga ega bo'lsin

Keling, uni nolga tenglashtiramiz. Biz $n$-chi darajali tenglamani olamiz:

\[((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x)^(n-1))+...+(( a)_(1))x+((a)_(0))=0\]

Aytaylik, biz bu tenglamani yechdik va $((x)_(1)),\ ...,\ ((x)_(n))$ ildizlarini oldik (xavotir olmang: ko‘p hollarda bunday bo‘lmaydi. bu ildizlarning ikkitadan ko'pi). Bunday holda, bizning asl polinomimiz quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

\[\begin(align) & P\left(x \right)=((a)_(n))((x)^(n))+((a)_(n-1))((x) )^(n-1))+...+((a)_(1))x+((a)_(0))= \\ & =(a)_(n))\chap(x -((x)_(1)) \o'ng)\cdot \left(x-((x)_(2)) \o'ng)\cdot ...\cdot \left(x-((x)_( n)) \o'ng) \end(tekislash)\]

Hammasi shu! E'tibor bering: $((a)_(n))$ yetakchi koeffitsienti hech qayerda yo'qolgan emas - bu qavslar oldida alohida omil bo'ladi va agar kerak bo'lsa, uni ushbu qavslarning istalganiga kiritish mumkin (amaliy ko'rsatuvlar). $((a)_ (n))\ne \pm 1$ bilan ildizlar orasida deyarli har doim kasrlar mavjud).

Vazifa. Ifodani soddalashtiring:

\[\frac(((x)^(2))+x-20)(x-4)-\frac(2((x)^(2))-5x+3)(2x-3)-\ frac(4-8x-5((x)^(2)(x+2)\]

Qaror. Birinchidan, keling, maxrajlarni ko'rib chiqaylik: ularning barchasi chiziqli binomlar va bu erda faktorlarga ajratish uchun hech narsa yo'q. Shunday qilib, keling, sonlarni koeffitsientlarga ajratamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+x-20=\left(x+5 \right)\left(x-4 \right); \\ & 2((x)^(2))-5x+3=2\chap(x-\frac(3)(2) \o'ng)\left(x-1 \o'ng)=\chap(2x- 3\o'ng)\chap(x-1\o'ng); \\ & 4-8x-5((x)^(2))=-5\chap(x+2 \o'ng)\left(x-\frac(2)(5) \o'ng)=\chap(x +2 \o'ng)\chap (2-5x \o'ng). \\\end (tekislash)\]

E'tibor bering: ikkinchi polinomda "2" katta koeffitsienti bizning sxemamizga to'liq mos ravishda, avval qavs oldida paydo bo'ldi, keyin esa birinchi qavsga kiritildi, chunki u erda kasr chiqdi.

Xuddi shu narsa uchinchi ko'phadda sodir bo'ldi, faqat u erda atamalarning tartibi ham chalkashib ketgan. Biroq, "-5" koeffitsienti ikkinchi qavsga kiritilishi bilan yakunlandi (esda tuting: siz bitta va faqat bitta qavsga omil kiritishingiz mumkin!), Bu bizni kasr ildizlari bilan bog'liq noqulaylikdan qutqardi.

Birinchi polinomga kelsak, u erda hamma narsa oddiy: uning ildizlari standart usulda diskriminant orqali yoki Vieta teoremasi yordamida izlanadi.

Keling, asl iboraga qaytaylik va uni koeffitsientlarga ajratilgan hisoblagichlar bilan qayta yozamiz:

\[\begin(matritsa) \frac(\left(x+5 \o'ng)\left(x-4 \o'ng))(x-4)-\frac(\left(2x-3 \o'ng)\left( x-1 \o'ng))(2x-3)-\frac(\chap(x+2 \o'ng)\chap(2-5x \o'ng))(x+2)= \\ =\chap(x+5) \o'ng)-\left(x-1 \o'ng)-\chap(2-5x \o'ng)= \\ =x+5-x+1-2+5x= \\ =5x+4. \\ \end (matritsa)\]

Javob: $5x+4$.

Ko'rib turganingizdek, hech qanday murakkab narsa yo'q. Bir oz 7-8-sinf matematika va tamom. Barcha o'zgarishlarning maqsadi murakkab va qo'rqinchli ifodani oddiy va oson ishlashga aylantirishdir.

Biroq, bu har doim ham shunday bo'lmaydi. Shunday qilib, endi biz jiddiyroq muammoni ko'rib chiqamiz.

Biroq, avvalo, ikkita kasrni umumiy maxrajga qanday olib kelishni aniqlaymiz. Algoritm juda oddiy:

1. Ikkala maxrajni ham faktorlarga ajrating;
2. Birinchi maxrajni ko'rib chiqing va unga ikkinchi maxrajda mavjud bo'lgan omillarni qo'shing, lekin birinchisida emas. Olingan mahsulot umumiy maxraj bo'ladi;
3. Asl kasrlarning har birida qanday omillar yetishmasligini aniqlang, shunda maxrajlar umumiy kasrga teng bo'ladi.

Ehtimol, bu algoritm sizga shunchaki "ko'p harflar" bo'lgan matn bo'lib tuyulishi mumkin. Shunday qilib, keling, aniq bir misolni ko'rib chiqaylik.

Vazifa. Ifodani soddalashtiring:

\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \o'ng)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \o'ng)\]

Qaror. Bunday hajmli vazifalar eng yaxshi qismlarga bo'linadi. Keling, birinchi qavsda nima borligini yozamiz:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3))-8 )-\frac(1)(x-2)\]

Oldingi muammodan farqli o'laroq, bu erda denominatorlar unchalik oddiy emas. Keling, ularning har birini faktorlarga ajratamiz.

$((x)^(2))+2x+4$ kvadrat trinomialni koeffitsientlarga ajratib bo‘lmaydi, chunki $((x)^(2))+2x+4=0$ tenglamaning ildizlari yo‘q (diskriminant manfiy) . Biz uni o'zgarishsiz qoldiramiz.

Ikkinchi maxraj, kubik polinom $((x)^(3))-8$, yaqinroq o'rganilsa, kublar farqidir va qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida osongina parchalanishi mumkin:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \o'ng)\left((x) ^(2))+2x+4 \o'ng)\]

Boshqa hech narsani faktorlarga ajratib bo'lmaydi, chunki birinchi qavs chiziqli binomialni o'z ichiga oladi, ikkinchisi esa bizga allaqachon tanish bo'lgan, haqiqiy ildizga ega bo'lmagan konstruktsiyadir.

Nihoyat, uchinchi maxraj parchalanmaydigan chiziqli binomdir. Shunday qilib, bizning tenglamamiz quyidagi shaklni oladi:

\[\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \o'ng)\chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng))-\frac(1)(x-2)\]

Ko'rinib turibdiki, $\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ umumiy maxraj bo'ladi va unga barcha kasrlarni kamaytirish uchun siz birinchi kasrni $\left(x-2 \right)$ ga, oxirgi qismini esa $\left(((x)^(2))+2x+4 \right)$ ga ko'paytirish kerak. Keyin faqat quyidagilarni keltirish qoladi:

\[\begin(matritsa) \frac(x\cdot \left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \ o'ng))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))- \frac(1\cdot \left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x +4 \o'ng))= \\ =\frac(x\cdot \left(x-2 \o'ng)+\left(((x)^(2))+8 \o'ng)-\chap(((x) )^(2))+2x+4 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \\ =\frac (((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \o'ng)\chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \\ =\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \o'ng)\ chap (((x)^(2))+2x+4 \o'ng)). \\ \end (matritsa)\]

Ikkinchi qatorga e'tibor bering: denominator allaqachon umumiy bo'lsa, ya'ni. uchta alohida kasr o'rniga biz bitta katta qismini yozdik, siz darhol qavslardan xalos bo'lmasligingiz kerak. Qo'shimcha qator yozish va shuni ta'kidlash kerakki, aytaylik, uchinchi kasrdan oldin minus bor edi - va u hech qaerga ketmaydi, lekin qavs oldidagi hisoblagichga "osilib qoladi". Bu sizni ko'p xatolardan qutqaradi.

Xo'sh, oxirgi qatorda hisoblagichni faktorlarga ajratish foydalidir. Bundan tashqari, bu aniq kvadrat va qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yana yordamimizga keladi. Bizda ... bor:

\[\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng))= \frac(((\left(x-2 \o'ng))^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(((x)^(2))+2x+4 \o'ng) )=\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]

Endi ikkinchi qavs bilan xuddi shu tarzda ishlaymiz. Bu erda men oddiygina tenglik zanjirini yozaman:

\[\begin(matritsa) \frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac((( x)^(2))))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))-\frac(2)(2-x)= \\ =\frac(((x)) ^(2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))+\frac(2)(x-2)= \\ =\frac((x)^( 2)))(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng))+\frac(2\cdot \left(x+2 \o'ng))(\left(x-2 \o'ng) )\cdot \left(x+2 \o'ng))= \\ =\frac(((x)^(2))+2\cdot \left(x+2 \o'ng))(\left(x-2) \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \o'ng)\left(x+2 \o'ng) ). \\ \end (matritsa)\]

Biz asl muammoga qaytamiz va mahsulotga qaraymiz:

\[\frac(x-2)((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \o'ng)\left(x+2 \o'ng))=\frac(1)(x+2)\]

Javob: \[\frac(1)(x+2)\].

Ushbu muammoning ma'nosi avvalgisi bilan bir xil: agar siz ularni o'zgartirishga oqilona yondashsangiz, ratsional ifodalarni qanchalik soddalashtirish mumkinligini ko'rsatish.

Va endi, bularning barchasini bilganingizdan so'ng, keling, bugungi darsimizning asosiy mavzusiga - kasrli ratsional tengsizliklarni yechishga o'tamiz. Bundan tashqari, bunday tayyorgarlikdan so'ng, tengsizliklar yong'oq kabi bosiladi. :)

Ratsional tengsizliklarni yechishning asosiy usuli

Ratsional tengsizliklarni yechishda kamida ikkita yondashuv mavjud. Endi biz ulardan birini ko'rib chiqamiz - maktab matematika kursida umumiy qabul qilingan.

Lekin birinchi navbatda, bir muhim tafsilotga e'tibor qaratamiz. Barcha tengsizliklar ikki turga bo'linadi:

1. Qattiq: $f\left(x \right) \gt 0$ yoki $f\left(x \o'ng) \lt 0$;
2. Nostandart: $f\left(x \right)\ge 0$ yoki $f\left(x \o'ng)\le 0$.

Ikkinchi turdagi tengsizliklar birinchisiga osonlikcha tushiriladi, shuningdek tenglama:

Ushbu kichik "qo'shimcha" $f\left(x \right)=0$ to'ldirilgan nuqtalar kabi yoqimsiz narsaga olib keladi - biz ularni intervalli usulda uchratdik. Aks holda, qat'iy va qat'iy bo'lmagan tengsizliklar o'rtasida farq yo'q, shuning uchun universal algoritmni tahlil qilaylik:

1. Tengsizlik belgisining bir tomonida nolga teng bo'lmagan barcha elementlarni to'plang. Masalan, chap tomonda;
2. Barcha kasrlarni umumiy maxrajga keltiring (agar bunday kasrlar bir nechta bo'lsa), o'xshashlarini keltiring. Keyin, agar iloji bo'lsa, son va maxrajga ajrating. U yoki bu tarzda biz $\frac(P\left(x \right))(Q\left(x \right))\vee 0$ ko`rinishdagi tengsizlikni olamiz, bunda belgi tengsizlik belgisidir.
3. Numeratorni nolga tenglashtiring: $P\left(x \right)=0$. Biz bu tenglamani yechib, $((x)_(1))$, $((x)_(2))$, $((x)_(3))$, ... ildizlarini olamiz. maxraj nolga teng emasligi: $Q\left(x \right)\ne 0$. Albatta, mohiyatan $Q\left(x \right)=0$ tenglamasini yechishimiz kerak va $x_(1)^(*)$, $x_(2)^(*) ildizlarini olamiz. $, $x_(3 )^(*)$, ... (haqiqiy masalalarda bunday ildizlar uchtadan ko'p bo'lmaydi).
4. Biz bu ildizlarning barchasini (yulduzchali va yulduzsiz) bitta raqam chizig'ida belgilaymiz va yulduzsiz ildizlar bo'yalgan, yulduzlilari esa teshilgan.
5. Biz ortiqcha va minus belgilarini joylashtiramiz, kerakli intervallarni tanlaymiz. Agar tengsizlik $f\left(x \right) \gt 0$ ko'rinishga ega bo'lsa, u holda javob "plyus" bilan belgilangan intervallar bo'ladi. Agar $f\left(x \right) \lt 0$ bo'lsa, u holda "minuslar" bilan intervallarni ko'rib chiqamiz.

Amaliyot shuni ko'rsatadiki, 2 va 4-bandlar eng katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradi - malakali o'zgarishlar va raqamlarni ortib boruvchi tartibda to'g'ri joylashtirish. Xo'sh, oxirgi bosqichda juda ehtiyot bo'ling: biz har doim belgilarga asoslanib joylashtiramiz tenglamalarga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlik. Bu interval usulidan meros bo'lib qolgan universal qoidadir.

Shunday qilib, sxema mavjud. Keling, mashq qilaylik.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(x-3)(x+7) \lt 0\]

Qaror. Bizda $f\left(x \right) \lt 0$ ko'rinishdagi qat'iy tengsizlik mavjud. Shubhasiz, bizning sxemamizdagi 1 va 2-bandlar allaqachon bajarilgan: tengsizlikning barcha elementlari chap tomonda to'plangan, hech narsani umumiy maxrajga tushirish kerak emas. Shunday qilib, uchinchi nuqtaga o'tamiz.

Numeratorni nolga qo'ying:

\[\boshlang(hatlang) & x-3=0; \\ &x=3. \end(tuzalash)\]

Va maxraj:

\[\boshlang(hatlang) & x+7=0; \\ & ((x)^(*))=-7. \\ \end (tekislash)\]

Bu joyda ko'pchilik tiqilib qoladi, chunki nazariy jihatdan ODZ talab qilganidek $x+7\ne 0$ yozish kerak (nolga bo'linib bo'lmaydi, hammasi shu). Ammo kelajakda biz maxrajdan kelgan nuqtalarni ajratib olamiz, shuning uchun siz hisob-kitoblaringizni yana bir bor murakkablashtirmasligingiz kerak - hamma joyda teng belgini yozing va tashvishlanmang. Buning uchun hech kim ball olib tashlamaydi. :)

To'rtinchi nuqta. Olingan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz:

Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun barcha nuqtalar teshiladi

Eslatma: barcha nuqtalar teshiladi, chunki dastlabki tengsizlik qat'iydir. Va bu erda endi muhim emas: bu nuqtalar hisoblagichdan yoki maxrajdan kelgan.

Xo'sh, belgilarga qarang. $((x)_(0)) \gt 3$ istalgan raqamni oling. Misol uchun, $((x)_(0))=100$ (lekin siz $((x)_(0))=3.1$ yoki $((x)_(0)) = olishi mumkin edi. 1\000\000$). Biz olamiz:

Shunday qilib, barcha ildizlarning o'ng tomonida biz ijobiy maydonga egamiz. Va har bir ildizdan o'tayotganda, belgi o'zgaradi (bu har doim ham shunday bo'lmaydi, lekin bu haqda keyinroq). Shuning uchun biz beshinchi nuqtaga o'tamiz: biz belgilarni joylashtiramiz va to'g'risini tanlaymiz:

Biz tenglamalarni echishdan oldin bo'lgan oxirgi tengsizlikka qaytamiz. Aslida, bu asl nusxaga to'g'ri keladi, chunki biz bu vazifada hech qanday o'zgarishlar qilmadik.

$f\left(x \right) \lt 0$ ko'rinishdagi tengsizlikni yechish zarur bo'lganligi sababli, men $x\intervalini \left(-7;3 \right)$da soya qildim - bu yagona. minus belgisi bilan belgilanadi. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-7;3 \right)$

Hammasi shu! Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Darhaqiqat, bu oson ish edi. Keling, missiyani biroz murakkablashtiramiz va ko'proq "xayoliy" tengsizlikni ko'rib chiqamiz. Uni hal qilishda men endi bunday batafsil hisob-kitoblarni bermayman - men oddiygina asosiy fikrlarni aytib beraman. Umuman olganda, biz buni mustaqil ish yoki imtihonda qanday bajargan bo'lsak, shunday tartibga solamiz. :)

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(\left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4)\ge 0\]

Qaror. Bu $f\left(x \right)\ge 0$ ko'rinishdagi qat'iy bo'lmagan tengsizlikdir. Nolga teng bo'lmagan barcha elementlar chap tomonda to'plangan, har xil denominatorlar yo'q. Keling, tenglamalarga o'tamiz.

Hisoblagich:

\[\begin(hizala) & \left(7x+1 \o'ng)\left(11x+2 \o'ng)=0 \\ & 7x+1=0\O'ng strelka ((x)_(1))=-\ frac(1)(7); \\ & 11x+2=0\Oʻng yoʻl ((x)_(2))=-\frac(2)(11). \\ \end (tekislash)\]

Denominator:

\[\boshlang(tuzala) & 13x-4=0; \\ & 13x=4; \\ & ((x)^(*))=\frac(4)(13). \\ \end (tekislash)\]

Men bu muammoni qanday buzuq odam yaratganini bilmayman, lekin ildizlar unchalik yaxshi chiqmadi: ularni raqamlar qatorida joylashtirish qiyin bo'ladi. Va agar $((x)^(*))=(4)/(13)\;$ ildizi bilan hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq bo'lsa (bu yagona ijobiy raqam - o'ng tomonda bo'ladi), keyin $ ((x)_(1 ))=-(1)/(7)\;$ va $((x)_(2))=-(2)/(11)\;$ qoʻshimcha oʻrganishni talab qiladi: qaysi biri kattaroqmi?

Buni bilib olishingiz mumkin, masalan:

\[((x)_(1))=-\frac(1)(7)=-\frac(2)(14) \gt -\frac(2)(11)=((x)_(2) ))\]

Umid qilamanki, nima uchun sonli kasr $-(2)/(14)\; \gt -(2)/(11)\;$? Agar kerak bo'lsa, kasrlar bilan harakatlarni qanday bajarishni eslashni tavsiya etaman.

Va biz uchta ildizni raqamlar qatorida belgilaymiz:

Numeratordan nuqtalar soyalanadi, maxrajdan esa ular kesiladi

Biz belgilar qo'yamiz. Masalan, siz $((x)_(0))=1$ ni olishingiz va shu nuqtada belgini topishingiz mumkin:

\[\begin(align) & f\left(x \right)=\frac(\left(7x+1 \right)\left(11x+2 \o'ng))(13x-4); \\ & f\left(1 \o'ng)=\frac(\left(7\cdot 1+1 \right)\left(11\cdot 1+2 \o'ng))(13\cdot 1-4)=\ frac(8\cdot 13)(9) \gt 0. \\\end(align)\]

Tenglamalardan oldingi oxirgi tengsizlik $f\left(x \right)\ge 0$ edi, shuning uchun bizni ortiqcha belgisi qiziqtiradi.

Biz ikkita to'plam oldik: biri oddiy segment, ikkinchisi esa raqamlar chizig'idagi ochiq nur.

Javob: $x\in \left[ -\frac(2)(11);-\frac(1)(7) \right]\bigcup \left(\frac(4)(13);+\infty \right )$

Eng o'ng oraliqdagi belgini bilish uchun biz almashtiradigan raqamlar haqida muhim eslatma. Eng o'ngdagi ildizga yaqin raqamni almashtirish shart emas. Siz milliardlab yoki hatto "plyus-cheksizlik" ni olishingiz mumkin - bu holda, qavs, numerator yoki maxrajdagi ko'phadning belgisi faqat etakchi koeffitsient belgisi bilan belgilanadi.

Oxirgi tengsizlikdan $f\left(x \right)$ funktsiyasini yana bir bor ko'rib chiqamiz:

U uchta polinomni o'z ichiga oladi:

\[\begin(align) & ((P)_(1))\left(x \right)=7x+1; \\ & ((P)_(2))\chap(x \o'ng)=11x+2; \\ & Q\chap(x\o'ng)=13x-4. \end(tuzalash)\]

Ularning barchasi chiziqli binomiallar bo'lib, ularning barchasi ijobiy koeffitsientlarga ega (7, 11 va 13 raqamlar). Shuning uchun, juda katta raqamlarni almashtirganda, polinomlarning o'zi ham ijobiy bo'ladi. :)

Bu qoida haddan tashqari murakkab tuyulishi mumkin, lekin birinchi navbatda, biz juda oson vazifalarni tahlil qilganimizda. Jiddiy tengsizliklarda "plyus-cheksizlik" almashtirish bizga $((x)_(0))=100$ standartidan ancha tezroq belgilarni aniqlash imkonini beradi.

Biz tez orada bunday qiyinchiliklarga duch kelamiz. Lekin, avvalo, kasrli ratsional tengsizliklarni yechishning muqobil usulini ko‘rib chiqamiz.

Muqobil yo'l

Bu texnikani menga shogirdlarimdan biri taklif qilgan. Men o'zim uni hech qachon ishlatmaganman, lekin amaliyot shuni ko'rsatdiki, ko'plab talabalar uchun tengsizliklarni shu tarzda hal qilish haqiqatan ham qulayroqdir.

Shunday qilib, asl ma'lumotlar bir xil. Biz kasrli ratsional tengsizlikni yechishimiz kerak:

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\left(x \o'ng)) \gt 0\]

Keling, o'ylab ko'raylik: nima uchun $Q\left(x \right)$ ko'phad $P\left(x \right)$ polinomidan "yomonroq"? Nima uchun biz ildizlarning alohida guruhlarini (yulduzcha bilan va yulduzsiz) ko'rib chiqishimiz kerak, teshilgan nuqtalar haqida o'ylashimiz kerak va hokazo? Hammasi oddiy: kasrning ta'rif sohasi bor, unga ko'ra kasr faqat uning maxraji noldan farq qilganda ma'noga ega bo'ladi.

Aks holda, hisoblagich va maxraj o'rtasida hech qanday farq yo'q: biz ham uni nolga tenglashtiramiz, ildizlarni qidiramiz, keyin ularni raqam chizig'ida belgilaymiz. Xo'sh, nima uchun kasr satrini (aslida, bo'linish belgisini) odatiy ko'paytirish bilan almashtirib, DHSning barcha talablarini alohida tengsizlik sifatida yozmaslik kerak? Masalan, bu kabi:

\[\frac(P\left(x \o'ng))(Q\left(x \o'ng)) \gt 0\O'ng strelka \chap\( \begin(align) & P\left(x \o'ng)\cdot Q \left(x \right) \gt 0, \\ & Q\left(x \right)\ne 0. \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Iltimos, diqqat qiling: bu yondashuv muammoni intervallar usuliga kamaytirishga imkon beradi, ammo bu yechimni umuman murakkablashtirmaydi. Axir, baribir, biz $Q\left(x \right)$ polinomini nolga tenglashtiramiz.

Keling, u haqiqiy vazifalarda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\]

Qaror. Shunday qilib, interval usuliga o'tamiz:

\[\frac(x+8)(x-11) \gt 0\O'ng strelka \chap\( \begin(align) & \left(x+8 \o'ng)\left(x-11 \o'ng) \gt 0 , \\ & x-11\ne 0. \\ \end(tuzala) \o'ng.\]

Birinchi tengsizlik elementar yechiladi. Har bir qavsni nolga qo'ying:

\[\begin(align) & x+8=0\O'ng strelka ((x)_(1))=-8; \\ & x-11=0\Oʻng strelka ((x)_(2))=11. \\ \end (tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlik bilan hamma narsa oddiy:

Haqiqiy chiziqda $((x)_(1))$ va $((x)_(2))$ nuqtalarini belgilaymiz. Ularning barchasi teshilgan, chunki tengsizlik qat'iy:

To'g'ri nuqta ikki marta teshilgan bo'lib chiqdi. Bu odatiy.

$x=11$ nuqtasiga e'tibor bering. Ma'lum bo'lishicha, u "ikki marta o'yilgan": bir tomondan, biz tengsizlikning jiddiyligi tufayli, ikkinchi tomondan, ODZning qo'shimcha talabi tufayli uni o'chirib tashlaymiz.

Har holda, bu shunchaki teshilgan nuqta bo'ladi. Shuning uchun biz $\left(x+8 \right)\left(x-11 \right) \gt 0$ tengsizligining belgilarini qo'yamiz - biz tenglamalarni echishni boshlashdan oldin oxirgi ko'rganimiz:

Bizni ijobiy mintaqalar qiziqtiradi, chunki biz $f\left(x \right) \gt 0$ koʻrinishdagi tengsizlikni yechyapmiz va biz ularni ranglaymiz. Javobni yozishgina qoladi.

Javob. $x\in \left(-\infty;-8 \right)\bigcup \left(11;+\infty \o'ng)$

Ushbu yechimni misol sifatida ishlatib, men sizni yangi boshlanuvchilar orasida keng tarqalgan xatodan ogohlantirmoqchiman. Ya'ni: tengsizliklarda hech qachon qavs ochmang! Aksincha, hamma narsani hisobga olishga harakat qiling - bu yechimni soddalashtiradi va sizni juda ko'p muammolardan xalos qiladi.

Endi qiyinroq narsani sinab ko'raylik.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(\left(2x-13 \o'ng)\left(12x-9 \o'ng))(15x+33)\le 0\]

Qaror. Bu $f\left(x \right)\le 0$ shaklining qat'iy bo'lmagan tengsizligi, shuning uchun bu erda to'ldirilgan nuqtalarni diqqat bilan kuzatib borishingiz kerak.

Keling, interval usuliga o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & \left(2x-13 \right)\left(12x-9 \right)\left(15x+33 \o'ng)\le 0, \\ & 15x+33\ ne 0. \\ \end(tuzalash) \o'ng.\]

Keling, tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(hizala) & \left(2x-13 \o'ng)\left(12x-9 \o'ng)\left(15x+33 \o'ng)=0 \\ & 2x-13=0\O'ng strelka ((x) )_(1))=6,5; \\ & 12x-9=0\Oʻng yoʻl ((x)_(2))=0,75; \\ & 15x+33=0\Oʻng koʻrsatkich ((x)_(3))=-2,2. \\ \end (tekislash)\]

Biz qo'shimcha talabni hisobga olamiz:

Olingan barcha ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz:

Agar nuqta bir vaqtning o'zida teshilgan va to'ldirilgan bo'lsa, u teshilgan hisoblanadi.

Shunga qaramay, ikkita nuqta bir-birining ustiga tushadi - bu normal holat, har doim shunday bo'ladi. Faqat teshilgan va to'ldirilgan deb belgilangan nuqta aslida teshilgan nuqta ekanligini tushunish muhimdir. Bular. "Guging" "bo'yash" dan ko'ra kuchliroq harakatdir.

Bu mutlaqo mantiqiy, chunki ponksiyon orqali biz funktsiyaning belgisiga ta'sir qiladigan nuqtalarni belgilaymiz, lekin o'zlari javobda qatnashmaydi. Va agar biror nuqtada raqam bizga mos kelmay qolsa (masalan, u ODZga tushmasa), biz uni vazifaning oxirigacha ko'rib chiqishdan o'chirib tashlaymiz.

Umuman olganda, falsafa qilishni to'xtating. Biz belgilarni joylashtiramiz va minus belgisi bilan belgilangan intervallarni bo'yab qo'yamiz:

Javob. $x\in \left(-\infty ;-2,2 \right)\bigcup \left[ 0,75;6,5 \right]$.

Va yana sizning e'tiboringizni ushbu tenglamaga qaratmoqchiman:

\[\chap(2x-13 \o'ng)\chap(12x-9 \o'ng)\chap(15x+33 \o'ng)=0\]

Yana bir bor: bunday tenglamalarda hech qachon qavs ochmang! Siz buni faqat o'zingiz uchun qiyinlashtirasiz. Esingizda bo'lsin: omillarning kamida bittasi nolga teng bo'lsa, mahsulot nolga teng. Binobarin, bu tenglama oddiygina bir nechta kichikroqlarga "tushadi", biz oldingi masalada hal qildik.

Ildizlarning ko'pligini hisobga olgan holda

Oldingi masalalardan shuni ko'rish mumkinki, bu eng qiyin bo'lgan aniq bo'lmagan tengsizliklar, chunki ularda to'ldirilgan nuqtalarni kuzatib borish kerak.

Ammo dunyoda bundan ham katta yovuzlik bor - bu tengsizliklarning bir nechta ildizlari. Bu erda allaqachon to'ldirilgan ba'zi nuqtalarga rioya qilish kerak emas - bu erda tengsizlik belgisi xuddi shu nuqtalardan o'tayotganda birdan o'zgarmasligi mumkin.

Biz bu darsda hali shunga o'xshash narsalarni ko'rib chiqmadik (garchi shunga o'xshash muammo ko'pincha intervalli usulda uchragan bo'lsa ham). Shunday qilib, keling, yangi ta'rifni kiritamiz:

Ta'rif. $((\left(x-a \right))^(n))=0$ tenglamaning ildizi $x=a$ ga teng va $n$-chi koʻplikning ildizi deyiladi.

Aslida, bizni ko'plikning aniq qiymati qiziqtirmaydi. Muhimi, bu $n$ soni juft yoki toqmi. Chunki:

1. Agar $x=a$ juft koʻplikning ildizi boʻlsa, u holda funksiyaning ishorasi undan oʻtganda oʻzgarmaydi;
2. Va aksincha, agar $x=a$ toq ko'plikning ildizi bo'lsa, u holda funktsiyaning belgisi o'zgaradi.

Toq ko'plik ildizining alohida holati bu darsda ko'rib chiqilgan barcha oldingi masalalardir: u erda ko'plik hamma joyda bittaga teng.

Va yana. Muammolarni hal qilishni boshlashdan oldin, men sizning e'tiboringizni tajribali talaba uchun tushunarli bo'lib ko'rinadigan, lekin ko'plab yangi boshlanuvchilarni ahmoqlikka olib keladigan bitta noziklikka qaratmoqchiman. Aynan:

Koʻplik ildizi $n$ faqat butun ifoda shu darajaga koʻtarilganda yuzaga keladi: $((\left(x-a \right))^(n))$, lekin $\left(((x)^( n) emas. )-a\right)$.

Yana bir bor: $((\left(x-a \right))^(n))$ qavs bizga $n$ koʻplikning $x=a$ ildizini beradi, lekin qavs $\left(((x)^() n)) -a \right)$ yoki tez-tez sodir bo'lganidek, $(a-((x)^(n)))$ bizga birinchi ko'paytmaning ildizini (yoki ikkita ildizni, agar $n$ juft bo'lsa) beradi , nima bo'lishidan qat'iy nazar $n$ ga teng.

Taqqoslash:

\[((\chap(x-3 \o'ng))^(5))=0\O'ng strelka x=3\chap(5k \o'ng)\]

Bu erda hamma narsa aniq: butun qavs beshinchi kuchga ko'tarildi, shuning uchun chiqishda biz beshinchi darajaning ildizini oldik. Endi esa:

\[\left(((x)^(2))-4 \o'ng)=0\O'ng yo'l ((x)^(2))=4\O'ng strelka x=\pm 2\]

Bizda ikkita ildiz bor, lekin ularning ikkalasi ham birinchi ko'plikka ega. Yoki mana yana biri:

\[\left(((x)^(10))-1024 \o'ng)=0\O'ng yo'l ((x)^(10))=1024\O'ng yo'l x=\pm 2\]

Va o'ninchi daraja bilan adashmang. Asosiysi, 10 - juft son, shuning uchun bizda ikkita ildiz bor va ularning ikkalasi ham yana birinchi ko'paytmaga ega.

Umuman olganda, ehtiyot bo'ling: ko'plik faqat qachon sodir bo'ladi daraja faqat o'zgaruvchiga emas, balki butun qavsga tegishli.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(((x)^(2))((\left(6-x \o'ng))^(3))\left(x+4 \o'ng))(((\left(x+7) \o'ng))^(5)))\ge 0\]

Qaror. Keling, uni muqobil usulda - xususiydan mahsulotga o'tish orqali hal qilishga harakat qilaylik:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \o'ng)\cdot ( (\left(x+7 \right))^(5))\ge 0, \\ & ((\left(x+7 \o'ng))^(5))\ne 0. \\ \end(tekislash) )\to‘g‘ri.\]

Interval usuli yordamida birinchi tengsizlik bilan ishlaymiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))((\left(6-x \right))^(3))\left(x+4 \o'ng)\cdot ((\left() x+7 \right))^(5))=0; \\ & ((x)^(2))=0\O'ng strelka x=0\chap(2k \o'ng); \\ & ((\chap(6-x \o'ng))^(3))=0\O'ngga x=6\chap(3k \o'ng); \\ & x+4=0\Oʻng strelka x=-4; \\ & ((\chap(x+7 \o'ng))^(5))=0\O'ngga x=-7\chap(5k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Bundan tashqari, biz ikkinchi tengsizlikni hal qilamiz. Aslida, biz buni allaqachon hal qildik, ammo sharhlovchilar yechimda xato topmasliklari uchun uni yana hal qilish yaxshiroqdir:

\[((\chap(x+7 \o'ng))^(5))\ne 0\O'ng strelka x\ne -7\]

E'tibor bering, oxirgi tengsizlikda ko'plik yo'q. Haqiqatan ham: raqamlar chizig'idagi $x=-7$ nuqtani necha marta kesib tashlashning qanday farqi bor? Kamida bir marta, kamida besh marta - natija bir xil bo'ladi: teshilgan nuqta.

Keling, raqamlar qatorida olgan hamma narsani qayd qilaylik:

Aytganimdek, $x=-7$ nuqtasi oxir-oqibat o'chiriladi. Ko'paytmalar tengsizlikni intervalli usul bilan hal qilish asosida tartibga solinadi.

Belgilarni joylashtirish qoladi:

$x=0$ nuqta juft koʻplikning ildizi boʻlgani uchun u orqali oʻtganda belgisi oʻzgarmaydi. Qolgan nuqtalar g'alati ko'plikka ega va ular bilan hamma narsa oddiy.

Javob. $x\in \left(-\infty;-7 \right)\bigcup \left[ -4;6 \right]$

Yana $x=0$ ga e'tibor bering. Bir tekis ko'pligi tufayli qiziqarli effekt paydo bo'ladi: uning chap tomonidagi hamma narsa bo'yalgan, o'ngda - ham, nuqta o'zi esa butunlay bo'yalgan.

Natijada, javobni yozishda uni izolyatsiya qilish kerak emas. Bular. $x\in \left[ -4;0 \right]\bigcup \left[ 0;6 \right]$ kabi biror narsa yozishingiz shart emas (garchi rasmiy ravishda bunday javob ham to'g'ri bo'lar edi). Buning o'rniga biz darhol $x\in \left[ -4;6 \right]$ deb yozamiz.

Bunday ta'sir faqat ko'plikning ildizlari uchun mumkin. Va keyingi vazifada biz bu ta'sirning teskari "namoyishiga" duch kelamiz. Tayyormisiz?

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(((\left(x-3 \o'ng))^(4))\left(x-4 \o'ng))(((\left(x-1 \o'ng))^(2)) \left(7x-10-((x)^(2)) \right))\ge 0\]

Qaror. Bu safar biz standart sxemaga amal qilamiz. Numeratorni nolga qo'ying:

\[\begin(align) & ((\left(x-3 \right))^(4))\left(x-4 \right)=0; \\ & ((\chap(x-3 \o'ng))^(4))=0\O'ng strelka ((x)_(1))=3\chap(4k \o'ng); \\ & x-4=0\Oʻng strelka ((x)_(2))=4. \\ \end (tekislash)\]

Va maxraj:

\[\begin(align) & ((\left(x-1 \right))^(2))\left(7x-10-((x)^(2)) \o'ng)=0; \\ & ((\chap(x-1 \o'ng))^(2))=0\O'ngga x_(1)^(*)=1\left(2k \o'ng); \\ & 7x-10-((x)^(2))=0\Oʻngga x_(2)^(*)=5;\ x_(3)^(*)=2. \\ \end (tekislash)\]

Biz $f\left(x \right)\ge 0$ koʻrinishdagi qatʼiy boʻlmagan tengsizlikni yechayotganimiz sababli, maxrajdan (yulduzchalari bor) ildizlar kesiladi, hisoblagichdagilari esa boʻyaladi. .

Biz belgilarni joylashtiramiz va "ortiqcha" bilan belgilangan joylarni silaymiz:

$x=3$ nuqta ajratilgan. Bu javobning bir qismi

Yakuniy javobni yozishdan oldin, rasmga diqqat bilan qarang:

1. $x=1$ nuqta teng ko'plikka ega, lekin o'zi teshilgan. Shuning uchun javobda uni izolyatsiya qilish kerak bo'ladi: siz $x\in emas, balki \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$ da $x\ni yozishingiz kerak. \left(-\ infty ;2\right)$.
2. $x=3$ nuqta ham teng ko'plikka ega va soyalangan. Belgilarning joylashishi nuqtaning o'zi bizga mos kelishini ko'rsatadi, lekin chapga va o'ngga bir qadam - va biz o'zimizni aniq bizga mos kelmaydigan sohada topamiz. Bunday nuqtalar ajratilgan deb ataladi va $x\in \left\( 3 \right\)$ shaklida yoziladi.

Olingan barcha qismlarni umumiy to'plamga birlashtiramiz va javobni yozamiz.

Javob: $x\in \left(-\infty ;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;5 \right) $

Ta'rif. Tengsizlikni yechish degani uning barcha yechimlari to‘plamini toping, yoki bu toʻplam boʻsh ekanligini isbotlang.

Ko'rinib turibdiki: bu erda nima tushunarsiz bo'lishi mumkin? Ha, gap shundaki, to'plamlar turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin. Keling, oxirgi masalaga javobni qayta yozamiz:

Biz yozilganlarni tom ma'noda o'qiymiz. "X" o'zgaruvchisi ma'lum to'plamga tegishli bo'lib, u to'rtta alohida to'plamning birlashishi ("U" belgisi) bilan olinadi:

• $\left(-\infty ;1 \right)$ oralig'i, bu so'zma-so'z "barcha raqamlar birdan kichik, lekin bitta emas" degan ma'noni anglatadi;
• Interval $\left(1;2 \right)$, ya'ni. "1 dan 2 gacha bo'lgan barcha raqamlar, lekin 1 va 2 raqamlarining o'zi emas";
• To'plam $\left\( 3 \right\)$, bitta raqamdan iborat - uchta;
• $\left[ 4;5 \right)$ oralig'i 4 dan 5 gacha bo'lgan barcha raqamlarni, shuningdek, 4 ni o'z ichiga oladi, lekin 5 emas.

Bu erda uchinchi nuqta qiziq. Cheksiz raqamlar to'plamini belgilaydigan va faqat shu to'plamlarning chegaralarini bildiruvchi intervallardan farqli o'laroq, $\left\( 3 \right\)$ to'plami sanab o'tish orqali aniq bitta raqamni belgilaydi.

Biz to'plamga kiritilgan aniq raqamlarni sanab o'tayotganimizni tushunish uchun (va chegaralarni yoki boshqa narsalarni belgilamasdan), jingalak qavslardan foydalaniladi. Misol uchun, $\left\( 1;2 \right\)$ yozuvi aynan "ikki raqamdan iborat: 1 va 2" to'plamini anglatadi, lekin 1 dan 2 gacha bo'lgan segmentni emas. Hech qanday holatda bu tushunchalarni chalkashtirmang. .

Ko'plikni qo'shish qoidasi

Xo'sh, bugungi dars oxirida Pavel Berdovdan bir oz qalay. :)

Ehtiyotkor talabalar, ehtimol, allaqachon o'zlariga savol berishgan: agar hisoblagich va maxrajda bir xil ildizlar topilsa nima bo'ladi? Shunday qilib, quyidagi qoida ishlaydi:

Bir xil ildizlarning ko'pligi qo'shiladi. Har doim. Bu ildiz ham sanoqda, ham maxrajda sodir bo'lsa ham.

Ba'zida gapirishdan ko'ra qaror qabul qilish yaxshiroqdir. Shunday qilib, biz quyidagi muammoni hal qilamiz:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(((x)^(2))+6x+8)(\left(((x)^(2))-16 \o'ng)\left(((x)^(2))+ 9x+14 \o'ng))\ge 0\]

\[\begin(align) & ((x)^(2))+6x+8=0 \\ & ((x)_(1))=-2;\ ((x)_(2))= -4. \\ \end (tekislash)\]

Hozircha, hech qanday maxsus narsa yo'q. Maxrajni nolga qo'ying:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-16 \right)\left((x)^(2))+9x+14 \o'ng)=0 \\ & ( (x)^(2))-16=0\O'ng strelka x_(1)^(*)=4;\ x_(2)^(*)=-4; \\ & ((x)^(2))+9x+14=0\Oʻngga x_(3)^(*)=-7;\ x_(4)^(*)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Ikkita bir xil ildiz topildi: $((x)_(1))=-2$ va $x_(4)^(*)=-2$. Ikkalasi ham birinchi ko'plikka ega. Shuning uchun biz ularni bitta ildiz bilan almashtiramiz $x_(4)^(*)=-2$, lekin ko'pligi 1+1=2.

Bundan tashqari, bir xil ildizlar ham mavjud: $((x)_(2))=-4$ va $x_(2)^(*)=-4$. Ular ham birinchi ko'plikdir, shuning uchun faqat $x_(2)^(*)=-4$ ko'plik 1+1=2 qoladi.

Iltimos, diqqat qiling: ikkala holatda ham biz "kesilgan" ildizni qoldirdik va "bo'yalgan" ildizni ko'rib chiqishdan chiqarib tashladik. Chunki darsning boshida ham biz kelishib oldik: agar nuqta bir vaqtning o'zida teshib qo'yilgan va bo'yalgan bo'lsa, biz baribir uni teshilgan deb hisoblaymiz.

Natijada, bizda to'rtta ildiz bor va ularning barchasi o'yilgan bo'lib chiqdi:

\[\begin(align) & x_(1)^(*)=4; \\ & x_(2)^(*)=-4\left(2k \o'ng); \\ & x_(3)^(*)=-7; \\ & x_(4)^(*)=-2\chap(2k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Biz ularni ko'plikni hisobga olgan holda raqamlar qatorida belgilaymiz:

Biz belgilarni joylashtiramiz va bizni qiziqtirgan joylarga bo'yab qo'yamiz:

Hamma narsa. Izolyatsiya qilingan nuqtalar va boshqa buzilishlar yo'q. Javobni yozishingiz mumkin.

Javob. $x\in \left(-\infty ;-7 \right)\bigcup \left(4;+\infty \right)$.

ko'paytirish qoidasi

Ba'zida yanada noxush holat yuzaga keladi: bir nechta ildizga ega bo'lgan tenglamaning o'zi ma'lum bir kuchga ko'tariladi. Bu barcha asl ildizlarning ko'pligini o'zgartiradi.

Bu kamdan-kam uchraydi, shuning uchun ko'pchilik talabalar bunday muammolarni hal qilishda tajribaga ega emaslar. Va bu erda qoida:

Tenglama $n$ darajaga ko'tarilsa, uning barcha ildizlarining ko'pligi ham $n$ marta ortadi.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, kuchga ko'tarilish ko'paytmalarni bir xil kuchga ko'paytirishga olib keladi. Misol tariqasida ushbu qoidani olaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(x((\left(((x)^(2))-6x+9 \o'ng))^(2))((\left(x-4 \o'ng))^(5)) )(((\left(2-x \o'ng))^(3))((\left(x-1 \o'ng))^(2)))\le 0\]

Qaror. Numeratorni nolga qo'ying:

Faktorlarning kamida bittasi nolga teng bo'lganda mahsulot nolga teng bo'ladi. Birinchi multiplikator bilan hamma narsa aniq: $x=0$. Va bu erda muammolar boshlanadi:

\[\begin(align) & ((\left(((x)^(2))-6x+9 \o'ng))^(2))=0; \\ & ((x)^(2))-6x+9=0\chap(2k \o'ng); \\ & D=((6)^(3))-4\cdot 9=0 \\ & ((x)_(2))=3\left(2k \o'ng)\left(2k \o'ng) \ \ & ((x)_(2))=3\chap(4k \o'ng) \\ \end(tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, $((x)^(2))-6x+9=0$ tenglamasi ikkinchi ko'plikning yagona ildiziga ega: $x=3$. Keyin butun tenglama kvadratga aylanadi. Demak, ildizning ko'pligi $2\cdot 2=4$ bo'ladi, biz buni nihoyat yozib oldik.

\[((\chap(x-4 \o'ng))^(5))=0\O'ng strelka x=4\chap(5k \o'ng)\]

Maxraj bilan ham muammo yo'q:

\[\begin(align) & ((\left(2-x \right))^(3))((\left(x-1 \right))^(2))=0; \\ & ((\chap(2-x \o'ng))^(3))=0\O'ngga x_(1)^(*)=2\left(3k \o'ng); \\ & ((\chap(x-1 \o'ng))^(2))=0\O'ngga x_(2)^(*)=1\chap(2k \o'ng). \\ \end (tekislash)\]

Hammasi bo'lib biz besh ochko oldik: ikkitasi zarba berdi va uchtasi to'ldiriladi. Numerator va maxrajda mos keladigan ildizlar yo'q, shuning uchun biz ularni faqat raqamlar qatorida belgilaymiz:

Biz belgilarni ko'plikni hisobga olgan holda tartibga solamiz va bizni qiziqtirgan intervallarni bo'yab turamiz:

Yana bitta ajratilgan nuqta va bitta teshilgan

Ko'p sonlilikning ildizlari tufayli biz yana bir nechta "nostandart" elementlarni oldik. Bu $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)$, $x\in \left[ 0;2 \right)$ emas, shuningdek, ajratilgan nuqta $ x\in \chap\( 3 \o'ng\)$.

Javob. $x\in \left[ 0;1 \right)\bigcup \left(1;2 \right)\bigcup \left\( 3 \right\)\bigcup \left[ 4;+\infty \right)$

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa unchalik qiyin emas. Asosiysi, e'tibor. Ushbu darsning oxirgi qismi o'zgarishlarga bag'ishlangan - biz boshida muhokama qilgan narsalar.

Oldindan konversiyalar

Ushbu bo'limda biz muhokama qiladigan tengsizliklar murakkab emas. Biroq, oldingi vazifalardan farqli o'laroq, bu erda siz ratsional kasrlar nazariyasidan ko'nikmalarni qo'llashingiz kerak bo'ladi - faktorizatsiya va umumiy maxrajga qisqartirish.

Biz bugungi darsning boshida bu masalani batafsil muhokama qildik. Agar gap nima haqida ekanligini tushunganingizga ishonchingiz komil bo'lmasa, orqaga qaytib, takrorlashni tavsiya etaman. Chunki kasrlarni ayirboshlashda "suzib" ketsangiz, tengsizliklarni yechish usullarini ko'paytirishdan ma'no yo'q.

Aytgancha, uy vazifasida ham shunga o'xshash vazifalar ko'p bo'ladi. Ular alohida bo'limga joylashtirilgan. Va u erda siz juda oddiy bo'lmagan misollarni topasiz. Ammo bu uy vazifasida bo'ladi, lekin endi bir nechta tengsizliklarni tahlil qilaylik.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(x)(x-1)\le \frac(x-2)(x)\]

Qaror. Hammasini chapga siljitish:

\[\frac(x)(x-1)-\frac(x-2)(x)\le 0\]

Biz umumiy maxrajga qisqartiramiz, qavslarni ochamiz, hisoblagichga o'xshash shartlarni beramiz:

\[\begin(align) & \frac(x\cdot x)(\left(x-1 \o'ng)\cdot x)-\frac(\left(x-2 \o'ng)\left(x-1 \ o'ng))(x\cdot \left(x-1 \o'ng))\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))-\left(((x)^(2))-2x-x+2 \o'ng))(x\left(x-1 \o'ng)) \le0; \\ & \frac(((x)^(2))-((x)^(2))+3x-2)(x\left(x-1 \o'ng))\le 0; \\ & \frac(3x-2)(x\left(x-1 \o'ng))\le 0. \\\end(align)\]

Endi bizda klassik kasrli ratsional tengsizlik bor, uni hal qilish endi qiyin emas. Men uni muqobil usul bilan - intervallar usuli bilan hal qilishni taklif qilaman:

\[\begin(align) & \left(3x-2 \right)\cdot x\cdot \left(x-1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=\frac(2)(3);\ ((x)_(2))=0;\ ((x)_(3))=1. \\ \end (tekislash)\]

Maxrajdan kelib chiqadigan cheklovni unutmang:

Biz raqamlar qatorida barcha raqamlar va cheklovlarni belgilaymiz:

Barcha ildizlar birinchi ko'plikka ega. Hammasi joyida. Biz shunchaki belgilarni joylashtiramiz va kerakli joylarni bo'yab qo'yamiz:

Hammasi shu. Javobni yozishingiz mumkin.

Javob. $x\in \left(-\infty ;0 \right)\bigcup \left[ (2)/(3)\;;1 \right)$.

Albatta, bu juda oddiy misol edi. Shunday qilib, endi muammoni batafsil ko'rib chiqaylik. Aytgancha, bu vazifaning darajasi 8-sinfda ushbu mavzu bo'yicha mustaqil va nazorat ishlariga juda mos keladi.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)\ge \frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\]

Qaror. Hammasini chapga siljitish:

\[\frac(1)((x)^(2))+8x-9)-\frac(1)(3((x)^(2))-5x+2)\ge 0\]

Ikkala kasrni umumiy maxrajga keltirishdan oldin bu maxrajlarni omillarga ajratamiz. To'satdan bir xil qavslar chiqadimi? Birinchi maxraj bilan bu oson:

\[((x)^(2))+8x-9=\chap(x-1 \o'ng)\chap(x+9 \o'ng)\]

Ikkinchisi biroz qiyinroq. Kasr topilgan qavsga doimiy ko'paytuvchini qo'shing. Esingizda bo'lsin: asl polinomda butun son koeffitsientlari bor edi, shuning uchun faktorizatsiya ham butun son koeffitsientlariga ega bo'lishi ehtimoldan yiroq (aslida, u har doim bo'ladi, diskriminant irratsional bo'lganidan tashqari).

\[\begin(align) & 3((x)^(2))-5x+2=3\left(x-1 \o'ng)\left(x-\frac(2)(3) \o'ng)= \\ & =\chap(x-1 \o'ng)\chap(3x-2 \o'ng) \end(hizala)\]

Ko'rib turganingizdek, umumiy qavs mavjud: $\left(x-1 \right)$. Biz tengsizlikka qaytamiz va ikkala kasrni umumiy maxrajga keltiramiz:

\[\begin(align) & \frac(1)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng))-\frac(1)(\left(x-1 \o'ng)\ chap(3x-2\o'ng))\ge 0; \\ & \frac(1\cdot \left(3x-2 \o'ng)-1\cdot \left(x+9 \o'ng))(\left(x-1 \o'ng)\chap(x+9 \o'ng) )\left(3x-2 \o'ng))\ge 0; \\ & \frac(3x-2-x-9)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng)\left(3x-2 \o'ng))\ge 0; \\ & \frac(2x-11)(\left(x-1 \o'ng)\left(x+9 \o'ng)\left(3x-2 \o'ng))\ge 0; \\ \end (tekislash)\]

Maxrajni nolga qo'ying:

\[\begin(align) & \left(x-1 \right)\left(x+9 \right)\left(3x-2 \o'ng)=0; \\ & x_(1)^(*)=1;\ x_(2)^(*)=-9;\ x_(3)^(*)=\frac(2)(3) \\ \end( tekislash)\]

Ko'plik va mos keladigan ildizlar yo'q. To'g'ri chiziqda to'rtta raqamni belgilaymiz:

Biz belgilarni joylashtiramiz:

Javobni yozamiz.

Javob: $x\in \left(-\infty ;-9 \right)\bigcup \left((2)/(3)\;;1 \right)\bigcup \left[ 5,5;+\infty \ o'ng) $.

Hammasi! Xuddi shunday, men bu satrgacha o'qidim. :)

Maqolada biz ko'rib chiqamiz tengsizliklarni yechish. Keling, ochiqchasiga gapiraylik tengsizliklar yechimini qanday qurish mumkin aniq misollar bilan!

Tengsizliklarning yechimini misollar bilan ko'rib chiqishdan oldin, asosiy tushunchalar bilan shug'ullanamiz.

Tengsizliklar bilan tanishtirish

tengsizlik funksiyalar >, munosabat belgilari bilan bog‘langan ifoda deyiladi. Tengsizliklar ham raqamli, ham alifbo bo'lishi mumkin.
Ikki munosabat belgisi bo'lgan tengsizliklar qo'sh, uchtasi - uchlik va boshqalar deyiladi. Misol uchun:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > yoki yoki belgisi bo'lgan tengsizliklar qat'iy emas.
Tengsizlik yechimi- bu tengsizlik to'g'ri bo'lgan o'zgaruvchining har qanday qiymati.
"Tengsizlikni yeching" siz uning barcha yechimlari to'plamini topishingiz kerakligini bildiradi. Turli xillari mavjud tengsizliklarni yechish usullari. Uchun tengsizlik yechimlari cheksiz son qatoridan foydalaning. Misol uchun, tengsizlikni yechish x > 3 - 3 dan + gacha bo'lgan oraliq bo'lib, 3 soni bu oraliqda mavjud emas, shuning uchun chiziqdagi nuqta bo'sh doira bilan belgilanadi, chunki tengsizlik qattiq.
+
Javob quyidagicha bo'ladi: x (3; +).
X=3 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilmagan, shuning uchun qavs dumaloq. Cheksizlik belgisi har doim qavs ichiga olinadi. Belgi "tegishli" degan ma'noni anglatadi.
Belgili boshqa misol yordamida tengsizliklarni qanday hal qilishni ko'rib chiqing:
x2
-+
X=2 qiymati yechimlar to'plamiga kiritilgan, shuning uchun kvadrat qavs va chiziqdagi nuqta to'ldirilgan doira bilan belgilanadi.
Javob quyidagicha bo'ladi: x

Oddiy so'zlar bilan aytganda, modul "minussiz raqam" dir. Va bu ikki tomonlama (bir joyda asl raqam bilan hech narsa qilishning hojati yo'q, lekin biror joyda u erda ba'zi minuslarni olib tashlashingiz kerak) va yangi boshlanuvchilar uchun barcha qiyinchiliklar yotadi.

Geometrik ta'rif ham mavjud. Buni bilish ham foydalidir, lekin biz unga faqat murakkab va ba'zi maxsus holatlarda murojaat qilamiz, bu erda geometrik yondashuv algebraikdan ko'ra qulayroqdir (spoiler: bugungi kunda emas).

Ta'rif. Haqiqiy chiziqda $a$ nuqtasi belgilansin. Keyin modul $\left| x-a \right|$ - bu chiziqdagi $x$ nuqtadan $a$ nuqtagacha bo'lgan masofa.

Agar siz rasm chizsangiz, siz shunga o'xshash narsani olasiz:

Grafik modul ta'rifi

Qanday bo'lmasin, uning asosiy xususiyati modul ta'rifidan darhol kelib chiqadi: sonning moduli har doim manfiy bo'lmagan qiymatdir. Bu haqiqat bugungi butun hikoyamiz bo'ylab qizil ip bo'ladi.

Tengsizliklarni yechish. Bo'shliq usuli

Endi tengsizliklar bilan shug'ullanamiz. Ularning ko'pchiligi bor, ammo bizning vazifamiz hech bo'lmaganda ulardan eng oddiyini hal qilishdir. Chiziqli tengsizliklarga, shuningdek intervallar usuliga qisqartirilganlar.

Menda ushbu mavzu bo'yicha ikkita katta darslik bor (Aytgancha, juda, JUDA foydali - o'qishni tavsiya qilaman):

1. Tengsizliklar uchun interval usuli (ayniqsa, videoni tomosha qiling);
2. Kasr-ratsional tengsizliklar juda katta hajmli dars, ammo undan keyin sizda umuman savol qolmaydi.

Agar siz bularning barchasini bilsangiz, "tengsizlikdan tenglamaga o'taylik" iborasi sizni devorga o'ldirishni istamasa, unda siz tayyorsiz: darsning asosiy mavzusiga do'zaxga xush kelibsiz. :)

1. “Funksiyadan kichik modul” shaklidagi tengsizliklar.

Bu modullar bilan eng ko'p uchraydigan vazifalardan biridir. Shaklning tengsizligini yechish uchun talab qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \ltg\]

Har qanday narsa $f$ va $g$ funktsiyalari sifatida harakat qilishi mumkin, lekin odatda ular polinomlardir. Bunday tengsizliklarga misollar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3\o'ng| \ltx+7; \\ & \chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0; \\ & \chap| ((x)^(2))-2\chap| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(tuzalash)\]

Ularning barchasi sxema bo'yicha tom ma'noda bir qatorda hal qilinadi:

\[\chap| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g\to'rt \chap (\O'ng strelka \chap\( \boshlang(hizalang) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(teg) \o'ng.\o'ng)\]

Ko'rish oson, biz moduldan xalos bo'lamiz, lekin buning o'rniga biz qo'sh tengsizlikni olamiz (yoki bir xil narsa, ikkita tengsizliklar tizimi). Ammo bu o'tish mutlaqo barcha mumkin bo'lgan muammolarni hisobga oladi: agar modul ostidagi raqam ijobiy bo'lsa, usul ishlaydi; salbiy bo'lsa, u hali ham ishlaydi; va hatto $f$ yoki $g$ oʻrniga eng noadekvat funksiya bilan ham usul ishlaydi.

Tabiiyki, savol tug'iladi: bu osonroq emasmi? Afsuski, qila olmaysiz. Bu modulning butun nuqtasi.

Ammo falsafiylik yetarli. Keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 2x+3\o'ng| \ltx+7\]

Qaror. Shunday qilib, bizda "modul kamroq" shaklidagi klassik tengsizlik mavjud - hatto o'zgartirish uchun hech narsa yo'q. Biz algoritmga muvofiq ishlaymiz:

\[\begin(align) & \left| f\o'ng| \lt g\O'ng strelka -g \lt f \lt g; \\ & \chap| 2x+3\o'ng| \lt x+7\O'ng strelka -\chap(x+7 \o'ng) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(hizalang)\]

Oldinda "minus" qo'yilgan qavslarni ochishga shoshilmang: shoshqaloqlik tufayli siz haqoratli xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \o'ng.\]

Muammo ikkita elementar tengsizlikka qisqartirildi. Biz ularning yechimlarini parallel real chiziqlarda qayd etamiz:

Ko'pchilikning kesishishi

Bu to'plamlarning kesishishi javob bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng|+3\chap(x+1 \o'ng) \lt 0\]

Qaror. Bu vazifa biroz qiyinroq. Boshlash uchun biz ikkinchi atamani o'ngga siljitish orqali modulni ajratamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Shubhasiz, bizda yana "modul kamroq" shaklidagi tengsizlik bor, shuning uchun biz allaqachon ma'lum bo'lgan algoritmga muvofiq moduldan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\chap(x+1 \o'ng)\]

Endi e'tibor bering: kimdir meni bu qavslar bilan bir oz buzuqman, deb aytadi. Lekin yana bir bor eslatib o'tamanki, bizning asosiy maqsadimiz tengsizlikni to‘g‘ri yeching va javobini oling. Keyinchalik, ushbu darsda tasvirlangan hamma narsani mukammal o'zlashtirganingizdan so'ng, siz o'zingizni xohlaganingizcha buzishingiz mumkin: qavslarni oching, minuslarni qo'shing va hokazo.

Yangi boshlanuvchilar uchun biz chap tarafdagi ikki tomonlama minusdan xalos bo'lamiz:

\[-\left(-3\left(x+1 \o'ng) \o'ng)=\left(-1 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(x+1 \o'ng) =3\chap(x+1\o'ng)\]

Endi juft tengsizlikdagi barcha qavslarni ochamiz:

Keling, ikki barobar tengsizlikka o'tamiz. Bu safar hisob-kitoblar jiddiyroq bo'ladi:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( tekislang)\o'ng.\]

Ikkala tengsizlik ham kvadrat bo'lib, interval usuli bilan yechiladi (shuning uchun aytaman: agar bu nima ekanligini bilmasangiz, modullarni hali qabul qilmaganingiz ma'qul). Birinchi tengsizlikdagi tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \o'ng)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end (tekislash)\]

Ko'rib turganingizdek, chiqish elementar tarzda echiladigan to'liq bo'lmagan kvadrat tenglama bo'lib chiqdi. Endi tizimning ikkinchi tengsizligi bilan shug'ullanamiz. U erda siz Viet teoremasini qo'llashingiz kerak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\left(x+2 \o'ng)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end (tekislash)\]

Olingan raqamlarni ikkita parallel chiziqda belgilaymiz (birinchi tengsizlik uchun alohida, ikkinchisi uchun alohida):

Shunga qaramay, biz tengsizliklar tizimini yechayotganimiz sababli, bizni soyali to'plamlarning kesishishi qiziqtiradi: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu javob.

Javob: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Menimcha, ushbu misollardan keyin yechim sxemasi juda aniq:

1. Boshqa barcha shartlarni tengsizlikning qarama-qarshi tomoniga o'tkazish orqali modulni ajratib oling. Shunday qilib, $\left| ko'rinishdagi tengsizlikka erishamiz f\o'ng| \ltg$.
2. Yuqorida aytib o'tilganidek, moduldan qutulish orqali ushbu tengsizlikni hal qiling. Bir nuqtada qo'shaloq tengsizlikdan ikkita mustaqil ifoda tizimiga o'tish kerak bo'ladi, ularning har biri allaqachon alohida yechilishi mumkin.
3. Nihoyat, ushbu ikkita mustaqil iboraning echimlarini kesib o'tish kifoya - va tamom, biz yakuniy javobni olamiz.

Modul funktsiyadan katta bo'lsa, xuddi shunday algoritm quyidagi turdagi tengsizliklar uchun mavjud. Biroq, bir nechta jiddiy "lekin" bor. Biz hozir bu "lekin" haqida gaplashamiz.

2. “Modul funksiyadan katta” ko’rinishdagi tengsizliklar.

Ular shunday ko'rinadi:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\]

Avvalgisiga o'xshashmi? Aftidan. Shunga qaramay, bunday vazifalar butunlay boshqacha tarzda hal qilinadi. Rasmiy ravishda, sxema quyidagicha:

\[\chap| f\o'ng| \gt g\O'ng strelka \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(hizalang) \o'ng.\]

Boshqacha qilib aytganda, biz ikkita holatni ko'rib chiqamiz:

1. Birinchidan, biz modulni shunchaki e'tiborsiz qoldiramiz - biz odatdagi tengsizlikni hal qilamiz;
2. Keyin, aslida, biz modulni minus belgisi bilan ochamiz, keyin esa tengsizlikning ikkala qismini ishora bilan -1 ga ko'paytiramiz.

Bunday holda, variantlar kvadrat qavs bilan birlashtiriladi, ya'ni. Bizda ikkita talabning kombinatsiyasi mavjud.

Yana bir bor e'tibor bering: bizning oldimizda tizim emas, balki yig'indi, shuning uchun javobda to'plamlar kesishmaydi, birlashtiriladi. Bu avvalgi xatboshidan tubdan farq qiladi!

Umuman olganda, ko'plab talabalar kasaba uyushmalari va chorrahalar bilan juda ko'p chalkashliklarga ega, shuning uchun keling, bu masalani bir marta va butunlay ko'rib chiqaylik:

• "∪" - birikma belgisi. Aslida, bu bizga ingliz tilidan kelgan va "Union" ning qisqartmasi bo'lgan stilize qilingan "U" harfi, ya'ni. "Assotsiatsiyalar".
• "∩" - kesishish belgisi. Bu axmoq hech qayerdan kelmadi, faqat "∪" ga muxolifat sifatida paydo bo'ldi.

Eslab qolish osonroq bo'lishi uchun ko'zoynak yasash uchun ushbu belgilarga oyoq qo'shing (shunchaki hozir meni giyohvandlik va alkogolizmni targ'ib qilishda ayblamang: agar siz ushbu darsni jiddiy o'rganayotgan bo'lsangiz, demak siz allaqachon giyohvandsiz):

To'plamlarning kesishishi va birlashuvi o'rtasidagi farq

Rus tiliga tarjima qilinganda, bu quyidagilarni anglatadi: birlashma (to'plam) ikkala to'plamning elementlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun ularning har biridan kam emas; lekin kesishma (tizim) faqat birinchi to'plamda ham, ikkinchisida ham bo'lgan elementlarni o'z ichiga oladi. Shuning uchun to'plamlarning kesishishi hech qachon manba to'plamlaridan katta bo'lmaydi.

Shunday qilib, aniqroq bo'ldimi? Bu ajoyib. Keling, amaliyotga o'tamiz.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\]

Qaror. Biz sxema bo'yicha harakat qilamiz:

\[\chap| 3x+1 \o'ng| \gt 5-4x\O'ng strelka \chap[ \boshlash(tegis) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \o'ng) \\\end(hizala) \ to'g'ri.\]

Har bir aholi tengsizligini hal qilamiz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(hizala) \o'ngga.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \o'ng.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(hizala) \o'ng.\]

Biz har bir natija to'plamini raqamlar qatorida belgilaymiz va keyin ularni birlashtiramiz:

To'plamlar ittifoqi

Shubhasiz javob $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Javob: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gtx\]

Qaror. Nima bopti? Yo'q, hammasi bir xil. Biz modulli tengsizlikdan ikkita tengsizliklar to'plamiga o'tamiz:

\[\chap| ((x)^(2))+2x-3 \o'ng| \gt x\O'ng strelka \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(tekislash) \o'ngga.\]

Har bir tengsizlikni yechamiz. Afsuski, u erda ildizlar unchalik yaxshi bo'lmaydi:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end (tekislash)\]

Ikkinchi tengsizlikda ham bir oz o'yin bor:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end (tekislash)\]

Endi biz bu raqamlarni ikkita o'qda belgilashimiz kerak - har bir tengsizlik uchun bitta o'q. Biroq, nuqtalarni to'g'ri tartibda belgilashingiz kerak: raqam qanchalik katta bo'lsa, nuqta o'ngga siljiydi.

Va bu erda biz sozlashni kutmoqdamiz. Agar $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ raqamlari bilan hamma narsa aniq bo'lsa (birinchi raqamdagi shartlar) kasr sekundning numeratoridagi hadlardan kichik, shuning uchun yig'indi ham kichikroq bo'lib, raqamlar bilan $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ ham hech qanday qiyinchilik bo'lmaydi (musbat raqam aniqroq salbiy), lekin oxirgi juftlik bilan hamma narsa unchalik oddiy emas. Qaysi biri kattaroq: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ yoki $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Raqamli chiziqlardagi nuqtalarning joylashishi va aslida javob bu savolga javobga bog'liq bo'ladi.

Shunday qilib, keling, taqqoslaylik:

\[\begin(matritsa) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matritsa)\]

Biz ildizni ajratib oldik, tengsizlikning ikkala tomonida manfiy bo'lmagan raqamlarni oldik, shuning uchun biz ikkala tomonni kvadratga solish huquqiga egamiz:

\[\begin(matritsa) ((\left(2+\sqrt(13) \o'ng))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \o'ng))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matritsa)\]

Menimcha, $4\sqrt(13) \gt 3$, shuning uchun $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, nihoyat, o'qlardagi nuqtalar quyidagicha tartibga solinadi:

Xunuk ildizlar ishi

Sizga eslatib o'tamanki, biz to'plamni hal qilyapmiz, shuning uchun javob soyali to'plamlarning kesishmasi emas, balki birlashma bo'ladi.

Javob: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\right)$

Ko'rib turganingizdek, bizning sxemamiz oddiy vazifalar uchun ham, juda qiyin bo'lganlar uchun ham ajoyib ishlaydi. Ushbu yondashuvdagi yagona "zaif nuqta" shundaki, siz irratsional sonlarni to'g'ri taqqoslashingiz kerak (va menga ishoning: bu nafaqat ildizlar). Ammo taqqoslash savollariga alohida (va juda jiddiy dars) bag'ishlanadi. Va biz davom etamiz.

3. Manfiy bo'lmagan "dumlar" bilan tengsizliklar

Shunday qilib, biz eng qiziqarlisiga keldik. Bu shakldagi tengsizliklar:

\[\chap| f\o'ng| \gt\left| g\o'ng|\]

Umuman olganda, biz hozir gaplashadigan algoritm faqat modul uchun to'g'ri keladi. U chap va o'ngda kafolatlangan salbiy bo'lmagan ifodalar mavjud bo'lgan barcha tengsizliklarda ishlaydi:

Bu vazifalar bilan nima qilish kerak? Faqat esda tuting:

Salbiy bo'lmagan quyruqli tengsizliklarda ikkala tomon ham har qanday tabiiy kuchga ko'tarilishi mumkin. Hech qanday qo'shimcha cheklovlar bo'lmaydi.

Avvalo, biz kvadratlashtirishga qiziqamiz - u modullar va ildizlarni yoqib yuboradi:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\ chap (\ sqrt (f) \ o'ng)) ^ (2)) = f. \\\end (tekislash)\]

Buni kvadratning ildizini olish bilan adashtirmang:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\chap| f \right|\ne f\]

Talaba modul o'rnatishni unutganida son-sanoqsiz xatolarga yo'l qo'yildi! Ammo bu butunlay boshqacha hikoya (bular, go'yo irratsional tenglamalar), shuning uchun biz hozir unga kirmaymiz. Keling, bir nechta muammolarni yaxshiroq hal qilaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \o'ng|\]

Qaror. Biz darhol ikkita narsani sezamiz:

1. Bu qat'iy bo'lmagan tengsizlik. Raqam chizig'idagi nuqtalar punch bilan chiqariladi.
2. Shubhasiz, tengsizlikning ikkala tomoni manfiy emas (bu modulning xususiyati: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Shunday qilib, moduldan xalos bo'lish va masalani odatdagi interval usuli yordamida hal qilish uchun tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga solishimiz mumkin:

\[\begin(hizala) & ((\left(\left| x+2 \o'ng| \o'ng))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \o'ng| \o'ng)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \o'ng))^(2))\ge ((\left(2x-1 \o'ng))^(2)). \\\end (tekislash)\]

Oxirgi bosqichda men biroz aldadim: modul paritetidan foydalanib, atamalar ketma-ketligini o'zgartirdim (aslida $1-2x$ ifodasini -1 ga ko'paytirdim).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \o'ng)-\left(x+2 \o'ng) \o'ng)\cdot \left(\left(2x-1 \o'ng)+\left(x+2 \ o'ng)\o'ng)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \o'ng)\cdot \left(2x-1+x+2 \o'ng)\le 0; \\ & \left(x-3 \o'ng)\cdot \left(3x+1 \o'ng)\le 0. \\\end(hizalama)\]

Interval usuli bilan hal qilamiz. Tengsizlikdan tenglamaga o'tamiz:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end (tekislash)\]

Topilgan ildizlarni raqamlar qatorida belgilaymiz. Yana bir bor: barcha nuqtalar soyali, chunki asl tengsizlik qat'iy emas!

Modul belgisidan qutulish

Ayniqsa, o'jarlar uchun eslatib o'taman: biz tenglamaga o'tishdan oldin yozilgan oxirgi tengsizlikdan belgilarni olamiz. Va biz bir xil tengsizlikda talab qilinadigan maydonlarni bo'yab qo'yamiz. Bizning holatda, bu $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Bo'ldi shu. Muammo hal qilindi.

Javob: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \o'ng|\]

Qaror. Biz hamma narsani xuddi shunday qilamiz. Men izoh bermayman - faqat harakatlar ketma-ketligiga qarang.

Keling, uni kvadratga aylantiramiz:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \o'ng| \o'ng))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \o'ng| \o'ng))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \o'ng))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ o'ng))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \o‘ng)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \o'ng)\le 0. \\\end(align)\]

Bo'shliq usuli:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ O'ng strelka x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Raqamlar qatorida faqat bitta ildiz bor:

Javob to'liq diapazondir

Javob: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Oxirgi vazifa haqida kichik eslatma. Mening talabalarimdan biri aniq ta'kidlaganidek, ushbu tengsizlikdagi ikkala submodul iborasi ham ijobiy, shuning uchun modul belgisi sog'likka zarar bermasdan qoldirilishi mumkin.

Ammo bu allaqachon butunlay boshqacha fikrlash darajasi va boshqa yondashuv - uni shartli ravishda oqibatlar usuli deb atash mumkin. U haqida - alohida darsda. Va endi bugungi darsning yakuniy qismiga o'tamiz va har doim ishlaydigan universal algoritmni ko'rib chiqamiz. Oldingi barcha yondashuvlar kuchsiz bo'lsa ham. :)

4. Variantlarni sanab o'tish usuli

Agar bu hiyla-nayranglarning barchasi ishlamasa-chi? Agar tengsizlik salbiy bo'lmagan dumlargacha kamaymasa, modulni izolyatsiya qilishning iloji bo'lmasa, agar umuman og'riq-qayg'u-hasrat bo'lsa?

Keyin sahnaga barcha matematikaning "og'ir artilleriyasi" kiradi - ro'yxatga olish usuli. Modul bilan tengsizliklarga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

1. Barcha submodul ifodalarini yozing va ularni nolga tenglang;
2. Olingan tenglamalarni yechish va topilgan ildizlarni bitta son qatoriga belgilang;
3. To'g'ri chiziq bir nechta bo'limlarga bo'linadi, ular ichida har bir modul o'zgarmas belgiga ega va shuning uchun bir ma'noda kengayadi;
4. Har bir bunday bo'limda tengsizlikni yeching (siz 2-bandda olingan chegara ildizlarini alohida ko'rib chiqishingiz mumkin - ishonchlilik uchun). Natijalarni birlashtiring - bu javob bo'ladi. :)

Qanday? Zaifmi? Osonlik bilan! Faqat uzoq vaqt. Keling, amalda ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Tengsizlikni yeching:

\[\chap| x+2 \o'ng| \lt\chap| x-1 \o'ng|+x-\frac(3)(2)\]

Qaror. Bu ahmoqlik $\left| kabi tengsizliklarga tushmaydi f\o'ng| \lt g$, $\chap| f\o'ng| \gt g$ yoki $\left| f\o'ng| \lt\chap| g \right|$, keling, davom etaylik.

Biz submodul ifodalarini yozamiz, ularni nolga tenglashtiramiz va ildizlarni topamiz:

\[\begin(align) & x+2=0\O'ng strelka x=-2; \\ & x-1=0\Oʻng strelka x=1. \\\end (tekislash)\]

Hammasi bo'lib, bizda raqamlar chizig'ini uchta bo'limga ajratadigan ikkita ildiz bor, ularning ichida har bir modul o'ziga xos tarzda ochiladi:

Submodulyar funksiyalarning son qatorini nolga bo'lish

Keling, har bir bo'limni alohida ko'rib chiqaylik.

1. $x \lt -2$ bo'lsin. Keyin ikkala submodul ifodasi manfiy bo'lib, asl tengsizlik quyidagicha qayta yoziladi:

\[\begin(hizala) & -\left(x+2 \o'ng) \lt -\left(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizala)\]

Bizda juda oddiy cheklov bor. Keling, uni $x \lt -2$ degan dastlabki taxmin bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Shubhasiz, $x$ o'zgaruvchisi bir vaqtning o'zida -2 dan kichik, lekin 1,5 dan katta bo'lishi mumkin emas. Bu sohada hech qanday yechim yo'q.

1.1. Chegaraviy holatni alohida ko'rib chiqamiz: $x=-2$. Keling, bu raqamni asl tengsizlikka almashtiramiz va tekshiramiz: u mos keladimi?

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \left| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \chap| -3 \right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\O'ng ko'rsatkich \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Shubhasiz, hisob-kitoblar zanjiri bizni noto'g'ri tengsizlikka olib keldi. Demak, asl tengsizlik ham noto'g'ri va $x=-2$ javobga kiritilmagan.

2. Endi $-2 \lt x \lt 1$ bo'lsin. Chap modul allaqachon "ortiqcha" bilan ochiladi, lekin o'ng modul hali ham "minus" bilan. Bizda ... bor:

\[\boshlang(tuzala) & x+2 \lt -\chap(x-1 \o'ng)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\end (tekislash)\]

Biz yana asl talab bilan kesishamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalang) \o'ng.\O'ng strelka x\in \varnothing \]

Va yana, bo'sh echimlar to'plami, chunki -2,5 dan kichik va -2 dan katta raqamlar yo'q.

2.1. Va yana alohida holat: $x=1$. Biz asl tengsizlikni almashtiramiz:

\[\begin(hizala) & ((\chap. \chap| x+2 \o'ng| \lt \chap| x-1 \o'ng|+x-1,5 \o'ng|)_(x=1)) \\ & \chap| 3\o'ng| \lt\chap| 0 \right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\O'ng strelka \varnothing . \\\end (tekislash)\]

Oldingi "maxsus holat"ga o'xshab, javobda $x=1$ raqami aniq kiritilmagan.

3. Qatorning oxirgi qismi: $x \gt 1$. Bu erda barcha modullar ortiqcha belgisi bilan kengaytirilgan:

\[\boshlang(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(hizalang)\ ]

Va yana topilgan to'plamni asl cheklov bilan kesib o'tamiz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\O'ng strelka x\ichida \chap(4,5;+\infty) \o'ng)\]

Va nihoyat! Biz javob bo'ladigan intervalni topdik.

Javob: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Va nihoyat, haqiqiy muammolarni hal qilishda sizni ahmoqona xatolardan qutqarishi mumkin bo'lgan bir eslatma:

Modullar bilan tengsizliklarning yechimlari odatda raqamlar chizig'idagi uzluksiz to'plamlar - intervallar va segmentlardir. Izolyatsiya qilingan nuqtalar juda kam uchraydi. Va undan ham kamdan-kam hollarda, yechimning chegaralari (segmentning oxiri) ko'rib chiqilayotgan diapazonning chegarasiga to'g'ri keladi.

Demak, agar chegaralar (o'sha "maxsus holatlar") javobga kiritilmagan bo'lsa, bu chegaralarning chap-o'ng tomonidagi joylar ham javobga deyarli kiritilmaydi. Va aksincha: chegara javob sifatida kirdi, demak, uning atrofidagi ba'zi hududlar ham javoblar bo'ladi.

Yechimlaringizni tekshirganda buni yodda tuting.

O'zgaruvchilar bilan tengsizliklar haqida dastlabki ma'lumotni olgandan so'ng, biz ularni hal qilish masalasiga murojaat qilamiz. Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tengsizliklarni yechish va ularni yechishning barcha usullarini algoritmlar va misollar bilan tahlil qilaylik. Faqat bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar ko'rib chiqiladi.

Chiziqli tengsizlik nima?

Avval siz chiziqli tenglamani aniqlashingiz va uning standart shaklini va boshqalardan qanday farq qilishini bilib olishingiz kerak. Maktab kursidan biz tengsizliklar fundamental farqga ega emasligini tushunamiz, shuning uchun bir nechta ta'riflardan foydalanish kerak.

Ta'rif 1

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tengsizlik x - a x + b > 0 ko'rinishdagi tengsizlik > o'rniga istalgan tengsizlik belgisi qo'llanilganda< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Ta'rif 2

a x tengsizliklari< c или a · x >c , x o'zgaruvchi va a va c ba'zi raqamlar bilan chaqiriladi bitta o'zgaruvchili chiziqli tengsizliklar.

Koeffitsient 0 ga teng bo'lishi mumkinligi haqida hech narsa aytilmaganligi sababli, 0 x > c va 0 x ko'rinishdagi qat'iy tengsizlik.< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Ularning farqlari:

• birinchisida a · x + b > 0 yozuvi, ikkinchisida a · x > c belgisi;
• nol koeffitsientining maqbulligi a , a ≠ 0 - birinchisida, a = 0 - ikkinchisida.

a x + b > 0 va a x > c tengsizliklari ekvivalent deb hisoblanadi, chunki ular atamani bir qismdan ikkinchi qismga o'tkazish orqali olinadi. 0 · x + 5 > 0 tengsizlikni yechish uni yechish kerak bo'lishiga olib keladi va a = 0 holati ishlamaydi.

Ta'rif 3

Bitta x o'zgaruvchidagi chiziqli tengsizliklar ko'rinishdagi tengsizliklar deb hisoblanadi a x + b< 0 , a · x + b >0 , a x + b ≤ 0 va a x + b ≥ 0, bu yerda a va b haqiqiy sonlar. X o'rniga oddiy son bo'lishi mumkin.

Qoidaga asoslanib, bizda 4 x − 1 > 0 , 0 z + 2 , 3 ≤ 0 , - 2 3 x - 2 bor< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 chiziqli deyiladi.

Chiziqli tengsizlikni qanday yechish mumkin

Bunday tengsizliklarni yechishning asosiy usuli - elementar tengsizliklarni topish uchun ekvivalent o'zgartirishlardan foydalanishdir.< p (≤ , >, ≥) , p qandaydir son, a ≠ 0 uchun va a ko‘rinishdagi< p (≤ , >, ≥) a = 0 uchun.

Bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tengsizlikni yechish uchun siz interval usulini qo'llashingiz yoki uni grafik tarzda tasvirlashingiz mumkin. Ularning har qandayidan alohida foydalanish mumkin.

Ekvivalent transformatsiyalardan foydalanish

a x+b ko’rinishdagi chiziqli tengsizlikni yechish< 0 (≤ , >, ≥), tengsizlikning ekvivalent o'zgartirishlarini qo'llash kerak. Koeffitsient nolga teng bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Keling, ikkala holatni ham ko'rib chiqaylik. Aniqlik kiritish uchun 3 nuqtadan iborat sxemaga rioya qilish kerak: jarayonning mohiyati, algoritm, yechimning o'zi.

Ta'rif 4

Chiziqli tengsizlikni yechish algoritmi a x + b< 0 (≤ , >, ≥) a ≠ 0 uchun

• b soni qarama-qarshi belgili tengsizlikning o'ng tomoniga o'tkaziladi, bu bizga a x ekvivalentiga kelishimizga imkon beradi.< − b (≤ , > , ≥) ;
• tengsizlikning ikkala qismi 0 ga teng bo'lmagan songa bo'linadi. Bundan tashqari, a musbat bo'lsa, belgi qoladi, a salbiy bo'lsa, u aksincha o'zgaradi.

Ushbu algoritmni misollarni echishda qo'llashni ko'rib chiqing.

1-misol

3 · x + 12 ≤ 0 ko‘rinishdagi tengsizlikni yeching.

Qaror

Bu chiziqli tengsizlik a = 3 va b = 12 ga ega. Demak, x ning a koeffitsienti nolga teng emas. Keling, yuqoridagi algoritmlarni qo'llaymiz va hal qilamiz.

12 atamani tengsizlikning boshqa qismiga oldidagi belgi o'zgarishi bilan o'tkazish kerak. Keyin 3 · x ≤ - 12 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Ikkala qismni 3 ga bo'lish kerak. Belgisi o'zgarmaydi, chunki 3 ijobiy raqam. Biz (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3 ni olamiz, bu x ≤ − 4 natijasini beradi.

x ≤ - 4 ko'rinishdagi tengsizlik ekvivalentdir. Ya'ni, 3 x + 12 ≤ 0 ning yechimi 4 dan kichik yoki teng bo'lgan har qanday haqiqiy sondir. Javob x ≤ − 4 tengsizlik yoki (− ∞ , − 4 ] ko‘rinishdagi son oralig‘i sifatida yoziladi.

Yuqorida tavsiflangan barcha algoritm quyidagicha yozilgan:

3 x + 12 ≤ 0; 3 x ≤ - 12; x ≤ - 4 .

Javob: x ≤ − 4 yoki (− ∞ , − 4 ] .

2-misol

− 2 , 7 · z > 0 tengsizlikning barcha mavjud yechimlarini ko‘rsating.

Qaror

Shartdan z da a koeffitsienti - 2, 7 ga teng ekanligini, b esa aniq yo'q yoki nolga teng ekanligini ko'ramiz. Siz algoritmning birinchi bosqichidan foydalana olmaysiz, lekin darhol ikkinchisiga o'ting.

Tenglamaning ikkala qismini - 2, 7 soniga ajratamiz. Raqam manfiy bo'lgani uchun tengsizlik belgisini teskarisiga o'zgartirish kerak. Ya'ni, biz (− 2 , 7 z) ni olamiz: (− 2 , 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Biz butun algoritmni qisqa shaklda yozamiz:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Javob: z< 0 или (− ∞ , 0) .

3-misol

5 · x - 15 22 ≤ 0 tengsizlikni yeching.

Qaror

Shartga ko'ra, - 5 ga teng bo'lgan x o'zgaruvchisi uchun a koeffitsientli tengsizlikni - 15 22 kasrga mos keladigan b koeffitsienti bilan yechish zarurligini ko'ramiz. Tengsizlikni algoritm bo'yicha yechish kerak, ya'ni: - 15 22 ni qarama-qarshi belgili boshqa qismga o'tkazish, ikkala qismni - 5 ga bo'lish, tengsizlik belgisini o'zgartirish:

5 x ≤ 15 22; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Oxirgi o'tishda, o'ng tomonda, turli xil belgilarga ega bo'lgan raqamni bo'lish qoidasi qo'llaniladi 15 22: - 5 \u003d - 15 22: 5, shundan so'ng biz oddiy kasrni natural songa ajratamiz - 15 22: 5 \u003d - 15 22 1 5 \u003d - 15 1 22 5 = - 3 22.

Javob: x ≥ - 3 22 va [ - 3 22 + ∞) .

a = 0 bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqing. a x + b ko'rinishning chiziqli ifodasi< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Hamma narsa tengsizlikning yechimini aniqlashga asoslanadi. X ning istalgan qiymati uchun b ko'rinishdagi sonli tengsizlikni olamiz< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Biz barcha hukmlarni 0 x + b chiziqli tengsizliklarni echish algoritmi ko'rinishida ko'rib chiqamiz.< 0 (≤ , > , ≥) :

Ta'rif 5

Shaklning sonli tengsizligi b< 0 (≤ , >, ≥) toʻgʻri boʻlsa, u holda asl tengsizlik har qanday qiymat uchun yechimga ega, asl tengsizlikning yechimlari boʻlmaganda esa notoʻgʻri boʻladi.

4-misol

0 · x + 7 > 0 tengsizlikni yeching.

Qaror

Bu chiziqli tengsizlik 0 · x + 7 > 0 har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin x . Keyin 7 > 0 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Oxirgi tengsizlik to'g'ri deb hisoblanadi, shuning uchun har qanday son uning yechimi bo'lishi mumkin.

Javob: interval (− ∞ , + ∞) .

5-misol

0 · x - 12 , 7 ≥ 0 tengsizlikning yechimini toping.

Qaror

X o'zgaruvchisini istalgan songa qo'yib, tengsizlik − 12 , 7 ≥ 0 ko'rinishini olishini olamiz. Bu noto'g'ri. Ya'ni, 0 · x - 12 , 7 ≥ 0 ning yechimlari yo'q.

Javob: yechimlar yo'q.

Ikkala koeffitsient nolga teng bo'lgan chiziqli tengsizliklarning yechimini ko'rib chiqing.

6-misol

0 · x + 0 > 0 va 0 · x + 0 ≥ 0 dan yechilmaydigan tengsizlikni aniqlang.

Qaror

X o‘rniga istalgan son qo‘yilganda 0 > 0 va 0 ≥ 0 ko‘rinishdagi ikkita tengsizlikni olamiz. Birinchisi noto'g'ri. Demak, 0 x + 0 > 0 ning yechimlari yo‘q, 0 x + 0 ≥ 0 esa cheksiz miqdordagi yechimga, ya’ni istalgan songa ega.

Javob: 0 x + 0 > 0 tengsizligi yechimga ega emas, 0 x + 0 ≥ 0 esa yechimga ega.

Bu usul maktab matematika kursida ko'rib chiqiladi. Intervalli usul har xil turdagi tengsizliklarni, shu jumladan chiziqli tengsizliklarni echishga qodir.

Interval usuli chiziqli tengsizliklar uchun x koeffitsientining qiymati 0 ga teng bo'lmaganda qo'llaniladi. Aks holda, siz boshqa usul yordamida hisoblashingiz kerak bo'ladi.

Ta'rif 6

Bo'shliq usuli:

• y = a x + b funksiyasining kiritilishi;
• ta'rif sohasini intervallarga bo'lish uchun nollarni qidirish;
• intervallar bo'yicha ular tushunchasi uchun belgilarni aniqlash.

a x+b chiziqli tenglamalarni yechish algoritmini yig’amiz< 0 (≤ , >, ≥) ≠ 0 uchun interval usuli yordamida:

• a · x + b = 0 ko'rinishdagi tenglamani yechish uchun y = a · x + b funksiyaning nollarini topish. Agar a ≠ 0 bo'lsa, u holda yechim x 0 belgisini oladigan yagona ildiz bo'ladi;
• koordinatasi x 0 bo'lgan nuqta tasviri bilan koordinata chizig'ini qurish, qat'iy tengsizlikka ega, nuqta teshilgan holda ko'rsatilgan, qat'iy bo'lmagan tengsizlik bilan, u soyalanadi;
• y = a x + b funksiyaning oraliqlardagi belgilarini aniqlash, buning uchun intervaldagi nuqtalardagi funktsiya qiymatlarini topish kerak;
• koordinata chizig'idagi > yoki ≥ belgilari bilan tengsizlikning yechimi, musbat bo'shliqning ustiga lyuk qo'shiladi,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Interval usuli yordamida chiziqli tengsizlikni yechishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing.

6-misol

− 3 · x + 12 > 0 tengsizlikni yeching.

Qaror

Algoritmdan kelib chiqadiki, avval siz - 3 · x + 12 = 0 tenglamaning ildizini topishingiz kerak. Biz shuni olamiz - 3 · x = - 12 , x = 4 . Koordinata chizig'ini tasvirlash kerak, bu erda biz 4-nuqtani belgilaymiz. Tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun u teshiladi. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Intervallardagi belgilarni aniqlash kerak. Uni (− ∞ , 4) oraliqda aniqlash uchun x = 3 uchun y = - 3 · x + 12 funksiyasini hisoblash kerak. Bu yerdan − 3 3 + 12 = 3 > 0 ni olamiz. Bo'shliqdagi belgi ijobiy.

Biz (4, + ∞) oraliqdan belgini aniqlaymiz, keyin x \u003d 5 qiymatini almashtiramiz. Bizda - 3 5 + 12 = - 3 bor< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Tengsizlikning yechimini > belgisi bilan bajaramiz va lyukka musbat oraliq ustida bajariladi. Quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, kerakli yechim (− ∞ , 4) yoki x ko'rinishga ega.< 4 .

Javob: (− ∞ , 4) yoki x< 4 .

Grafikda qanday tasvirlashni tushunish uchun misol sifatida 4 ta chiziqli tengsizlikni ko'rib chiqish kerak: 0, 5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 va 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ularning yechimlari x bo'ladi< 2 , x ≤ 2 , x >2 va x ≥ 2. Buning uchun quyida y = 0, 5 · x - 1 chiziqli funksiya grafigini chizing.

Bu aniq

Ta'rif 7

• 0 , 5 x − 1 tengsizlikning yechimi< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• yechim 0 , 5 x - 1 ≤ 0 - y = 0 , 5 x - 1 funksiya 0 x dan past yoki mos keladigan interval;
• 0 , 5 x - 1 > 0 yechim oraliq deb hisoblanadi, bunda funksiya O x dan yuqorida joylashgan;
• yechim 0, 5 x - 1 ≥ 0 - grafik O x dan yuqori yoki mos keladigan interval.

Tengsizliklarni grafik yechimining ma'nosi bo'shliqlarni topishdan iborat bo'lib, ular grafikda tasvirlanishi kerak. Bunday holda, biz chap tomonda y \u003d a x + b, o'ng tomonda esa y \u003d 0 borligini bilib olamiz va u taxminan x ga to'g'ri keladi.

Ta'rif 8

y = a x + b funksiyasining grafigi bajariladi:

• a x + b tengsizlikni yechishda< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• a x + b ≤ 0 tengsizlikni yechishda grafik O x o'qi ostida ko'rsatilgan yoki mos keladigan interval aniqlanadi;
• a x + b > 0 tengsizlikni yechishda oraliq aniqlanadi, bunda grafik O x dan yuqorida aks ettiriladi;
• a x + b ≥ 0 tengsizlikni yechishda oraliq grafik O x dan yuqori yoki mos keladigan joyda aniqlanadi.

7-misol

Grafik yordamida - 5 · x - 3 > 0 tengsizlikni yeching.

Qaror

Chiziqli funktsiyaning grafigini qurish kerak - 5 · x - 3 > 0 . Bu chiziq kamayib bormoqda, chunki x koeffitsienti manfiy. Uning O x - 5 · x - 3 > 0 bilan kesishgan nuqtasining koordinatalarini aniqlash uchun - 3 5 qiymatini olamiz. Keling, grafigini chizamiz.

> belgisi bilan tengsizlikning yechimi, keyin O x dan yuqoridagi intervalga e'tibor berish kerak. Samolyotning kerakli qismini qizil rang bilan ta'kidlaymiz va uni olamiz

Kerakli bo'shliq qizil rangning O x qismidir. Demak, ochiq sonli nur - ∞ , - 3 5 tengsizlikning yechimi bo'ladi. Agar shart bo'yicha ularda qat'iy bo'lmagan tengsizlik bo'lsa, u holda nuqtaning qiymati - 3 5 ham tengsizlikning echimi bo'ladi. Va O x bilan mos keladi.

Javob: - ∞ , - 3 5 yoki x< - 3 5 .

Grafik yechim chap tomon y = 0 x + b funktsiyaga to'g'ri keladigan bo'lsa ishlatiladi, ya'ni y = b . Keyin chiziq O x ga parallel yoki b \u003d 0 ga to'g'ri keladi. Bu holatlar shuni ko'rsatadiki, tengsizlik hech qanday yechimga ega bo'lmasligi yoki istalgan son yechim bo'lishi mumkin.

8-misol

0 x + 7 tengsizliklardan aniqlang< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Qaror

y = 0 x + 7 tasviri y = 7 bo'lsa, u holda O x ga parallel va O x dan yuqori to'g'ri chiziqli koordinata tekisligi beriladi. Shunday qilib, 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

y \u003d 0 x + 0 funktsiyasining grafigi y \u003d 0 deb hisoblanadi, ya'ni chiziq O x ga to'g'ri keladi. Demak, 0 · x + 0 ≥ 0 tengsizlik ko'p yechimga ega.

Javob: ikkinchi tengsizlik x ning istalgan qiymati uchun yechimga ega.

Chiziqli tengsizliklar

Tengsizliklar yechimini chiziqli tenglamaning yechimiga keltirish mumkin, ular chiziqli tengsizliklar deb ataladi.

Ushbu tengsizliklar maktab kursida ko'rib chiqildi, chunki ular tengsizliklarni echishning alohida holati bo'lib, qavslar ochilishiga va shunga o'xshash atamalarning qisqarishiga olib keldi. Masalan, 5 − 2 x > 0 , 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x , x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x ni ko‘rib chiqaylik.

Yuqorida keltirilgan tengsizliklar har doim chiziqli tenglama ko'rinishiga keltiriladi. Shundan so'ng, qavslar ochiladi va shunga o'xshash atamalar beriladi, turli qismlardan ko'chiriladi, belgini teskarisiga o'zgartiradi.

5 − 2 x > 0 tengsizlikni chiziqli tengsizlikka qisqartirganda, biz uni − 2 x + 5 > 0 ko‘rinishga ega bo‘ladigan tarzda ifodalaymiz, ikkinchisini kamaytirish uchun esa 7 (x − 1) + ni olamiz. 3 ≤ 4 x - 2 + x. Qavslarni ochish, o'xshash atamalarni olib kelish, barcha atamalarni chap tomonga siljitish va o'xshash atamalarni olib kelish kerak. Bu shunday ko'rinadi:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Bu chiziqli tengsizlikning yechimiga olib keladi.

Bu tengsizliklar chiziqli deb hisoblanadi, chunki ular bir xil yechish printsipiga ega, shundan keyin ularni elementar tengsizlikka tushirish mumkin.

Bunday turdagi tengsizlikni hal qilish uchun uni chiziqli tengsizlikka kamaytirish kerak. Buni shunday qilish kerak:

Ta'rif 9

• ochiq qavslar;
• chapda o'zgaruvchilarni, o'ngda esa raqamlarni to'plash;
• o'xshash shartlarni keltiring;
• ikkala qismni x koeffitsientiga bo'ling.

9-misol

5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x - 3) + 1 tengsizlikni yeching.

Qaror

Qavslarni kengaytiramiz, keyin 5 · x + 15 + x ≤ 6 · x - 18 + 1 ko'rinishdagi tengsizlikni olamiz. Shunga o'xshash shartlarni qisqartirgandan so'ng, bizda 6 · x + 15 ≤ 6 · x - 17 ga ega bo'lamiz. Shartlarni chapdan o'ngga siljitgandan so'ng, biz 6 x + 15 - 6 x + 17 ≤ 0 ni olamiz. Demak, u 0 · x + 32 ≤ 0 hisobda olingan natijadan 32 ≤ 0 ko'rinishdagi tengsizlikka ega. Ko'rinib turibdiki, tengsizlik noto'g'ri, ya'ni shart bilan berilgan tengsizlik hech qanday yechimga ega emas.

Javob: yechim yo'q.

Shuni ta'kidlash kerakki, boshqa turdagi tengsizliklar ko'p bo'lib, ular chiziqli tengsizlikka yoki yuqorida ko'rsatilgan turdagi tengsizlikka tushirilishi mumkin. Masalan, 5 2 x − 1 ≥ 1 2 · x - 1 ≥ 0 chiziqli yechimga keltiruvchi ko'rsatkichli tenglama. Ushbu turdagi tengsizliklarni yechishda bu holatlar ko'rib chiqiladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing