Trigonometriyaga misollar. Trigonometrik tenglamalar

Ko'pchilikni hal qilganda matematik muammolar, ayniqsa, 10-sinfdan oldin sodir bo'lganlar, maqsadga olib keladigan harakatlar tartibi aniq belgilangan. Bunday masalalarga, masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar, chiziqli va kvadrat tengsizliklar, kasr tenglamalari va kvadratga keltiruvchi tenglamalar. Yuqorida aytib o'tilgan vazifalarning har birini muvaffaqiyatli hal qilish printsipi quyidagilardan iborat: qanday turdagi vazifa hal qilinayotganini aniqlash kerak, kerakli natijaga olib keladigan kerakli harakatlar ketma-ketligini esga olish kerak, ya'ni. javob bering va ushbu bosqichlarni bajaring.

Shubhasiz, muayyan muammoni hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik, asosan, echilayotgan tenglamaning turi qanchalik to'g'ri aniqlanganiga, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligi qanchalik to'g'ri takrorlanganiga bog'liq. Albatta, ijro etish uchun mahoratga ega bo'lish kerak bir xil o'zgarishlar va hisoblash.

bilan boshqacha vaziyat yuzaga keladi trigonometrik tenglamalar. Tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash qiyin emas. To'g'ri javobga olib keladigan harakatlar ketma-ketligini aniqlashda qiyinchiliklar paydo bo'ladi.

tomonidan ko'rinish tenglamalar ba'zan uning turini aniqlash qiyin. Va tenglama turini bilmasdan, bir necha o'nlab trigonometrik formulalardan to'g'risini tanlash deyarli mumkin emas.

Trigonometrik tenglamani yechish uchun biz quyidagilarni sinab ko'rishimiz kerak:

1. tenglamaga kiritilgan barcha funksiyalarni "bir xil burchaklarga" keltiring;
2. tenglamani "bir xil funktsiyalar" ga keltiring;
3. tenglamaning chap tomonini faktorlarga ajratish va hokazo.

O'ylab ko'ring trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.

I. Eng oddiy trigonometrik tenglamalarga keltirish

Yechim sxemasi

1-qadam. Trigonometrik funktsiyani ma'lum komponentlar bilan ifodalang.

2-qadam Formulalar yordamida funktsiya argumentini toping:

cos x = a; x = ±arccos a + 2pn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + pn, n Ê Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + pn, n Ê Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + pn, n Ê Z.

3-qadam Noma'lum o'zgaruvchini toping.

Misol.

2 cos(3x – p/4) = -√2.

Yechim.

1) cos(3x - p/4) = -√2/2.

2) 3x – p/4 = ±(p – p/4) + 2pn, n Ê Z;

3x – p/4 = ±3p/4 + 2pn, n Ê Z.

3) 3x = ±3p/4 + p/4 + 2pn, n Ê Z;

x = ±3p/12 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z;

x = ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

Javob: ±p/4 + p/12 + 2pn/3, n Ê Z.

II. O'zgaruvchan almashtirish

Yechim sxemasi

1-qadam. Trigonometrik funksiyalardan biriga nisbatan tenglamani algebraik shaklga keltiring.

2-qadam Hosil bo‘lgan funksiyani t o‘zgaruvchisi bilan belgilang (agar kerak bo‘lsa, t ga cheklovlar kiriting).

3-qadam Yozib oling va hal qiling algebraik tenglama.

4-qadam Teskari almashtirishni amalga oshiring.

5-qadam Eng oddiy trigonometrik tenglamani yeching.

Misol.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Yechim.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t bo'lsin, bu erda |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 yoki e = -3/2 |t| shartini qanoatlantirmaydi ≤ 1.

4) gunoh (x/2) = 1.

5) x/2 = p/2 + 2pn, n Ê Z;

x = p + 4pn, n Ê Z.

Javob: x = p + 4pn, n Ê Z.

III. Tenglama tartibini qisqartirish usuli

Yechim sxemasi

1-qadam. O'zgartiring berilgan tenglama chiziqli, buning uchun kamaytirish formulalari yordamida:

gunoh 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-qadam Olingan tenglamani I va II usullar yordamida yeching.

Misol.

cos2x + cos2x = 5/4.

Yechim.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±p/3 + 2pn, n Ê Z;

x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

Javob: x = ±p/6 + pn, n Ê Z.

IV. Bir jinsli tenglamalar

Yechim sxemasi

1-qadam. Ushbu tenglamani shaklga keltiring

a) sin x + b cos x = 0 (birinchi darajali bir hil tenglama)

yoki ko'rinishga

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

2-qadam Tenglamaning ikkala tomonini ga bo'ling

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

va tg x uchun tenglamani oling:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3-qadam Tenglamani ma'lum usullar yordamida yeching.

Misol.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Yechim.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) U holda tg x = t bo'lsin

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 yoki t = -4, shuning uchun

tg x = 1 yoki tg x = -4.

Birinchi tenglamadan x = p/4 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = -arctg 4 + pk, k Є Z.

Javob: x = p/4 + pn, n Ê Z; x \u003d -arctg 4 + pk, k Є Z.

V. Trigonometrik formulalar yordamida tenglamani o'zgartirish usuli

Yechim sxemasi

1-qadam. Barcha turlardan foydalanish trigonometrik formulalar, bu tenglamani I, II, III, IV usullar bilan yechilgan tenglamaga keltiring.

2-qadam Hosil boʻlgan tenglamani maʼlum usullar yordamida yeching.

Misol.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Yechim.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 yoki 2cos x + 1 = 0;

Birinchi tenglamadan 2x = p/2 + pn, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan cos x = -1/2.

Bizda x = p/4 + pn/2, n Ê Z; ikkinchi tenglamadan x = ±(p – p/3) + 2pk, k Ê Z.

Natijada, x \u003d p / 4 + pn / 2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Javob: x \u003d p / 4 + pn / 2, n Ê Z; x = ±2p/3 + 2pk, k Ê Z.

Trigonometrik tenglamalarni yechish qobiliyati va ko'nikmalari juda katta muhim, ularning rivojlanishi talabadan ham, o‘qituvchidan ham katta kuch talab qiladi.

Trigonometrik tenglamalarni yechish bilan stereometriya, fizika va boshqalarning ko'pgina masalalari bog'liq.Bunday masalalarni yechish jarayoni, go'yo trigonometriya elementlarini o'rganishda olinadigan ko'plab bilim va ko'nikmalarni o'z ichiga oladi.

Trigonometrik tenglamalar matematikani o'qitish jarayonida va umuman shaxsni rivojlantirishda muhim o'rin tutadi.

Savollaringiz bormi? Trigonometrik tenglamalarni yechishni bilmayapsizmi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
Birinchi dars bepul!

sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki u bilan bog'lanish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligi haqidagi ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

Saytda ariza topshirganingizda, biz sizning ismingiz, telefon raqamingiz, manzilingiz kabi turli xil ma'lumotlarni to'plashimiz mumkin Elektron pochta va hokazo.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

Biz tomonidan yig'ilgan Shaxsiy ma'lumot siz bilan bog'lanish va sizni xabardor qilish imkonini beradi noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar.
Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash rag'batlarda qatnashsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va/yoki jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari Rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi shaxs merosxo'riga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

Mavzu bo'yicha dars va taqdimot: "Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni echish"

Qo'shimcha materiallar
Hurmatli foydalanuvchilar, o'z mulohazalaringizni, fikr-mulohazalaringizni, takliflaringizni qoldirishni unutmang! Barcha materiallar antivirus dasturi tomonidan tekshiriladi.

1C dan 10-sinf uchun "Integral" onlayn-do'konidagi qo'llanmalar va simulyatorlar
Biz geometriyadan muammolarni hal qilamiz. Kosmosda qurish uchun interaktiv vazifalar
"1C: Matematik konstruktor 6.1" dasturiy muhiti

Biz nimani o'rganamiz:
1. Trigonometrik tenglamalar nima?

3. Trigonometrik tenglamalarni yechishning ikkita asosiy usuli.
4. Bir jinsli trigonometrik tenglamalar.
5. Misollar.

Trigonometrik tenglamalar nima?

Bolalar, biz allaqachon arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangensni o'rganib chiqdik. Endi trigonometrik tenglamalarni umumiy ko‘rib chiqamiz.

Trigonometrik tenglamalar - o'zgaruvchi trigonometrik funktsiya belgisi ostida joylashgan tenglamalar.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalarni yechish shaklini takrorlaymiz:

1) Agar |a|≤ 1 boʻlsa, cos(x) = a tenglama yechimga ega boʻladi:

X= ± arccos(a) + 2p

2) Agar |a|≤ 1 boʻlsa, sin(x) = a tenglama yechimga ega boʻladi:

3) Agar |a| > 1 bo‘lsa, sin(x) = a va cos(x) = a tenglamaning yechimlari yo‘q 4) tg(x)=a tenglamaning yechimi bor: x=arctg(a)+ pk.

5) ctg(x)=a tenglamaning yechimi bor: x=arcctg(a)+ pk

Barcha formulalar uchun k butun sondir

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar quyidagi ko rinishga ega: T(kx+m)=a, T- har qanday trigonometrik funksiya.

Misol.

Tenglamalarni yeching: a) sin(3x)= √3/2

Yechim:

A) 3x=t ni belgilaymiz, keyin tenglamamizni quyidagi ko‘rinishda qayta yozamiz:

Bu tenglamaning yechimi quyidagicha bo'ladi: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ pn.

Qiymatlar jadvalidan biz olamiz: t=((-1)^n)×p/3+ pn.

O'zgaruvchimizga qaytaylik: 3x =((-1)^n)×p/3+ pn,

Keyin x= ((-1)^n)×p/9+ pn/3

Javob: x= ((-1)^n)×p/9+ pn/3, bu yerda n butun son. (-1)^n - n kuchiga minus bir.

Trigonometrik tenglamalarga ko'proq misollar.

Tenglamalarni yeching: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- p/3)= √3

Yechim:

A) Bu safar biz darhol tenglamaning ildizlarini hisoblashga o'tamiz:

X/5= ± arccos(1) + 2p. Keyin x/5= pk => x=5pk

Javob: x=5pk, bu yerda k butun son.

B) Quyidagi shaklda yozamiz: 3x- p/3=arctg(√3)+ pk. Biz buni bilamiz: arctg(√3)= p/3

3x- p/3= p/3+ pk => 3x=2p/3 + pk => x=2p/9 + pk/3

Javob: x=2p/9 + pk/3, bu yerda k butun son.

Tenglamalarni yeching: cos(4x)= √2/2. Va segmentdagi barcha ildizlarni toping.

Yechim:

Biz qaror qilamiz umumiy ko'rinish tenglamamiz: 4x= ± arccos(√2/2) + 2pk

4x= ± p/4 + 2p;

X= ± p/16+ pk/2;

Keling, bizning segmentimizga qanday ildizlar tushishini ko'rib chiqaylik. k uchun k=0, x= p/16 uchun biz berilgan segmentdamiz.
k=1, x= p/16+ p/2=9p/16 bilan ular yana urishadi.
k=2 uchun, x= p/16+ p=17p/16, lekin bu yerda biz urmaganmiz, demak, biz katta k uchun ham urmaymiz.

Javob: x= p/16, x= 9p/16

Ikkita asosiy yechim usullari.

Biz eng oddiy trigonometrik tenglamalarni ko'rib chiqdik, ammo murakkabroqlari ham bor. Ularni yechish uchun yangi o'zgaruvchini kiritish usuli va faktorizatsiya usuli qo'llaniladi. Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

Keling, tenglamani yechamiz:

Yechim:
Tenglamamizni yechish uchun t=tg(x) bilan belgilanadigan yangi o‘zgaruvchini kiritish usulidan foydalanamiz.

O'zgartirish natijasida biz olamiz: t 2 + 2t -1 = 0

Keling, ildizlarni topamiz kvadrat tenglama: t=-1 va t=1/3

Keyin tg(x)=-1 va tg(x)=1/3, eng oddiy trigonometrik tenglamani oldik, uning ildizlarini topamiz.

X=arctg(-1) +pk= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Javob: x= -p/4+pk; x=arctg(1/3) + pk.

Tenglamani yechishga misol

Tenglamalarni yeching: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Yechim:

Identifikatsiyadan foydalanamiz: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Bizning tenglamamiz quyidagicha bo'ladi: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x) almashtirishni kiritamiz: 2t 2 -3t - 2 = 0

Kvadrat tenglamamizning yechimi ildizlari: t=2 va t=-1/2

U holda cos(x)=2 va cos(x)=-1/2.

Chunki kosinus birdan katta qiymatlarni qabul qila olmaydi, u holda cos(x)=2 ning ildizlari yo'q.

cos(x)=-1/2 uchun: x= ± arccos(-1/2) + 2pk; x= ±2p/3 + 2pk

Javob: x= ±2p/3 + 2p

Bir jinsli trigonometrik tenglamalar.

Ta'rif: a sin(x)+b cos(x) ko'rinishdagi tenglama birinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar deyiladi.

Shaklning tenglamalari

ikkinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar.

Birinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamani yechish uchun uni cos(x) ga ajratamiz: Agar bo'lsa, kosinusga bo'linib bo'lmaydi nol, keling, bunday emasligiga ishonch hosil qilaylik:
cos(x)=0 bo'lsin, keyin asin(x)+0=0 => sin(x)=0, lekin sinus va kosinus bir vaqtning o'zida nolga teng emas, biz ziddiyatga ega bo'ldik, shuning uchun biz xavfsiz bo'lamiz. nolga.

Tenglamani yeching:
Misol: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Yechim:

Umumiy omilni chiqaring: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Keyin ikkita tenglamani yechishimiz kerak:

cos(x)=0 va cos(x)+sin(x)=0

x= p/2 + p k uchun Cos(x)=0;

cos(x)+sin(x)=0 tenglamasini ko‘rib chiqaylik tenglamamizni cos(x) ga bo‘ling:

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +pk= -p/4+p

Javob: x= p/2 + pk va x= -p/4+pk

Ikkinchi darajali bir jinsli trigonometrik tenglamalar qanday yechiladi?
Bolalar, har doim ushbu qoidalarga rioya qiling!

1. A koeffitsienti nimaga teng ekanligini ko'ring, agar a \u003d 0 bo'lsa, bizning tenglamamiz cos (x) (bsin (x) + ccos (x)) ko'rinishini oladi, uning yechimi oldingi misolda keltirilgan. slayd

2. Agar a≠0 bo'lsa, tenglamaning ikkala qismini kvadrat kosinusga bo'lish kerak bo'lsa, biz quyidagilarga erishamiz:

t=tg(x) o‘zgaruvchisini o‘zgartiramiz, biz tenglamani olamiz:

№ 3 misolni yeching

Tenglamani yeching:
Yechim:

Tenglamaning ikkala tomonini kosinus kvadratiga ajrating:

t=tg(x) o‘zgaruvchisini o‘zgartiramiz: t 2 + 2 t - 3 = 0

Kvadrat tenglamaning ildizlarini toping: t=-3 va t=1

Keyin: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + pk=-arctg(3) + pk

Tg(x)=1 => x= p/4+ pk

Javob: x=-arctg(3) + pk va x= p/4+ pk

№: 4-misolni yeching

Tenglamani yeching:

Yechim:
Keling, ifodamizni o'zgartiraylik:

Bunday tenglamalarni yechishimiz mumkin: x= - p/4 + 2pk va x=5p/4 + 2pk

Javob: x= - p/4 + 2pk va x=5p/4 + 2p

№5 misolni yeching

Tenglamani yeching:

Yechim:
Keling, ifodamizni o'zgartiraylik:

Biz tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 almashtirishni kiritamiz.

Kvadrat tenglamamizning yechimi ildizlar bo'ladi: t=-2 va t=1/2

Keyin biz quyidagilarga erishamiz: tg(2x)=-2 va tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ pk => x=-arctg(2)/2 + pk/2

2x= arctg(1/2) + pk => x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Javob: x=-arctg(2)/2 + pk/2 va x=arctg(1/2)/2+ pk/2

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar.

1) Tenglamani yeching

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Tenglamalarni yeching: sin(3x)= √3/2. Va segmentdagi barcha ildizlarni toping [p/2; p].

3) Tenglamani yeching: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0

4) Tenglamani yeching: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Tenglamani yeching: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Tenglamani yeching: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Hech kimga sir emaski, deyarli har qanday muammoni hal qilish jarayonida muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlik asosan turni aniqlashning to'g'riligiga bog'liq. berilgan tenglama, shuningdek, uni hal qilishning barcha bosqichlari ketma-ketligini to'g'ri takrorlash bo'yicha. Biroq, trigonometrik tenglamalarda tenglamaning trigonometrik ekanligini aniqlash umuman qiyin emas. Ammo bizni to'g'ri javobga olib kelishi kerak bo'lgan harakatlar ketma-ketligini aniqlash jarayonida biz muayyan qiyinchiliklarga duch kelishimiz mumkin. Keling, boshidanoq trigonometrik tenglamalarni qanday to'g'ri yechish kerakligini aniqlaylik.

Trigonometrik tenglamalarni yechish

Trigonometrik tenglamani yechish uchun siz quyidagi fikrlarni bajarishga harakat qilishingiz kerak:

Biz tenglamamizga kiritilgan barcha funktsiyalarni "bir xil burchaklarga" keltiramiz;
Berilgan tenglamani “bir xil funksiyalarga” keltirish kerak;
Berilgan tenglamaning chap tomonini omillarga yoki boshqa kerakli komponentlarga ajratamiz.

Usullari

Usul 1. Bunday tenglamalarni ikki bosqichda yechish kerak. Birinchidan, biz tenglamani eng oddiy (soddalashtirilgan) shaklini olish uchun o'zgartiramiz. Tenglama: Cosx = a, Sinx = a va shunga o'xshashlar eng oddiy trigonometrik tenglamalar deyiladi. Ikkinchi bosqich - olingan oddiy tenglamani yechish. Shuni ta'kidlash kerakki, eng oddiy tenglamani maktab algebrasi kursidan bizga yaxshi ma'lum bo'lgan algebraik usul bilan yechish mumkin. U almashtirish va o'zgaruvchan almashtirish usuli deb ham ataladi. Qisqartirish formulalari yordamida siz avval konvertatsiya qilishingiz kerak, keyin almashtirishni amalga oshiring va keyin ildizlarni toping.

Keyinchalik, tenglamamizni mumkin bo'lgan omillarga ajratishingiz kerak, buning uchun siz barcha shartlarni chapga siljitishingiz kerak va keyin omillarga ajralishingiz mumkin. Endi siz ushbu tenglamani bir hil tenglamaga keltirishingiz kerak, unda barcha atamalar bir xil darajaga teng, kosinus va sinus bir xil burchakka ega.

Trigonometrik tenglamalarni echishdan oldin uning shartlarini o'ng tomondan olib, chap tomonga o'tkazishingiz kerak, keyin esa qavs ichidagi barcha umumiy maxrajlarni olib tashlaymiz. Qavs va omillarimizni nolga tenglashtiramiz. Bizning tenglashtirilgan qavslarimiz sin(cos) ga bo'linib, eng yuqori quvvatga bo'linadigan qisqartirilgan bir hil tenglamadir. Endi tanga nisbatan olingan algebraik tenglamani yechamiz.

Usul 2. Trigonometrik tenglamani yechishning yana bir usuli - yarim burchakka o'tish. Masalan, tenglamani yechamiz: 3sinx-5cosx=7.

Biz yarim burchakka o'tishimiz kerak, bizning holatlarimizda u: 6sin(x/2)*cos(x/2)- 5cos²(x/2)+5sin²(x/2) = 7sin²(x/2)+7cos² (x / 2).Va shundan so'ng biz barcha shartlarni bir qismga qisqartiramiz (qulaylik uchun to'g'risini tanlash yaxshidir) va tenglamani echishga kirishamiz.

Agar kerak bo'lsa, yordamchi burchakni kiritishingiz mumkin. Bu sin (a) yoki cos (a) butun son qiymatini almashtirish kerak bo'lganda amalga oshiriladi va "a" belgisi faqat yordamchi burchak vazifasini bajaradi.

summaga mahsulot

Trigonometrik tenglamalarni yig'indisi ko'paytmasi yordamida qanday yechish mumkin? Bunday tenglamalarni yechish uchun ko'paytmani yig'indiga aylantirish deb nomlanuvchi usuldan ham foydalanish mumkin. Bunday holda, tenglamaga mos keladigan formulalardan foydalanish kerak.

Masalan, bizda tenglama mavjud: 2sinx * sin3x= cos4x

Ushbu muammoni chap tomonni yig'indiga aylantirish orqali hal qilishimiz kerak, xususan:

cos 4x –cos8x=cos4x,

x = p/16 + pk/8.

Agar yuqoridagi usullar mos kelmasa va siz hali ham eng oddiy trigonometrik tenglamalarni qanday echishni bilmasangiz, boshqa usuldan - universal almashtirishdan foydalanishingiz mumkin. Uning yordamida siz ifodani o'zgartirishingiz va almashtirishingiz mumkin. Masalan: Cos(x/2)=u. Endi tenglamani berilgan u parametr bilan yechishimiz mumkin. Va kerakli natijani olgandan so'ng, bu qiymatni teskarisiga tarjima qilishni unutmang.

Ko'pgina "tajribali" talabalarga tenglamalarni echish uchun onlayn odamlarga murojaat qilish tavsiya etiladi. Onlaynda trigonometrik tenglamani qanday yechish mumkin, deb so'raysiz. Uchun onlayn echimlar Muammolar bo'lsa, tegishli mavzulardagi forumlarga murojaat qilishingiz mumkin, ular sizga maslahat yoki muammoni hal qilishda yordam berishi mumkin. Lekin eng yaxshisi, o'z-o'zidan boshqarishga harakat qilishdir.

Trigonometrik tenglamalarni yechishdagi ko‘nikma va malakalar juda muhim va foydalidir. Ularning rivojlanishi sizdan katta kuch talab qiladi. Bunday tenglamalarni yechish bilan fizika, stereometriya va boshqalarning ko‘pgina masalalari bog‘langan. Va bunday muammolarni hal qilish jarayonining o'zi trigonometriya elementlarini o'rganish jarayonida egallash mumkin bo'lgan ko'nikma va bilimlarning mavjudligini nazarda tutadi.

Trigonometrik formulalarni o'rganing

Tenglamani yechish jarayonida siz trigonometriyadan har qanday formuladan foydalanish zarurligiga duch kelishingiz mumkin. Siz, albatta, uni o'z darsliklaringiz va varaqlaringizdan qidirishni boshlashingiz mumkin. Va agar bu formulalar sizning boshingizga qo'yilsa, siz nafaqat asablaringizni saqlab qolasiz, balki kerakli ma'lumotlarni qidirishga vaqt sarflamasdan, vazifangizni ancha osonlashtirasiz. Shunday qilib, siz muammoni hal qilishning eng oqilona usulini o'ylab ko'rish imkoniyatiga ega bo'lasiz.

Asosiy trigonometrik funktsiyalar - sinus, kosinus, tangens va kotangens o'rtasidagi nisbatlar berilgan. trigonometrik formulalar. Va trigonometrik funktsiyalar o'rtasida juda ko'p bog'lanishlar mavjudligi sababli, bu trigonometrik formulalarning ko'pligini ham tushuntiradi. Ba'zi formulalar bir xil burchakning trigonometrik funktsiyalarini bog'laydi, boshqalari - ko'p burchakning funktsiyalari, boshqalari - darajani kamaytirishga imkon beradi, to'rtinchisi - barcha funktsiyalarni yarim burchakning tangensi orqali ifodalash va hokazo.

Ushbu maqolada biz trigonometriya muammolarining katta qismini hal qilish uchun etarli bo'lgan barcha asosiy trigonometrik formulalarni tartib bilan sanab o'tamiz. Yodlash va foydalanish qulayligi uchun biz ularni maqsadlariga ko'ra guruhlarga ajratamiz va jadvallarga kiritamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar

Asosiy trigonometrik identifikatsiyalar bir burchakning sinusi, kosinusu, tangensi va kotangensi o'rtasidagi munosabatni o'rnating. Ular sinus, kosinus, tangens va kotangensning ta'rifidan, shuningdek, birlik doirasi tushunchasidan kelib chiqadi. Ular bir trigonometrik funktsiyani boshqasi orqali ifodalash imkonini beradi.

Ushbu trigonometriya formulalarining batafsil tavsifi, ularni olish va qo'llash misollari uchun maqolaga qarang.

Shakllangan formulalar

Shakllangan formulalar sinus, kosinus, tangens va kotangens xossalaridan kelib chiqadi, ya'ni ular trigonometrik funksiyalarning davriylik xususiyatini, simmetriya xossasini, shuningdek, berilgan burchakka siljish xossalarini aks ettiradi. Ushbu trigonometrik formulalar ixtiyoriy burchaklar bilan ishlashdan noldan 90 darajagacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi.

Ushbu formulalarni asoslash, mnemonik qoida ularni yodlash uchun va ularni qo'llash misollarini maqolada o'rganish mumkin.

Qo'shimcha formulalar

Trigonometrik qo'shish formulalari Ikki burchak yig‘indisining yoki ayirmasining trigonometrik funksiyalari shu burchaklarning trigonometrik funksiyalari bilan qanday ifodalanishini ko‘rsating. Bu formulalar quyidagi trigonometrik formulalarni chiqarish uchun asos bo'lib xizmat qiladi.

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak

Ikki, uch va boshqalar uchun formulalar. burchak (ular ko'p burchak formulalari deb ham ataladi) ikki, uch va boshqalarning trigonometrik funktsiyalarini ko'rsatadi. burchaklar () bitta burchakning trigonometrik funktsiyalari bilan ifodalanadi. Ularning hosilasi qo'shish formulalariga asoslanadi.

Batafsil ma'lumot ikki, uch va boshqalar uchun maqola formulalarida to'plangan. burchak.

Yarim burchak formulalari

Yarim burchak formulalari yarim burchakning trigonometrik funktsiyalari butun burchakning kosinusida qanday ifodalanishini ko'rsating. Bu trigonometrik formulalar ikki burchakli formulalardan kelib chiqadi.

Ularning xulosasi va qo'llash misollarini maqolada topish mumkin.

Qisqartirish formulalari

Darajani kamaytirish uchun trigonometrik formulalar trigonometrik funktsiyalarning tabiiy kuchlaridan birinchi darajali sinuslar va kosinuslarga o'tishni osonlashtirish uchun mo'ljallangan, lekin bir nechta burchaklar. Boshqacha qilib aytganda, ular trigonometrik funktsiyalarning kuchlarini birinchi darajaga kamaytirishga imkon beradi.

Trigonometrik funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasining formulalari

asosiy manzil trigonometrik funksiyalar uchun yig‘indi va ayirma formulalari funksiyalar mahsulotiga o'tishdan iborat bo'lib, bu trigonometrik ifodalarni soddalashtirishda juda foydali. Bu formulalar trigonometrik tenglamalarni yechishda ham keng qo'llaniladi, chunki ular sinuslar va kosinuslarning yig'indisi va ayirmasini faktorlarga ajratish imkonini beradi.

Sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinus bo'yicha ko'paytmasi uchun formulalar

Trigonometrik funksiyalarning ko`paytmasidan yig`indiga yoki ayirmaga o`tish sinuslar, kosinuslar va sinuslarning kosinuslar ko`paytmasi formulalari orqali amalga oshiriladi.

Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14-nashr.- M.: Ma'rifat, 2004.- 384 b.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Aqlli talabalar tomonidan mualliflik huquqi

Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Www.website hech qanday qismi, shu jumladan ichki materiallar Va tashqi dizayn mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz hech qanday shaklda ko'paytirilishi yoki foydalanilishi mumkin emas.