Kvadrat funksiya yechimiga misollar 9. Kvadrat funksiya va uning grafigi

Muhim eslatmalar!
1. Agar formulalar o'rniga abrakadabrani ko'rsangiz, keshni tozalang. Buni brauzeringizda qanday qilish kerakligi bu erda yozilgan:
2. Maqolani o'qishni boshlashdan oldin, eng ko'p bizning navigatorimizga e'tibor bering foydali resurs uchun

Bu erda nima yozilishini tushunish uchun kvadrat funktsiya nima ekanligini va u nima bilan ovqatlanishini yaxshi bilishingiz kerak. Agar siz o'zingizni kvadratik funktsiyalarda professional deb hisoblasangiz, xush kelibsiz. Agar yo'q bo'lsa, mavzuni o'qib chiqishingiz kerak.

Keling, kichikdan boshlaylik cheklar:

Kvadrat funksiya umumiy shaklda (formula) qanday ko'rinishga ega?
Diagrammaning nomi nima kvadratik funktsiya?
Etakchi koeffitsient kvadratik funktsiya grafigiga qanday ta'sir qiladi?

Agar siz ushbu savollarga darhol javob bera olsangiz, o'qishni davom eting. Agar kamida bitta savol qiyinchilik tug'dirsa, o'ting.

Shunday qilib, siz allaqachon kvadrat funktsiyani qanday boshqarishni, uning grafigini tahlil qilishni va nuqtalar bo'yicha grafikni qurishni bilasiz.

Xo'sh, bu erda: .

Keling, ular nima qilayotganini tezda ko'rib chiqaylik. imkoniyatlar.

Katta koeffitsient parabolaning "tikligi" yoki boshqacha qilib aytganda, uning kengligi uchun javobgardir: parabola qanchalik katta bo'lsa, torroq (tik) va kichikroq, kengroq (tekisroq) parabola.
Erkin muddat - parabolaning y o'qi bilan kesishish koordinatasi.
Va koeffitsient qandaydir tarzda parabolaning koordinatalar markazidan siljishi uchun javobgardir. Endi bu haqda batafsilroq.

Nima uchun biz doimo parabolani qurishni boshlaymiz? Uning ajralib turadigan jihati nimada?

Bu cho'qqi. Va cho'qqining koordinatalarini qanday topish mumkin, esingizdami?

Abtsissa quyidagi formula bo'yicha izlanadi:

Bu kabi: nima Ko'proq, mavzular Chapga parabolaning yuqori qismi harakatlanadi.

Tepaning ordinatasini funktsiyaga almashtirish orqali topish mumkin:

O'zingizni almashtiring va hisoblang. Nima bo'ldi?

Agar siz hamma narsani to'g'ri qilsangiz va natijada olingan ifodani iloji boricha soddalashtirsangiz, siz quyidagilarni olasiz:

Ma'lum bo'lishicha, ko'proq modul, mavzular yuqoriroq bo'ladi cho'qqi parabolalar.

Nihoyat, keling, fitnaga o'tamiz.
Eng oson yo'li - yuqoridan boshlab parabolani qurish.

Misol:

Funktsiyani chizing.

Qaror:

Birinchidan, koeffitsientlarni aniqlaymiz: .

Endi tepaning koordinatalarini hisoblaymiz:

Va endi esda tuting: bir xil etakchi koeffitsientga ega bo'lgan barcha parabolalar bir xil ko'rinadi. Shunday qilib, agar biz parabola qursak va uning uchini nuqtaga ko'chirsak, biz kerakli grafikni olamiz:

Oddiy, to'g'rimi?

Bitta savol qoldi: parabolani qanday tez chizish mumkin? Boshida cho‘qqisi bo‘lgan parabolani chizsak ham, uni nuqtama-nuqta qurishimiz kerak, bu uzoq va noqulay. Ammo barcha parabolalar bir xil ko'rinadi, ehtimol ularni chizishni tezlashtirishning bir usuli bormi?

Maktabda o‘qib yurgan paytlarimda matematika o‘qituvchim hammaga kartondan parabola shaklidagi trafaretni kesib tashlashni, tezda chizib olishlarini aytdi. Lekin siz hamma joyda stencil bilan yura olmaysiz va ularni imtihonga topshirishga ruxsat berilmaydi. Shunday qilib, biz begona narsalarni ishlatmaymiz, lekin biz naqsh izlaymiz.

Eng oddiy parabolani ko'rib chiqing. Keling, uni nuqtalar bo'yicha quramiz:

Bu erda qoida shu. Agar biz yuqoridan o'ngga (o'q bo'ylab) ga va yuqoriga (o'q bo'ylab) harakat qilsak, u holda biz parabola nuqtasiga erishamiz. Keyinchalik: agar bu nuqtadan o'ngga va yuqoriga o'tsak, biz yana parabola nuqtasiga erishamiz. Keyingi: to'g'ridan-to'g'ri va yuqoriga. Keyingisi nima? To'g'ridan-to'g'ri va yuqoriga. Va hokazo: o'ngga va keyingisiga o'ting toq raqam yuqoriga. Keyin chap novda bilan ham xuddi shunday qilamiz (axir, parabola nosimmetrik, ya'ni shoxlari bir xil ko'rinadi):

Ajoyib, bu eng yuqori koeffitsientga teng bo'lgan cho'qqidan istalgan parabolani qurishga yordam beradi. Masalan, biz parabolaning tepasi bir nuqtada ekanligini bilib oldik. Ushbu parabolani tuzing (o'zingiz, qog'ozda).

Qurilganmi?

Bu shunday bo'lishi kerak:

Endi biz olingan nuqtalarni bog'laymiz:

Hammasi shu.

Xo'sh, endi faqat parabolalarni yaratingmi?

Albatta yo'q. Endi ular bilan nima qilish kerakligini aniqlaymiz, agar.

Keling, ba'zi odatiy holatlarni ko'rib chiqaylik.

Ajoyib, biz parabolani qanday chizishni o'rgandik, endi haqiqiy funksiyalar ustida mashq qilaylik.

Shunday qilib, bunday funktsiyalarning grafiklarini tuzing:

Javoblar:

3. Yuqori: .

Katta koeffitsient kamroq bo'lsa, nima qilish kerakligini eslaysizmi?

Kasrning maxrajiga qaraymiz: u teng. Shunday qilib, biz shunday harakat qilamiz:

o'ngga - yuqoriga
o'ngga - yuqoriga
o'ngga - yuqoriga

va shuningdek, chapga:

4. Yuqori: .

Oh, u bilan nima qilish kerak? Agar tepa chiziq orasida joylashgan bo'lsa, hujayralarni qanday o'lchash mumkin?

Va biz aldaymiz. Birinchidan, parabolani chizamiz va shundan keyingina uning cho'qqisini nuqtaga o'tkazamiz. Hatto emas, keling, buni yanada qiyinroq qilaylik: keling, parabolani chizamiz, keyin esa o'qlarni siljitish:- ustida pastga, a - yoqilgan to'g'ri:

Ushbu texnika har qanday parabola holatida juda qulay, buni eslang.

Sizga shuni eslatib o'tamanki, biz funktsiyani ushbu shaklda ifodalashimiz mumkin:

Misol uchun: .

Bu bizga nima beradi?

Gap shundaki, () qavs ichida ayiriladi son parabola cho'qqisining abssissasi, qavs () tashqarisidagi atama esa cho'qqining ordinatasi hisoblanadi.

Bu shuni anglatadiki, parabolani qurib, siz shunchaki qilishingiz kerak o'qni chapga va o'qni pastga siljiting.

Misol: funksiya grafigini tuzamiz.

Keling, to'liq kvadratni tanlaymiz:

Qaysi raqam ayiriladi qavs ichidan? Bu (va siz o'ylamasdan qanday qaror qabul qilishingiz mumkin emas).

Shunday qilib, biz parabola quramiz:

Endi biz o'qni pastga, ya'ni yuqoriga siljitamiz:

Va endi - chapga, ya'ni o'ngga:

Hammasi shu. Bu parabolani cho'qqisi bilan boshidan nuqtaga ko'chirish bilan bir xil, faqat to'g'ri o'qni harakatlantirish egri parabolaga qaraganda ancha oson.

Endi, odatdagidek, o'zim:

Va eski o'qlarni silgi bilan o'chirishni unutmang!

kabiman javoblar Tekshirish uchun men sizga ushbu parabolalarning uchlari ordinatalarini yozaman:

Hammasi mos keldimi?

Ha bo'lsa, siz ajoyibsiz! Parabolani qanday boshqarishni bilish juda muhim va foydalidir va bu erda biz bu umuman qiyin emasligini aniqladik.

KVADRAT FUNKSIYA grafigi. ASOSIY HAQIDA QISQA

kvadratik funktsiya shaklning funksiyasi, bu yerda va har qanday sonlar (koeffitsientlar), erkin a'zo.

Kvadrat funksiyaning grafigi paraboladir.

Parabolaning tepasi:
, ya'ni. \displaystyle b qanchalik katta bo'lsa, parabolaning yuqori qismi shunchalik chapga siljiydi.
Funktsiyani almashtiring va quyidagilarni oling:
, ya'ni. \displaystyle b moduli qanchalik katta bo'lsa, parabolaning tepasi shunchalik baland bo'ladi

Erkin muddat - parabolaning y o'qi bilan kesishish koordinatasi.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘zlari biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qigan bo'lsangiz, unda siz 5% ga kirgansiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani aniqladingiz. Va takror aytaman, bu ... shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Muvaffaqiyatli uchun imtihondan o'tish, institutga byudjet bo'yicha va ENG MUHIM, umrbod qabul qilish uchun.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Qabul qilgan odamlar yaxshi ta'lim, uni olmaganlarga qaraganda ko'proq pul ishlang. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular ko'proq BAXTLI (bunday tadqiqotlar mavjud). Ehtimol, ularning oldida ko'proq imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Imtihonda boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QO'LINGIZNI TO'LDIRING.

Imtihonda sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi muammolarni o'z vaqtida hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki o'z vaqtida qilolmaysiz.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni istalgan joydan toping albatta yechimlari bilan batafsil tahlil va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (shart emas) va biz ularni albatta tavsiya qilamiz.

Vazifalarimiz yordamida yordam berish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanday? Ikkita variant mavjud:

Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching -
Qo'llanmaning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizda darslikda 99 ta shunday maqola bor va barcha topshiriqlarga kirish va ulardagi barcha yashirin matnlarni darhol ochish mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning butun umri davomida taqdim etiladi.

Xulosa...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men qanday hal qilishni bilaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va hal qiling!

Parabola nima ekanligini hamma biladi. Ammo uni turli xil amaliy muammolarni hal qilishda qanday qilib to'g'ri, malakali ishlatish kerak, biz quyida tushunamiz.

Birinchidan, algebra va geometriya bu atamaga beradigan asosiy tushunchalarni belgilaylik. Hamma narsani o'ylab ko'ring mumkin bo'lgan turlari bu diagramma.

Biz ushbu funktsiyaning barcha asosiy xususiyatlarini o'rganamiz. Keling, egri chiziq (geometriya) qurish asoslarini tushunamiz. Keling, ushbu turdagi grafikning yuqori va boshqa asosiy qiymatlarini qanday topishni bilib olaylik.

Biz bilib olamiz: kerakli egri chiziq tenglama bo'yicha qanday qilib to'g'ri tuzilgan, nimaga e'tibor berish kerak. Keling, asosiysini ko'rib chiqaylik amaliy foydalanish inson hayotidagi bu noyob qadriyat.

Parabola nima va u nimaga o'xshaydi

Algebra: Bu atama kvadrat funktsiyaning grafigiga ishora qiladi.

Geometriya: Bu ikkinchi darajali egri chiziq bo'lib, bir qator o'ziga xos xususiyatlarga ega:

Kanonik parabola tenglamasi

Rasmda to'rtburchak koordinatalar tizimi (XOY), ekstremum, abscissa o'qi bo'ylab novdalar chizilgan funktsiya yo'nalishi ko'rsatilgan.

Kanonik tenglama:

y 2 \u003d 2 * p * x,

bu erda p koeffitsienti parabolaning fokus parametri (AF).

Algebrada u boshqacha yoziladi:

y = a x 2 + b x + c (taniqli naqsh: y = x 2).

Kvadrat funksiyaning xossalari va grafigi

Funktsiya simmetriya o'qi va markazga (ekstremum) ega. Ta'rif sohasi x o'qining barcha qiymatlari.

Funktsiya qiymatlari diapazoni - (-∞, M) yoki (M, +∞) egri novdalar yo'nalishiga bog'liq. Bu yerda M parametri satrning yuqori qismidagi funksiyaning qiymatini bildiradi.

Parabola shoxlari qayerga yo'naltirilganligini qanday aniqlash mumkin

Ifodadan bu turdagi egri chiziq yo'nalishini topish uchun birinchi parametr oldidagi belgini ko'rsatish kerak. algebraik ifoda. Agar a ˃ 0 bo'lsa, ular yuqoriga yo'naltiriladi. Aks holda, pastga.

Formuladan foydalanib parabolaning uchini qanday topish mumkin

Ekstremumni topish ko'plab amaliy muammolarni hal qilishda asosiy qadamdir. Albatta, siz maxsus ochishingiz mumkin onlayn kalkulyatorlar lekin buni o'zingiz qilishingiz yaxshiroq.

Uni qanday aniqlash mumkin? Maxsus formula mavjud. Agar b 0 ga teng bo'lmasa, biz ushbu nuqtaning koordinatalarini izlashimiz kerak.

Yuqorini topish uchun formulalar:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Misol.

y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25 funktsiyasi mavjud. Keling, ushbu funktsiyaning uchlarini topamiz.

Bunday qator uchun:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Biz cho'qqining koordinatalarini olamiz (-2, -41).

Parabola ofset

Klassik holat - kvadratik funktsiyada y = a x 2 + b x + c, ikkinchi va uchinchi parametrlar 0, va = 1 - cho'qqi (0; 0) nuqtada bo'lganda.

Abscissa yoki ordinata o'qlari bo'ylab harakat mos ravishda b va c parametrlarining o'zgarishi bilan bog'liq. Samolyotdagi chiziqning siljishi parametr qiymatiga teng bo'lgan birliklar soni bo'yicha aniq amalga oshiriladi.

Misol.

Bizda: b = 2, c = 3.

Bu shuni anglatadiki, egri chiziqning klassik ko'rinishi abscissa o'qi bo'ylab 2 birlik segmentga va ordinat o'qi bo'ylab 3 ga siljiydi.

Kvadrat tenglama yordamida parabolani qanday qurish mumkin

Maktab o'quvchilari uchun berilgan parametrlar bo'yicha parabolani to'g'ri chizishni o'rganish muhimdir.

Ifodalar va tenglamalarni tahlil qilib, quyidagilarni ko'rishingiz mumkin:

Kerakli chiziqning ordinata vektori bilan kesishish nuqtasi c ga teng qiymatga ega bo'ladi.
Grafikning barcha nuqtalari (x o'qi bo'ylab) funktsiyaning asosiy ekstremumiga nisbatan simmetrik bo'ladi.

Bundan tashqari, OX bilan kesishishlarni bunday funktsiyaning diskriminantini (D) bilish orqali topish mumkin:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Buning uchun ifodani nolga tenglashtirish kerak.

Parabola ildizlarining mavjudligi natijaga bog'liq:

D ˃ 0, keyin x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, keyin x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
D ˂ 0, u holda OX vektori bilan kesishish nuqtalari mavjud emas.

Biz parabolani qurish algoritmini olamiz:

filiallarning yo'nalishini aniqlash;
uchining koordinatalarini toping;
y o'qi bilan kesishuvni toping;
x o'qi bilan kesishgan joyni toping.

1-misol

y \u003d x 2 - 5 * x + 4 funktsiyasi berilgan. Parabola qurish kerak. Biz algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

a \u003d 1, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
ekstremum koordinatalari: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
y o'qi bilan y = 4 qiymatida kesishadi;
diskriminantni toping: D = 25 - 16 = 9;
ildizlarni qidiradi

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (o'nta).

2-misol

y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 funktsiyasi uchun siz parabola qurishingiz kerak. Biz yuqoridagi algoritmga muvofiq harakat qilamiz:

a \u003d 3, shuning uchun novdalar yuqoriga yo'naltirilgan;
ekstremum koordinatalari: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
y o'qi bilan y \u003d -1 qiymatida kesishadi;
diskriminantni toping: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Shunday qilib, ildizlar:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Olingan nuqtalardan siz parabola qurishingiz mumkin.

Direktriks, ekssentriklik, parabolaning fokusi

Kanonik tenglamaga asoslanib, fokus F koordinatalariga ega (p/2, 0).

AB to'g'ri chiziq direktrisa (ma'lum uzunlikdagi parabola akkordning bir turi). Uning tenglamasi x = -p/2.

Eksantriklik (doimiy) = 1.

Xulosa

Biz talabalar tahsil oladigan mavzuni ko'rib chiqdik o'rta maktab. Endi siz parabolaning kvadratik funksiyasiga qarab, uning cho'qqisini qanday topishni, shoxlari qaysi yo'nalishda yo'naltirilishini, o'qlar bo'ylab siljish bor-yo'qligini va qurilish algoritmiga ega bo'lgan holda, uning grafigini chizishingiz mumkinligini bilasiz.