«Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі» Стівен Строгац

Математика – найточніша та універсальна мова науки, але чи можна за допомогою цифр пояснити людські почуття? Формули кохання, насіння хаосу та романтичні диференціальні рівняння - Т&P публікують главу з книги одного з найкращих викладачів математики у світі Стівена Строгаца «Задоволення від Х», випущену видавництвом «Манн, Іванов та Фербер».

Навесні, - писав Тенісон, - уява молодого чоловіказ легкістю повертається до думок про кохання. На жаль, потенційний партнер молодої людини може мати власні уявлення про кохання, і тоді їхні стосунки будуть сповнені бурхливих злетів і падінь, які роблять любов настільки хвилюючим і таким болючим. Одні страждальці від нерозділеного шукають пояснення цих любовних гойдалок у вині, інші - у поезії. А ми проконсультуємось у обчислень.

Поданий нижче аналіз буде глузливо-іронічним, але він торкається серйозних тем. До того ж, якщо розуміння законів любові може від нас вислизнути, то закони неживого світу нині добре вивчені. Вони набувають форми диференціальних рівнянь, що описують зміну взаємопов'язаних змінних від моменту до моменту, залежно від їх поточних значень. Можливо, такі рівняння мало спільного з романтикою, але вони хоча б можуть пролити світло на те, чому, за словами іншого поета, «шлях істинного кохання ніколи не був гладким». Щоб проілюструвати метод диференціальних рівнянь, припустимо, що Ромео любить Джульєтту, але в нашій версії цієї історії Джульєтта – вітряна кохана. Чим більше Ромео любить її, тим більше вона хоче від нього сховатися. Але коли Ромео охолоне до неї, він починає здаватися їй надзвичайно привабливим. Однак юний закоханий схильний відбивати її почуття: він палає, коли його любить, і остигає, коли його ненавидить.

Що відбувається із нашими нещасними закоханими? Як любов їх поглинає та йде з часом? Ось де диференціальне числення приходить на допомогу. Склавши рівняння, що узагальнюють посилення та ослаблення почуттів Ромео та Джульєтти, а потім вирішивши їх, ми зможемо передбачити хід стосунків цієї пари. Остаточним прогнозом для неї буде трагічно нескінченний цикл кохання та ненависті. Принаймні чверть цього часу у них буде взаємне кохання.

Щоб дійти такого висновку, я припустив, що поведінка Ромео може бути змодельована за допомогою диференціального рівняння,

яке описує, як його любов ® змінюється наступної миті (dt). Відповідно до цього рівняння, кількість змін (dR) прямо пропорційно (з коефіцієнтом пропорційності a) кохання Джульєтти (J). Ця залежність відображає те, що ми вже знаємо: любов Ромео посилюється, коли Джульєтта любить його, але це також говорить про те, що кохання Ромео росте прямо пропорційно тому, наскільки Джульєтта його любить. Це припущення лінійної залежності емоційно неправдоподібне, але дозволяє значно спростити рішення рівняння.

Навпаки, поведінку Джульєтти можна змоделювати за допомогою рівняння

Негативний знак перед постійною b відображає те, що її кохання остигає, коли кохання Ромео посилюється.

Єдине, що залишилося визначити, - їх початкові почуття (тобто значення R і J у час t = 0). Після цього всі потрібні параметри будуть задані. Ми можемо використовувати комп'ютер, щоб повільно, крок за кроком рухатися вперед, змінюючи значення R і J відповідно до описаних вище диференціальних рівнянь. Насправді, за допомогою основної теореми інтегрального обчислення ми можемо знайти рішення аналітично. Оскільки модель проста, інтегральне числення видає пару вичерпних формул, які кажуть нам, скільки Ромео і Джульєтта любитимуть (або ненавидітимуть) один одного в будь-який момент часу в майбутньому.

Представлені вище диференціальні рівняння мають бути знайомі студентам-фізикам: Ромео та Джульєтта поводяться як прості гармонійні осцилятори. Таким чином, модель передбачає, що функції R(t) і J(t), що описують зміну їхніх відносин у часі, будуть синусоїдами, кожна з них зростаюча і спадна, але максимальні значення у них не збігаються.

«Дурна ідея описати любовні стосункиза допомогою диференціальних рівнянь спала мені на думку, коли я був закоханий вперше і намагався зрозуміти незрозумілу поведінку моєї дівчини»

Модель можна зробити більш реалістичною різними шляхами. Наприклад, Ромео може реагувати як на почуття Джульєтти, а й у свої власні. А раптом він з тих хлопців, які настільки бояться, що їх покинуть, що остуджуватиме свої почуття. Або відноситься до іншого типу чоловіків, які люблять страждати - саме за це він її і любить.

Додайте до цих сценарій ще два варіанти поведінки Ромео: він відповідає на прихильність Джульєтти або посиленням, або ослабленням власної прихильності - і побачите, що в любовних стосунках існують чотири різних стилюповедінки. Мої студенти та студенти групи Пітера Крістофера з Вустерського політехнічного інституту запропонували назвати представників цих типів так: Путівник або Злісний Мізантроп для того Ромео, який охолоджує свої почуття і усувається від Джульєтти, і Нарцисічний Болван та Фліртуючий Фінк для того, що розігріває свій відкидається Джульєттою. (Ви можете вигадати власні іменавсім цих типів).

Хоча наведені приклади фантастичні, що описують їх типи рівнянь, дуже змістовні. Вони є найпотужнішими інструментами з коли-небудь створених людством для осмислення матеріального світу. Сер Ісаак Ньютон використав диференціальні рівняння для відкриття таємниці руху планет. За допомогою цих рівнянь він об'єднав земні та небесні сфери, Показавши, що і до тих і до інших застосовні однакові закони руху.

Через майже 350 років після Ньютона людство дійшло розуміння того, що закони фізики завжди виражаються мовою диференціальних рівнянь. Це вірно для рівнянь, що описують потоки тепла, повітря та води, для законів електрики та магнетизму, навіть для атома, де панує квантова механіка.

У всіх випадках теоретична фізика має знайти правильні диференціальні рівняння та вирішити їх. Коли Ньютон виявив цей ключ до таємниць Всесвіту і зрозумів його велике значення, він опублікував його у вигляді латинської анаграми. У вільному перекладі вона звучить так: "Корисно вирішувати диференціальні рівняння".

Дурна ідея описати любовні стосунки за допомогою диференціальних рівнянь спала мені на думку, коли я був закоханий вперше і намагався зрозуміти незрозумілу поведінку моєї дівчини. То справді був літній роман наприкінці другого курсу коледжу. Я дуже нагадував тоді першого Ромео, а вона – першу Джульєтту. Циклічність наших відносин зводила мене з розуму, поки я не зрозумів, що ми обидва діяли за інерцією, відповідно до простим правилом"тягни-штовхай". Але до кінця літа моє рівняння почало розвалюватися, і я був ще більш спантеличений. Виявилося, сталося важлива подія, яке я не врахував: її колишній коханийзахотів її повернути.

У математиці ми називаємо таку задачу про три тіла. Вона свідомо нерозв'язна, особливо у контексті астрономії, де вперше виникла. Після того як Ньютон вирішив диференціальні рівняння для завдання про два тіла (що пояснює, чому планети рухаються по еліптичних орбітах навколо Сонця), він звернув увагу на завдання про три тіла для Сонця, Землі та Місяця. Ні він, ні інші вчені не змогли її вирішити. Пізніше з'ясувалося, що завдання про три тіла містить насіння хаосу, тобто в довгостроковій перспективі їхня поведінка непередбачувана.

Ньютон нічого не знав про динаміку хаосу, але, за словами його друга Едмунда Галлея, поскаржився, що завдання про три тіла викликає головну більі так часто не дає йому спати, що він більше не думатиме про це.

Тут я з вами, сер Ісаак.

Ця книга здатна докорінно змінити ваше ставлення до математики. Вона складається з коротких розділів, у кожному з яких ви відкриєте собі щось нове. Ви дізнаєтеся наскільки корисні числа для вивчення навколишнього світу, зрозумієте, в чому принадність геометрії, познайомитеся з витонченістю інтегральних обчислень, переконайтеся в важливості статистики і стикнетеся з нескінченністю. Автор пояснює фундаментальні математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному.

Назва: Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі
Автор:
Рік:
Жанр:

завантажити
Уривок

Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі
Стівен Строгац

Російською мовою публікується вперше.

Стівен Строгац

Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі

Steven Strogatz

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Всі права захищені. Ніяка частина електронної версії цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі і будь-якими засобами, включаючи розміщення в мережі Інтернет і в корпорації.

2010 року Стівен Строгац написав серію статей про основи математики для газети The New York Times. Статті викликали бурю захоплення. Кожна колонка ставала найпопулярнішим матеріалом у газеті та збирала сотні коментарів. Читачі просили ще, і Стівен не підвів — з'явилася ця книга, до якої увійшли вже опубліковані частини, і зовсім нові глави.

Математика пронизує все в цьому світі, включаючи нас самих, але, на жаль, мало хто розуміє цю універсальну мову настільки добре, щоб оцінити її мудрість і красу. Стівен Строгац - той самий учитель математики, про який ви мріяли у школі. Вчитель, який здатний запалити іскру інтересу та прищепити любов до свого предмета на все життя. У цій неймовірно легкій та захоплюючій книзі він дає всім нам другий шанс познайомитися з математикою. У кожному короткому розділі ви відкриваєте собі щось нове: починаючи з того, навіщо взагалі потрібні цифри й надалі до таких тем, як геометрія, інтегральне числення, статистика і нескінченність. Автор пояснює великі математичні ідеї просто та елегантно, наводячи блискучі приклади, зрозумілі кожному. Ця книга є для всіх. Ті, хто мало знайомий з математикою – познайомляться з нею близько, а ті, хто математику любить – із задоволенням шанують про «царицю наук».

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останніх досягненняхв галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику — і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

Насправді причина його неприйняття математики набагато глибша. Він ніяк не зрозуміє, чим математики взагалі займаються і що мають на увазі, коли кажуть, що цей доказ витончений. Іноді ми жартуємо, що мені потрібно просто сісти і почати його вчити з самих азів, буквально з 1 + 1 = 2 і заглибитися в математику настільки, наскільки він зможе.

І хоча ця витівка здається шаленою, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас по всіх основних розділах науки, від арифметики до вищої математикищоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли ним скористатися. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Зате допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Ми дізнаємося, як слем-данки Майкла Джордана можуть допомогти пояснити ази обчислення. Я покажу вам простий і приголомшливий спосіб, як зрозуміти основну теорему евклідової геометрії – теорему Піфагора. Ми постараємося дістатися до суті деяких таємниць життя, великих і малих: чи вбивав свою дружину Джей Сімпсон; як перекладати матрац, щоб він прослужив максимально довго; скільки партнерів потрібно змінити перед тим, як зіграти весілля, і побачимо, чому одні нескінченності більше, ніж інші.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, є негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера або намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще пережити лякаючі коливання фондового ринку.

— Читати онлайн книгу Стівена Строгаца «Задоволення від X»

Серія з 15 статей під загальною назвою«Основи математики» з'явилася у мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і допитливі люди, з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер же вони відчули, що прогаяли щось варте, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радість мені доставляли подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще розуміти її. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на поширену думку, в суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і мало уваги приділяють. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, і тим не менш, багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому статися — їх уже важко буде відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли в ту першу серію статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, що зацікавило вас, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацієюта рекомендаціями, що ще про це можна почитати.

Насолода від X — Стівен Строгац (завантажити)

(Версія для ознайомлювального знайомства)

А насамкінець пропонуємо подивитися цікаве відео

Цю книгу добре доповнюють:

Кванти

Скотт Паттерсон

Brainiac

Кен Дженнінгс

Moneyball

Майкл Льюїс

Гнучка свідомість

Керол Дуек

Фізика фондового ринку

Джеймс Уезеролл

The Joy of X

A Guided Tour of Math, від One to Infinity

Стівен Строгац

Задоволення від Х

Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі

Інформація від видавництва

російською мовою публікується вперше

Видано з дозволу Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгаць, П.

Задоволення від Х. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі / Стівен Строгац; пров. з англ. - М.: Манн, Іванов та Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Всі права захищені.

Ніяка частина цієї книги не може бути відтворена в будь-якій формі без письмового дозволу власників авторських прав.

Правову підтримку видавництва забезпечує юридична фірма"Вегас-Лекс"

Передмова

У мене є друг, який, незважаючи на своє ремесло (він – художник), пристрасно захоплений наукою. Щоразу, коли ми збираємося разом, він з ентузіазмом розмірковує про останні досягнення в галузі психології або квантової механіки. Але варто нам заговорити про математику - і він відчуває тремтіння в колінах, що його дуже засмучує. Він скаржиться, що ці дивні математичні символи не тільки не піддаються його розумінню, але часом навіть не знає, як їх вимовляти.

І хоча ця витівка здається шаленою, саме її я і спробую здійснити в цій книзі. Я проведу вас по всіх основних розділах науки, від арифметики до вищої математики, щоб ті, хто хотів отримати другий шанс, нарешті змогли скористатися ним. І цього разу вам не доведеться сідати за парту. Ця книга не зробить вас експертом з математики. Зате допоможе розібратися в тому, що вивчає ця дисципліна і чому вона така захоплююча для тих, хто це зрозумів.

Математика всюди, треба тільки навчитися її впізнавати. Можна розглянути синусоїду на спині зебри, почути відлуння теорем Евкліда у Декларації про незалежність; та що там говорити, навіть у сухих звітах, що передували Першій світовій війні, є негативні числа. Також можна побачити, як на наше сьогоднішнє життя впливають нові напрямки математики, наприклад, коли ми шукаємо ресторани за допомогою комп'ютера чи намагаємося хоча б зрозуміти, а ще краще – пережити лякаючі коливання фондового ринку.

Серія з 15 статей під загальною назвою «Основи математики» з'явилася у мережі наприкінці січня 2010 року. У відповідь на їх публікацію посипалися листи та коментарі від читачів різного віку, серед яких було багато студентів та викладачів. Зустрічалися і допитливі люди, з тих чи інших причин «збилися зі шляху» розуміння математичної науки; тепер же вони відчули, що упустили щось ст прояще, і хотіли б спробувати ще раз. Особливу радість мені доставляли подяки від батьків за те, що вони з моєю допомогою змогли пояснити математику своїм дітям, та й самі стали краще розуміти її. Здавалося, що навіть мої колеги та товариші, гарячі шанувальники цієї науки, отримували задоволення від читання статей, за винятком тих моментів, коли вони навперебій пропонували всілякі рекомендації щодо покращення мого дітища.

Незважаючи на поширену думку, в суспільстві спостерігається явний інтерес до математики, хоча цьому феномену і мало уваги приділяють. Ми тільки й чуємо, що про страх перед математикою, і тим не менш, багато хто з радістю спробував би розібратися в ній краще. І варто цьому статися – їх уже буде важко відірвати.

Ця книга познайомить вас із найскладнішими та передовими ідеями зі світу математики. Розділи невеликі, легко читаються та особливо не залежать один від одного. Серед них є й ті, що увійшли в ту першу серію статей у New York Times. Так що як тільки відчуєте легкий математичний голод, не роздумуючи, беріться за наступний розділ. Якщо захочете докладніше розібратися в питанні, що зацікавило вас, то в кінці книги є примітки з додатковою інформацією та рекомендаціями, що ще про це можна почитати.

Для зручності читачів, які віддають перевагу покроковому підходу, я розбив матеріал на шість частин відповідно до традиційного порядку вивчення тем.

Частина I «Числа» починає нашу подорож з арифметики дитячому садкуі початковій школі. У ній показано, наскільки корисними бувають числа і як магічно ефективні при описі навколишнього світу.

Частина II "Співвідношення" переводить увагу з самих чисел на співвідношення між ними. Ці ідеї лежать в основі алгебри і є першими інструментами для опису того, як одне впливає на інше, виявляючи причинно-наслідковий зв'язок найрізноманітніших речей: попиту та пропозиції, стимулу та реакції - словом, усіх видів відносин, які роблять світ настільки багатогранним та багатим .

Частина III «Фігури» оповідає не про числа і символи, а про фігури та простір - вотчину геометрії та тригонометрії. Ці теми, поряд з описом всіх доступних об'єктів за допомогою форм, за допомогою логічних міркувань і доказів піднімають математику на новий рівеньточності.

У частині IV «Час змін» ми розглянемо обчислення - найбільш вражаюче і багатогранне напрямок математики. Обчислення дозволяють передбачити траєкторію руху планет, цикли припливів і відливів і дають змогу зрозуміти і описати всі процеси, що періодично змінюються, і явища у Всесвіті і всередині нас. Важливе місце в цій частині відведено вивченню нескінченності, утихомирення якої стало проривом, що дозволило обчисленням заробити. Обчислення допомогли вирішити багато завдань, що виникли ще в античному світі, і це, зрештою, призвело до революції в науці та сучасному світі.

Частина V «Багатоликі дані» має справу з ймовірністю, статистикою, мережами та обробкою даних – це все ще щодо молоді області, породжені не завжди впорядкованими сторонами нашого життя, такими як можливість та удача, невпевненість, ризик, мінливість, хаотичність, взаємозалежність. Використовуючи відповідні засоби математики та відповідні типи даних, ми навчимося виявляти закономірність у потоці випадковостей.

Наприкінці нашої подорожі в частині VI «Кордони можливого» ми наблизимось до меж математичного знання, до прикордонної області між тим, що вже відомо, і тим, що поки що невловимо і не пізнано. Ми знову пройдемося по темах у вже знайомому нам порядку: числа, співвідношення, фігури, зміни та нескінченність, але при цьому розглянемо кожну з них глибше, у її сучасному втіленні.

Головна > Випробування

«Задоволення від X. Захоплююча подорож у світ математики від одного з найкращих викладачів у світі» Стівен Строгац

Передмова

— Читати онлайн книгу Стівена Строгаца «Задоволення від X»

Насолода від X — Стівен Строгац (завантажити)

Рекомендуємо також