Однозначне натуральне число. Натуральні числа

Натуральні числа

Натуральні числавизначення – це цілі позитивні числа. Натуральні числа використовують для рахунку предметів та багатьох інших цілей. Ось ці числа:

Це натуральний ряд чисел.
Нуль натуральне число? Ні, нуль не є натуральним числом.
Скільки натуральних чисел існує? Існує безліч натуральних чисел.
Яке найменше натуральне число? Одиниця – це найменше натуральне число.
Яке найбільше натуральне число? Його неможливо вказати, адже існує безліч натуральних чисел.

Сума натуральних чисел є натуральним числом. Отже, додавання натуральних чисел a і b:

Добуток натуральних чисел є натуральним числом. Отже, добуток натуральних чисел a і b:

с – це завжди натуральне число.

Різниця натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо зменшуване більше віднімається, то різниця натуральних чисел є натуральним числом, інакше - ні.

Частина натуральних чисел Не завжди є натуральне число. Якщо для натуральних чисел a та b

де з - натуральне число, це означає, що a ділиться на b націло. У цьому прикладі a - подільне, b - дільник, c - приватне.

Дільник натурального числа - це натуральне число, яке перше число ділиться націло.

Кожне натуральне число поділяється на одиницю та на себе.

Прості натуральні числа поділяються лише на одиницю та на себе. Тут мається на увазі діляться націло. приклад, числа 2; 3; 5; 7 діляться лише з одиницю і він. Це найпростіші натуральні числа.

Одиницю не вважають простим числом.

Числа, які більші за одиницю і які не є простими, називають складовими. Приклади складових чисел:

Одиницю не вважають складовою кількістю.

Безліч натуральних чисел становлять одиниця, прості числа та складові числа.

Безліч натуральних чисел позначається латинською літерою N.

Властивості додавання та множення натуральних чисел:

переміщувальна властивість додавання

сполучна властивість додавання

(a + b) + c = a + (b + c);

переміщувальна властивість множення

сполучна властивість множення

(ab) c = a (bc);

розподільна властивість множення

A(b+c) = ab+ac;

Цілі числа

Цілі числа – це натуральні числа, нуль та числа, протилежні натуральним.

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа, наприклад:

1; -2; -3; -4;...

Безліч цілих чисел позначається латинською літерою Z.

Раціональні числа

Раціональні числа- це цілі числа та дроби.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді періодичного дробу. Приклади:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

З прикладів видно, будь-яке ціле число є періодичний дріб з періодом нуль.

Будь-яке раціональне число може бути представлене у вигляді дробу m/n, де m ціле число,n натуральнечисло. Подаємо у вигляді такого дробу число 3,(6) з попереднього прикладу.

Що ж таке натуральні та ненатуральні числа? Як пояснити дитині, а може й не дитині, у чому ж різниця між ними? Давайте розумітися. Наскільки відомо, ненатуральні та натуральні числа вивчають у 5 класі, і нашою метою є пояснити учням так, щоб вони справді зрозуміли та засвоїли, що і як.

Історія

Натуральні числа – це одне із давніх понять. Давним-давно, коли люди ще не вміли рахувати і не мали поняття про числа, коли їм потрібно щось перерахувати, наприклад, рибу, тварин, вони вибивали на різних предметахкрапки або рисочки, як це пізніше з'ясувалося археологами. Тоді їм було дуже важко жити, але цивілізація розвинулася спочатку до римської системи числення, та був до десяткової системи числення. Зараз майже всі використовують арабські цифри

Все про натуральні числа

Натуральні числа – це прості числа, якими ми користуємося у повсякденному нашому житті для підрахунку предметів для того, щоб визначити кількість та порядок. В даний час для запису чисел ми використовуємо десяткову систему числення. Щоб записати будь-яке число, ми використовуємо десять цифр - від нуля до дев'яти.

Натуральні числа - це числа, які ми використовуємо за рахунку предметів або вказівки порядкового номера чогось. Приклад: 5, 368, 99, 3684.

Числовим поруч називають натуральні числа, які у порядку зростання, тобто. від одиниці до нескінченності. Такий ряд починається з найменшої кількості- 1, а найбільшого натурального числа немає, оскільки ряд чисел просто нескінченний.

Взагалі, нуль - натуральним числом не вважається, тому що він означає відсутність чогось, і рахунок предметів так само відсутній

Арабська система числення - це сучасна системами користуємося кожен день. Вона є одним із варіантів індійської (десяткової).

Така система числення стала сучасною через цифру 0, яку винайшли араби. До цього в індійській системі вона була відсутня.

Ненатуральні числа. Що це?

До натуральних чисел не відносяться негативні числа та нецілі. Значить, вони і є – ненатуральні числа

Нижче наведено приклади.

Ненатуральні числа бувають:

Негативні числа, наприклад: -1, -5, -36. і так далі.
Раціональні числа, виражені десятковими дробами: 4,5, -67, 44,6.
У вигляді простого дробу: 1/2, 40 2/7 і т.д.

Ірраціональні числа, такі, як e = 2,71828, √2 = 1,41421 тощо.

Ми сподіваємося, що дуже допомогли вам розібратися з ненатуральними та натуральними числами. Тепер вам стане легше пояснити своєму малюку цю тему, і він зрозуміє її так само добре, як великі математики!

Математика виділилася із загальної філософії приблизно у шостому столітті до н. е., і з цього моменту почалася її переможна хода світом. Кожен етап розвитку вносив щось нове - елементарний рахунок еволюціонував, перетворювався на диференціальне та інтегральне числення, змінювалися століття, формули ставали все заплутанішими, і настав той момент, коли «почалася сама складна математика- З неї зникли всі числа». Але що лежало в основі?

Початок початків

Натуральні числа з'явилися нарівні з першими математичними операціями. Раз корінець, два корінці, три корінці… З'явилися вони завдяки індійським ученим, які вивели першу позиційну

Слово «позиційність» означає, що розташування кожної цифри серед строго визначено і відповідає своєму розряду. Наприклад, числа 784 і 487 - цифри одні й самі, але числа є рівносильними, оскільки перше включає у собі 7 сотень, тоді як друге - лише 4. Нововведення індійців підхопили араби, які довели числа до того виду, що ми знаємо зараз.

У давнину числам надавалося містичне значення, Піфагор вважав, що число лежить в основі створення світу нарівні з основними стихіями – вогнем, водою, землею, повітрям. Якщо розглядати все лише з математичного боку, що таке натуральне число? Поле натуральних чисел позначається як N і є нескінченним рядом з чисел, які є цілими та позитивними: 1, 2, 3, … + ∞. Нуль виключається. Використовується в основному для підрахунку предметів та вказівки порядку.

Що таке у математиці? Аксіоми Пеано

Поле N є базовим, яке спирається елементарна математика. З часом виділяли поля цілих, раціональних,

Роботи італійського математика Джузеппе Пеано уможливили подальшу структуризацію арифметики, домоглися її формальності та підготували ґрунт для подальших висновків, що виходили за рамки області поля N.

Що таке натуральне число, було з'ясовано раніше простою мовою, нижче буде розглянуто математичне визначення з урахуванням аксіом Пеано.

Одиниця вважається натуральним числом.
Число, що йде за натуральним числом, є натуральним.
Перед одиницею немає натурального числа.
Якщо число b слід як за числом c, і за числом d, то c=d.
Аксіома індукції, яка в свою чергу показує, що таке натуральне число: якщо деяке твердження, яке залежить від параметра, правильне для числа 1, то припустимо, що воно працює і для числа n з поля натуральних чисел N. Тоді твердження правильне і для n =1 із поля натуральних чисел N.

Основні операції для поля натуральних чисел

Оскільки поле N стало першим для математичних розрахунків, саме до нього ставляться як області визначення, і області значень низки операцій нижче. Вони бувають замкнутими і немає. Основною відмінністю і те, що замкнуті операції гарантовано залишають результат у межах множини N незалежно від цього, які числа задіяні. Достатньо того, що вони натуральні. Результат інших чисельних взаємодій не настільки однозначний і безпосередньо залежить від цього, що з числа беруть участь у вираженні, оскільки може суперечити основному визначенню. Отже, замкнуті операції:

додавання - x + y = z де x, y, z включені в поле N;
множення - x * y = z де x, y, z включені в поле N;
зведення в ступінь - x y де x, y включені в поле N.

Інші операції, результат яких може існувати у тих визначення "що таке натуральне число", такі:

Властивості чисел, що належать полю N

Всі подальші математичні міркування будуть ґрунтуватися на таких властивостях, найтривіальніших, але від цього не менш важливих.

Переміщувальна властивість додавання - x + y = y + x, де числа x, y включені в поле N. Або всім відоме "від зміни місць доданків сума не змінюється".
Переміщувальна властивість множення - x * y = y * x де числа x, y включені в поле N.
Сполучна властивість додавання - (x + y) + z = x + (y + z), де x, y, z включені в поле N.
Сполучна властивість множення - (x * y) * z = x * (y * z), де числа x, y, z включені до поля N.
розподільна властивість - x(y+z) = x*y+x*z, де числа x, y, z включені в поле N.

Таблиця Піфагора

p align="justify"> Одним з перших кроків у пізнанні школярами всієї структури елементарної математики після того, як вони усвідомили для себе, які числа називаються натуральними, є таблиця Піфагора. Її можна розглядати не лише з погляду науки, а й як найцінніший науковий пам'ятник.

Дана таблиця множення зазнала з часом ряду змін: з неї прибрали нуль, а числа від 1 до 10 позначають самі себе, без урахування порядків (сотні, тисячі...). Вона являє собою таблицю, в якій назви рядків і стовпців - числа, а вміст осередків їх перетину дорівнює їхньому ж твору.

У практиці навчання останніх десятиліть спостерігалася необхідність заучування таблиці Піфагора "по порядку", тобто спочатку йшло зазубривання. Множення на 1 виключалося, так як результат дорівнював 1 або більшому множнику. Тим часом у таблиці неозброєним поглядом можна помітити закономірність: добуток чисел зростає на один крок, який дорівнює назві рядка. Таким чином, другий множник показує нам, скільки разів потрібно взяти перший, щоб отримати потрібний твір. Ця системаНа приклад зручніше тій, що практикувалася в середні віки: навіть розуміючи, що таке натуральне число і наскільки воно тривіальне, люди примудрялися ускладнювати собі повсякденний рахунок, користуючись системою, яка базувалася на ступенях двійки.

Підмножина як колиска математики

На даний моментполе натуральних чисел N розглядається лише як одне з підмножин комплексних чисел, але це не робить їх менш цінними в науці. Натуральне число - перше, що пізнає дитина, вивчаючи себе та навколишній світ. Раз пальчик, два пальчики... Завдяки йому у людини формується логічне мислення, а також уміння визначати причину та виводити слідство, готуючи ґрунт для великих відкриттів.

Найпростіше число - це натуральне число. Їх використовують у повсякденному життідля підрахунку предметів, тобто. для обчислення їх кількості та порядку.

Що таке натуральне число: натуральними числаминазивають числа, які використовуються для підрахунку предметів або для вказівки порядкового номера будь-якого предмета з усіх одноріднихпредметів.

Натуральні числа- Це числа, починаючи з одиниці. Вони утворюються природним чином.Наприклад, 1,2,3,4,5... -перші натуральні числа.

Найменше натуральне число- один. Найбільшого натурального числа немає. За рахунок числа нуль не використовують, тому нуль натуральне число.

Натуральний ряд чисел- Це послідовність всіх натуральних чисел. Запис натуральних чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

У натуральному ряду кожне число більше за попереднє на одиницю.

Скільки чисел у натуральному ряду? Натуральний ряд нескінченний, найбільшого натурального числа немає.

Десяткової тому що 10 одиниць будь-якого розряду утворюють 1 одиницю старшого розряду. Позиційної так як значення цифри залежить від місця у числі, тобто. від розряду, де його записано.

Класи натуральних чисел.

Будь-яке натуральне число можна написати за допомогою 10-ти арабських цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Для читання натуральних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по 3 цифри в кожній. 3 перші цифри справа – це клас одиниць, 3 наступні – це клас тисяч, далі класи мільйонів, мільярдів татак далі. Кожна з цифр класу називається йогорозрядом.

Порівняння натуральних чисел.

З 2-х натуральних чисел менше те число, яке за рахунку називається раніше. Наприклад, число 7 менше 11 (Записують так:7 < 11 ). Коли одне число більше за друге, Це записують так:386 > 99 .

Таблиця розрядів та класів чисел.


1-й клас одиниці	1-й розряд одиниці 2-й розряд десятки 3-й розряд сотні
2-й клас тисячі	1-й розряд одиниці тисяч 2-й розряд десятки тисяч 3-й розряд сотні тисяч
3-й клас мільйони	1-й розряд одиниці мільйонів 2-й розряд десятки мільйонів 3-й розряд сотні мільйонів
4-й клас мільярди	1-й розряд одиниці мільярдів 2-й розряд десятки мільярдів 3-й розряд сотні мільярдів

Числа від 5-го класу та вище відносяться до великим числам. Одиниці 5-го класу - трильйони, 6-го класу - квадрилліони, 7-го класу - квінтильйони, 8-го класу - секстильйони, 9-го класу -ептилліони.

Основні властивості натуральних чисел.

Комутативність складання . a + b = b + a
Комутативність множення. ab = ba
Асоціативність складання. (a + b) + c = a + (b + c)
Асоціативність множення.
Дистрибутивність множення щодо складання:

Події над натуральними числами.

4. Розподіл натуральних чисел – операція, зворотна операції множення.

Якщо b ∙ с = а, то

Формули для розподілу:

а: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(а∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(а∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Числові вирази та числові рівності.

Запис, де числа з'єднуються знаками дій, є числовим виразом.

Наприклад, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Записи, де знаком рівності об'єднані 2 числові вирази, є числовими рівностями. У рівності є ліва та права частини.

Порядок виконання арифметичних процесів.

Додавання і віднімання чисел - це дії першого ступеня, а множення та розподіл - це дії другого ступеня.

Коли числове вираз складається з дій лише одного ступеня, їх виконують послідовнозліва направо.

Коли вирази складаються з дії лише першого та другого ступеня, то спочатку виконують дії другого ступеня, а потім – дії першого ступеня.

Коли у виразі є дужки – спочатку виконують дії у дужках.

Наприклад, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Натуральні числа- Числа, які застосовують для рахунку предметів . Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таку запис чисел називають десятковий.

Послідовність всіх натуральних чисел називають натуральним поряд .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Саме маленькенатуральне число – одиниця (1). У натуральному ряду кожне наступне число на 1 більше за попереднє. Натуральний ряд нескінченний,найбільшого числа у ньому немає.

Значення цифри залежить від місця запису числа. Наприклад, цифра 4 означає: 4 одиниці,якщо вона стоїть на останньому місціу записі числа (У розряді одиниць); 4 десятка,якщо вона стоїть на передостанньому місці (У розряді десятків); 4 сотні,якщо вона стоїть на третьому місці від кінця (у розряді сотень).

Цифра0 означає відсутність одиниць даного розрядуу десятковому записі числа. Вона служить і для позначення числа « нуль». Це число означає «жодного». Рахунок 0: 3 футбольного матчуговорить про те, що перша команда не забила жодного гола у ворота супротивника.

Нуль не відносятьдо натуральних чисел. І дійсно, рахунок предметів ніколи не починають з нуля.

Якщо запис натуральної кількості складається з одного знака – однієї цифри, його називають однозначним.Тобто. однозначненатуральне число- Натуральне число, запис якого складається з одного знака – однієї цифри. Наприклад, числа 1, 6, 8 однозначні.

Двозначненатуральне число– натуральне число, запис якого складається із двох знаків – двох цифр.

Наприклад, числа 12, 47, 24, 99 – двозначні.

Також за кількістю знаків у цьому числі дають назви та іншим числам:

числа 326, 532, 893 - тризначні;

числа 1126, 4268, 9999 - чотиризначніі т.д.

Двозначні, тризначні, чотиризначні, п'ятизначні та ін. числа називають багатозначними числами .

Для читання багатозначних чисел їх розбивають починаючи праворуч на групи по три цифри в кожній (найліва група може складатися з однієї або двох цифр). Ці групи називають класами.

Мільйон– це тисяча тисяч (1000 тис.), його записують 1 млн. або 1 000 000.

Мільярд- Це 1000 мільйонів. Його записують 1 млрд. або 1 000 000 000.

Три перші цифри праворуч становлять клас одиниць, три наступні – клас тисяч, далі йдуть класи мільйонів, мільярдів тощо. (Рис. 1).

Рис. 1. Клас мільйонів, клас тисяч та клас одиниць (зліва направо)

Число15389000286 записано в розрядній сітці (рис. 2).