Як вирішити складні судоку. Математики придумали формулу для вирішення судоку

Поле судоку є таблицею 9х9 клітин. У кожну клітку заноситься цифра від 1 до 9. Мета гри: розмістити цифри таким чином, щоб у кожному рядку, кожному стовпці і кожному блоці 3х3 був повторень. Іншими словами, у кожному стовпці, рядку та блоці мають бути всі цифри від 1 до 9.

Аби вирішити завдання у порожні клітини можна записувати кандидатів. Наприклад, розглянемо клітинку 2-го стовпця 4-го рядка: у стовпці, в якому вона знаходиться, вже є цифри 7 та 8, у рядку – цифри 1, 6, 9 та 4, у блоці – 1, 2, 8 та 9 Отже, з кандидатів у даному осередку викреслюємо 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, і в нас залишається лише два можливі кандидати – 3 та 5.

Аналогічно, розглядаємо можливих кандидатів для інших осередків та отримуємо наступну таблицю:

З кандидатами вирішувати цікавіше та можна застосовувати різні логічні методи. Далі ми розглянемо деякі з них.

Одинак

Спосіб полягає у знайденні в таблиці одинаків, тобто. осередків, у яких можлива лише одна цифра та жодна інша. Записуємо цю цифру в цей осередок і виключаємо її з інших клітин цього рядка, стовпця та блоку. Наприклад: у цій таблиці є три «одиначки» (вони виділені жовтим кольором).

Приховані одинаки

Якщо в осередку стоїть кілька кандидатів, але один із них не зустрічається більше в жодному іншому осередку даного рядка (стовпця або блоку), то такий кандидат називається «прихованим одинаком». У наступному прикладі кандидат «4» у зеленому блоці знайдено лише у центральному осередку. Значить, у цьому осередку обов'язково буде «4». Заносимо «4» в цей осередок і викреслюємо з інших осередків 2-го стовпця і 5-го рядка. Аналогічно, в жовтому стовпці кандидат «2» зустрічається один раз, отже, в цей осередок заносимо «2» і виключаємо «2» з осередків 7-го рядка та відповідного блоку.

Попередні два методи – це єдині методи, які однозначно визначають вміст комірки. Наступні методи дозволяють лише зменшувати кількість кандидатів у осередках, що рано чи пізно призведе до одинаків або прихованих одинаків.

Замкнений кандидат

Трапляються випадки, коли кандидат у межах блоку знаходиться лише в одному рядку (або в одному стовпці). В силу того, що один з цих осередків обов'язково міститиме цього кандидата, з усіх інших осередків даного рядка (стовпця) цього кандидата можна виключити.

У прикладі нижче центральний блок містить кандидата «2» тільки в центральному стовпці (жовті осередки). Отже, одне з цих двох осередків точно має бути «2», і жодні інші осередки в тому ряду поза цим блоком не можуть бути «2». Тому «2» може бути виключений як кандидат із інших осередків цього стовпця (комірки зеленого кольору).

Відкриті пари

Якщо дві осередки у групі (рядку, стовпці, блоці) містять ідентичну пару кандидатів і більше, то жодні інші осередки цієї групи що неспроможні мати значення цієї пари. Ці 2 кандидати можуть бути виключені з інших осередків групи. У прикладі нижче, кандидати «1» та «5» у колонках вісім та дев'ять формують Відкриту Пару в межах блоку (жовті осередки). Тому, оскільки один із цих осередків має бути «1», а інший має бути «5», кандидати «1» і «5» виключаємо з усіх інших осередків цього блоку (зелені осередки).

Те саме можна сформулювати для 3 та 4-х кандидатів, тільки бере участь вже 3 та 4 осередки, відповідно. Відкриті трійки: із осередків зеленого кольору виключаємо значення осередків жовтого кольору.

Відкриті четвірки: із осередків зеленого кольору виключаємо значення осередків жовтого кольору.

Приховані пари

Якщо у двох осередках у групі (рядку, стовпці, блоці) містять кандидати, серед яких ідентична пара, що не зустрічається в жодному іншому осередку даного блоку, то жодні інші осередки цієї групи не можуть мати значення цієї пари. Відтак всі інші кандидати цих двох осередків можуть бути виключені. У прикладі нижче, кандидати «7» і «5» у центральній колонці перебувають лише у осередках жовтого кольору, отже, решти кандидатів із цих осередків можна виключити.

Аналогічно, можна шукати приховані трійки та четвірки.

x-wing

Якщо значення має лише два можливі розташування в якомусь рядку (стовпці), то воно обов'язково має бути призначене в одну з цих осередків. Якщо ж існує ще один рядок (стовпець), де цей же кандидат також може бути тільки у двох осередках і стовпці (рядки) цих осередків збігаються, то жодна інша осередок цих стовпців (рядків) не може містити цієї цифри. Розглянемо приклад:

У 4-му та 5-му рядках цифра «2» може бути лише у двох осередках жовтого кольору, причому ці осередки знаходяться в однакових стовпцях. Отже, цифра «2» може бути записана лише двома способами: 1) якщо «2» записати в 5-ий стовпець 4-го рядка, то з жовтих осередків «2» треба виключити і тоді в 5-му рядку положення «2» визначається однозначно 7-им стовпцем.

2) якщо «2» записати в 7-й стовпець 4-го рядка, то з жовтих осередків «2» треба виключити і тоді в 5-му рядку положення «2» визначається однозначно 5-им стовпцем.

Отже, 5-ий та 7-ий стовпець обов'язково матимуть цифру «2» або в 4-му рядку, або в 5-му. Тоді з інших осередків цих стовпців цифру «2» можна виключити (зелені клітини).

"Риба Меч" (Swordfish)

Цей метод є варіацією методу.

З правил головоломки випливає, що якщо кандидат знаходиться у трьох рядках і лише у трьох стовпцях, то в інших рядках цього кандидата у цих стовпцях можна виключити.

Алгоритм:

Шукаємо рядки, в яких кандидат зустрічається не більше трьох разів, але при цьому він належить до трьох колонок.
Виключаємо кандидата із цих трьох колонок з інших рядків.

Ця ж логіка застосовна і у випадку трьох колонок, де кандидат обмежується трьома рядками.

Розглянемо приклад. У трьох рядках (3, 5 і 7) кандидат «5» зустрічається не більше трьох разів (осередки виділені жовтим кольором). При цьому вони належать лише трьом стовпцям: 3, 4 і 7-му. Відповідно до методу "Риба меч" з інших осередків цих стовпців кандидата "5" можна виключити (зелені осередки).

У прикладі, наведеному нижче, також застосовується метод «Риба меч», але вже для випадку трьох колонок. Виключаємо кандидата «1» із осередків зеленого кольору.

"X-wing" і "Риба меч" можна узагальнити на випадок чотирьох рядків та чотирьох стовпців. Цей метод називатиметься «Медуза».

кольори

Бувають ситуації, коли кандидат зустрічається лише двічі у групі (у рядку, стовпці чи блоці). Тоді цифра обов'язково буде в одному з них. Стратегія методу "Кольори" полягає в тому, щоб переглядати цей взаємозв'язок з використанням двох кольорів, наприклад, жовтого та зеленого. При цьому рішення може бути в клітинах лише одного кольору.

Виділяємо всі взаємопов'язані ланцюжки та приймаємо рішення:

Якщо якийсь незафарбований кандидат має двох різнокольорових сусідів у групі (рядку, стовпці чи блоці), то його можна виключити.
Якщо в групі (рядку, стовпці або блоці) є два однакові кольори, то цей колір є хибним. Кандидата зі всіх клітин цього кольору можна виключити.

У наступному прикладі застосуємо метод "Кольори" для осередків з кандидатом "9". Починаємо розфарбовувати з комірки у лівому верхньому блоці (2 рядки, 2 стовпець), зафарбуємо її у жовтий колір. У своєму блоці вона має лише одного сусіда із «9», зафарбуємо його в зелений колір. Також у неї лише один сусід у стовпці, зафарбовуємо його в зелений колір.

Аналогічно працюємо з іншими осередками, що містять цифру «9». Отримуємо:

Кандидат «9» може бути або лише у всіх жовтих осередках, або у всіх зелених. У правому середньому блоці зустрілися два осередки однакового кольору, отже, зелений колір неправильний, оскільки у цьому блоці виходить дві «9», що неприпустимо. Виключаємо, «9» із усіх зелених клітин.

Ще один приклад на метод "Кольори". Позначимо парні осередки для кандидата "6".

Клітина з «6» у верхньому центральному блоці (виділимо бузковим кольором) має двох різнокольорових кандидатів:

«6» обов'язково буде або в жовтій або зеленій клітці, отже, з цієї бузкової клітини «6» можна виключити.

Перше, з чим слід визначитися в методології вирішення проблем, це питання власне розуміння того, чого ми досягаємо і можемо досягти в питаннях вирішення проблем. Розуміння зазвичай мислиться як щось само собою зрозуміле, і ми не беремо до уваги той момент, що розуміння має певну початкову точку відліку розуміння, лише щодо якої ми можемо говорити про те, що розуміння дійсно має місце з певного нами конкретного моменту. Судоку тут, у нашому розгляді, зручна тим, що дозволяє на її прикладі певною мірою змоделювати питання розуміння та вирішення проблем. Однак почнемо ми з дещо інших і не менш важливих, ніж судоку, прикладів.

Фізик, який вивчає спеціальну теорію відносності, може говорити про "кришталево ясні" положення Ейнштейна. Таке словосполучення мені зустрілося на одному із сайтів в інтернеті. Але з чого починається це розуміння "христальної ясності". Воно починається зі засвоєння математичного запису постулатів, з яких можуть будуватися за відомими та зрозумілими правилами всі багатоповерхові математичні конструкції СТО. Але чого не розуміє фізик, як і я, це чомусь працюють постулати СТО саме так, а не інакше.

Насамперед, переважна більшість тих, хто обговорює це вчення, не розуміють, що саме полягає в постулаті сталості швидкості світла в перекладі з математичного його застосування на реальність. А цей постулат має на увазі сталість швидкості світла у всіх мислимих і не мислимих сенсах. Швидкість світла постійна щодо будь-яких покояться і рушійних об'єктів разом. Швидкість променя світла, згідно з постулатом, постійна навіть щодо зустрічного, поперечного і променя світла, що віддаляється. А при цьому реально ми маємо лише виміри, побічно пов'язані зі швидкістю світла, що інтерпретуються як її постійність.

Закони Ньютона для фізика і навіть для тих, хто просто вивчає фізику, настільки звичні, що видаються настільки зрозумілими, як щось само собою зрозуміле й іншого бути не може. Але, скажімо, застосування закону всесвітнього тяжіння починається з його математичного запису, яким можна розрахувати навіть траєкторії космічних об'єктів і характеристики орбіт. Але чомусь ці закони працюють саме так, а не інакше – такого розуміння у нас немає.

Аналогічно і судоку. В інтернеті можна знайти описи "базових" способів вирішення задач судоку. Якщо запам'ятати ці правила, можна розуміти як вирішується те чи інше завдання судоку у вигляді застосування " базових " правил. Але в мене питання: а чи розуміємо ми, чому ці "базові" способи спрацьовують саме так, а чи не інакше.

Отже, ми переходимо до наступного ключового стану методології вирішення проблем. Розуміння можливе тільки на основі якоїсь моделі, що надає основу для цього розуміння та можливість зробити деякий натурний чи уявний експеримент. Без цього ми можемо мати лише правила застосування заучених вихідних положень: постулатів СТО, законів Ньютона або "базових" способів судоку.

У нас немає і в принципі не може бути моделей, що задовольняють постулату нічим не обмежується сталості швидкості світла. У нас немає, але можуть бути придумані недоведені моделі, що узгоджуються із законами Ньютона. І такі "ньютонівські" моделі є, але вони якось не вражають продуктивними можливостями для проведення натурного чи уявного експерименту. Натомість судоку надає нам такі можливості, які ми можемо використовувати і для розуміння власне задач судоку, і для ілюстрації моделювання як загального підходу у вирішенні проблем.

Однією з можливих моделей задач судоку є робоча таблиця. Створюється вона простим заповненням всіх порожніх клітин (осередків) заданої в задачі таблиці числами 123456789. Далі завдання зводиться до послідовного видалення всіх зайвих цифр із осередків доти, поки всі клітини таблиці будуть заповнені одиничними (ексклюзивними) цифрами, що задовольняють умов.

Я створюю таку робочу таблицю в Excel. Спочатку виділяю всі порожні осередки (клітини) таблиці. Натискаю F5-"Виділити"-"Порожні комірки"-"OK". Більш загальний спосіб виділення потрібних осередків: утримую Ctrl і клацанням мишки виділяю ці осередки. Потім для виділених осередків встановлюю синій колір, розмір 10 (вихідний – 12) та шрифт Arial Narrow. Це все для того, щоб добре переглядалися наступні зміни у таблиці. Далі я вводжу в порожні клітини числа 123456789. Роблю це так: записую і зберігаю це число в окремому осередку. Потім натискаю на F2, виділяю та копіюю це число операцією Ctrl+C. Далі переходжу до осередків таблиці і, послідовно обходячи всі порожні осередки, вводжу в них число 123456789 операцією Ctrl + V, і готова робоча таблиця.

Зайві цифри, про які йтиметься далі, я видаляю в такий спосіб. Операцією Ctrl+клик мишкою - виділяю осередки із зайвою цифрою. Потім натискаю Ctrl+H і у верхнє поле вікна, що відкрилося, вводжу цифру, що видаляється, а нижнє поле має бути абсолютно порожнім. Далі залишається клацнути на опції "Замінити все" і зайва цифра видалена.

Зважаючи на те, що мені зазвичай вдається зробити більш просунуту обробку таблиць звичайними "базовими" способами, ніж у прикладах, що наводяться в інтернеті, робоча таблиця є найпростішим інструментом у вирішенні завдань судоку. Більше того, багато ситуацій, що стосуються застосування найскладніших із так званих "базових" правил, у мене в робочій таблиці просто не виникали.

У той же час, робоча таблиця - це і модель, на якій можна провести експерименти з подальшим виявленням всіх "базових" правил та різних нюансів їх застосування, що з експериментів.

Отже, перед вами фрагмент робочої таблиці з дев'ятьма блоками, що нумеруються зліва-направо та зверху-вниз. В даному випадку у нас заповнений цифрами 123 456 789 четвертий блок. Це наша модель. Поза блоком червоним кольором ми виділили "активовані" (остаточно визначені) цифри, в даному випадку четвірки, які мають намір підставити в таблицю, що оформляється. Блакитні п'ятірки – це поки що не визначені щодо їхньої подальшої ролі цифри, про які потім поговоримо. Призначені нами активовані цифри як би викреслюють, виштовхують, видаляють - загалом, витісняють однойменні цифри в блоці, тому вони представлені блідим кольором, що символізує той факт, що ці бліді цифри видалені. Хотів було зробити цей колір ще блідішим, але тоді вони могли б стати взагалі не помітними при перегляді в інтернеті.

У результаті в четвертому блоці в осередку E5 виявилася одна, теж активована, але прихована четвірка. "Активована" тому, що вона, у свою чергу, теж може видаляти зайві цифри, якщо такі виявляться на її шляху, а "прихована" тому, що вона знаходиться серед інших цифр. Якщо осередок E5 атакувати іншими, крім 4, активованими цифрами 12356789, то E5 виникне "гола" одиночка - 4.

Тепер приберемо одну активовану четвірку, наприклад, з F7. Тоді четвірка в заповненому блоці може виявитися вже і тільки в клітинці E5 або F5, залишаючись при цьому активованою в рядку 5. Якщо до цієї ситуації залучити активовані п'ятірки, без F7 = 4 і F8 = 5, то в клітинках E5 і F5 виникне гола або прихована активована пара 45.

Після того як ви достатньо відпрацюєте і осмислите різні варіанти з голими і прихованими одинаками, двійками, трійками і т.д. не тільки в блоках, а й у рядках та стовпцях, ми можемо перейти до ще одного експерименту. Створимо голу пару 45, як було зроблено раніше, а потім підключимо активовані F7 = 4 і F8 = 5. Через війну виникне ситуація E5=45. Подібна ситуація дуже часто виникає у процесі обробки робочої таблиці. Така ситуація означає, що одна з цих цифр, у даному випадку 4 або 5, обов'язково повинна знаходитися в блоці, рядку і стовпці, що включають в себе клітинку E5, тому що у всіх цих випадках повинні бути дві цифри, а не одна з них.

А головне, ми тепер уже знаємо, яким чином виникають ситуації, що часто зустрічаються, подібні E5=45. Подібним чином визначимося з ситуаціями, коли в одному осередку виникає трійка цифр і т.п. І коли ми доведемо ступінь осмислення та сприйняття цих ситуацій до стану самоочевидності та простоти, тоді наступний крок – це вже, так би мовити, наукове осмислення ситуацій: ми тоді зможемо робити статистичний аналіз таблиць судоку, виявляти закономірності та використати напрацьований матеріал для вирішення найскладніших завдань .

Таким чином, експериментуючи на моделі, ми отримуємо наочне і навіть "наукове" уявлення щодо прихованих або відкритих одинаків, пар, трійок і т.д. Якщо ви обмежитеся тільки операціями з описаною простою моделлю, деякі ваші уявлення виявляться неточними або навіть помилковими. Однак як тільки ви перейдете до вирішення конкретних завдань, то неточності початкових уявлень швидко виявляться, а моделі, на яких проводилися експерименти, доведеться переосмислити і уточнити. Такий неминучий шлях гіпотез та уточнень у вирішенні будь-яких проблем.

Треба сказати, що приховані та відкриті одинаки, а також відкриті пари, трійки і навіть четвірки – це звичайні ситуації, що виникають при вирішенні завдань судоку з робочою таблицею. Приховані пари траплялися рідко. А ось приховані трійки, четвірки тощо. мені при обробці робочих таблиць якось не траплялися, так само, як і багаторазово описані в інтернеті методи обходу контурів "x-wing" і "риба-меч", за яких виникають "кандидати" на видалення за будь-якого з двох альтернативних способів обходу контурів. Сенс цих способів: якщо знищуємо "кандидата" х1, то залишається ексклюзивний кандидат х2 і при цьому видаляється кандидат х3, а якщо знищуємо х2, то залишається ексклюзивний х1, але і в цьому випадку видаляється кандидат х3, тож у будь-якому випадку слід видалити х3 , не торкаючись поки що кандидатів х1 і х2. У більш загальному плані, це окремий випадок ситуації: якщо два альтернативні способи призводять до одного й того самого результату, то цей результат може використовуватися для вирішення завдання судоку. У такому, більш загальному плані ситуації мені зустрічалися, але не у варіанті "x-wing" і "риба-меч" і не при вирішенні завдань судоку, для яких достатньо знання лише "базових" підходів.

Особливості застосування робочої таблиці можна показати наступному нетривіальному прикладі. На одному з форумів вирішувачів судоку http://zforum.net/index.php?topic=3955.25;wap2 мені зустрілося завдання, представлене як одне з найскладніших завдань судоку, не вирішуване звичайними способами, без застосування перебору з припущеннями щодо цифр, що підставляються в осередки цифр . Покажемо, що з робочою таблицею можна вирішити це завдання без такого перебору:

Справа вихідне завдання, зліва робоча таблиця після "викреслювання", тобто. рутинної операції видалення зайвих цифр.

Спочатку домовимося про позначення. ABC4=689 означає, що в осередках A4, B4 та C4 знаходяться цифри 6, 8 та 9 – по одній або по кілька цифр на осередок. З рядками аналогічно. Так, B56=24 означає, що у осередках В5 і В6 перебувають цифри 2 і 4. Знак ">" – це знак обумовленого действия. Так, D4=5>I4-37 означає, що внаслідок повідомлення D4=5 слід помістити число 37 в комірку I4. Повідомлення може бути явним – "голим" – та прихованим, яке слід виявити. Вплив повідомлення може бути послідовним (передаваним опосередковано) по ланцюжку і паралельним (впливати безпосередньо на інші осередки). Наприклад:

D3 = 2; D8 = 1> A9-1> A2-2> A3-4, G9-3; (D8=1)+(G9=3)>G8-7>G7-1>G5-5

Цей запис означає, що D3=2, але цей факт потрібно виявити. D8=1 передає A3 свій вплив по ланцюжку і A3 слід записати 4; одночасно D3=2 впливає безпосередньо на G9, що призводить до результату G9-3. (D8=1)+(G9=3)>G8-7 – спільна дія факторів (D8=1) та (G9=3) призводить до результату G8-7. І т.п.

У записах може зустрітися поєднання типу H56/68. Воно означає, що у осередках H5 і H6 заборонені цифри 6 і 8, тобто. їх слід із цих осередків видалити.

Отже, починаємо роботу з таблицею і для початку застосовуємо добре виявлену, помітну умову ABC4=689. Це означає, що у всіх інших (крім A4, B4 і C4) осередках блоку 4 (середній, лівий) та 4-го рядка повинні бути видалені цифри 6, 8 та 9:

Аналогічно застосовуємо B56=24. У сукупності маємо D4=5 та (після D4=5>I4-37) HI4=37, а також (після B56=24>C6-1) C6=1. Застосуємо це до робочої таблиці:

У I89=68прихована>I56/68>H56-68: тобто. в осередках I8 і I9 знаходиться прихована пара цифр 5 і 6, яка забороняє знаходження цих цифр I56, що призводить до результату H56-68. Цей фрагмент ми можемо розглянути інакше, подібно до того, як це робили в експериментах на моделі робочої таблиці: (G23=68)+(AD7=68)>I89-68; (I89 = 68) + (ABC4 = 689)> H56-68. Тобто, двостороння "атака" (G23=68) і (AD7=68) призводить до того, що в I8 та I9 можуть бути тільки цифри 6 і 8. Далі (I89=68) підключається до "атаки" на H56 спільно з попередніми умовами, що призводить до H56-68. Додатково до цієї "атаки" підключається (ABC4=689), що в даному прикладі виглядає зайвим, проте якби ми працювали без робочої таблиці, то фактор впливу (ABC4=689) виявився б прихованим, і цілком доречним було б звернути на нього увагу спеціально.

Наступна дія: I5 = 2> G1-2, G6-9, B6-4, B5-2.

Сподіваюся, воно вже зрозуміле без коментарів: підставляйте цифри, які стоять після тире, не помилитеся:

H7 = 9> I7-4; D6 = 8> D1-4, H6-6> H5-8:

Наступна серія дій:

D3 = 2; D8 = 1> A9-1> A2-2> A3-4, G9-3;

(D8 = 1) + (G9 = 3)> G8-7> G7-1> G5-5;

D5=9>E5-6>F5-4:

I=4>C9-4>C7-2>E9-2>EF7-35>B7-7,F89-89,

тобто, в результаті "викреслення" – видалення зайвих цифр – у осередках F8 і F9 виникає відкрита, "гола" пара 89, яку разом з іншими результатами, зазначеними в записі, застосовуємо до таблиці:

H2=4>H3-1>F2-1>F1-6>A1-3>B8-3,C8-5,H1-7>I2-5>I3-3>I4-7>H4-3

Їх результат:

Потім слідують досить рутинні, очевидні дії:

H1=7>C1-8>E1-5>F3-7>E2-9>E3-8,C3-9>B3-5>B2-6>C2-7>C4-6>A4-9>B4- 8;

B2=6>B9-9>A8-6>I8-8>F8-9>F9-8>I9-6;

E7 = 3> F7-5, E6-7> F6-3

Їхній результат: остаточне розв'язання задачі:

Так чи інакше, вважатимемо, що з "базовими" способами в судоку або в інших галузях інтелектуального застосування ми розібралися на основі підходящої для цього моделі і навіть навчилися їх застосовувати. Але це лише частина нашого просування у методології вирішення проблем. Далі, повторюся, слід який завжди враховується, але неодмінний етап доведення попередньо засвоєних способів до стану простоти застосування. Рішення прикладів, осмислення результатів і способів цього рішення, переосмислення цього матеріалу на основі прийнятої моделі, знову продумування всіх варіантів з доведенням ступеня їхнього розуміння до автоматизму, коли рішення із застосуванням "базових" положень стає рутинним і зникає як проблема. Що це дає: це кожен має відчути на своєму досвіді. А суть у тому, що коли проблемна ситуація стає рутинною, то пошуковий механізм інтелекту прямує до освоєння все більш складних положень у галузі вирішуваних проблем.

А що таке "складніші положення"? Це лише нові " базові " становища у вирішенні проблеми, розуміння яких, своєю чергою, також можна довести до стану простоти, якщо знайти цієї мети відповідну модель.

У статті Василенко С.Л. "Числова гармонія Судоку" я знаходжу приклад задачі з 18 симетричними ключами:

Щодо цієї задачі стверджується, що вона може бути вирішена із застосуванням "базових" прийомів тільки до деякого стану, після досягнення якого залишається лише застосувати простий перебір із пробною підстановкою в комірки деяких передбачуваних ексклюзивних (поодиноких, одиночних) цифр. Цей стан (просунуте трохи далі, ніж у прикладі Василенка) має вигляд:

Така модель є. Це своєрідний механізм обертання виявлених та не виявлених ексклюзивних (поодиноких) цифр. У найпростішому випадку деяка трійка ексклюзивних цифр обертається в правому або лівому напрямку, переходячи цією групою від рядка до рядка або від стовпця до стовпця. Загалом, при цьому обертаються в якомусь одному напрямку три групи трійок цифр. У складніших випадках, три пари ексклюзивних цифр обертається в одному напрямку, а трійка одинаків обертається в протилежному напрямку. Так, наприклад, відбувається обертання ексклюзивних цифр у перших трьох рядках завдання, що розглядається. І, що найважливіше, це своєрідне обертання можна побачити, розглядаючи розташування цифр у обробленої робочої таблиці. Цих відомостей поки що достатньо, а інші нюанси моделі обертання ми зрозуміємо у процесі вирішення задачі.

Отже, у перших (верхніх) трьох рядках (1, 2 і 3) ми можемо помітити обертання пар (3+8) та (7+9), а також (2+х1) з невідомим х1 та трійка одинаків (х2+4+ 1) з невідомим х2. При цьому ми можемо виявити, що кожне з х1 і х2 можуть бути або 5, або 6.

У рядках 4, 5 та 6 проглядаються пари (2+4) та (1+3). Повинна бути також 3 невідома пара і трійка одинаків з яких відома лише одна цифра 5.

Аналогічно переглядаємо рядки 789, потім трійки стовпців ABC, DEF і GHI. Зібрану інформацію ми запишемо у символічному та, сподіваюся, досить зрозумілому вигляді:

Поки що нам ця інформація потрібна тільки для розуміння загальної ситуації. Ретельно продумайте її і тоді ми зможемо далі просунутися вперед до наступної спеціально підготовленої таблиці:

Квітами я виділив альтернативні варіанти. Блакитний колір означає "дозволено", а жовтий - "заборонено". Якщо, скажімо, дозволено A2=79 дозволено A2=7, то C2=7 – заборонено. Або навпаки - дозволено A2 = 9, заборонено C2 = 9. А далі дозволи та заборони передаються по логічному ланцюжку. Таке забарвлення зроблено для того, щоб було простіше переглядати різні альтернативні варіанти. Загалом, це деяка аналогія згаданим раніше способів "x-wing" та "риба-меч" при обробці таблиць.

Переглядаючи варіант B6=7 і, відповідно, B7=9, ми можемо виявити відразу два моменти, несумісних із цим варіантом. Якщо B7=9, то в рядках 789 виникає трійка, що синхронно обертається, що неприпустимо, так як синхронно (в одному напрямку) можуть обертатися або тільки три пари (і три одиночки асинхронно їм), або три трійки (без одинаків). Крім цього, якщо B7=9, через кілька кроків обробки робочої таблиці в 7-му рядку виявимо несумісність: B7=D7=9. Отже підставляємо єдино прийнятний із двох альтернативних варіант B6=9, і далі завдання вирішується простими засобами звичайної обробки без усякого сліпого перебору:

Далі, у мене є готовий приклад із застосуванням моделі обертання для вирішення задачі з чемпіонату світу з судоку, але цей приклад я опускаю, щоб надто вже не розтягувати цю статтю. До того ж, як виявилося, це завдання має три варіанти вирішення, що погано підходить для початкового освоєння моделі обертання цифр. Ще я добряче "попихкав" над витягнутим з інтернету завданням Гері МакГайра з 17 ключами для вирішення його головоломки, поки з ще більш неабияким роздратуванням не з'ясував, що ця "головоломка" має більше 9 тисяч варіантів вирішення.

Отже, хоч-не-хоч, доводиться переходити до розробленої Арто Інкалу "найскладнішої у світі" задачі судоку, що має, як відомо, єдине рішення.

Після внесення двох цілком очевидних ексклюзивних цифр та обробки робочої таблиці, завдання має такий вигляд:

Чорним і більшим шрифтом виділено ключі, задані вихідному завданню. Щоб просунутися у вирішенні цього завдання, ми знову маємо спертися на адекватну, придатну для цієї мети модель. Модель ця – своєрідний механізм обертання цифр. Вона вже не одного разу обговорювалася в цій та попередніх статтях, але щоб зрозуміти подальший матеріал статті, цей механізм слід продумати та опрацювати в деталях. Приблизно так, якби ви попрацювали з таким механізмом десь з десяток років. Але ви все одно зможете зрозуміти цей матеріал якщо не з першого читання, то з другого чи третього тощо. Більше того, якщо виявите наполегливість, то і цей "складний для розуміння" матеріал ви доведете до стану його рутинності та простоти. Нового в цьому плані тут нічого немає: те, що спочатку дуже складно, поступово стає не так вже й складним, а при подальшому безперервному опрацюванні все найочевиднішим і не потребують розумових зусиль стає на свої відповідні місця, після чого ви можете звільнити свій розумовий потенціал. подальшого просування вперед по цій проблемі, що вирішується, або щодо інших проблем.

При уважному аналізі структури завдання Арто Інкала можна помітити, що вся вона побудована за принципом трьох синхронно обертових пар і трійки асинхронно парам одиниць, що обертаються: (х1+х2)+(х3+х4)+(х5+х6)+(х7+х8+ х9). Порядок обертання може бути, наприклад, такий: у перших трьох рядках 123 перша пара (х1+х2) переходить з першого рядка першого блоку в другий рядок другого блоку, потім у третій рядок третього блоку. Друга пара переходить з другого рядка першого блоку в третій рядок другого блоку, потім у цьому обертанні перестрибує в перший рядок третього блоку. Третя пара з третього рядка першого блоку перестрибує в перший рядок другого блоку і далі в цьому напрямку обертання переходить в другий рядок третього блоку. Трійка одинаків рухається у подібному режимі обертання, але у протилежному обертанні пар. Ситуація зі стовпцями виглядає аналогічно: якщо таблицю подумки (або реально) повернути на 90 градусів, то рядки стануть стовпцями, з тим самим, як раніше для рядків, характером руху одиниць і пар.

Провертаючи в голові ці обертання стосовно завдання Арто Інкала, ми поступово доходимо до розуміння очевидних обмежень на вибір варіантів цього обертання для обраної трійки рядків або стовпців:

Не повинно бути синхронно (в одному напрямку) трійок і пар, що обертаються, - такі трійки, на відміну від трійки одинаків, будемо надалі називати триплетами;

Не повинно бути асинхронних між собою пар або асинхронних одиниць між собою;

Не повинно бути обертається в одному (наприклад, у правому) напрямку і пар і одинаків – це повторення попередніх обмежень, але може бути воно зрозуміліше.

Крім цього є й інші обмеження:

Не повинно бути жодної пари в 9-ти рядках, що збігається з парою в якомусь зі стовпців і те саме щодо стовпців і рядків. Це має бути очевидним: тому що сам факт розташування двох цифр в одному рядку свідчить про те, що вони знаходяться у різних стовпцях.

Ще можна сказати, що дуже рідко бувають збіги пар у різних трійках рядків або подібний збіг у трійках стовпців, а також рідко бувають збіги трійок одинаків у рядках та/або стовпцях, але це вже, так би мовити, ймовірні закономірності.

Вивчення блоків 4,5,6.

У блоках 4-6 можливі пари (3+7) та (3+9). Якщо прийняти (3+9), то вийде синхронне обертання триплета (3+7+9), так що маємо пару (7+3). Після підстановки цієї пари та подальшої обробки таблиці звичайними засобами отримаємо:

При цьому ми можемо сказати, що 5 B6=5 може бути лише одиночкою, асинхронної (7+3), а 6 I5=6 є параобразующей, так як вона знаходиться в одному рядку H5=5 в шостому блоці і, отже, вона може бути одиночкою і може рухатися лише синхронно з (7+3.

і розташував кандидатів наодинці за кількістю появи їх у цій ролі у цій таблиці:

Якщо прийняти, що найбільш частотні 2, 4 і 5 є одинаками, то за правилами обертання з ними можуть поєднуватися тільки пари: (7+3), (9+6) і (1+8) - пара (1+9) відкинута, оскільки вона заперечує пару (9+6). Далі після підстановки цих пар і одинаків та подальшої обробки таблиці звичайними методами отримаємо:

Ось така непокірна таблиця виявилася - не хоче оброблятися до кінця.

Доведеться піднатужитися і помітити, що в стовпцях ABC є пара (7+4) і що 6 переміщається синхронно 7 в цих стовпцях, тому 6 – параутворююча, так що в стовпці "C" 4-го блоку можливо лише поєднання (6+3) +8 або (6+8)+3. Перше з цих поєднань не проходить, тому що тоді в 7-му блоці у стовпці "B" виникне неприпустима синхронна трійка – триплет (6+3+8). Ну а далі, після підстановки варіанта (6+8)+3 та обробки таблиці звичайним способом приходимо до успішного завершення завдання.

Другий варіант: повернемося до таблиці, отриманої після виявлення поєднання (7+3)+5 у рядках 456 та перейдемо до дослідження стовпців ABC.

Тут ми можемо помітити, що пара (2+9) не може бути в ABC. Інші комбінації (2+4), (2+7), (9+4) та (9+7) дають синхронну трійку - триплет у A4+A5+A6 та B1+B2+B3, що неприйнятно. Залишається одна прийнятна пара (7+4). Причому 6 і 5 рухаються синхронно 7, отже параобразующие, тобто. утворюють якісь пари, але не 5+6.

Складемо список можливих пар та їх поєднань з одиночками:

Поєднання (6+3)+8 не минає, т.к. інакше утворюється неприпустима трійка-триплет в одному стовпці (6+3+8), про що вже говорили і в чомусь можемо переконатися ще раз, перевіривши всі варіанти. З кандидатів наодинці найбільше очок набирає цифра 3, а найімовірніше з усіх наведених поєднань: (6+8)+3, тобто. (С4 = 6 + C5 = 8) + C6 = 3, що дає:

Далі найімовірніший кандидат наодинці або 2, або 9 (по 6 балів), однак у кожному з цих випадків залишається чинним кандидат 1 (4 бали). Почнемо з (5+29)+1 де 1 асинхронно 5, тобто. поставимо 1 з В5=1 як асинхронна одиначка у всі стовпці ABC:

У блоці 7, стовпець A, можливі лише варіанти (5+9)+3 та (5+2)+3. Але ми звернемо увагу на те, що в рядках 1-3 тепер проявилися пари (4+5) і (8+9). Їхнє підстановка призводить до швидкого результату, тобто. на завершення завдання після обробки таблиці звичайними засобами.

Ну а тепер, потренувавшись на попередніх варіантах, ми можемо спробувати вирішити завдання Арто Інкалу без залучення статистичних оцінок.

Знову повертаємось у вихідне положення:

У блоках 4-6 можливі пари (3+7) та (3+9). Якщо прийняти (3+9), то вийде неприпустиме синхронне обертання триплету (3+7+9), тому для підстановки в таблицю маємо лише варіант (7+3):

5 тут, як бачимо, одинак, 6 – параобразующая. Допустимі варіанти в ABC5: (2+1)+8, (2+1)+9, (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1) +2. Але (2+1) асинхронна (7+3), тому залишаються (8+1)+9, (8+1)+2, (9+1)+8, (9+1)+2. У будь-якому випадку 1 є синхронною (7+3) і, отже, параутворюючою. Підставимо 1 у цій якості таблицю:

Цифра 6 є параобразующей в бл. 4-6, але пари (6+4), що кидається в очі, немає в списку допустимих пар. Отже четвірка A4=4 асинхронна 6:

Оскільки D4+E4=(8+1) і відповідно до аналізу обертання утворює цю пару, отримуємо:

Якщо осередки C456=(6+3)+8, то B789=683, тобто. вийде синхронна трійка-триплет, так що залишається варіант (6+8)+3 і результат його підстановки:

B2=3 тут одинак, С1=5 (асинхронна 3) - параутворююча, A2=8 - також параутворююча. В3=7 може бути синхронної і асинхронної. Тепер ми можемо проявити себе і на складніших прийомах. Натренованим поглядом (чи хоча б під час перевірки на комп'ютері) бачимо, що з будь-якому статусі В3=7 – синхронному чи асинхронному – ми отримуємо той самий результат A1=1. Отже, ми можемо підставити це значення в A1 і далі вже звичайнішими простими засобами завершити наше, вірніше Арто Інкала, завдання:

Так чи інакше, ми змогли розглянути і навіть проілюструвати три загальні підходи на шляху вирішення проблем: визначити точку розуміння проблеми (не ймовірний чи сліпо декларований, а реальний момент, починаючи з якого ми можемо говорити про розуміння проблеми), вибрати модель, що дозволяє реалізувати розуміння за допомогою натурного чи уявного експерименту і – це по-третє – довести ступінь розуміння та сприйняття досягнутих при цьому результатів до стану самоочевидності та простоти. Є ще й четвертий підхід, що застосовую особисто я.

У кожної людини трапляються стани, коли інтелектуальні завдання і проблеми, що стоять перед ним, і проблеми вирішуються легше, ніж це буває зазвичай. Ці стани цілком можна відтворювати. Для цього треба опанувати техніку відключення думок. Спочатку хоча б на частки секунди, потім, все більше розтягуючи цей момент, що відключає. Далі розповідати, вірніше рекомендувати, щось щодо цього не можу, тому що тривалість застосування цього методу справа суто особиста. Але я вдаюсь до цього способу часом надовго, коли переді мною постає проблема, до якої я не бачу варіантів того, як до неї можна підійти і вирішити. В результаті, раніше або пізніше з комор пам'яті випливає відповідний прообраз моделі, яка проясняє суть того, що потрібно дозволити.

Завдання Інкалу я вирішив декількома способами, зокрема описаними в попередніх статтях. І завжди тією чи іншою мірою використовував цей четвертий підхід з відключенням та подальшою концентрацією розумових зусиль. Найшвидше вирішення завдання я отримав простим перебором – що називається "методом тику" – правда, з використанням лише "довгих" варіантів: тих, що могли швидко призвести до виходу на позитивний чи негативний результат. Інші варіанти забирали у мене більше часу, тому що основний час витрачався на хоча б чорнове відпрацювання технології застосування цих варіантів.

Хороший також варіант у дусі четвертого підходу: налаштовуватися на розв'язання задач судоку, підставляючи лише за єдиною цифрою в комірку в процесі розв'язання задачі. Тобто, більшість задачі та її даних "прокручуються" в умі. Саме так і відбувається основна частина процесу вирішення інтелектуальних проблем, і цю навичку слід тренувати заради розширення своїх можливостей у вирішенні проблем. Я, наприклад, не професійний вирішувач судоку. Я маю інші завдання. Проте хочу поставити перед собою таку мету: набути вміння вирішувати завдання судоку підвищеної складності, без робочої таблиці і не вдаючись до підстановки більше однієї цифри в одну порожню клітку. При цьому допускається будь-який спосіб розв'язання судоку, включаючи простий перебір варіантів.

Про перебір варіантів я згадую тут невипадково. Будь-який підхід до вирішення завдань судоку передбачає у своєму арсеналі набір певних способів, включаючи той чи інший вид перебору. При цьому будь-який із способів, які застосовуються в судоку зокрема або при вирішенні будь-яких інших проблем, має свою сферу його ефективного застосування. Так, при вирішенні щодо простих завдань судоку найбільш ефективні прості "базові" способи, описані в численних статтях з цієї теми в інтернеті, а складніший "метод обертання" виявляється тут найчастіше марним, тому що він лише ускладнює хід простого рішення і при цьому який Нової інформації, що виявляється в ході вирішення завдання, не дає. Але в найскладніших випадках, як завдання Арто Інкалу, "метод обертання" може відігравати ключову роль.

Судоку в моїх статтях є лише ілюстративним прикладом підходів до вирішення проблем. Серед вирішених мною завдань є і на порядок складніше судоку. Наприклад, розташовані на нашому сайті комп'ютерні моделі роботи котлів та турбін. Про них я теж не був би проти розповісти. Але поки що я вибрав саме судоку, щоб досить наочно показати своїм молодим співгромадянам можливі шляхи та етапи просування до кінцевої мети вирішуваних проблем.

На сьогодні поки що все.

ВКонтакте Facebook Однокласники

Для тих, кому подобається вирішувати загадки судоку самостійно і неспішно, формула, що дозволяє швидко обчислити відповіді, може здатися визнанням слабкості або шахрайством.

Але для тих, кому розгадування судоку коштує надто великих зусиль, це може бути ідеальним рішенням.

Два дослідники розробили математичний алгоритм, який дозволяє вирішувати судоку дуже швидко, без припущень та перебору із поверненням.

Дослідники комплексних мереж Золтан Торожкай та Марія Ерксі-Раваз з Університету Нотр-Дама також змогли пояснити, чому деякі загадки судоку складніші за інші. Єдиний недолік у тому, що для того, щоб зрозуміти, що вони пропонують, потрібна міра доктора математики.

Чи можете ви вирішити цю головоломку? Вона створена математиком Арто Інкалою, і, як стверджують, це найскладніша судоку у світі. Фото із сайту nature.com

Торожкай та Ерксі-Раваз почали аналізувати судоку як частину свого дослідження теорії оптимізації та обчислювальної складності. Вони кажуть, що більшість любителів судоку використовують для вирішення цих завдань підхід «грубої сили», що базується на техніці припущення. Таким чином, любителі судоку озброюються олівцем і пробують усі можливі комбінації чисел, доки не буде знайдено правильної відповіді. Цей метод неминуче призведе до успіху, але трудомісткий і займає багато часу.

Натомість Торожкай та Ерксі-Раваз запропонували універсальний аналоговий алгоритм, який абсолютно детермінований (не використовує припущення чи перебір) і завжди знаходить правильне вирішення завдання, причому досить швидко.

Дослідники використали "детермінований аналоговий вирішувач", щоб заповнити цю судоку. Фото із сайту nature.com

Дослідники також виявили, що час, який потрібно вирішити головоломку з використанням їх аналогового алгоритму, корелюється зі ступенем складності завдання, яке оцінюється людиною. Це надихнуло їх на те, щоб розвивати шкалу ранжирування для складності загадки чи проблеми.

Вони створили шкалу від 1 до 4, де 1 – «легко», 2 – «середній ступінь складності», 3 – «складно», 4 – «дуже складно». Для вирішення головоломки з рейтингом 2 потрібно в середньому в 10 разів більше часу, ніж для завдання з рейтингом 1. Згідно з цією системою, найскладніша загадка із відомих досі має рейтинг 3.6; Найскладніші завдання судоку поки що невідомі.

Теорія починається з картографії ймовірностей кожного окремого квадрата. Фото із сайту nature.com

«Я не цікавився судоку, поки ми не почали працювати над загальнішим класом здійсненності Булевих проблем, – каже Торожкай. – Оскільки судоку – частина цього класу, латинський квадрат 9-го порядку виявився для нас добрим полем для випробувань, то я з ними й познайомився. Мене і багатьох дослідників, які вивчають такі проблеми, захоплює питання, як далеко ми, люди, здатні зайти у рішенні судоку, детерміновано, без перебору, який є вибором навмання, і, якщо здогад не вірний, потрібно повернутися на крок або на кілька кроків назад та почати спочатку. Наша аналогова модель рішення детермінована: у динаміці немає жодного випадкового вибору чи повернення».

Теорія хаосу: ступінь складності загадок є тут як хаотична динаміка. Фото із сайту nature.com

Торожкай та Ерксі-Раваз вважають, що їх аналоговий алгоритм потенційно підходить для застосування до вирішення великої кількості різноманітних завдань та проблем у промисловості, інформатиці та обчислювальній біології.

Досвід дослідження також зробив Торіжка великим любителем судоку.

«У моєї дружини і я маю кілька додатків судоку на наших iPhone, і ми, мабуть, зіграли вже тисячі разів, змагаючись за менший час на кожному рівні, - каже він. – Вона часто інтуїтивно бачить комбінації патернів, яких я не помічаю. Я мушу їх виводити. Для мене стає неможливим вирішити багато головоломок, які наша шкала категоризує як важкі або дуже важкі, без того, щоб записувати ймовірність олівцем».

Методологія Торожка та Ерксі-Раваз була вперше опублікована в журналі Nature Physics, а потім – у журналі Nature Scientific Reports.

Використовуйте цифри від 1 до 9

Судоку грає на ігровому полі, що складається з 9 на 9 клітин, лише 81 клітина. Усередині ігрового поля знаходяться 9 "квадратів" (що складаються з 3 x 3 клітин). Кожен горизонтальний рядок, вертикальний стовпець і квадрат (9 клітин кожен) повинні заповнюватися цифрами 1-9, не повторюючи жодних чисел у рядку, стовпці чи квадраті. Це складно звучить? Як видно із зображення нижче, кожне ігрове поле Судоку має кілька клітин, які вже заповнені. Чим більше клітин спочатку заповнено, тим легше гра. Чим менше клітин спочатку заповнено, тим складніше гра.

Не повторюйте жодних чисел

Як можна бачити, у верхньому лівому квадраті (обведений синім) вже заповнені 7 з 9 клітин. Єдині числа, які відсутні в цьому квадраті, це числа 5 і 6. Бачачи, які числа відсутні в кожному квадраті, рядку або стовпці, ми можемо використати процес виключення та дедуктивне мислення, щоб вирішити, які числа повинні знаходитись у кожній клітці.

Наприклад, у верхньому лівому квадраті ми знаємо, що для завершення квадрата потрібно додати числа 5 і 6, але дивлячись на сусідні рядки і квадрати ми поки що не можемо чітко визначити, яке число додати до якоїсь клітини. Це означає, що тепер ми повинні поки що пропустити верхній лівий квадрат і натомість спробувати заповнити прогалини в деяких інших місцях ігрового поля.

Не треба гадати

Судоку - це логічна гра, тому не треба гадати. Якщо ви не знаєте, яке число поставити в певну клітку, продовжуйте сканувати інші області ігрового поля, доки не побачите можливість вставити потрібне число. Але не намагайтеся "форсувати" будь-що - Судоку винагороджує за терпіння, розуміння та рішення різних комбінацій, а не за сліпе везіння чи вгадування.

Використовуйте метод виключення

Що ми робимо, коли використовуємо "метод виключення" у грі Судоку? Ось приклад. У цій сітці Судоку (показано нижче) у лівому вертикальному стовпці (обведений синім) відсутні лише кілька чисел: 1, 5 та 6.

Один із способів з'ясувати, які числа можна вставити в кожну клітину - це використовувати метод виключення, перевіряючи, які інші числа вже є в кожному квадраті, оскільки не допускається дублювання чисел 1-9 в кожному квадраті, рядку або стовпці.

В цьому випадку ми можемо швидко помітити, що у верхньому лівому та центральному лівому квадратах вже є число 1 (числа 1 обведені червоним). Це означає, що у крайньому лівому стовпці є лише одне місце, у яке можна вставити число 1 (обведено зеленим). Ось як метод виключення працює в Судоку – ви дізнаєтеся, які клітини вільні, які числа відсутні, а потім виключаєте числа, які вже присутні у квадраті, стовпцях та рядах. Відповідно заповнюєте порожні клітини відсутніми числами.

Правила Судоку щодо нескладні – але гра надзвичайно різноманітна, з мільйонами можливих комбінацій чисел та широким діапазоном рівнів складності. Але все це засноване на простих принципах використання чисел 1-9, заповненні прогалин на основі дедуктивного мислення і чисел, що ніколи не повторюються, в кожному квадраті, рядку або стовпці.

Tutorial

1. Основи

Більшість із нас, хабражителів, знає, що таке судоку. Не розповідатиму про правила, а відразу перейду до методик.
Для вирішення головоломки, не важливо складної чи простої, спочатку шукаються осередки очевидні для заповнення.

1.1 "Останній герой"

Розглянемо сьомий квадрат. Усього чотири вільні клітини, отже, щось можна швидко заповнити.
"8 "на D3блокує заповнення H3і J3; так само " 8 "на G5закриває G1і G2
З чистою совістю ставимо " 8 "на H1

1.2 «Останній герой» у рядку

Після перегляду квадратів на очевидні рішення, переходимо до стовпців та рядків.
Розглянемо " 4 на полі. Зрозуміло, що вона буде десь у рядку A .
У нас є " 4 "на G3, що розкриває A3, є " 4 "на F7, що прибирає A7. І ще одна " 4 " у другому квадраті забороняє її повторення A4і A6.
«Останній герой» для нашої 4 " це A2

1.3 "Вибору немає"

Іноді є кілька причин для конкретного розташування. " 4 " в J8буде чудовим прикладом.
Синістрілки показують, що це останнє можливе число у квадраті. Червоніі синістрілки дають нам останнє число у стовпці 8 . Зеленістрілки дають останнє можливе число у рядку J.
Як бачимо, вибору у нас немає, крім як поставити цю 4 " на місце.

1.4 "А хто, як не я?"

Заповнення чисел простіше проводити вищеописаними методами. Проте перевірка числа як останнього можливого значення теж дає результати. Метод варто застосовувати, коли здається, що всі числа є, але чогось не вистачає.
"5 " в B1ставиться виходячи з того, що всі числа від " 1 "до" 9 ", крім " 5 є в рядку, стовпці та квадраті (позначено зеленим).

На жаргоні це Голий одинакЯкщо заповнювати поле можливими значеннями (кандидатами), то в осередку таке число буде єдиним можливим. Розвиваючи цю методику, можна шукати. Приховані одинаки- числа, унікальні для конкретного рядка, стовпця або квадрата.

2. «Гола миля»

2.1 «Голі» пари

"«Гола» пара- набір із двох кандидатів, розташованих у двох осередках, що належать одному загальному блоку: рядку, стовпцю, квадрату.
Зрозуміло, що правильні рішення головоломки будуть лише в цих осередках і лише з цими значеннями, у той час як усі інші кандидати із загального блоку можуть бути прибрані.

У цьому прикладі кілька голих пар.
Червониму рядку Авиділені осередки А2і А3, обидві " 1 "і" 6 ". Я поки не знаю, як саме вони розташовані тут, але я спокійно можу прибрати всі інші". 1 "і" 6 з рядка A(Позначено жовтим). Також А2і А3належать загальному квадрату, тому прибираємо " 1 " з C1.

2.2 «Threesome»

«Голі трійки»- Ускладнений варіант «голих пар».
Будь-яка група з трьох осередків в одному блоці містить загаломтри кандидати є «голою трійкою». Коли така група знайшлася, ці три кандидати можуть бути прибрані з інших осередків блоку.

Комбінації кандидатів для «голої трійки»можуть бути такими:

// Три числа у трьох осередках.
// Будь-які комбінації.
// Будь-які комбінації.

У цьому прикладі все очевидно. У п'ятому квадраті осередку E4, E5, E6містять [ 5,8,9 ], [5,8 ], [5,9 ] відповідно. Виходить, що загалом у цих трьох осередків є [ 5,8,9 ], і лише ці числа там можуть бути. Це дозволяє нам прибрати їх із інших кандидатів блоку. Цей трюк дає нам рішення. 3 для комірки E7.

2.3 «Чудова четвірка»

"Гола" четвіркадуже рідкісне явище, особливо у повній формі, та все ж дає результати при виявленні. Логіка рішення така сама як і в «голих трійок».

У зазначеному прикладі у першому квадраті осередку A1, B1, B2і C1загалом містять [ 1,5,6,8 ], тому ці числа займуть лише ці комірки та жодні інші. Забираємо підсвічених жовтим кандидатів.

3. "Все таємне стає явним"

3.1 Приховані пари

Відмінним способом розкрити поле буде пошук прихованих пар. Цей метод дозволяє прибрати зайвих кандидатів із осередку та дати розвиток більш цікавим стратегіям.

У цій головоломці ми бачимо, що 6 і 7 є у першому та другому квадратах. Крім цього 6 і 7 є в стовпці 7 . Комбінуючи ці умови, ми можемо стверджувати, що у осередках A8і A9будуть тільки ці значення та всі інші кандидати ми прибираємо.

Цікавіший і складніший приклад прихованих пар. Синім виділено пару [ 2,4 ] у D3і E3, що прибирає 3 , 5 , 6 , 7 з цих осередків. Червоним виділено дві приховані пари, що складаються з [ 3,7 ]. З одного боку, вони унікальні для двох осередків у 7 стовпці, з іншого боку – для рядка E. Виділені жовтим кандидати забираються.

3.1 Приховані трійки

Ми можемо розвинути приховані паридо прихованих трійокабо навіть прихованих четвірок. Прихована трійкаскладається із трьох пар чисел, розташованих в одному блоці. Такі як , і. Однак, як і у випадку з «голими трійками», у кожному із трьох осередків не обов'язково має бути по три числа. Спрацюють всьоготри числа у трьох осередках. Наприклад, , . Приховані трійкибудуть замасковані іншими кандидатами в осередках, тому спочатку треба переконатися, що трійказастосовна до конкретного блоку.

У цьому складному прикладі є дві приховані трійки. Перша, позначена червоним, у стовпці А. Осередок А4містить [ 2,5,6 ], A7 - [2,6 ] та осередок A9 -[2,5 ]. Ці три осередки єдині, де можуть бути 2, 5 або 6, тому тільки вони там і будуть. Відтак прибираємо зайвих кандидатів.

Друга, у стовпці 9 . [4,7,8 ] унікальні для осередків B9, C9і F9. Використовуючи ту ж логіку, прибираємо кандидатів.

3.1 Приховані четвірки

Чудовий приклад прихованих четвірок. [1,4,6,9 ] у п'ятому квадраті можуть бути лише у чотирьох осередках D4, D6, F4, F6. Наслідуючи нашу логіку, прибираємо всіх інших кандидатів (позначених жовтим).

4. «Негумова»

Якщо будь-яке число з'являється двічі або тричі в одному блоці (рядку, стовпці, квадраті), тоді ми можемо прибрати це число зі сполученого блоку. Є чотири види сполучення:

Пара або Трійка у квадраті - якщо вони розташовані в одному рядку, то можна прибрати всі інші такі самі значення з відповідного рядка.
Пара або Трійка у квадраті - якщо вони розташовані в одному стовпці, то можна прибрати всі інші такі самі значення з відповідного стовпця.
Пара або Трійка у рядку - якщо вони розташовані в одному квадраті, то можна забрати всі інші такі ж значення з відповідного квадрата.
Пара або Трійка в стовпці - якщо вони розташовані в одному квадраті, то можна забрати всі інші такі самі значення з відповідного квадрата.

4.1 Вказівні пари, трійки

Як приклад покажу цю головоломку. У третьому квадраті 3 "знаходиться тільки в B7і B9. За твердженням №1 , ми прибираємо кандидатів з B1, B2, B3. Аналогічно, 2 з восьмого квадрата прибирає можливе значення з G2.

Особлива головоломка. Дуже складна у вирішенні, але, якщо придивитися, можна помітити дещо вказівних пар. Зрозуміло, що не завжди обов'язково знаходити їх усі, щоб просунутися у рішенні, проте кожна така знахідка полегшує нам завдання.

4.2 Скорочуємо нескорочуване

Ця стратегія включає акуратний аналіз і порівняння рядків і стовпців з вмістом квадратів (правила №3 , №4 ).
Розглянемо рядок А. "2 можливі тільки в А4і А5. Дотримуючись правила №3 , прибираємо " 2 їх B5, C4, C5.

Продовжимо вирішувати головоломку. Маємо єдине розташування 4 в межах одного квадрата в 8 стовпці. Відповідно до правила №4 , прибираємо зайвих кандитатів і, на додачу, отримуємо рішення " 2 "для C7.