กราฟของฟังก์ชันรากที่สาม ฟังก์ชันกำลังและราก - ความหมาย คุณสมบัติ และสูตร

พวกเรายังคงศึกษาฟังก์ชั่นพลังงานต่อไป หัวข้อของบทเรียนวันนี้จะเป็นฟังก์ชัน - รากที่สามของ x รากที่สามคืออะไร? จำนวน y ถูกเรียกว่ารากที่สามของ x (รากของดีกรีที่สาม) หากการเติมเต็มความเท่าเทียมกันหมายถึง: โดยที่ x เป็นจำนวนราก 3 คือเลขชี้กำลัง

ดังที่เราเห็น รากที่สามสามารถดึงออกมาจากจำนวนลบได้ ปรากฎว่ารูทของเรามีอยู่สำหรับตัวเลขทั้งหมด รากที่สามของจำนวนลบเท่ากับจำนวนลบ เมื่อยกกำลังเป็นเลขคี่ เครื่องหมายจะคงไว้ ยกกำลังที่สามจะเป็นเลขคี่ ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: ให้ เรายกทั้งสองนิพจน์ไปที่กำลังที่สาม จากนั้น หรือ ในสัญกรณ์ของราก เราได้รับเอกลักษณ์ที่ต้องการ

พวกเรามาวางแผนหน้าที่ของเรากันตอนนี้ 1) โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริง 2) ฟังก์ชันเป็นเลขคี่ เนื่องจาก ต่อไป เราจะพิจารณาฟังก์ชันของเราที่ x 0 หลังจากนั้นเราจะสะท้อนกราฟที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด 3) ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นที่ x 0 สำหรับฟังก์ชันของเรา ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากขึ้นจะสอดคล้องกับค่าที่มากขึ้นของฟังก์ชัน ซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้น 4) ฟังก์ชั่นไม่จำกัดจากด้านบน อันที่จริงจากอะไรก็ตาม จำนวนมากเราสามารถคำนวณรากของดีกรีที่สามได้ และเราสามารถเลื่อนขึ้นไปที่ระยะอนันต์ เพื่อค้นหาค่าที่มากขึ้นของการโต้แย้ง 5) สำหรับ x 0 ค่าที่น้อยที่สุดคือ 0 คุณสมบัตินี้ชัดเจน

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความกัน จำไว้ว่าหน้าที่ของเรานั้นคี่ คุณสมบัติของฟังก์ชัน: 1) D(y)=(-;+) 2) ฟังก์ชันคี่. 3) เพิ่มขึ้นโดย (-;+) 4) ไม่จำกัด. 5) ไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด 6) ฟังก์ชันจะต่อเนื่องบนเส้นจริงทั้งหมด 7) E (y) \u003d (-; +) 8) นูนลง (-; 0) นูนขึ้น (0; +)

ตัวอย่าง. กราฟฟังก์ชันและอ่าน การตัดสินใจ. มาสร้างกราฟฟังก์ชันสองกราฟบนระนาบพิกัดเดียวกัน โดยคำนึงถึงเงื่อนไขของเราด้วย ที่ x-1 เราสร้างกราฟของรากที่สาม ที่ x-1 กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น 1) D(y)=(-;+) 2) ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่ 3) ลดลง (-;-1) เพิ่มขึ้น (-1;+) 4) ไม่จำกัดจากด้านบน จำกัดจากด้านล่าง 5) คุ้มสุดๆไม่. ค่าต่ำสุดเท่ากับลบหนึ่ง 6) ฟังก์ชันจะต่อเนื่องบนเส้นจริงทั้งหมด 7) E(y)= (-1;+)

แทนการแนะนำตัว

การใช้เทคโนโลยีสมัยใหม่ (CSE) และอุปกรณ์ช่วยสอน (กระดานมัลติมีเดีย) ในบทเรียนช่วยให้ครูวางแผนและดำเนินการบทเรียนที่มีประสิทธิภาพ สร้างเงื่อนไขให้นักเรียนเข้าใจ จดจำ และฝึกฝนทักษะ

บทเรียนจะกลายเป็นแบบไดนามิกและน่าสนใจหากคุณรวมรูปแบบการเรียนรู้ที่แตกต่างกันระหว่างบทเรียน

ในคำสอนสมัยใหม่มีสี่ทั่วไป รูปแบบองค์กรการเรียนรู้:

• ไกล่เกลี่ยเป็นรายบุคคล;
• ห้องอบไอน้ำ;
• กลุ่ม;

รวม (เป็นคู่ขององค์ประกอบที่เปลี่ยนได้) (Dyachenko V.K. การสอนสมัยใหม่ - M.: การศึกษาแห่งชาติ, 2005).

ในบทเรียนแบบดั้งเดิม ตามกฎแล้วจะใช้รูปแบบการศึกษาสามรูปแบบแรกขององค์กรตามรายการข้างต้นเท่านั้น แบบฟอร์มส่วนรวมครูไม่ได้ใช้การสอน (ทำงานเป็นคู่) อย่างไรก็ตาม รูปแบบการเรียนรู้ขององค์กรนี้ทำให้ทีมสามารถฝึกอบรมแต่ละคนและทุกคนให้มีส่วนร่วมอย่างแข็งขันในการฝึกอบรมของผู้อื่น รูปแบบการศึกษาโดยรวมเป็นผู้นำด้านเทคโนโลยี CSR

หนึ่งในวิธีการทั่วไปของเทคโนโลยีของวิธีการเรียนรู้แบบรวมคือวิธีการของ "การฝึกอบรมร่วมกัน"

เทคนิค “เวทย์มนตร์” นี้ดีในทุกวิชาและในทุกบทเรียน วัตถุประสงค์คือการฝึกอบรม

การฝึกอบรมเป็นตัวตายตัวแทนของการควบคุมตนเอง ซึ่งช่วยให้นักเรียนสร้างการติดต่อกับหัวข้อการศึกษา ทำให้ง่ายต่อการค้นหาขั้นตอนการดำเนินการที่ถูกต้อง ผ่านการฝึกอบรมในการได้มา, การรวม, การจัดกลุ่มใหม่, การแก้ไข, การประยุกต์ใช้ความรู้, การพัฒนาความสามารถทางปัญญาของมนุษย์เกิดขึ้น (Yanovitskaya E.V. วิธีการสอนและเรียนรู้ในห้องเรียนจนคุณต้องการเรียนรู้ หนังสืออ้างอิง - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: โครงการการศึกษา, ม.: สำนักพิมพ์ ก.ม. Kushnir, 2009.-p.14;131)

จะช่วยให้ทำซ้ำกฎได้อย่างรวดเร็ว จำคำตอบของคำถามที่ศึกษา รวมทักษะที่จำเป็น เวลาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการทำงานตามวิธีการคือ 5-10 นาที ตามกฎแล้วงานเกี่ยวกับการ์ดฝึกอบรมจะดำเนินการในระหว่างการนับจำนวนปากเปล่านั่นคือในตอนต้นของบทเรียน แต่ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครูสามารถทำได้ในทุกขั้นตอนของบทเรียนขึ้นอยู่กับเป้าหมายและ โครงสร้าง. ในการ์ดการฝึกอบรม มีตัวอย่างง่ายๆ ได้ตั้งแต่ 5 ถึง 10 ตัวอย่าง (คำถาม งาน) นักเรียนแต่ละคนในชั้นเรียนจะได้รับการ์ด การ์ดจะแตกต่างกันไปสำหรับทุกคนหรือแตกต่างกันสำหรับทุกคนใน "กลุ่มรวม" (เด็กนั่งแถวเดียวกัน) การรวมกลุ่ม (กลุ่ม) เป็นความร่วมมือชั่วคราวของนักเรียนที่จัดตั้งขึ้นเพื่อดำเนินงานด้านการศึกษาเฉพาะ (Yalovets T.V. เทคโนโลยีของวิธีการสอนแบบรวมในการฝึกอบรมขั้นสูงของครู: คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี - Novokuznetsk: IPC Publishing House, 2005. - P. 122)

โครงการบทเรียนในหัวข้อ “ฟังก์ชัน y= คุณสมบัติและกราฟ”

ในโครงการบทเรียนหัวข้อคือ: “ ฟังก์ชัน y= คุณสมบัติและกราฟของมัน”นำเสนอการใช้เทคนิคการฝึกอบรมร่วมกันร่วมกับการใช้สื่อการสอนแบบดั้งเดิมและมัลติมีเดีย

หัวข้อบทเรียน: “ ฟังก์ชัน y=, คุณสมบัติและกราฟ”

เป้าหมาย:

• การเตรียมงานควบคุม
• การตรวจสอบความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันและความสามารถในการพล็อตกราฟฟังก์ชันและอ่านคุณสมบัติ

งาน: ระดับวิชา:

ระดับวิชาเกิน:

• เรียนรู้การวิเคราะห์ข้อมูลกราฟิก
• พัฒนาความสามารถในการสนทนา
• พัฒนาความสามารถและทักษะในการทำงานกับไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบโดยใช้ตัวอย่างการทำงานกับกราฟ

โครงสร้างบทเรียน	เวลา
1. การป้อนข้อมูลของอาจารย์ (ITI)	5 นาที.
2. การทำให้เป็นจริงของความรู้พื้นฐาน: ทำงานเป็นคู่กะตามวิธีการ “การฝึกอบรมร่วมกัน”	8 นาที
3. ทำความคุ้นเคยกับหัวข้อ “ฟังก์ชั่น y= คุณสมบัติและกราฟ”: การนำเสนอของครู	8 นาที
4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษาใหม่และผ่านแล้วในหัวข้อ "ฟังก์ชัน": ใช้ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ	15 นาที.
5. การควบคุมตนเอง : ในรูปแบบของการทดสอบ	7 นาที
6. สรุปบันทึกการบ้าน	2 นาที.

มาดูเนื้อหาของแต่ละขั้นตอนกันดีกว่า

1. การป้อนข้อมูลครู (ITI) รวมถึง เวลาจัดงาน; พูดหัวข้อ วัตถุประสงค์ และแผนการสอน แสดงตัวอย่างงานเป็นคู่ตามวิธีอบรมร่วมกัน

การสาธิตตัวอย่างงานเป็นคู่โดยนักเรียนในขั้นตอนนี้ของบทเรียนแนะนำให้ทำซ้ำอัลกอริธึมของงานของเทคนิคที่เราต้องการเพราะ ในขั้นต่อไปของบทเรียน จะมีการวางแผนงานของทีมในชั้นเรียนทั้งหมด ในเวลาเดียวกัน คุณสามารถระบุข้อผิดพลาดในงานตามอัลกอริทึม (ถ้ามี) รวมทั้งประเมินงานของนักเรียนเหล่านี้

2. การนำความรู้อ้างอิงไปใช้จริงนั้นดำเนินการเป็นคู่ขององค์ประกอบกะตามวิธีการฝึกอบรมซึ่งกันและกัน

อัลกอริธึมของระเบียบวิธีรวมถึงรูปแบบการฝึกอบรมองค์กรแบบรายบุคคล คู่ (คู่คงที่) และแบบรวม (คู่ขององค์ประกอบกะ)

บุคคลธรรมดา: ทุกคนที่ได้รับบัตรจะได้รับความคุ้นเคยกับเนื้อหา (อ่านคำถามและคำตอบที่ด้านหลังบัตร)

• แรก(ในบทบาทของ "ผู้ฝึกงาน") อ่านงานและตอบคำถามของบัตรของพันธมิตร
• ที่สอง(ในบทบาทของ "โค้ช") - ตรวจสอบความถูกต้องของคำตอบที่ด้านหลังการ์ด
• ทำงานในทำนองเดียวกันกับการ์ดอื่นเปลี่ยนบทบาท
• ทำเครื่องหมายในแต่ละแผ่นและเปลี่ยนการ์ด
• ย้ายไปคู่ใหม่

กลุ่ม:

• ในคู่ใหม่พวกเขาทำงานเหมือนคู่แรก เปลี่ยนเป็นคู่ใหม่ ฯลฯ

จำนวนช่วงการเปลี่ยนภาพขึ้นอยู่กับเวลาที่ครูจัดสรรให้ เวทีนี้บทเรียนจากความขยันหมั่นเพียรและความเร็วของความเข้าใจของนักเรียนแต่ละคนและจากพันธมิตรในการทำงานร่วมกัน

หลังจากทำงานเป็นคู่ นักเรียนจะทำเครื่องหมายบนแผ่นบันทึก ครูจะทำการวิเคราะห์เชิงปริมาณและเชิงคุณภาพของงาน

รายการอาจมีลักษณะดังนี้:

Ivanov Petya 7 "b" คลาส

วันที่	หมายเลขบัตร	จำนวนข้อผิดพลาด	คุณทำงานกับใคร
20.12.09	№7	0	ซิโดรอฟ เค.
	№3	2	เปโตรวา เอ็ม
	№2	1	Samoilova Z.

3. ทำความคุ้นเคยกับหัวข้อ“ ฟังก์ชั่น y = คุณสมบัติและกราฟ” ดำเนินการโดยครูในรูปแบบของการนำเสนอโดยใช้เครื่องมือการเรียนรู้มัลติมีเดีย (ภาคผนวก 4) ในอีกด้านหนึ่ง นี่เป็นตัวเลือกการแสดงภาพที่เข้าใจได้สำหรับนักเรียนสมัยใหม่ ในทางกลับกัน ช่วยประหยัดเวลาในการอธิบายเนื้อหาใหม่

4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษาใหม่และผ่านแล้วในหัวข้อ “Function ” จัดเป็นสองเวอร์ชัน โดยใช้สื่อการสอนแบบดั้งเดิม (กระดาน หนังสือเรียน) และนวัตกรรม (กระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

ประการแรก มีการเสนองานหลายอย่างจากหนังสือเรียนเพื่อรวบรวมเนื้อหาที่ศึกษาใหม่ ใช้หนังสือเรียนที่ใช้สอน งานจะดำเนินการพร้อมกันกับทั้งชั้นเรียน ในกรณีนี้ นักเรียนคนหนึ่งทำงาน "a" - บนกระดานแบบดั้งเดิม อีกงานหนึ่งคืองาน “b” บนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ นักเรียนที่เหลือเขียนวิธีแก้ปัญหาของงานเดียวกันในสมุดบันทึกและเปรียบเทียบวิธีแก้ปัญหากับวิธีแก้ปัญหาที่นำเสนอบนกระดาน ต่อไปครูประเมินงานของนักเรียนที่กระดานดำ

จากนั้นเพื่อที่จะรวมเนื้อหาที่ศึกษาในหัวข้อ "ฟังก์ชัน" ได้อย่างรวดเร็วยิ่งขึ้น จะมีการเสนองานส่วนหน้าด้วยไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบซึ่งสามารถจัดได้ดังนี้:

• งานและกำหนดการปรากฏบนไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ
• นักเรียนที่ต้องการตอบไปที่กระดานดำเนินการก่อสร้างที่จำเป็นและตอบคำถาม
• งานใหม่และกำหนดการใหม่จะปรากฏบนกระดาน
• นักเรียนอีกคนออกมาเพื่อตอบ

ดังนั้นในช่วงเวลาสั้น ๆ จึงสามารถแก้ไขงานจำนวนมากเพื่อประเมินคำตอบของนักเรียนได้ งานที่น่าสนใจบางอย่าง (คล้ายกับงานจากที่จะเกิดขึ้น ควบคุมงาน) สามารถบันทึกลงในสมุดบันทึกได้

5. ในขั้นตอนของการควบคุมตนเอง นักเรียนจะได้รับการทดสอบตามด้วยการตรวจสอบตนเอง (ภาคผนวก 3)

วรรณกรรม

1. ไดเชนโก้, V.K. การสอนสมัยใหม่ [ข้อความ] / V.K. Dyachenko - M .: การศึกษาสาธารณะ, 2548
2. ยาโลเวตส์ ทีวี เทคโนโลยีของวิธีการสอนแบบรวมในการพัฒนาวิชาชีพของครู: คู่มือการศึกษาและระเบียบวิธี [ข้อความ] / T.V. ยาโลเวตส์ - Novokuznetsk: สำนักพิมพ์ IPC, 2005
3. ยาโนวิตสกายา E.V. วิธีการสอนและเรียนรู้ในห้องเรียนจนคุณอยากเรียน หนังสืออ้างอิง [ข้อความ] / E.V. Yanovitskaya - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก: โครงการการศึกษา, ม.: สำนักพิมพ์ A.M. กุชนีร์, 2552.

บทเรียนและการนำเสนอในหัวข้อ: "ฟังก์ชันกำลัง ลูกบาศก์รูท คุณสมบัติของลูกบาศก์รูท"

วัสดุเพิ่มเติม
ผู้ใช้ที่รักอย่าลืมแสดงความคิดเห็นข้อเสนอแนะข้อเสนอแนะ! วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส

เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ "Integral" สำหรับเกรด 9
คอมเพล็กซ์การศึกษา 1C: "ปัญหาพีชคณิตกับพารามิเตอร์ เกรด 9-11" สภาพแวดล้อมของซอฟต์แวร์ "1C: ตัวสร้างทางคณิตศาสตร์ 6.0"

นิยามของฟังก์ชันกำลัง - รูทคิวบ์

พวกเรายังคงศึกษาฟังก์ชั่นพลังงานต่อไป วันนี้เราจะมาพูดถึงฟังก์ชัน Cube Root ของ x
รากที่สามคืออะไร?
ตัวเลข y เรียกว่ารากที่สามของ x (รากดีกรีที่สาม) ถ้า $y^3=x$ เป็นจริง
$\sqrt(x)$ โดยที่ x คือหมายเลขรูท 3 คือเลขชี้กำลัง
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
ดังที่เราเห็น รากที่สามสามารถดึงออกมาจากจำนวนลบได้ ปรากฎว่ารูทของเรามีอยู่สำหรับตัวเลขทั้งหมด
รากที่สามของจำนวนลบเท่ากับจำนวนลบ เมื่อยกกำลังเป็นเลขคี่ เครื่องหมายจะคงไว้ ยกกำลังที่สามจะเป็นเลขคี่

ลองตรวจสอบความเท่าเทียมกัน: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$
ให้ $\sqrt((-x))=a$ และ $\sqrt(x)=b$ ลองยกทั้งสองนิพจน์ไปที่ยกกำลังสาม $–x=a^3$ และ $x=b^3$ จากนั้น $a^3=-b^3$ หรือ $a=-b$ ในสัญกรณ์ของราก เราได้รับเอกลักษณ์ที่ต้องการ

คุณสมบัติของรากลูกบาศก์

ก) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

มาพิสูจน์คุณสมบัติที่สองกัน $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
เราพบว่าจำนวน $\sqrt(\frac(a)(b))$ ในลูกบาศก์เท่ากับ $\frac(a)(b)$ แล้วจึงเท่ากับ $\sqrt(\frac(a) (b))$ ซึ่งและจำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์

ลองพลอตกราฟฟังก์ชันกัน
1) โดเมนของคำจำกัดความคือเซตของจำนวนจริง
2) ฟังก์ชันเป็นเลขคี่เพราะ $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$ ต่อไป พิจารณาฟังก์ชันของเราสำหรับ $x≥0$ แล้วสะท้อนกราฟที่สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้น
3) ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นสำหรับ $х≥0$ สำหรับฟังก์ชันของเรา ค่าอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าจะสอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของฟังก์ชัน ซึ่งหมายถึงการเพิ่มขึ้น
4) ฟังก์ชั่นไม่จำกัดจากด้านบน จากจำนวนที่มากตามอำเภอใจ คุณสามารถคำนวณรากของดีกรีที่สามได้ และเราสามารถเลื่อนขึ้นไปที่ระยะอนันต์ เพื่อค้นหาค่าที่มากขึ้นของการโต้แย้ง
5) สำหรับ $x≥0$ ค่าที่น้อยที่สุดคือ 0 คุณสมบัตินี้ชัดเจน
มาสร้างกราฟของฟังก์ชันด้วยคะแนนสำหรับ x≥0 กัน

มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกันในโดเมนทั้งหมดของคำจำกัดความกัน จำไว้ว่าหน้าที่ของเรานั้นคี่

คุณสมบัติของฟังก์ชัน:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) ฟังก์ชันคี่
3) เพิ่มขึ้นโดย (-∞;+∞)
4) ไม่จำกัด
5) ไม่มีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) นูนลง (-∞;0) นูนขึ้น (0;+∞)

ตัวอย่างของการแก้ฟังก์ชันกำลัง

ตัวอย่าง
1. แก้สมการ $\sqrt(x)=x$.
การตัดสินใจ. มาสร้างกราฟสองกราฟบนระนาบพิกัดเดียวกัน $y=\sqrt(x)$ และ $y=x$

อย่างที่คุณเห็น กราฟของเราตัดกันที่จุดสามจุด
คำตอบ: (-1;-1), (0;0), (1;1)

2. สร้างกราฟของฟังก์ชัน $y=\sqrt((x-2))-3$.
การตัดสินใจ. กราฟของเราได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน $y=\sqrt(x)$ โดยการเลื่อนสองหน่วยไปทางขวาแบบขนานและสามหน่วยลง

3. สร้างกราฟฟังก์ชันแล้วอ่าน $\begin(กรณี)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$
การตัดสินใจ. มาสร้างกราฟฟังก์ชันสองกราฟบนระนาบพิกัดเดียวกัน โดยคำนึงถึงเงื่อนไขของเราด้วย สำหรับ $х≥-1$ เราสร้างกราฟของลูกบาศก์รูท สำหรับ $х≤-1$ กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) ฟังก์ชันไม่เป็นเลขคู่หรือคี่
3) ลดลง (-∞;-1) เพิ่มขึ้น (-1;+∞)
4) ไม่ จำกัด จากด้านบน จำกัด จากด้านล่าง
5) ไม่มีค่าสูงสุด ค่าที่น้อยที่สุดคือลบหนึ่ง
6) ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นจริงทั้งหมด
7) E(y)= (-1;+∞).

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1. แก้สมการ $\sqrt(x)=2-x$.
2. พล็อตฟังก์ชัน $y=\sqrt((x+1))+1$
3. สร้างกราฟของฟังก์ชันแล้วอ่าน $\begin(กรณี)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$

คุณสมบัติหลักของฟังก์ชันกำลังรวมถึงสูตรและคุณสมบัติของราก การขยายและการแทนค่าอนุพันธ์ ปริพันธ์ อนุกรมกำลัง และการแทนค่าด้วยจำนวนเชิงซ้อนของฟังก์ชันกำลังถูกนำเสนอ

คำนิยาม

คำนิยาม
ฟังก์ชั่นพลังงานด้วยเลขชี้กำลัง pเป็นฟังก์ชัน f (x) = xpโดยมีค่าที่จุด x เท่ากับค่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐาน x ที่หน้า
นอกจากนี้ f (0) = 0 p = 0สำหรับ p > 0 .

สำหรับค่าธรรมชาติของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังเป็นผลคูณของจำนวน n เท่ากับ x :
.
มันถูกกำหนดไว้สำหรับของจริงทั้งหมด

สำหรับค่าตรรกยะที่เป็นบวกของเลขชี้กำลัง ฟังก์ชันกำลังเป็นผลคูณของ n รากของดีกรี m จากจำนวน x:
.
สำหรับ m คี่ มันถูกกำหนดสำหรับ x จริงทั้งหมด สำหรับ m เท่ากัน ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดให้ไม่เป็นค่าลบ

สำหรับค่าลบ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดโดยสูตร:
.
ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดไว้ที่จุด

สำหรับค่าที่ไม่ลงตัวของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะถูกกำหนดโดยสูตร:
,
โดยที่ a เป็นจำนวนบวกตามอำเภอใจ ไม่ใช่ เท่ากับหนึ่ง: .
สำหรับ มันถูกกำหนดไว้สำหรับ
สำหรับ ฟังก์ชันกำลังถูกกำหนดไว้สำหรับ

ความต่อเนื่อง. ฟังก์ชันกำลังต่อเนื่องในขอบเขตของคำจำกัดความ

คุณสมบัติและสูตรของฟังก์ชันกำลังสำหรับ x ≥ 0

ที่นี่เราพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชันกำลังสำหรับไม่ ค่าลบอาร์กิวเมนต์ x ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นสำหรับค่าบางค่าของเลขชี้กำลัง p ฟังก์ชันเลขชี้กำลังถูกกำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x ด้วย ในกรณีนี้ สามารถหาคุณสมบัติของมันได้จากคุณสมบัติที่ โดยใช้พาริตีคู่หรือคี่ กรณีเหล่านี้จะกล่าวถึงและแสดงรายละเอียดในหน้า ""

ฟังก์ชันกำลัง y = x p โดยมีเลขชี้กำลัง p มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
(1.1) กำหนดและต่อเนื่องในชุด
ที่ ,
ที่ ;
(1.2) มีความหมายมากมาย
ที่ ,
ที่ ;
(1.3) เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่ ,
ลดลงอย่างเคร่งครัดที่ ;
(1.4) ที่ ;
ที่ ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

หลักฐานคุณสมบัติได้รับในหน้า " ฟังก์ชันกำลัง (การพิสูจน์ความต่อเนื่องและคุณสมบัติ) »

ราก - ความหมาย สูตร คุณสมบัติ

คำนิยาม
รากของ x ยกกำลัง nคือจำนวนที่ยกกำลัง n ให้ x:
.
ที่นี่ n = 2, 3, 4, ... - ตัวเลขธรรมชาติ, มากกว่าหนึ่ง

คุณยังสามารถพูดได้ว่ารากของจำนวน x ของดีกรี n คือราก (นั่นคือ คำตอบ) ของสมการ
.
โปรดทราบว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชัน

รากที่สองของ xเป็นรากของดีกรี 2: .

รากลูกบาศก์จากหมายเลข xเป็นรากของดีกรี 3: .

ดีกรีเท่ากัน

สำหรับกำลังคู่ n = 2 เดือน, รูทถูกกำหนดไว้สำหรับ x ≥ 0 . สูตรที่ใช้บ่อยใช้ได้กับทั้งค่าบวกและค่าลบ x :
.
สำหรับรากที่สอง:
.

ลำดับการดำเนินการมีความสำคัญในที่นี้ กล่าวคือ ทำการยกกำลังสองครั้งแรก ส่งผลให้ได้ตัวเลขที่ไม่เป็นลบ จากนั้นรากจะถูกดึงออกมา (จากตัวเลขที่ไม่เป็นลบ คุณสามารถแยกได้ รากที่สอง). หากเราเปลี่ยนลำดับ: ดังนั้นสำหรับค่าลบ x รูทจะไม่ถูกกำหนด และด้วยนิพจน์ทั้งหมดก็จะไม่มีการกำหนด

องศาคี่

สำหรับพลังคี่ รูทถูกกำหนดสำหรับ x ทั้งหมด:
;
.

คุณสมบัติและสูตรของราก

รากของ x เป็นฟังก์ชันกำลัง:
.
สำหรับ x ≥ 0 สูตรต่อไปนี้ถือ:
;
;
, ;
.

สูตรเหล่านี้ยังสามารถนำไปใช้กับค่าลบของตัวแปรได้อีกด้วย จำเป็นเท่านั้นที่จะทำให้แน่ใจว่าการแสดงออกที่รุนแรงของพลังที่เท่าเทียมกันนั้นไม่เป็นลบ

ค่านิยมส่วนตัว

รากของ 0 คือ 0:
รากของ 1 คือ 1:
รากที่สองของ 0 คือ 0:
รากที่สองของ 1 คือ 1:

ตัวอย่าง. รากจากราก

ลองพิจารณาตัวอย่างรากที่สองของราก:
.
แปลงรากที่สองภายในโดยใช้สูตรข้างต้น:
.
ทีนี้มาแปลงรูทดั้งเดิมกัน:
.
ดังนั้น,
.

y = x p สำหรับค่าต่าง ๆ ของเลขชี้กำลัง p .

นี่คือกราฟของฟังก์ชันสำหรับค่าที่ไม่เป็นลบของอาร์กิวเมนต์ x กราฟของฟังก์ชันกำลังที่กำหนดไว้สำหรับค่าลบของ x จะได้รับในหน้า " ฟังก์ชันกำลัง คุณสมบัติ และกราฟ »

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง p คือฟังก์ชันกำลังที่มีเลขชี้กำลัง 1/p

ถ้าอย่างนั้น .

อนุพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
;

ที่มาของสูตร > > >

ปริพันธ์ของฟังก์ชันกำลัง

ป- 1 ;
.

การขยายซีรีย์พาวเวอร์

ที่ - 1 < x < 1 การสลายตัวต่อไปนี้เกิดขึ้น:

นิพจน์ในรูปของจำนวนเชิงซ้อน

พิจารณาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน z :
ฉ (z) = z t.
เราแสดงตัวแปรเชิงซ้อน z ในแง่ของโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ (r = |z| ):
z = r e ฉัน φ .
เราแทนจำนวนเชิงซ้อน t เป็นส่วนจริงและส่วนจินตภาพ:
เสื้อ = p + ผม q .
เรามี:

นอกจากนี้ เราคำนึงว่าอาร์กิวเมนต์ φ ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง:
,

พิจารณากรณีที่ q = 0 , นั่นคือ, เลขชี้กำลัง เบอร์จริง, t = หน้า . แล้ว
.

ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม kp ก็เป็นจำนวนเต็มด้วย จากนั้นเนื่องจากคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
.
เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังด้วยเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม สำหรับ z ที่กำหนด จะมีค่าเพียงค่าเดียวและดังนั้นจึงมีค่าเดียว

ถ้า p เป็นจำนวนอตรรกยะ ผลคูณของ kp จะไม่ให้จำนวนเต็มสำหรับ k ใดๆ เนื่องจาก k วิ่งผ่านชุดค่าอนันต์ k = 0, 1, 2, 3, ...จากนั้นฟังก์ชัน z p มีค่ามากมายเป็นอนันต์ เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น 2 ปี(หนึ่งเทิร์น) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชัน

ถ้า p เป็นจำนวนตรรกยะ มันก็สามารถแสดงเป็น:
, ที่ไหน ม.นเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวหารร่วม แล้ว
.
ค่า n แรก สำหรับ k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, ที่ให้ไว้ ความหมายต่างกัน kp :
.
อย่างไรก็ตาม ค่าที่ตามมาจะให้ค่าที่แตกต่างจากค่าก่อนหน้าด้วยจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น สำหรับ k = k 0+nเรามี:
.
ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งอาร์กิวเมนต์ต่างกันโดยทวีคูณของ 2 ปีมีค่าเท่ากัน ดังนั้นด้วยการเพิ่มขึ้นอีกใน k เราจึงได้ค่า z p เช่นเดียวกับ k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

ดังนั้น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังกับ ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลดีกรีเป็นหลายค่าและมี n ค่า (สาขา) เมื่อใดก็ตามที่อาร์กิวเมนต์ z เพิ่มขึ้น 2 ปี(หนึ่งเทิร์น) เราย้ายไปยังสาขาใหม่ของฟังก์ชัน หลังจาก n เทิร์นดังกล่าว เรากลับไปที่สาขาแรกที่เริ่มการนับถอยหลัง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง รากของดีกรี n มีค่า n ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณารากที่ n ของจำนวนบวกจริง z = x ในกรณีนี้ φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
ดังนั้น สำหรับรากที่สอง n = 2 ,
.
แม้กระทั่ง k, (-1 ) k = 1. สำหรับ k คี่ (-1 ) k = - 1.
นั่นคือ รากที่สองมีสองความหมาย: + และ -

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.