รูปทรงเรขาคณิตที่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม" ภายในกรอบของเทคโนโลยี "การพัฒนาการคิดเชิงวิพากษ์ผ่านการอ่านและการเขียน

หัวข้อ: "รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม"

เกรด 9

SL №20

ครู: Kharitonovich T.I.จุดประสงค์ของบทเรียน: การศึกษาประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

งานการเรียนรู้:อัปเดต ขยาย และสรุปความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม ก่อให้เกิดความคิดของ ส่วนประกอบ”รูปหลายเหลี่ยม; ดำเนินการศึกษาจำนวนองค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (จากรูปสามเหลี่ยมถึง n-gon)

งานพัฒนา:พัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ หาข้อสรุป พัฒนาทักษะการคำนวณ การพูดและการเขียนทางคณิตศาสตร์ ความจำ ตลอดจนความเป็นอิสระในการคิดและ กิจกรรมการเรียนรู้ความสามารถในการทำงานเป็นคู่และเป็นกลุ่ม พัฒนางานวิจัยและ กิจกรรมทางปัญญา;

งานการศึกษา:เพื่อปลูกฝังความเป็นอิสระ, กิจกรรม, ความรับผิดชอบในงานที่ได้รับมอบหมาย, ความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย

อุปกรณ์: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ (การนำเสนอ)

ระหว่างเรียน

แสดงงานนำเสนอ: "รูปหลายเหลี่ยม"

“ธรรมชาติพูดภาษาของคณิตศาสตร์ ตัวอักษรของภาษานี้ ... ตัวเลขทางคณิตศาสตร์” G. Gallilei

ในตอนต้นของบทเรียน ชั้นเรียนจะแบ่งออกเป็นกลุ่มทำงาน (ในกรณีของเราแบ่งเป็น 3 กลุ่ม)

1. เรียกเวที-

ก) การปรับปรุงความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ

ข) การปลุกความสนใจในหัวข้อที่กำลังศึกษา แรงจูงใจของนักเรียนแต่ละคนสำหรับกิจกรรมการเรียนรู้

แผนกต้อนรับ: เกม "คุณเชื่อไหมว่า ... " องค์กรของงานพร้อมข้อความ

รูปแบบการทำงาน: หน้าผาก, กลุ่ม

“คุณเชื่ออย่างนั้นเหรอ….”

1. ... คำว่า "หลายเหลี่ยม" แสดงว่าร่างทั้งหมดของตระกูลนี้มี "หลายมุม" หรือไม่?

2. ... สามเหลี่ยมเป็นของครอบครัวรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ โดดเด่นด้วยความแตกต่างที่หลากหลาย รูปทรงเรขาคณิตบนพื้นผิว?

3. …สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นแปดเหลี่ยมปกติ (สี่ด้าน + สี่มุม) หรือไม่?

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงรูปหลายเหลี่ยม เราเรียนรู้ว่าตัวเลขนี้ล้อมรอบด้วยเส้นหักปิด ซึ่งสามารถปิดได้ง่าย มาพูดถึงความจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นแบนราบปกตินูน รูปหลายเหลี่ยมแบนหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คุณคุ้นเคยมาเป็นเวลานาน (คุณสามารถให้นักเรียนแสดงโปสเตอร์รูปหลายเหลี่ยม เส้นหัก ให้แสดง ประเภทต่างๆคุณยังสามารถใช้ TSO ได้)

2. ขั้นของความเข้าใจ

วัตถุประสงค์: การรับข้อมูลใหม่ ความเข้าใจ การเลือก

แผนกต้อนรับ: คดเคี้ยวไปมา

รูปแบบการทำงาน บุคคล->คู่->กลุ่ม

แต่ละกลุ่มจะได้รับข้อความในหัวข้อของบทเรียน และข้อความได้รับการออกแบบในลักษณะที่มีทั้งข้อมูลที่นักเรียนทราบแล้วและข้อมูลใหม่ทั้งหมด ร่วมกับข้อความ นักเรียนจะได้รับคำถามคำตอบที่จะต้องพบในข้อความนี้

รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

ใครไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาลึกลับที่เรือและเครื่องบินหายตัวไปอย่างไร้ร่องรอย? แต่สามเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กนั้นเต็มไปด้วยสิ่งที่น่าสนใจและลึกลับมากมาย

นอกจากประเภทของสามเหลี่ยมที่เรารู้จักแล้ว หารด้วยด้าน (สเกล, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด) และมุม (มุมแหลม, มุมป้าน, มุมขวา) สามเหลี่ยมนั้นอยู่ในกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่แยกจากหลาย ๆ รูป รูปทรงเรขาคณิตต่างๆ บนเครื่องบิน

คำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แสดงว่าร่างทั้งหมดของตระกูลนี้มี "หลายมุม" แต่นี้ไม่เพียงพอที่จะอธิบายลักษณะร่าง

เส้นที่ขาด A1A2…An คือตัวเลขที่ประกอบด้วยจุด A1,A2,…An และส่วน A1A2, A2A3,… ที่เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน จุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอดของโพลิไลน์ และส่วนต่างๆ เรียกว่า ลิงก์ของโพลิไลน์ (รูปที่ 1)

เส้นที่ขาดจะเรียกว่าง่ายถ้าไม่มีจุดตัดกัน (รูปที่ 2,3)

เส้นขาดเรียกว่าปิดถ้าปลายตรง ความยาวของเส้นหักคือผลรวมของความยาวของเส้นเชื่อม (รูปที่ 4)

เส้นหักแบบปิดอย่างง่ายเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมถ้าลิงก์ที่อยู่ติดกันไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 5)

แทนที่ตัวเลขเฉพาะในคำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แทนส่วน "หลาย" เช่น 3 คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม หรือ 5. จากนั้น - ห้าเหลี่ยม โปรดทราบว่ามีหลายมุมเท่าที่มีด้าน ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงเรียกว่าพหุภาคีได้

จุดยอดของโพลิไลน์เรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และลิงก์ของโพลิไลน์เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก (รูปที่ 6)

รูปหลายเหลี่ยมระนาบหรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเป็นส่วนจำกัดของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดสองจุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ปลายด้านเดียวกันเรียกว่าเพื่อนบ้าน จุดยอดที่ไม่สิ้นสุดด้านใดด้านหนึ่งไม่อยู่ติดกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด n จุด และด้าน n ด้านจึงเรียกว่า n-gon

แม้ว่า จำนวนที่น้อยที่สุดด้านของรูปหลายเหลี่ยม - 3 แต่รูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อถึงกัน สามารถสร้างรูปอื่นๆ ได้ ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่ใช่ข้างเคียงของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่ในระนาบเดียวเมื่อเทียบกับเส้นใด ๆ ที่มีด้านข้าง ในกรณีนี้ เส้นนั้นถือเป็นของ HALF-PLANE

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านที่บรรจบกันที่จุดยอดนั้น

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกัน (บนผลรวมของมุมของนูน n-gon): ผลรวมของมุมของนูน n-gon เท่ากับ 1800*(n - 2)

การพิสูจน์. ในกรณีที่ n=3 ทฤษฎีบทถูกต้อง ให้ А1A2…А n เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด และ n>3 ลองวาดเส้นทแยงมุมลงไป (จากจุดสุดยอดหนึ่งจุด) เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมมีลักษณะนูน เส้นทแยงมุมเหล่านี้จึงแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม n - 2 รูป ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ 1800 และจำนวนของสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ n - 2 ดังนั้น ผลรวมของมุมของนูน n - มุม A1A2 ... A n คือ 1800 * (n - 2) ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนั้น

รูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติถ้าทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน

ดังนั้นสี่เหลี่ยมจตุรัสสามารถเรียกต่างกันได้ - สี่เหลี่ยมปกติ สามเหลี่ยมด้านเท่าก็ปกติเช่นกัน ตัวเลขดังกล่าวเป็นที่สนใจของปรมาจารย์ผู้ตกแต่งอาคารมาเป็นเวลานาน พวกเขาทำลวดลายที่สวยงามเช่นบนปาร์เก้ แต่ไม่สามารถใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเพื่อสร้างปาร์เก้ได้ ไม้ปาร์เก้ไม่สามารถขึ้นรูปจากแปดเหลี่ยมปกติได้ ความจริงก็คือพวกมันมีมุมแต่ละมุมเท่ากับ 1350 และถ้าจุดใดเป็นจุดยอดของสองรูปแปดเหลี่ยมดังกล่าว พวกมันจะมี 2700 และไม่มีที่สำหรับแปดเหลี่ยมที่สามที่จะพอดี: 3600 - 2700 \u003d 900 แต่นี่ ก็เพียงพอแล้วสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะพับไม้ปาร์เก้จากแปดเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมปกติ

ดวงดาวนั้นถูกต้อง ดาวห้าแฉกของเราคือดาวห้าแฉกปกติ และถ้าคุณหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบๆ จุดศูนย์กลางด้วย 450 คุณจะได้ดาวแปดเหลี่ยมแบบปกติ

เส้นหักคืออะไร? อธิบายว่าจุดยอดและจุดเชื่อมโยงของโพลิไลน์คืออะไร

เส้นไหนแตกเรียกว่าง่าย?

เส้นไหนแตกเรียกว่าปิด?

รูปหลายเหลี่ยมคืออะไร? จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร ด้านใดของรูปหลายเหลี่ยม?

รูปหลายเหลี่ยมแบนคืออะไร? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยม

เอ็นกอนคืออะไร?

อธิบายว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ติดกันและจุดใดไม่ใช่

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

รูปหลายเหลี่ยมนูนคืออะไร?

อธิบายมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นภายนอกและภายใน?

รูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

ผลรวมของมุมของนูน n-gon คืออะไร? พิสูจน์สิ.

นักเรียนทำงานกับข้อความค้นหาคำตอบสำหรับคำถามที่โพสต์หลังจากนั้นจึงสร้างกลุ่มผู้เชี่ยวชาญซึ่งงานจะดำเนินการในประเด็นเดียวกัน: นักเรียนเน้นสิ่งสำคัญวาดนามธรรมสนับสนุนนำเสนอข้อมูลในหนึ่งใน แบบฟอร์มกราฟิก เมื่อเลิกงาน นักเรียนกลับไปที่กลุ่มงานของตน

3. ระยะสะท้อน -

ก) การประเมินความรู้ ท้าทายความรู้ขั้นต่อไป

ข) ความเข้าใจและการจัดสรรข้อมูลที่ได้รับ

แผนกต้อนรับ: งานวิจัย

รูปแบบการทำงาน บุคคล->คู่->กลุ่ม

คณะทำงานเป็นผู้เชี่ยวชาญในการตอบคำถามแต่ละส่วน

กลับไปที่คณะทำงาน ผู้เชี่ยวชาญแนะนำสมาชิกคนอื่นๆ ในกลุ่มพร้อมคำตอบสำหรับคำถามของพวกเขา ในกลุ่มมีการแลกเปลี่ยนข้อมูลของสมาชิกทุกคนในคณะทำงาน ดังนั้นในแต่ละ กลุ่มทำงานต้องขอบคุณผลงานของผู้เชี่ยวชาญทำให้เกิดแนวคิดทั่วไปในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการศึกษา

การวิจัยนักเรียน- กรอกตาราง

รูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปวาด จำนวนด้าน จำนวนจุดยอด ผลรวมของมุมภายในทั้งหมด การวัดองศาภายใน มุม องศา การวัดมุมภายนอก จำนวนเส้นทแยงมุม

ก) สามเหลี่ยม

B) รูปสี่เหลี่ยม

B) ห้าหลุม

D) หกเหลี่ยม

จ) น-กอน

สารละลาย งานที่น่าสนใจในเรื่องของบทเรียน

1) รูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน แต่ละด้านของ มุมภายในซึ่งเท่ากับ 1350?

2) ในรูปหลายเหลี่ยมบางมุม มุมภายในทั้งหมดมีค่าเท่ากัน ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนี้สามารถเป็น: 3600, 3800 ได้หรือไม่

3) เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างรูปห้าเหลี่ยมที่มีมุม 100,103,110,110,116 องศา?

สรุปบทเรียน.

การบันทึก การบ้าน: STR 66-72 №15,17 และปัญหา: ใน QUADRANGLE ให้วาดเส้นตรงเพื่อที่เธอจะได้แบ่งมันออกเป็นสามสามเหลี่ยม

ภาพสะท้อนในรูปแบบของการทดสอบ (บนกระดานไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ)

ส่วนของระนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นหักปิดเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม

ส่วนของเส้นที่ขาดนี้เรียกว่า ปาร์ตี้รูปหลายเหลี่ยม AB, BC, CD, DE, EA (รูปที่ 1) - ด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม ABCDE ผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ปริมณฑล.

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้ามันตั้งอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของด้านใดด้านหนึ่ง ให้ขยายออกไปนอกจุดยอดทั้งสองอย่างไม่มีกำหนด

รูปหลายเหลี่ยม MNPKO (รูปที่ 1) จะไม่นูน เนื่องจากตั้งอยู่บน KP ของเส้นตรงมากกว่าหนึ่งด้าน

เราจะพิจารณาเฉพาะรูปหลายเหลี่ยมนูนเท่านั้น

มุมที่เกิดจากด้านประชิดสองด้านของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่ามุมของมัน ภายในมุมและยอดของพวกเขา - จุดยอดรูปหลายเหลี่ยม.

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกันของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยม

AC, AD - เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 2)

มุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่ามุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม (รูปที่ 3)

ขึ้นอยู่กับจำนวนมุม (ด้าน) รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม ฯลฯ

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันหากซ้อนทับได้

รูปหลายเหลี่ยมที่จารึกและล้อมรอบ

ถ้าจุดยอดทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยมอยู่บนวงกลม จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม จารึกเป็นวงกลมและวงกลม อธิบายไว้ใกล้รูปหลายเหลี่ยม (รูป)

ถ้าทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมสัมผัสกันวงกลม จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม อธิบายไว้รอบวงกลม และวงนั้นเรียกว่า จารึกเป็นรูปหลายเหลี่ยม (รูป)

ความคล้ายคลึงกันของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีชื่อเดียวกันจะเรียกว่า คล้ายคลึงกัน ถ้ามุมของหนึ่งในนั้นเท่ากับมุมของอีกมุมตามลำดับ และด้านที่คล้ายกันของรูปหลายเหลี่ยมนั้นเป็นสัดส่วน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีชื่อเดียวกันเรียกว่า เบอร์เดียวกันด้านข้าง (มุม)

ด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันเรียกว่า คล้ายกัน ถ้าพวกมันเชื่อมต่อจุดยอดของมุมเท่ากัน (รูปที่)

ตัวอย่างเช่น เพื่อให้รูปหลายเหลี่ยม ABCDE คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยม A'B'C'D'E' จำเป็นที่: E = ∠E' และนอกจากนี้ AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

อัตราส่วนปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

อันดับแรก ให้พิจารณาคุณสมบัติของชุดอัตราส่วนที่เท่ากัน สมมติว่ามีความสัมพันธ์: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2

ลองหาผลรวมของสมาชิกก่อนหน้าของความสัมพันธ์เหล่านี้กัน แล้ว - ผลรวมของสมาชิกที่ตามมาและหาอัตราส่วนของผลรวมที่ได้รับ เราจะได้:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

เราจะได้ค่าเดียวกันถ้าเราเอาความสัมพันธ์อื่นๆ มาจำนวนหนึ่ง เช่น 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 แล้วเราจะหาอัตราส่วนของผลรวมเหล่านี้ , เราได้รับ:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

ในทั้งสองกรณี ผลรวมของสมาชิกก่อนหน้าของชุดความสัมพันธ์ที่เท่ากันนั้นสัมพันธ์กับผลรวมของสมาชิกชุดต่อมาของอนุกรมเดียวกัน เนื่องจากสมาชิกก่อนหน้าของความสัมพันธ์ใดๆ เหล่านี้เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ถัดไป

เราอนุมานคุณสมบัตินี้โดยพิจารณาจากตัวอย่างตัวเลขจำนวนหนึ่ง สามารถอนุมานได้อย่างเคร่งครัดและในรูปแบบทั่วไป

ตอนนี้ให้พิจารณาอัตราส่วนของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกัน

ให้รูปหลายเหลี่ยม ABCDE คล้ายกับรูปหลายเหลี่ยม A'B'C'D'E' (รูปที่)

จากความคล้ายคลึงกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ว่า

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

จากคุณสมบัติของชุดความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันที่เราได้รับ เราสามารถเขียนได้ว่า:

ผลรวมของเงื่อนไขก่อนหน้าของความสัมพันธ์ที่เราใช้คือปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมแรก (P) และผลรวมของเงื่อนไขที่ตามมาของความสัมพันธ์เหล่านี้คือปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมที่สอง (P ') ดังนั้น P / P ' = AB / A'B '

เพราะเหตุนี้, เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสัมพันธ์กันกับด้านที่สัมพันธ์กัน

อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ให้ ABCDE และ A'B'C'D'E' เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน (รูปที่)

เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่า ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' และ ΔADE ~ ΔA'D'E'

นอกจากนี้,

;

เนื่องจากอัตราส่วนที่สองของสัดส่วนเหล่านี้เท่ากันซึ่งตามมาจากความคล้ายคลึงของรูปหลายเหลี่ยมดังนั้น

โดยใช้คุณสมบัติของชุดอัตราส่วนที่เท่ากัน เราจะได้:

หรือ

โดยที่ S และ S' คือพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันเหล่านี้

เพราะเหตุนี้, พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายคลึงกันนั้นสัมพันธ์กับกำลังสองของด้านที่คล้ายคลึงกัน

สูตรผลลัพธ์สามารถแปลงเป็นรูปแบบนี้: S / S '= (AB / A'B ') 2

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตามใจชอบ

ให้จำเป็นต้องคำนวณพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABDC โดยพลการ (รูปที่)

ลองวาดเส้นทแยงมุมเข้าไป เช่น AD เราได้สามเหลี่ยมสองรูป ABD และ ACD ซึ่งเป็นพื้นที่ที่เราคำนวณได้ จากนั้นเราจะหาผลรวมของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้ ผลรวมที่ได้จะแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่กำหนด

หากคุณต้องการคำนวณพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยม ให้ดำเนินการในลักษณะเดียวกัน: เราวาดเส้นทแยงมุมจากจุดยอดจุดใดจุดหนึ่ง เราได้สามเหลี่ยมสามรูป พื้นที่ที่เราคำนวณได้ เราก็สามารถหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมนี้ได้ เราทำเช่นเดียวกันเมื่อคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ

พื้นที่ฉายรูปหลายเหลี่ยม

จำไว้ว่ามุมระหว่างเส้นกับระนาบคือมุมระหว่างเส้นที่กำหนดกับการฉายบนระนาบ (รูปที่)

ทฤษฎีบท. พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่ฉาย คูณด้วยโคไซน์ของมุมที่เกิดจากระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉาย

รูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปสามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม ซึ่งผลรวมของพื้นที่นั้นเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยม

ให้ ΔABC ฉายบนระนาบ R. พิจารณาสองกรณี:

ก) ด้านใดด้านหนึ่ง ΔABS ขนานกับระนาบ R;

b) ไม่มีด้านใดด้านหนึ่ง ΔABC ขนานกัน R.

พิจารณา กรณีแรก: ให้ [AB] || R.

ลากผ่านระนาบ (AB) R 1 || Rและโปรเจ็กต์ตั้งฉาก ΔABC เข้าสู่ R 1 และต่อไป R(ข้าว.); เราได้ ΔABC 1 และ ΔA'B'C'

โดยคุณสมบัติการฉายภาพ เรามี ΔABC 1 (cong) ΔA'B'C' และด้วยเหตุนี้

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

มาวาด ⊥ และส่วน D 1 C 1 กัน จากนั้น ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ คือมุมระหว่างระนาบ ΔABC และระนาบ Rหนึ่ง . นั่นเป็นเหตุผลที่

S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | ซีดี 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

และดังนั้น S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ

มาพิจารณากันต่อครับ กรณีที่สอง. วาดเครื่องบิน R 1 || Rผ่านจุดยอดนั้น ΔАВС ระยะทางจากจุดนั้นไปยังระนาบ Rที่เล็กที่สุด (ปล่อยให้มันเป็นจุดสุดยอด A)

มาออกแบบ ΔABC บนเครื่องบินกันเถอะ R 1 และ R(ข้าว.); ให้ประมาณการของมันตามลำดับ ΔAB 1 C 1 และ ΔA'B'C'

ให้ (BC) ∩ พี 1 = ง. แล้ว

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

วัสดุอื่นๆ

คุณสมบัติรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปเรขาคณิต ซึ่งมักจะกำหนดเป็นเส้นตรงแบบปิดโดยไม่มีจุดตัดกัน (รูปหลายเหลี่ยมแบบง่าย (รูปที่ 1a)) แต่บางครั้งก็อนุญาตให้มีการตัดกันตัวเองได้ (จากนั้นรูปหลายเหลี่ยมก็ไม่ธรรมดา)

จุดยอดของเส้นรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และส่วนที่เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเพื่อนบ้านหากเป็นจุดสิ้นสุดของด้านใดด้านหนึ่ง ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่อยู่ใกล้เคียงของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม

มุม (หรือมุมภายใน) ของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านที่บรรจบกันที่จุดยอดนี้ และมุมนั้นพิจารณาจากด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมอาจเกิน 180° หากรูปหลายเหลี่ยมไม่นูน

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนั้น โดยทั่วไป มุมภายนอกคือความแตกต่างระหว่าง 180° กับมุมภายใน จากจุดยอดแต่ละจุดของ -gon สำหรับ > 3 ออกไป - 3 เส้นทแยงมุม ดังนั้น จำนวนทั้งหมดเส้นทแยงมุมของ -gon เท่ากัน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามจุดเรียกว่ารูปสามเหลี่ยมที่มีสี่รูปสี่เหลี่ยมมีห้าเหลี่ยมและอื่น ๆ

รูปหลายเหลี่ยมด้วย นยอดเขาเรียกว่า น-สี่เหลี่ยม.

รูปหลายเหลี่ยมแบนคือรูปที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและส่วนจำกัดของพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง (เทียบเท่า) ต่อไปนี้:

• 1. อยู่บนด้านหนึ่งของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดข้างเคียง (กล่าวคือ ส่วนขยายของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมไม่ตัดกับด้านอื่นๆ ของรูปหลายเหลี่ยม)
• 2. เป็นทางแยก (เช่น ส่วนร่วม) ของระนาบหลายระนาบ
• 3. ส่วนใด ๆ ที่มีจุดสิ้นสุดของรูปหลายเหลี่ยมเป็นของส่วนนั้นทั้งหมด

รูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติ ถ้าด้านเท่ากันหมดและทุกมุมเท่ากัน ตัวอย่างเช่น สามเหลี่ยมด้านเท่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส และห้าเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมนูนจะเขียนเกี่ยวกับวงกลมถ้าทุกด้านสัมผัสกับวงกลมบางวง

รูปหลายเหลี่ยมปกติคือรูปหลายเหลี่ยมที่ทุกมุมและทุกด้านเท่ากัน

คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยม:

1 แต่ละเส้นทแยงมุมของนูน -gon โดยที่ >3 แยกออกเป็นสองรูปหลายเหลี่ยมนูน

2 ผลรวมของมุมทั้งหมดของนูน -gon เท่ากับ

D-in: มาพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยวิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์กัน สำหรับ = 3 มันชัดเจน สมมติว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับ -gon โดยที่ <, และพิสูจน์ให้ -gon

อนุญาต ให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด วาดเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมนี้ ตามทฤษฎีบท 3 รูปหลายเหลี่ยมจะแตกตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมและส่วนนูน -กอน (รูปที่ 5) โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ ในทางกลับกัน, . เพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้และคำนึงถึงว่า (- มุมลำแสงด้านใน ) และ (- มุมลำแสงด้านใน ), เราได้รับ เมื่อเราได้รับ: .

3 เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ คุณสามารถอธิบายวงกลมได้ และยิ่งกว่านั้น มีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้น

D-in: ให้รูปหลายเหลี่ยมปกติและเป็นตัวแบ่งครึ่งของมุมและ (รูปที่ 150) เนื่องจากดังนั้น * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке เกี่ยวกับ.มาพิสูจน์กัน อู๋ = OA 2 = เกี่ยวกับ =… = OA พี . สามเหลี่ยม เกี่ยวกับหน้าจั่ว ดังนั้น เกี่ยวกับ= เกี่ยวกับ. ตามเกณฑ์ที่สองสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ดังนั้น เกี่ยวกับ = เกี่ยวกับ. ในทำนองเดียวกันก็พิสูจน์ได้ว่า เกี่ยวกับ = เกี่ยวกับฯลฯ ดังนั้นประเด็น เกี่ยวกับเท่ากันทุกจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง เกี่ยวกับรัศมี เกี่ยวกับถูกล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

ให้เราพิสูจน์ว่ามีเพียงวงเดียวเท่านั้น พิจารณาจุดยอดสามจุดของรูปหลายเหลี่ยม เช่น แต่ 2 , . เนื่องจากมีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดเหล่านี้ ดังนั้นเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม … คุณไม่สามารถอธิบายมากกว่าหนึ่งวงกลม

• 4 ในรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ คุณสามารถเขียนวงกลมและยิ่งกว่านั้น มีเพียงวงกลมเดียวเท่านั้น
• 5 วงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติจะแตะด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดกึ่งกลาง
• 6 จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมเดียวกัน
• 7 สมมาตร:

ตัวเลขจะเรียกว่าสมมาตร (สมมาตร) หากมีการเคลื่อนไหวดังกล่าว (ไม่เหมือนกัน) ที่แปลงร่างนี้เป็นตัวมันเอง

• 7.1. สามเหลี่ยมทั่วไปไม่มีแกนหรือจุดศูนย์กลางสมมาตร มันไม่สมมาตร สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (แต่ไม่ด้านเท่า) มีแกนสมมาตรหนึ่งแกน: เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับฐาน
• 7.2. สามเหลี่ยมด้านเท่ามีแกนสมมาตรสามแกน (เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับด้านข้าง) และสมมาตรในการหมุนรอบจุดศูนย์กลางด้วยมุมการหมุน 120°

7.3 n-gon ปกติใดๆ มีแกนสมมาตร n แกน ซึ่งทั้งหมดผ่านจุดศูนย์กลาง นอกจากนี้ยังมีความสมมาตรในการหมุนรอบจุดศูนย์กลางด้วยมุมการหมุน

สม่ำเสมอ นแกนสมมาตรบางแกนผ่านจุดยอดที่ตรงข้ามกัน บางแกนผ่านจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

สำหรับคี่ นแต่ละแกนผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเท่ากันคือจุดศูนย์กลางสมมาตร รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเป็นเลขคี่ไม่มีจุดศูนย์กลางสมมาตร

8 ความคล้ายคลึงกัน:

ด้วยความคล้ายคลึงกันและ -gon เข้าสู่ -gon, half-plane - ใน half-plane จึงนูน น-กอนกลายเป็นนูน น-กอน

ทฤษฎีบท: ถ้าด้านและมุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนและเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน:

ค่าสัมประสิทธิ์แท่นอยู่ที่ไหน

รูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้จึงคล้ายกัน

• 8.1 อัตราส่วนของเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกันสองรูป เท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน
• 8.2. อัตราส่วนของพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนูนสองนูนที่คล้ายกันเท่ากับกำลังสองของสัมประสิทธิ์ความคล้ายคลึงกัน

ทฤษฎีบทปริมณฑลสามเหลี่ยมหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมหัวข้อ - เกรด 8:

เส้นของปล้องที่อยู่ติดกันที่ไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันเรียกว่า เส้นหัก.

ส่วนปลายคือ ยอด.

แต่ละตัด- ลิงค์.

และผลรวมของความยาวของส่วนทั้งหมดรวมกันเป็นจำนวนทั้งหมด ระยะเวลาสายหัก. ตัวอย่างเช่น AM + ME + EK + KO = ความยาวโพลิไลน์

ถ้าปิดเซกเมนต์แล้ว รูปหลายเหลี่ยม(ดูด้านบน) .

ลิงค์ในรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ปาร์ตี้.

ผลรวมของความยาวของด้าน - ปริมณฑลรูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดด้านเดียวกันคือ เพื่อนบ้าน.

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดที่ไม่ติดกันเรียกว่า เส้นทแยงมุม.

รูปหลายเหลี่ยม เรียกว่า ตามจำนวนด้าน: รูปห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม ฯลฯ

ทุกอย่างภายในรูปหลายเหลี่ยมคือ ส่วนด้านในของเครื่องบินและทุกอย่างภายนอก - ส่วนนอกของเครื่องบิน.

บันทึก! ภาพด้านล่าง- นี่ไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยม เนื่องจากมีจุดร่วมเพิ่มเติมบนเส้นตรงเดียวกันสำหรับส่วนที่ไม่อยู่ติดกัน

รูปหลายเหลี่ยมนูนอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละบรรทัด เพื่อกำหนดจิตใจ (หรือการวาดภาพ) เราดำเนินการแต่ละด้าน

ในรูปหลายเหลี่ยม หลายมุมเท่าที่มีด้าน.

ในรูปหลายเหลี่ยมนูน ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดเท่ากับ (n-2)*180°. n คือจำนวนมุม

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า ขวาถ้าด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน ดังนั้นการคำนวณมุมภายในจึงดำเนินการตามสูตร (โดยที่ n คือจำนวนมุม): 180° * (n-2) / n

ด้านล่างนี้คือรูปหลายเหลี่ยม ผลรวมของมุม และมุมหนึ่งเท่ากับเท่าใด

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนคำนวณได้ดังนี้:

​​​​​​​

วิชาอายุของนักเรียน: เรขาคณิต เกรด 9

จุดประสงค์ของบทเรียน: การศึกษาประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

งานการเรียนรู้: เพื่ออัปเดต ขยาย และสรุปความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยม สร้างแนวคิดของ "องค์ประกอบ" ของรูปหลายเหลี่ยม ดำเนินการศึกษาจำนวนองค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบของรูปหลายเหลี่ยมปกติ (จากรูปสามเหลี่ยมถึง n-gon)

งานพัฒนา: เพื่อพัฒนาความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป พัฒนาทักษะการคำนวณ การพูดและการเขียนทางคณิตศาสตร์ ความจำ และความเป็นอิสระในการคิดและกิจกรรมการเรียนรู้ ความสามารถในการทำงานเป็นคู่และเป็นกลุ่ม พัฒนากิจกรรมการวิจัยและการศึกษา

งานด้านการศึกษา: เพื่อปลูกฝังความเป็นอิสระ, กิจกรรม, ความรับผิดชอบสำหรับงานที่ได้รับมอบหมาย, ความอุตสาหะในการบรรลุเป้าหมาย

ระหว่างเรียน:คำพูดเขียนอยู่บนกระดานดำ

“ธรรมชาติพูดภาษาของคณิตศาสตร์ ตัวอักษรของภาษานี้ ... ตัวเลขทางคณิตศาสตร์” G. Gallilei

ในช่วงเริ่มต้นของบทเรียน ชั้นเรียนจะแบ่งออกเป็นกลุ่มทำงาน (ในกรณีของเรา แบ่งเป็นกลุ่มละ 4 คน - จำนวนสมาชิกในกลุ่มเท่ากับจำนวนกลุ่มคำถาม)

1. เรียกเวที-

เป้าหมาย:

ก) การปรับปรุงความรู้ของนักเรียนในหัวข้อ

ข) การปลุกความสนใจในหัวข้อที่กำลังศึกษา แรงจูงใจของนักเรียนแต่ละคนสำหรับกิจกรรมการเรียนรู้

แผนกต้อนรับ: เกม "คุณเชื่อไหมว่า ... " องค์กรของงานพร้อมข้อความ

รูปแบบการทำงาน: หน้าผาก, กลุ่ม

“คุณเชื่ออย่างนั้นเหรอ….”

1. ... คำว่า "หลายเหลี่ยม" แสดงว่าร่างทั้งหมดของตระกูลนี้มี "หลายมุม" หรือไม่?

2. … สามเหลี่ยมอยู่ในกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่โดดเด่นท่ามกลางรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ บนเครื่องบินหรือไม่

3. …สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นแปดเหลี่ยมปกติ (สี่ด้าน + สี่มุม) หรือไม่?

วันนี้ในบทเรียนเราจะพูดถึงรูปหลายเหลี่ยม เราเรียนรู้ว่าตัวเลขนี้ล้อมรอบด้วยเส้นหักปิด ซึ่งสามารถปิดได้ง่าย มาพูดถึงความจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นแบนราบปกตินูน รูปหลายเหลี่ยมแบบแบนรูปหนึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คุณคุ้นเคยมาเป็นเวลานาน (คุณสามารถแสดงโปสเตอร์ให้นักเรียนแสดงรูปหลายเหลี่ยม เส้นหัก แสดงประเภทต่างๆ ได้ คุณยังสามารถใช้ TCO ได้)

2. ขั้นของความเข้าใจ

วัตถุประสงค์: การรับข้อมูลใหม่ ความเข้าใจ การเลือก

แผนกต้อนรับ: คดเคี้ยวไปมา

รูปแบบการทำงาน บุคคล->คู่->กลุ่ม

แต่ละกลุ่มจะได้รับข้อความในหัวข้อของบทเรียน และข้อความได้รับการออกแบบในลักษณะที่มีทั้งข้อมูลที่นักเรียนทราบแล้วและข้อมูลใหม่ทั้งหมด ร่วมกับข้อความ นักเรียนจะได้รับคำถามคำตอบที่จะต้องพบในข้อความนี้

รูปหลายเหลี่ยม ประเภทของรูปหลายเหลี่ยม

ใครไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเบอร์มิวดาลึกลับที่เรือและเครื่องบินหายตัวไปอย่างไร้ร่องรอย? แต่สามเหลี่ยมที่เราคุ้นเคยตั้งแต่วัยเด็กนั้นเต็มไปด้วยสิ่งที่น่าสนใจและลึกลับมากมาย

นอกจากประเภทของสามเหลี่ยมที่เรารู้จักแล้ว หารด้วยด้าน (สเกล, หน้าจั่ว, ด้านเท่ากันหมด) และมุม (มุมแหลม, มุมป้าน, มุมขวา) สามเหลี่ยมนั้นอยู่ในกลุ่มของรูปหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่ที่แยกจากหลาย ๆ รูป รูปทรงเรขาคณิตต่างๆ บนเครื่องบิน

คำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แสดงว่าร่างทั้งหมดของตระกูลนี้มี "หลายมุม" แต่นี้ไม่เพียงพอที่จะอธิบายลักษณะร่าง

เส้นหัก A 1 A 2 ... A n คือตัวเลขที่ประกอบด้วยจุด A 1, A 2, ... A n และส่วน A 1 A 2, A 2 A 3, ... เชื่อมต่อกัน จุดต่างๆ เรียกว่าจุดยอดของโพลิไลน์ และส่วนต่างๆ เรียกว่า ลิงก์ของโพลิไลน์ (รูปที่ 1)

เส้นที่ขาดจะเรียกว่าง่ายถ้าไม่มีจุดตัดกัน (รูปที่ 2,3)

เส้นขาดเรียกว่าปิดถ้าปลายตรง ความยาวของเส้นหักคือผลรวมของความยาวของเส้นเชื่อม (รูปที่ 4)

เส้นหักแบบปิดอย่างง่ายเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมถ้าลิงก์ที่อยู่ติดกันไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (รูปที่ 5)

แทนที่ตัวเลขเฉพาะในคำว่า "รูปหลายเหลี่ยม" แทนส่วน "หลาย" เช่น 3 คุณจะได้รูปสามเหลี่ยม หรือ 5. จากนั้น - ห้าเหลี่ยม โปรดทราบว่ามีหลายมุมเท่าที่มีด้าน ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงเรียกว่าพหุภาคีได้

จุดยอดของโพลิไลน์เรียกว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม และลิงก์ของโพลิไลน์เรียกว่าด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน: ภายในและภายนอก (รูปที่ 6)

รูปหลายเหลี่ยมระนาบหรือพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมเป็นส่วนจำกัดของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม

จุดยอดสองจุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ปลายด้านเดียวกันเรียกว่าเพื่อนบ้าน จุดยอดที่ไม่สิ้นสุดด้านใดด้านหนึ่งไม่อยู่ติดกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด n จุด และด้าน n ด้านจึงเรียกว่า n-gon

แม้ว่าจำนวนด้านที่น้อยที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมคือ 3 แต่สามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อถึงกัน สามารถสร้างรูปร่างอื่นๆ ได้ ซึ่งในทางกลับกันก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมเช่นกัน

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่ไม่ใช่ข้างเคียงของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าเส้นทแยงมุม

รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากอยู่ในระนาบเดียวเมื่อเทียบกับเส้นใด ๆ ที่มีด้านข้าง ในกรณีนี้ เส้นตรงนั้นถือเป็นส่วนหนึ่งของระนาบ

มุมของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่เกิดขึ้นจากด้านที่บรรจบกันที่จุดยอดนั้น

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทกันเถอะ (บนผลรวมของมุมของนูน n-gon): ผลรวมของมุมของนูน n-gon เท่ากับ 180 0 *(n - 2)

การพิสูจน์. ในกรณีที่ n=3 ทฤษฎีบทถูกต้อง ให้ А 1 А 2 …А n เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่กำหนด และ n>3 ลองวาดเส้นทแยงมุมลงไป (จากจุดสุดยอดหนึ่งจุด) เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมมีลักษณะนูน เส้นทแยงมุมเหล่านี้จึงแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยม n - 2 รูป ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยมจะเท่ากับผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมทั้งหมดนี้ ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมแต่ละรูปคือ 180 0 และจำนวนของสามเหลี่ยมเหล่านี้คือ n - 2 ดังนั้น ผลรวมของมุมนูน n - มุม A 1 A 2 ... A n คือ 180 0 * ( น - 2). ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

มุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนที่จุดยอดที่กำหนดคือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดนั้น

รูปหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติถ้าทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน

ดังนั้นสี่เหลี่ยมจตุรัสสามารถเรียกต่างกันได้ - สี่เหลี่ยมปกติ สามเหลี่ยมด้านเท่าก็ปกติเช่นกัน ตัวเลขดังกล่าวเป็นที่สนใจของปรมาจารย์ผู้ตกแต่งอาคารมาเป็นเวลานาน พวกเขาทำลวดลายที่สวยงามเช่นบนปาร์เก้ แต่ไม่สามารถใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมดเพื่อสร้างปาร์เก้ได้ ไม้ปาร์เก้ไม่สามารถขึ้นรูปจากแปดเหลี่ยมปกติได้ ความจริงก็คือพวกมันมีมุมแต่ละมุมเท่ากับ 135 0 และถ้าจุดใดเป็นจุดยอดของสองรูปแปดเหลี่ยมดังกล่าว พวกมันจะมี 270 0 0 และไม่มีที่สำหรับแปดเหลี่ยมที่สามที่จะพอดี: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0 แต่เพียงพอสำหรับสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะพับไม้ปาร์เก้จากแปดเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมปกติ

ดวงดาวนั้นถูกต้อง ดาวห้าแฉกของเราคือดาวห้าแฉกปกติ และถ้าคุณหมุนสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดศูนย์กลาง 45 0 คุณจะได้ดาวแปดเหลี่ยมปกติ

1 กลุ่ม

เส้นหักคืออะไร? อธิบายว่าจุดยอดและจุดเชื่อมโยงของโพลิไลน์คืออะไร

เส้นไหนแตกเรียกว่าง่าย?

เส้นไหนแตกเรียกว่าปิด?

รูปหลายเหลี่ยมคืออะไร? จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าอะไร ด้านใดของรูปหลายเหลี่ยม?

2 กลุ่ม

รูปหลายเหลี่ยมแบนคืออะไร? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยม

เอ็นกอนคืออะไร?

อธิบายว่าจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมใดอยู่ติดกันและจุดใดไม่ใช่

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

3 กลุ่ม

รูปหลายเหลี่ยมนูนคืออะไร?

อธิบายมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นภายนอกและภายใน?

รูปหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร? ยกตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยมปกติ

4 กลุ่ม

ผลรวมของมุมของนูน n-gon คืออะไร? พิสูจน์สิ.

นักเรียนทำงานกับข้อความค้นหาคำตอบสำหรับคำถามที่โพสต์หลังจากนั้นจึงสร้างกลุ่มผู้เชี่ยวชาญซึ่งงานจะดำเนินการในประเด็นเดียวกัน: นักเรียนเน้นสิ่งสำคัญวาดนามธรรมสนับสนุนนำเสนอข้อมูลในหนึ่งใน แบบฟอร์มกราฟิก เมื่อเลิกงาน นักเรียนกลับไปที่กลุ่มงานของตน

3. ระยะสะท้อน -

ก) การประเมินความรู้ ท้าทายความรู้ขั้นต่อไป

ข) ความเข้าใจและการจัดสรรข้อมูลที่ได้รับ

แผนกต้อนรับ: งานวิจัย

รูปแบบการทำงาน บุคคล->คู่->กลุ่ม

คณะทำงานเป็นผู้เชี่ยวชาญในการตอบคำถามแต่ละส่วน

กลับไปที่คณะทำงาน ผู้เชี่ยวชาญแนะนำสมาชิกคนอื่นๆ ในกลุ่มพร้อมคำตอบสำหรับคำถามของพวกเขา ในกลุ่มมีการแลกเปลี่ยนข้อมูลของสมาชิกทุกคนในคณะทำงาน ดังนั้นในแต่ละคณะทำงานด้วยผลงานของผู้เชี่ยวชาญจึงมีการสร้างแนวคิดทั่วไปในหัวข้อที่อยู่ระหว่างการศึกษา

ผลงานวิจัยของนักศึกษา-กรอกตาราง.

รูปหลายเหลี่ยมปกติ	การวาดภาพ	จำนวนด้าน	จำนวนยอด	ผลรวมของมุมภายในทั้งหมด	องศา วัด int. มุม	องศาการวัดมุมภายนอก	จำนวนเส้นทแยงมุม
ก) สามเหลี่ยม
B) รูปสี่เหลี่ยม
B) ห้าผนัง
D) หกเหลี่ยม
จ) น-กอน

การแก้ปัญหาที่น่าสนใจในหัวข้อบทเรียน

• ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ให้ลากเส้นหนึ่งเพื่อแบ่งออกเป็นสามสามเหลี่ยม
• รูปหลายเหลี่ยมปกติมีกี่ด้าน แต่ละมุมมีมุมภายในเท่ากับ 135 0 ?
• ในบางรูปหลายเหลี่ยม มุมภายในทั้งหมดมีค่าเท่ากัน ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนี้สามารถเป็น: 360 0 , 380 0 ?

สรุปบทเรียน. บันทึกการบ้าน.