บ้าน > วิศวกรรมเครื่องกล

ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 2 วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย แต่สำหรับตัวเลขสองตัวหรือมากกว่า

จะหาตัวคูณร่วมน้อยได้อย่างไร?

    จำเป็นต้องหาตัวประกอบของตัวเลขแต่ละตัวแต่ละตัวที่เราหาตัวคูณร่วมน้อย จากนั้นคูณตัวประกอบที่ใกล้เคียงกับตัวเลขตัวแรกและตัวที่สองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์จะเป็นผลคูณที่ต้องการ

    ตัวอย่างเช่น เรามีตัวเลข 3 และ 5 และเราต้องหา LCM (ตัวคูณร่วมน้อย) เรา ต้องทวีคูณและสามและห้า สำหรับตัวเลขทั้งหมดตั้งแต่ 1 2 3 ...และอื่นๆ จนกว่าเราจะเห็น เบอร์เดียวกันที่นี่และที่นั่น.

    เราคูณสามและรับ: 3, 6, 9, 12, 15

    คูณห้าและรับ: 5, 10, 15

    วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะเป็นวิธีที่คลาสสิกที่สุดในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวนหลายตัว วิธีนี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนและเรียบง่ายในวิดีโอต่อไปนี้:

    บวก คูณ หาร ลดทอน เป็นตัวส่วนร่วมและอื่นๆ การดำเนินการเลขคณิตกิจกรรมที่น่าตื่นเต้นมากโดยเฉพาะตัวอย่างที่ครอบครองทั้งแผ่น

    ดังนั้นจงหาตัวคูณร่วมของตัวเลขสองตัว ซึ่งจะเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดโดยที่ตัวเลขสองตัวหารลงตัว ฉันต้องการทราบว่าไม่จำเป็นต้องใช้สูตรในอนาคตเพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการหากคุณสามารถนับในใจ (และสิ่งนี้สามารถฝึกฝนได้) ตัวเลขก็ปรากฏขึ้นในหัวของคุณแล้ว เศษส่วนคลิกเหมือนถั่ว

    ในการเริ่มต้น เราจะเรียนรู้ว่าเราสามารถคูณตัวเลขสองตัวเข้าด้วยกัน จากนั้นลดตัวเลขนี้แล้วหารสลับกันด้วยตัวเลขสองตัวนี้ ดังนั้นเราจะหาตัวคูณที่เล็กที่สุด

    ตัวอย่างเช่น เลขสองตัว 15 และ 6 เราคูณแล้วได้ 90 นี่ชัดเจน จำนวนมากขึ้น. ยิ่งกว่านั้น 15 หารด้วย 3 ลงตัวและ 6 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าเราหาร 90 ด้วย 3 ได้ 30 เราพยายามหาร 30 ด้วย 15 เป็น 2 และ 30 หาร 6 ได้ 5 เนื่องจาก 2 เป็นลิมิต ปรากฎว่าตัวคูณที่เล็กที่สุดสำหรับตัวเลข 15 และ 6 จะเป็น 30

    ด้วยจำนวนที่มากขึ้นก็จะยากขึ้นเล็กน้อย แต่ถ้าคุณรู้ว่าตัวเลขใดให้เศษศูนย์เมื่อหารหรือคูณ ตามหลักการแล้ว ไม่มีปัญหาใหญ่

  • วิธีค้นหา NOC

    นี่คือวิดีโอที่จะแสดงให้คุณเห็นสองวิธีในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) การฝึกโดยใช้วิธีแรกที่เสนอ คุณจะเข้าใจได้ดีขึ้นว่าตัวคูณร่วมน้อยคืออะไร

    • นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการหาตัวคูณร่วมน้อย ลองมาดูตัวอย่างเชิงประกอบกัน

    จำเป็นต้องค้นหา LCM ของตัวเลขสามตัวพร้อมกัน: 16, 20 และ 28

    • เราแสดงตัวเลขแต่ละตัวเป็นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ:
    • เราเขียนเลขยกกำลังของปัจจัยเฉพาะทั้งหมด:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • เราเลือกตัวหารเฉพาะทั้งหมด (ตัวคูณ) ที่มีดีกรีมากที่สุด คูณมันแล้วหาค่า LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16, 20, 28) = 560.

    ดังนั้นจากการคำนวณจึงได้หมายเลข 560 เป็นตัวคูณร่วมน้อยนั่นคือหารด้วยตัวเลขทั้งสามตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

    ตัวคูณร่วมน้อยคือจำนวนที่สามารถหารด้วยจำนวนที่เสนอหลายตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ในการคำนวณตัวเลขดังกล่าว คุณต้องนำตัวเลขแต่ละตัวมาแยกเป็นปัจจัยง่ายๆ ตัวเลขที่ตรงกันจะถูกลบออก ปล่อยให้ทุกคนทีละคน คูณพวกเขาและได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ - ตัวคูณร่วมน้อย

    NOC หรือ ตัวคูณร่วมน้อย, มีขนาดเล็กที่สุด ตัวเลขธรรมชาติตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไปที่หารด้วยตัวเลขที่ระบุแต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

    ต่อไปนี้คือตัวอย่างวิธีหาตัวคูณร่วมน้อยของ 30 และ 42

    • ขั้นตอนแรกคือการแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

    สำหรับ 30 จะเป็น 2 x 3 x 5

    สำหรับ 42 นี่คือ 2 x 3 x 7 เนื่องจาก 2 และ 3 อยู่ในการขยายจำนวน 30 เราจึงขีดฆ่า

    • เราเขียนปัจจัยที่รวมอยู่ในการขยายจำนวน 30 นี่คือ 2 x 3 x 5
    • ตอนนี้ คุณต้องคูณมันด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไป ซึ่งเรามีเมื่อสลายตัว 42 และนี่คือ 7 เราได้ 2 x 3 x 5 x 7
    • เราหาว่าเท่ากับ 2 x 3 x 5 x 7 แล้วได้ 210

    เป็นผลให้เราพบว่า LCM ของตัวเลข 30 และ 42 คือ 210

    การหาตัวคูณร่วมน้อยคุณต้องทำตามขั้นตอนง่ายๆ ตามลำดับ พิจารณาสิ่งนี้โดยใช้ตัวอย่างของตัวเลขสองตัว: 8 และ 12

    1. เราแบ่งตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 8=2*2*2 และ 12=3*2*2
    2. เราลดตัวคูณเดียวกันสำหรับตัวเลขตัวใดตัวหนึ่ง ในกรณีของเรา การจับคู่ 2 * 2 เราลดจำนวนลงเป็นหมายเลข 12 จากนั้น 12 จะมีปัจจัยหนึ่ง: 3
    3. หาผลคูณของตัวประกอบที่เหลือทั้งหมด: 2*2*2*3=24

    จากการตรวจสอบ เราแน่ใจว่า 24 หารด้วย 8 และ 12 ลงตัว และนี่คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัวลงตัว เราอยู่นี่ หาตัวคูณร่วมน้อย.

    ฉันจะพยายามอธิบายโดยใช้ตัวอย่างของตัวเลข 6 และ 8 ตัวคูณร่วมน้อยคือตัวเลขที่สามารถหารด้วยตัวเลขเหล่านี้ได้ (ในกรณีของเราคือ 6 และ 8) และจะไม่มีเศษเหลือ

    ดังนั้นเราจึงเริ่มคูณ 6 ด้วย 1, 2, 3 เป็นต้น และ 8 ด้วย 1, 2, 3 เป็นต้น

จำนวนธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดที่ตัวเลข a และ b หารโดยไม่มีเศษเรียกว่า ตัวหารร่วมมากสุดตัวเลขเหล่านี้ แสดงถึง GCD (a, b)

พิจารณาหา GCD โดยใช้ตัวอย่างตัวเลขธรรมชาติสองตัว 18 และ 60:

  • 1 ลองแยกตัวเลขออกเป็นปัจจัยเฉพาะ:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
  • 2 ลบปัจจัยทั้งหมดที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สองออกจากการขยายจำนวนแรกเราได้รับ 2×3×3 .
  • 3 เราคูณตัวประกอบเฉพาะที่เหลือหลังจากขีดฆ่าแล้วได้ตัวหารร่วมมากของจำนวน: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .
  • 4 โปรดทราบว่ามันไม่สำคัญจากตัวเลขตัวแรกหรือตัวที่สองที่เราขีดฆ่าตัวประกอบ ผลลัพธ์จะเหมือนกัน:
    18 = 2×3×3
    60 = 2×2×3×5
    • 324 , 111 และ 432

    มาแยกตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

    324 = 2×2×3×3×3×3

    111 = 3×37

    432 = 2×2×2×2×3×3×3

    ลบออกจากหมายเลขแรกปัจจัยที่ไม่ได้อยู่ในตัวเลขที่สองและสามเราได้รับ:

    2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

    อันเป็นผลมาจาก GCD( 324 , 111 , 432 )=3

    การหา GCD ด้วย Euclid's Algorithm

    วิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ อัลกอริทึมของยุคลิด. อัลกอริทึมของยุคลิดคือที่สุด วิธีที่มีประสิทธิภาพหา GCDเมื่อใช้คุณจะต้องค้นหาส่วนที่เหลือของการหารตัวเลขและนำไปใช้อย่างต่อเนื่อง สูตรกำเริบ.

    สูตรกำเริบสำหรับจีซีดี gcd(a, b)=gcd(b, ตัวดัดแปลง b)โดยที่ mod b คือเศษที่เหลือของการหาร a ด้วย b

    อัลกอริทึมของยุคลิด
    ตัวอย่าง ค้นหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข 7920 และ 594

    มาหา GCD( 7920 , 594 ) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด เราจะคำนวณส่วนที่เหลือของการหารโดยใช้เครื่องคิดเลข

  • จีซีดี( 7920 , 594 )
  • จีซีดี( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )
  • จีซีดี( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )
  • จีซีดี( 198 , 0 ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
    • 594 สมัย 198 = 594 - 3 × 198 = 0

      • เป็นผลให้เราได้รับ GCD( 7920 , 594 ) = 198

      ตัวคูณร่วมน้อย

      การหาตัวส่วนร่วมเมื่อบวกลบเศษส่วน ตัวหารที่แตกต่างกันต้องรู้และสามารถคำนวณได้ ตัวคูณร่วมน้อย(นพ.).

      ผลคูณของจำนวน "a" คือจำนวนที่หารด้วยตัวเลข "a" ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

      ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 8 (นั่นคือตัวเลขเหล่านี้จะถูกหารด้วย 8 โดยไม่มีเศษ): นี่คือตัวเลข 16, 24, 32 ...

      ทวีคูณของ 9: 18, 27, 36, 45…

      มีจำนวนทวีคูณของจำนวนที่กำหนดเป็นอนันต์ ตรงกันข้ามกับตัวหารของจำนวนเดียวกัน ตัวหาร - จำนวนจำกัด

      ผลคูณร่วมของจำนวนเต็มสองตัวคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้ลงตัว.

      ตัวคูณร่วมน้อย(LCM) ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองตัวขึ้นไปเป็นจำนวนธรรมชาติที่เล็กที่สุดที่หารด้วยจำนวนเหล่านี้แต่ละตัวลงตัวลงตัว

      วิธีค้นหา NOC

      LCM สามารถค้นหาและเขียนได้สองวิธี

      วิธีแรกในการค้นหา LCM

      วิธีนี้มักใช้สำหรับตัวเลขขนาดเล็ก

    1. เราเขียนทวีคูณสำหรับตัวเลขแต่ละตัวในบรรทัดจนกว่าจะมีตัวคูณที่เหมือนกันสำหรับตัวเลขทั้งสอง
    2. ตัวคูณของตัวเลข "a" จะแสดงด้วยตัวพิมพ์ใหญ่ "K"

    ตัวอย่าง. ค้นหา LCM 6 และ 8

    วิธีที่สองในการค้นหา LCM

    วิธีนี้สะดวกที่จะใช้เพื่อค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป

    จำนวนปัจจัยที่เหมือนกันในการขยายตัวเลขอาจแตกต่างกัน

  • ในการขยายจำนวนที่น้อยกว่า (ตัวเลขที่น้อยกว่า) ให้ขีดเส้นใต้ปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายจำนวนที่มากกว่า (ในตัวอย่างของเราคือ 2) และเพิ่มปัจจัยเหล่านี้ในการขยายจำนวนที่มากขึ้น
    LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
  • บันทึกผลงานในการตอบสนอง
    คำตอบ: LCM (24, 60) = 120

    • คุณยังสามารถกำหนดรูปแบบการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ได้ดังนี้ มาหา LCM (12, 16, 24) กันเถอะ

    24 = 2 2 2 3

    ดังที่คุณเห็นจากการขยายจำนวน ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 รวมอยู่ในการขยาย 24 (ตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด) ดังนั้นเราจึงเพิ่ม 2 ตัวจากการขยายหมายเลข 16 ไปที่ LCM เพียงตัวเดียว

    LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

    คำตอบ: LCM (12, 16, 24) = 48

    กรณีพิเศษในการค้นหา NOCs

  • หากตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งหารด้วยตัวอื่นลงตัว ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้จะเท่ากับตัวเลขนี้

    • ตัวอย่างเช่น LCM(60, 15) = 60
    เนื่องจากจำนวนโคไพรม์ไม่มีตัวหารเฉพาะร่วม ตัวคูณร่วมน้อยของพวกมันจึงเท่ากับผลคูณของจำนวนเหล่านี้

    บนเว็บไซต์ของเรา คุณยังสามารถใช้เครื่องคิดเลขพิเศษเพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยทางออนไลน์เพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ

    หากจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 ลงตัวเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

    จำนวนธรรมชาติใดๆ หารด้วย 1 กับตัวเองเสมอ

    เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น ส่วนจำนวนเฉพาะที่เหลือเป็นเลขคี่

    มีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก และจำนวนแรกในจำนวนนั้นคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย ในส่วน "เพื่อการศึกษา" คุณสามารถดาวน์โหลดตารางจำนวนเฉพาะได้ถึง 997

    แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากหารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ลงตัว

    • หมายเลข 12 หารด้วย 1 ลงตัว 2 คูณ 3 คูณ 4 คูณ 6 คูณ 12 ลงตัว
    • 36 หารด้วย 1 ลงตัว 2 คูณ 3 คูณ 4 หาร 6 หาร 12 ลงตัว 18 คูณ 36

      • ตัวเลขที่ตัวเลขหารลงตัว (สำหรับ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่าตัวหารของตัวเลข

      ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a เป็นจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวนที่กำหนด "a" โดยไม่มีเศษเหลือ

      จำนวนธรรมชาติที่มีตัวประกอบมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

      โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวหารร่วม เหล่านี้คือตัวเลข: 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของตัวเลขเหล่านี้คือ 12

      ตัวหารร่วมของตัวเลขสองตัวที่กำหนด "a" และ "b" คือจำนวนที่ทั้งตัวเลข "a" และ "b" ที่กำหนด ถูกหารโดยไม่เหลือเศษ

      ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด(gcd) ของสองตัวเลขที่กำหนด "a" และ "b" is จำนวนมากที่สุดโดยที่ทั้งตัวเลข "a" และ "b" จะหารโดยไม่มีเศษเหลือ

      โดยสังเขป ตัวหารร่วมมากของตัวเลข "a" และ "b" เขียนดังนี้:

      ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12 .

      ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"

      ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - ตัวเลข 1 ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่า coprime หมายเลข.

      Coprime หมายเลขเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว - เลข 1 GCD ของพวกเขาคือ 1

      วิธีหาตัวหารร่วมมาก

      ในการหา gcd ของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป คุณต้องมี:

    • แบ่งตัวหารของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

      • การคำนวณจะเขียนสะดวกโดยใช้แถบแนวตั้ง ทางด้านซ้ายของบรรทัด ให้เขียนเงินปันผลก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร เพิ่มเติมในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าส่วนตัว

      มาอธิบายกันทันทีด้วยตัวอย่าง ลองแยกตัวประกอบตัวเลข 28 และ 64 เป็นตัวประกอบเฉพาะกัน

      ขีดเส้นใต้ตัวประกอบเฉพาะตัวเดียวกันในตัวเลขทั้งสอง
      28 = 2 2 7

    64 = 2 2 2 2 2 2
    เราพบผลคูณของปัจจัยเฉพาะที่เหมือนกันและเขียนคำตอบลงไป
    GCD (28; 64) = 2 2 = 4

    คำตอบ: GCD (28; 64) = 4

    คุณสามารถจัดเรียงตำแหน่งของ GCD ได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ตามที่ทำด้านบน) หรือ "ในบรรทัด"

    วิธีแรกในการเขียน GCD

    ค้นหา GCD 48 และ 36

    GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

    วิธีที่สองในการเขียน GCD

    ตอนนี้ มาเขียนโซลูชันการค้นหา GCD ในบรรทัดกัน ค้นหา GCD 10 และ 15

    บนไซต์ข้อมูลของเรา คุณยังสามารถค้นหาตัวหารร่วมมากทางออนไลน์ได้ด้วยความช่วยเหลือของโปรแกรมผู้ช่วยเพื่อตรวจสอบการคำนวณของคุณ

    การหาตัวคูณร่วมน้อย วิธีการ ตัวอย่างการค้นหา LCM

    เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - Least Common Multiple, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง, ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM), และ ความสนใจเป็นพิเศษลองมาดูตัวอย่างกัน ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้ลองหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้นเราจะเน้นไปที่การหาค่า LCM ของสามและ มากกว่าตัวเลขและให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขติดลบ

    การนำทางหน้า

    การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

    วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนผ่านตัวหารร่วมมากที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น

    หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งสอง 126 และ 70

    ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ลองใช้ความสัมพันธ์ของ LCM กับ GCD แสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) นั่นคือ อันดับแรก เราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้น เราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนได้

    ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14

    ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630

    LCM คืออะไร (68, 34) ?

    เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัวจึง gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34:gcd(68, 34)= 68 34:34=68

    โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้เหมาะกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลข a หารด้วย b ลงตัว ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้คือ a

    การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ

    อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากจำนวนแฟคตอริ่งเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราแยกปัจจัยเฉพาะร่วมทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายจำนวนเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

    กฎที่ระบุสำหรับการค้นหา LCM ดังต่อไปนี้จากความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) เท่ากับผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนการหา gcd โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ ).

    ลองมาดูตัวอย่างกัน ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . มาสร้างผลิตภัณฑ์จากปัจจัยทั้งหมดของการขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของ 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050

    หลังจากแยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

    มาแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นปัจจัยเฉพาะกัน:

    เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .

    ตอนนี้ เรามาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้กัน: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยดังกล่าวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ดังนั้น LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100

    LCM(441, 700)= 44 100 .

    กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย หากเราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของตัวเลข b ไปยังตัวประกอบจากการขยายจำนวน a ค่าของผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b

    ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 สำหรับตัวประกอบ 3, 5 และ 5 จากการขยายตัวของจำนวน 75 เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการขยายตัวของหมายเลข 210 เราจะได้ผลคูณ 2 3 5 5 7 ค่าของซึ่งเป็น LCM(75 , 210) .

    หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

    ขั้นแรกเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกเขาดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการขยายตัวของหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการขยายตัวของหมายเลข 648 เราได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 , ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของตัวเลข 84 และ 648 คือ 4,536

    การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

    ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถพบได้โดยการหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างต่อเนื่อง จำทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

    ให้จำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , … , a k ให้มา, ตัวคูณร่วมน้อย m k ของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k-1 , a k) .

    พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว

    ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250

    อันดับแรก เราพบ ม. 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . ในการทำเช่นนี้โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd( 140, 9)=1 ดังนั้น LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . นั่นคือ ม. 2 =1 260 .

    ตอนนี้เราพบ m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมแบบยุคลิดด้วย: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780

    ยังคงพบ m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500

    ดังนั้นผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวนเดิมคือ 94,500

    LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

    ในหลายกรณี จะพบตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปได้อย่างสะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในขณะเดียวกันก็ควรยึดมั่นใน กฎถัดไป. ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวจะเท่ากับผลคูณ ซึ่งประกอบด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของจำนวนที่สอง บวกตัวประกอบทั้งหมดจากการบวกขยายของตัวเลขแรก ตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของ จำนวนที่สามจะถูกเพิ่มเข้ากับตัวประกอบที่ได้รับเป็นต้น

    พิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

    ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143

    ขั้นแรก เราได้รับการสลายตัวของตัวเลขเหล่านี้เป็นปัจจัยเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 เป็นจำนวนเฉพาะ มันเกิดขึ้นพร้อมกับการสลายตัวของปัจจัยสำคัญ) และ 143=11 13 .

    ในการหาค่า LCM ของตัวเลขเหล่านี้ สำหรับตัวประกอบของเลขตัวแรก 84 (คือ 2 , 2 , 3 และ 7) คุณต้องบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของเลขตัวที่สอง 6 การขยายตัวของหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไปเนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายตัวของหมายเลขแรก 84 . นอกจากตัวประกอบ 2, 2, 3 และ 7 แล้ว เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สาม 48 เราได้รับชุดของตัวประกอบ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยในชุดนี้ในขั้นตอนต่อไป เนื่องจาก 7 มีอยู่แล้วในชุดนี้ สุดท้ายนี้ ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 . ได้ผลลัพธ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048

    ดังนั้น LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048

    LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

    การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

    บางครั้งมีงานหลายอย่างที่คุณต้องค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข ซึ่งหนึ่งในจำนวนนั้น หลายตัวหรือทั้งหมดเป็นค่าลบ ในกรณีเหล่านี้ ตัวเลขติดลบทั้งหมดจะต้องแทนที่ด้วยตัวเลขตรงข้าม หลังจากนั้นจึงควรหา LCM ของจำนวนบวก นี่คือวิธีการหา LCM ของจำนวนลบ ตัวอย่างเช่น LCM(54, −34)=LCM(54, 34) และ LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888)

    เราสามารถทำได้เพราะเซตของทวีคูณของ a เหมือนกับเซตของทวีคูณของ −a (a และ −a เป็นจำนวนที่ตรงข้ามกัน) ที่จริงแล้ว ให้ b เป็นจำนวนเต็มของ a แล้ว b หารด้วย a ลงตัว และแนวคิดเรื่องการหารลงตัวยืนยันการมีอยู่ของจำนวนเต็ม q ที่ b=a q นั้น แต่ความเท่าเทียมกัน b=(−a)·(−q) จะเป็นจริงด้วย ซึ่งโดยอาศัยแนวคิดเรื่องการแบ่งแยกที่เหมือนกัน หมายความว่า b หารด้วย −a ลงตัว นั่นคือ b เป็นผลคูณของ −a คำสั่ง converse ก็เป็นจริงเช่นกัน: ถ้า b เป็นจำนวนทวีคูณของ −a แล้ว b ก็เป็นผลคูณของ a ด้วย

    หาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ −145 และ −45

    ลองแทนที่จำนวนลบ −145 และ −45 ด้วยตัวเลขตรงข้าม 145 และ 45 เรามี LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) เมื่อพิจารณาแล้ว gcd(145, 45)=5 (เช่น การใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด) เราคำนวณ LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มลบ −145 และ −45 คือ 1,305

    www.cleverstudents.ru

    เราเรียนต่อแผนก ในบทเรียนนี้ เราจะมาดูแนวคิดต่างๆ เช่น GCDและ NOC.

    GCDเป็นตัวหารร่วมมาก

    NOCเป็นตัวคูณร่วมน้อย

    หัวข้อค่อนข้างน่าเบื่อ แต่จำเป็นต้องเข้าใจ หากไม่เข้าใจหัวข้อนี้ คุณจะไม่สามารถทำงานกับเศษส่วนได้อย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นอุปสรรคสำคัญในวิชาคณิตศาสตร์

    ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

    คำนิยาม. ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข เอและ ข เอและ ขแบ่งโดยไม่เหลือเศษ.

    เพื่อให้เข้าใจคำจำกัดความนี้ดี เราจึงเปลี่ยนแทนตัวแปร เอและ ขตัวเลขสองตัวใด ๆ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร เอแทนที่ตัวเลข 12 และแทนที่ตัวแปร ขหมายเลข 9 ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความนี้:

    ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข 12 และ 9 เป็นจำนวนที่มากที่สุดโดยที่ 12 และ 9 แบ่งโดยไม่เหลือเศษ.

    จากคำจำกัดความที่เรากำลังพูดถึงตัวหารร่วมของตัวเลข 12 และ 9 นั้นชัดเจน และตัวหารนี้เป็นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดในบรรดาตัวหารที่มีอยู่ทั้งหมด ต้องพบตัวหารร่วมมากนี้ (gcd)

    ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนสองจำนวน จะใช้สามวิธี วิธีแรกค่อนข้างใช้เวลานาน แต่ช่วยให้คุณเข้าใจสาระสำคัญของหัวข้อได้ดีและเข้าใจความหมายทั้งหมด

    วิธีที่สองและสามค่อนข้างง่าย และทำให้สามารถค้นหา GCD ได้อย่างรวดเร็ว เราจะพิจารณาทั้งสามวิธี และสิ่งที่จะใช้ในทางปฏิบัติ - คุณเลือก

    วิธีแรกคือการหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขสองตัวและเลือกตัวที่ใหญ่ที่สุด ลองพิจารณาวิธีนี้ในตัวอย่างต่อไปนี้: หาตัวหารร่วมมากของจำนวน 12 และ 9.

    อันดับแรก เราหาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเลข 12 ในการทำเช่นนี้ เราแบ่ง 12 เป็นตัวหารทั้งหมดในช่วง 1 ถึง 12 หากตัวหารอนุญาตให้เราหาร 12 โดยไม่มีเศษ เราจะเน้นเป็นสีน้ำเงินและ ให้คำอธิบายที่เหมาะสมในวงเล็บ

    12: 1 = 12
    (12 หารด้วย 1 ไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    12: 2 = 6
    (12 หารด้วย 2 ไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 2 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    12: 3 = 4
    (12 หารด้วย 3 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    12: 4 = 3
    (12 หารด้วย 4 โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 4 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    12:5 = 2 (2 เหลือ)
    (12 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12: 6 = 2
    (12 หารด้วย 6 ไม่มีเศษ ดังนั้น 6 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    12: 7 = 1 (เหลือ 5)
    (12 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12: 8 = 1 (เหลือ 4 ตัว)
    (12 ไม่หารด้วย 8 ไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12:9 = 1 (เหลือ 3 ตัว)
    (12 ไม่หารด้วย 9 ไม่มีเศษ ดังนั้น 9 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12: 10 = 1 (2 เหลือ)
    (12 ไม่หารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 10 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12:11 = 1 (1 เหลือ)
    (12 ไม่หารด้วย 11 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 11 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 12)

    12: 12 = 1
    (12 หารด้วย 12 ไม่มีเศษ ดังนั้น 12 จึงเป็นตัวหารของ 12)

    ทีนี้ มาหาตัวหารของเลข 9 กัน โดยตรวจสอบตัวหารทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 9

    9: 1 = 9
    (9 หารด้วย 1 ไม่มีเศษ ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารของ 9)

    9: 2 = 4 (1 เหลือ)
    (9 ไม่หารด้วย 2 ไม่มีเศษ ดังนั้น 2 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9: 3 = 3
    (9 หารด้วย 3 ไม่มีเศษ ดังนั้น 3 จึงเป็นตัวหารของ 9)

    9: 4 = 2 (1 เหลือ)
    (9 หารด้วย 4 ไม่ได้โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 4 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9:5 = 1 (เหลือ 4 ตัว)
    (9 ไม่หารด้วย 5 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 5 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9: 6 = 1 (เหลือ 3 ตัว)
    (9 หารด้วย 6 ไม่ได้โดยไม่มีเศษเหลือ ดังนั้น 6 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9:7 = 1 (2 เหลือ)
    (9 ไม่หารด้วย 7 โดยไม่มีเศษ ดังนั้น 7 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9:8 = 1 (1 เหลือ)
    (9 ไม่หารด้วย 8 ไม่มีเศษ ดังนั้น 8 จึงไม่ใช่ตัวหารของ 9)

    9: 9 = 1
    (9 หารด้วย 9 ไม่มีเศษ ดังนั้น 9 จึงเป็นตัวหารของ 9)

    ตอนนี้เขียนตัวหารของตัวเลขทั้งสอง ตัวเลขที่เน้นสีน้ำเงินเป็นตัวหาร ลองเขียนออกมา:

    เมื่อเขียนตัวหารแล้ว คุณสามารถระบุได้ทันทีว่าตัวใดตัวที่ใหญ่ที่สุดและตัวหารร่วมมากที่สุด

    ตามคำจำกัดความ ตัวหารร่วมมากของ 12 และ 9 คือจำนวนที่ 12 และ 9 หารลงตัว ตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12 และ 9 คือเลข 3

    ทั้งเลข 12 และเลข 9 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    ดังนั้น gcd (12 และ 9) = 3

    วิธีที่สองในการค้นหา GCD

    ลองพิจารณาวิธีที่สองในการหาตัวหารร่วมมาก แก่นแท้ วิธีนี้คือการแยกตัวประกอบทั้งตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะและคูณตัวร่วม

    ตัวอย่างที่ 1. ค้นหา GCD ของตัวเลข 24 และ 18

    อันดับแรก ให้แยกตัวเลขทั้งสองเป็นตัวประกอบเฉพาะ:

    ตอนนี้เราคูณปัจจัยร่วมของพวกมันแล้ว เพื่อไม่ให้สับสน สามารถขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปได้

    เราดูที่การสลายตัวของหมายเลข 24 ปัจจัยแรกคือ 2 เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเห็นว่าอยู่ที่นั่นด้วย เราขีดเส้นใต้ทั้งสอง:

    เราดูที่การสลายตัวของหมายเลข 24 อีกครั้ง ตัวประกอบที่สองของมันคือ 2 เช่นกัน เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเห็นว่าไม่มีเป็นครั้งที่สอง แล้วเราไม่เน้นอะไรเลย

    สองตัวถัดไปในการขยายหมายเลข 24 ก็หายไปในการขยายหมายเลข 18 ด้วย

    เราส่งต่อไปยังปัจจัยสุดท้ายในการสลายตัวของหมายเลข 24 นี่คือปัจจัย 3 เรากำลังมองหาปัจจัยเดียวกันในการสลายตัวของหมายเลข 18 และเราเห็นว่ามันอยู่ที่นั่นด้วย เราเน้นทั้งสาม:

    ดังนั้น ตัวประกอบร่วมของตัวเลข 24 และ 18 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เพื่อให้ได้ GCD ปัจจัยเหล่านี้จะต้องคูณ:

    ดังนั้น gcd (24 และ 18) = 6

    วิธีที่สามในการค้นหา GCD

    ลองพิจารณาวิธีที่สามในการหาตัวหารร่วมมาก แก่นแท้ของวิธีนี้อยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขที่จะค้นหาตัวหารร่วมมากจะแบ่งออกเป็นปัจจัยเฉพาะ จากนั้น จากการสลายตัวของหมายเลขแรก ปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของหมายเลขที่สองจะถูกลบออก ตัวเลขที่เหลือในการขยายครั้งแรกจะถูกคูณและรับ GCD

    ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 28 และ 16 ด้วยวิธีนี้ ก่อนอื่น เราแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:

    เรามีส่วนขยายสองรายการ: และ

    จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมเจ็ด เราจะลบมันออกจากส่วนขยายแรก:

    ตอนนี้เราคูณปัจจัยที่เหลือและรับ GCD:

    หมายเลข 4 เป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 16 ตัวเลขทั้งสองนี้หารด้วย 4 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    ตัวอย่าง 2ค้นหา GCD ของตัวเลข 100 และ 40

    แยกตัวประกอบจำนวน 100

    แยกตัวประกอบตัวเลข40

    เรามีการขยายสองส่วน:

    จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมหนึ่งห้า (มีเพียงหนึ่งในห้า) เราลบออกจากการสลายตัวครั้งแรก

    คูณตัวเลขที่เหลือ:

    เราได้รับคำตอบว่า 20 ดังนั้นจำนวน 20 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 100 และ 40 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 20 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    GCD (100 และ 40) = 20

    ตัวอย่างที่ 3ค้นหา gcd ของตัวเลข 72 และ 128

    แยกตัวประกอบตัวเลข 72

    แยกตัวประกอบตัวเลข128

    2×2×2×2×2×2×2

    จากการขยายจำนวนแรก เราจะลบปัจจัยที่ไม่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขที่สอง การขยายจำนวนที่สองไม่รวมแฝดสอง (ไม่มีเลย) เราลบออกจากส่วนขยายแรก:

    เราได้รับคำตอบ 8 ดังนั้นหมายเลข 8 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 72 และ 128 ตัวเลขสองตัวนี้หารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    GCD (72 และ 128) = 8

    การหา GCD สำหรับตัวเลขหลายตัว

    ตัวหารร่วมมากสามารถพบได้สำหรับตัวเลขหลายตัว ไม่ใช่แค่สองตัว สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลขที่จะหาตัวหารร่วมมากที่สุดจะถูกแยกย่อยไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขเหล่านี้

    ตัวอย่างเช่น ลองหา GCD ของตัวเลข 18, 24 และ 36

    แยกตัวประกอบตัวเลข 18

    แยกตัวประกอบตัวเลข 24

    แยกตัวประกอบตัวเลข 36

    เรามีส่วนขยายสามรายการ:

    ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ปัจจัยทั่วไปจะต้องรวมอยู่ในตัวเลขทั้งสาม:

    เราเห็นว่าตัวประกอบร่วมของตัวเลข 18, 24 และ 36 คือตัวประกอบ 2 และ 3 โดยการคูณปัจจัยเหล่านี้ เราจะได้รับ GCD ที่เราต้องการ:

    เราได้รับคำตอบ 6 ดังนั้นหมายเลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 18, 24 และ 36 ตัวเลขทั้งสามนี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    GCD (18, 24 และ 36) = 6

    ตัวอย่าง 2ค้นหา gcd สำหรับตัวเลข 12, 24, 36 และ 42

    แยกตัวประกอบแต่ละจำนวนกัน จากนั้นเราจะหาผลคูณของตัวประกอบร่วมของตัวเลขเหล่านี้

    แยกตัวประกอบตัวเลข 12

    แยกตัวประกอบตัวเลข 42

    เรามีส่วนขยายสี่รายการ:

    ตอนนี้เราเลือกและขีดเส้นใต้ปัจจัยทั่วไปในตัวเลขเหล่านี้ ปัจจัยทั่วไปจะต้องรวมอยู่ในตัวเลขทั้งสี่:

    เราเห็นว่าปัจจัยร่วมของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 คือตัวประกอบ 2 และ 3 เมื่อนำปัจจัยเหล่านี้มาคูณกันแล้ว เราจะได้ GCD ที่เราต้องการ:

    เราได้รับคำตอบ 6 ดังนั้นหมายเลข 6 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของตัวเลข 12, 24, 36 และ 42 ตัวเลขเหล่านี้หารด้วย 6 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ:

    gcd(12, 24, 36 และ 42) = 6

    จากบทเรียนที่แล้ว เรารู้ว่าถ้าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งโดยไม่เหลือเศษ จะเรียกว่าจำนวนทวีคูณของจำนวนนี้

    ปรากฎว่าตัวคูณสามารถใช้ร่วมกับตัวเลขหลายตัวได้ และตอนนี้เราจะสนใจจำนวนทวีคูณของตัวเลขสองตัวในขณะที่มันควรจะเล็กที่สุด

    คำนิยาม. ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข เอและ ข- เอและ ข เอและหมายเลข ข.

    คำจำกัดความประกอบด้วยสองตัวแปร เอและ ข. ลองแทนที่ตัวเลขสองตัวใดๆ สำหรับตัวแปรเหล่านี้ ตัวอย่างเช่น แทนที่จะเป็นตัวแปร เอแทนเลข 9 แทนตัวแปร ขมาแทนเลข 12 กันดีกว่า ทีนี้ลองอ่านคำจำกัดความกัน:

    ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลข 9 และ 12 - นี้ จำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นผลคูณ 9 และ 12 . กล่าวอีกนัยหนึ่งมันเป็นจำนวนน้อยที่หารโดยไม่เหลือเศษ 9 และบนหมายเลข 12 .

    จากคำจำกัดความที่ชัดเจนคือ LCM เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วย 9 และ 12 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ จำเป็นต้องหา LCM นี้

    มีสองวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) วิธีแรกคือคุณสามารถเขียนผลคูณแรกของตัวเลขสองตัว และเลือกจากตัวคูณเหล่านี้ ซึ่งเป็นตัวเลขที่ใช้ได้กับทั้งตัวเลขและตัวพิมพ์เล็ก ลองใช้วิธีนี้กัน

    ก่อนอื่น ให้หาผลคูณแรกของเลข 9 กัน ในการหาผลคูณของ 9 คุณต้องคูณเก้านี้ด้วยตัวเลขจาก 1 ถึง 9 กัน คำตอบที่คุณได้รับจะเป็นผลคูณของเลข 9 ดังนั้น , เริ่มกันเลย. ทวีคูณจะถูกเน้นด้วยสีแดง:

    ตอนนี้เราพบตัวคูณสำหรับหมายเลข 12 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราคูณ 12 ด้วยตัวเลข 1 ถึง 12 ทั้งหมดตามลำดับ

    พิจารณาวิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้ ขั้นบันไดของเด็กชายคือ 75 ซม. และขั้นของหญิงสาวคือ 60 ซม. จำเป็นต้องหาระยะทางที่เล็กที่สุดซึ่งทั้งคู่จะใช้จำนวนก้าวเป็นจำนวนเต็ม

    การตัดสินใจ.เส้นทางทั้งหมดที่พวกมันจะผ่านไปต้องหารด้วย 60 และ 70 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ เนื่องจากแต่ละคนต้องใช้จำนวนก้าวเป็นจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง คำตอบจะต้องเป็นผลคูณของทั้ง 75 และ 60

    อันดับแรก เราจะเขียนผลคูณทั้งหมดสำหรับจำนวน 75 เราได้รับ:

    • 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

    ทีนี้ลองเขียนตัวเลขที่จะคูณ 60 กัน เราจะได้:

    • 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

    ตอนนี้เราพบตัวเลขที่อยู่ในทั้งสองแถว

    • ตัวคูณทั่วไปของตัวเลขจะเป็นตัวเลข 300, 600 เป็นต้น

    จำนวนที่น้อยที่สุดคือตัวเลข 300 ในกรณีนี้ จะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 60

    กลับสู่สภาพของปัญหา ระยะทางที่เล็กที่สุดที่ผู้ชายใช้จำนวนก้าวเป็นจำนวนเต็มคือ 300 ซม. เด็กชายไปทางนี้ 4 ก้าว และเด็กผู้หญิงจะต้องเดิน 5 ก้าว

    การหาตัวคูณร่วมน้อย

    • ผลคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติสองตัว a และ b คือจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของทั้ง a และ b

    ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสองตัว ไม่จำเป็นต้องเขียนตัวคูณทั้งหมดสำหรับตัวเลขเหล่านี้ในแถว

    คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้

    วิธีหาตัวคูณร่วมน้อย

    ก่อนอื่น คุณต้องแยกตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

    • 60 = 2*2*3*5,
    • 75=3*5*5.

    ทีนี้ลองเขียนปัจจัยทั้งหมดที่อยู่ในการขยายจำนวนแรก (2,2,3,5) แล้วบวกปัจจัยที่ขาดหายไปทั้งหมดจากการขยายตัวของหมายเลขที่สอง (5)

    เป็นผลให้เราได้รับชุดของจำนวนเฉพาะ: 2,2,3,5,5 ผลคูณของตัวเลขเหล่านี้จะเป็นปัจจัยร่วมน้อยที่สุดสำหรับตัวเลขเหล่านี้ 2*2*3*5*5 = 300.

    แบบแผนทั่วไปสำหรับการหาตัวคูณร่วมน้อย

    • 1. แบ่งตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ
    • 2. เขียนปัจจัยเฉพาะที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยเหล่านี้
    • 3. เพิ่มปัจจัยเหล่านี้ทั้งหมดที่อยู่ในการสลายตัวของส่วนที่เหลือ แต่ไม่ใช่ในปัจจัยที่เลือก
    • 4. ค้นหาผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เขียนออกมา

    วิธีนี้เป็นวิธีสากล สามารถใช้เพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนธรรมชาติจำนวนเท่าใดก็ได้

    เครื่องคำนวณออนไลน์ช่วยให้คุณค้นหาตัวหารร่วมมากสุดและตัวคูณร่วมน้อยของสองตัวหรือตัวเลขอื่นๆ ได้อย่างรวดเร็ว

    เครื่องคิดเลขสำหรับค้นหา GCD และ NOC

    ค้นหา GCD และ NOC

    พบ GCD และ NOC: 6433

    วิธีใช้เครื่องคิดเลข

    • ป้อนตัวเลขในช่องป้อนข้อมูล
    • กรณีใส่อักขระไม่ถูกต้อง ช่องป้อนข้อมูลจะถูกเน้นเป็นสีแดง
    • กดปุ่ม "ค้นหา GCD และ NOC"

    วิธีใส่ตัวเลข

    • ป้อนตัวเลขโดยคั่นด้วยช่องว่าง จุด หรือลูกน้ำ
    • ไม่จำกัดความยาวของตัวเลขที่กรอกดังนั้นการหา gcd และ lcm ของตัวเลขยาวจึงไม่ใช่เรื่องยาก

    NOD และ NOK คืออะไร?

    ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนหลายจำนวนเป็นจำนวนเต็มธรรมชาติที่ใหญ่ที่สุดโดยที่ตัวเลขเดิมทั้งหมดหารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวหารร่วมมาก ย่อว่า GCD.
    ตัวคูณร่วมน้อยตัวเลขหลายตัวเป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่หารด้วยตัวเลขเดิมแต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวคูณร่วมน้อยสุดมีตัวย่อว่า NOC.

    จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าตัวเลขอื่นหารด้วยตัวเลขอื่นโดยไม่มีเศษเหลือได้อย่างไร?

    หากต้องการทราบว่าจำนวนหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือหรือไม่ คุณสามารถใช้คุณสมบัติบางอย่างของการหารตัวเลขได้ จากนั้น เมื่อรวมพวกมันเข้าด้วยกัน เราสามารถตรวจสอบการหารด้วยตัวหารบางตัวและการรวมกันได้

    สัญญาณบางอย่างของการหารตัวเลข

    1. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 2
    ในการพิจารณาว่าตัวเลขหารด้วยสองหารลงตัวหรือไม่ (เป็นเลขคู่) ก็เพียงพอแล้วที่จะดูหลักสุดท้ายของตัวเลขนี้: หากมีค่าเท่ากับ 0, 2, 4, 6 หรือ 8 ตัวเลขจะเป็นคู่ ซึ่งหมายความว่าหารด้วย 2 ลงตัว
    ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่
    การตัดสินใจ:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายถึงตัวเลขที่หารด้วยสองลงตัว

    2. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 3
    จำนวนหารด้วย 3 ลงตัวเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 3 ลงตัว ดังนั้น ในการพิจารณาว่าตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ คุณจำเป็นต้องคำนวณผลรวมของตัวเลขและตรวจสอบว่าหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่ แม้ว่าผลรวมของหลักจะมากขนาดนั้น คุณก็สามารถทำซ้ำขั้นตอนเดิมได้ อีกครั้ง.
    ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
    การตัดสินใจ:เรานับผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27. 27 หารด้วย 3 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วยสามลงตัว

    3. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 5
    ตัวเลขหารด้วย 5 ลงตัวเมื่อหลักสุดท้ายของมันคือศูนย์หรือห้า
    ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าจำนวน 34938 หารด้วย 5 ลงตัวหรือไม่
    การตัดสินใจ:ดูที่หลักสุดท้าย: 8 หมายถึงตัวเลขหารด้วยห้าไม่ลงตัว

    4. เครื่องหมายของการหารตัวเลขด้วย 9
    เครื่องหมายนี้คล้ายกับเครื่องหมายของการหารด้วยสามมาก: ตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัวเมื่อผลรวมของหลักหารด้วย 9 ลงตัว
    ตัวอย่าง:ตรวจสอบว่าตัวเลข 34938 หารด้วย 9 ลงตัวหรือไม่
    การตัดสินใจ:เราคำนวณผลรวมของตัวเลข: 3+4+9+3+8 = 27. 27 หารด้วย 9 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าตัวเลขนั้นหารด้วยเก้าลงตัว

    วิธีค้นหา GCD และ LCM ของตัวเลขสองตัว

    วิธีหา GCD ของตัวเลขสองตัว

    ที่สุด ด้วยวิธีง่ายๆการคำนวณตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวนั้น ให้หาตัวหารที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวเลขเหล่านั้น และเลือกตัวที่มากที่สุด

    พิจารณาวิธีนี้โดยใช้ตัวอย่างการหา GCD(28, 36) :

    1. เราแยกตัวประกอบตัวเลขทั้งสอง: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
    2. เราพบตัวประกอบร่วม นั่นคือ ตัวประกอบที่ทั้งสองจำนวนมี: 1, 2 และ 2
    3. เราคำนวณผลคูณของปัจจัยเหล่านี้: 1 2 2 \u003d 4 - นี่คือตัวหารร่วมมากของตัวเลข 28 และ 36

    วิธีหา LCM ของตัวเลขสองตัว

    มีสองวิธีที่พบบ่อยที่สุดในการหาผลคูณที่เล็กที่สุดของตัวเลขสองตัว วิธีแรกคือคุณสามารถเขียนผลคูณแรกของตัวเลขสองจำนวนจากนั้นเลือกตัวเลขที่จะเหมือนกันกับตัวเลขทั้งสองและในเวลาเดียวกันก็น้อยที่สุด และอย่างที่สองคือการหา GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ลองพิจารณาดู

    ในการคำนวณ LCM คุณต้องคำนวณผลคูณของตัวเลขดั้งเดิมแล้วหารด้วย GCD ที่พบก่อนหน้านี้ มาหา LCM สำหรับตัวเลข 28 และ 36 กัน:

    1. ค้นหาผลคูณของตัวเลข 28 และ 36: 28 36 = 1008
    2. gcd(28, 36) เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าเป็น4
    3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

    การหา GCD และ LCM สำหรับตัวเลขหลายตัว

    ตัวหารร่วมมากสามารถพบได้สำหรับตัวเลขหลายตัว ไม่ใช่แค่สองตัว สำหรับสิ่งนี้ ตัวเลขที่จะหาตัวหารร่วมมากที่สุดจะถูกแยกย่อยไปเป็นตัวประกอบเฉพาะ จากนั้นจึงหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะร่วมของตัวเลขเหล่านี้ นอกจากนี้ ในการหา GCD ของตัวเลขหลายตัว คุณสามารถใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

    ความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันยังนำไปใช้กับผลคูณร่วมน้อยของตัวเลข: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

    ตัวอย่าง:ค้นหา GCD และ LCM สำหรับตัวเลข 12, 32 และ 36

    1. ขั้นแรก ให้แยกตัวประกอบตัวเลข: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
    2. มาหาตัวประกอบร่วม: 1, 2 และ 2
    3. ผลิตภัณฑ์ของพวกเขาจะให้ gcd: 1 2 2 = 4
    4. ตอนนี้ มาหา LCM: สำหรับสิ่งนี้ เราพบ LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 ก่อน
    5. ในการหา LCM ของตัวเลขทั้งสาม คุณต้องหา GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
    6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

    เนื้อหาที่นำเสนอด้านล่างนี้เป็นความต่อเนื่องทางตรรกะของทฤษฎีจากบทความภายใต้หัวข้อ LCM - ตัวคูณ คำจำกัดความ ตัวอย่าง ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ที่พบได้บ่อยน้อยที่สุด เราจะพูดถึง การหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM)และให้ความสนใจเป็นพิเศษกับการแก้ตัวอย่าง ก่อนอื่นให้เราแสดงวิธีคำนวณ LCM ของตัวเลขสองตัวในแง่ของ GCD ของตัวเลขเหล่านี้ ต่อไป ให้ลองหาตัวคูณร่วมน้อยโดยแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ หลังจากนั้น เราจะเน้นไปที่การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป และให้ความสนใจกับการคำนวณ LCM ของตัวเลขติดลบด้วย

    การนำทางหน้า

    การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

    วิธีหนึ่งในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ความสัมพันธ์ที่มีอยู่ระหว่าง LCM และ GCD ช่วยให้คุณสามารถคำนวณผลคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนผ่านตัวหารร่วมมากที่ทราบ สูตรที่สอดคล้องกันมีรูปแบบ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . พิจารณาตัวอย่างการหา LCM ตามสูตรข้างต้น

    ตัวอย่าง.

    หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขทั้งสอง 126 และ 70

    การตัดสินใจ.

    ในตัวอย่างนี้ a=126 , b=70 ให้เราใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง LCM และ GCD ที่แสดงโดยสูตร LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). นั่นคือ อันดับแรก เราต้องหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข 70 และ 126 หลังจากนั้น เราสามารถคำนวณ LCM ของตัวเลขเหล่านี้ตามสูตรที่เขียนได้

    ค้นหา gcd(126, 70) โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 ดังนั้น gcd(126, 70)=14

    ตอนนี้เราพบตัวคูณร่วมน้อยที่จำเป็น: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

    ตอบ:

    LCM(126, 70)=630 .

    ตัวอย่าง.

    LCM คืออะไร (68, 34) ?

    การตัดสินใจ.

    เนื่องจาก 68 หารด้วย 34 ลงตัวแล้ว gcd(68, 34)=34 ตอนนี้เราคำนวณตัวคูณร่วมน้อย: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

    ตอบ:

    LCM(68, 34)=68 .

    โปรดทราบว่าตัวอย่างก่อนหน้านี้เหมาะกับกฎต่อไปนี้ในการค้นหา LCM สำหรับจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าตัวเลข a หารด้วย b ลงตัว ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้ก็คือ a

    การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบสำคัญ

    อีกวิธีในการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยพิจารณาจากจำนวนแฟคตอริ่งเป็นตัวประกอบเฉพาะ หากเราสร้างผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขเหล่านี้ หลังจากนั้นเราแยกปัจจัยเฉพาะร่วมทั้งหมดที่มีอยู่ในการขยายจำนวนเหล่านี้ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ ผลคูณที่ได้จะเท่ากับผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

    กฎที่ประกาศในการหา LCM เป็นไปตามความเท่าเทียมกัน LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). ผลคูณของจำนวน a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายจำนวน a และ b ในทางกลับกัน gcd(a, b) เท่ากับผลคูณของปัจจัยเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการขยายตัวเลข a และ b (ซึ่งอธิบายไว้ในส่วนการหา gcd โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ ).

    ลองมาดูตัวอย่างกัน ให้เรารู้ว่า 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 . มาสร้างผลิตภัณฑ์จากปัจจัยทั้งหมดของการขยายเหล่านี้: 2 3 3 5 5 5 7 . ตอนนี้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่ออกจากผลิตภัณฑ์นี้ทั้งในการขยายหมายเลข 75 และในการขยายหมายเลข 210 (ปัจจัยดังกล่าวคือ 3 และ 5) จากนั้นผลิตภัณฑ์จะอยู่ในรูปแบบ 2 3 5 5 7 . ค่าของผลิตภัณฑ์นี้เท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข 75 และ 210 นั่นคือ LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

    ตัวอย่าง.

    หลังจากแยกตัวประกอบตัวเลข 441 และ 700 เป็นตัวประกอบเฉพาะแล้ว ให้หาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขเหล่านี้

    การตัดสินใจ.

    มาแยกตัวเลข 441 และ 700 เป็นปัจจัยเฉพาะกัน:

    เราได้ 441=3 3 7 7 และ 700=2 2 5 5 7 .

    ตอนนี้ เรามาสร้างผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขเหล่านี้กัน: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . ให้เราแยกปัจจัยทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในส่วนขยายทั้งสองออกจากผลิตภัณฑ์นี้ (มีเพียงปัจจัยดังกล่าวเท่านั้น - นี่คือหมายเลข 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . ดังนั้น, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

    ตอบ:

    LCM(441, 700)= 44 100 .

    กฎสำหรับการค้นหา LCM โดยใช้การสลายตัวของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะสามารถกำหนดได้แตกต่างกันเล็กน้อย หากเราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของตัวเลข b เข้ากับตัวประกอบจากการขยายตัวของจำนวน a ค่าของผลลัพธ์ที่ได้จะเท่ากับตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลข a และ b.

    ตัวอย่างเช่น ลองหาตัวเลขเดียวกันทั้งหมด 75 และ 210 การขยายออกเป็นปัจจัยเฉพาะดังนี้ 75=3 5 5 และ 210=2 3 5 7 สำหรับตัวประกอบ 3, 5 และ 5 จากการสลายตัวของหมายเลข 75 เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 210 เราจะได้ผลคูณ 2 3 5 5 7 ค่าของมันคือ LCM(75 , 210) .

    ตัวอย่าง.

    หาตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

    การตัดสินใจ.

    ขั้นแรกเราได้รับการสลายตัวของตัวเลข 84 และ 648 เป็นปัจจัยเฉพาะ พวกเขาดูเหมือน 84=2 2 3 7 และ 648=2 2 2 3 3 3 3 สำหรับปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 จากการสลายตัวของหมายเลข 84 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 2 , 3 , 3 และ 3 จากการสลายตัวของหมายเลข 648 เราจะได้ผลิตภัณฑ์ 2 2 2 3 3 3 3 7 , ซึ่งเท่ากับ 4 536 . ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการของตัวเลข 84 และ 648 คือ 4,536

    ตอบ:

    LCM(84, 648)=4 536 .

    การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

    ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปสามารถพบได้โดยการหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างต่อเนื่อง จำทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกัน ซึ่งให้วิธีการหา LCM ของตัวเลขสามตัวขึ้นไป

    ทฤษฎีบท.

    ให้จำนวนเต็มบวก a 1 , a 2 , … , a k ให้มา, ตัวคูณร่วมน้อย m k ของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k-1 , a k) .

    พิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้กับตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่ตัว

    ตัวอย่าง.

    ค้นหา LCM ของตัวเลขสี่ตัว 140 , 9 , 54 และ 250

    การตัดสินใจ.

    ในตัวอย่างนี้ a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250

    ก่อนอื่นเราพบว่า ม. 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). ในการทำเช่นนี้โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเรากำหนด gcd(140, 9) เรามี 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 ดังนั้น gcd( 140, 9)=1 , เหตุใด LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . นั่นคือ ม. 2 =1 260 .

    ตอนนี้เราพบว่า ม. 3 \u003d LCM (ม. 2, ก 3) \u003d LCM (1 260, 54). ลองคำนวณผ่าน gcd(1 260, 54) ซึ่งกำหนดโดยอัลกอริทึมแบบยุคลิดด้วย: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 จากนั้น gcd(1 260, 54)=18 ดังนั้น LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 นั่นคือ ม. 3 \u003d 3 780

    เหลือให้หา ม. 4 \u003d LCM (ม. 3, ก 4) \u003d LCM (3 780, 250). ในการทำเช่นนี้ เราพบ GCD(3 780, 250) โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 ดังนั้น gcd(3 780, 250)=10 ดังนั้น gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . นั่นคือ ม. 4 \u003d 94 500

    ดังนั้นผลคูณร่วมน้อยของตัวเลขสี่จำนวนเดิมคือ 94,500

    ตอบ:

    LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

    ในหลายกรณี จะพบตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขสามตัวขึ้นไปได้อย่างสะดวกโดยใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะของตัวเลขที่กำหนด ในกรณีนี้ ควรปฏิบัติตามกฎต่อไปนี้ ตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขหลายตัวจะเท่ากับผลคูณ ซึ่งประกอบด้วยตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของจำนวนที่สอง บวกตัวประกอบทั้งหมดจากการบวกขยายของตัวเลขแรก ตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของ จำนวนที่สามจะถูกเพิ่มเข้ากับตัวประกอบที่ได้รับเป็นต้น

    พิจารณาตัวอย่างการหาตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้การแยกตัวประกอบของตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

    ตัวอย่าง.

    ค้นหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขห้าตัว 84 , 6 , 48 , 7 , 143

    การตัดสินใจ.

    ขั้นแรก เราได้รับการขยายตัวเลขเหล่านี้เป็นปัจจัยเฉพาะ: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 ปัจจัยเฉพาะ) และ 143=11 13

    ในการหา LCM ของตัวเลขเหล่านี้ ไปจนถึงตัวประกอบของเลขตัวแรก 84 (คือ 2 , 2 , 3 และ 7 ) คุณต้องบวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากการขยายตัวของเลขตัวที่สอง 6 การขยายตัวของหมายเลข 6 ไม่มีปัจจัยที่ขาดหายไปเนื่องจากทั้ง 2 และ 3 มีอยู่แล้วในการขยายตัวของหมายเลขแรก 84 . นอกจากตัวประกอบ 2, 2, 3 และ 7 แล้ว เราบวกตัวประกอบที่ขาดหายไป 2 และ 2 จากการขยายตัวของตัวเลขที่สาม 48 เราได้รับชุดของตัวประกอบ 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 ไม่จำเป็นต้องเพิ่มปัจจัยในชุดนี้ในขั้นตอนต่อไป เนื่องจาก 7 มีอยู่แล้วในชุดนี้ สุดท้ายนี้ ปัจจัย 2 , 2 , 2 , 2 , 3 และ 7 เราบวกปัจจัยที่ขาดหายไป 11 และ 13 จากการขยายตัวของจำนวน 143 . ได้ผลลัพธ์ 2 2 2 2 3 7 11 13 ซึ่งเท่ากับ 48 048

    นอกจากนี้เรายังแนะนำ

    กำลังโหลด...กำลังโหลด...