Formeln för maximal strömstyrka i oscillerande krets. Oscillerande krets

Ett elektromagnetiskt fält kan också existera i frånvaro av elektriska laddningar eller strömmar: det är just sådana "självförsörjande" elektriska och magnetiska fält som representerar elektromagnetiska vågor som inkluderar synligt ljus, infrarött, ultraviolett och röntgenstrålning, radiovågor etc.

§ 25. Oscillerande krets

Det enklaste systemet i vilket naturliga elektromagnetiska svängningar är möjliga är den så kallade oscillerande kretsen, bestående av en kondensator och en induktor kopplade till varandra (fig. 157). Liksom en mekanisk oscillator, till exempel en massiv kropp på en elastisk fjäder, åtföljs naturliga svängningar i kretsen av energiomvandlingar.

Ris. 157. Oscillerande krets

Analogi mellan mekaniska och elektromagnetiska svängningar. För en oscillerande krets är analogen av den potentiella energin hos en mekanisk oscillator (till exempel den elastiska energin hos en deformerad fjäder) energin från det elektriska fältet i en kondensator. En analog till den kinetiska energin hos en rörlig kropp är energin magnetiskt fält i induktorn. Faktum är att fjäderns energi är proportionell mot kvadraten på förskjutningen från jämviktspositionen, och kondensatorns energi är proportionell mot kvadraten på laddningen. Kroppens kinetiska energi är proportionell mot kvadraten på dess hastighet, och energin hos magnetfältet i spolen är proportionell mot kvadraten på strömmen.

Den totala mekaniska energin för fjäderoscillatorn E är lika med summan av de potentiella och kinetiska energierna:

Vibrationsenergi. På liknande sätt är den totala elektromagnetiska energin i en oscillerande krets lika med summan av energierna för det elektriska fältet i kondensatorn och det magnetiska fältet i spolen:

Av en jämförelse av formlerna (1) och (2) följer att analogen av fjäderoscillatorns styvhet k i oscillatorkretsen är det reciproka värdet av kapacitansen C, och analogen av massan är spolens induktans.

Kom ihåg att i ett mekaniskt system, vars energi ges av uttryck (1), kan egna odämpade övertonssvängningar förekomma. Kvadraten på frekvensen för sådana svängningar är lika med förhållandet mellan koefficienterna vid kvadraterna av förskjutning och hastighet i uttrycket för energi:

Egen frekvens. I en oscillerande krets, vars elektromagnetiska energi ges av uttrycket (2), kan egna odämpade övertonssvängningar förekomma, vars frekvenskvadrat också uppenbarligen är lika med förhållandet mellan motsvarande koefficienter (d.v.s. koefficienterna). vid kvadraterna av laddning och strömstyrka):

Från (4) följer uttrycket för oscillationsperioden, kallad Thomson-formeln:

Med mekaniska svängningar bestäms beroendet av förskjutningen x på tiden av en cosinusfunktion, vars argument kallas oscillationsfasen:

Amplitud och initial fas. Amplituden A och den initiala fasen a bestäms av de initiala förhållandena, d.v.s. värdena för förskjutningen och hastigheten vid

På samma sätt, med elektromagnetiska naturliga svängningar i kretsen, beror laddningen av kondensatorn på tiden enligt lagen

där frekvensen bestäms, i enlighet med (4), endast av egenskaperna hos själva kretsen, och amplituden av laddningssvängningarna och initialfasen a, som i fallet med en mekanisk oscillator, bestäms

initiala förhållanden, d.v.s. värdena på kondensatorns laddning och strömstyrkan vid Sålunda beror den naturliga frekvensen inte på metoden för excitation av svängningar, medan amplituden och initialfasen bestäms exakt av excitationsförhållandena .

Energiomvandlingar. Låt oss överväga mer i detalj energiomvandlingarna under mekaniska och elektromagnetiska svängningar. På fig. 158 visar schematiskt tillstånden för de mekaniska och elektromagnetiska oscillatorerna med tidsintervall på en kvarts period

Ris. 158. Energiomvandlingar under mekaniska och elektromagnetiska vibrationer

Två gånger under oscillationsperioden omvandlas energi från en form till en annan och vice versa. Den totala energin hos den oscillerande kretsen, liksom den totala energin hos den mekaniska oscillatorn, förblir oförändrad i frånvaro av förlust. För att verifiera detta är det nödvändigt att ersätta uttrycket (6) för och uttrycket för den aktuella styrkan i formel (2)

Med hjälp av formel (4) får vi

Ris. 159. Grafer över energin för kondensatorns elektriska fält och energin hos magnetfältet i spolen som funktion av kondensatorns laddningstid

Den konstanta totala energin sammanfaller med den potentiella energin vid de ögonblick då kondensatorns laddning är maximal, och sammanfaller med energin i spolens magnetfält - "kinetisk" energi - vid de ögonblick då kondensatorns laddning försvinner och strömmen är på sitt maximum. Under ömsesidiga transformationer gör två typer av energi harmoniska svängningar med samma amplitud i motfas med varandra och med en frekvens i förhållande till deras medelvärde. Detta är lätt att verifiera från fig. 158, och med hjälp av formler trigonometriska funktioner halva argumentet:

Grafer över beroendet av det elektriska fältets energi och magnetfältets energi på kondensatorns laddningstid visas i fig. 159 för den inledande fasen

De kvantitativa regelbundenheterna för naturliga elektromagnetiska svängningar kan fastställas direkt på grundval av lagarna för kvasistationära strömmar, utan att tillgripa analogin med mekaniska svängningar.

Ekvationen för svängningar i kretsen. Betrakta den enklaste oscillerande kretsen som visas i fig. 157. Vid förbikoppling av kretsen, till exempel moturs, är summan av spänningarna på induktorn och kondensatorn i en sådan sluten seriekrets noll:

Spänningen på kondensatorn är relaterad till plattans laddning och till kapacitansen. EMF självinduktion, så strömmen i kretsen är lika med förändringshastigheten för kondensatorns laddning:

Vi får nu uttryck (10) formen

Låt oss skriva om denna ekvation på ett annat sätt och per definition introducera:

Ekvation (12) sammanfaller med ekvationen harmoniska vibrationer mekanisk oscillator med egenfrekvens Lösningen av en sådan ekvation ges av den harmoniska (sinusformade) funktionen av tiden (6) med godtyckliga värden för amplituden och initialfasen a. Av detta följer alla ovanstående resultat avseende elektromagnetiska svängningar i kretsen.

Dämpning av elektromagnetiska svängningar. Hittills har vi diskuterat egenoscillationer i ett idealiserat mekaniskt system och en idealiserad LC-krets. Idealiseringen var att försumma friktionen i oscillatorn och det elektriska motståndet i kretsen. Endast i detta fall kommer systemet att vara konservativt och svängningsenergin kommer att bevaras.

Ris. 160. Oscillerande krets med motstånd

Redovisning av förlusten av energin från svängningar i kretsen kan utföras på samma sätt som det gjordes i fallet med en mekanisk oscillator med friktion. Närvaron av elektriskt motstånd hos spolen och anslutningstrådarna är oundvikligen förknippad med frigörandet av Joule-värme. Som tidigare kan detta motstånd ses som självständigt element i kopplingsschema oscillerande krets, med tanke på att spolen och ledningarna är idealiska (Fig. 160). När man överväger en kvasistationär ström i en sådan krets, i ekvation (10) är det nödvändigt att lägga till spänningen över resistansen

Ersätta in vi får

Introduktion av notationen

vi skriver om ekvation (14) i formen

Ekvation (16) för har exakt samma form som ekvationen för för vibrationer av en mekanisk oscillator med

friktion proportionell mot hastighet (viskös friktion). Därför, i närvaro av elektriskt motstånd i kretsen, uppstår elektromagnetiska svängningar enligt samma lag som de mekaniska svängningarna hos en oscillator med viskös friktion.

Förlust av vibrationsenergi. Precis som med mekaniska vibrationer är det möjligt att fastställa lagen om minskning med tiden för energin för naturliga vibrationer, genom att tillämpa Joule-Lenz-lagen för att beräkna den frigjorda värmen:

Som ett resultat, vid låg dämpning för tidsintervall som är mycket längre än svängningsperioden, visar sig minskningshastigheten i svängningsenergin vara proportionell mot själva energin:

Lösningen av ekvation (18) har formen

Energin från naturliga elektromagnetiska svängningar i en krets med resistans minskar exponentiellt.

Oscillationsenergin är proportionell mot kvadraten på deras amplitud. För elektromagnetiska svängningar följer detta till exempel av (8). Därför minskar amplituden för dämpade svängningar, i enlighet med (19), enligt lagen

Livstid för oscillationer. Som framgår av (20) minskar svängningarnas amplitud med en faktor 1 på en tid lika med, oberoende av amplitudens initiala värde. Denna tid x kallas svängningarnas livslängd, även om som kan ses från (20), fortsätter svängningarna formellt i det oändliga. I verkligheten är det naturligtvis vettigt att tala om svängningar bara så länge som deras amplitud överstiger det karakteristiska värdet för den termiska brusnivån i en given krets. Därför "lever" faktiskt svängningarna i kretsen under en begränsad tid, som dock kan vara flera gånger större än livstiden x som introducerats ovan.

Det är ofta viktigt att inte veta livslängden för själva svängningarna x, utan antalet kompletta svängningar som kommer att inträffa i kretsen under denna tid x. Detta tal multiplicerat med kallas kretsens kvalitetsfaktor.

Strängt taget är dämpade svängningar inte periodiska. Med en liten dämpning kan vi villkorligt tala om en period, som förstås som tidsintervallet mellan två

successiva maximala värden för laddningen av kondensatorn (med samma polaritet), eller maximala värden för strömmen (i en riktning).

Dämpningen av svängningarna påverkar perioden, vilket leder till att den ökar i jämförelse med det idealiserade fallet med ingen dämpning. Med låg dämpning är ökningen av svängningsperioden mycket obetydlig. Men med stark dämpning kan det inte finnas några svängningar alls: en laddad kondensator kommer att laddas ur periodiskt, d.v.s. utan att ändra riktningen på strömmen i kretsen. Så blir det med dvs med

Exakt lösning. Mönstren av dämpade svängningar formulerade ovan följer av den exakta lösningen av differentialekvationen (16). Genom direkt substitution kan man verifiera att den har formen

där är godtyckliga konstanter vars värden bestäms från de initiala förhållandena. För låg dämpning kan cosinusmultiplikatorn ses som en långsamt varierande oscillationsamplitud.

Uppgift

Laddar kondensatorer genom en induktor. I kretsen, vars diagram visas i fig. 161 är laddningen av den övre kondensatorn lika stor och den nedre är inte laddad. För tillfället är nyckeln stängd. Ta reda på tidsberoendet för laddningen av den övre kondensatorn och strömmen i spolen.

Ris. 161. Endast en kondensator laddas vid det första ögonblicket

Ris. 162. Laddningar av kondensatorer och ström i kretsen efter stängning av nyckeln

Ris. 163. Mekanisk analogi för den elektriska kretsen som visas i fig. 162

Beslut. Efter att nyckeln är stängd uppstår svängningar i kretsen: den övre kondensatorn börjar laddas ur genom spolen medan den nedre laddas; då händer allt i motsatt riktning. Låt till exempel vid , kondensatorns övre platta vara positivt laddad. Sedan

efter en kort tidsperiod kommer tecknen på laddningarna av kondensatorplattorna och strömriktningen att vara som visas i fig. 162. Beteckna med laddningarna av de plattor i de övre och nedre kondensatorerna, som är sammankopplade genom en induktor. Utgår från naturvårdslagen elektrisk laddning

Summan av spänningar på alla element i en sluten krets vid varje tidpunkt är lika med noll:

Tecknet för spänningen på kondensatorn motsvarar fördelningen av laddningar i fig. 162. och den angivna strömriktningen. Uttrycket för strömmen genom spolen kan skrivas i någon av två former:

Låt oss exkludera från ekvationen med hjälp av relationer (22) och (24):

Introduktion av notationen

vi skriver om (25) i följande form:

Om istället för att introducera funktionen

och ta hänsyn till att (27) tar formen

Detta är den vanliga ekvationen för odämpade övertonssvängningar, som har en lösning

var och är godtyckliga konstanter.

När vi återvänder från funktionen får vi följande uttryck för beroendet av laddningstiden för den övre kondensatorn:

För att bestämma konstanterna och a tar vi hänsyn till att i det initiala ögonblicket laddningen a ström För strömstyrkan från (24) och (31) har vi

Eftersom det följer härifrån att Ersätta nu i och med hänsyn till att vi får

Så, uttrycken för laddning och strömstyrka är

Arten av laddningen och strömsvängningarna är särskilt uppenbara när samma värden kondensatorkapacitet. I detta fall

Laddningen av den övre kondensatorn oscillerar med en amplitud på ungefär ett medelvärde lika med Halva svängningsperioden, den minskar från maxvärdet i det initiala ögonblicket till noll, när hela laddningen är på den nedre kondensatorn.

Uttrycket (26) för oscillationsfrekvensen skulle naturligtvis kunna skrivas omedelbart, eftersom kondensatorerna i den aktuella kretsen är seriekopplade. Det är dock svårt att skriva uttryck (34) direkt, eftersom det under sådana initiala förhållanden är omöjligt att ersätta kondensatorerna som ingår i kretsen med en ekvivalent.

En visuell representation av processerna som äger rum här ges av den mekaniska analogen till denna elektriska krets, som visas i fig. 163. Identiska fjädrar motsvarar fallet med kondensorer med samma kapacitet. I det första ögonblicket komprimeras den vänstra fjädern, vilket motsvarar en laddad kondensator, och den högra är i ett odeformerat tillstånd, eftersom graden av deformation av fjädern fungerar som en analog av kondensatorladdningen. När de passerar genom mittläget komprimeras båda fjädrarna delvis, och i det extrema högra läget deformeras inte den vänstra fjädern, och den högra komprimeras på samma sätt som den vänstra i det initiala ögonblicket, vilket motsvarar fullständigt laddningsflöde från en kondensator till en annan. Även om kulan utför de vanliga harmoniska svängningarna runt jämviktspositionen, beskrivs deformationen av var och en av fjädrarna av en funktion vars medelvärde skiljer sig från noll.

Till skillnad från en oscillerande krets med en enda kondensator, där under svängningar dess repetitiva fulla laddning inträffar, är den initialt laddade kondensatorn inte helt laddad i det betraktade systemet. Till exempel när dess laddning minskar till noll och sedan återställs igen i samma polaritet. Annars skiljer sig dessa svängningar inte från harmoniska svängningar i en konventionell krets. Energin hos dessa svängningar bevaras, om naturligtvis motståndet hos spolen och anslutningstrådarna kan försummas.

Förklara varför man, från en jämförelse av formlerna (1) och (2) för mekaniska och elektromagnetiska energier, drog slutsatsen att analogen av styvheten k är och analogen av massan är induktansen och inte vice versa.

Ge motivering för härledningen av uttryck (4) för den naturliga frekvensen av elektromagnetiska svängningar i kretsen från analogin med en mekanisk fjäderoscillator.

Harmoniska svängningar i -kretsen kännetecknas av amplitud, frekvens, period, svängningsfas, initialfas. Vilka av dessa storheter bestäms av egenskaperna hos själva oscillationskretsen, och vilka beror på metoden för excitation av svängningarna?

Bevisa att medelvärdena för elektriska och magnetiska energier under naturliga oscillationer i kretsen är lika med varandra och utgör hälften av den totala elektromagnetiska energin för svängningar.

Hur tillämpar man lagarna för kvasistationära fenomen i en elektrisk krets för att härleda en differentialekvation (12) för harmoniska svängningar i en -krets?

Vilken differentialekvation uppfyller strömmen i en LC-krets?

Härled en ekvation för minskningshastigheten i vibrationsenergin vid låg dämpning på samma sätt som det gjordes för en mekanisk oscillator med friktion proportionell mot hastigheten, och visa att för tidsintervall som avsevärt överstiger oscillationsperioden, sker denna minskning enligt en exponentiell lag. Vad är innebörden av termen "liten dämpning" som används här?

Visa att funktionen som ges av formel (21) uppfyller ekvation (16) för alla värden på och a.

Tänk på det mekaniska systemet som visas i fig. 163, och hitta beroendet av deformationstiden för den vänstra fjädern och hastigheten för den massiva kroppen.

Slinga utan motstånd med oundvikliga förluster. I det ovannämnda problemet, trots de inte helt vanliga initiala villkoren för laddningar på kondensatorer, var det möjligt att tillämpa de vanliga ekvationerna för elektriska kretsar, eftersom villkoren för de pågående processernas kvasistationaritet var uppfyllda där. Men i kretsen, vars diagram visas i fig. 164, med en formell yttre likhet med diagrammet i fig. 162 är villkoren för kvasi-stationaritet inte uppfyllda om i det första ögonblicket en kondensator laddas, och den andra inte.

Låt oss diskutera mer i detalj orsakerna till att villkoren för kvasistationaritet kränks här. Omedelbart efter stängning

Ris. 164. Elektrisk krets för vilken villkoren för kvasistationaritet inte är uppfyllda

Nyckeln är att alla processer endast utspelas i sammankopplade kondensatorer, eftersom ökningen av ström genom induktorn är relativt långsam och till en början kan förgreningen av strömmen in i spolen försummas.

När nyckeln är stängd uppstår snabba dämpade svängningar i en krets som består av kondensatorer och ledningar som förbinder dem. Perioden för sådana svängningar är mycket liten, eftersom induktansen för anslutningstrådarna är liten. Som ett resultat av dessa svängningar omfördelas laddningen på kondensatorplattorna, varefter de två kondensatorerna kan betraktas som en. Men i det första ögonblicket kan detta inte göras, för tillsammans med omfördelningen av laddningar sker också en omfördelning av energi, varav en del går till värme.

Efter dämpningen av snabba svängningar uppstår svängningar i systemet, som i en krets med en kapacitanskondensator, vars laddning i det initiala ögonblicket är lika med kondensatorns initialladdning Villkoret för giltigheten av ovanstående resonemang är den lilla induktansen hos anslutningstrådarna jämfört med spolens induktans.

Liksom i det övervägda problemet är det användbart att hitta en mekanisk analogi även här. Om där de två fjädrarna som motsvarar kondensorerna var placerade på vardera sidan av en massiv kropp, måste de här placeras på ena sidan av den, så att vibrationerna från en av dem kan överföras till den andra medan kroppen är stationär. Istället för två fjädrar kan du ta en, men bara i det första ögonblicket bör den deformeras inhomogent.

Vi tar tag i fjädern i mitten och sträcker ut dess vänstra halva en bit. Den andra halvan av fjädern kommer att förbli i ett odeformerat tillstånd, så att belastningen i det initiala ögonblicket förskjuts från jämviktsläget till höger med ett avstånd och vilar. Låt oss sedan släppa våren. Vilka egenskaper kommer att resultera från det faktum att fjädern i det första ögonblicket deformeras inhomogent? för, som det är lätt att se, är styvheten hos "halvan" av fjädern. Om fjäderns massa är liten jämfört med kulans massa, är fjäderns naturliga frekvens som ett förlängt system mycket större än bollens frekvens på fjädern. Dessa "snabba" svängningar kommer att dö ut på en tid som är en liten bråkdel av perioden för bollens svängningar. Efter dämpningen av snabba svängningar omfördelas spänningen i fjädern, och förskjutningen av lasten förblir praktiskt taget densamma, eftersom lasten inte har tid att märkbart röra sig under denna tid. Deformationen av fjädern blir enhetlig, och systemets energi är lika med

Således reducerades rollen för snabba svängningar av fjädern till det faktum att systemets energireserv minskade till det värde som motsvarar fjäderns enhetliga initiala deformation. Det är tydligt att ytterligare processer i systemet inte skiljer sig från fallet med en homogen initial deformation. Lastförskjutningens beroende av tid uttrycks med samma formel (36).

I det betraktade exemplet, som ett resultat av snabba fluktuationer, blev det inre energi(till värme) hälften av den initiala tillförseln av mekanisk energi. Det är tydligt att genom att utsätta den initiala deformationen inte för hälften, utan för en godtycklig del av fjädern, är det möjligt att omvandla vilken del som helst av den initiala tillförseln av mekanisk energi till intern energi. Men i alla fall motsvarar vibrationsenergin från belastningen på fjädern energireserven för samma enhetliga initiala deformation av fjädern.

I en elektrisk krets, som ett resultat av dämpade snabba svängningar, frigörs energin från en laddad kondensator delvis i form av Joule-värme i anslutningstrådarna. Med lika stor kapacitet blir detta hälften av den initiala energireserven. Den andra hälften finns kvar i form av energi av relativt långsamma elektromagnetiska svängningar i en krets som består av en spole och två parallellkopplade kondensatorer C, och

Således, i detta system, är idealisering i grunden oacceptabel, där förlusten av oscillationsenergin försummas. Anledningen till detta är att snabba svängningar är möjliga här, utan att påverka induktorerna eller den massiva kroppen i ett liknande mekaniskt system.

Oscillerande krets med icke-linjära element. När vi studerar mekaniska vibrationer har vi sett att vibrationer inte alltid är harmoniska. Harmoniska vibrationer är karakteristisk egenskap linjära system, i vilken

återställningskraften är proportionell mot avvikelsen från jämviktspositionen, och den potentiella energin är proportionell mot kvadraten på avvikelsen. Verkliga mekaniska system har som regel inte dessa egenskaper, och svängningar i dem kan endast anses harmoniska för små avvikelser från jämviktspositionen.

När det gäller elektromagnetiska svängningar i en krets kan man få intrycket att vi har att göra med idealiska system där svängningarna är strikt harmoniska. Detta gäller dock bara så länge som kondensatorns kapacitans och spolens induktans kan anses vara konstanta, d.v.s. oberoende av laddning och ström. En kondensator med en dielektrikum och en spole med en kärna är strängt taget icke-linjära element. När kondensatorn är fylld med en ferroelektrisk, d.v.s. en substans vars dielektricitetskonstant starkt beror på det pålagda elektriska fältet, kan kondensatorns kapacitans inte längre anses vara konstant. På liknande sätt beror induktansen hos en spole med en ferromagnetisk kärna på strömstyrkan, eftersom en ferromagnet har egenskapen magnetisk mättnad.

Om massan i mekaniska oscillerande system som regel kan betraktas som konstant och olinjäritet uppstår endast på grund av den olinjära naturen hos den verkande kraften, kan olinjäritet i en elektromagnetisk oscillerande krets uppstå både på grund av en kondensator (analogt med en elastisk krets) fjäder) och på grund av en induktor (massanalog).

Varför är idealisering otillämplig för en oscillerande krets med två parallella kondensatorer (Fig. 164), där systemet anses vara konservativt?

Varför leder de snabba svängningarna till förlusten av svängningsenergin i kretsen i fig. 164 förekom inte i kretsen med två seriekondensatorer som visas i fig. 162?

Vilka orsaker kan leda till icke-sinusformade elektromagnetiska svängningar i kretsen?

En elektrisk oscillerande krets är ett system för excitation och underhåll av elektromagnetiska oscillationer. I sin enklaste form är detta en krets bestående av en spole med en induktans L, en kondensator med en kapacitans C och ett motstånd med en resistans R kopplad i serie (Fig. 129). När omkopplaren P står i läge 1 laddas kondensatorn C till en spänning U t. I detta fall bildas mellan plattorna på kondensatorn elektriskt fält, vars maximala energi är lika med

När omkopplaren flyttas till läge 2 stängs kretsen och följande processer äger rum i den. Kondensatorn börjar laddas ur och ström flyter genom kretsen i, vars värde ökar från noll till maxvärdet och minskar sedan tillbaka till noll. Eftersom en växelström flyter i kretsen induceras en EMF i spolen, vilket förhindrar att kondensatorn laddas ur. Därför sker processen att ladda ur kondensatorn inte omedelbart, utan gradvis. Som ett resultat av utseendet av ström i spolen uppstår ett magnetfält, vars energi är
når sitt maximala värde vid en ström lika med . Magnetfältets maximala energi kommer att vara lika med

Efter att ha nått maxvärdet kommer strömmen i kretsen att börja minska. I det här fallet kommer kondensatorn att laddas om, energin från magnetfältet i spolen kommer att minska och energin från det elektriska fältet i kondensatorn kommer att öka. När maxvärdet nås. Processen kommer att börja upprepas och oscillationer av elektriska och magnetiska fält uppstår i kretsen. Om vi antar att motståndet
(dvs ingen energi går åt till uppvärmning), då enligt lagen om energibevarande, den totala energin W förblir konstant

och
;
.

En krets där det inte finns någon energiförlust kallas ideal. Spänningen och strömmen i kretsen ändras enligt den harmoniska lagen

;

var - cirkulär (cyklisk) oscillationsfrekvens
.

Den cirkulära frekvensen är relaterad till oscillationsfrekvensen och perioder av fluktuationer T-kvot.

H och fig. 130 visar grafer för spänning U och ström I i spolen för en ideal oscillerande krets. Det kan ses att strömstyrkan släpar i fas med spänningen med .

;
;
- Thomsons formel.

I händelse av att motståndet
, Thomson-formeln tar formen

Grunderna i Maxwells teori

Maxwells teori är teorin om ett enda elektromagnetiskt fält som skapas av ett godtyckligt system av laddningar och strömmar. I teorin är huvudproblemet med elektrodynamik löst - enligt en given fördelning av laddningar och strömmar hittas egenskaperna hos de elektriska och magnetiska fälten som skapas av dem. Maxwells teori är en generalisering av de viktigaste lagarna som beskriver elektriska och elektromagnetiska fenomen - Ostrogradsky-Gauss sats för elektriska och magnetiska fält, lagen om total ström, lagen elektromagnetisk induktion och satser om cirkulationen av vektorn för elektrisk fältstyrka. Maxwells teori är fenomenologisk till sin natur, d.v.s. den tar inte hänsyn till den interna mekanismen för fenomen som uppstår i miljön och orsakar utseendet elektriska och magnetiska fält. I Maxwells teori beskrivs mediet med hjälp av tre egenskaper - dielektrisk ε och magnetisk μ permeabilitet hos mediet och elektrisk konduktivitet γ.

Elektriska svängningar förstås som periodiska förändringar i laddning, ström och spänning. Det enklaste systemet där fria elektriska svängningar är möjliga är den så kallade oscillerande kretsen. Detta är en enhet som består av en kondensator och en spole anslutna till varandra. Vi kommer att anta att det inte finns något aktivt motstånd hos spolen, i detta fall kallas kretsen idealisk. När energi kommuniceras till detta system kommer odämpade harmoniska svängningar av laddningen på kondensatorn, spänning och ström att uppstå i det.

Det är möjligt att informera den oscillerande kretsen av energi olika sätt. Till exempel genom att ladda en kondensator från en källa likström eller excitationsström i induktorn. I det första fallet har det elektriska fältet mellan plattorna på kondensatorn energi. I den andra finns energin i magnetfältet för strömmen som flyter genom kretsen.

§1 Svängningsekvationen i kretsen

Låt oss bevisa att när energi tillförs kretsen kommer odämpade övertonssvängningar att uppstå i den. För att göra detta är det nödvändigt att erhålla en differentialekvation för harmoniska svängningar av formen .

Antag att kondensatorn är laddad och stängd mot spolen. Kondensatorn kommer att börja ladda ur, ström kommer att flyta genom spolen. Enligt Kirchhoffs andra lag är summan av spänningsfall längs en sluten krets lika med summan av EMF i denna krets .

I vårt fall beror spänningsfallet på att kretsen är idealisk. Kondensatorn i kretsen beter sig som en strömkälla, potentialskillnaden mellan kondensatorplattorna fungerar som en EMF, där är laddningen på kondensatorn, är kondensatorns kapacitans. Dessutom, när en föränderlig ström flyter genom spolen, uppstår en EMF av självinduktion i den, där är spolens induktans, är förändringshastigheten för strömmen i spolen. Eftersom självinduktionens EMF förhindrar processen att ladda ur kondensatorn, tar den andra Kirchhoff-lagen formen

Men strömmen i kretsen är därför strömmen för urladdning eller laddning av kondensatorn. Sedan

Differentialekvationen omvandlas till formen

Genom att introducera notationen får vi den välkända differentialekvationen för harmoniska svängningar.

Detta innebär att laddningen på kondensatorn i svängningskretsen kommer att förändras enligt den harmoniska lagen

där är det maximala värdet för laddningen på kondensatorn, är den cykliska frekvensen, är den initiala fasen av svängningarna.

Laddningsoscillationsperiod . Detta uttryck kallas Thompson-formeln.

Kondensatorspänning

Kretsström

Vi ser att förutom laddningen på kondensatorn, enligt den harmoniska lagen, kommer även strömmen i kretsen och spänningen på kondensatorn att förändras. Spänningen svänger i fas med laddningen, och strömmen är före laddningen in

fas på.

Kondensator elektrisk fältenergi

Energin i magnetfältsströmmen

Således förändras också de elektriska och magnetiska fältens energier enligt den harmoniska lagen, men med en fördubblad frekvens.

Sammanfatta

Elektriska svängningar ska förstås som periodiska förändringar i laddning, spänning, strömstyrka, elektrisk fältenergi, magnetfältsenergi. Dessa svängningar, liksom mekaniska, kan vara både fria och forcerade, harmoniska och icke-harmoniska. Fria harmoniska elektriska svängningar är möjliga i en idealisk oscillerande krets.

§2 Processer som sker i en oscillerande krets

Vi bevisade matematiskt förekomsten av fria övertonssvängningar i en oscillerande krets. Det är dock fortfarande oklart varför en sådan process är möjlig. Vad orsakar svängningar i en krets?

I fallet med fria mekaniska vibrationer hittades en sådan orsak - detta är inre styrka, som uppstår när systemet tas ur jämvikt. Denna kraft riktas vid varje ögonblick till jämviktspositionen och är proportionell mot kroppens koordinater (med ett minustecken). Låt oss försöka hitta en liknande orsak till förekomsten av svängningar i den oscillerande kretsen.

Låt svängningarna i kretsen excitera genom att ladda kondensatorn och stänga den mot spolen.

Vid det första ögonblicket är laddningen på kondensatorn maximal. Följaktligen är spänningen och energin hos kondensatorns elektriska fält också maximala.

Det finns ingen ström i kretsen, energin i strömmens magnetfält är noll.

Periodens första kvartal- kondensatorurladdning.

Kondensatorplattorna, som har olika potentialer, är förbundna med en ledare, så kondensatorn börjar laddas ur genom spolen. Laddningen, spänningen på kondensatorn och energin i det elektriska fältet minskar.

Strömmen som uppträder i kretsen ökar, men dess tillväxt förhindras av den självinduktions-EMK som uppstår i spolen. Energin i strömmens magnetfält ökar.

En kvart har gått- kondensatorn är urladdad.

Kondensatorn laddades ur, spänningen över den blev lika med noll. Energin i det elektriska fältet i detta ögonblick är också lika med noll. Enligt lagen om bevarande av energi kunde den inte försvinna. Energin i kondensatorns fält har helt förvandlats till energin i spolens magnetfält, som i detta ögonblick når sitt maximala värde. Den maximala strömmen i kretsen.

Det verkar som att strömmen i kretsen i detta ögonblick borde sluta, eftersom orsaken till strömmen, det elektriska fältet, har försvunnit. Emellertid förhindras försvinnandet av strömmen igen av EMF av självinduktion i spolen. Nu kommer den att bibehålla en minskande ström, och den kommer att fortsätta att flyta i samma riktning och laddar kondensatorn. Periodens andra kvartal börjar.

Andra kvartalet av perioden - Laddning av kondensator.

Strömmen som stöds av självinduktions-EMK fortsätter att flyta i samma riktning och minskar gradvis. Denna ström laddar kondensatorn i motsatt polaritet. Laddningen och spänningen över kondensatorn ökar.

Energin från strömmens magnetfält, avtagande, övergår i energin i kondensatorns elektriska fält.

Periodens andra kvartal har passerat - kondensatorn har laddats.

Kondensatorn laddas så länge det finns ström. Därför, i det ögonblick när strömmen slutar, får laddningen och spänningen på kondensatorn ett maximalt värde.

Magnetfältets energi förvandlades i detta ögonblick helt till energin hos kondensatorns elektriska fält.

Situationen i kretsen för närvarande är likvärdig med den ursprungliga. Processerna i kretsen kommer att upprepas, men i motsatt riktning. En fullständig oscillation i kretsen, som varar under en period, kommer att sluta när systemet återgår till sitt ursprungliga tillstånd, det vill säga när kondensatorn laddas upp i sin ursprungliga polaritet.

Det är lätt att se att orsaken till oscillationer i kretsen är fenomenet självinduktion. Självinduktionens EMF förhindrar en förändring i strömmen: den tillåter inte att den omedelbart ökar och omedelbart försvinner.

Förresten, det skulle inte vara överflödigt att jämföra uttrycken för beräkning av den kvasi-elastiska kraften i ett mekaniskt oscillerande system och EMF för självinduktion i kretsen:

Tidigare erhölls differentialekvationer för mekaniska och elektriska oscillerande system:

Trots grundläggande skillnader fysiska processer för mekaniska och elektriska oscillerande system är den matematiska identiteten hos ekvationerna som beskriver processerna i dessa system tydligt synliga. Detta bör diskuteras mer ingående.

§3 Analogi mellan elektriska och mekaniska vibrationer

En noggrann analys av differentialekvationerna för en fjäderpendel och en oscillerande krets, samt formler som relaterar till de storheter som kännetecknar processerna i dessa system, gör det möjligt att identifiera vilka storheter som beter sig på samma sätt (tabell 2).

Fjäderpendel	Oscillerande krets
Kroppskoordinat ()	Ladda på kondensatorn ()
kroppshastighet	Slingström
Potentiell energi hos en elastiskt deformerad fjäder	Kondensator elektrisk fältenergi
Belastningens kinetiska energi	Energin i spolens magnetfält med ström
Den ömsesidiga fjäderstyvheten	Kondensatorkapacitet
Lastvikt	Spolinduktans
Elastisk kraft	EMF för självinduktion, lika med spänningen på kondensatorn

Tabell 2

Det är viktigt inte bara en formell likhet mellan de storheter som beskriver pendelsvängningsprocesserna och processerna i kretsen. Själva processerna är identiska!

Pendelns ytterlägen är ekvivalenta med kretsens tillstånd när laddningen på kondensatorn är maximal.

Pendelns jämviktsposition är ekvivalent med kretsens tillstånd när kondensatorn är urladdad. I detta ögonblick försvinner den elastiska kraften och det finns ingen spänning på kondensatorn i kretsen. Pendelns hastighet och strömmen i kretsen är maximala. Den potentiella energin för elastisk deformation av fjädern och energin hos kondensatorns elektriska fält är lika med noll. Systemets energi består av lastens kinetiska energi eller energin från strömmens magnetfält.

Urladdningen av kondensatorn fortsätter på samma sätt som pendelns rörelse från extremläge till ett balanserat läge. Processen att ladda kondensatorn är identisk med processen att ta bort belastningen från jämviktsläget till ytterläget.

Det oscillerande systemets totala energi eller förblir oförändrad över tiden.

En liknande analogi kan spåras inte bara mellan en fjäderpendel och en oscillerande krets. Allmänna mönster av fria svängningar av alla slag! Dessa mönster, illustrerade av exemplet med två oscillerande system (en fjäderpendel och en oscillerande krets), är inte bara möjliga, utan måste se i vibrationerna i vilket system som helst.

I princip är det möjligt att lösa problemet med vilken oscillerande process som helst genom att ersätta den med pendelsvängningar. För att göra detta räcker det att kompetent bygga ett likvärdigt mekaniskt system, lösa ett mekaniskt problem och ändra värdena i slutresultatet. Till exempel måste du hitta svängningsperioden i en krets som innehåller en kondensator och två parallellkopplade spolar.

Den oscillerande kretsen innehåller en kondensator och två spolar. Eftersom spolen beter sig som vikten av en fjäderpendel och kondensatorn beter sig som en fjäder, måste motsvarande mekaniska system innehålla en fjäder och två vikter. Hela problemet är hur vikterna fästs på fjädern. Två fall är möjliga: ena änden av fjädern är fixerad, och en vikt är fäst vid den fria änden, den andra är på den första, eller vikterna är fästa vid olika ändar av fjädern.

På parallellkoppling spolar med olika induktansströmmar flyter genom dem olika. Följaktligen måste lasternas hastigheter i ett identiskt mekaniskt system också vara olika. Uppenbarligen är detta endast möjligt i det andra fallet.

Vi har redan hittat perioden för detta oscillerande system. Han är jämställd . Genom att ersätta vikternas massor med spolarnas induktans och fjäderstyvhetens reciproka med kondensatorns kapacitans får vi .

§4 Oscillerande krets med likströmskälla

Betrakta en oscillerande krets som innehåller en likströmskälla. Låt kondensatorn initialt vara oladdad. Vad kommer att hända i systemet efter att nyckeln K stängs? Kommer svängningar att observeras i detta fall och vad är deras frekvens och amplitud?

Uppenbarligen, efter att nyckeln är stängd, kommer kondensatorn att börja laddas. Vi skriver Kirchhoffs andra lag:

Strömmen i kretsen är alltså kondensatorns laddningsström. Sedan . Differentialekvationen omvandlas till formen

*Lös ekvationen genom att ändra variabler.

Låt oss beteckna . Differentiera två gånger och med hänsyn till det får vi . Differentialekvationen tar formen

Detta är en differentialekvation för harmoniska svängningar, dess lösning är funktionen

var är den cykliska frekvensen, integrationskonstanterna och hittas från de initiala förhållandena.

Laddningen på en kondensator ändras enligt lagen

Omedelbart efter att omkopplaren är stängd, laddningen på kondensatorn noll- och det finns ingen ström i kretsen . Med hänsyn till de initiala förhållandena får vi ett ekvationssystem:

När vi löser systemet får vi och . Efter att nyckeln stängts ändras laddningen på kondensatorn enligt lagen.

Det är lätt att se att harmoniska svängningar uppstår i kretsen. Närvaron av en likströmskälla i kretsen påverkade inte oscillationsfrekvensen, den förblev lika. "Jämviktspositionen" har ändrats - i det ögonblick när strömmen i kretsen är maximal laddas kondensatorn. Amplituden för laddningssvängningarna på kondensatorn är lika med Cε.

Samma resultat kan erhållas enklare genom att använda analogin mellan svängningar i en krets och svängningar i en fjäderpendel. DC-källa är likvärdig med DC kraftfält, i vilken en fjäderpendel är placerad, till exempel ett gravitationsfält. Frånvaron av laddning på kondensatorn i ögonblicket för att stänga kretsen är identisk med frånvaron av deformation av fjädern i ögonblicket för att föra pendeln i oscillerande rörelse.

I ett konstant kraftfält ändras inte svängningsperioden för en fjäderpendel. Svängningsperioden i kretsen beter sig på samma sätt - den förblir oförändrad när en likströmskälla införs i kretsen.

I jämviktsläget, när belastningshastigheten är maximal, deformeras fjädern:

När strömmen i oscillationskretsen är maximal . Kirchhoffs andra lag är skriven enligt följande

I detta ögonblick är laddningen på kondensatorn lika med Samma resultat kan erhållas baserat på uttrycket (*) genom att ersätta

§5 Exempel på problemlösning

Uppgift 1 Lagen om energihushållning

L\u003d 0,5 μH och en kondensator med en kapacitans Med= 20 pF elektriska svängningar uppstår. Vad är den maximala spänningen över kondensatorn om amplituden på strömmen i kretsen är 1 mA? Det aktiva motståndet hos spolen är försumbart.

Beslut:

(1)

2 I det ögonblick då spänningen på kondensatorn är maximal (maximal laddning på kondensatorn), finns det ingen ström i kretsen. Systemets totala energi består endast av energin från kondensatorns elektriska fält

(2)

3 I det ögonblick då strömmen i kretsen är maximal är kondensatorn helt urladdad. Systemets totala energi består endast av energin från spolens magnetfält

(3)

4 Baserat på uttryck (1), (2), (3) får vi likheten . Den maximala spänningen över kondensatorn är

Uppgift 2 Lagen om energihushållning

I en oscillerande krets bestående av en induktansspole L och en kondensator MED, elektriska svängningar uppstår med en period T = 1 μs. Maximalt laddningsvärde . Vad är strömmen i kretsen i det ögonblick då laddningen på kondensatorn är lika med? Det aktiva motståndet hos spolen är försumbart.

Beslut:

1 Eftersom spolens aktiva motstånd kan försummas, förblir systemets totala energi, bestående av energin från kondensatorns elektriska fält och energin från spolens magnetfält, oförändrad över tiden:

(1)

2 I det ögonblick då laddningen på kondensatorn är maximal finns det ingen ström i kretsen. Systemets totala energi består endast av energin från kondensatorns elektriska fält

(2)

3 Baserat på (1) och (2) får vi jämställdheten . Strömmen i kretsen är .

4 Svängningsperioden i kretsen bestäms av Thomsons formel. Härifrån. Sedan för strömmen i kretsen får vi

Uppgift 3 Oscillerande krets med två parallellkopplade kondensatorer

I en oscillerande krets bestående av en induktansspole L och en kondensator MED, elektriska svängningar uppstår med en laddningsamplitud. I det ögonblick då laddningen på kondensatorn är maximal är nyckeln K stängd. Vad blir svängningsperioden i kretsen efter att nyckeln är stängd? Vad är amplituden för strömmen i kretsen efter att strömbrytaren stängts? Ignorera kretsens ohmska motstånd.

Beslut:

1 Stängning av nyckeln leder till utseendet i kretsen av en annan kondensator ansluten parallellt med den första. Den totala kapacitansen för två parallellkopplade kondensatorer är .

Perioden för svängningar i kretsen beror bara på dess parametrar och beror inte på hur svängningar exciterades i systemet och vilken energi som gavs till systemet för detta. Enligt Thomsons formel.

2 För att hitta strömmens amplitud, låt oss ta reda på vilka processer som uppstår i kretsen efter att nyckeln stängs.

Den andra kondensatorn var ansluten i det ögonblick då laddningen på den första kondensatorn var maximal, därför fanns det ingen ström i kretsen.

Slingkondensatorn bör börja laddas ur. Urladdningsströmmen, efter att ha nått noden, bör delas upp i två delar. Men i grenen med spolen uppstår en EMF av självinduktion, vilket förhindrar ökningen av urladdningsströmmen. Av denna anledning kommer hela urladdningsströmmen att flyta in i grenen med kondensatorn, vars ohmska motstånd är noll. Strömmen kommer att sluta så snart spänningarna på kondensatorerna är lika, medan den initiala laddningen av kondensatorn omfördelas mellan de två kondensatorerna. Laddningsfördelningstiden mellan två kondensatorer är försumbar på grund av frånvaron av ohmskt motstånd i kondensatorgrenarna. Under denna tid kommer strömmen i grenen med spolen inte att hinna dyka upp. fluktuationer i nytt system fortsätta efter att laddningen omfördelas mellan kondensatorerna.

Det är viktigt att förstå att i processen att omfördela laddningen mellan två kondensatorer, bevaras inte systemets energi! Innan nyckeln stängdes hade en kondensator, en slingkondensator, energi:

Efter att laddningen har omfördelas, har ett batteri av kondensatorer energi:

Det är lätt att se att energin i systemet har minskat!

3 Vi finner den nya amplituden av strömmen med hjälp av lagen om energibevarande. I processen med svängningar omvandlas kondensatorbankens energi till energin i strömmens magnetfält:

Observera att lagen om bevarande av energi börjar "fungera" först efter slutförandet av omfördelningen av laddning mellan kondensatorerna.

Uppgift 4 Oscillerande krets med två kondensatorer kopplade i serie

Oscillationskretsen består av en spole med en induktans L och två kondensatorer C och 4C kopplade i serie. En kondensator med en kapacitet på C laddas till en spänning, en kondensator med en kapacitet på 4C laddas inte. Efter att nyckeln är stängd börjar svängningar i kretsen. Vad är perioden för dessa svängningar? Bestäm amplituden för strömmen, de maximala och lägsta spänningsvärdena på varje kondensator.

Beslut:

1 I det ögonblick då strömmen i kretsen är maximal finns det ingen självinduktions-EMK i spolen . Vi skriver ner för detta ögonblick Kirchhoffs andra lag

Vi ser att i det ögonblick när strömmen i kretsen är maximal laddas kondensatorerna till samma spänning, men i motsatt polaritet:

2 Innan nyckeln stängdes bestod systemets totala energi endast av energin från det elektriska fältet i kondensatorn C:

I det ögonblick då strömmen i kretsen är maximal, är systemets energi summan av energin i strömmens magnetfält och energin hos två kondensatorer laddade till samma spänning:

Enligt lagen om energibevarande

För att hitta spänningen på kondensatorerna använder vi lagen om bevarande av laddning - laddningen av den nedre plattan på kondensatorn C har delvis överförts till den övre plattan på kondensatorn 4C:

Vi ersätter det hittade spänningsvärdet med lagen om energibevarande och hittar amplituden för strömmen i kretsen:

3 Låt oss hitta gränserna inom vilka spänningen på kondensatorerna ändras under oscillationsprocessen.

Det är tydligt att i det ögonblick som kretsen stängdes fanns det en maximal spänning på kondensatorn C. Kondensator 4C laddades därför inte .

Efter att omkopplaren är stängd börjar kondensator C laddas ur, och en kondensator med en kapacitet på 4C börjar laddas. Processen att ladda ur den första och ladda den andra kondensatorerna slutar så snart strömmen i kretsen slutar. Detta kommer att ske om en halv period. Enligt lagarna för bevarande av energi och elektrisk laddning:

När vi löser systemet finner vi:

Minustecknet betyder att efter en halv period laddas kapacitansen C med omvänd polaritet från originalet.

Uppgift 5 Oscillerande krets med två spolar kopplade i serie

Den oscillerande kretsen består av en kondensator med en kapacitans C och två spolar med en induktans L1 och L2. I det ögonblick då strömmen i kretsen har nått sitt maximala värde, införs snabbt en järnkärna i den första spolen (jämfört med oscillationsperioden), vilket leder till en ökning av dess induktans med μ gånger. Vad är spänningsamplituden i processen för ytterligare svängningar i kretsen?

Beslut:

1 Med det snabba införandet av kärnan i spolen, magnetiskt flöde(fenomenet elektromagnetisk induktion). Därför kommer en snabb förändring av induktansen hos en av spolarna att resultera i en snabb förändring av strömmen i kretsen.

2 Under införandet av kärnan i spolen hann laddningen på kondensatorn inte ändras, den förblev oladdad (kärnan infördes i det ögonblick då strömmen i kretsen var maximal). Efter en fjärdedel av perioden kommer energin i strömmens magnetfält att förvandlas till energin hos en laddad kondensator:

Ersätt i det resulterande uttrycket värdet av strömmen jag och hitta amplituden för spänningen över kondensatorn:

Uppgift 6 Oscillerande krets med två parallellkopplade spolar

Induktorerna L 1 och L 2 är anslutna genom nycklarna K1 och K2 till en kondensator med en kapacitans C. I det initiala ögonblicket är båda nycklarna öppna och kondensatorn laddas till en potentialskillnad. Först stängs nyckeln K1 och när spänningen över kondensatorn blir lika med noll stängs K2. Bestäm den maximala spänningen över kondensatorn efter stängning av K2. Ignorera spolmotstånd.

Beslut:

1 När nyckeln K2 är öppen uppstår svängningar i kretsen som består av kondensatorn och den första spolen. När K2 är stängd har kondensatorns energi överförts till energin från magnetfältet för strömmen i den första spolen:

2 Efter stängning av K2 dyker två parallellkopplade spolar upp i oscillationskretsen.

Strömmen i den första spolen kan inte sluta på grund av fenomenet självinduktion. Vid noden delar den sig: en del av strömmen går till den andra spolen, och den andra delen laddar kondensatorn.

3 Spänningen på kondensatorn blir maximal när strömmen upphör jag laddningskondensator. Det är uppenbart att i detta ögonblick kommer strömmarna i spolarna att vara lika.

: Vikterna är föremål för samma kraftmodul - båda vikterna är fästa på fjädern Omedelbart efter stängningen av K2 fanns en ström i den första spolen I det första ögonblicket hade den första lasten en hastighet Direkt efter stängning av K2 var det ingen ström i den andra spolen I det första ögonblicket var den andra lasten i vila Vad är den maximala spänningen över kondensatorn? Vilken är den maximala elastiska kraften som uppstår på fjädern under svängning?

Pendeln rör sig framåt med massacentrums hastighet och svänger runt massans centrum.

Den elastiska kraften är maximal vid ögonblicket för maximal deformation av fjädern. Tydligen, i detta ögonblick, blir vikternas relativa hastighet lika med noll, och i förhållande till tabellen rör sig vikterna med hastigheten för massans centrum. Vi skriver ner lagen om energibevarande:

Att lösa systemet finner vi

Vi gör en ersättare

och få för maximal spänning tidigare hittat värde

§6 Uppgifter för självständig lösning

Övning 1 Beräkning av period och frekvens för naturliga svängningar

1 Den oscillerande kretsen inkluderar en spole med variabel induktans, som varierar inuti L1= 0,5 µH till L2\u003d 10 μH, och en kondensator, vars kapacitans kan variera från Från 1= 10 pF till

Från 2\u003d 500 pF. Vilket frekvensområde kan täckas genom att ställa in denna krets?

2 Hur många gånger kommer frekvensen av naturliga svängningar i kretsen att ändras om dess induktans ökas med 10 gånger och kapacitansen minskas med 2,5 gånger?

3 En oscillerande krets med en 1 uF kondensator är avstämd till en frekvens på 400 Hz. Om en andra kondensator är ansluten till den parallellt, blir oscillationsfrekvensen i kretsen lika med 200 Hz. Bestäm kapacitansen för den andra kondensatorn.

4 Den oscillerande kretsen består av en spole och en kondensator. Hur många gånger kommer frekvensen av naturliga svängningar i kretsen att ändras om en andra kondensator kopplas i serie i kretsen, vars kapacitans är 3 gånger mindre än kapacitansen för den första?

5 Bestäm oscillationsperioden för kretsen, som inkluderar en spole (utan kärna) av längd i= 50 cm m tvärsnittsarea

S\u003d 3 cm 2, med N\u003d 1000 varv och en kapacitanskondensator Med= 0,5 uF.

6 Den oscillerande kretsen inkluderar en induktor L\u003d 1,0 μH och en luftkondensator, vars ytor på plattorna S\u003d 100 cm 2. Kretsen är avstämd till en frekvens på 30 MHz. Bestäm avståndet mellan plattorna. Kretsens aktiva motstånd är försumbar.

ELEKTROMAGNETISKA OSCILLATIONER OCH VÅGOR

§1 Oscillerande krets.

Naturliga vibrationer i den oscillerande kretsen.

Thomson formel.

Dämpade och forcerade svängningar i c.c.

Fria vibrationer i c.c.

En oscillerande krets (c.c.) är en krets som består av en kondensator och en induktor. Under vissa förutsättningar i c.c. elektromagnetiska fluktuationer i laddning, ström, spänning och energi kan förekomma.

Tänk på kretsen som visas i figur 2. Om du sätter nyckeln i position 1 kommer kondensatorn att laddas och en laddning kommer att visas på dess skyltarF och spänning U C. Om du sedan vrider nyckeln till läge 2, kommer kondensatorn att börja ladda ur, en ström kommer att flyta i kretsen, medan energin i det elektriska fältet som är inneslutet mellan plattorna på kondensatorn kommer att omvandlas till magnetfältsenergi koncentrerad i induktorL. Närvaron av en induktor leder till det faktum att strömmen i kretsen inte ökar omedelbart, utan gradvis på grund av fenomenet självinduktion. När kondensatorn laddas ur kommer laddningen på dess plattor att minska, strömmen i kretsen kommer att öka. Det maximala värdet för slingströmmen kommer att nås när laddningen på plattorna är lika med noll. Från och med denna punkt kommer slingströmmen att börja minska, men på grund av fenomenet självinduktion kommer den att upprätthållas av induktorns magnetfält, dvs. när kondensatorn är helt urladdad kommer energin från magnetfältet som är lagrat i induktorn att börja förvandlas till energin i ett elektriskt fält. På grund av slingströmmen kommer kondensatorn att börja laddas om och en laddning motsatt den ursprungliga kommer att börja ackumuleras på dess plattor. Kondensatorn kommer att laddas om tills all energi från induktorns magnetfält omvandlas till energin från kondensatorns elektriska fält. Sedan kommer processen att upprepas i motsatt riktning, och därmed kommer elektromagnetiska svängningar att inträffa i kretsen.

Låt oss skriva ner den 2:a Kirchhoffs lag för den betraktade k.k.,

Differentialekvation k.k.

Vi har erhållit en differentialekvation för laddningssvängningar i en c.c. Denna ekvation liknar en differentialekvation som beskriver en kropps rörelse under inverkan av en kvasi-elastisk kraft. Därför kommer lösningen av denna ekvation att skrivas på liknande sätt

Ekvationen för laddningsfluktuationer i c.c.

Ekvationen för spänningsfluktuationer på kondensatorplattorna i c.c.

Ekvationen för strömfluktuationer i k.k.

Dämpade svängningar i QC

Betrakta en C.C. som innehåller kapacitans, induktans och resistans. Kirchhoffs 2:a lag i detta fall kommer att skrivas i formen

- dämpningsfaktor,

Egen cyklisk frekvens.

- - differentialekvation för dämpade svängningar i c.c.

Ekvationen för dämpade laddningssvängningar i en c.c.

Lagen för förändring av laddningsamplituden under dämpade svängningar i c.c.;

Perioden med dämpade svängningar.

Minskad dämpning.

- logaritmisk dämpningsminskning.

Det goda med kretsen.

Om dämpningen är svag, då T ≈T 0

Vi undersöker förändringen i spänningen på kondensatorplattorna.

Strömändringen är ur fas med φ från spänningen.

vid - dämpade svängningar är möjliga,

vid - kritisk situation

en slips. R > RTill- fluktuationer förekommer inte (aperiodisk urladdning av kondensatorn).

Elektromagnetiska vibrationerär periodiska förändringar över tid i elektriska och magnetiska storheter i en elektrisk krets.

fri kallas sådana fluktuationer, som uppstår i ett slutet system på grund av detta systems avvikelse från ett tillstånd av stabil jämvikt.

Under svängningar sker en kontinuerlig process av omvandling av systemets energi från en form till en annan. Vid tvekan elektromagnetiskt fält utbytet kan endast ske mellan de elektriska och magnetiska komponenterna i detta fält. Det enklaste systemet där denna process kan ske är oscillerande krets.

Idealisk oscillerande krets (LC-krets) - en elektrisk krets som består av en induktansspole L och en kondensator C.

Till skillnad från en riktig oscillerande krets, som har elektriskt motstånd R, elektrisk resistans idealkontur är alltid noll. Därför är en idealisk oscillerande krets en förenklad modell av en riktig krets.

Figur 1 visar ett diagram över en idealisk oscillerande krets.

Kretsenergi

Den totala energin för den oscillerande kretsen

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Var Vi- energin hos det elektriska fältet i den oscillerande kretsen i det här ögonblicket tid Medär kondensatorns kapacitans, u- värdet på spänningen på kondensatorn vid en given tidpunkt, q- värdet av kondensatorns laddning vid en given tidpunkt, Wm- energin hos magnetfältet i den oscillerande kretsen vid en given tidpunkt, L- spolinduktans, i- värdet av strömmen i spolen vid en given tidpunkt.

Processer i den oscillerande kretsen

Tänk på de processer som sker i den oscillerande kretsen.

För att ta bort kretsen från jämviktsläget laddar vi kondensatorn så att det finns en laddning på dess plattor Qm(Fig. 2, position 1 ). Med hänsyn till ekvationen \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) hittar vi värdet på spänningen över kondensatorn. Det finns ingen ström i kretsen vid denna tidpunkt, dvs. i = 0.

Efter att nyckeln är stängd, under verkan av kondensatorns elektriska fält i kretsen, elektricitet, strömstyrka i som kommer att öka med tiden. Kondensatorn vid denna tidpunkt kommer att börja ladda ur, eftersom. elektronerna som skapar strömmen (jag påminner om att riktningen för positiva laddningars rörelse tas som strömriktningen) lämnar kondensatorns negativa platta och kommer till den positiva (se fig. 2, position 2 ). Tillsammans med laddning q spänningen kommer att minska u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) När strömstyrkan ökar, kommer en självinduktions-emk att dyka upp genom spolen, vilket förhindrar en förändring i strömstyrkan. Som ett resultat kommer strömstyrkan i den oscillerande kretsen att öka från noll till ett visst maxvärde inte omedelbart, utan under en viss tidsperiod, bestämt av spolens induktans.

Kondensatorladdning q minskar och vid någon tidpunkt blir lika med noll ( q = 0, u= 0), kommer strömmen i spolen att nå ett visst värde jag är(se fig. 2, position 3 ).

Utan kondensatorns (och resistans) elektriska fält fortsätter elektronerna som skapar strömmen att röra sig genom tröghet. I det här fallet ger elektronerna som kommer till kondensatorns neutrala platta den en negativ laddning, elektronerna som lämnar den neutrala plattan ger den en positiv laddning. Kondensatorn börjar laddas q(och spänning u), men av motsatt tecken, dvs. kondensatorn laddas. Nu hindrar kondensatorns nya elektriska fält elektronerna från att röra sig, så strömmen i börjar minska (se fig. 2, position 4 ). Återigen, detta händer inte omedelbart, eftersom nu självinduktions-EMK försöker kompensera för minskningen av strömmen och "stödjer" den. Och strömmens värde jag är(gravid 3 ) visar sig maximal ström i kontur.

Och igen, under verkan av kondensatorns elektriska fält, kommer en elektrisk ström att dyka upp i kretsen, men riktad i motsatt riktning, strömstyrkan i som kommer att öka med tiden. Och kondensatorn kommer att laddas ur vid denna tidpunkt (se fig. 2, position 6 ) till noll (se fig. 2, position 7 ). Etc.

Eftersom laddningen på kondensatorn q(och spänning u) bestämmer dess elektriska fältenergi Vi\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) och strömmen i spolen i- magnetfältsenergi wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) sedan tillsammans med förändringar i laddning, spänning och ström, kommer energierna också att förändras.

Beteckningar i tabellen:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Den totala energin för en ideal oscillerande krets bevaras över tiden, eftersom det finns energiförlust i den (inget motstånd). Sedan

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Alltså, idealiskt LC- kretsen kommer att uppleva periodiska förändringar i nuvarande styrka i, ladda q och stress u, och kretsens totala energi kommer att förbli konstant. I det här fallet säger vi att det finns fria elektromagnetiska svängningar.

Fria elektromagnetiska svängningar i kretsen - dessa är periodiska förändringar i laddningen på kondensatorplattorna, strömstyrka och spänning i kretsen, som sker utan att förbruka energi från externa källor.

Således beror förekomsten av fria elektromagnetiska oscillationer i kretsen på laddningen av kondensatorn och förekomsten av självinduktions-EMK i spolen, vilket "ger" denna laddning. Observera att laddningen på kondensatorn q och strömmen i spolen i nå sina maximala värden Qm och jag är vid olika tidpunkter.

Fria elektromagnetiska svängningar i kretsen sker enligt den harmoniska lagen:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Den minsta tidsperiod under vilken LC- kretsen återgår till sitt ursprungliga tillstånd (till det initiala värdet av laddningen av detta foder), kallas perioden för fria (naturliga) elektromagnetiska svängningar i kretsen.

Perioden av fria elektromagnetiska svängningar i LC-kontur bestäms av Thomsons formel:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Ur mekanisk analogi, motsvarar en fjäderpendel utan friktion en idealisk oscillerande krets och en riktig - med friktion. På grund av verkan av friktionskrafter dämpas svängningarna i en fjäderpendel över tiden.

*Härledning av Thomson-formeln

Eftersom den totala energin av det ideala LC-kontur, lika med summan av energier elektrostatiskt fält kondensatorn och spolens magnetfält bevaras, då är jämställdheten när som helst

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Vi får svängningsekvationen i LC-krets, med hjälp av lagen om energibevarande. Differentiera uttrycket för dess totala energi med avseende på tid, med hänsyn till det faktum att

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

vi får en ekvation som beskriver fria svängningar i en ideal krets:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Genom att skriva om det som:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

Observera att detta är ekvationen för harmoniska svängningar med en cyklisk frekvens

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Följaktligen perioden för de oscillationer som beaktas

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Litteratur

Zhilko, V.V. Fysik: lärobok. bidrag för årskurs 11 allmän utbildning. skola från ryska lang. träning / V.V. Zhilko, L.G. Markovich. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.