Graf funkcije kubičnega korena. Funkcija moči in korenine - definicija, lastnosti in formule

Fantje, nadaljujemo s preučevanjem funkcij moči. Tema današnje lekcije bo funkcija - kubni koren x. Kaj je kockasti koren? Število y imenujemo kubni koren x (koren tretje stopnje), če je enakost izpolnjena. Označimo:, kjer je x radikalno število, 3 je eksponent.

Kot lahko vidimo, je kubusni koren mogoče izločiti tudi iz negativnih števil. Izkazalo se je, da naš koren obstaja za vsa števila. Tretji koren negativnega števila je enak negativnemu številu. Ko se dvigne na liho potenco, se predznak ohrani, tretja potenca je liha. Preverimo enakost: Naj. Oba izraza dvignemo na tretjo potenco. Nato ali V zapisu korenin dobimo želeno istovetnost.

Fantje, začrtajmo svojo funkcijo. 1) Območje definicije je množica realnih števil. 2) Funkcija je čudna, saj Nato svojo funkcijo upoštevamo pri x 0, po kateri odražamo graf glede na izvor. 3) Funkcija raste pri x 0. Za našo funkcijo večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, kar pomeni povečanje. 4) Funkcija ni omejena od zgoraj. Pravzaprav od karkoli veliko število lahko izračunamo koren tretje stopnje in se lahko premikamo v neskončnost, pri čemer najdemo vedno večje vrednosti argumenta. 5) Za x 0 je najmanjša vrednost 0. Ta lastnost je očitna.

Gradimo naš graf funkcije na celotni domeni definicije. Ne pozabite, da je naša funkcija čudna. Lastnosti funkcije: 1) D(y)=(-;+) 2) čudna funkcija. 3) Poveča se za (-;+) 4) Neomejeno. 5) Ni najmanjše ali največje vrednosti. 6) Funkcija je neprekinjena na celotni realni premici. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Konveksno navzdol za (-; 0), konveksno navzgor za (0; +).

Primer. Grafirajte funkcijo in jo preberite. Rešitev. Zgradimo dva grafa funkcij na isti koordinatni ravnini ob upoštevanju naših pogojev. Pri x-1 zgradimo graf kubnega korena, pri x-1 graf linearne funkcije. 1) D(y)=(-;+) 2) Funkcija ni niti soda niti liha. 3) Zmanjša za (-;-1), poveča za (-1;+) 4) Neomejeno od zgoraj, omejeno od spodaj. pet) Največja vrednostšt. Najnižja vrednost enako minus ena. 6) Funkcija je neprekinjena na celotni realni premici. 7) E(y)= (-1;+)

Namesto uvoda

Uporaba sodobnih tehnologij (CSE) in učnih pripomočkov (multimedijska tabla) pri pouku pomaga učitelju pri načrtovanju in izvajanju učinkovitega pouka, ustvarja pogoje, da učenci razumejo, zapomnijo in vadijo veščine.

Pouk se izkaže za dinamičen in zanimiv, če med poukom kombinirate različne oblike učenja.

V sodobni didaktiki obstajajo štirje splošni organizacijske oblike učenje:

• individualno posredovano;
• savna;
• skupina;

kolektivni (v parih zamenljive sestave). (Dyachenko V.K. Sodobna didaktika. - M .: Nacionalno izobraževanje, 2005).

Pri tradicionalnem pouku se praviloma uporabljajo le prve tri zgoraj naštete organizacijske oblike izobraževanja. kolektivna oblika poučevanja (delo v parih izmenah) učitelj praktično ne uporablja. Vendar pa ta organizacijska oblika učenja omogoča ekipi, da usposobi vsakega posebej za aktivno sodelovanje pri usposabljanju drugih. Kolektivna oblika izobraževanja je vodilna v tehnologiji družbene odgovornosti podjetij.

Ena najpogostejših metod tehnologije kolektivnega učenja je metoda "Vzajemno usposabljanje".

Ta "čarobna" tehnika je dobra pri katerem koli predmetu in v kateri koli lekciji. Namen je usposabljanje.

Usposabljanje je naslednik samonadzora, študentu pomaga vzpostaviti stik s predmetom študija, tako da lažje najde prave korake-akcije. Skozi usposabljanje za pridobivanje, utrjevanje, prezdruževanje, revizijo, uporabo znanja, se razvija človeške kognitivne sposobnosti. (Yanovitskaya E.V. Kako poučevati in se učiti v razredu, da se želite učiti. Referenčna knjiga. - Sankt Peterburg: Izobraževalni projekti, M.: Založnik A.M. Kušnir, 2009.-str.14;131)

Pomagalo bo hitro ponoviti katero koli pravilo, si zapomniti odgovore na preučena vprašanja, utrditi potrebno spretnost. Optimalni čas za delo po metodi je 5-10 minut. Delo na vadbenih karticah se praviloma izvaja med ustnim štetjem, torej na začetku pouka, po presoji učitelja pa se lahko izvaja na kateri koli stopnji lekcije, odvisno od njenih ciljev in strukturo. V vadbeni kartici je lahko od 5 do 10 preprostih primerov (vprašanja, naloge). Vsak učenec v razredu prejme kartico. Karte so različne za vsakogar ali drugačne za vse v »združeni ekipi« (otroci, ki sedijo v isti vrsti). Konsolidirani odred (skupina) je začasno sodelovanje učencev, ki se oblikuje za opravljanje določene vzgojne naloge. (Yalovets T.V. Tehnologija kolektivne metode poučevanja v izpopolnjevanju učitelja: Izobraževalni in metodološki priročnik. - Novokuznetsk: Založba IPC, 2005. - str. 122)

Projekt lekcije na to temo "Funkcija y=, njene lastnosti in graf"

V projektu lekcije, katere tema je: " Funkcija y=, njene lastnosti in graf" predstavljena je uporaba tehnike medsebojnega usposabljanja v kombinaciji z uporabo tradicionalnih in multimedijskih učnih pripomočkov.

Tema lekcije: " Funkcija y=, njegove lastnosti in graf”

Cilji:

• priprava na kontrolno delo;
• preverjanje poznavanja vseh lastnosti funkcije in sposobnosti risanja funkcijskih grafov in branja njihovih lastnosti.

Naloge: predmetna stopnja:

nadpredmetna raven:

• naučiti analizirati grafične informacije;
• razviti sposobnost dialoga;
• razvijati sposobnost in spretnost dela z interaktivno tablo na primeru dela z grafi.

Struktura lekcije	Čas
1. Informacijski vnos učitelja (ITI)	5 minut.
2. Aktualizacija temeljnega znanja: delo v parih izmen po metodologiji “Medsebojno usposabljanje”	8 min.
3. Seznanitev s temo »Funkcija y=, njene lastnosti in graf«: predstavitev učitelja	8 min.
4. Utrjevanje na novo preučenega in že opravljenega gradiva na temo »Funkcija«: z uporabo interaktivne table	15 minut.
5. Samokontrola : v obliki testa	7 min.
6. Povzetek, snemanje domače naloge.	2 minuti.

Oglejmo si podrobneje vsebino vsake stopnje.

1. Vnos informacij za učitelje (ITI) vključuje Organiziranje časa; izražanje teme, namena in učnega načrta; prikaz vzorca dela v parih po metodi medsebojnega treninga.

Predstavitev vzorca dela v parih s strani študentov na tej stopnji lekcije je priporočljivo ponoviti algoritem dela tehnike, ki jo potrebujemo, ker. na naslednji stopnji pouka je na njem načrtovano delo celotne razredne ekipe. Hkrati lahko po algoritmu (če obstajajo) poimenujete napake pri delu ter ocenite delo teh študentov.

2. Aktualizacija referenčnega znanja se izvaja v parih izmenske sestave po metodi medsebojnega usposabljanja.

Algoritem metodologije vključuje individualne, parne (statični pari) in kolektivne (pari izmensko sestavo) organizacijske oblike usposabljanja.

Posameznik: vsak, ki prejme kartico, se seznani z njeno vsebino (prebere vprašanja in odgovore na hrbtni strani kartice).

• najprej(v vlogi »pripravnika«) prebere nalogo in odgovori na vprašanja partnerjeve kartice;
• drugič(v vlogi "trenerja") - preverja pravilnost odgovorov na hrbtni strani kartice;
• podobno delajte na drugi karti, menjajte vloge;
• označite na posameznem listu in zamenjajte karte;
• pojdite na nov par.

kolektiv:

• v novem paru delujejo kot v prvem; prehod na nov par itd.

Število prehodov je odvisno od časa, ki ga je učitelj namenil tej fazi lekcijo, od prizadevnosti in hitrosti razumevanja vsakega učenca ter od partnerjev v sodelovanju.

Po delu v parih učenci naredijo oznake na zapisnih listih, učitelj opravi kvantitativno in kvalitativno analizo dela.

Seznam bi lahko izgledal takole:

Ivanov Petya 7 "b" razred

datum	Številka kartice	Število napak	s kom si delal
20.12.09	№7	0	Sidorov K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Seznanitev s temo »Funkcija y =, njene lastnosti in graf« izvaja učitelj v obliki predstavitve z uporabo multimedijskih učnih orodij (Priloga 4). Po eni strani je to možnost vizualizacije, ki je razumljiva sodobnim študentom, po drugi strani pa prihrani čas pri razlagi novega gradiva.

4. Utrjevanje na novo preučenega in že opravljenega gradiva na temo »Funkcija ” organizirano v dveh različicah, z uporabo tradicionalnih učnih pripomočkov (tabla, učbenik) in inovativnih (interaktivna tabla).

Najprej je ponujenih več nalog iz učbenika za utrjevanje na novo preučenega gradiva. Uporablja se učbenik, ki se uporablja za poučevanje. Delo poteka hkrati s celotnim razredom. V tem primeru en študent opravi nalogo "a" - na tradicionalni tabli; druga je naloga »b« na interaktivni tabli, ostali učenci si rešitve istih nalog zapišejo v zvezek in svojo rešitev primerjajo z rešitvijo, predstavljeno na tablah. Nato učitelj oceni delo učencev na tabli.

Nato je za hitrejšo utrjevanje preučenega gradiva na temo »Funkcija« predlagano frontalno delo z interaktivno tablo, ki ga lahko organiziramo na naslednji način:

• naloga in urnik se prikažeta na interaktivni tabli;
• učenec, ki želi odgovoriti, gre do table, izvede potrebne konstrukcije in izgovori odgovor;
• na tabli se prikaže nova naloga in nov urnik;
• Še en študent pride, da odgovori.

Tako je v kratkem času mogoče rešiti kar veliko nalog, oceniti odgovore učencev. Nekaj ​​zanimivih nalog (podobno nalogam iz prihajajočega nadzorno delo), lahko zapišete v zvezek.

5. Na stopnji samokontrole študentom ponudimo test, ki mu sledi samoizpit (Priloga 3).

Literatura

1. Dyachenko, V.K. Sodobna didaktika [Besedilo] / V.K. Dyachenko - M.: Javno izobraževanje, 2005.
2. Yalovets, T.V. Tehnologija kolektivne metode poučevanja pri strokovnem razvoju učitelja: Učno-metodični priročnik [Besedilo] / T.V. Yalovets. - Novokuznetsk: Založba IPC, 2005.
3. Yanovitskaya, E.V. Kako poučevati in se učiti v razredu, da se želite učiti. Referenčna knjiga [Besedilo] / E.V. Yanovitskaya. - Sankt Peterburg: Izobraževalni projekti, M.: Založnik A.M. Kušnir, 2009.

Lekcija in predstavitev na temo: "Močne funkcije. Kubični koren. Lastnosti kubičnega korena"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov! Vse materiale preveri protivirusni program.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 9. razred
Izobraževalni kompleks 1C: "Algebraični problemi s parametri, 9-11 razredi" Programsko okolje "1C: Matematični konstruktor 6.0"

Definicija funkcije moči - kubni koren

Fantje, nadaljujemo s preučevanjem funkcij moči. Danes bomo govorili o funkciji Cube Root of x.
Kaj je kockasti koren?
Število y imenujemo kubni koren x (koren tretje stopnje), če je $y^3=x$ res.
Označeni so kot $\sqrt(x)$, kjer je x korensko število, 3 je eksponent.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Kot lahko vidimo, je kubusni koren mogoče izločiti tudi iz negativnih števil. Izkazalo se je, da naš koren obstaja za vsa števila.
Tretji koren negativnega števila je enak negativnemu številu. Ko se dvigne na liho potenco, se predznak ohrani, tretja potenca je liha.

Preverimo enakost: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Naj bo $\sqrt((-x))=a$ in $\sqrt(x)=b$. Dvignimo oba izraza na tretjo potenco. $–x=a^3$ in $x=b^3$. Potem $a^3=-b^3$ ali $a=-b$. Pri zapisu korenin dobimo želeno identiteto.

Lastnosti kubnih korenin

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Dokažimo drugo lastnost. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Ugotovili smo, da je število $\sqrt(\frac(a)(b))$ v kocki enako $\frac(a)(b)$ in potem enako $\sqrt(\frac(a) (b))$, kar in je bilo treba dokazati.

Fantje, narišemo naš funkcijski graf.
1) Območje definicije je množica realnih števil.
2) Funkcija je čudna, ker $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Nato razmislite o naši funkciji za $x≥0$, nato pa odražajte graf glede na izvor.
3) Funkcija se poveča za $х≥0$. Za našo funkcijo večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, kar pomeni naraščanje.
4) Funkcija ni omejena od zgoraj. Pravzaprav lahko iz poljubno velikega števila izračunate koren tretje stopnje in se lahko pomaknemo v neskončnost, pri čemer najdemo vedno večje vrednosti argumenta.
5) Za $x≥0$ je najmanjša vrednost 0. Ta lastnost je očitna.
Zgradimo graf funkcije po točkah za x≥0.

Gradimo naš graf funkcije na celotni domeni definicije. Ne pozabite, da je naša funkcija čudna.

Lastnosti funkcije:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Neparna funkcija.
3) Poveča se za (-∞;+∞).
4) Neomejeno.
5) Ni najmanjše ali največje vrednosti.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konveksno navzdol za (-∞;0), konveksno navzgor za (0;+∞).

Primeri reševanja funkcij moči

Primeri
1. Rešite enačbo $\sqrt(x)=x$.
Rešitev. Zgradimo dva grafa na isti koordinatni ravnini $y=\sqrt(x)$ in $y=x$.

Kot lahko vidite, se naši grafi sekajo v treh točkah.
Odgovor: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Zgradite graf funkcije. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Rešitev. Naš graf dobimo iz grafa funkcije $y=\sqrt(x)$ z vzporednim premikom dveh enot v desno in treh enot navzdol.

3. Sestavite funkcijski graf in ga preberite. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Rešitev. Zgradimo dva grafa funkcij na isti koordinatni ravnini ob upoštevanju naših pogojev. Za $х≥-1$ zgradimo graf kubičnega korena, za $х≤-1$ graf linearne funkcije.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija ni niti soda niti liha.
3) Zmanjša za (-∞;-1), poveča za (-1;+∞).
4) Neomejeno od zgoraj, omejeno od spodaj.
5) Najvišje vrednosti ni. Najmanjša vrednost je minus ena.
6) Funkcija je neprekinjena na celotni realni premici.
7) E(y)= (-1;+∞).

Naloge za samostojno reševanje

1. Rešite enačbo $\sqrt(x)=2-x$.
2. Narišite funkcijo $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Sestavite graf funkcije in ga preberite. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Podane so glavne lastnosti funkcije moči, vključno s formulami in lastnostmi korenin. Predstavljeni so izpeljanka, integral, razširitev potenčnih vrst in predstavitev s kompleksnimi števili funkcije moči.

Opredelitev

Opredelitev
Funkcija moči z eksponentom str je funkcija f (x) = xp, katerega vrednost v točki x je enaka vrednosti eksponentna funkcija z osnovo x na str.
Poleg tega je f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za naravne vrednosti eksponenta je funkcija moči produkt n števil, enakih x:
.
Definiran je za vse realne .

Za pozitivne racionalne vrednosti eksponenta je funkcija moči produkt n korenov stopnje m iz števila x:
.
Za liho m je definiran za vse realne x. Za sodo m je funkcija moči definirana za nenegativno .

Za negativno je funkcija moči definirana s formulo:
.
Zato na točki ni opredeljena.

Za iracionalne vrednosti eksponenta p je eksponentna funkcija določena s formulo:
,
kjer je a poljubno pozitivno število, ne enako ena: .
Za , je opredeljeno za .
Za , je funkcija moči definirana za .

Kontinuiteta. Funkcija moči je neprekinjena na svojem področju definicije.

Lastnosti in formule funkcije moči za x ≥ 0

Tukaj upoštevamo lastnosti funkcije moči za ne negativne vrednosti argument x. Kot že omenjeno, je za nekatere vrednosti eksponenta p eksponentna funkcija definirana tudi za negativne vrednosti x. V tem primeru je mogoče njegove lastnosti pridobiti iz lastnosti pri , z uporabo sode ali lihe paritete. Ti primeri so obravnavani in podrobno prikazani na strani "".

Funkcija moči, y = x p , z eksponentom p ima naslednje lastnosti:
(1.1) definirano in neprekinjeno na setu
pri ,
pri ;
(1.2) ima veliko pomenov
pri ,
pri ;
(1.3) strogo narašča pri ,
strogo zmanjša pri ;
(1.4) pri ;
pri ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz o lastnostih je podan na strani " Funkcija moči (dokaz kontinuitete in lastnosti) »

Korenine - definicija, formule, lastnosti

Opredelitev
Koren od x na potenco od n je število, katerega dvig na potencio n daje x:
.
Tukaj n = 2, 3, 4, ... - naravno število, večja od ena.

Lahko tudi rečete, da je koren števila x stopnje n koren (to je rešitev) enačbe
.
Upoštevajte, da je funkcija inverzna funkciji.

Kvadratni koren od x je koren stopnje 2: .

kockasti koren od številke x je koren stopnje 3: .

Celotna diploma

Za sode moči n = 2 m, je koren definiran za x ≥ 0 . Pogosto uporabljena formula velja tako za pozitivno kot za negativno x:
.
Za kvadratni koren:
.

Pri tem je pomemben vrstni red, v katerem se izvajajo operacije - to pomeni, da se najprej izvede kvadriranje, kar povzroči nenegativno število, nato pa se iz njega izvleče koren (iz nenegativnega števila lahko izvlečete Kvadratni koren). Če bi spremenili vrstni red: , bi bil pri negativnem x koren nedefiniran, z njim pa bi bil nedefiniran celoten izraz.

neparna stopnja

Za lihe potence je koren definiran za vse x:
;
.

Lastnosti in formule korenin

Koren x je funkcija moči:
.
Za x ≥ 0 veljajo naslednje formule:
;
;
, ;
.

Te formule je mogoče uporabiti tudi za negativne vrednosti spremenljivk. Poskrbeti je treba le za to, da radikalni izraz celotnih moči ne bo negativen.

Zasebne vrednote

Koren 0 je 0: .
Koren 1 je 1: .
Kvadratni koren iz 0 je 0: .
Kvadratni koren iz 1 je 1: .

Primer. Korenina iz korenin

Razmislite o primeru kvadratnega korena korenin:
.
Pretvorite notranji kvadratni koren z uporabo zgornjih formul:
.
Zdaj pa preoblikujemo izvirni koren:
.
torej
.

y = x p za različne vrednosti eksponenta p.

Tu so grafi funkcije za nenegativne vrednosti argumenta x. Grafi funkcije moči, definirane za negativne vrednosti x, so podani na strani " Funkcija moči, njene lastnosti in grafi »

Inverzna funkcija

Inverzna stopenjska funkcija z eksponentom p je stopenjska funkcija z eksponentom 1/p.

Če, potem .

Izvod funkcije moči

Izpeljanka n-toga reda:
;

Izpeljava formul >> >

Integral funkcije moči

P≠- 1 ;
.

Razširitev Power serije

ob - 1 < x < 1 pride do naslednje razgradnje:

Izrazi v obliki kompleksnih števil

Razmislite o funkciji kompleksne spremenljivke z:
f (z) = z t.
Kompleksno spremenljivko z izrazimo z modulom r in argumentom φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Kompleksno število t predstavljamo kot realni in namišljeni deli:
t = p + i q.
Imamo:

Nadalje upoštevamo, da argument φ ni enolično definiran:
,

Razmislite o primeru, ko je q = 0 , to je eksponent pravo število, t = p . Potem
.

Če je p celo število, je kp tudi celo število. Potem, zaradi periodičnosti trigonometričnih funkcij:
.
tj eksponentna funkcija s celim eksponentom za dani z ima samo eno vrednost in je zato enovrednoten.

Če je p iracionalno, potem produkti kp ne dajejo celega števila za noben k. Ker k teče skozi neskončno vrsto vrednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., potem ima funkcija z p neskončno veliko vrednosti. Kadar koli se poveča argument z 2 pi(en obrat), se premaknemo na novo vejo funkcije.

Če je p racionalen, ga lahko predstavimo kot:
, kje m,n so cela števila brez skupnih deliteljev. Potem
.
Prvih n vrednosti, za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, daj n različne pomene kp:
.
Vendar pa naslednje vrednosti dajejo vrednosti, ki se od prejšnjih razlikujejo za celo število. Na primer, za k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrične funkcije, katerih argumenti se razlikujejo po večkratnikih 2 pi, imajo enake vrednosti. Zato z nadaljnjim povečanjem k dobimo enake vrednosti z p kot pri k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Tako je eksponentna funkcija s racionalni kazalnik stopnja je večvrednostna in ima n vrednosti (vej). Kadar koli se poveča argument z 2 pi(en obrat), se premaknemo na novo vejo funkcije. Po n takih zavojih se vrnemo na prvo vejo, s katere se je začelo odštevanje.

Zlasti koren stopnje n ima n vrednosti. Kot primer si oglejmo n-ti koren realnega pozitivnega števila z = x. V tem primeru φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Torej, za kvadratni koren je n = 2 ,
.
Za sodo k, (- 1 ) k = 1. Za liho k, (- 1 ) k = - 1.
To pomeni, da ima kvadratni koren dva pomena: + in -.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik za matematiko za inženirje in študente visokošolskih zavodov, Lan, 2009.