Funcțiile trigonometrice și ale lor. Ceea ce este sinus și cosinus sunt procente

În acest articol vor fi luate în considerare trei proprietăți principale ale funcțiilor trigonometrice: sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Prima proprietate este semnul funcției, în funcție de care sfert din cerc unitar îi aparține unghiul α. A doua proprietate este periodicitatea. Conform acestei proprietăți, funcția tigonometrică nu își schimbă valoarea atunci când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații. A treia proprietate determină modul în care se schimbă valorile funcţiile păcatului, cos, tg, ctg în unghiuri opuse α și - α .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Adesea, într-un text matematic sau în contextul unei probleme, puteți găsi expresia: „unghiul primului, al doilea, al treilea sau al patrulea sfert de coordonate”. Ce este?

Să ne uităm la cercul unității. Este împărțit în patru sferturi. Marcam punctul de plecare A 0 (1, 0) pe cerc și, rotindu-l în jurul punctului O cu un unghi α, ajungem la punctul A 1 (x, y) . În funcție de sfertul în care se va afla punctul A 1 (x, y), unghiul α va fi numit unghiul primului, al doilea, al treilea și, respectiv, al patrulea cadran.

Pentru claritate, oferim o ilustrare.

Unghiul α = 30° se află în primul cadran. Unghi - 210° este al doilea sfert de unghi. Unghiul de 585° este unghiul celui de-al treilea sfert. Unghiul - 45° este unghiul celui de-al patrulea sfert.

În acest caz, unghiurile ± 90 ° , ± 180 ° , ± 270 ° , ± 360 ° nu aparțin niciunui sferturi, deoarece se află pe axele de coordonate.

Acum luați în considerare semnele care iau sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, în funcție de sfertul în care se află unghiul.

Pentru a determina semnele sinusului în sferturi, amintiți-vă definiția. Sinusul este ordonata punctului A 1 (x , y) . Figura arată că în primul și al doilea trimestru este pozitiv, iar în al treilea și cvadruplu este negativ.

Cosinusul este abscisa punctului A 1 (x, y) . În conformitate cu aceasta, determinăm semnele cosinusului pe cerc. Cosinusul este pozitiv în primul și al patrulea trimestru și negativ în al doilea și al treilea trimestru.

Pentru a determina semnele tangentei și cotangentei pe sferturi, amintim și definițiile acestor funcții trigonometrice. Tangenta - raportul dintre ordonata punctului și abscisa. Deci, conform regulii împărțirii numerelor cu semne diferite când ordonata şi abscisa au semne identice, semnul tangentei pe cerc va fi pozitiv, iar când ordonata și abscisa au semne diferite, va fi negativ. În mod similar, se determină semnele cotangentei în sferturi.

Important de reținut!

1. Sinusul unghiului α are semnul plus în sferturile 1 și 2, semnul minus în sferturile 3 și 4.
2. Cosinusul unghiului α are semnul plus în sferturile 1 și 4, semnul minus în sferturile 2 și 3.
3. Tangenta unghiului α are semnul plus în sferturile 1 și 3, semnul minus în sferturile 2 și 4.
4. Cotangenta unghiului α are semnul plus în sferturile 1 și 3, semnul minus în sferturile 2 și 4.

Proprietatea periodicității

Proprietatea periodicității este una dintre cele mai evidente proprietăți ale funcțiilor trigonometrice.

Proprietatea de periodicitate

Când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații complete, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului dat rămân neschimbate.

Într-adevăr, când schimbăm unghiul cu un număr întreg de rotații, vom ajunge întotdeauna de la punctul de plecare A pe cercul unitar la punctul A1 cu aceleași coordonate. În consecință, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu se vor schimba.

Din punct de vedere matematic, această proprietate se scrie după cum urmează:

sin α + 2 π z = sin α cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α c t g α + 2 π z = c t g α

Care este aplicarea practică a acestei proprietăți? Proprietatea de periodicitate, ca și formulele de reducere, este adesea folosită pentru a calcula valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor mari.

Să dăm exemple.

sin 13 π 5 \u003d sin 3 π 5 + 2 π \u003d sin 3 π 5

t g (- 689 °) = t g (31 ° + 360 ° (- 2)) = t g 31 ° t g (- 689 °) = t g (- 329 ° + 360 ° (- 1)) = t g (- 329 °)

Să ne uităm din nou la cercul unității.

Punctul A 1 (x, y) este rezultatul întoarcerii punctului de plecare A 0 (1, 0) în jurul centrului cercului cu un unghi α. Punctul A 2 (x, - y) este rezultatul întoarcerii punctului de plecare cu un unghi - α.

Punctele A 1 și A 2 sunt simetrice față de axa x. În cazul în care α = 0 ° , ± 180 ° , ± 360 ° punctele A 1 și A 2 coincid. Fie ca un punct să aibă coordonatele (x , y) , iar al doilea - (x , - y) . Amintiți-vă definițiile sinusului, cosinusului, tangentei, cotangentei și scrieți:

sin α = y , cos α = x , t g α = y x , c t g α = x y sin - α = - y , cos - α = x , t g - α = - y x , c t g - α = x - y

Aceasta implică proprietatea sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor colțuri opuse.

Proprietatea sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse

sin - α = - sin α cos - α = cos α t g - α = - t g α c t g - α = - c t g α

Conform acestei proprietăți, egalitățile

sin - 48 ° = - sin 48 ° , c t g π 9 = - c t g - π 9 , cos 18 ° = cos - 18 °

Proprietatea considerată este adesea folosită în rezolvarea problemelor practice în cazurile în care este necesar să se scape de semnele negative ale unghiurilor în argumentele funcțiilor trigonometrice.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Vă permite să stabiliți un număr de rezultate caracteristice - proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. În acest articol, ne vom uita la trei proprietăți principale. Primul dintre ele indică semnele sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului α, în funcție de ce sfert de unghi de coordonate este α. În continuare, luăm în considerare proprietatea periodicității, care stabilește invarianța valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului α atunci când acest unghi se modifică cu un număr întreg de rotații. A treia proprietate exprimă relația dintre valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor opuse α și −α.

Dacă sunteți interesat de proprietățile funcțiilor sinus, cosinus, tangentă și cotangente, atunci acestea pot fi studiate în secțiunea corespunzătoare a articolului.

Navigare în pagină.

Semne de sinus, cosinus, tangente și cotangente în sferturi

Mai jos în acest paragraf se va găsi sintagma „unghiul I, II, III și IV al sfertului de coordonate”. Să explicăm care sunt aceste colțuri.

Să luăm un cerc unitar, să marchem punctul de plecare A(1, 0) pe el și să-l rotim în jurul punctului O cu un unghi α, în timp ce presupunem că ajungem la punctul A 1 (x, y) .

Ei spun asta unghiul α este unghiul I , II , III , IV al sfertului de coordonate dacă punctul A 1 se află în sferturile I, II, III, IV, respectiv; dacă unghiul α este astfel încât punctul A 1 se află pe oricare dintre dreptele de coordonate Ox sau Oy , atunci acest unghi nu aparține niciunuia dintre cele patru sferturi.

Pentru claritate, vă prezentăm o ilustrare grafică. Desenele de mai jos prezintă unghiuri de rotație de 30 , -210 , 585 și -45 de grade, care sunt unghiurile I , II , III și IV ale sferturilor de coordonate, respectiv.

colțuri 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grade nu aparțin niciunuia dintre sferturile de coordonate.

Acum să ne dăm seama care semne au valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α, în funcție de ce sfert de unghi este α.

Pentru sinus și cosinus, acest lucru este ușor de făcut.

Prin definiție, sinusul unghiului α este ordonata punctului A 1 . Este evident că în sferturile de coordonate I și II este pozitiv, iar în sferturile III și IV este negativ. Astfel, sinusul unghiului α are semnul plus în sferturile I și II, iar semnul minus în sferturile III și VI.

La rândul său, cosinusul unghiului α este abscisa punctului A 1 . În trimestrele I și IV este pozitivă, iar în trimestrele II și III este negativ. Prin urmare, valorile cosinusului unghiului α în sferturile I și IV sunt pozitive, iar în sferturile II și III sunt negative.

Pentru a determina semnele prin sferturi de tangentă și cotangente, trebuie să vă amintiți definițiile lor: tangenta este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa, iar cotangenta este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonată. Apoi de la regulile împărțirii numerelor cu aceleași semne și diferite, rezultă că tangenta și cotangenta au semnul plus atunci când semnele absciselor și ordonatelor punctului A 1 sunt aceleași și au semnul minus când abscisele și ordonatele punctului A 1 sunt diferite. Prin urmare, tangenta și cotangenta unghiului au un semn + în sferturile de coordonate I și III și un semn minus în sferturile II și IV.

Într-adevăr, de exemplu, în primul trimestru, atât abscisa x cât și ordonata y a punctului A 1 sunt pozitive, atunci atât câtul x/y cât și câtul y/x sunt pozitive, prin urmare, tangenta și cotangenta au semnele + . Și în al doilea sfert al abscisei, x este negativ, iar ordonata y este pozitivă, deci atât x / y și y / x sunt negative, de unde tangenta și cotangenta au semnul minus.

Să trecem la următoarea proprietate a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Proprietatea periodicității

Acum vom analiza, poate, cea mai evidentă proprietate a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi. Constă în următoarele: atunci când unghiul se modifică cu un număr întreg de rotații complete, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei acestui unghi nu se modifică.

Acest lucru este de înțeles: atunci când unghiul se schimbă cu un număr întreg de rotații, vom ajunge întotdeauna de la punctul de plecare A la punctul A 1 pe cercul unitar, prin urmare, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei rămân neschimbate, întrucât coordonatele punctului A 1 sunt neschimbate.

Folosind formule, proprietatea considerată a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei poate fi scrisă astfel: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , unde α este unghiul de rotație în radiani, z este oricare , a cărui valoare absolută indică numărul de rotații complete cu care se modifică unghiul α și semnul lui cifra z indică direcția de viraj.

Dacă unghiul de rotație α este dat în grade, atunci aceste formule vor fi rescrise ca sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360° z)=ctgα .

Să dăm exemple de utilizare a acestei proprietăți. De exemplu, , deoarece , A . Iată un alt exemplu: sau .

Această proprietate, împreună cu formulele de reducere, este foarte des folosită la calcularea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiurilor "mari".

Proprietatea considerată a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei este uneori numită proprietatea periodicității.

Proprietățile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse

Fie А 1 punctul obținut ca urmare a rotației punctului inițial А(1, 0) în jurul punctului O cu unghiul α , iar punctul А 2 este rezultatul rotației punctului А cu unghiul −α opus unghiului α .

Proprietatea sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse se bazează pe suficient fapt evident: punctele A 1 și A 2 menționate mai sus fie coincid (la ) fie sunt situate simetric față de axa Ox. Adică dacă punctul A 1 are coordonatele (x, y) , atunci punctul A 2 va avea coordonatele (x, −y) . De aici, conform definițiilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, notăm egalitățile și.
Comparându-le, ajungem la relații dintre sinusuri, cosinus, tangente și cotangente ale unghiurilor opuse α și −α de forma .
Aceasta este proprietatea considerată sub formă de formule.

Să dăm exemple de utilizare a acestei proprietăți. De exemplu, egalitățile și .

Rămâne doar să rețineți că proprietatea sinusurilor, cosinusului, tangentelor și cotangentelor unghiurilor opuse, ca și proprietatea anterioară, este adesea folosită la calcularea valorilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei și vă permite să scăpați complet. din unghiuri negative.

Bibliografie.

• Algebră: Proc. pentru 9 celule. medie scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Iluminismul, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorova.- ed. a XIV-a- M.: Iluminismul, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Proc. pentru 10-11 celule. medie şcoală - Ed. a 3-a. - M.: Iluminismul, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vezi abracadabra, șterge-ți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă pentru

Sinus, cosinus, tangent, cotangent

Conceptele de sinus (), cosinus (), tangentă (), cotangentă () sunt indisolubil legate de conceptul de unghi. Pentru a înțelege bine aceste, la prima vedere, concepte complexe (care provoacă o stare de groază la mulți școlari), și să ne asigurăm că „diavolul nu este atât de înfricoșător precum este pictat”, să începem de la bun început și să înțelegem conceptul de unghi.

Conceptul de unghi: radian, grad

Să ne uităm la poză. Vectorul s-a „întors” față de punct cu o anumită cantitate. Deci măsura acestei rotații în raport cu poziția inițială va fi colţ.

Ce altceva trebuie să știți despre conceptul de unghi? Ei bine, unități de unghi, desigur!

Unghiul, atât în ​​geometrie, cât și în trigonometrie, poate fi măsurat în grade și radiani.

Unghiul de (un grad) este unghiul central al cercului, bazat pe un arc de cerc egal cu partea cercului. Astfel, întregul cerc este format din „bucăți” de arce circulare, sau unghiul descris de cerc este egal.

Adică, figura de mai sus arată un unghi care este egal, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc de dimensiunea circumferinței.

Un unghi în radiani se numește unghi central într-un cerc, pe baza unui arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului. Ei bine, ai inteles? Dacă nu, atunci să ne uităm la imagine.

Deci, figura arată un unghi egal cu un radian, adică acest unghi se bazează pe un arc de cerc, a cărui lungime este egală cu raza cercului (lungimea este egală cu lungimea sau raza este egală cu lungimea arcului). Astfel, lungimea arcului se calculează cu formula:

Unde este unghiul central în radiani.

Ei bine, știind asta, poți să răspunzi câți radiani conține un unghi descris de un cerc? Da, pentru aceasta trebuie să vă amintiți formula pentru circumferința unui cerc. Acolo e:

Ei bine, acum să corelăm aceste două formule și să obținem că unghiul descris de cerc este egal. Adică, corelând valoarea în grade și radiani, obținem asta. Respectiv, . După cum puteți vedea, spre deosebire de „grade”, cuvântul „radian” este omis, deoarece unitatea de măsură este de obicei clară din context.

Câți radiani sunt? Asta e corect!

Am înţeles? Apoi fixați înainte:

Orice dificultăți? Atunci uite răspunsuri:

Triunghi dreptunghic: sinus, cosinus, tangenta, cotangenta unui unghi

Deci, cu conceptul de unghi deslușit. Dar care este sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta unui unghi? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, vă vom ajuta triunghi dreptunghic.

Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic? Așa este, ipotenuza și catetele: ipotenuza este latura care se află opusă unghi drept(în exemplul nostru, aceasta este partea); picioarele sunt cele două laturi rămase și (cele care sunt adiacente unghiului drept), în plus, dacă luăm în considerare picioarele față de unghi, atunci piciorul este piciorul adiacent, iar piciorul este cel opus. Deci, acum să răspundem la întrebarea: care sunt sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi?

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Cosinusul unui unghi- acesta este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

în triunghiul nostru.

Tangenta unghiului- acesta este raportul dintre piciorul opus (departe) și cel adiacent (închis).

în triunghiul nostru.

Cotangenta unui unghi- acesta este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

în triunghiul nostru.

Aceste definiții sunt necesare tine minte! Pentru a vă ușura să vă amintiți ce picior să împărțiți la ce, trebuie să înțelegeți clar acest lucru tangentăși cotangentă doar picioarele stau, iar ipotenuza apare doar in sinusuluiși cosinus. Și apoi poți veni cu un lanț de asociații. De exemplu, acesta:

cosinus→ating→ating→adiacent;

Cotangent → atinge → atinge → adiacent.

În primul rând, este necesar să ne amintim că sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta ca rapoarte ale laturilor unui triunghi nu depind de lungimile acestor laturi (la un unghi). Sa nu ai incredere? Apoi asigurați-vă că vă uitați la imagine:

Luați în considerare, de exemplu, cosinusul unui unghi. Prin definiție, dintr-un triunghi: , dar putem calcula cosinusul unui unghi dintr-un triunghi: . Vedeți, lungimile laturilor sunt diferite, dar valoarea cosinusului unui unghi este aceeași. Astfel, valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei depind numai de mărimea unghiului.

Dacă înțelegeți definițiile, atunci mergeți mai departe și remediați-le!

Pentru triunghiul prezentat în figura de mai jos, găsim.

Ei bine, ai primit-o? Atunci încearcă și tu: calculează același lucru pentru colț.

Cerc unitar (trigonometric).

Înțelegând conceptele de grade și radiani, am considerat un cerc cu o rază egală cu. Un astfel de cerc se numește singur. Este foarte util în studiul trigonometriei. Prin urmare, ne oprim asupra ei mai detaliat.

După cum puteți vedea, acest cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene. Raza cercului egal cu unu, în timp ce centrul cercului se află la origine, poziția inițială a vectorului rază este fixată de-a lungul direcției pozitive a axei (în exemplul nostru, aceasta este raza).

Fiecare punct al cercului corespunde a două numere: coordonatele de-a lungul axei și coordonatele de-a lungul axei. Care sunt aceste numere de coordonate? Și, în general, ce legătură au ei cu subiectul la îndemână? Pentru a face acest lucru, amintiți-vă despre triunghiul dreptunghic considerat. În figura de mai sus, puteți vedea două triunghiuri dreptunghiulare întregi. Luați în considerare un triunghi. Este dreptunghiular deoarece este perpendicular pe axa.

Ce este egal cu dintr-un triunghi? Asta e corect. În plus, știm că este raza cercului unitar și, prin urmare, . Înlocuiți această valoare în formula cosinusului. Iată ce se întâmplă:

Și ce este egal cu dintr-un triunghi? Ei bine, desigur,! Înlocuiți valoarea razei în această formulă și obțineți:

Deci, poți să-mi spui care sunt coordonatele unui punct care aparține cercului? Ei bine, în niciun caz? Și dacă realizezi asta și sunt doar numere? Cu ce ​​coordonata corespunde? Ei bine, desigur, coordonatele! Cu ce ​​coordonata corespunde? Așa e, coordonează! Astfel, punctul.

Și atunci ce sunt egale și? Așa este, să folosim definițiile adecvate ale tangentei și cotangentei și să obținem asta, a.

Ce se întâmplă dacă unghiul este mai mare? Iată, de exemplu, ca în această imagine:

Ce s-a schimbat în acest exemplu? Să ne dăm seama. Pentru a face acest lucru, ne întoarcem din nou la un triunghi dreptunghic. Luați în considerare un triunghi dreptunghic: un unghi (ca adiacent unui unghi). Care este valoarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi? Așa este, aderăm la definițiile corespunzătoare ale funcțiilor trigonometrice:

Ei bine, după cum puteți vedea, valoarea sinusului unghiului corespunde în continuare coordonatei; valoarea cosinusului unghiului - coordonata; și valorile tangentei și cotangentei la rapoartele corespunzătoare. Astfel, aceste relații sunt aplicabile oricăror rotații ale vectorului rază.

S-a menționat deja că poziția inițială a vectorului rază este de-a lungul direcției pozitive a axei. Până acum am rotit acest vector în sens invers acelor de ceasornic, dar ce se întâmplă dacă îl rotim în sensul acelor de ceasornic? Nimic extraordinar, vei obține și un unghi de o anumită dimensiune, dar numai că va fi negativ. Astfel, la rotirea vectorului rază în sens invers acelor de ceasornic, obținem unghiuri pozitive, iar când se rotește în sensul acelor de ceasornic - negativ.

Deci, știm că o întreagă revoluție a vectorului rază în jurul cercului este sau. Este posibil să rotiți vectorul rază cu sau cu? Ei bine, bineînțeles că poți! Prin urmare, în primul caz, vectorul rază va face o revoluție completă și se va opri în poziția sau.

În al doilea caz, adică vectorul rază va face trei rotații complete și se va opri în poziția sau.

Astfel, din exemplele de mai sus, putem concluziona că unghiurile care diferă prin sau (unde este orice număr întreg) corespund aceleiași poziții a vectorului rază.

Figura de mai jos arată un unghi. Aceeași imagine corespunde colțului și așa mai departe. Această listă poate fi continuată pe termen nelimitat. Toate aceste unghiuri pot fi scrise cu formula generală sau (unde este orice număr întreg)

Acum, cunoscând definițiile funcțiilor trigonometrice de bază și folosind cercul unitar, încercați să răspundeți cu ce sunt egale valorile:

Iată un cerc de unitate care vă va ajuta:

Orice dificultăți? Atunci hai să ne dăm seama. Deci știm că:

De aici, determinăm coordonatele punctelor corespunzătoare anumitor măsuri ale unghiului. Ei bine, să începem în ordine: colțul la corespunde unui punct cu coordonate, prin urmare:

Nu exista;

Mai departe, aderând la aceeași logică, aflăm că colțurile din corespund punctelor cu coordonate, respectiv. Știind acest lucru, este ușor să determinați valorile funcțiilor trigonometrice în punctele corespunzătoare. Încercați mai întâi singur, apoi verificați răspunsurile.

Raspunsuri:

Astfel, putem realiza următorul tabel:

Nu este nevoie să ne amintim toate aceste valori. Este suficient să ne amintim corespondența dintre coordonatele punctelor de pe cercul unității și valorile funcțiilor trigonometrice:

Dar valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din și, prezentate în tabelul de mai jos, trebuie amintit:

Nu vă fie teamă, acum vă vom arăta unul dintre exemple memorarea destul de simplă a valorilor corespunzătoare:

Pentru a utiliza această metodă, este vital să vă amintiți valorile sinusului pentru toate cele trei măsuri ale unghiului (), precum și valoarea tangentei unghiului în. Cunoscând aceste valori, este destul de ușor să restabiliți întregul tabel - valorile cosinusului sunt transferate în conformitate cu săgețile, adică:

Știind acest lucru, puteți restabili valorile pentru. Numătorul „ ” se va potrivi și numitorul „ ” se va potrivi. Valorile cotangentelor sunt transferate în conformitate cu săgețile prezentate în figură. Dacă înțelegeți acest lucru și vă amintiți diagrama cu săgeți, atunci va fi suficient să vă amintiți întreaga valoare din tabel.

Coordonatele unui punct pe un cerc

Este posibil să găsiți un punct (coordonatele sale) pe un cerc, cunoscând coordonatele centrului cercului, raza acestuia și unghiul de rotație?

Ei bine, bineînțeles că poți! Să scoatem formula generala pentru a afla coordonatele unui punct.

Aici, de exemplu, avem un astfel de cerc:

Ni se spune că punctul este centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să găsiți coordonatele punctului obținute prin rotirea punctului cu grade.

După cum se poate observa din figură, coordonatele punctului corespund lungimii segmentului. Lungimea segmentului corespunde coordonatei centrului cercului, adică este egală cu. Lungimea unui segment poate fi exprimată folosind definiția cosinusului:

Apoi avem asta pentru punctul coordonata.

După aceeași logică, găsim valoarea coordonatei y pentru punct. În acest fel,

Deci in vedere generala coordonatele punctului sunt determinate de formulele:

Coordonatele centrului cercului,

raza cercului,

Unghiul de rotație al vectorului rază.

După cum puteți vedea, pentru cercul unitar pe care îl luăm în considerare, aceste formule sunt reduse semnificativ, deoarece coordonatele centrului sunt zero, iar raza este egală cu unu:

Ei bine, hai să încercăm aceste formule pentru un gust, exersând găsirea punctelor pe un cerc?

1. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

2. Aflați coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin rotirea unui punct pe.

3. Găsiți coordonatele unui punct pe un cerc unitar obținute prin pornirea unui punct.

4. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

5. Punct - centrul cercului. Raza cercului este egală. Este necesar să se găsească coordonatele punctului obținute prin rotirea vectorului rază inițială cu.

Întâmpinați probleme în a găsi coordonatele unui punct dintr-un cerc?

Rezolvați aceste cinci exemple (sau înțelegeți bine soluția) și veți învăța cum să le găsiți!

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

Sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus (depărtat) și ipotenuză.

Cosinusul unui unghi este raportul dintre catetul adiacent (aproape) și ipotenuză.

Tangenta unui unghi este raportul dintre catelul opus (departe) și cel adiacent (închis).

Cotangenta unui unghi este raportul dintre piciorul adiacent (aproape) și cel opus (departe).

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

In concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!

Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.

Unghiul este indicat de corespunzătoare Literă greacă.

Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.

Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opus (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):

Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se dovedește că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?

Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriși colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, le poți găsi pe toate funcții trigonometrice conform tabelelor speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangente și cotangente pentru unghiurile „bune” de la până.

Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.

Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .

Problema este rezolvată în patru secunde.

Pentru că , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .

Să aflăm după teorema lui Pitagora.

Problema rezolvata.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Am luat în considerare problemele pentru rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare - adică pentru găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! LA UTILIZAȚI opțiuni la matematică, există multe probleme în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în următorul articol.

Conceptele de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt principalele categorii ale trigonometriei - o ramură a matematicii și sunt indisolubil legate de definiția unghiului. Posesia acestei științe matematice necesită memorarea și înțelegerea formulelor și teoremelor, precum și gândirea spațială dezvoltată. De aceea, calculele trigonometrice provoacă adesea dificultăți pentru școlari și elevi. Pentru a le depăși, ar trebui să vă familiarizați mai mult cu funcțiile și formulele trigonometrice.

Concepte în trigonometrie

Pentru a înțelege conceptele de bază ale trigonometriei, trebuie mai întâi să decideți ce sunt un triunghi dreptunghic și un unghi dintr-un cerc și de ce toate calculele trigonometrice de bază sunt asociate cu acestea. Un triunghi în care unul dintre unghiuri are 90 de grade este un triunghi dreptunghic. Din punct de vedere istoric, această figură a fost adesea folosită de oameni în arhitectură, navigație, artă, astronomie. În consecință, studiind și analizând proprietățile acestei figuri, oamenii au ajuns la calcularea rapoartelor corespunzătoare ale parametrilor ei.

Principalele categorii asociate triunghiurilor dreptunghic sunt ipotenuza și catetele. Ipotenuza este latura unui triunghi care este opus unghiului drept. Picioarele, respectiv, sunt celelalte două laturi. Suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna de 180 de grade.

Trigonometria sferică este o secțiune a trigonometriei care nu este studiată la școală, dar în științe aplicate precum astronomia și geodezia, oamenii de știință o folosesc. O caracteristică a unui triunghi în trigonometria sferică este că are întotdeauna o sumă de unghiuri mai mare de 180 de grade.

Unghiurile unui triunghi

Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi este raportul dintre catetul opus unghiului dorit și ipotenuza triunghiului. În consecință, cosinusul este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuza. Ambele valori au întotdeauna o valoare mai mică decât unu, deoarece ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât catetul.

Tangenta unui unghi este o valoare egală cu raportul dintre catetul opus și catetul adiacent al unghiului dorit sau sinus la cosinus. Cotangenta, la rândul său, este raportul dintre piciorul adiacent al unghiului dorit și cactotul opus. Cotangenta unui unghi se poate obține și prin împărțirea unității la valoarea tangentei.

cerc unitar

Un cerc unitar în geometrie este un cerc a cărui rază este egală cu unu. Un astfel de cerc este construit în sistemul de coordonate carteziene, cu centrul cercului coincizând cu punctul de origine, iar poziția inițială a vectorului rază este determinată de direcția pozitivă a axei X (axa absciselor). Fiecare punct al cercului are două coordonate: XX și YY, adică coordonatele abscisei și ordonatei. Selectând orice punct de pe cerc în planul XX și scăzând perpendiculara de pe acesta pe axa absciselor, obținem un triunghi dreptunghic format dintr-o rază față de punctul selectat (să-l notăm cu litera C), o perpendiculară trasată la axa X (punctul de intersecție este notat cu litera G), iar un segment axa absciselor dintre origine (punctul este notat cu litera A) și punctul de intersecție G. Triunghiul rezultat ACG este un triunghi dreptunghic înscris în un cerc, unde AG este ipotenuza, iar AC și GC sunt catetele. Unghiul dintre raza cercului AC și segmentul axei absciselor cu denumirea AG, îl definim ca α (alfa). Deci, cos α = AG/AC. Având în vedere că AC este raza cercului unitar și este egală cu unu, rezultă că cos α=AG. În mod similar, sin α=CG.

În plus, cunoscând aceste date, puteți determina coordonatele punctului C pe cerc, deoarece cos α=AG, și sin α=CG, ceea ce înseamnă că punctul C are coordonatele date (cos α; sin α). Știind că tangenta este egală cu raportul dintre sinus și cosinus, putem determina că tg α \u003d y / x și ctg α \u003d x / y. Luând în considerare unghiurile dintr-un sistem de coordonate negativ, se poate calcula că valorile sinusului și cosinusului unor unghiuri pot fi negative.

Calcule și formule de bază

Valorile funcțiilor trigonometrice

Având în vedere esența funcțiilor trigonometrice prin cercul unitar, putem deriva valorile acestor funcții pentru unele unghiuri. Valorile sunt enumerate în tabelul de mai jos.

Cele mai simple identități trigonometrice

Ecuațiile în care există o valoare necunoscută sub semnul funcției trigonometrice se numesc trigonometrice. Identități cu valoarea sin x = α, k este orice număr întreg:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identități cu valoarea cos x = a, unde k este orice număr întreg:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, fără soluții.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identități cu valoarea tg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identități cu valoarea ctg x = a, unde k este orice număr întreg:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Formule turnate

Această categorie de formule constante denotă metode prin care puteți trece de la funcțiile trigonometrice ale formei la funcțiile argumentului, adică să convertiți sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi de orice valoare la indicatorii corespunzători ai unghiului de intervalul de la 0 la 90 de grade pentru o mai mare comoditate a calculelor.

Formulele pentru funcțiile de reducere pentru sinusul unui unghi arată astfel:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pentru cosinusul unui unghi:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + α) = -cos α;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Utilizarea formulelor de mai sus este posibilă sub rezerva a două reguli. În primul rând, dacă unghiul poate fi reprezentat ca valoare (π/2 ± a) sau (3π/2 ± a), valoarea funcției se modifică:

• de la sin la cos;
• de la cos la sin;
• de la tg la ctg;
• de la ctg la tg.

Valoarea funcției rămâne neschimbată dacă unghiul poate fi reprezentat ca (π ± a) sau (2π ± a).

În al doilea rând, semnul funcției reduse nu se schimbă: dacă a fost inițial pozitiv, așa rămâne. Același lucru este valabil și pentru funcțiile negative.

Formule de adunare

Aceste formule exprimă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sumei și diferenței a două unghiuri de rotație în funcție de funcțiile lor trigonometrice. Unghiurile sunt de obicei notate ca α și β.

Formulele arată astfel:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Aceste formule sunt valabile pentru orice unghiuri α și β.

Formule cu unghi dublu și triplu

Formulele trigonometrice ale unui unghi dublu și triplu sunt formule care raportează funcțiile unghiurilor 2α și, respectiv, 3α la funcțiile trigonometrice ale unghiului α. Derivat din formule de adunare:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Trecerea de la sumă la produs

Considerând că 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), simplificând această formulă, obținem identitatea sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. În mod similar, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Trecerea de la produs la sumă

Aceste formule decurg din identitățile pentru trecerea sumei la produs:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Formule de reducere

În aceste identități, puterile pătrate și cubice ale sinusului și cosinusului pot fi exprimate în termenii sinusului și cosinusului primei puteri a unui unghi multiplu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substituție universală

Formulele universale de substituție trigonometrică exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui jumătate de unghi.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), unde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), unde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), în timp ce x \u003d π + 2πn.

Cazuri speciale

Cazuri speciale ale celor mai simple ecuații trigonometrice sunt date mai jos (k este orice număr întreg).

Privat pentru sine:

valoarea sin x	valoarea x
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk sau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk sau -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk sau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk sau -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk sau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk sau -2π/3 + 2πk

Coeficienti cosinus:

valoarea cos x	valoarea x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat pentru tangentă:

valoarea tg x	valoarea x
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Cotangenți:

valoarea ctg x	valoarea x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoreme

Teorema sinusului

Există două versiuni ale teoremei - simplă și extinsă. Teorema sinusului simplu: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. În acest caz, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α, β, γ sunt unghiurile opuse, respectiv.

Teorema sinusului extins pentru un triunghi arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. În această identitate, R denotă raza cercului în care este înscris triunghiul dat.

Teorema cosinusului

Identitatea se afișează astfel: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. În formula, a, b, c sunt laturile triunghiului, iar α este unghiul opus laturii a.

Teorema tangentei

Formula exprimă relația dintre tangentele a două unghiuri și lungimea laturilor opuse acestora. Laturile sunt etichetate a, b, c, iar unghiurile opuse corespunzătoare sunt α, β, γ. Formula teoremei tangentei: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Teorema cotangentei

Asociază raza unui cerc înscris într-un triunghi cu lungimea laturilor acestuia. Dacă a, b, c sunt laturile unui triunghi și, respectiv, A, B, C sunt unghiurile lor opuse, r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul triunghiului, următoarele identități tine:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplicații

Trigonometria nu este doar o știință teoretică asociată cu formulele matematice. Proprietățile, teoremele și regulile sale sunt utilizate în practică de diverse industrii activitate umana– astronomie, navigație aeriană și maritimă, teoria muzicii, geodezie, chimie, acustică, optică, electronică, arhitectură, economie, inginerie mecanică, lucru de măsurare, grafică pe computer, cartografie, oceanografie și multe altele.

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt conceptele de bază ale trigonometriei, cu ajutorul cărora poți exprima matematic relația dintre unghiurile și lungimile laturilor dintr-un triunghi și poți găsi mărimile dorite prin identități, teoreme și reguli.