Formula pentru calcularea unghiului dintre linii. Unghiul dintre liniile unui plan

Să fie date linii în spațiu lși m. Prin un punct A al spațiului tragem linii drepte l 1 || lși m 1 || m(Fig. 138).

Rețineți că punctul A poate fi ales în mod arbitrar, în special, poate fi situat pe una dintre liniile date. Dacă drept lși m intersectează, atunci A poate fi luat drept punct de intersecție al acestor drepte ( l 1 = lși m 1 = m).

Unghiul dintre liniile neparalele lși m numită valoarea celui mai mic dintre unghiurile adiacente formate prin intersectarea liniilor drepte l 1 și m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Unghiul dintre liniile paralele se presupune a fi zero.

Unghiul dintre linii lși m notat cu \(\widehat((l;m)) \). Din definiție rezultă că dacă se măsoară în grade, atunci 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, iar dacă este în radiani, atunci 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Sarcină. Este dat cubul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 139).

Aflați unghiul dintre dreptele AB și DC 1 .

Traversare dreaptă AB și DC 1. Deoarece linia DC este paralelă cu dreapta AB, unghiul dintre liniile AB și DC 1, conform definiției, este egal cu \(\widehat(C_(1)DC)\).

Prin urmare, \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direct lși m numit perpendicular, dacă \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. De exemplu, într-un cub

Calculul unghiului dintre linii.

Problema calculării unghiului dintre două drepte în spațiu se rezolvă în același mod ca și în plan. Notați cu φ unghiul dintre drepte l 1 și l 2 , iar prin ψ - unghiul dintre vectorii de direcție A și b aceste linii drepte.

Atunci dacă

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Fig. 206.6), apoi φ = 180° - ψ. Este evident că în ambele cazuri egalitatea cos φ = |cos ψ| este adevărată. Conform formulei (cosinusul unghiului dintre vectori nenuli a și b sunt egale produs punctual dintre aceşti vectori împărţiţi la produsul lungimilor lor) avem

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

prin urmare,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Fie dreptele date de ecuațiile lor canonice

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; și \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Apoi unghiul φ dintre linii este determinat folosind formula

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Dacă una dintre linii (sau ambele) este dată de ecuații non-canonice, atunci pentru a calcula unghiul, trebuie să găsiți coordonatele vectorilor de direcție ai acestor linii și apoi să utilizați formula (1).

Sarcina 1. Calculați unghiul dintre linii

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;și\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Vectorii de direcție ai liniilor drepte au coordonatele:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Prin formula (1) găsim

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 60°.

Sarcina 2. Calculați unghiul dintre linii

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) și \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cazuri) $$

În spatele vectorului ghid A prima linie dreaptă luăm produsul vectorial al vectorilor normali n 1 = (3; 0; -12) și n 2 = (1; 1; -3) planuri care definesc această dreaptă. Prin formula \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) obținem

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

În mod similar, găsim vectorul direcție al celei de-a doua drepte:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Dar formula (1) calculează cosinusul unghiului dorit:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

Prin urmare, unghiul dintre aceste linii este de 90°.

Sarcina 3.În piramida triunghiulară MAVS, muchiile MA, MB și MC sunt reciproc perpendiculare, (Fig. 207);

lungimile lor sunt, respectiv, egale cu 4, 3, 6. Punctul D este mijlocul [MA]. Aflați unghiul φ dintre liniile CA și DB.

Fie SA și DB vectorii de direcție ai liniilor SA și DB.

Să luăm punctul M ca origine a coordonatelor. Prin condiția sarcinii, avem A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Prin urmare \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Folosim formula (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Conform tabelului cosinusurilor, constatăm că unghiul dintre liniile drepte CA și DB este de aproximativ 72 °.

Instruire

Notă

Perioadă functie trigonometrica tangenta este egala cu 180 de grade, ceea ce inseamna ca unghiurile de inclinare ale dreptelor nu pot depasi, modulo, aceasta valoare.

Sfaturi utile

Dacă coeficienții de pantă sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina unghiul dintre liniile care se intersectează, este necesar să transferați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție prin metoda transferului paralel la intersecție. După aceea, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

Vei avea nevoie

• Rigla, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instruire

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α între vectorii V și N este: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Pentru a calcula valoarea unghiului în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă cosinusului din expresia rezultată, i.e. arccosin: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți injecţieîntre vector(5, -3, 8) și avion, dată de ecuația generală 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiește totul valori cunoscuteîn formula de mai sus: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Videoclipuri asemănătoare

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. injecţie. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la cercul AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Definirea unghiului dintre tangente ( injecţie ABC) este produsă folosind teorema lui Pitagora.

Instruire

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de plecare al tangentei de la centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ACO sunt egale, raza OB, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei prin formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = Rădăcină pătrată de la AO2 - OB2 sau 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Acest material este dedicat unui astfel de concept precum unghiul dintre două linii drepte care se intersectează. În primul paragraf, vom explica ce este și o vom arăta în ilustrații. Apoi vom analiza cum puteți găsi sinusul, cosinusul acestui unghi și unghiul în sine (vom lua în considerare separat cazurile cu un plan și spațiu tridimensional), vom da formulele necesare și vom arăta cu exemple cum sunt aplicate exact. in practica.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pentru a înțelege ce este un unghi format la intersecția a două drepte, trebuie să ne amintim însăși definiția unui unghi, a perpendicularității și a unui punct de intersecție.

Definiția 1

Numim două drepte care se intersectează dacă au un punct comun. Acest punct se numește punctul de intersecție a celor două drepte.

Fiecare linie este împărțită de punctul de intersecție în raze. În acest caz, ambele linii formează 4 unghiuri, dintre care două sunt verticale și două sunt adiacente. Dacă cunoaștem măsura unuia dintre ele, atunci le putem determina pe celelalte rămase.

Să presupunem că știm că unul dintre unghiuri este egal cu α. Într-un astfel de caz, unghiul care este vertical față de acesta va fi, de asemenea, egal cu α. Pentru a găsi unghiurile rămase, trebuie să calculăm diferența 180 ° - α . Dacă α este egal cu 90 de grade, atunci toate unghiurile vor fi drepte. Liniile care se intersectează în unghi drept sunt numite perpendiculare (un articol separat este dedicat conceptului de perpendicularitate).

Aruncă o privire la poză:

Să trecem la formularea definiției principale.

Definiția 2

Unghiul format din două drepte care se intersectează este măsura celui mai mic dintre cele 4 unghiuri care formează aceste două drepte.

Din definiție este necesar să se facă concluzie importantă: dimensiunea colțului în acest caz va fi exprimată prin oricare numar realîn intervalul (0 , 90 ] . Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci unghiul dintre ele va fi în orice caz egal cu 90 de grade.

Capacitatea de a găsi măsura unghiului dintre două drepte care se intersectează este utilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Metoda de rezolvare poate fi selectată din mai multe opțiuni.

Pentru început, putem lua metode geometrice. Dacă știm ceva despre unghiuri suplimentare, atunci le putem conecta la unghiul de care avem nevoie folosind proprietățile formelor egale sau similare. De exemplu, dacă cunoaștem laturile unui triunghi și trebuie să calculăm unghiul dintre dreptele pe care sunt situate aceste laturi, atunci teorema cosinusului este potrivită pentru rezolvare. Dacă avem un triunghi dreptunghic în condiție, atunci pentru calcule va trebui să cunoaștem și sinusul, cosinusul și tangenta unghiului.

Metoda coordonatelor este, de asemenea, foarte convenabilă pentru rezolvarea problemelor de acest tip. Să explicăm cum să-l folosim corect.

Avem un sistem de coordonate dreptunghiular (cartezian) O x y cu două drepte. Să le notăm cu literele a și b. În acest caz, liniile drepte pot fi descrise folosind orice ecuație. Liniile originale au un punct de intersecție M . Cum se determină unghiul dorit (să-l notăm α) între aceste linii?

Să începem cu formularea principiului de bază al găsirii unui unghi în condiții date.

Știm că concepte precum direcția și vectorul normal sunt strâns legate de conceptul de linie dreaptă. Dacă avem ecuația unei linii drepte, putem lua din ea coordonatele acestor vectori. Putem face acest lucru pentru două linii care se intersectează simultan.

Unghiul format din două drepte care se intersectează poate fi găsit folosind:

• unghiul dintre vectorii de direcție;
• unghiul dintre vectorii normali;
• unghiul dintre vectorul normal al unei linii și vectorul direcție al celeilalte.

Acum să ne uităm la fiecare metodă separat.

1. Să presupunem că avem o dreaptă a cu vector de direcție a → = (a x , a y) și o dreaptă b cu vector de direcție b → (b x , b y) . Acum să lăsăm deoparte doi vectori a → și b → din punctul de intersecție. După aceea, vom vedea că fiecare va fi amplasat pe propria linie. Atunci avem patru opțiuni pentru ei poziție relativă. Vezi ilustrația:

Dacă unghiul dintre doi vectori nu este obtuz, atunci va fi unghiul de care avem nevoie între liniile care se intersectează a și b. Dacă este obtuz, atunci unghiul dorit va fi egal cu unghiul adiacent unghiului a → , b → ^ . Astfel, α = a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° , și α = 180 ° - a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

Pe baza faptului că cosinusurile unghiurilor egale sunt egale, putem rescrie egalitățile rezultate astfel: cos α = cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ dacă a → , b → ^ > 90 ° .

În al doilea caz s-au folosit formule de reducere. Prin urmare,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Să scriem ultima formulă în cuvinte:

Definiția 3

Cosinusul unghiului format din două drepte care se intersectează va fi egal cu modulul cosinusului unghiului dintre vectorii săi de direcție.

Forma generală a formulei pentru cosinusul unghiului dintre doi vectori a → = (a x, a y) și b → = (b x, b y) arată astfel:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Din aceasta putem deriva formula pentru cosinusul unghiului dintre două drepte date:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Apoi unghiul în sine poate fi găsit folosind următoarea formulă:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Aici a → = (a x , a y) și b → = (b x , b y) sunt vectorii de direcție ai dreptelor date.

Să dăm un exemplu de rezolvare a problemei.

Exemplul 1

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, pe plan sunt date două drepte care se intersectează a și b. Ele pot fi descrise prin ecuații parametrice x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R și x 5 = y - 6 - 3 . Calculați unghiul dintre aceste drepte.

Decizie

Avem o ecuație parametrică în condiție, ceea ce înseamnă că pentru această linie dreaptă putem nota imediat coordonatele vectorului său de direcție. Pentru a face acest lucru, trebuie să luăm valorile coeficienților la parametru, adică. dreapta x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R va avea un vector de direcție a → = (4 , 1) .

A doua linie dreaptă este descrisă folosind ecuația canonică x 5 = y - 6 - 3 . Aici putem lua coordonatele de la numitori. Astfel, această dreaptă are un vector de direcție b → = (5 , - 3) .

În continuare, trecem direct la găsirea unghiului. Pentru a face acest lucru, pur și simplu înlocuiți coordonatele disponibile ale celor doi vectori în formula de mai sus α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Obținem următoarele:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Răspuns: Aceste linii formează un unghi de 45 de grade.

Putem rezolva o problemă similară găsind unghiul dintre vectorii normali. Dacă avem o dreaptă a cu un vector normal n a → = (n a x , n a y) și o dreaptă b cu un vector normal n b → = (n b x , n b y) , atunci unghiul dintre ele va fi egal cu unghiul dintre n a → și n b → sau unghiul care va fi adiacent lui n a → , n b → ^ . Această metodă este prezentată în imagine:

Formulele pentru calcularea cosinusului unghiului dintre liniile care se intersectează și acest unghi în sine folosind coordonatele vectorilor normali arată astfel:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

Aici n a → și n b → denotă vectorii normali ai două drepte date.

Exemplul 2

Două drepte sunt date într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuațiile 3 x + 5 y - 30 = 0 și x + 4 y - 17 = 0 . Găsiți sinusul, cosinusul unghiului dintre ele și mărimea acelui unghi în sine.

Decizie

Dreaptele originale sunt date folosind ecuații de drepte normale de forma A x + B y + C = 0 . Se notează vectorul normal n → = (A , B) . Să găsim coordonatele primului vector normal pentru o dreaptă și să le scriem: n a → = (3 , 5) . Pentru a doua linie x + 4 y - 17 = 0 vectorul normal va avea coordonatele n b → = (1 , 4) . Acum adăugați valorile obținute la formulă și calculați totalul:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Dacă cunoaștem cosinusul unui unghi, atunci putem calcula sinusul acestuia folosind baza identitate trigonometrică. Deoarece unghiul α format din linii drepte nu este obtuz, atunci sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

În acest caz, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Răspuns: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Să analizăm ultimul caz - găsirea unghiului dintre drepte, dacă știm coordonatele vectorului de direcție al unei linii și vectorului normal al celeilalte.

Să presupunem că linia a are un vector de direcție a → = (a x , a y) , iar linia b are un vector normal n b → = (n b x , n b y) . Trebuie să amânăm acești vectori din punctul de intersecție și să luăm în considerare toate opțiunile pentru poziția lor relativă. Vezi poza:

Dacă unghiul dintre vectorii dați nu este mai mare de 90 de grade, se dovedește că va completa unghiul dintre a și b la un unghi drept.

a → , n b → ^ = 90 ° - α dacă a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Dacă este mai puțin de 90 de grade, atunci obținem următoarele:

a → , n b → ^ > 90 ° , apoi a → , n b → ^ = 90 ° + α

Folosind regula egalității cosinusurilor de unghiuri egale, scriem:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pentru a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α la a → , n b → ^ > 90 ° .

Prin urmare,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Să formulăm o concluzie.

Definiția 4

Pentru a găsi sinusul unghiului dintre două drepte care se intersectează într-un plan, trebuie să calculați modulul cosinusului unghiului dintre vectorul de direcție al primei linii și vectorul normal al celei de-a doua.

Să notăm formulele necesare. Aflarea sinusului unui unghi:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Găsirea colțului în sine:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Aici a → este vectorul de direcție al primei linii, iar n b → este vectorul normal al celei de-a doua.

Exemplul 3

Două drepte care se intersectează sunt date de ecuațiile x - 5 = y - 6 3 și x + 4 y - 17 = 0 . Aflați unghiul de intersecție.

Decizie

Luăm coordonatele vectorului de direcție și normal din ecuațiile date. Rezultă a → = (- 5 , 3) ​​​​și n → b = (1 , 4) . Luăm formula α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n by y 2 și luăm în considerare:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Rețineți că am luat ecuațiile din problema anterioară și am obținut exact același rezultat, dar într-un mod diferit.

Răspuns:α = a r c sin 7 2 34

Iată o altă modalitate de a găsi unghiul dorit folosind coeficienții de pantă ai liniilor date.

Avem o linie a , care este definită într-un sistem de coordonate dreptunghiular folosind ecuația y = k 1 · x + b 1 , și o linie b , definită ca y = k 2 · x + b 2 . Acestea sunt ecuații ale dreptelor cu pantă. Pentru a găsi unghiul de intersecție, utilizați formula:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , unde k 1 și k 2 sunt factori de pantă linii date. Pentru a obține această înregistrare s-au folosit formule pentru determinarea unghiului prin coordonatele vectorilor normali.

Exemplul 4

Există două drepte care se intersectează într-un plan, dat de ecuaţii y = - 3 5 x + 6 și y = - 1 4 x + 17 4 . Calculați unghiul de intersecție.

Decizie

Pantele dreptelor noastre sunt egale cu k 1 = - 3 5 și k 2 = - 1 4 . Să le adăugăm la formula α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 și să calculăm:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Răspuns:α = a r c cos 23 2 34

În concluziile acestui paragraf, trebuie menționat că formulele de găsire a unghiului prezentate aici nu trebuie învățate pe de rost. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți coordonatele ghidajelor și/sau ale vectorilor normali ai liniilor date și să le puteți determina din tipuri diferite ecuații. Dar formulele pentru calcularea cosinusului unui unghi sunt mai bine de reținut sau de notat.

Cum se calculează unghiul dintre liniile care se intersectează în spațiu

Calculul unui astfel de unghi poate fi redus la calculul coordonatelor vectorilor de direcție și la determinarea mărimii unghiului format de acești vectori. Pentru astfel de exemple, folosim același raționament pe care l-am dat înainte.

Să presupunem că avem un sistem de coordonate dreptunghiular situat în spațiul 3D. Conține două drepte a și b cu punctul de intersecție M . Pentru a calcula coordonatele vectorilor de direcție, trebuie să cunoaștem ecuațiile acestor drepte. Se notează vectorii de direcție a → = (a x , a y , a z) și b → = (b x , b y , b z) . Pentru a calcula cosinusul unghiului dintre ele, folosim formula:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Pentru a găsi unghiul în sine, avem nevoie de această formulă:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Exemplul 5

Avem o linie dreaptă definită în spațiul 3D folosind ecuația x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Se știe că se intersectează cu axa O z. Calculați unghiul de intersecție și cosinusul acelui unghi.

Decizie

Să notăm unghiul care trebuie calculat cu litera α. Să notăm coordonatele vectorului direcție pentru prima dreaptă - a → = (1 , - 3 , - 2) . Pentru axa aplicată, putem lua ca ghid vectorul de coordonate k → = (0 , 0 , 1). Am primit datele necesare și le putem adăuga la formula dorită:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Ca rezultat, am obținut că unghiul de care avem nevoie va fi egal cu a r c cos 1 2 = 45 °.

Răspuns: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Va fi util pentru fiecare student care se pregătește pentru examenul de matematică să repete subiectul „Găsirea unghiului dintre linii”. După cum arată statisticile, la trecerea unui test de certificare, sarcinile din această secțiune de stereometrie provoacă dificultăți pentru un numar mare elevi. În același timp, sarcinile care necesită găsirea unghiului dintre liniile drepte se găsesc în USE atât la nivel de bază, cât și la nivel de profil. Aceasta înseamnă că toată lumea ar trebui să le poată rezolva.

Momente de bază

Există 4 tipuri de aranjare reciprocă a liniilor în spațiu. Ele pot coincide, se intersectează, pot fi paralele sau se intersectează. Unghiul dintre ele poate fi acut sau drept.

Pentru a găsi unghiul dintre linii în examenul de stat unificat sau, de exemplu, în soluție, școlarii din Moscova și alte orașe pot folosi mai multe metode pentru rezolvarea problemelor din această secțiune a stereometriei. Puteți finaliza sarcina prin construcții clasice. Pentru a face acest lucru, merită să învățați axiomele și teoremele de bază ale stereometriei. Elevul trebuie să fie capabil să construiască logic raționament și să creeze desene pentru a aduce sarcina la o problemă planimetrică.

De asemenea, puteți utiliza metoda vector-coordonate, folosind formule, reguli și algoritmi simpli. Principalul lucru în acest caz este să efectuați corect toate calculele. Vă va ajuta să vă perfecționați abilitățile în rezolvarea problemelor din stereometrie și alte secțiuni ale cursului școlar. proiect educațional„Șkolkovo”.

A. Să fie date două drepte Aceste linii, așa cum sa indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care, în acest caz, pot fi atât acute, cât și obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri, valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și a doua linii.Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate din drepte. Prin urmare, problema se reduce la determinarea unghiului dintre vectori, obținem

Pentru simplitate, putem conveni asupra unui unghi între două drepte pentru a înțelege un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă se obține un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să-l renunțăm, adică să păstrăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre linii

Prin formula (1) avem

cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formulele (1). După cum se vede ușor din fig. 53 semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica care dintre ele - acut sau obtuz - formează a doua linie cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre linii, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă dreptele sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt și ei paraleli.Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca două linii să fie paralele.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt de asemenea perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

perpendicular deoarece

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată printr-un punct

Decizia se ia asa. Deoarece linia dorită este paralelă cu cea dată, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci se va scrie ecuația dreptei dorite. sub forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (1; 3) paralel cu o dreaptă

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici, nu mai este potrivit să se ia un vector cu proiecțiile A și ca vector de direcție, dar este necesar să se ferească un vector perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția ca ambii vectori să fie perpendiculari, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită într-un număr infinit de moduri, deoarece aici există o ecuație cu două necunoscute.Dar cel mai simplu mod este să o luați.Atunci ecuația dreptei dorite se va scrie sub forma

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

va fi urmatoarea (conform celei de-a doua formule)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma