Funcția formei , unde este numită funcţie pătratică.

Graficul funcției pătratice − parabolă.

Luați în considerare cazurile:

CAZ I, PARABOLA CLASICĂ

adică , ,

Pentru a construi, completați tabelul înlocuind valorile x în formula:

Marcați puncte (0;0); (1;1); (-1;1) etc. pe planul de coordonate (cu cât pasul luăm valorile x mai mici (în acest caz, pasul 1) și cu cât luăm mai multe valori x, cu atât curba este mai netedă), obținem o parabolă:

Este ușor de observat că dacă luăm cazul , , , adică, atunci obținem o parabolă simetrică față de axă (ox). Este ușor să verificați acest lucru completând un tabel similar:

II CAZ, „a” DIFERIT DE UNU

Ce se va întâmpla dacă luăm , , ? Cum se va schimba comportamentul parabolei? Cu title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Prima imagine (vezi mai sus) arată clar că punctele din tabel pentru parabolă (1;1), (-1;1) au fost transformate în puncte (1;4), (1;-4), adică cu aceleași valori, ordonata fiecărui punct este înmulțită cu 4. Acest lucru se va întâmpla cu toate punctele cheie ale tabelului original. Argumentăm în mod similar în cazurile imaginilor 2 și 3.

Și când parabola „devine mai largă” parabola:

Să recapitulăm:

1)Semnul coeficientului este responsabil pentru direcția ramurilor. Cu title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Valoare absolută coeficientul (modulul) este responsabil pentru „expansiunea”, „comprimarea” parabolei. Cu cât este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă, cu atât |a| mai mic, cu atât parabola este mai largă.

CAZUL III, „C” APARE

Acum să punem în joc (adică luăm în considerare cazul când ), vom lua în considerare parabole de forma . Este ușor de ghicit (puteți referi oricând la tabel) că parabola se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei, în funcție de semn:

CAZUL IV, Apare „b”.

Când se va „smulge” parabola din axă și, în cele din urmă, va „mergi” de-a lungul întregului plan de coordonate? Când încetează să mai fie egal.

Aici, pentru a construi o parabolă, avem nevoie formula pentru calcularea vârfului: , .

Deci în acest punct (ca și în punctul (0; 0) sistem nou coordonate) vom construi o parabolă, care este deja în puterea noastră. Dacă avem de-a face cu cazul , atunci de sus punem deoparte un segment de unitate la dreapta, unul în sus, - punctul rezultat este al nostru (în mod similar, un pas la stânga, un pas în sus este punctul nostru); dacă avem de-a face, de exemplu, atunci de sus punem deoparte un singur segment la dreapta, două în sus etc.

De exemplu, vârful unei parabole:

Acum, principalul lucru de înțeles este că la acest vârf vom construi o parabolă conform șablonului de parabolă, deoarece în cazul nostru.

La construirea unei parabole după găsirea coordonatelor vârfului este foarteEste convenabil să luați în considerare următoarele puncte:

1) parabolă trebuie să treacă prin punct . Într-adevăr, înlocuind x=0 în formulă, obținem că . Adică, ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa (oy), aceasta este. În exemplul nostru (mai sus), parabola intersectează axa y la , deoarece .

2) axa de simetrie parabole este o linie dreaptă, deci toate punctele parabolei vor fi simetrice față de ea. În exemplul nostru, luăm imediat punctul (0; -2) și construim o parabolă simetrică față de axa de simetrie, obținem punctul (4; -2), prin care va trece parabola.

3) Echivalând cu , aflăm punctele de intersecție ale parabolei cu axa (ox). Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația. În funcție de discriminant, vom obține unul (, ), doi ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . În exemplul anterior, avem o rădăcină de la discriminant - nu un număr întreg, atunci când îl construim, nu are sens să găsim rădăcinile, dar putem vedea clar că vom avea două puncte de intersecție cu (oh) axa (deoarece titlu = "(!LANG: Redat de QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Deci haideți să ne descurcăm

Algoritm pentru construirea unei parabole dacă aceasta este dată sub forma

1) determinați direcția ramurilor (a>0 - în sus, a<0 – вниз)

2) găsiți coordonatele vârfului parabolei cu formula , .

3) găsim punctul de intersecție al parabolei cu axa (oy) prin termenul liber, construim un punct simetric celui dat față de axa de simetrie a parabolei (de remarcat că se întâmplă să fie neprofitabil să marchezi acest punct, de exemplu, pentru că valoarea este mare... sărim peste acest punct...)

4) În punctul găsit - vârful parabolei (ca și în punctul (0; 0) al noului sistem de coordonate), construim o parabolă. Dacă title="(!LANG:Redată de QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa (oy) (dacă ei înșiși nu au „ieșit la suprafață”), rezolvând ecuația

Exemplul 1

Exemplul 2

Observație 1. Dacă parabola ne este dată inițial sub forma , unde sunt unele numere (de exemplu, ), atunci va fi și mai ușor să o construim, deoarece ni s-au dat deja coordonatele vârfului . De ce?

Să luăm un trinom pătrat și să selectăm un pătrat complet în el: Uite, aici avem că , . Am numit anterior vârful parabolei, adică acum,.

De exemplu, . Marcăm vârful parabolei pe plan, înțelegem că ramurile sunt îndreptate în jos, parabola este extinsă (relativ). Adică efectuam pașii 1; 3; 4; 5 din algoritmul pentru construirea unei parabole (vezi mai sus).

Observația 2. Dacă parabola este dată într-o formă similară cu aceasta (adică reprezentată ca un produs al doi factori liniari), atunci vedem imediat punctele de intersecție ale parabolei cu axa (x). În acest caz - (0;0) și (4;0). În rest, acționăm conform algoritmului, deschizând parantezele.

Toată lumea știe ce este o parabolă. Dar cum să-l folosim corect, competent în rezolvarea diverselor probleme practice, vom înțelege mai jos.

În primul rând, să notăm conceptele de bază pe care algebra și geometria le dau acestui termen. Luați în considerare totul tipuri posibile această diagramă.

Învățăm toate caracteristicile principale ale acestei funcții. Să înțelegem elementele de bază ale construirii unei curbe (geometrie). Să învățăm cum să găsim partea de sus, alte valori de bază ale graficului de acest tip.

Vom afla: cum este construită corect curba necesară conform ecuației, la ce trebuie să fiți atenți. Să vedem principalul uz practic această valoare unică în viața umană.

Ce este o parabolă și cum arată

Algebră: Acest termen se referă la graficul unei funcții pătratice.

Geometrie: Aceasta este o curbă de ordinul doi care are o serie de caracteristici specifice:

Ecuația parabolei canonice

Figura prezintă un sistem de coordonate dreptunghiular (XOY), un extremum, direcția funcției desenând ramuri de-a lungul axei absciselor.

Ecuația canonică este:

y 2 \u003d 2 * p * x,

unde coeficientul p este parametrul focal al parabolei (AF).

În algebră, se scrie diferit:

y = a x 2 + b x + c (model de recunoscut: y = x 2).

Proprietățile și graficul unei funcții pătratice

Funcția are o axă de simetrie și un centru (extrem). Domeniul de definiție este toate valorile axei x.

Gama de valori ale funcției - (-∞, M) sau (M, +∞) depinde de direcția ramurilor curbei. Parametrul M înseamnă aici valoarea funcției din partea de sus a liniei.

Cum să determinați unde sunt îndreptate ramurile unei parabole

Pentru a găsi direcția acestui tip de curbă dintr-o expresie, trebuie să specificați semnul în fața primului parametru expresie algebrica. Dacă a ˃ 0, atunci ele sunt îndreptate în sus. Altfel, jos.

Cum să găsiți vârful unei parabole folosind formula

Găsirea extremului este pasul principal în rezolvarea multor probleme practice. Desigur, puteți deschide special calculatoare online dar este mai bine să o poți face singur.

Cum să-l definești? Există o formulă specială. Când b nu este egal cu 0, trebuie să căutăm coordonatele acestui punct.

Formule pentru găsirea vârfului:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Exemplu.

Există o funcție y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Să găsim vârfurile acestei funcții.

Pentru o astfel de linie:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Obținem coordonatele vârfului (-2, -41).

Compensarea parabolei

Cazul clasic este atunci când într-o funcție pătratică y = a x 2 + b x + c, al doilea și al treilea parametru sunt 0, iar = 1 - vârful este în punctul (0; 0).

Mișcarea de-a lungul axelor de abscisă sau ordonate se datorează unei modificări a parametrilor b și, respectiv, c. Deplasarea liniei pe plan va fi efectuată exact de numărul de unități, care este egal cu valoarea parametrului.

Exemplu.

Avem: b = 2, c = 3.

Aceasta înseamnă că vederea clasică a curbei se va deplasa cu 2 segmente unitare de-a lungul axei absciselor și cu 3 de-a lungul axei ordonatelor.

Cum se construiește o parabolă folosind o ecuație pătratică

Este important ca școlari să învețe cum să deseneze corect o parabolă în funcție de parametrii dați.

Analizând expresii și ecuații, puteți vedea următoarele:

1. Punctul de intersecție al dreptei dorite cu vectorul ordonate va avea o valoare egală cu c.
2. Toate punctele graficului (de-a lungul axei x) vor fi simetrice față de extremul principal al funcției.

În plus, intersecțiile cu OX pot fi găsite cunoscând discriminantul (D) al unei astfel de funcții:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Pentru a face acest lucru, trebuie să echivalați expresia cu zero.

Prezența rădăcinilor parabolelor depinde de rezultat:

• D ˃ 0, atunci x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, apoi x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, atunci nu există puncte de intersecție cu vectorul OX.

Obținem algoritmul pentru construirea unei parabole:

• determinați direcția ramurilor;
• găsiți coordonatele vârfului;
• găsiți intersecția cu axa y;
• găsiți intersecția cu axa x.

Exemplul 1

Având în vedere o funcție y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Este necesar să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului:

1. a \u003d 1, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. se intersectează cu axa y la valoarea y = 4;
4. găsiți discriminantul: D = 25 - 16 = 9;
5. cautand radacini

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

Exemplul 2

Pentru funcția y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, trebuie să construiți o parabolă. Acționăm conform algoritmului de mai sus:

1. a \u003d 3, prin urmare, ramurile sunt îndreptate în sus;
2. coordonate extreme: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. cu axa y se va intersecta la valoarea y \u003d -1;
4. găsiți discriminantul: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Deci rădăcinile:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Din punctele obținute, puteți construi o parabolă.

Directrix, excentricitate, focalizarea unei parabole

Pe baza ecuației canonice, focarul F are coordonate (p/2, 0).

Linia dreaptă AB este o directrice (un fel de coardă de parabolă de o anumită lungime). Ecuația ei este x = -p/2.

Excentricitate (constant) = 1.

Concluzie

Am luat în considerare tema în care studiază studenții liceu. Acum știi, privind funcția pătratică a unei parabole, cum să-i găsești vârful, în ce direcție vor fi direcționate ramurile, dacă există un decalaj de-a lungul axelor și, având un algoritm de construcție, îi poți desena graficul.

The material metodic are scop de referință și acoperă o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă problemă - cum să construiți corect și RAPID un grafic. În timpul studiului matematica superioara fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., amintiți-vă câteva valori ale funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, poate fi vizualizată o versiune demo. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic al funcției începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele litere mari„x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsoară într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau scurtă recomandare prin papetărie. Până în prezent, majoritatea caietelor puse în vânzare, fără să spună cuvinte rele, sunt complet spiriduși. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru clearance lucrări de control Recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, cușcă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informatii detaliate despre sferturi de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate la scară
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punctul de vedere al design corect. Aș putea desena toate graficele manual, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale ale unei funcții liniare:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost extrem de nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției se construiește imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției patratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm construcția poate fi numită figurativ „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută în lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest lucru este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. În linii mari, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că asta este număr irațional: , acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Luați în considerare o funcție cu logaritmul natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, ceva ce nu-mi amintesc când am construit ultima dată un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două reciproce funcții inverse . Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional:, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Notite importante!
1. Dacă în loc de formule vedeți abracadabra, ștergeți memoria cache. Cum se face în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citești articolul, fii atent la navigatorul nostru cel mai mult resursă utilă pentru

Pentru a înțelege ce se va scrie aici, trebuie să știți bine ce este o funcție pătratică și cu ce se mănâncă. Dacă te consideri un profesionist în funcțiile patratice, bine ai venit. Dar dacă nu, ar trebui să citești subiectul.

Să începem cu un mic verificări:

1. Cum arată o funcție pătratică în formă generală (formulă)?
2. Cum se numește graficul unei funcții pătratice?
3. Cum afectează coeficientul de conducere graficul unei funcții pătratice?

Dacă puteți răspunde la aceste întrebări imediat, continuați să citiți. Dacă cel puțin o întrebare a cauzat dificultăți, accesați.

Deci, știți deja cum să gestionați o funcție pătratică, să analizați graficul acesteia și să construiți un grafic pe puncte.

Ei bine, aici este: .

Să aruncăm o privire rapidă la ceea ce fac. cote.

1. Coeficientul superior este responsabil pentru „abrupta” parabolei, sau, cu alte cuvinte, pentru lățimea acesteia: cu cât parabola este mai mare, cu atât mai îngustă (mai abruptă) parabola și cu cât parabola este mai mică, cu atât mai largă (mai plată).
2. Termenul liber este coordonata intersecției parabolei cu axa y.
3. Și coeficientul este oarecum responsabil pentru deplasarea parabolei din centrul coordonatelor. Iată mai multe despre asta acum.

De ce începem mereu să construim o parabolă? Care este punctul ei distinctiv?

Acest vârf. Și cum să găsiți coordonatele vârfului, vă amintiți?

Abscisa se caută prin următoarea formulă:

Cam asta: ce Mai mult, subiecte La stânga vârful parabolei se mișcă.

Ordonata unui vârf poate fi găsită prin substituirea în funcția:

Înlocuiește-te și numără. Ce s-a întâmplat?

Dacă faceți totul corect și simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată, obțineți:

Se dovedește că cu atât mai mult modulo, subiecte de mai sus voi vârf parabole.

În sfârșit, să trecem la complot.
Cel mai simplu mod este să construiești o parabolă începând de sus.

Exemplu:

Trasează funcția.

Soluţie:

Mai întâi, să definim coeficienții: .

Acum să calculăm coordonatele vârfurilor:

Și acum amintiți-vă: toate parabolele cu același coeficient de conducere arată la fel. Deci, dacă construim o parabolă și îi mutăm vârful într-un punct, obținem graficul de care avem nevoie:

Simplu, nu?

A mai rămas o singură întrebare: cum să desenezi rapid o parabolă? Chiar dacă desenăm o parabolă cu un vârf la origine, tot trebuie să o construim punct cu punct, ceea ce este lung și incomod. Dar toate parabolele arată la fel, poate că există o modalitate de a le accelera desenul?

Când eram la școală, profesorul meu de matematică le-a spus tuturor să decupeze un șablon în formă de parabolă din carton, astfel încât să-l poată desena rapid. Dar nu veți putea merge peste tot cu un șablon și nu li se va permite să o ducă la examen. Deci, nu vom folosi obiecte străine, ci vom căuta un model.

Luați în considerare cea mai simplă parabolă. Să-l construim după puncte:

Regula aici este aceasta. Dacă ne deplasăm de sus la dreapta (de-a lungul axei) la și în sus (de-a lungul axei) la, atunci vom ajunge în punctul parabolei. Mai departe: dacă din acest punct ne deplasăm la dreapta treptat în sus, vom ajunge din nou în punctul parabolei. Următorul: chiar și în sus. Ce urmeaza? Chiar și în sus. Și așa mai departe: deplasați-vă la dreapta și la următorul numar impar sus. Apoi facem același lucru cu ramura stângă (la urma urmei, parabola este simetrică, adică ramurile ei arată la fel):

Grozav, acest lucru va ajuta la construirea oricărei parabole de la vârful cu cel mai mare coeficient egal cu. De exemplu, am învățat că vârful unei parabole este într-un punct. Construiește (pe cont propriu, pe hârtie) această parabolă.

Construit?

Ar trebui să iasă așa:

Acum conectăm punctele obținute:

Asta e tot.

OK, ei bine, acum construiți doar parabole cu?

Desigur că nu. Acum să ne dăm seama ce să facem cu ei, dacă.

Să luăm în considerare câteva cazuri tipice.

Grozav, am învățat cum să desenăm o parabolă, acum să exersăm pe funcții reale.

Deci, desenați grafice ale unor astfel de funcții:

Raspunsuri:

3. Sus: .

Îți amintești ce să faci dacă coeficientul senior este mai mic?

Ne uităm la numitorul fracției: este egală. Deci ne vom mișca astfel:

• dreapta - sus
• dreapta - sus
• dreapta - sus

si tot la stanga:

4. Sus: .

Oh, ce să faci cu el? Cum se măsoară celulele dacă vârful este undeva între linii?...

Și înșelăm. Mai întâi, să desenăm o parabolă și abia apoi să-i mutăm vârful într-un punct. Nici măcar, să o facem și mai complicat: Să desenăm o parabolă și apoi muta axele:- pe jos, a - pe dreapta:

Această tehnică este foarte convenabilă în cazul oricărei parabole, rețineți-o.

Permiteți-mi să vă reamintesc că putem reprezenta funcția în această formă:

De exemplu: .

Ce ne oferă asta?

Cert este că numărul care se scade din paranteze () este abscisa vârfului parabolei, iar termenul din afara parantezelor () este ordonata vârfului.

Aceasta înseamnă că, după ce ai construit o parabolă, trebuie doar să o faci mutați axa la stânga și axa în jos.

Exemplu: să reprezentăm graficul unei funcții.

Să selectăm un pătrat complet:

Ce numar scazut dintre paranteze? Asta (și nu cum poți decide fără să te gândești).

Deci, construim o parabolă:

Acum deplasăm axa în jos, adică în sus:

Și acum - la stânga, adică la dreapta:

Asta e tot. Este același lucru cu mutarea unei parabole cu vârful său de la origine la un punct, doar că axa dreaptă este mult mai ușor de mutat decât o parabolă strâmbă.

Acum, ca de obicei, eu însumi:

Și nu uitați să ștergeți axele vechi cu o radieră!

sunt ca răspunsuri pentru verificare, vă voi scrie ordonatele vârfurilor acestor parabole:

S-a potrivit totul?

Dacă da, atunci ești grozav! A ști cum să manevrezi o parabolă este foarte important și util și aici am constatat că nu este deloc dificil.

GRAFICUL O FUNCȚIE CADRATICĂ. SCURT DESPRE PRINCIPALA

funcţie pătratică este o funcție a formei, unde și sunt orice numere (coeficienți), este un membru liber.

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă.

Partea de sus a parabolei:
, adică cu cât \displaystyle b este mai mare, cu atât partea superioară a parabolei se mișcă mai la stânga.
Înlocuiți în funcție și obțineți:
, adică cu cât \displaystyle b modulo , cu atât vârful parabolei va fi mai mare

Termenul liber este coordonata intersecției parabolei cu axa y.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, atunci ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă ai citit până la capăt, atunci ești în 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ți-ai dat seama de teoria pe această temă. Și, repet, este... pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru succes promovarea examenului, pentru admiterea la institut la buget și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună, câștigă mult mai mult decât cei care nu l-au primit. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că în fața lor se deschid mult mai multe oportunități și viața devine mai strălucitoare? Nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examen și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

UMPLȚI-VĂ MÂNA, REzolVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

La examen nu vi se va cere teorie.

Vei avea nevoie rezolva problemele la timp.

Și, dacă nu le-ai rezolvat (MULTE!), cu siguranță vei face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu vei reuși la timp.

Este ca în sport - trebuie să repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți o colecție oriunde doriți neaparat cu solutii analiză detaliată si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (nu este necesar) și cu siguranță le recomandăm.

Pentru a obține o mână de lucru cu ajutorul sarcinilor noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse în toate cele 99 de articole din tutorial - Cumpărați un manual - 499 de ruble

Da, avem 99 de astfel de articole în manual și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri cu teorie.

„Înțeles” și „Știu să rezolv” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați!