Număr natural cu o singură cifră. numere întregi

numere întregi

numere întregi definiția este numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Iată numerele:

Aceasta este o serie naturală de numere.
Zero este un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există un set infinit de numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Nu poate fi specificat, deoarece există o mulțime infinită de numere naturale.

Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunarea numerelor naturale a și b:

Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:

c este întotdeauna un număr natural.

Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.

Coeficientul numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b

unde c este un număr natural, înseamnă că a este divizibil egal cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este coeficientul.

Împărțitorul unui număr natural este numărul natural cu care primul număr este divizibil egal.

Fiecare număr natural este divizibil cu 1 și cu el însuși.

Numerele naturale simple sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit complet. Exemplu, numerele 2; 3; cinci; 7 este divizibil doar cu 1 și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.

Unul nu este considerat număr prim.

Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple de numere compuse:

Unul nu este considerat un număr compus.

Mulțimea numerelor naturale este formată din unu, numere prime și numere compuse.

Se notează mulțimea numerelor naturale Literă latină N.

Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:

proprietate comutativă a adunării

proprietate asociativă a adunării

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietatea comutativă a înmulțirii

proprietatea asociativă a înmulțirii

(ab)c = a(bc);

proprietatea distributivă a înmulțirii

A (b + c) = ab + ac;

Numere întregi

Numerele întregi sunt numere naturale, zero și opusul numerelor naturale.

Numerele opuse numerelor naturale sunt numere întregi negative, de exemplu:

1; -2; -3; -4;...

Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.

Numere rationale

Numere rationale sunt numere întregi și fracții.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Se poate observa din exemple că orice număr întreg este o fracție periodică cu o perioadă de zero.

Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m este un număr întreg număr, n natural număr. Să reprezentăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție.

Ce sunt numerele naturale și nenaturale? Cum să explic unui copil, sau poate nu unui copil, care sunt diferențele dintre ele? Să ne dăm seama. Din câte știm, numerele nenaturale și naturale sunt studiate în clasa a V-a, iar scopul nostru este să explicăm elevilor pentru ca aceștia să înțeleagă și să învețe cu adevărat ce și cum.

Istorie

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte. Cu mult timp în urmă, când oamenii încă nu știau să numere și habar nu aveau despre numere, când aveau nevoie să numere ceva, de exemplu, pești, animale, au dat KO diverse subiecte puncte sau liniuțe, după cum au aflat mai târziu arheologii. În acea perioadă le era foarte greu să trăiască, dar civilizația s-a dezvoltat mai întâi la sistemul numeric roman și apoi la sistemul numeric zecimal. Acum aproape toată lumea folosește cifre arabe.

Totul despre numere naturale

Numerele naturale sunt numere prime pe care le folosim în viața de zi cu zi pentru a număra obiecte pentru a determina cantitatea și ordinea. În prezent, folosim notația zecimală pentru a scrie numere. Pentru a scrie orice număr, folosim zece cifre - de la zero la nouă.

Numerele naturale sunt acele numere pe care le folosim atunci când numărăm obiecte sau indicăm numărul de serie al ceva. Exemplu: 5, 368, 99, 3684.

Seria de numere se numește numere naturale, care sunt aranjate în ordine crescătoare, adică. de la unu la infinit. Această linie începe cu cel mai mic număr- 1 și nu există cel mai mare număr natural, deoarece seria de numere este pur și simplu infinită.

În general, zero nu este considerat un număr natural, deoarece înseamnă absența a ceva și, de asemenea, nu există nicio numărare a obiectelor.

Sistemul de numere arabe este sistem modern pe care le folosim zilnic. Este una dintre variantele de indian (zecimal).

Acest sistem numeric a devenit modern datorită numărului 0, care a fost inventat de arabi. Înainte de asta, era absent în sistemul indian.

numere nenaturale. Ce-i asta?

Numerele naturale nu includ numere negative și non-întregi. Deci sunt - numere nenaturale

Mai jos sunt exemple.

Numerele nenaturale sunt:

Numerele negative, de exemplu: -1, -5, -36.. și așa mai departe.
Numere raționale care se exprimă în zecimale: 4,5, -67, 44,6.
Sub forma unei fracții simple: 1 / 2, 40 2 / 7 etc.

Numere iraționale, cum ar fi e = 2,71828, √2 = 1,41421 și altele asemenea.

Sperăm că v-am ajutat foarte mult cu numere non-naturale și naturale. Acum îți va deveni mai ușor să explici acest subiect copilului tău, iar el o va învăța la fel ca marii matematicieni!

Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - contul elementar a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, secolele s-au schimbat, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „cel mai matematică complexă- toate numerele au dispărut din el. Dar care a fost baza?

Începutul timpului

Numerele naturale au apărut la egalitate cu primele operatii matematice. Odată o coloană vertebrală, doi țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care au dedus primul pozițional

Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde categoriei sale. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Inovația indienilor a fost preluată de arabi, care au adus numerele la forma pe care o cunoaștem acum.

În antichitate, numerelor li s-a dat un sens mistic, Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele principale - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul numai din punct de vedere matematic, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Este folosit în principal pentru numărarea articolelor și indicarea comenzii.

Ce este în matematică? Axiomele lui Peano

Câmpul N este câmpul de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, câmpurile numerelor întregi, raționale,

Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a deschis calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul N.

Ce este un număr natural, s-a aflat mai devreme limbaj simplu, definiția matematică bazată pe axiomele lui Peano va fi luată în considerare mai jos.

Unul este considerat un număr natural.
Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
Nu există un număr natural înainte de unu.
Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
Axioma inducției, care la rândul ei arată ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este valabilă și pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.

Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale

Deoarece câmpul N a devenit primul pentru calcule matematice, atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos se referă la el. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiunile închise sunt garantate pentru a lăsa un rezultat în mulțimea N, indiferent de ce numere sunt implicate. Este suficient să fie naturale. Rezultatul interacțiunilor numerice rămase nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:

adunarea - x + y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
înmulțire - x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
exponentiație - x y , unde x, y sunt incluse în câmpul N.

Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:

Proprietățile numerelor aparținând câmpului N

Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.

Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se modifică dintr-o modificare a locurilor termenilor”.
Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
Proprietatea asociativă a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
Proprietatea asociativă a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
proprietatea distribuției - x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.

Masa lui Pitagora

Unul dintre primii pași în cunoașterea întregii structuri a matematicii elementare de către școlari, după ce au înțeles singuri care numere sunt numite naturale, este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific valoros.

Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se desemnează, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor intersecției lor este egal cu produsul lor.

În practica predării din ultimele decenii, a fost nevoie de memorarea tabelului pitagoreic „în ordine”, adică memorarea a fost prima. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber, puteți vedea un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem spre deosebire de cel care se practica în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem bazat pe puterile a doi.

Subset ca leagăn al matematicii

Pe acest moment domeniul numerelor naturale N este considerat doar una dintre submulțimile numerelor complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Un număr natural este primul lucru pe care un copil îl învață studiind pe sine și lumea din jurul lui. Un deget, două degete... Datorită lui, se formează o persoană gandire logica, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.

Cel mai simplu număr este numar natural. Sunt folosite în Viata de zi cu zi pentru numărare articole, adică pentru a calcula numărul și ordinea acestora.

Ce este un număr natural: numere naturale numiți numerele pentru care sunt folosite numărarea articolelor sau pentru a indica numărul de serie al oricărui articol din toate omogene articole.

numere întregisunt numere care incep de la unu. Ele se formează în mod natural la numărare.De exemplu, 1,2,3,4,5... -primele numere naturale.

cel mai mic număr natural- unu. Nu există cel mai mare număr natural. La numărarea numărului zero nu este folosit, deci zero este un număr natural.

serii naturale de numere este succesiunea tuturor numerelor naturale. Scrie numerele naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

În numerele naturale, fiecare număr este cu unul mai mult decât precedentul.

Câte numere sunt în seria naturală? Seria naturală este infinită, nu există cel mai mare număr natural.

Decimală deoarece 10 unități din orice categorie formează 1 unitate de ordinul cel mai înalt. pozițional deci modul în care valoarea unei cifre depinde de locul ei în număr, adică din categoria în care este înregistrat.

Clase de numere naturale.

Orice număr natural poate fi scris folosind 10 cifre arabe:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Pentru a citi numerele naturale, acestea se împart, începând din dreapta, în grupuri de câte 3 cifre. 3 primul numerele din dreapta sunt clasa unităților, următoarele 3 sunt clasa miilor, apoi clasele milioanelor, miliardelor șietc. Fiecare dintre cifrele clasei se numește eideversare.

Comparația numerelor naturale.

Dintre cele 2 numere naturale, numărul care este numit mai devreme în numărare este mai mic. De exemplu, număr 7 Mai puțin 11 (scris astfel:7 < 11 ). Când un număr mai mult de o secundă, este scris astfel:386 > 99 .

Tabel de cifre și clase de numere.


unitate de clasa I	Prima cifră de unitate locul 2 zece Sute de rangul 3
clasa a II-a mie	Unitățile de mii din prima cifră A doua cifră zeci de mii Locul 3 sute de mii
milioane de clasa a 3-a	Unități de prima cifră milioane A doua cifră zeci de milioane A treia cifră sute de milioane
miliarde de clasa a 4-a	Unități de prima cifră miliarde A doua cifră zeci de miliarde A treia cifră sute de miliarde

Numerele de clasa a V-a și mai sus se referă numere mari. Unități de clasa a 5-a - trilioane, a 6-a clasa - cvadrilioane, clasa a 7-a - chintilioane, clasa a 8-a - sextilioane, clasa a 9-a - eptilioane.

Proprietățile de bază ale numerelor naturale.

Comutativitatea adunării . a + b = b + a
Comutativitatea înmulțirii. ab=ba
Asociativitatea adunării. (a + b) + c = a + (b + c)
Asociativitatea înmulțirii.
Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

Acțiuni asupra numerelor naturale.

4. Împărțirea numerelor naturale este o operație inversă înmulțirii.

Dacă b ∙ c \u003d a, apoi

Formule de împărțire:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(dar∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(dar∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Expresii numerice și egalități numerice.

O notație în care numerele sunt conectate prin semne de acțiune este expresie numerică.

De exemplu, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Intrările în care semnul egal concatenează 2 expresii numerice este egalități numerice. Egalitatea are o latură stângă și una dreaptă.

Ordinea în care sunt efectuate operațiile aritmetice.

Adunarea și scăderea numerelor sunt operații de gradul I, în timp ce înmulțirea și împărțirea sunt operații de gradul II.

Când o expresie numerică constă din acțiuni de un singur grad, atunci acestea sunt efectuate secvenţial de la stanga la dreapta.

Când expresiile constau în acțiuni de gradul I și II, atunci acțiunile sunt mai întâi efectuate al doilea grad, iar apoi - acțiuni de gradul întâi.

Când există paranteze în expresie, acțiunile din paranteze sunt efectuate mai întâi.

De exemplu, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

numere întregi- numere care sunt folosite pentru a număra obiecte . Orice număr natural poate fi scris folosind zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O astfel de înregistrare a numerelor se numește zecimal.

Se numește șirul tuturor numerelor naturale natural unul lângă altul .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Cel mai mic un număr natural este unu (1). În seria naturală, fiecare număr următor este cu 1 mai mult decât cel precedent. serie naturală fără sfârşit nu există un număr cel mai mare.

Semnificația unei cifre depinde de locul ei în notația numărului. De exemplu, numărul 4 înseamnă: 4 unități dacă stă pe ultimul locîn introducerea numărului (în loc de unități); 4 zece, dacă ea este pe ultimul loc (la locul zecilor); 4 sute, dacă este pe locul trei de la final (în sute de loc).

Cifra 0 înseamnă lipsa unitatilor din aceasta categorieîn notația zecimală a unui număr. De asemenea, servește pentru a desemna numărul " zero". Acest număr înseamnă „niciunul”. Scor 0:3 meci de fotbal spune că prima echipă nu a marcat niciun gol împotriva adversarei.

Zero nu include la numere naturale. Și într-adevăr, numărarea articolelor nu începe niciodată de la zero.

Dacă un număr natural are o singură cifră – o cifră, apoi se numește lipsit de ambiguitate. Acestea. lipsit de ambiguitatenumar natural- un număr natural a cărui înregistrare constă dintr-un singur semn – o cifră. De exemplu, numerele 1, 6, 8 sunt cu o singură cifră.

Două cifrenumar natural- un număr natural, a cărui înregistrare este formată din două caractere - două cifre.

De exemplu, numerele 12, 47, 24, 99 sunt cifre duble.

De asemenea, în funcție de numărul de caractere dintr-un anumit număr, alte numere sunt date nume:

numerele 326, 532, 893 - trei cifre;

numerele 1126, 4268, 9999 - patru cifre etc.

Două cifre, trei cifre, patru cifre, cinci cifre etc. se numesc numere numere din mai multe cifre .

Pentru a citi numerele cu mai multe cifre, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de câte trei cifre fiecare (grupul din stânga poate fi format din una sau două cifre). Aceste grupuri sunt numite clase.

Milion este o mie de mii (1000 de mii), se scrie 1 milion sau 1.000.000.

Miliard este de 1000 de milioane. Se înregistrează cu 1 miliard sau 1.000.000.000.

Primele trei cifre din dreapta alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei - clasa de mii, apoi sunt clasele de milioane, miliarde etc. (Fig. 1).

Orez. 1. Clasa de milioane, clasa de mii și clasa de unități (de la stânga la dreapta)

Numărul 15389000286 este scris în grila de biți (Fig. 2).