Numărul de numere naturale. Ce este un număr natural? Istorie, domeniu de aplicare, proprietăți

numere întregi foarte familiar și firesc pentru noi. Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece cunoașterea cu ei începe din primii ani ai vieții noastre la un nivel intuitiv.

Informațiile din acest articol creează o înțelegere de bază a numerelor naturale, dezvăluie scopul acestora, insuflă abilitățile de a scrie și citi numerele naturale. Pentru o mai bună asimilare material, sunt date exemplele și ilustrațiile necesare.

Navigare în pagină.

Numerele naturale sunt o reprezentare generală.

Următoarea opinie nu este lipsită de o logică solidă: apariția problemei numărării obiectelor (primul, al doilea, al treilea obiect etc.) și problema indicarii numărului de obiecte (unul, două, trei obiecte etc.) conduse. la crearea unui instrument pentru soluția sa, acest instrument a fost numere întregi.

Această propunere arată scopul principal al numerelor naturale- să poarte informații despre numărul oricăror articole sau numărul de serie al unui articol dat din setul considerat de articole.

Pentru ca o persoană să folosească numerele naturale, acestea trebuie să fie accesibile într-un fel, atât pentru percepție, cât și pentru reproducere. Dacă sunați fiecare număr natural, atunci acesta va deveni perceptibil după ureche, iar dacă înfățișați un număr natural, atunci acesta poate fi văzut. Acestea sunt cele mai naturale moduri de a transmite și de a percepe numerele naturale.

Deci, să începem să dobândim abilitățile de a descrie (scris) și de a exprima (citi) numerele naturale, în timp ce le învățăm sensul.

Notație zecimală pentru un număr natural.

În primul rând, ar trebui să decidem pe ce vom construi atunci când scriem numere naturale.

Să memorăm imaginile următoarelor personaje (le arătăm separate prin virgule): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Imaginile prezentate sunt o înregistrare a așa-numitului numere. Să fim de acord imediat să nu răsturnăm, să înclinăm sau să distorsionăm în alt mod numerele când scriem.

Acum suntem de acord că doar cifrele indicate pot fi prezente în notația oricărui număr natural și nu pot fi prezente alte simboluri. De asemenea, suntem de acord că cifrele din notația unui număr natural au aceeași înălțime, sunt aranjate într-o linie una după alta (aproape fără liniuțe), iar în stânga există o cifră care este diferită de cifra 0 .

Iată câteva exemple de notare corectă a numerelor naturale: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (notă: liniuțele dintre numere nu sunt întotdeauna aceleași, mai multe despre acest lucru vor fi discutate la revizuire). Din exemplele de mai sus, se poate observa că un număr natural nu conține neapărat toate cifrele 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; unele sau toate cifrele implicate în scrierea unui număr natural pot fi repetate.

Intrări 014 , 0005 , 0 , 0209 nu sunt înregistrări ale numerelor naturale, deoarece există o cifră în stânga 0 .

Se numește înregistrarea unui număr natural, efectuată ținând cont de toate cerințele descrise în acest alineat notarea zecimală a unui număr natural.

În plus, nu vom face distincția între numerele naturale și notația lor. Să lămurim acest lucru: mai departe în text, expresii precum „dat un număr natural 582 „, ceea ce va însemna că este dat un număr natural, a cărui notare are forma 582 .

Numere naturale în sensul numărului de obiecte.

Este timpul să ne ocupăm de semnificația cantitativă pe care o poartă numărul natural înregistrat. Semnificația numerelor naturale în ceea ce privește numerotarea obiectelor este luată în considerare în articolul compararea numerelor naturale.

Să începem cu numerele naturale, ale căror intrări coincid cu intrările cifrelor, adică cu numerele 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Și 9 .

Imaginează-ți că am deschis ochii și am văzut un obiect, de exemplu, ca acesta. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 1 subiect. Numărul natural 1 se citește ca „ unu„(declinarea numeralului „unu”, precum și a altor numere, vom da în paragraful), pentru numărul 1 a adoptat un alt nume - " unitate».

Cu toate acestea, termenul „unitate” are mai multe valori, în plus față de numărul natural 1 , sunt numite ceva care este considerat ca un întreg. De exemplu, orice articol din setul lor poate fi numit unitate. De exemplu, orice măr din multe mere este unul, orice stol de păsări din multe stoluri de păsări este, de asemenea, unul și așa mai departe.

Acum deschidem ochii și vedem: Adică vedem un obiect și un alt obiect. În acest caz, putem scrie ceea ce vedem 2 subiect. Numar natural 2 , se citește ca „ Două».

La fel, - 3 subiect (a se citi " Trei" subiect), - 4 (« patru"") al subiectului, - 5 (« cinci»), - 6 (« şase»), - 7 (« Șapte»), - 8 (« opt»), - 9 (« nouă”) articole.

Deci, din poziția considerată, numerele naturale 1 , 2 , 3 , …, 9 indica număr articole.

Un număr a cărui notație se potrivește cu notația unei cifre 0 , numită " zero". Numărul zero NU este un număr natural, însă, de obicei, este considerat împreună cu numerele naturale. Amintiți-vă: zero înseamnă absența a ceva. De exemplu, zero articole nu este un singur articol.

În următoarele paragrafe ale articolului, vom continua să dezvăluim semnificația numerelor naturale în ceea ce privește indicarea cantității.

numere naturale cu o singură cifră.

Evident, înregistrarea fiecăruia dintre numerele naturale 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 constă dintr-un semn - o cifră.

Definiție.

Numere naturale cu o singură cifră sunt numere naturale, a căror înregistrare constă dintr-un semn - o cifră.

Să enumerăm toate numerele naturale dintr-o singură cifră: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Există nouă numere naturale cu o singură cifră.

Numere naturale din două și trei cifre.

În primul rând, oferim o definiție a numerelor naturale din două cifre.

Definiție.

Numere naturale din două cifre- acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este de două caractere - două cifre (diferite sau la fel).

De exemplu, un număr natural 45 - două cifre, numere 10 , 77 , 82 de asemenea de două cifre 5 490 , 832 , 90 037 - nu cu două cifre.

Să ne dăm seama ce semnificație au numerele din două cifre, în timp ce vom începe de la semnificația cantitativă a numerelor naturale cu o singură cifră deja cunoscută nouă.

Mai întâi, să introducem conceptul zece.

Să ne imaginăm o astfel de situație – am deschis ochii și am văzut un set format din nouă obiecte și încă un obiect. În acest caz, se vorbește despre 1 zece (o duzină) articole. Dacă se consideră împreună unul zece și încă unul zece, atunci se vorbește despre 2 zeci (două zeci). Dacă mai adăugăm încă zece la două zeci, vom avea trei zeci. Continuând acest proces, vom obține patru zeci, cinci zeci, șase zeci, șapte zeci, opt zeci și, în final, nouă zeci.

Acum putem trece la esența numerelor naturale din două cifre.

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un număr din două cifre ca două o singură cifră- unul este în stânga în notația unui număr din două cifre, celălalt este în dreapta. Numărul din stânga indică numărul de zeci, iar numărul din dreapta indică numărul de unități. Mai mult, dacă există o cifră în dreapta în înregistrarea unui număr de două cifre 0 , atunci aceasta înseamnă absența unităților. Acesta este punctul central al numerelor naturale de două cifre în ceea ce privește indicarea sumei.

De exemplu, un număr natural de două cifre 72 corespunde 7 zeci și 2 unități (adică 72 mere este un set de șapte duzini de mere și încă două mere) și numărul 30 răspunsuri 3 zeci și 0 nu există unități, adică unități care nu sunt unite în zeci.

Să răspundem la întrebarea: „Câte numere naturale de două cifre există”? Raspunde-le 90 .

Ne întoarcem la definiția numerelor naturale din trei cifre.

Definiție.

Numerele naturale a căror notație constă în 3 semne - 3 se numesc cifre (diferite sau repetate). trei cifre.

Exemple de numere naturale din trei cifre sunt 372 , 990 , 717 , 222 . numere întregi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nu sunt trei cifre.

Pentru a înțelege sensul inerent numerelor naturale din trei cifre, avem nevoie de concept sute.

Un set de zece zeci este 1 o sută (o sută). O sută sută este 2 sute. Două sute și încă o sută sunt trei sute. Și așa mai departe, avem patru sute, cinci sute, șase sute, șapte sute, opt sute și, în sfârșit, nouă sute.

Acum să ne uităm la un număr natural de trei cifre ca trei numere naturale de o singură cifră, mergând unul după altul de la dreapta la stânga în notația unui număr natural de trei cifre. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr indică numărul de zeci, următorul număr numărul de sute. Numerele 0 în înregistrarea unui număr de trei cifre înseamnă absența zecilor și (sau) unităților.

Astfel, un număr natural de trei cifre 812 corespunde 8 sute 1 top zece și 2 unități; număr 305 - trei sute 0 zeci, adică zeci necombinate în sute, nu) și 5 unități; număr 470 - patru sute șapte zeci (nu există unități care să nu fie combinate în zeci); număr 500 - cinci sute (zecile nu sunt combinate în sute, iar unitățile nu sunt combinate în zeci, nu).

În mod similar, se poate defini patru cifre, cinci cifre, șase cifre și așa mai departe. numere naturale.

Numerele naturale multivalorice.

Deci, ne întoarcem la definiția numerelor naturale cu mai multe valori.

Definiție.

Numerele naturale multivalorice- acestea sunt numere naturale, a căror înregistrare este formată din două sau trei sau patru etc. semne. Cu alte cuvinte, numerele naturale cu mai multe cifre sunt de două cifre, trei cifre, patru cifre etc. numerele.

Să spunem imediat că setul format din zece sute este o mie, o mie de mii este un milion, o mie de milioane este un miliard, o mie de miliarde este un trilion. O mie de trilioane, o mie de mii de trilioane și așa mai departe pot primi, de asemenea, propriile nume, dar nu este nevoie în mod special de acest lucru.

Deci, care este sensul din spatele numerelor naturale cu valori multiple?

Să privim un număr natural cu mai multe cifre ca numere naturale dintr-o singură cifră care urmează unul după altul de la dreapta la stânga. Numărul din dreapta indică numărul de unități, următorul număr este numărul de zeci, următorul este numărul de sute, apoi numărul de mii, următorul este numărul de zeci de mii, următorul este de sute de mii , următorul este numărul de milioane, următorul este numărul de zeci de milioane, următorul este sute de milioane, următorul - numărul de miliarde, apoi - numărul de zeci de miliarde, apoi - sute de miliarde, apoi - trilioane, apoi - zeci de trilioane, apoi - sute de trilioane, și așa mai departe.

De exemplu, un număr natural format din mai multe cifre 7 580 521 corespunde 1 unitate, 2 zeci, 5 sute 0 mii 8 zeci de mii 5 sute de mii şi 7 milioane.

Astfel, am învățat să grupăm unitățile în zeci, zeci în sute, sute în mii, mii în zeci de mii și așa mai departe și am aflat că numerele din înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre indică numărul corespunzător al grupurile de mai sus.

Citirea numerelor naturale, clase.

Am menționat deja cum se citesc numerele naturale de o cifră. Să învățăm pe de rost conținutul următoarelor tabele.

Și cum se citesc celelalte numere din două cifre?

Să explicăm cu un exemplu. Citirea unui număr natural 74 . După cum am aflat mai sus, acest număr corespunde 7 zeci și 4 unități, adică 70 Și 4 . Ne întoarcem la tabelele tocmai scrise și la numărul 74 citim ca: „Șaptezeci și patru” (nu pronunțăm unirea „și”). Dacă vrei să citești un număr 74 în propoziţia: „Nu 74 mere” (cazul genitiv), atunci va suna astfel: „Nu există șaptezeci și patru de mere”. Alt exemplu. Număr 88 - acest 80 Și 8 , prin urmare, citim: „Optzeci și opt”. Și iată un exemplu de propoziție: „Se gândește la optzeci și opt de ruble”.

Să trecem la citirea numerelor naturale din trei cifre.

Pentru a face acest lucru, va trebui să mai învățăm câteva cuvinte noi.

Rămâne să arătăm cum sunt citite numerele naturale de trei cifre rămase. În acest caz, vom folosi abilitățile deja dobândite în citirea numerelor cu o singură cifră și cu două cifre.

Să luăm un exemplu. Să citim numărul 107 . Acest număr corespunde 1 suta si 7 unități, adică 100 Și 7 . Întorcându-ne la mese, citim: „O sută șapte”. Acum să spunem numărul 217 . Acest număr este 200 Și 17 , prin urmare, citim: „Două sute șaptesprezece”. De asemenea, 888 - acest 800 (opt sute) și 88 (optzeci și opt), citim: „Opt sute optzeci și opt”.

Trecem la citirea numerelor din mai multe cifre.

Pentru citire, înregistrarea unui număr natural cu mai multe cifre este împărțită, începând de la dreapta, în grupuri de trei cifre, în timp ce în cel mai din stânga astfel de grup pot exista fie 1 , sau 2 , sau 3 numerele. Aceste grupuri sunt numite clase. Se numește clasa din dreapta clasa de unitati. Următoarea clasă (de la dreapta la stânga) este numită clasa de mii, următoarea clasă este clasa de milioane, Următorul - clasa de miliarde, apoi merge clasa trilionului. Puteți da numele următoarelor clase, dar numere naturale, a căror înregistrare este formată din 16 , 17 , 18 etc. semnele nu sunt de obicei citite, deoarece sunt foarte greu de perceput după ureche.

Uitați-vă la exemple de împărțire a numerelor cu mai multe cifre în clase (pentru claritate, clasele sunt separate între ele printr-o liniuță mică): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Să punem numerele naturale înregistrate într-un tabel, conform căruia este ușor să înveți cum să le citești.

Pentru a citi un număr natural, apelăm de la stânga la dreapta numerele care îl compun pe clasă și adăugăm numele clasei. În același timp, nu pronunțăm numele clasei de unități și, de asemenea, sărim peste acele clase care formează trei cifre 0 . Dacă înregistrarea clasei are o cifră în stânga 0 sau două cifre 0 , apoi ignorați aceste numere 0 și citiți numărul obținut prin aruncarea acestor cifre 0 . De exemplu, 002 citește ca „doi” și 025 - ca „douăzeci și cinci”.

Să citim numărul 489 002 conform regulilor date.

Citim de la stânga la dreapta,

• citeste numarul 489 , reprezentând clasa miilor, este „patru sute optzeci și nouă”;
• adăugați numele clasei, obținem „patru sute optzeci și nouă de mii”;
• mai departe în clasa de unități pe care o vedem 002 , zerourile sunt în stânga, deci le ignorăm 002 citit ca „doi”;
• nu trebuie adăugat numele clasei de unități;
• ca urmare avem 489 002 - patru sute optzeci si noua de mii doua.

Să începem să citim numărul 10 000 501 .

• În stânga, în clasa milioanelor, vedem numărul 10 , citim „zece”;
• adăugați numele clasei, avem „zece milioane”;
• apoi vedem înregistrarea 000 în clasa miilor, deoarece toate cele trei cifre sunt cifre 0 , apoi sărim peste această clasă și trecem la următoarea;
• clasa de unități reprezintă numărul 501 , pe care o citim „cinci sute unu”;
• prin urmare, 10 000 501 zece milioane cinci sute unu.

Să o facem fără explicații detaliate: 1 789 090 221 214 - „un trilion șapte sute optzeci și nouă de miliarde nouăzeci de milioane două sute douăzeci și unu mie două sute paisprezece”.

Deci, abilitatea de a citi numere naturale cu mai multe cifre se bazează pe capacitatea de a împărți numerele cu mai multe cifre în clase, cunoașterea numelor claselor și capacitatea de a citi numere din trei cifre.

Cifrele unui număr natural, valoarea cifrei.

În scrierea unui număr natural, valoarea fiecărei cifre depinde de poziția sa. De exemplu, un număr natural 539 corespunde 5 sute 3 zeci și 9 unități, de unde și figura 5 în înregistrarea numărului 539 definește numărul de sute, o cifră 3 este numărul zecilor și cifra 9 - Număr de unități. Se spune că numărul 9 stă înăuntru Unități digitale si numarul 9 este o valoarea cifrei unitare, număr 3 stă înăuntru locul zecilor si numarul 3 este o valoarea locului de zeci, și numărul 5 - în sute de loc si numarul 5 este o valoarea locului de sute.

În acest fel, deversare- aceasta este, pe de o parte, poziția cifrei în notația unui număr natural, iar pe de altă parte, valoarea acestei cifre, determinată de poziția sa.

Gradurilor li s-au dat nume. Dacă te uiți la numerele din înregistrarea unui număr natural de la dreapta la stânga, atunci le vor corespunde următoarele cifre: unități, zeci, sute, mii, zeci de mii, sute de mii, milioane, zeci de milioane și curând.

Numele categoriilor este convenabil de reținut atunci când sunt prezentate sub forma unui tabel. Să scriem un tabel care să conțină numele a 15 cifre.

Rețineți că numărul de cifre ale unui număr natural dat este egal cu numărul de caractere implicate în scrierea acestui număr. Astfel, tabelul înregistrat conține numele cifrelor tuturor numerelor naturale, a căror înregistrare conține până la 15 caractere. Următoarele cifre au, de asemenea, nume proprii, dar sunt foarte rar folosite, așa că nu are sens să le menționăm.

Folosind tabelul de cifre, este convenabil să determinați cifrele unui număr natural dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să scrieți acest număr natural în acest tabel, astfel încât să existe o cifră în fiecare cifră, iar cifra din dreapta să fie în cifra unităților.

Să luăm un exemplu. Să scriem un număr natural 67 922 003 942 în tabel, iar cifrele și valorile acestor cifre vor deveni clar vizibile.

În înregistrarea acestui număr, cifra 2 stă în locul unităților, cifră 4 - la locul zecilor, cifra 9 - în locul sutelor etc. Atenție la numere 0 , care sunt în cifre de zeci de mii și sute de mii. Numerele 0 în aceste cifre înseamnă absența unităților acestor cifre.

De asemenea, ar trebui să menționăm așa-numita categorie cea mai mică (cel mai mic) și cea mai mare (mai mare) a unui număr natural cu mai multe valori. Grad inferior (junior). orice număr natural cu valori multiple este cifra unităților. Cea mai mare (cea mai mare) cifră a unui număr natural este cifra corespunzătoare cifrei din dreapta din înregistrarea acestui număr. De exemplu, cifra cea mai puțin semnificativă a numărului natural 23004 este cifra unităților, iar cea mai mare cifră este cifra zecilor de mii. Dacă în notația unui număr natural ne deplasăm cu cifre de la stânga la dreapta, atunci fiecare cifră următoare mai jos (mai tânăr) cel precedent. De exemplu, cifra miilor este mai mică decât cifra zecilor de mii, în special cifra miilor este mai mică decât cifra sutelor de mii, milioane, zeci de milioane etc. Dacă, în notația unui număr natural, ne deplasăm în cifre de la dreapta la stânga, atunci fiecare cifră următoare mai mare (mai vechi) cel precedent. De exemplu, cifra sutelor este mai veche decât cifra zecilor și, cu atât mai mult, este mai veche decât cifra unilor.

În unele cazuri (de exemplu, când se efectuează adunarea sau scăderea), nu se folosește numărul natural în sine, ci suma termenilor de biți ai acestui număr natural.

Pe scurt despre sistemul numeric zecimal.

Așadar, ne-am familiarizat cu numerele naturale, cu sensul inerent acestora și cu modul de a scrie numerele naturale folosind zece cifre.

În general, se numește metoda de scriere a numerelor folosind semne sistem de numere. Valoarea unei cifre dintr-o intrare numerică poate depinde sau nu de poziția sa. Sunt numite sisteme numerice în care valoarea unei cifre dintr-o intrare numerică depinde de poziția acesteia pozițional.

Astfel, numerele naturale pe care le-am luat în considerare și metoda de scriere a acestora indică faptul că folosim un sistem numeric pozițional. Trebuie remarcat faptul că loc specialîn acest sistem numeric are un număr 10 . Într-adevăr, scorul se păstrează în zeci: zece unități sunt combinate într-un zece, zece zeci sunt combinate într-o sută, zece sute într-o mie și așa mai departe. Număr 10 numit bază sistem de numere dat, iar sistemul de numere însuși este numit zecimal.

Pe lângă sistemul numeric zecimal, există și altele, de exemplu, în informatică, se folosește un sistem de numere pozițional binar și întâlnim un sistem sexagesimal atunci când vorbim despre măsurarea timpului.

Bibliografie.

• Matematica. Orice manuale pentru 5 clase de instituții de învățământ.

Numerele naturale pot fi folosite pentru numărare (un măr, două mere etc.)

numere întregi(din lat. naturalis- naturala; numere naturale) - numere care apar în mod natural la numărare (de exemplu, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Se numește șirul tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare natural unul lângă altul.

Există două abordări ale definiției numerelor naturale:

• numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea"…);
• numere naturale – numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole"...).

În primul caz, seria numerelor naturale începe de la unu, în al doilea - de la zero. Nu există o opinie comună pentru majoritatea matematicienilor cu privire la preferința primei sau celei de a doua abordări (adică dacă să considerăm zero ca număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este folosită în scrierile lui Nicolas Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca cardinalități ale mulțimilor finite.

Numerele negative și neîntregi (raționale, reale, ...) nu aparțin numerelor naturale.

Mulțimea tuturor numerelor naturale se obișnuiește să se desemneze simbolul N (\displaystyle \mathbb (N) ) (din lat. naturalis- naturale). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural n (\displaystyle n) există un număr natural mai mare decât n (\displaystyle n) .

Prezența zeroului facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, astfel că prima abordare introduce noțiunea utilă serie naturală extinsă, inclusiv zero. Rândul extins este notat cu N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) sau Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Axiome care fac posibila definirea multimii numerelor naturale

Axiome Peano pentru numere naturale

Articolul principal: Axiomele lui Peano

O mulțime N (\displaystyle \mathbb (N) ) va fi numită o mulțime de numere naturale dacă un element este fix 1 (unul) aparținând lui N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )) și o funcție S (\displaystyle S) cu domeniul N (\displaystyle \mathbb (N) ) și intervalul N (\displaystyle \mathbb (N) ) (numită funcție de succesiune; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. unitatea este un număr natural (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. numărul care urmează unui număr natural este de asemenea natural (dacă x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , atunci S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. nu urmează niciun număr natural (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. dacă numărul natural a (\displaystyle a) urmează imediat atât numărului natural b (\displaystyle b) cât și numărului natural c (\displaystyle c) , atunci b = c (\displaystyle b=c) (dacă S (b) = a ( \displaystyle S(b)=a) și S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , apoi b = c (\displaystyle b=c));
5. (axioma inducției) dacă orice propoziție (enunț) P (\displaystyle P) este dovedită pentru un număr natural n = 1 (\displaystyle n=1) ( bază de inducție) și dacă ipoteza că este adevărată pentru un alt număr natural n (\displaystyle n) implică că este adevărată pentru numărul natural care urmează pe n (\displaystyle n) ( ipoteza inducției), atunci această propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale (fie P (n) (\displaystyle P(n)) un predicat unilocal (unar) al cărui parametru este un număr natural n (\displaystyle n) . Atunci, dacă P (1) (\displaystyle P(1)) și ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , apoi ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Axiomele de mai sus reflectă înțelegerea noastră intuitivă a seriei naturale și a dreptei numerice.

Faptul fundamental este că aceste axiome determină în esență în mod unic numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome ale lui Peano). Și anume, se poate dovedi (a se vedea și dovada scurtă) că dacă (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) și (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) sunt două modele pentru sistemul de axiome Peano, atunci ele sunt neapărat izomorfe, adică există o mapare inversabilă (bijecție) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) astfel încât f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) și f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)) ) pentru toate x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Prin urmare, este suficient să stabilim ca N (\displaystyle \mathbb (N) ) orice model specific al mulțimii numerelor naturale.

Definiția teoretică a mulțimilor a numerelor naturale (definiția Frege-Russell)

Conform teoriei mulțimilor, singurul obiect al construcției oricăror sisteme matematice este mulțimea.

Astfel, sunt introduse și numerele naturale, pe baza conceptului de mulțime, după două reguli:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

Numerele definite în acest fel sunt numite ordinale.

Să descriem primele câteva numere ordinale și numerele lor naturale corespunzătoare:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \) dreapta\)(\mare \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Zero ca număr natural

Uneori, mai ales în literatura străină și tradusă, prima și a treia axiomă a lui Peano înlocuiesc una cu zero. În acest caz, zero este considerat un număr natural. Când este definit în termeni de clase de mulțimi echivalente, zero este un număr natural prin definiție. Ar fi nefiresc să-l aruncăm în mod specific. În plus, acest lucru ar complica semnificativ construcția și aplicarea ulterioară a teoriei, deoarece în majoritatea construcțiilor zero, precum mulțimea goală, nu este ceva izolat. Un alt avantaj de a considera zero ca număr natural este că N (\displaystyle \mathbb (N) ) formează un monoid.

În literatura rusă, zero este de obicei exclus din numărul de numere naturale (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N))), iar mulțimea numerelor naturale cu zero este notată ca N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ). Dacă zero este inclus în definiția numerelor naturale, atunci mulțimea numerelor naturale este scrisă ca N (\displaystyle \mathbb (N) ) și fără zero - ca N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ).

În literatura matematică internațională, ținând cont de cele de mai sus și pentru a evita ambiguitățile, mulțimea ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) este de obicei numită mulțime de numere întregi pozitive și notată cu Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Mulțimea ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) este adesea numită mulțime de numere întregi nenegative și notată cu Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

Poziția mulțimii de numere naturale (N (\displaystyle \mathbb (N) )) printre mulțimile de numere întregi (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), numere rationale(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), numere reale(R (\displaystyle \mathbb (R) )) și numere irationale(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Valoarea mulțimii numerelor naturale

Mărimea unei mulțimi infinite este caracterizată de conceptul de „putere a unei mulțimi”, care este o generalizare a numărului de elemente ale unei mulțimi finite la mulțimi infinite. În mărime (adică cardinalitate), mulțimea numerelor naturale este mai mare decât orice mulțime finită, dar mai mică decât orice interval, cum ar fi intervalul (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) . Mulțimea numerelor naturale are aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor raționale. O mulțime de aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor naturale se numește mulțime numărabilă. Astfel, setul de termeni ai oricărei secvențe este numărabil. În același timp, există o succesiune în care fiecare număr natural apare de un număr infinit de ori, deoarece mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca o uniune numărabilă de mulțimi numărabile disjunse (de exemplu, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty)\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\dreapta))).

Operatii pe numere naturale

Operațiile închise (operațiile care nu scot un rezultat din setul de numere naturale) pe numere naturale includ următoarele operații aritmetice:

• plus: termen + termen = suma;
• multiplicare: multiplicator × multiplicator = produs;
• exponentiare: a b (\displaystyle a^(b)) , unde a (\displaystyle a) este baza exponentului, b (\displaystyle b) este exponentul. Dacă a (\displaystyle a) și b (\displaystyle b) sunt numere naturale, atunci rezultatul este și un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toate perechi de numere (uneori există, alteori nu)):

• scădere: minuend - subtrahend = diferenta. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm zero ca număr natural);
• împărțire cu rest: dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientul p (\displaystyle p) și restul r (\displaystyle r) când a (\displaystyle a) este împărțit la b (\displaystyle b) sunt definite după cum urmează: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , în plus, 0 ⩽ rb (\displaystyle 0\leqslant r poate fi reprezentat ca a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , adică orice număr ar putea fi considerat privat, iar restul a (\displaystyle a) .

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special, inelul numerelor întregi este definit tocmai prin operațiile binare de adunare și înmulțire.

Proprietăți de bază

• Comutativitatea adunării:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Comutativitatea înmulțirii:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Asociativitatea adunării:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Asociativitatea înmulțirii:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Structura algebrică

Adunarea transformă mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, rolul unității este jucat de 0 . Înmulțirea transformă și mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, în timp ce elementul de identitate este 1 . Închiderea prin operații de adunare-scădere și înmulțire-împărțire are ca rezultat grupuri de numere întregi Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) și numere pozitive raționale Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) .

Definiții teoretice de mulțimi

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalență de mulțimi finite. Dacă notăm clasa de echivalență a unei mulțimi A, generat prin bijecții, folosind paranteze drepte: [ A], operațiile aritmetice de bază sunt definite după cum urmează:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - uniunea disjunctă de mulțimi;
• A × B (\displaystyle A\times B) - produs direct;
• A B (\displaystyle A^(B)) - set de afișaje din Bîn A.

Se poate arăta că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Ce este un număr natural? Istorie, domeniu de aplicare, proprietăți

Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - contul elementar a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, secolele s-au schimbat, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „cel mai matematică complexă„Toate numerele au dispărut din el.” Dar care a fost baza?

Începutul timpului

Numerele naturale au apărut odată cu primele operații matematice. Odată o coloană vertebrală, doi țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care au dezvoltat primul sistem de numere poziționale.
Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde categoriei sale. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Arabii au preluat inovația indienilor, care au adus numerele la forma pe care îl știm acum.

În antichitate, numerelor li s-a dat un sens mistic, cel mai mare matematician Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele principale - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul numai din punct de vedere matematic, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Este folosit în principal pentru numărarea articolelor și indicarea comenzii.

Ce este un număr natural în matematică? Axiomele lui Peano

Câmpul N este câmpul de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, s-au distins câmpurile numerelor întregi, raționale, complexe.

Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a deschis calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul N. Ce este un număr natural a fost clarificat mai devreme în limbaj simplu, mai jos vom lua în considerare o definiție matematică bazată pe axiomele lui Peano.

• Unul este considerat un număr natural.
• Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
• Nu există un număr natural înainte de unu.
• Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
• Axioma inducției, care la rândul ei arată ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este valabilă și pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.

Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale

Deoarece câmpul N a devenit primul pentru calcule matematice, atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos se referă la el. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiunile închise sunt garantate pentru a lăsa un rezultat în mulțimea N, indiferent de numerele implicate. Este suficient să fie naturale. Rezultatul interacțiunilor numerice rămase nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:

• adunarea – x ​​+ y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• înmulțire - x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• exponentiație - xy, unde x, y sunt incluse în câmpul N.

Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:

Proprietățile numerelor aparținând câmpului N

Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.

• Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se modifică dintr-o modificare a locurilor termenilor”.
• Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea asociativă a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea asociativă a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• proprietatea distribuției - x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.

Masa lui Pitagora

Unul dintre primii pași în cunoașterea întregii structuri a matematicii elementare de către școlari, după ce au înțeles singuri care numere sunt numite naturale, este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific valoros.

Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se desemnează, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor intersecției lor este egal cu produsul lor.

În practica predării din ultimele decenii, a fost nevoie de memorarea tabelului pitagoreic „în ordine”, adică memorarea a fost prima. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber, puteți vedea un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem spre deosebire de cel care se practica în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem bazat pe puterile a doi.

Subset ca leagăn al matematicii

Pe acest moment domeniul numerelor naturale N este considerat doar una dintre submulțimile numerelor complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Un număr natural este primul lucru pe care un copil îl învață studiind pe sine și lumea din jurul lui. Un deget, două degete ... Datorită lui, o persoană dezvoltă gândirea logică, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.

Discuție: Număr natural

Controversa în jurul zero

Din anumite motive, nu-mi pot imagina zero ca număr natural... Se pare că anticii nu știau zero deloc. Da, iar TSB nu consideră zero un număr natural. Deci cel puțin este un punct discutabil. Poți spune ceva mai neutru despre zero? Sau există argumente bune? --.:Ajvol:. 18:18, 9 septembrie 2004 (UTC)

rostogolit înapoi ultima schimbare. --Maxal 20:24 9 septembrie 2004 (UTC)

Academia Franceză a emis odată un decret special conform căruia 0 era inclus în setul de numere naturale. Acum, acesta este standardul, în opinia mea, nu este necesar să se introducă conceptul de „număr natural rus”, ci să adere la acest standard. Desigur, trebuie menționat că odată nu a fost așa (nu numai în Rusia, ci peste tot). Tosha 23:16, 9 septembrie 2004 (UTC)

Academia Franceză nu este un decret pentru noi. În literatura de matematică în limba engleză, nu există nici o opinie stabilită în această privință. Vezi, de exemplu, --Maxal 23:58, 9 septembrie 2004 (UTC)

Undeva acolo scrie: „Dacă scrii un articol despre o problemă controversată, atunci încearcă să prezinți toate punctele de vedere, oferind link-uri către diferite opinii”. Insula Bes 23:15, 25 decembrie 2004 (UTC)

Nu văd aici problema controversata, dar văd: 1) lipsă de respect față de ceilalți participanți prin modificarea / ștergerea semnificativă a textului acestora (se obișnuiește să le discutăm înainte de a face modificări semnificative); 2) înlocuirea definițiilor stricte (care indică cardinalitățile mulțimilor) cu cele indistincte (există o diferență mare între „numerotare” și „notația cantității”?). Prin urmare, refac un rollback, totuși, las o ultimă observație. --Maxal 23:38, 25 decembrie 2004 (UTC)

Lipsa de respect este exact felul în care văd împotrivirile tale. Deci să nu vorbim despre asta. Editarea mea nu schimbă esența articol, formulează clar doar două definiții. Versiunea anterioară a articolului a formulat definiția „fără zero” ca principală, iar „cu zero” ca un fel de disidență. Acest lucru nu îndeplinește absolut cerințele Wikipedia (vezi citatul de mai sus), precum și nu chiar stilul științific declarații în versiunea anterioara. Am adăugat formularea „cardinalitatea unui set” ca explicație pentru „desemnarea cantității” și „enumerare” pentru „numerotare”. Și dacă nu vedeți diferența dintre „numerotare” și „desemnarea cantității”, atunci, lăsați-mă să vă întreb, de ce atunci editați articole matematice? Insula Bes 23:58, 25 decembrie 2004 (UTC)

În ceea ce privește „nu schimbă esența” - versiunea anterioară a subliniat că diferența dintre definiții este doar în referirea zero la numere naturale. În versiunea dumneavoastră, definițiile sunt prezentate ca fiind radical diferite. În ceea ce privește definiția „de bază”, atunci ar trebui să fie așa, deoarece acest articol în Rusă Wikipedia, ceea ce înseamnă că practic trebuie să rămâi la ceea ce spui general acceptat în școlile rusești de matematică. Ignor raidurile. --Maxal 00:15, 26 decembrie 2004 (UTC)

De fapt, aceasta este doar o diferență de numai zero. De fapt, aceasta este tocmai diferența cardinală care vine dintr-o înțelegere diferită a naturii numerelor naturale: într-o singură versiune - ca cantități; în celălalt – ca numere. Acest absolut concepte diferite oricât ai încerca să ascunzi că nu înțelegi.

Despre faptul că în Wikipedia rusă se cere să se citeze punctul de vedere rus ca fiind dominant. Privește cu atenție aici. Uită-te la articolul în engleză despre Crăciun. Nu spune că Crăciunul ar trebui sărbătorit pe 25 decembrie, pentru că așa îl sărbătoresc în Anglia și SUA. Ambele puncte de vedere sunt date acolo (și diferă nici mai mult, nici mai puțin decât numerele naturale „cu zero” și „fără zero” diferă), și nici măcar un cuvânt despre care dintre ele se presupune că este mai corect.

În versiunea mea a articolului, ambele puncte de vedere sunt desemnate ca independente și la fel de valabile. Standardul rusesc este indicat de cuvintele la care v-ați referit mai sus.

Poate că, din punct de vedere filozofic, conceptele de numere naturale sunt într-adevăr absolut diferit, dar articolul oferă definiții în esență matematice, unde diferența este 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) sau 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Punctul de vedere dominant sau nu este o chestiune delicată. Apreciez fraza observat în cea mai mare parte a lumii occidentale la 25 decembrie din articolul englezesc despre Crăciun ca exprimând punctul de vedere dominant, fără alte date date în primul paragraf. Apropo, în versiunea anterioară a articolului despre numerele naturale nu existau nici indicii directe despre cum necesar pentru a determina numerele naturale, doar o definiție fără zero a fost prezentată ca fiind mai comună (în Rusia). În orice caz, e bine că s-a găsit un compromis. --Maxal 00:53, 26 decembrie 2004 (UTC)

Oarecum neplăcut de surprinzătoare este expresia „În literatura rusă, zero este de obicei exclus din numărul de numere naturale”, domnilor, zero nu este considerat un număr natural, dacă nu se specifică altfel, în întreaga lume. Aceeași franceză, din câte le-am citit, stipulează în mod specific includerea lui zero. Desigur, N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) este folosit mai des, dar dacă, de exemplu, îmi plac femeile, nu voi schimba bărbații în femei. Druid. 23-02-2014

Impopularitatea numerelor naturale

Mi se pare că numerele naturale sunt un subiect nepopular în articolele de matematică (poate nu în ultimul rând din cauza lipsei unei definiții unice). Din experiența mea, întâlnesc adesea termenii din articolele de matematică numere întregi nenegativeȘi numere întregi pozitive(care sunt interpretate fără ambiguitate) decât numere întregi. Părțile interesate sunt rugate să își exprime (dez)acordul cu această observație. Dacă această observație găsește sprijin, atunci este logic să o indicați în articol. --Maxal 01:12, 26 decembrie 2004 (UTC)

Fără îndoială, ai dreptate în partea rezumată a declarației tale. Totul se datorează diferențelor de definiție. Eu însumi prefer în unele cazuri să indică „numere întregi pozitive” sau „numere întregi nenegative” în loc de „naturale” pentru a evita discrepanțe în ceea ce privește includerea lui zero. Și în general sunt de acord cu dispozitivul. Insula Bes 01:19, 26 Dec 2004 (UTC) În articole - da, poate că este. Cu toate acestea, în textele mai voluminoase, precum și în cazul în care conceptul este folosit des, de obicei se folosesc în continuare numere întregi, preliminar, însă, explicând „despre ce” numere naturale vorbim – cu sau fără zero. LoKi 19:31 30 iulie 2005 (UTC)

Numerele

Merită să enumerați numele numerelor (unu, doi, trei etc.) în ultima parte a acestui articol? Nu ar avea mai mult sens să pun asta în articolul Number? Totuși, acest articol, în opinia mea, ar trebui să fie mai de natură matematică. Cum crezi? --LoKi 19:32, 30 iulie 2005 (UTC)

În general, este ciudat cum este posibil să obțineți un număr natural obișnuit din mulțimi *vide*? În general, câte goluri și goluri nu se combină, cu excepția golului, nimic nu va funcționa! Nu este deloc o definiție alternativă? Postat la 21:46, 17 iulie 2009 (Moscova)

Natura categorica a sistemului de axiome lui Peano

Am adăugat o remarcă despre caracterul categoric al sistemului de axiome lui Peano, care, după părerea mea, este fundamentală. Formatați corect linkul către carte[[Utilizator:A_Devyatkov 06:58, 11 iunie 2010 (UTC)]]

Axiomele lui Peano

În aproape toată literatura străină și pe Wikipedia, axiomele lui Peano încep cu „0 este un număr natural”. Într-adevăr, în sursa originală este scris „1 este un număr natural”. Totuși, în 1897 Peano a făcut o schimbare și a schimbat 1 la 0. Acest lucru este scris în „Formulaire de mathematiques”, Volumul II - Nr. 2. pagina 81. Acesta este un link către versiunea electronică de pe pagina din dreapta:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

Explicațiile acestor modificări sunt date în „Rivista di matematica”, Vol. 6-7, 1899, pag. 76. De asemenea, un link către versiunea electronică pe pagina din dreapta:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italiană).

0=0

Care sunt „axiomele platourilor digitale”?

Aș dori să returnez articolul la cea mai recentă versiune de patrulare. În primul rând, cineva a redenumit axiomele lui Peano în axiomele lui Piano, din cauza cărora legătura a încetat să funcționeze. În al doilea rând, un anume Curd a adăugat articolului o informație foarte mare, care, după părerea mea, este complet nepotrivită în acest articol. Scris neenciclopedic, în plus, sunt oferite rezultatele lui Tvorogov însuși și un link către propria sa carte. Insist ca secțiunea despre „axiomele plăcilor digitale” să fie eliminată din acest articol. P.s. De ce a fost eliminată secțiunea despre numărul zero? mesyarik 14:58, 12 martie 2014 (UTC)

Subiectul nu este dezvăluit, este nevoie de o definiție clară a numerelor naturale

Te rog nu scrie erezie ca " Numere naturale (numere naturale) - numere care apar în mod natural la numărare.„În mod natural, nimic nu apare în creier. Va fi exact ceea ce pui acolo.

Și pentru un copil de cinci ani, cum să explic ce număr este un număr natural? La urma urmei, există oameni cărora trebuie să li se explice ca fiind un copil de cinci ani. Cum este un număr natural diferit de un număr normal? Sunt necesare exemple! 1, 2, 3 este natural și 12 este natural și -12? și trei sferturi, sau de exemplu 4,25 naturale? 95.181.136.132 15:09 6 noiembrie 2014 (UTC)

• Numerele naturale sunt un concept fundamental, o abstractizare inițială. Ele nu pot fi definite. Poți în mod arbitrar să aprofundezi în filozofie, dar în cele din urmă fie trebuie să recunoști (o iei pe credință?) O atitudine metafizică rigidă, fie să admiti că nu există o definiție absolută, numerele naturale fac parte dintr-un sistem formal artificial, un model. care a fost inventat de o persoană (sau Dumnezeu). Iată un tratat interesant pe această temă. Cum vă place, de exemplu, această opțiune: „O serie naturală este orice sistem Peano specific, adică un model al teoriei axiomatice a lui Peano”. Te simți mai bine? RomanSuzi 17:52, 6 noiembrie 2014 (UTC)
  • Se pare că cu modelele tale și teoriile axiomatice nu faci decât să complici totul. Această definiție va fi înțeleasă în cel mai bun caz doi din o mie de oameni. Prin urmare, cred că din primul paragraf îi lipsește propoziția " Cu cuvinte simple: numerele naturale sunt numere întregi pozitive începând de la unu inclusiv." O astfel de definiție sună normal pentru majoritatea. Și nu dă motive să ne îndoim de definiția unui număr natural. La urma urmei, după ce am citit articolul, chiar nu am înțeles până când sfârșește ce sunt numerele naturale și numărul 807423 este numerele naturale sau numerele naturale sunt cele din care este format acest număr, adică 8 0 7 4 2 3. Adesea, complicațiile doar strica totul. Infa despre numerele naturale ar trebui să fie pe această pagină și nu în numeroase link-uri către alte pagini. 7 noiembrie 2014 (UTC)
    • Aici este necesar să se facă distincția între două sarcini: (1) să explice clar (deși nu strict) unui cititor care este departe de matematică ce este un număr natural, astfel încât să înțeleagă mai mult sau mai puțin corect; (2) pentru a da o definiție atât de riguroasă a unui număr natural din care rezultă proprietățile sale de bază. Aveți dreptate în favoarea primei opțiuni din preambul, dar tocmai aceasta este dată în articol: un număr natural este o formalizare matematică a numărului: unu, doi, trei etc. Exemplul dvs. (807423) poate cu siguranță se dovedesc la numărare, ceea ce înseamnă că și acesta este un număr natural. Nu îmi este clar de ce amestecați numărul și felul în care este scris în cifre, acesta este un subiect separat, care nu are legătură directă cu definiția numărului. Explicatia ta: numerele naturale sunt numere întregi pozitive începând de la unu inclusiv» nu este bun, pentru că nu poți defini mai puțin de concept general(număr natural) printr-un (număr) mai general nedefinit încă. Îmi este greu să-mi imaginez un cititor care știe ce este un număr întreg pozitiv, dar habar nu are ce este un număr natural. LGB 12:06 7 noiembrie 2014 (UTC)
      • Numerele naturale nu pot fi definite în termeni de numere întregi. RomanSuzi 17:01, 7 noiembrie 2014 (UTC)

• „Desigur, nimic nu se întâmplă în creier.” Studii recente arată (nu pot găsi linkuri acum) că creierul uman este pregătit pentru utilizarea limbajului. Astfel, într-un mod firesc, avem deja în genele noastre disponibilitatea de a stăpâni limba. Ei bine, pentru numerele naturale, acesta este ceea ce aveți nevoie. Conceptul de „1” poate fi afișat cu o mână și apoi - prin inducție, adăugați bețe, obținând 2, 3 și așa mai departe. Sau: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Dar poate aveți sugestii specifice pentru îmbunătățirea articolului, bazate pe surse autorizate? RomanSuzi 17:57, 6 noiembrie 2014 (UTC)

Ce este un număr natural în matematică?

Vladimir Z

Numerele naturale sunt folosite pentru a enumera obiectele și pentru a număra numărul acestora. Pentru numerotare se folosesc numere întregi pozitive, începând de la 1.

Și pentru a număra numărul, aici este inclus și 0, indicând absența obiectelor.

Dacă conceptul de numere naturale conține numărul 0 depinde de axiomatică. Dacă prezentarea oricărei teorii matematice necesită prezența lui 0 în mulțimea numerelor naturale, atunci aceasta este stipulată și considerată un adevăr (axiomă) incontestabil în cadrul acestei teorii. Aceasta este foarte aproape de definiția numărului 0, atât pozitiv, cât și negativ. Dacă luăm pentru definiția numerelor naturale ca mulțime a tuturor numerelor întregi NEnegative, atunci se pune întrebarea, care este numărul 0 - pozitiv sau negativ?

ÎN aplicație practică, de regulă, se folosește prima definiție, care nu include numărul 0.

Creion

Numerele naturale sunt numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra (număra) obiecte sau pentru a indica numărul de obiecte sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect din listă. Unii autori includ în mod artificial zero în conceptul de „numere naturale”. Alții folosesc expresia „numere naturale și zero”. Acest lucru este lipsit de principii. Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece cu orice număr natural arbitrar de mare, puteți efectua o operație de adunare cu un alt număr natural și obțineți un număr și mai mare.

Numerele negative și non-întregi nu sunt incluse în setul de numere naturale.

Sayans

Numerele naturale sunt numere care sunt folosite pentru numărare. Ele pot fi doar pozitive și întregi. Ce înseamnă asta într-un exemplu? Deoarece aceste numere sunt folosite pentru numărare, să încercăm să calculăm ceva. Ce poate fi numărat? De exemplu, oamenii. Putem număra oameni astfel: 1 persoană, 2 persoane, 3 persoane etc. Numerele 1, 2, 3 și altele folosite pentru numărare vor fi naturale. Nu spunem niciodată -1 (minus o persoană) sau 1,5 (una și jumătate) persoană (scuze pentru jocul de cuvinte :), așa că -1 și 1,5 (ca toate numerele negative și fracționale) nu sunt numere naturale.

Lorelei

Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărarea obiectelor.

Cel mai mic număr natural este unul. Se pune adesea întrebarea dacă zero este un număr natural. Nu, nu este în majoritatea surselor rusești, dar în alte țări numărul zero este recunoscut ca fiind natural ...

Moreljuba

Numerele naturale în matematică sunt numere folosite pentru a număra succesiv ceva sau pe cineva. Unul este considerat a fi cel mai mic număr natural. Zero în majoritatea cazurilor nu aparține categoriei numerelor naturale. Nici numerele negative nu sunt incluse aici.

Salutări slavilor.

Numerele naturale, sunt și naturale, sunt acele numere care apar în mod obișnuit atunci când sunt numărate, care sunt mai mari decât zero. Secvența fiecărui număr natural dispus în ordine crescătoare se va numi serie naturală.

Elena Nikityuk

Termenul de număr natural este folosit în matematică. Un număr întreg pozitiv se numește număr natural. Cel mai mic număr natural este considerat a fi „0”. Pentru a calcula orice, se folosesc aceleași numere naturale, de exemplu 1,2,3... și așa mai departe.

Numerele naturale sunt numerele cu care numărăm, adică isla unu, doi, trei, patru, cinci și altele sunt numere naturale.

Acestea sunt în mod necesar numere pozitive mai mari decât zero.

Numerele fracționale, de asemenea, nu aparțin mulțimii numerelor naturale.

-Orhidee-

Numerele naturale sunt necesare pentru a număra ceva. Sunt o serie de numere numai pozitive, începând de la unul. Este important de știut că aceste numere sunt exclusiv numere întregi. Orice poate fi numărat cu numere naturale.

Marlena

Un număr natural este un număr întreg, pe care îl folosim de obicei atunci când numărăm orice obiecte. Zero ca atare nu este inclus în domeniul numerelor naturale, deoarece de obicei nu îl folosim în calcule.

Inara-pd

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra - unu, doi, trei și așa mai departe.

Numerele naturale au apărut din nevoile practice ale omului.

Numerele naturale sunt scrise cu zece cifre.

Zero nu este un număr natural.

Ce este un număr natural?

Naumenko

Numerele se numesc numere naturale. folosit pentru numerotarea și numărarea obiectelor naturale (floare, copac, animal, pasăre etc.).

Se numesc numere întregi numerele NATURALE, ELE OPUSE ȘI ZERO,

Explica. ceea ce este natural prin numere întregi este greșit!! !

Numerele sunt pare - divizibile cu 2 și impare - nu sunt divizibile cu 2.

Numerele se numesc numere prime. având doar 2 divizori - unul și el însuși...
Prima dintre ecuațiile tale nu are soluții. pentru al doilea x=6 6 număr natural.

Numere naturale (numere naturale) - numere care apar în mod natural în timpul numărării (atât în ​​sensul de enumerare, cât și în sensul de calcul).

Mulțimea tuturor numerelor naturale este de obicei notată cu \mathbb(N). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural există un număr natural mai mare.

Anna Semencenko

numere care apar în mod natural în timpul numărării (atât în ​​sensul de enumerare, cât și în sensul calculului).
Există două abordări ale definiției numerelor naturale - numerele utilizate în:
enumerarea (numerotarea) articolelor (primul, al doilea, al treilea, ...);
desemnarea numărului de articole (nici un articol, un articol, două articole, ...). Adoptat în lucrările lui Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca puteri ale mulțimilor finite.
Numerele negative și neîntregi (raționale, reale, ...) nu sunt naturale.
Mulțimea tuturor numerelor naturale este de obicei notă printr-un semn. Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural există un număr natural mai mare.

numere întregi

Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite pentru a număra diverse articole sau pentru a indica numărul de serie al oricărui obiect dintre similare sau omogene.

Numerele naturale pot fi scrise folosind primele zece cifre:

Pentru a scrie numere naturale simple, se obișnuiește să se folosească un calcul zecimal pozițional, unde valoarea oricărei cifre este determinată de locul acesteia în înregistrare.

Numerele naturale sunt cele mai simple numere pe care le folosim adesea Viata de zi cu zi. Cu ajutorul acestor numere facem calcule, numaram obiecte, determinam cantitatea, ordinea si numarul acestora.

Începem să facem cunoștință cu numerele naturale încă din copilărie, astfel încât acestea să fie familiare și naturale pentru fiecare dintre noi.

Ideea generală a numerelor naturale

Numerele naturale sunt concepute pentru a transporta informații despre numărul de obiecte, numărul lor de serie și setul de obiecte.

O persoană folosește numerele naturale, deoarece acestea îi sunt disponibile atât la nivel de percepție, cât și la nivel de reproducere. Când exprimăm orice număr natural, îl putem înțelege cu ușurință după ureche și, după ce am descris un număr natural, îl vedem.

Toate numerele naturale sunt aranjate în ordine crescătoare și formează o serie de numere începând cu cel mai mic număr natural, care este unul.

Dacă ne-am hotărât asupra celui mai mic număr natural, atunci va fi mai dificil cu cel mai mare, deoarece un astfel de număr nu există deoarece seria numerelor naturale este infinită.

Când adăugăm unul la un număr natural, ajungem la numărul care urmează numărului dat.

Un număr precum 0 nu este un număr natural, ci servește doar pentru a desemna numărul „zero” și înseamnă „niciunul”. 0 înseamnă absența numerelor de unități din această serie în notația zecimală.

Toate numerele naturale sunt notate cu majuscule. Literă latină N.

Referință istorică pentru desemnarea numerelor naturale

În antichitate, oamenii nu știau încă ce este un număr și cum să numere numărul de obiecte. Dar deja a apărut nevoia de a număra, iar omul și-a dat seama cum să numere peștele prins, fructele de pădure culese etc.

Un pic mai tarziu, om străvechi a ajuns la concluzia că este mai ușor să noteze suma de care are nevoie. În aceste scopuri oameni primitivi au început să folosească pietricele și apoi bețe, care s-au păstrat cu cifre romane.

Următorul moment în dezvoltarea sistemului de calcul a fost utilizarea literelor alfabetului în notarea unor numere.

Primele sisteme de calcul includ sistemul zecimal indian și cel babilonian sexagesimal.

Sistemul modern de calcul, deși numit arab, este, de fapt, una dintre variantele celui indian. Adevărat, în sistemul său de calcul nu există un număr zero, dar arabii l-au adăugat, iar sistemul și-a dobândit forma actuală.

Sistemul zecimal

Am întâlnit deja numere naturale și am învățat cum să le scriem folosind zece cifre. De asemenea, știți deja că scrierea numerelor folosind semne se numește sistem numeric.

Valoarea unei cifre dintr-o intrare numerică depinde de poziția sa și se numește pozițional. Adică, atunci când scriem numere naturale, folosim calculul pozițional.

Acest sistem se bazează pe adâncimea de biți și zecimală. În sistemul zecimal, baza construcției sale va fi numerele de la 0 la 9.

Un loc aparte într-un astfel de sistem este acordat numărului 10, deoarece, practic, contul este ținut în zeci.

Tabel de clase și categorii:

Deci, de exemplu, 10 unități sunt combinate în zeci, apoi în sute, mii și altele asemenea. Prin urmare, numărul 10 este baza sistemului de calcul și se numește sistem de calcul zecimal.

numere întregi- numere care sunt folosite pentru a număra obiecte . Orice număr natural poate fi scris folosind zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O astfel de înregistrare a numerelor se numește zecimal.

Se numește șirul tuturor numerelor naturale natural unul lângă altul .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Cel mai mic un număr natural este unu (1). În seria naturală, fiecare număr următor este cu 1 mai mult decât cel precedent. serie naturală fără sfârşit nu există un număr cel mai mare.

Semnificația unei cifre depinde de locul ei în notația numărului. De exemplu, numărul 4 înseamnă: 4 unități dacă stă pe ultimul locîn înregistrarea numărului (în loc de unități); 4 zece, dacă ea este pe ultimul loc (la locul zecilor); 4 sute, dacă este pe locul trei de la final (în sute de loc).

Cifra 0 înseamnă lipsa unitatilor din aceasta categorieîn notația zecimală a unui număr. De asemenea, servește pentru a desemna numărul " zero". Acest număr înseamnă „niciunul”. Scor 0:3 meci de fotbal spune că prima echipă nu a marcat niciun gol împotriva adversarei.

Zero nu include la numere naturale. Și într-adevăr, numărarea articolelor nu începe niciodată de la zero.

Dacă un număr natural are o singură cifră – o cifră, apoi se numește lipsit de ambiguitate. Acestea. lipsit de ambiguitatenumar natural- un număr natural a cărui înregistrare constă dintr-un caracter – o cifră. De exemplu, numerele 1, 6, 8 sunt cu o singură cifră.

Două cifrenumar natural- un număr natural, a cărui înregistrare este formată din două caractere - două cifre.

De exemplu, numerele 12, 47, 24, 99 sunt cifre duble.

De asemenea, în funcție de numărul de caractere dintr-un anumit număr, alte numere sunt date nume:

numerele 326, 532, 893 - trei cifre;

numerele 1126, 4268, 9999 - patru cifre etc.

Două cifre, trei cifre, patru cifre, cinci cifre etc. se numesc numere numere din mai multe cifre .

Pentru a citi numerele cu mai multe cifre, acestea sunt împărțite, începând de la dreapta, în grupuri de câte trei cifre fiecare (grupul din stânga poate fi format din una sau două cifre). Aceste grupuri sunt numite clase.

Milion este o mie de mii (1000 de mii), se scrie 1 milion sau 1.000.000.

Miliard este de 1000 de milioane. Se înregistrează cu 1 miliard sau 1.000.000.000.

Primele trei cifre din dreapta alcătuiesc clasa de unități, următoarele trei - clasa de mii, apoi sunt clasele de milioane, miliarde etc. (Fig. 1).

Orez. 1. Clasa de milioane, clasa de mii și clasa de unități (de la stânga la dreapta)

Numărul 15389000286 este scris în grila de biți (Fig. 2).

Orez. 2. Grilă de cifre: numărul 15 miliarde 389 milioane 286

Acest număr are 286 de unități în clasa o singură, zero în clasa de mii, 389 de unități în clasa de milioane și 15 de unități în clasa de miliarde.

În secolul al V-lea î.Hr filozof grec antic Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor... analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic de aplicare unități variabile măsurarea fie nu este încă dezvoltată, fie nu a fost aplicată aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel precedent. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? rămâne în unități constante măsurători ale timpului și nu treceți la valori reciproce. În limbajul lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile pentru a alerga o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar nu este solutie completa Probleme. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, ceea ce, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite de timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Pe ce vreau să mă concentrez Atentie speciala, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Foarte bine diferențele dintre set și multiset sunt descrise în Wikipedia. Ne uitam.

După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie și plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când demonstrează că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cel mai mult interes Întreabă: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unei mulțimi și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum operează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu un tamburin, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar ei sunt șamani pentru asta, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există o formulă în matematică prin care să poți găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii, sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face în mod elementar.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma cifrelor număr dat. Și așa, să presupunem că avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol grafic numeric. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Am tăiat o imagine primită în mai multe imagini care conțin numere separate. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți caracterele grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adunați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” de la șamani folosite de matematicieni. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere al matematicii, nu contează în ce sistem de numere scriem numărul. Deci, în sisteme diferite luând în calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. DIN un numar mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, luați în considerare numărul 26 din articolul despre. Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu vom lua în considerare fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în diferite sisteme de numere, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este ca și cum găsirea ariei unui dreptunghi în metri și centimetri ți-ar da rezultate complet diferite.

Zero în toate sistemele de numere arată la fel și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că . O întrebare pentru matematicieni: cum se notează în matematică ceea ce nu este un număr? Ce, pentru matematicieni, nu există decât numere? Pentru șamani, pot permite acest lucru, dar pentru oameni de știință, nu. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut trebuie considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură ale numerelor. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleaşi acţiuni cu unităţi de măsură diferite ale aceleiaşi mărimi conduc la rezultate diferite dupa ce le-am comparat, atunci nu are nicio legatura cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei acțiuni matematice nu depinde de valoarea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă Deschide usa si spune:

Ai! Asta nu este toaleta femeilor?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studierea sfințeniei nedefinite a sufletelor la înălțarea la cer! Nimbus în sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Un halou deasupra și o săgeată în jos sunt masculin.

Dacă aveți o astfel de operă de artă de design fulgerând în fața ochilor dvs. de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort pe mine însumi să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (compunere din mai multe imagini: semnul minus, numărul patru, desemnarea grade). Și nu o consider pe fata asta o proastă care nu știe fizică. Ea are doar un arc stereotip al percepției imaginilor grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „omul care face caca” sau numărul „douăzeci și șase” în sistemul numeric hexazecimal. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat numărul și litera ca un simbol grafic.