Ce două cifre se numesc egale? Două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi combinate.

Figurile geometrice sunt considerate egale dacă sunt o copie exactă una a celeilalte, adică trebuie îndeplinite următoarele condiții:

1. figurile au aceeași formă;
2. figurile au aceeași dimensiune;
3. există o asemenea impunere (mișcare) a unei figuri pe alta încât acestea coincid în toate punctele lor.

Ce înseamnă forma figurilor

Vorbind despre forma unei figuri, ne referim în primul rând la clasa formelor geometrice, precum și la numărul de unghiuri, direcția convexităților (concavități) și alte detalii vizuale ale conturului unei figuri plate.

De exemplu, un oval și un dreptunghi au în mod clar formă diferită. Și dacă luați figuri din aceeași clasă, să spunem 2 triunghiuri, atunci trebuie să comparați elementele care alcătuiesc conturul. În acest caz vorbim despre unghiuri și laturi. Deci, dacă un triunghi are un unghi drept, iar celălalt nu, atunci se observă imediat că au o formă diferită. Dacă lungimile celor trei laturi ale unui triunghi nu diferă mult una de cealaltă, iar celălalt are o latură mult mai mare decât celelalte două, vom observa dintr-o privire și că formele lor sunt diferite.

De ce este importantă potrivirea dimensiunilor?

Ce se întâmplă dacă diferențele de dimensiune nu sunt vizibile vizual? Apoi, este necesar să se facă măsurători precise ale ambelor cifre. De asemenea, egalitatea de mărime separă conceptele de figuri similare și egale. De exemplu, 2 pătrate cu zonă diferită va fi similar dar nu egal (adică atunci când unul este mai mare decât celălalt).

Ce se înțelege prin „suprapunerea” cifrelor una peste alta

Uneori este dificil să faci măsurători precise. Mai ales dacă figura este formată dintr-o curbă arbitrară închisă sau o linie întreruptă. Apoi trebuie să găsiți o modalitate de a suprapune o formă peste alta.

Deci, dacă sunt desenate pe o bucată de hârtie, trebuie să tăiați una dintre ele exact de-a lungul conturului și să o puneți deasupra celeilalte. Îl poți roti în orice direcție și chiar îl poți întoarce. Dacă există o modalitate de a combina aceste forme astfel încât să se potrivească exact de-a lungul contururilor, atunci ele sunt egale.

Este întotdeauna posibil să se dovedească egalitatea cifrelor

Uneori acest lucru nu este posibil. De exemplu, dacă vorbim de linii drepte. Toate sunt nesfârșite. Același lucru este valabil și pentru raze.

Sunt egale astfel de figuri care pot fi combinate folosind un fel de mișcare (simetrie centrală și axială, rotație și translație paralelă).

În astfel de figuri, toate laturile și, respectiv, unghiurile sunt egale.

De exemplu, dacă sunt date triunghiuri ABC și A₁B₁C₁, atunci ele sunt egale dacă laturile sunt egale (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁) și unghiurile (unghiul A = unghiul A₁, unghiul B = unghiul B₁, unghiul C = unghiul C₁).

De asemenea, în cifre egale, punctele și liniile corespunzătoare sunt de asemenea egale. De exemplu, în același triunghiuri egale ABC și A₁B₁C₁ vor fi egale cu bisectoarea, mediana, înălțimea, razele cercurilor înscrise și circumscrise, centroizii etc.

cum se numeste unghiul? Ce cifre se numesc egale? Explicați cum să comparați două segmente? ce punct se numeste

mijlocul segmentului?

Care rază se numește bisectoarea unghiului?

care este gradul de masura a unui unghi?

Ce figură se numește triunghi? Ce triunghiuri se numesc egale? ​​Care segment se numește mediana unui triunghi? Care segment se numește

bisectoarea unui triunghi? Care segment se numește înălțimea unui triunghi? Care triunghi se numește isoscel? Care triunghi se numește echilateral? Definitia razei, diametrului, coardei.Dati o definitie a dreptelor paralele.Ce unghi se numeste unghiul exterior al unui triunghi?Care triunghi se numeste acut,care triunghi se numeste obtuz,care este dreptunghic. Cum se numesc laturile unui triunghi dreptunghic?Proprietatea a doua drepte paralele cu o a treia.Teorema pe o dreapta care intersecteaza una dintre drepte paralele. Proprietatea a două drepte perpendiculare pe o treime

Ce formă se numește linie întreruptă? Ce sunt legăturile de vârf și lungimea poliliniei?

Explicați cum se numește o linie întreruptă poligon. Care sunt vârfurile, laturile, perimetrul și diagonalele unui poligon? Ce este un poligon convex?
Explicați ce unghiuri se numesc unghiuri convexe ale unui poligon. Deduceți o formulă pentru calcularea sumei unghiurilor unui n-gon convex. Demonstrați că suma unghiurilor exterioare ale unui poligon convex. LUAT câte unul la fiecare vârf, este egal cu 360 de grade.
Care este suma unghiurilor unui patrulater convex?

1) Ce formă se numește patrulater?

2) Ce sunt vârfurile, unghiurile, laturile, diagonalele, perimetrul unui patrulater?
3) Ce unghiuri laterale ale unui patrulater se numesc convexe?
4) care este suma unghiurilor unui patrulater convex?
5) ce patrulater se numește convex?
6) ce patrulater se numește paralelogram?
7) ce proprietăți are un paralelogram?
8) numiți semnele unui paralelogram.
9) formulați proprietățile unui dreptunghi.
10) ce patrulater se numește pătrat?
11) formulați proprietățile unui romb.
12) ce patrulater se numește romb?
13) ce patrulater se numește dreptunghi?
14) ce proprietăți are un pătrat? va rog sa raspundeti pe scurt...

Geometrie Atanasyan clasa 7,8,9 „Întrebări răspunsuri la întrebări pentru repetarea capitolului 2 din manualul de geometrie clasa 7-9 atanasyan Explicați ce figură

numit triunghi.
2. Care este perimetrul unui triunghi?
3. Ce triunghiuri se numesc egale?
4. Ce este o teoremă și demonstrarea unei teoreme?
5. Explicați ce segment se numește perpendiculară trasată dintr-un punct dat pe o dreaptă dată.
6. Care segment se numește mediana triunghiului? Câte mediane are un triunghi?
7. Care segment se numește bisectoarea unui triunghi? Câte bisectoare are un triunghi?
8. Ce segment se numește înălțimea triunghiului? Câte înălțimi are un triunghi?
9. Ce triunghi se numește isoscel?
10. Care sunt numele laturilor unui triunghi isoscel?
11. Ce triunghi se numește triunghi echilateral?
12. Formulați proprietatea unghiurilor de la baza unui triunghi isoscel.
13. Formulați o teoremă asupra bisectoarei unui triunghi isoscel.
14. Formulați primul semn de egalitate a triunghiurilor.
15. Formulați al doilea semn de egalitate al triunghiurilor.
16. Formulați al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor.
17. Definiți un cerc.
18. Care este centrul unui cerc?
19. Cum se numește raza unui cerc?
20. Ce se numește diametrul unui cerc?
21. Cum se numește coarda unui cerc?

Unul dintre conceptele de bază în geometrie este o figură. Acest termen înseamnă un set de puncte pe un plan, limitat de un număr finit de drepte. Unele cifre pot fi considerate egale, ceea ce este strâns legat de conceptul de mișcare. Figurile geometrice pot fi considerate nu izolat, ci într-un fel sau altul în relație unele cu altele - lor aranjament reciproc, contact și potrivire, poziție „între”, „înăuntru”, raport exprimat în termeni de „mai mare decât”, „mai mic decât”, „egal cu”. Geometria studiază proprietățile invariante ale figurilor, adică. cele care rămân neschimbate sub anumite transformări geometrice. O astfel de transformare a spațiului, în care distanța dintre punctele care alcătuiesc o anumită figură rămâne neschimbată, se numește mișcare.Mișcarea poate acționa în opțiuni diferite: transfer paralel, transformarea identităţii, rotație în jurul unei axe, simetrie față de o dreaptă sau un plan, simetrie centrală, de rotație, de translație.

Mișcare și cifre egale

Dacă este posibilă o astfel de mișcare care va duce la combinarea unei figuri cu alta, astfel de figuri se numesc egale (congruente). Două figuri egale cu o treime sunt, de asemenea, egale între ele - o astfel de afirmație a fost formulată de Euclid, fondatorul geometriei Conceptul de figuri congruente poate fi explicat mai mult limbaj simplu: egale sunt astfel de figuri care coincid complet atunci când sunt suprapuse una peste alta. Este destul de ușor de determinat dacă figurile sunt date sub forma anumitor obiecte care pot fi manipulate - de exemplu, sunt decupate din hârtie, prin urmare, la școală în clasă, ei recurg adesea la această metodă de explicație acest concept. Dar două figuri desenate pe un plan nu pot fi suprapuse fizic una peste alta. În acest caz, dovada egalității figurilor este dovada egalității tuturor elementelor care alcătuiesc aceste figuri: lungimea segmentelor, dimensiunea unghiurilor, diametrul și raza, dacă vorbim despre un cerc.

Cifre echivalente și echidistante

Cu cifre egale, nu trebuie să confundăm figurile de dimensiuni egale și cele compuse în mod egal - cu toată apropierea acestor concepte.
Figurile de dimensiuni egale sunt cele care au o suprafață egală dacă sunt figuri pe un plan, sau un volum egal dacă vorbim de corpuri tridimensionale. Coincidența tuturor elementelor care compun aceste cifre nu este obligatorie. Cifrele egale vor fi întotdeauna egale ca mărime, dar nu toate figurile de dimensiuni egale pot fi numite egale.Conceptul de compoziție egală este cel mai adesea aplicat poligoanelor. Aceasta implică faptul că poligoanele pot fi împărțite în același număr de forme, respectiv egale. Poligoanele echivalente au întotdeauna o zonă egală.

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat acest lucru vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției: Repetați subiectul „Aria unui paralelogram”. Deduceți formula pentru aria unui triunghi, introduceți conceptul de figuri de dimensiuni egale. Rezolvarea problemelor pe tema „Zone cu figuri de dimensiuni egale”.

În timpul orelor

I. Repetarea.

1) Oral conform desenului finit Deduceți formula pentru aria unui paralelogram.

2) Care este relația dintre laturile paralelogramului și înălțimile căzute pe ele?

(conform desenului finit)

relația este invers proporțională.

3) Găsiți a doua înălțime (conform desenului finit)

4) Găsiți aria paralelogramului conform desenului finit.

Decizie:

5) Comparați ariile paralelogramelor S1, S2, S3. (Ei au zone egale, toate au baza a și înălțimea h).

Definiție: figurile cu arii egale se numesc egale.

II. Rezolvarea problemelor.

1) Demonstrați că orice dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor o împarte în 2 părți egale.

Decizie:

2) LA paralelogram ABCDÎnălțimi CF și CE. Demonstrați că AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Dat un trapez cu bazele a și 4a. Este posibil să tragem linii drepte printr-unul dintre vârfurile sale, împărțind trapezul în 5 triunghiuri de suprafață egală?

Decizie: Poate sa. Toate triunghiurile sunt egale.

4) Demonstrați că dacă luăm punctul A de pe latura paralelogramului și îl conectăm la vârfuri, atunci aria triunghiului rezultat ABC este egală cu jumătate din aria paralelogramului.

Decizie:

5) Tortul are forma unui paralelogram. Kid și Carlson îl împart astfel: Kid arată un punct de pe suprafața tortului, iar Carlson taie tortul în 2 bucăți de-a lungul unei linii drepte care trece prin acest punct și ia una dintre bucăți pentru el. Toată lumea vrea o piesă mai mare. Unde ar trebui să pună capăt Copilului?

Decizie:În punctul de intersecție a diagonalelor.

6) Pe diagonala dreptunghiului s-a ales un punct și s-au trasat linii drepte prin el, paralele cu laturile dreptunghiului. Pe laturile opuse au format 2 dreptunghiuri. Comparați zonele lor.

Decizie:

III. Studierea subiectului „Aria unui triunghi”

începe cu o sarcină:

„Aflați aria unui triunghi a cărui bază este a și înălțimea este h.”

Băieții, folosind conceptul de figuri de dimensiuni egale, demonstrează teorema.

Să construim un triunghi până la un paralelogram.

Aria unui triunghi este jumătate din aria unui paralelogram.

Exercițiu: Desenați triunghiuri egale.

Se folosește un model (3 triunghiuri colorate sunt decupate din hârtie și lipite la baze).

Exercițiul numărul 474. „Comparați ariile celor două triunghiuri în care triunghiul dat este împărțit la mediana lui.”

Triunghiuri aceleași temeiuri a și aceeași înălțime h. Triunghiurile au aceeași arie

Concluzie: figurile cu arii egale se numesc egale.

Întrebări pentru clasă:

1. Sunt cele cifre egale?
2. Formulați afirmația opusă. Este adevarat?
3. Este adevarat:
   a) Triunghiurile echilaterale sunt egale ca aria?
   b) Triunghiurile echilaterale cu laturile egale sunt egale?
   c) Pătratele cu laturile egale sunt egale?
   d) Demonstrați că paralelogramele formate prin intersecția a două benzi de aceeași lățime sub unghiuri diferite pantele una fata de alta sunt egale. Aflați paralelogramul celei mai mici zone formate prin intersecția a două benzi de aceeași lățime. (Afișați pe model: dungi cu lățime egală)

IV. Pas înainte!

Scris pe tablă sarcini optionale:

1. „Tăiați triunghiul cu două linii drepte, astfel încât să puteți plia piesele într-un dreptunghi”.

Decizie:

2. „Tăiați dreptunghiul în linie dreaptă în 2 părți, din care puteți face un triunghi dreptunghic.”

Decizie:

3) Se trasează o diagonală într-un dreptunghi. Într-unul dintre triunghiurile rezultate, este trasată o mediană. Aflați rapoartele dintre ariile figurilor .

Decizie:

Răspuns:

3. Din sarcinile olimpiadei:

„În patrulaterul ABCD, punctul E este punctul de mijloc al lui AB, conectat la vârful D, iar F este punctul de mijloc al lui CD, la vârful B. Demonstrați că aria patrulaterului EBFD este de 2 ori zonă mai mică patrulater ABCD.

Rezolvare: desenați o diagonală BD.

Exercițiul numărul 475.

„Desenați triunghiul ABC. Prin vârful B, trageți 2 linii drepte astfel încât să împartă acest triunghi în 3 triunghiuri cu arii egale.

Folosește teorema Thales (împarte AC în 3 părți egale).

V. Sarcina zilei.

Pentru ea, am luat partea de extremă dreaptă a tablei, pe care scriu sarcina de astăzi. Copiii pot decide sau nu. Nu vom rezolva această problemă astăzi în clasă. Doar că cei care sunt interesați de ele o pot scrie, o pot rezolva acasă sau în pauză. De obicei, deja la pauză, mulți tipi încep să rezolve problema, dacă se hotărăsc, arată soluția, iar eu o rezolv într-un tabel special. În lecția următoare, vom reveni cu siguranță la această problemă, dedicând o mică parte a lecției rezolvării acesteia (și o nouă problemă poate fi scrisă pe tablă).

„Un paralelogram este tăiat într-un paralelogram. Împărțiți restul în 2 figuri egale.

Decizie: Secanta AB trece prin punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramelor O și O1.

Probleme suplimentare (din problemele olimpiadei):

1) „În trapezul ABCD (AD || BC), vârfurile A și B sunt conectate la punctul M, punctul de mijloc al laturii CD. Aria triunghiului ABM este m. Aflați aria trapezului ABCD.

Decizie:

Triunghiurile ABM și AMK sunt cifre egale, deoarece AM este mediana.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Răspuns: SABCD = 2m.

2) „În trapezul ABCD (AD || BC), diagonalele se intersectează în punctul O. Demonstrați că triunghiurile AOB și COD sunt arii egale.”

Decizie:

S ∆BCD = S ∆ABC , deoarece au o bază comună BC și aceeași înălțime.

3) Latura AB a unui triunghi arbitrar ABC este extinsă dincolo de vârful B, astfel încât BP = AB, latura AC este extinsă dincolo de vârful A, astfel încât AM = CA, latura BC este extinsă dincolo de vârful C, astfel încât KS = BC. De câte ori aria triunghiului RMK mai multă zonă triunghiul ABC?

Decizie:

Într-un triunghi MVS: MA = AC, deci aria triunghiului BAM este egală cu aria triunghiului ABC. Într-un triunghi stație de lucru: BP = AB, deci aria triunghiului BAM este egală cu aria triunghiului ABP. Într-un triunghi ARS: AB = BP, deci aria triunghiului BAC este egală cu aria triunghiului BPC. Într-un triunghi VRK: BC \u003d SC, prin urmare, aria triunghiului VRS este egală cu aria triunghiului RKS. Într-un triunghi AVK: BC = SC, deci aria triunghiului BAC este egală cu aria triunghiului ASC. În triunghiul MSC: MA = AC, deci aria triunghiului KAM este egală cu aria triunghiului ASC. Obținem 7 triunghiuri egale. Mijloace,

Răspuns: Aria triunghiului MRK este de 7 ori aria triunghiului ABC.

4) Paralelograme legate.

2 paralelograme sunt amplasate așa cum se arată în figură: au un vârf comun și încă un vârf pentru fiecare paralelogram se află pe laturile celuilalt paralelogram. Demonstrați că ariile paralelogramelor sunt egale.

Decizie:

și , mijloace,

Lista literaturii folosite:

1. Manual „Geometrie 7-9” (autori L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moscova, „Iluminismul”, 2003).
2. Sarcinile olimpiadei ani diferiti, în special din ghid de studiu„Cele mai bune probleme ale olimpiadelor de matematică” (compilat de A.A. Korznyakov, Perm, „Knizhny Mir”, 1996).
3. O selecție de sarcini acumulate pe parcursul multor ani de muncă.

Formele care se potrivesc atunci când sunt suprapuse se numesc EGALE. Două figuri geometrice sunt numite egale dacă pot fi combinate atunci când sunt suprapuse

9. Explicați cum să comparați două segmente de dreaptă și cum să comparați două unghiuri. Suprapuneți un segment pe celălalt astfel încât capătul primului să fie aliniat cu capătul celui de-al doilea, dacă celelalte două capete nu sunt aliniate, atunci segmentele nu sunt egale, dacă sunt aliniate, atunci sunt egale. Pentru a compara 2 segmente, trebuie să comparați lungimile lor; pentru a compara 2 unghiuri, trebuie să comparați măsura gradului lor. Două unghiuri sunt numite egale dacă pot fi combinate prin suprapunere. Pentru a stabili dacă două unghiuri neexpandite sunt egale sau nu, este necesar să combinați latura unui unghi cu latura celui de-al doilea, astfel încât celelalte două laturi să fie de aceeași parte a laturilor combinate..Așezați un colț pe celălalt colț în așa fel încât vârfurile lor să coincidă pe o parte, iar celelalte două să fie pe aceeași parte a laturilor aliniate. Dacă a doua latură a unui unghi este aliniată cu a doua latură a altui unghi, atunci aceste unghiuri sunt egale. (Impuneți colțurile astfel încât partea unuia să fie aliniată cu latura celuilalt, iar celelalte două să fie de aceeași parte a laturilor aliniate. Dacă celelalte două laturi sunt aliniate, atunci unghiurile sunt complet aliniate, ceea ce înseamnă sunt egali.)

10. Ce punct se numește mijlocul segmentului? Punctul de mijloc al unui segment este punctul care împarte segmentul dat în două părți egale. Punctul care împarte un segment în jumătate se numește punctul de mijloc al segmentului.

11. Bisectoare(din latinescul bi- „dublu” și sectio „tăiere”) un unghi se numește rază care iese din vârful unghiului și trece prin regiunea sa interioară, care formează două unghiuri egale cu laturile sale. Sau se numește o rază care emană din vârful unui unghi și o împarte în două unghiuri egale bisectoare a unghiului.

12. Cum este măsurarea segmentelor. A măsura un segment proporțional cu unul înseamnă a afla de câte ori conține o unitate sau o fracțiune de unitate. Măsurarea distanței se realizează prin compararea acestuia cu un anumit segment luat ca unitate. Puteți măsura lungimea segmentului folosind o riglă sau o bandă de măsurare. Este necesar să suprapunem un segment peste altul, pe care l-am luat ca unitate de măsură, astfel încât capetele lor să fie aliniate.

? 13. Cum sunt legate lungimile segmentelor AB și CD dacă: a) segmentele AB și CD sunt egale; b) este segmentul AB mai mic decât segmentul CD?

A) lungimile segmentelor AB și CD sunt egale. B) lungimea segmentului AB este mai mică decât lungimea segmentului CD.

14. Punctul C împarte segmentul AB în două segmente. Cum sunt legate lungimile segmentelor AB, AC și CB? Lungimea segmentului AB este egală cu suma lungimilor segmentelor ACși CB. Pentru a găsi lungimea segmentului AB, adăugați lungimile segmentelor AC și CB.

15. Ce este o diplomă? Ce arată măsura gradului unui unghi? Unghiurile sunt măsurate în diferite unități. Pot fi grade, radiani. Cel mai adesea, unghiurile sunt măsurate în grade. (Acest grad nu trebuie confundat cu o măsură a temperaturii, unde se folosește și cuvântul „grad”). Măsurarea unghiurilor se bazează pe compararea lor cu un unghi luat ca unitate de măsură. De obicei, un grad este luat ca unitate de măsură pentru unghiuri - un unghi egal cu 1/180 dintr-un unghi dezvoltat. Gradul este o unitate a unghiurilor plane din geometrie. (Gradul este luat ca unitate de măsură a unghiurilor geometrice - parte a unghiului.) .

Măsura gradului unui unghi arată de câte ori un grad și părțile sale - un minut și o secundă - se încadrează într-un unghi dat , adică o măsură a gradului - o valoare care reflectă numărul de grade, minute și secunde dintre laturile unghiului.

16. Ce parte a unui grad se numește minut și ce parte se numește secundă? 1/60 de grad se numește minut, iar 1/60 de minut se numește secundă. Minutele sunt notate cu semnul „′”, iar secundele - prin semnul „″”

? 17. Cum sunt legate măsurile gradelor a două unghiuri dacă: a) aceste unghiuri sunt egale; b) un unghi este mai mic decât celălalt? a) gradul de măsurare a unghiurilor este aceeaşi. b) Gradul de măsurare a unui unghi este mai mic decât gradul de măsurare a celui de-al doilea unghi.

18. Raza OC împarte unghiul AOB în două unghiuri. Cum sunt legate măsurile de grad ale unghiurilor AOB, AOC și COB? Când o rază împarte un unghi în două unghiuri, gradul de măsurare a întregului unghi este egală cu suma gradelor de măsură ale acelor unghiuri. AOB este egală cu suma măsurilor de grad ale părților sale AOC și COB.