Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki prawdziwych, wielokrotnych i złożonych korzeni. Faktoryzacja trójmianu kwadratowego. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoryzacji.

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) określają wzory:
; .
Te formuły można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wówczas wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (podzielony na czynniki):
.

Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważać dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeżeli wyróżnik jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wtedy faktoryzacja trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeżeli wyróżnik jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone sprzężone pierwiastki:
;
.
Oto jednostka urojona, ;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli wykreślimy funkcję
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Kiedy wykres przecina oś odciętych (oś) w dwóch punktach.
Gdy wykres dotyka osi X w jednym punkcie.
Gdy wykres nie przecina osi x.

Poniżej przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy formuły (f.1) i (f.3):




,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Z tego widać, że równanie

wykonywane w
oraz .
To znaczy i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

Decyzja

.
Porównując z naszym równaniem (1.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ wyróżnik jest dodatni, równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Przecina oś x (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

Odpowiedź

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Decyzja

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
W porównaniu z pierwotnym równaniem (2.1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wtedy faktoryzacja trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest rozkładany na czynniki dwukrotnie:
,
wtedy taki korzeń nazywa się wielokrotnością. Oznacza to, że uważają, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

Odpowiedź

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Decyzja

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy oryginalne równanie (3.1):
.
W porównaniu z (1) znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie dyskryminatora:
.
Wyróżnik jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Wykreślmy funkcję
.
Wykres tej funkcji to parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiedź

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Opis bibliograficzny: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody rozwiązywania równań kwadratowych // Młody naukowiec. - 2016r. - nr 6.1. - S. 17-20.02.2019).



Nasz projekt poświęcony jest sposobom rozwiązywania równań kwadratowych. Cel projektu: nauczenie rozwiązywania równań kwadratowych w sposób nieuwzględniony w szkolnym programie nauczania. Zadanie: znajdź wszystkie możliwe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych i naucz się ich używać samodzielnie oraz zapoznaj kolegów z klasy z tymi metodami.

Czym są „równania kwadratowe”?

Równanie kwadratowe- równanie postaci topór2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c- kilka liczb ( 0), x- nieznany.

Liczby a, b, c nazywane są współczynnikami równania kwadratowego.

• a nazywa się pierwszym współczynnikiem;
• b jest nazywany drugim współczynnikiem;
• c - wolny członek.

A kto pierwszy „wymyślił” równania kwadratowe?

Niektóre techniki algebraiczne do rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane już 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Znalezione starożytne babilońskie tabliczki gliniane, datowane gdzieś między 1800 a 1600 rokiem pne, są najwcześniejszymi dowodami badania równań kwadratowych. Te same tabliczki zawierają metody rozwiązywania niektórych typów równań kwadratowych.

Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale i drugiego stopnia w starożytności była spowodowana potrzebą rozwiązywania problemów związanych ze znalezieniem obszarów gruntów i robót ziemnych o charakterze militarnym, a także rozwojem astronomii i sama matematyka.

Reguła rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułą współczesną, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Niemal wszystkie dotychczas odnalezione teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami podanymi w formie przepisów, bez wskazania sposobu ich znalezienia. Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje koncepcji liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.

Matematycy babilońscy z około IV wieku p.n.e. zastosował metodę dopełnienia kwadratowego do rozwiązywania równań z pierwiastkami dodatnimi. Około 300 p.n.e. Euclid wymyślił bardziej ogólną metodę rozwiązania geometrycznego. Pierwszym matematykiem, który znalazł rozwiązania równania z ujemnymi pierwiastkami w postaci wzoru algebraicznego, był indyjski naukowiec. Brahmagupta(Indie, VII wne).

Brahmagupta nakreślił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednej postaci kanonicznej:

ax2 + bx = c, a>0

W tym równaniu współczynniki mogą być ujemne. Rządy Brahmagupty zasadniczo pokrywają się z naszymi.

W Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. W jednej ze starych indyjskich książek o takich konkursach mówi się: „Jak słońce swoim blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczona osoba przyćmie chwałę na publicznych zebraniach, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Zadania często ubierano w poetycką formę.

W traktacie algebraicznym Al-Chwarizmi podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wymienia 6 typów równań, wyrażając je następująco:

1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.

2) „Kwadraty są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 = c.

4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, czyli ax2 + c = bx.

5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c.

6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c == ax2.

Dla Al-Khwarizmi, który unikał używania liczb ujemnych, warunki każdego z tych równań są dodatkami, a nie odejmowaniem. W tym przypadku równania, które nie mają pozytywnych rozwiązań, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor nakreśla metody rozwiązywania tych równań, wykorzystując metody al-dżabra i al-muqabala. Jego decyzja oczywiście nie pokrywa się całkowicie z naszą. Nie mówiąc już o tym, że jest to czysto retoryczne, należy na przykład zauważyć, że rozwiązując niepełne równanie kwadratowe pierwszego typu, Al-Khwarizmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę zera rozwiązanie, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych zadaniach praktycznych nie ma to znaczenia. Rozwiązując pełne równania kwadratowe, Al-Khwarizmi ustala zasady ich rozwiązywania na konkretnych przykładach liczbowych, a następnie ich dowodach geometrycznych.

Formy rozwiązywania równań kwadratowych na modelu Al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy opisane w „Księdze Liczydła”, napisanej w 1202 roku. włoski matematyk Leonard Fibonacci. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych.

Książka ta przyczyniła się do rozpowszechnienia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele zadań z tej księgi zostało przeniesionych do prawie wszystkich europejskich podręczników XIV-XVII wieku. Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci kanonicznej x2 + bx = c ze wszystkimi możliwymi kombinacjami znaków i współczynników b, c została sformułowana w Europie w 1544 roku. M. Stiefela.

Vieta ma ogólne wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego, ale Vieta rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli jeden z pierwszych w XVI wieku. weź pod uwagę oprócz dodatnich i ujemnych pierwiastków. Dopiero w XVII wieku. dzięki pracy Girard, Kartezjusz, Newton i innych naukowców sposób rozwiązywania równań kwadratowych przybiera nowoczesną formę.

Rozważ kilka sposobów rozwiązywania równań kwadratowych.

Standardowe sposoby rozwiązywania równań kwadratowych z programu szkolnego:

1. Faktoryzacja lewej strony równania.
2. Pełnokwadratowa metoda selekcji.
3. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru.
4. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.
5. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety.

Zastanówmy się bardziej szczegółowo nad rozwiązaniem zredukowanych i niezredukowanych równań kwadratowych przy użyciu twierdzenia Viety.

Przypomnijmy, że aby rozwiązać podane równania kwadratowe, wystarczy znaleźć dwie liczby takie, że iloczyn jest równy członowi wolnemu, a suma jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku.

Przykład.x 2 -5x+6=0

Musisz znaleźć liczby, których iloczyn to 6, a suma to 5. Te liczby to 3 i 2.

Odpowiedź: x 1 =2, x 2 =3.

Ale możesz użyć tej metody do równań, w których pierwszy współczynnik nie jest równy jeden.

Przykład.3x 2 +2x-5=0

Bierzemy pierwszy współczynnik i mnożymy go przez wyraz wolny: x 2 +2x-15=0

Pierwiastkami tego równania będą liczby, których iloczyn to - 15, a suma to - 2. Liczby te to 5 i 3. Aby znaleźć pierwiastki pierwotnego równania, dzielimy uzyskane pierwiastki przez pierwszy współczynnik.

Odpowiedź: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rozwiązywanie równań metodą „przeniesienia”.

Rozważ równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0, gdzie a≠0.

Mnożąc obie jego części przez a, otrzymujemy równanie a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Niech ax = y, skąd x = y/a; wtedy dochodzimy do równania y 2 + przez + ac = 0, które jest równoważne danemu. Znajdujemy jego pierwiastki w 1 i 2, używając twierdzenia Vieta.

W końcu otrzymujemy x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Dzięki tej metodzie współczynnik a jest mnożony przez człon swobodny, jakby „przeniesiony” do niego, dlatego nazywa się to metodą „przeniesienia”. Ta metoda jest używana, gdy łatwo jest znaleźć pierwiastki równania za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy dyskryminator jest dokładnym kwadratem.

Przykład.2x 2 - 11x + 15 = 0.

„Przenieśmy” współczynnik 2 do wyrazu wolnego i dokonując zamiany otrzymujemy równanie y 2 – 11y + 30 = 0.

Zgodnie z odwrotnym twierdzeniem Viety

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5, y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odpowiedź: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Własności współczynników równania kwadratowego.

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Jeśli a + b + c \u003d 0 (tj. suma współczynników równania wynosi zero), to x 1 \u003d 1.

2. Jeśli a - b + c \u003d 0 lub b \u003d a + c, to x 1 \u003d - 1.

Przykład.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Ponieważ a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), to x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Odpowiedź: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Przykład.132x 2 + 247x + 115 = 0

Ponieważ a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), następnie x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Odpowiedź: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Istnieją inne właściwości współczynników równania kwadratowego. ale ich użycie jest bardziej skomplikowane.

8. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą nomogramu.

Rys 1. Nomogram

To stara i obecnie zapomniana metoda rozwiązywania równań kwadratowych, umieszczona na s. 83 zbioru: Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.

Tabela XXII. Nomogram do rozwiązywania równań z2 + pz + q = 0. Ten nomogram pozwala, bez rozwiązywania równania kwadratowego, wyznaczyć pierwiastki równania na podstawie jego współczynników.

Skala krzywoliniowa nomogramu zbudowana jest według wzorów (ryc. 1):

Zarozumiały OS = p, ED = q, OE = a(wszystkie w cm), z rys. 1 podobieństwo trójkątów SAN oraz CDF otrzymujemy proporcję

stąd po podstawieniach i uproszczeniach następuje równanie z 2 + pz + q = 0, i list z oznacza etykietę dowolnego punktu na zakrzywionej skali.

Ryż. 2 Rozwiązywanie równania kwadratowego za pomocą nomogramu

Przykłady.

1) Dla równania z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje pierwiastki z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odpowiedź: 8,0; 1.0.

2) Rozwiąż równanie za pomocą nomogramu

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podziel współczynniki tego równania przez 2, otrzymamy równanie z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje pierwiastki z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odpowiedź: 4; 0,5.

9. Geometryczna metoda rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykład.X 2 + 10x = 39.

W oryginale problem ten jest sformułowany w następujący sposób: „Kwadrat i dziesięć pierwiastków równa się 39”.

Rozważ kwadrat o boku x, prostokąty są zbudowane na jego bokach tak, że drugi bok każdego z nich ma 2,5, zatem powierzchnia każdego z nich wynosi 2,5x. Wynikowa liczba jest następnie uzupełniana o nowy kwadrat ABCD, uzupełniając cztery równe kwadraty w rogach, bok każdego z nich wynosi 2,5, a pole wynosi 6,25

Ryż. 3 Graficzny sposób rozwiązania równania x 2 + 10x = 39

Pole S kwadratu ABCD można przedstawić jako sumę pól: pierwotnego kwadratu x 2, czterech prostokątów (4∙2,5x = 10x) i czterech dołączonych kwadratów (6,25∙4 = 25), tj. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Zastępując x 2 + 10x liczbą 39, otrzymujemy, że S \u003d 39 + 25 \u003d 64, co oznacza, że ​​bok kwadratu ABCD, tj. odcinek AB \u003d 8. Dla żądanego boku x pierwotnego kwadratu otrzymujemy

10. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Bezouta.

Twierdzenie Bezouta. Reszta po podzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian x - α jest równa P(α) (czyli wartość P(x) przy x = α).

Jeśli liczba α jest pierwiastkiem wielomianu P(x), to ten wielomian jest podzielny przez x -α bez reszty.

Przykład.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podziel P(x) przez (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 lub x-3=0, x=3; Odpowiedź: x1 =2, x2 =3.

Wniosek: Zdolność do szybkiego i racjonalnego rozwiązywania równań kwadratowych jest po prostu niezbędna do rozwiązywania bardziej złożonych równań, na przykład ułamkowych równań wymiernych, równań wyższych potęg, równań dwukwadratowych oraz w licealnych równaniach trygonometrycznych, wykładniczych i logarytmicznych. Po przestudiowaniu wszystkich znalezionych metod rozwiązywania równań kwadratowych, możemy doradzić kolegom z klasy, oprócz standardowych metod, rozwiązywanie metodą transferu (6) i rozwiązywanie równań według właściwości współczynników (7), ponieważ są one bardziej dostępne do zrozumienia .

Literatura:

1. Bradis V.M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. - M., Edukacja, 1990.
2. Algebra klasa 8: podręcznik do klasy 8. ogólne wykształcenie instytucje Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. wyd. S. A. Telyakovsky 15th ed., poprawione. - M.: Oświecenie, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Przewodnik dla nauczycieli. / Wyd. V.N. Młodszy. - M.: Oświecenie, 1964.

Stosowanie równań jest szeroko rozpowszechnione w naszym życiu. Wykorzystywane są w wielu obliczeniach, budowie konstrukcji, a nawet sporcie. Równania były używane przez człowieka od czasów starożytnych i od tego czasu ich użycie tylko wzrosło. Dyskryminator pozwala rozwiązywać dowolne równania kwadratowe za pomocą ogólnego wzoru, który ma następującą postać:

Wzór na dyskryminację zależy od stopnia wielomianu. Powyższy wzór nadaje się do rozwiązywania równań kwadratowych o następującej postaci:

Wyróżnik ma następujące właściwości, które musisz znać:

* „D” wynosi 0, gdy wielomian ma wiele pierwiastków (równe pierwiastki);

* „D” jest wielomianem symetrycznym w odniesieniu do pierwiastków wielomianu, a zatem jest wielomianem w swoich współczynnikach; co więcej, współczynniki tego wielomianu są liczbami całkowitymi, niezależnie od rozszerzenia, w którym bierze się pierwiastki.

Załóżmy, że otrzymaliśmy równanie kwadratowe o następującej postaci:

1 równanie

Zgodnie ze wzorem mamy:

Ponieważ \, to równanie ma 2 pierwiastki. Zdefiniujmy je:

Gdzie mogę rozwiązać równanie za pomocą dyskryminującego solvera online?

Możesz rozwiązać równanie na naszej stronie https: // site. Darmowy solver online pozwoli Ci rozwiązać równanie online o dowolnej złożoności w kilka sekund. Wszystko, co musisz zrobić, to po prostu wprowadzić swoje dane do solvera. Możesz też obejrzeć film instruktażowy i dowiedzieć się, jak rozwiązywać równanie na naszej stronie, a jeśli masz jakieś pytania, możesz je zadać w naszej grupie Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Dołącz do naszego grona, zawsze chętnie Ci pomożemy.

Równania kwadratowe. Dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu koniecznie musi być x do kwadratu. Oprócz tego w równaniu może być (lub nie być!) Tylko x (do pierwszego stopnia) i tylko liczba (Wolny Członek). I nie powinno być iksów w stopniu większym niż dwa.

W kategoriach matematycznych równanie kwadratowe jest równaniem postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie każdy, ale a- wszystko oprócz zera. Na przykład:

Tutaj a =1; b = 3; c = -4

Tutaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tutaj a =-3; b = 6; c = -18

Cóż, masz pomysł...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest komplet członków. x do kwadratu ze współczynnikiem a, x do pierwszej potęgi o współczynniku b oraz wolny członek

Takie równania kwadratowe nazywają się kompletny.

I jeśli b= 0, co otrzymamy? Mamy X zniknie w pierwszym stopniu. Dzieje się tak poprzez pomnożenie przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Itp. A jeśli oba współczynniki b oraz c są równe zero, to jest jeszcze prostsze:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywa się niepełne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Zauważ, że x do kwadratu występuje we wszystkich równaniach.

Przy okazji, dlaczego a nie może być zero? A ty zastępujesz zamiast tego a zero.) X w kwadracie zniknie! Równanie stanie się liniowe. A robi się to inaczej...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletny i niekompletny.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązywanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Zgodnie ze wzorami i jasnymi, prostymi zasadami. W pierwszym etapie konieczne jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej, czyli do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, a, b oraz c.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda tak:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć x, używamy tylko a, b i c. Tych. współczynniki z równania kwadratowego. Wystarczy ostrożnie zastąpić wartości a, b i c do tej formuły i policzyć. Zastąpić z twoimi znakami! Na przykład w równaniu:

a =1; b = 3; c= -4. Tutaj piszemy:

Przykład prawie rozwiązany:

To jest odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. A jak myślisz, nie możesz się pomylić? No tak, jak...

Najczęstsze błędy to pomylenie ze znakami wartości a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie można to pomylić?), Ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczanie pierwiastków. Tutaj zapisuje szczegółowy zapis formuły z określonymi liczbami. Jeśli są problemy z obliczeniami, więc zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Powiedzmy, że wiesz, że za pierwszym razem rzadko otrzymujesz odpowiedzi.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie 30 sekund.I liczba błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, z wszystkimi nawiasami i znakami:

Tak staranne malowanie wydaje się niezwykle trudne. Ale tylko się wydaje. Spróbuj. No lub wybierz. Co jest lepsze, szybkie czy właściwe? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po pewnym czasie nie będzie trzeba wszystkiego tak dokładnie malować. Po prostu okaże się słuszne. Zwłaszcza jeśli zastosujesz praktyczne techniki, które opisano poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów zostanie rozwiązany łatwo i bez błędów!

Ale często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy wiedziałeś?) Tak! To jest niekompletne równania kwadratowe.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie ustalić, co jest tutaj równe a, b i c.

Realizowany? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; a c? W ogóle nie istnieje! No tak, zgadza się. W matematyce oznacza to, że c = 0 ! To wszystko. Zastąp zero we wzorze zamiast c, i wszystko się u nas ułoży. Podobnie z drugim przykładem. Tylko zero, którego tu nie mamy z, a b !

Ale niekompletne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie łatwiej. Bez żadnych formuł. Rozważ pierwsze niekompletne równanie. Co można zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyrzućmy to.

A co z tego? Oraz fakt, że iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zero! Nie wierzysz? Więc wymyśl dwie niezerowe liczby, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Coś...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x 2 = 4.

Wszystko. To będą korzenie naszego równania. Oba pasują. Podstawiając dowolny z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać, rozwiązanie jest znacznie prostsze niż ogólny wzór. Zaznaczam przy okazji, który X będzie pierwszy, a który drugi – jest to absolutnie obojętne. Łatwe pisanie w porządku x 1- w zależności od tego, co jest mniejsze x 2- to, co jest więcej.

Drugie równanie również można łatwo rozwiązać. Przechodzimy 9 na prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje wydobyć korzeń z 9 i to wszystko. Otrzymać:

również dwa korzenie . x 1 = -3, x 2 = 3.

W ten sposób rozwiązywane są wszystkie niekompletne równania kwadratowe. Albo wyjmując X z nawiasów, albo po prostu przenosząc liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Niezwykle trudno jest pomylić te metody. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku trzeba będzie wydobyć korzeń z X, co jest jakoś niezrozumiałe, a w drugim przypadku nie ma co wyciągać z nawiasów…

Dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadki licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „zdecydować poprzez dyskryminację” jest uspokajające i uspokajające. Bo nie trzeba czekać na sztuczki dyskryminatora! Jest prosty i bezproblemowy w użyciu.) Przypominam najbardziej ogólną formułę rozwiązywania każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się wyróżnikiem. Wyróżnik jest zwykle oznaczany literą D. Formuła dyskryminacyjna:

D = b 2 - 4ac

A co jest takiego szczególnego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasługuje na specjalną nazwę? Co znaczenie dyskryminatora? W sumie -b, lub 2a w tej formule nie nazywają konkretnie… Liter i liter.

Chodzi o to. Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą tego wzoru, jest to możliwe tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest pozytywny. Oznacza to, że możesz wydobyć z niego korzeń. Inną kwestią jest to, czy korzeń jest dobrze czy źle wydobyty. Ważne jest, co jest w zasadzie wyodrębnione. Wtedy twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Dyskryminator to zero. Wtedy masz jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odjęcie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to pojedynczy korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwyczajowo mówi się o jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest negatywny. Liczba ujemna nie bierze pierwiastka kwadratowego. No dobrze. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, przy prostym rozwiązaniu równań kwadratowych pojęcie wyróżnika nie jest tak naprawdę wymagane. Podstawiamy wartości współczynników we wzorze i rozważamy. Tam wszystko okazuje się samo i dwa korzenie i jeden, a nie jeden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła dyskryminacyjna niewystarczająco. Szczególnie - w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla GIA i Unified State Examination!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe poprzez wyróżnik, który zapamiętałeś. Albo wyuczony, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie zidentyfikować a, b i c. Czy wiesz jak uważnie zastąp je formułą korzeni i uważnie policz wynik. Czy zrozumiałeś, że kluczowym słowem tutaj jest - uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Te same, które są spowodowane nieuwagą... Dla których jest to wtedy bolesne i obraźliwe...

Pierwsze przyjęcie . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego, aby doprowadzić je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po dowolnych przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c. Zbuduj poprawnie przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny członek. Lubię to:

I znowu nie spiesz się! Minus przed x do kwadratu może cię bardzo zdenerwować. Zapomnienie o tym jest łatwe... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Całe równanie musimy pomnożyć przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład. Zdecyduj sam. Powinieneś otrzymać pierwiastki 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie martw się, wszystko wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Tych. ten, za pomocą którego zapisaliśmy formułę korzeni. Jeżeli (jak w tym przykładzie) współczynnik a = 1, łatwo sprawdź korzenie. Wystarczy je pomnożyć. Powinieneś dostać darmowy termin, tj. w naszym przypadku -2. Zwróć uwagę, nie 2, ale -2! Wolny Członek z twoim znakiem . Jeśli to nie wyszło, oznacza to, że już gdzieś nawalili. Poszukaj błędu.

Jeśli się udało, musisz złożyć korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Powinien być stosunek b z naprzeciwko znak. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik b, który jest przed x, jest równy -1. Więc wszystko jest w porządku!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, w których x do kwadratu jest czyste, ze współczynnikiem a = 1. Ale przynajmniej sprawdź takie równania! Będzie mniej błędów.

Odbiór trzeci . Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Transformacje tożsamościowe”. Podczas pracy z ułamkami, błędami z jakiegoś powodu wspinaj się ...

Przy okazji obiecałem zły przykład z kilkoma minusami dla uproszczenia. Zapraszamy! Tam jest.

Aby nie pomylić się z minusami, równanie mnożymy przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Podejmowanie decyzji jest fajne!

Podsumujmy więc temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem równanie kwadratowe doprowadzamy do postaci standardowej, budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie znajduje się ujemny współczynnik, eliminujemy go mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego jest równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą twierdzenia Viety. Zrób to!

Teraz możesz zdecydować.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x 2 = 3

brak rozwiązań

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Czy wszystko pasuje? W porządku! Równania kwadratowe to nie twój ból głowy. Pierwsze trzy okazały się, ale reszta nie? Wtedy problem nie leży w równaniach kwadratowych. Problem tkwi w identycznych przekształceniach równań. Spójrz na link, jest pomocny.

Nie całkiem działa? Czy to w ogóle nie działa? Wtedy pomoże ci sekcja 555. Tam wszystkie te przykłady są posortowane według kości. Seans Główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście opisano również zastosowanie identycznych przekształceń w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Transformacja pełnego równania kwadratowego w niekompletne wygląda tak (dla przypadku \(b=0\)):

W przypadkach, gdy \(c=0\) lub oba współczynniki są równe zeru, wszystko jest podobne.

Należy pamiętać, że \(a\) nie jest równe zeru, nie może być równe zeru, ponieważ w tym przypadku zamienia się w:

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych.

Przede wszystkim musisz zrozumieć, że niepełne równanie kwadratowe jest nadal, dlatego można je rozwiązać w taki sam sposób, jak zwykłe kwadratowe (przez). Aby to zrobić, po prostu dodajemy brakujący składnik równania o zerowym współczynniku.

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(3x^2-27=0\)
Decyzja :

		Mamy niepełne równanie kwadratowe o współczynniku \(b=0\). Oznacza to, że możemy zapisać równanie w następującej postaci:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		W rzeczywistości tutaj jest to samo równanie, co na początku, ale teraz można je rozwiązać jako zwykły kwadrat. Najpierw spisujemy współczynniki.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Oblicz dyskryminator za pomocą wzoru \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Znajdźmy pierwiastki równania za pomocą wzorów \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapisz odpowiedź

Odpowiedź : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Przykład : Znajdź pierwiastki równania \(-x^2+x=0\)
Decyzja :

		Znowu niepełne równanie kwadratowe, ale teraz współczynnik \(c\) jest równy zero. Piszemy równanie jako kompletne.