Jednocyfrowa liczba naturalna. Liczby całkowite

Liczby całkowite

Liczby całkowite definicja to liczby całkowite dodatnie. Liczby naturalne służą do liczenia obiektów i do wielu innych celów. Oto liczby:

To jest naturalna seria liczb.
Zero jest liczbą naturalną? Nie, zero nie jest liczbą naturalną.
Ile jest tam liczb naturalnych? Istnieje nieskończony zbiór liczb naturalnych.
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna? Jeden to najmniejsza liczba naturalna.
Jaka jest największa liczba naturalna? Nie można go określić, ponieważ istnieje nieskończony zbiór liczb naturalnych.

Suma liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Tak więc dodawanie liczb naturalnych a i b:

Iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Tak więc iloczyn liczb naturalnych a i b:

c jest zawsze liczbą naturalną.

Różnica liczb naturalnych Nie zawsze istnieje liczba naturalna. Jeśli odjemna jest większa niż odjemna, to różnica liczb naturalnych jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie tak nie jest.

Iloraz liczb naturalnych Nie zawsze istnieje liczba naturalna. Jeśli dla liczb naturalnych a i b

gdzie c jest liczbą naturalną, oznacza to, że a jest podzielne przez b. W tym przykładzie a to dzielna, b to dzielnik, c to iloraz.

Dzielnikiem liczby naturalnej jest liczba naturalna, przez którą pierwsza liczba jest podzielna.

Każda liczba naturalna jest podzielna przez 1 i samą siebie.

Proste liczby naturalne są podzielne tylko przez 1 i przez siebie. Tutaj mamy na myśli całkowicie podzielone. Przykład, liczby 2; 3; pięć; 7 jest podzielne tylko przez 1 i siebie. To są proste liczby naturalne.

Jeden nie jest uważany za liczbę pierwszą.

Liczby większe niż jeden i niebędące liczbami pierwszymi nazywane są liczbami złożonymi. Przykłady liczb złożonych:

Jeden nie jest uważany za liczbę złożoną.

Zbiór liczb naturalnych składa się z jedynki, liczb pierwszych i liczb złożonych.

Zbiór liczb naturalnych jest oznaczony łacińska litera N.

Własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych:

przemienność dodawania

asocjacyjna własność dodawania

(a + b) + c = a + (b + c);

przemienność mnożenia

asocjacyjna własność mnożenia

(ab)c = a(bc);

rozdzielna własność mnożenia

A (b + c) = ab + ac;

Wszystkie liczby

Liczby całkowite to liczby naturalne, zero i przeciwieństwo liczb naturalnych.

Liczby przeciwne do liczb naturalnych są liczbami całkowitymi ujemnymi, na przykład:

1; -2; -3; -4;...

Zbiór liczb całkowitych oznaczono łacińską literą Z.

Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby całkowite i ułamki.

Każda liczba wymierna może być reprezentowana jako ułamek okresowy. Przykłady:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Z przykładów widać, że dowolna liczba całkowita jest ułamkiem okresowym o okresie równym zero.

Dowolną liczbę wymierną można przedstawić jako ułamek m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą liczba, n naturalne numer. Reprezentujmy liczbę 3,(6) z poprzedniego przykładu jako taki ułamek.

Czym są liczby naturalne i nienaturalne? Jak wytłumaczyć dziecku, a może nie dziecku, jakie są między nimi różnice? Rozwiążmy to. O ile nam wiadomo, liczby nienaturalne i naturalne są badane w piątej klasie, a naszym celem jest wyjaśnienie uczniom, aby naprawdę zrozumieli i nauczyli się, co i jak.

Historia

Liczby naturalne to jedno z najstarszych pojęć. Dawno temu, kiedy ludzie jeszcze nie umieli liczyć i nie mieli pojęcia o liczbach, kiedy musieli coś policzyć, na przykład ryby, zwierzęta, znokautowali na różne tematy kropki lub kreski, jak odkryli później archeolodzy. W tamtych czasach było im bardzo trudno żyć, ale cywilizacja rozwinęła się najpierw do rzymskiego systemu liczbowego, a następnie do systemu dziesiętnego. Teraz prawie wszyscy używają cyfr arabskich.

Wszystko o liczbach naturalnych

Liczby naturalne to liczby pierwsze, których używamy w naszym codziennym życiu do liczenia obiektów w celu określenia ich ilości i kolejności. Obecnie do zapisywania liczb używamy notacji dziesiętnej. Do zapisania dowolnej liczby używamy dziesięciu cyfr - od zera do dziewięciu.

Liczby naturalne to te liczby, których używamy podczas liczenia przedmiotów lub wskazywania numeru seryjnego czegoś. Przykład: 5, 368, 99, 3684.

Szeregi liczbowe nazywane są liczbami naturalnymi, które są ułożone w porządku rosnącym, tj. od jednego do nieskończoności. Ta linia zaczyna się od najmniejsza liczba-1 i nie ma największej liczby naturalnej, ponieważ szereg liczb jest po prostu nieskończony.

Ogólnie rzecz biorąc, zero nie jest uważane za liczbę naturalną, ponieważ oznacza brak czegoś, a także nie ma liczby obiektów.

System liczb arabskich to nowoczesny system których używamy na co dzień. Jest to jeden z wariantów języka indyjskiego (dziesiętny).

Ten system liczbowy stał się nowoczesny dzięki wynalezionej przez Arabów liczbie 0. Wcześniej nie było go w systemie indyjskim.

liczby nienaturalne. Co to jest?

Liczby naturalne nie obejmują liczb ujemnych i niecałkowitych. A więc są - liczby nienaturalne

Poniżej znajdują się przykłady.

Liczby nienaturalne to:

Liczby ujemne, na przykład: -1, -5, -36... i tak dalej.
Liczby wymierne wyrażone w miejscach dziesiętnych: 4,5, -67, 44,6.
W postaci ułamka prostego: 1/2, 40 2/7 itd.

Liczby niewymierne, takie jak e = 2,71828, √2 = 1,41421 i tym podobne.

Mamy nadzieję, że bardzo Ci pomogliśmy z liczbami nienaturalnymi i naturalnymi. Teraz będzie ci łatwiej wytłumaczyć ten temat swojemu dziecku, a on się tego nauczy tak samo jak wielcy matematycy!

Matematyka wyłoniła się z filozofii ogólnej około VI wieku p.n.e. e. i od tego momentu rozpoczęła się jej zwycięski marsz dookoła świata. Każdy etap rozwoju wnosił coś nowego – ewoluował elementarny rachunek, przekształcał się w rachunek różniczkowy i całkowy, zmieniały się wieki, formuły stawały się coraz bardziej zagmatwane, a nadszedł moment, w którym „najbardziej złożona matematyka- zniknęły z niego wszystkie cyfry. Ale jaka była podstawa?

Początek czasu

Liczby naturalne pojawiły się na równi z pierwszymi operacje matematyczne. Kiedyś kolce, dwa kolce, trzy kolce... Pojawiły się dzięki indyjskim naukowcom, którzy wydedukowali pierwszy pozycyjny

Słowo „pozycjonowanie” oznacza, że położenie każdej cyfry w liczbie jest ściśle określone i odpowiada jej kategorii. Na przykład liczby 784 i 487 to te same liczby, ale liczby nie są równoważne, ponieważ pierwsza obejmuje 7 setek, a druga tylko 4. Innowację Indian podchwycili Arabowie, którzy przynieśli liczby do forma, którą znamy teraz.

W czasach starożytnych liczbom nadawano mistyczne znaczenie, Pitagoras wierzył, że liczba stanowi podstawę stworzenia świata wraz z głównymi elementami - ogniem, wodą, ziemią, powietrzem. Jeśli rozważamy wszystko tylko od strony matematycznej, to czym jest liczba naturalna? Ciało liczb naturalnych jest oznaczone jako N i jest nieskończonym ciągiem liczb całkowitych i dodatnich: 1, 2, 3, … + ∞. Zero jest wykluczone. Służy głównie do liczenia sztuk i wskazywania kolejności.

Co jest w matematyce? aksjomaty Peano

Pole N jest ciałem bazowym, na którym opiera się matematyka elementarna. Z biegiem czasu pola liczb całkowitych, wymierne,

Praca włoskiego matematyka Giuseppe Peano umożliwiła dalszą strukturyzację arytmetyki, osiągnęła jej formalność i utorowała drogę do dalszych wniosków wykraczających poza dziedzinę N.

Co to jest liczba naturalna, dowiedzieliśmy się wcześniej zwykły język, matematyczna definicja oparta na aksjomatach Peano zostanie omówiona poniżej.

Jedna jest uważana za liczbę naturalną.
Liczba następująca po liczbie naturalnej jest liczbą naturalną.
Nie ma liczby naturalnej przed jedynką.
Jeśli liczba b występuje zarówno po liczbie c, jak i po liczbie d, to c=d.
Aksjomat indukcji, który z kolei pokazuje, czym jest liczba naturalna: jeśli jakieś twierdzenie zależne od parametru jest prawdziwe dla liczby 1, to zakładamy, że działa również dla liczby n z ciała liczb naturalnych N. Wtedy twierdzenie to jest również prawdziwe dla n =1 z ciała liczb naturalnych N.

Podstawowe operacje na ciele liczb naturalnych

Ponieważ pole N stało się pierwszym dla obliczeń matematycznych, odnoszą się do niego zarówno dziedziny definicji, jak i zakresy wartości szeregu operacji. Są zamknięte i nie. Główną różnicą jest to, że zamknięte operacje gwarantują pozostawienie wyniku w zbiorze N, bez względu na to, jakie liczby są zaangażowane. Wystarczy, że są naturalne. Wynik pozostałych interakcji liczbowych nie jest już tak jednoznaczny i bezpośrednio zależy od tego, jakiego rodzaju liczby są zawarte w wyrażeniu, ponieważ może to być sprzeczne z główną definicją. Czyli operacje zamknięte:

dodawanie - x + y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
mnożenie - x * y = z, gdzie x, y, z są zawarte w polu N;
potęgowanie - x y , gdzie x, y są zawarte w polu N.

Pozostałe operacje, których wynik może nie istnieć w kontekście definicji „co to jest liczba naturalna”, to:

Własności liczb należących do pola N

Całe dalsze rozumowanie matematyczne będzie oparte na następujących właściwościach, najbardziej trywialnych, ale nie mniej ważnych.

Przemienność dodawania to x + y = y + x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N. Lub dobrze znane „suma nie zmienia się od zmiany miejsc wyrazów”.
Przemienność mnożenia to x * y = y * x, gdzie liczby x, y są zawarte w polu N.
Asocjacyjna własność dodawania to (x + y) + z = x + (y + z), gdzie x, y, z są zawarte w polu N.
Asocjacyjna własność mnożenia to (x * y) * z = x * (y * z), gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.
własność rozkładu - x (y + z) = x * y + x * z, gdzie liczby x, y, z są zawarte w polu N.

Tabela pitagorejska

Jednym z pierwszych kroków w poznawaniu całej struktury matematyki elementarnej przez uczniów, po tym, jak sami zrozumieli, jakie liczby nazywamy naturalnymi, jest tablica pitagorejska. Można go rozpatrywać nie tylko z punktu widzenia nauki, ale także jako cenny zabytek naukowy.

Ta tabliczka mnożenia przeszła wiele zmian w czasie: usunięto z niej zero, a liczby od 1 do 10 oznaczają same siebie, bez uwzględniania kolejności (setki, tysiące…). Jest to tabela, w której nagłówki wierszy i kolumn są liczbami, a zawartość komórek ich przecięcia jest równa ich iloczynowi.

W praktyce nauczania w ostatnich dziesięcioleciach pojawiła się potrzeba zapamiętywania tablicy pitagorejskiej „w porządku”, to znaczy zapamiętywanie było pierwsze. Mnożenie przez 1 zostało wykluczone, ponieważ wynik wynosił 1 lub więcej. Tymczasem w tabeli gołym okiem widać wzór: iloczyn liczb rośnie o jeden krok, który jest równy tytułowi wiersza. Zatem drugi czynnik pokazuje nam, ile razy musimy brać pierwszy, aby uzyskać pożądany produkt. Ten system w przeciwieństwie do tego, które było praktykowane w średniowieczu: nawet rozumiejąc, czym jest liczba naturalna i jak bardzo jest trywialna, ludziom udało się skomplikować codzienne liczenie za pomocą systemu opartego na potęgach dwójki.

Podzbiór jako kolebka matematyki

Na ten moment ciało liczb naturalnych N jest traktowane tylko jako jeden z podzbiorów liczb zespolonych, co nie czyni ich mniej wartościowymi w nauce. Liczba naturalna to pierwsza rzecz, której dziecko uczy się, studiując siebie i otaczający go świat. Jeden palec, dwa palce... Dzięki niemu formuje się człowiek logiczne myślenie, a także umiejętność określenia przyczyny i wnioskowania o skutkach, torując drogę wielkim odkryciom.

Najprostsza liczba to Liczba naturalna. Są używane w Życie codzienne do liczenia przedmioty, tj. obliczyć ich liczbę i kolejność.

Co to jest liczba naturalna: liczby naturalne nazwij numery, które są używane do liczenie sztuk lub wskazanie numeru seryjnego dowolnej sztuki ze wszystkich jednorodnych przedmiotów.

Liczby całkowiteto liczby zaczynające się od jednego. Tworzą się naturalnie podczas liczenia.Na przykład 1,2,3,4,5... -pierwsze liczby naturalne.

najmniejsza liczba naturalna- jeden. Nie ma największej liczby naturalnej. Licząc liczbę zero nie jest używane, więc zero jest liczbą naturalną.

naturalny ciąg liczb jest ciągiem wszystkich liczb naturalnych. Napisz liczby naturalne:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

W liczbach naturalnych każda liczba jest o jeden większa od poprzedniej.

Ile liczb znajduje się w szeregu naturalnym? Szereg naturalny jest nieskończony, nie ma największej liczby naturalnej.

Dziesiętne od 10 jednostek dowolnej kategorii tworzy 1 jednostkę najwyższego rzędu. tak pozycyjny jak wartość cyfry zależy od jej miejsca w liczbie, tj. z kategorii, w której jest zarejestrowany.

Klasy liczb naturalnych.

Dowolną liczbę naturalną można zapisać za pomocą 10 cyfr arabskich:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby odczytać liczby naturalne, dzieli się je, zaczynając od prawej, na grupy po 3 cyfry każda. 3 pierwsze liczby po prawej to klasa jednostek, kolejne 3 to klasa tysięcy, następnie klasy milionów, miliardów iitp. Każda z cyfr klasy nazywa się itswypisać.

Porównanie liczb naturalnych.

Spośród 2 liczb naturalnych liczba, która została wywołana wcześniej w liczeniu, jest mniejsza. Na przykład, numer 7 mniej 11 (napisane tak:7 < 11 ). Kiedy jeden numer więcej niż sekundę, jest napisane tak:386 > 99 .

Tablica cyfr i klas liczb.


Jednostka pierwszej klasy	Pierwsza cyfra jednostki 2. miejsce dziesięć 3 miejsce setki
2. klasa tys	1. cyfra jednostek tysięcy Druga cyfra dziesiątek tysięcy 3 miejsce setki tysięcy
Miliony trzeciej klasy	1. cyfra jednostek milion Druga cyfra dziesiątek milionów Trzecia cyfra setek milionów
miliardy czwartej klasy	Jednostki pierwszej cyfry miliard Druga cyfra dziesiątek miliardów Trzecia cyfra setek miliardów

Numery 5 klasy i wyższe odnoszą się do duże liczby. Jednostki 5. klasy - biliony, 6. klasa - kwadrylionów, 7 klasa - kwintyliony, 8 klasa - sekstyliony, 9 klasa - eptyliony.

Podstawowe własności liczb naturalnych.

Przemienność dodawania . a + b = b + a
Przemienność mnożenia. ab=ba
Asocjatywność dodawania. (a + b) + c = a + (b + c)
Łączność mnożenia.
Rozdzielczość mnożenia względem dodawania:

Działania na liczbach naturalnych.

4. Dzielenie liczb naturalnych jest operacją odwrotną do mnożenia.

Jeśli b ∙ c \u003d a, następnie

Formuły podziału:

a: 1 = a

a: a = 1, a 0

0: a = 0, a 0

(ale∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(ale∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Wyrażenia liczbowe i równości liczbowe.

Notacja, w której liczby są połączone znakami czynności, to wyrażenie liczbowe.

Na przykład 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Wpisy, w których znak równości łączy 2 wyrażenia liczbowe to równości liczbowe. Równość ma lewą i prawą stronę.

Kolejność wykonywania operacji arytmetycznych.

Dodawanie i odejmowanie liczb to operacje pierwszego stopnia, a mnożenie i dzielenie są operacjami drugiego stopnia.

Gdy wyrażenie liczbowe składa się z działań tylko jednego stopnia, są one wykonywane sekwencyjnie od lewej do prawej.

Gdy wyrażenia składają się z czynności tylko pierwszego i drugiego stopnia, wtedy czynności są wykonywane w pierwszej kolejności drugiego stopnia, a następnie - działania pierwszego stopnia.

Jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, działania w nawiasach są wykonywane jako pierwsze.

Na przykład 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Liczby całkowite- liczby używane do liczenia przedmiotów . Dowolną liczbę naturalną można zapisać za pomocą dziesięciu cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Taki zapis liczb nazywa się dziesiętny.

Ciąg wszystkich liczb naturalnych nazywa się naturalne obok siebie .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Bardzo mały liczba naturalna to jeden (1). W szeregu naturalnym każda następna liczba jest o 1 większa od poprzedniej. seria naturalna nieskończony nie ma największej liczby.

Znaczenie cyfry zależy od jej miejsca w zapisie liczby. Na przykład liczba 4 oznacza: 4 jednostki, jeśli jest włączona ostatnie miejsce we wpisie liczbowym (w jednostkach miejsca); 4 dziesięć, jeśli ona jest na ostatnim miejscu (w miejscu dziesiątek); 4 setki, jeśli jest na trzecim miejscu od końca (w setki miejsce).

Cyfra 0 oznacza brak jednostek tej kategorii w zapisie dziesiętnym liczby. Służy również do oznaczenia liczby „ zero”. Ta liczba oznacza „brak”. Wynik 0:3 mecz piłki nożnej mówi, że pierwsza drużyna nie strzeliła przeciwnikowi ani jednego gola.

Zero nie zawiera do liczb naturalnych. I rzeczywiście liczenie przedmiotów nigdy nie zaczyna się od zera.

Jeśli liczba naturalna ma tylko jedną cyfrę – jedna cyfra, to nazywa się niedwuznaczny. Tych. niedwuznacznyLiczba naturalna- liczba naturalna, której zapis składa się z jednego znaku – jedna cyfra. Na przykład liczby 1, 6, 8 są pojedynczymi cyframi.

dwucyfrowyLiczba naturalna- liczba naturalna, której zapis składa się z dwóch znaków - dwóch cyfr.

Na przykład liczby 12, 47, 24, 99 są dwucyfrowe.

Ponadto, w zależności od liczby znaków w danej liczbie, nazwy nadawane są innym liczbom:

numery 326, 532, 893 - trzycyfrowy;

numery 1126, 4268, 9999 - czterocyfrowy itp.

Dwie cyfry, trzy cyfry, cztery cyfry, pięć cyfr itd. numery są nazywane liczby wielocyfrowe .

Aby odczytać liczby wielocyfrowe, są one dzielone, zaczynając od prawej, na grupy po trzy cyfry każda (grupa najbardziej po lewej może składać się z jednej lub dwóch cyfr). Grupy te nazywają się zajęcia.

Milion to tysiąc tysięcy (1000 tysięcy), jest napisane 1 milion lub 1 000 000.

Miliard to 1000 milionów. Jest rejestrowany przez 1 miliard lub 1 000 000 000.

Pierwsze trzy cyfry po prawej tworzą klasę jednostek, kolejne trzy - klasę tysięcy, dalej są klasy milionów, miliardów itd. (rys. 1).

Ryż. 1. Klasa milionów, klasa tysięcy i klasa jednostek (od lewej do prawej)

W siatce bitów zapisana jest liczba 15389000286 (rys. 2).