Tiesinių lygčių sistema vadinama jungtine, jei mti. Kaip rasti bendrą ir specifinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą

Mes ir toliau dirbame su tiesinių lygčių sistemomis. Iki šiol svarstėme sistemas, kurios turi unikalų sprendimą. Tokias sistemas galima išspręsti bet kokiu būdu: pakeitimo metodas(„mokykla“) Cramerio formulėmis, matricos metodu, Gauso metodas. Tačiau praktikoje plačiai paplitę dar du atvejai, kai:

1) sistema nenuosekli (nėra sprendimų);

2) sistema turi be galo daug sprendinių.

Šioms sistemoms naudojamas universaliausias iš visų sprendimo būdų - Gauso metodas. Tiesą sakant, „mokyklinis“ būdas taip pat padės rasti atsakymą, tačiau aukštoji matematikaĮprasta naudoti Gauso metodą nuosekliam nežinomųjų pašalinimui. Tie, kurie nėra susipažinę su Gauso metodo algoritmu, pirmiausia išstudijuokite pamoką Gauso metodas

Pačios elementariosios matricos transformacijos yra lygiai tokios pačios, skirtumas bus sprendimo pabaigoje. Pirma, apsvarstykite keletą pavyzdžių, kai sistemoje nėra sprendimų (nenuoseklu).

1 pavyzdys

Kas šioje sistemoje iškart krenta į akis? Lygčių skaičius yra mažesnis už kintamųjų skaičių. Yra tokia teorema, kuri sako: „Jei lygčių skaičius sistemoje mažesnis kiekis kintamieji, tada sistema yra arba nenuosekli, arba turi be galo daug sprendimų. Ir belieka tik išsiaiškinti.

Sprendimo pradžia yra gana įprasta - parašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į laipsnišką formą:

(vienas). Viršutiniame kairiajame žingsnyje turime gauti (+1) arba (-1). Pirmajame stulpelyje tokių skaičių nėra, todėl eilučių pertvarkymas neveiks. Vienetas turės būti organizuotas savarankiškai, ir tai galima padaryti keliais būdais. Mes taip ir padarėme. Prie pirmosios eilutės pridedame trečią eilutę, padaugintą iš (-1).

(2). Dabar pirmame stulpelyje gauname du nulius. Į antrą eilutę pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš 3. Prie trečios eilutės pridėkite pirmąją, padaugintą iš 5.

(3). Atlikus transformaciją, visada patartina pasidomėti, ar įmanoma gautas eilutes supaprastinti? Gali. Antrą eilutę padalijame iš 2, tuo pačiu antrame žingsnyje gauname norimą (-1). Trečią eilutę padalinkite iš (-3).

(4). Pridėkite antrą eilutę prie trečios eilutės. Tikriausiai visi atkreipė dėmesį į blogą eilutę, kuri pasirodė dėl elementarių transformacijų:

. Akivaizdu, kad taip negali būti.

Iš tiesų, gautą matricą perrašome

Grįžkime prie tiesinių lygčių sistemos:

Jei dėl elementariųjų transformacijų formos eilutė , kurλ yra ne nulis skaičius, tada sistema yra nenuosekli (neturi sprendimų).

Kaip įrašyti užduoties pabaigą? Turite užsirašyti frazę:

„Elementariųjų transformacijų rezultate gaunama formos eilutė, kur λ ≠ 0 “. Atsakymas: „Sistema neturi sprendimų (nesuderinama).“

Atkreipkite dėmesį, kad šiuo atveju nėra atvirkštinio Gauso algoritmo judėjimo, nėra sprendimų ir tiesiog nėra ką rasti.

2 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Dar kartą primename, kad jūsų sprendimo procesas gali skirtis nuo mūsų sprendimo proceso, Gauso metodas nenustato vienareikšmiško algoritmo, procedūrą ir pačius veiksmus kiekvienu atveju turite atspėti patys.

Kitas techninė savybė sprendimai: elementarias transformacijas galima sustabdyti Iškart, kai tik tokia eilutė kaip , kur λ ≠ 0 . Apsvarstykite sąlyginis pavyzdys: tarkime, kad po pirmosios transformacijos gauname matricą

Ši matrica dar nėra redukuota į laiptuotą formą, tačiau papildomų elementarių transformacijų nereikia, nes atsirado formos eilutė, kur λ ≠ 0 . Iš karto reikėtų atsakyti, kad sistema nesuderinama.

Kai tiesinių lygčių sistema neturi sprendinių, tai beveik dovana mokiniui, nes gaunamas trumpas sprendimas, kartais tiesiogine prasme 2-3 žingsniais. Tačiau viskas šiame pasaulyje yra subalansuota, o problema, kurioje sistema turi be galo daug sprendimų, yra tik ilgesnė.

3 pavyzdys:

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą

Yra 4 lygtys ir 4 nežinomieji, todėl sistema gali turėti vieną sprendinį arba neturėti sprendinių, arba turėti be galo daug sprendinių. Kad ir kaip būtų, bet Gauso metodas bet kokiu atveju mus atves į atsakymą. Tai yra jo universalumas.

Pradžia vėl standartinė. Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Tai viskas, ir tu bijojai.

(vienas). Atkreipkite dėmesį, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2, todėl viršutiniame kairiajame žingsnyje taip pat tenkiname dviženklį. Prie antrosios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (-4). Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (-2). Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (-1).

Dėmesio! Daugelis gali susigundyti iš ketvirtos eilutės atimti Pirma eilė. Tai galima padaryti, bet tai nėra būtina, patirtis rodo, kad klaidų tikimybė skaičiavimuose padidėja kelis kartus. Tiesiog pridedame: prie ketvirtos eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš (-1) - tiksliai!

(2). Paskutinės trys eilutės yra proporcingos, dvi iš jų gali būti ištrintos. Čia vėl reikia parodyti padidėjęs dėmesys, bet ar linijos tikrai proporcingos? Perdraudimui nebus nereikalinga antrąją eilutę padauginti iš (-1), o ketvirtą eilutę padalyti iš 2, kad gautumėte tris identiškas eilutes. Ir tik po to pašalinkite du iš jų. Dėl elementariųjų transformacijų išplėstinė sistemos matrica redukuojama į laiptuotą formą:

Atliekant užduotį sąsiuvinyje, aiškumo dėlei patartina tuos pačius užrašus pasidaryti pieštuku.

Perrašome atitinkamą lygčių sistemą:

„Įprastu“ vieninteliu sistemos sprendimu čia nekvepia. Bloga linija kur λ ≠ 0, taip pat ne. Vadinasi, tai jau trečias likęs atvejis – sistema turi be galo daug sprendimų.

Begalinė sistemos sprendinių aibė trumpai užrašoma vadinamąja forma bendras sistemos sprendimas.

Bendrąjį sistemos sprendimą rasime naudodami Gauso metodo atvirkštinį judėjimą. Lygčių sistemoms su begaliniu sprendinių rinkiniu atsiranda naujų sąvokų: "pagrindiniai kintamieji" ir "laisvi kintamieji". Pirma, apibrėžkime, kokius kintamuosius turime pagrindinis, ir kokie kintamieji - Laisvas. Nebūtina detaliai aiškinti tiesinės algebros terminų, užtenka prisiminti, kad tokių yra baziniai kintamieji ir nemokami kintamieji.

Pagrindiniai kintamieji visada „sėdi“ griežtai ant matricos žingsnių. Šiame pavyzdyje pagrindiniai kintamieji yra x 1 ir x 3 .

Nemokami kintamieji yra viskas likę kintamieji, kurie negavo žingsnio. Mūsų atveju yra du: x 2 ir x 4 - laisvieji kintamieji.

Dabar tau reikia visibaziniai kintamieji išreikšti tik pernemokami kintamieji. Atvirkštinis Gauso algoritmo judėjimas tradiciškai veikia iš apačios į viršų. Iš antrosios sistemos lygties išreiškiame pagrindinį kintamąjį x 3:

Dabar pažvelkite į pirmąją lygtį: . Pirmiausia į jį pakeičiame rastą išraišką:

Belieka išreikšti pagrindinį kintamąjį x 1 per laisvuosius kintamuosius x 2 ir x 4:

Rezultatas yra tai, ko jums reikia - visi baziniai kintamieji ( x 1 ir x 3) išreikštas tik per laisvi kintamieji ( x 2 ir x 4):

Tiesą sakant, bendras sprendimas yra paruoštas:

Kaip užrašyti bendrą sprendimą? Visų pirma, laisvieji kintamieji įrašomi į bendrą sprendimą „savaime“ ir griežtai savo vietose. Šiuo atveju laisvieji kintamieji x 2 ir x 4 turėtų būti parašytas antroje ir ketvirtoje pozicijose:

Gautos pagrindinių kintamųjų išraiškos ir, aišku, reikia rašyti pirmoje ir trečioje pozicijose:

Iš bendro sistemos sprendimo galima rasti be galo daug privatūs sprendimai. Tai labai paprasta. nemokami kintamieji x 2 ir x 4 vadinami taip, nes juos galima duoti bet kokios galutinės vertės. Populiariausios reikšmės yra nulinės, nes tai yra lengviausias būdas gauti konkretų sprendimą.

Pakeičiant ( x 2 = 0; x 4 = 0) į bendrą sprendimą, gauname vieną iš konkrečių sprendimų:

, arba yra tam tikras sprendimas, atitinkantis laisvus kintamuosius su reikšmėmis ( x 2 = 0; x 4 = 0).

Vieni yra dar viena miela pora, pakeiskime ( x 2 = 1 ir x 4 = 1) į bendrą sprendimą:

, ty (-1; 1; 1; 1) yra dar vienas konkretus sprendimas.

Nesunku pastebėti, kad lygčių sistema turi be galo daug sprendimų kadangi galime duoti laisvųjų kintamųjų bet koks vertybes.

kiekviena konkretus sprendimas turi tenkinti kiekvienam sistemos lygtis. Tai yra „greito“ sprendimo teisingumo patikrinimo pagrindas. Paimkite, pavyzdžiui, konkretų sprendimą (-1; 1; 1; 1) ir pakeiskite jį į kairę kiekvienos lygties pusę pradinėje sistemoje:

Viskas turi susidėti. Ir su bet kokiu konkrečiu sprendimu, kurį gausite, viskas taip pat turėtų susilieti.

Griežtai kalbant, konkretaus sprendimo patikrinimas kartais apgauna, t.y. koks nors konkretus sprendimas gali patenkinti kiekvieną sistemos lygtį, o pats bendras sprendimas iš tikrųjų randamas neteisingai. Todėl, visų pirma, bendro sprendimo patikrinimas yra kruopštesnis ir patikimesnis.

Kaip patikrinti gautą bendrą sprendimą ?

Tai nėra sunku, tačiau tam reikia gana ilgos transformacijos. Turime priimti išraiškas pagrindinis kintamieji, šiuo atveju ir , ir pakeiskite juos į kairę kiekvienos sistemos lygties pusę.

Pirmosios sistemos lygties kairėje:

Gaunama pradinės pirmosios sistemos lygties dešinioji pusė.

Kairėje antrosios sistemos lygties pusėje:

Gaunama pradinės antrosios sistemos lygties dešinioji pusė.

O toliau – į kairę trečiosios ir ketvirtosios sistemos lygčių dalis. Šis patikrinimas yra ilgesnis, tačiau garantuoja 100% viso sprendimo teisingumą. Be to, kai kuriose užduotyse reikia patikrinti bendrą sprendimą.

4 pavyzdys:

Išspręskite sistemą Gauso metodu. Raskite bendrą sprendimą ir du privačius. Patikrinkite bendrą sprendimą.

Tai „pasidaryk pats“ pavyzdys. Čia, beje, vėlgi lygčių skaičius yra mažesnis nei nežinomųjų, o tai reiškia, kad iš karto aišku, kad sistema bus arba nenuosekli, arba turės begalinį sprendinių skaičių.

5 pavyzdys:

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą. Jei sistemoje yra be galo daug sprendimų, suraskite du konkrečius sprendimus ir patikrinkite bendrą sprendimą

Sprendimas: Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir elementariųjų transformacijų pagalba perkelkime ją į laiptuotą formą:

(vienas). Pridėkite pirmąją eilutę prie antrosios eilutės. Prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 2. Į ketvirtą eilutę pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš 3.

(2). Prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš (-5). Prie ketvirtos eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš (-7).

(3). Trečia ir ketvirta eilutės yra vienodos, vieną iš jų ištriname. Štai toks gražuolis:

Pagrindiniai kintamieji yra ant žingsnių, todėl jie yra baziniai kintamieji.

Yra tik vienas laisvas kintamasis, kuriam nebuvo atliktas žingsnis: .

(4). Atvirkštinis judėjimas. Pagrindinius kintamuosius išreiškiame laisvuoju kintamuoju:

Iš trečiosios lygties:

Apsvarstykite antrąją lygtį ir pakeiskite ja rastą išraišką:

, , ,

Apsvarstykite pirmąją lygtį ir pakeiskite rastas išraiškas į ją:

Taigi, bendras sprendimas su vienu laisvu kintamuoju x 4:

Dar kartą, kaip tai atsitiko? laisvas kintamasis x 4 sėdi viena teisėtoje ketvirtoje vietoje. Gautos pagrindinių kintamųjų , , išraiškos taip pat yra savo vietose.

Iš karto patikrinkime bendrą sprendimą.

Mes pakeičiame pagrindinius kintamuosius , , į kairę kiekvienos sistemos lygties pusę:

Gautos atitinkamos dešinės lygčių pusės, taip randamas teisingas bendrasis sprendinys.

Dabar iš rasto bendro sprendimo gauname du konkrečius sprendimus. Visi kintamieji čia išreiškiami vienu laisvas kintamasis x 4 . Nereikia laužyti galvos.

Leisti būti x 4 = 0, tada yra pirmasis konkretus sprendimas.

Leisti būti x 4 = 1, tada yra dar vienas ypatingas sprendimas.

Atsakymas: Bendras sprendimas: . Privatūs sprendimai:

ir .

6 pavyzdys:

Raskite bendrą tiesinių lygčių sistemos sprendinį.

Bendrą sprendimą jau patikrinome, atsakymu galima pasitikėti. Jūsų veiksmai gali skirtis nuo mūsų veiksmų. Svarbiausia, kad bendrieji sprendimai sutaptų. Tikriausiai daugelis pastebėjo nemalonų momentą sprendiniuose: labai dažnai atvirkštinio Gauso metodo eigoje tekdavo sukti galvą paprastosios trupmenos. Praktikoje tai tiesa, atvejai, kai nėra trupmenų, yra daug rečiau paplitę. Būkite pasiruošę protiškai, o svarbiausia – techniškai.

Apsistokime ties sprendimo ypatybėmis, kurių nebuvo išspręstuose pavyzdžiuose. Bendrasis sistemos sprendimas kartais gali apimti konstantą (arba konstantas).

Pavyzdžiui, bendras sprendimas: . Čia vienas iš pagrindinių kintamųjų yra lygus pastoviam skaičiui: . Čia nėra nieko egzotiško, pasitaiko. Akivaizdu, kad šiuo atveju bet kuriame konkrečiame sprendime pirmoje vietoje bus penki.

Retai, bet yra sistemų, kuriose lygčių skaičius yra didesnis už kintamųjų skaičių. Tačiau Gauso metodas veikia pačiomis sunkiausiomis sąlygomis. Turėtumėte ramiai perkelti išplėstinę sistemos matricą į laiptuotą formą pagal standartinį algoritmą. Tokia sistema gali būti nenuosekli, gali turėti be galo daug sprendimų ir, kaip bebūtų keista, gali turėti unikalų sprendimą.

Patarime kartojame – norint jaustis patogiai sprendžiant sistemą Gauso metodu, reikėtų numoti ranka ir išspręsti bent keliolika sistemų.

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys:

Sprendimas:Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perveskime ją į laiptuotą formą.

Atliktos elementarios transformacijos:

(1) Pirmoji ir trečioji eilutės buvo pakeistos.

(2) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš (-6). Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš (-7).

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš (-1).

Dėl elementarių transformacijų formos eilutė, kur λ ≠ 0 .Taigi sistema nenuosekli.Atsakymas: sprendimų nėra.

4 pavyzdys:

Sprendimas:Rašome išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementarias transformacijas, pateikiame ją į žingsninę formą:

Atliktos konversijos:

(vienas). Pirmoji eilutė, padauginta iš 2, buvo įtraukta į antrąją eilutę. Pirma eilutė, padauginta iš 3, buvo įtraukta į trečią eilutę.

Antram žingsniui vieneto nėra , o transformacija (2) siekiama ją gauti.

(2). Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš -3.

(3). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos (gautas -1 buvo perkeltas į antrą žingsnį)

(4). Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 3.

(5). Pirmų dviejų eilučių ženklas buvo pakeistas (padaugintas iš -1), trečioji eilutė padalinta iš 14.

Atvirkštinis judėjimas:

(vienas). čia yra pagrindiniai kintamieji (kurie yra žingsniuose) ir yra laisvieji kintamieji (kas negavo žingsnio).

(2). Pagrindinius kintamuosius išreiškiame laisvaisiais kintamaisiais:

Iš trečiosios lygties: .

(3). Apsvarstykite antrąją lygtį:, konkretūs sprendimai:

Atsakymas: Bendras sprendimas:

Sudėtingi skaičiai

Šiame skyriuje supažindinsime su koncepcija kompleksinis skaičius, apsvarstykite algebrinė, trigonometrinis ir parodyti formą kompleksinis skaičius. Taip pat išmoksime atlikti operacijas su kompleksiniais skaičiais: sudėtį, atimtį, daugybą, dalybą, eksponenciją ir šaknies ištraukimą.

Norint įvaldyti sudėtingus skaičius, nereikia jokių specialių žinių iš aukštosios matematikos kurso, o medžiaga prieinama net moksleiviui. Užtenka mokėti atlikti algebrinius veiksmus su „paprastaisiais“ skaičiais, atsiminti trigonometriją.

Pirmiausia prisiminkime „įprastus“ skaičius. Matematikoje jie vadinami daugelis realūs skaičiai ir yra pažymėti raide R, arba R (storas). Visi tikrieji skaičiai yra žinomoje skaičių eilutėje:

Realiųjų skaičių kompanija labai spalvinga – čia ir sveikieji skaičiai, ir trupmenos, ir neracionalūs skaičiai. Šiuo atveju kiekvienas skaitinės ašies taškas būtinai atitinka tam tikrą realųjį skaičių.

Sistemos m tiesines lygtis su n nežinomas.
Tiesinių lygčių sistemos sprendimas yra toks skaičių rinkinys ( x 1 , x 2 , …, x n), kurią pakeičiant į kiekvieną sistemos lygtį, gaunama teisinga lygybė.
kur a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n yra sistemos koeficientai;
b i , i = 1, …, m- nemokami nariai;
x j , j = 1, …, n- nežinomas.
Aukščiau pateiktą sistemą galima parašyti matricos forma: A X = B,

kur ( A|B) yra pagrindinė sistemos matrica;
A— išplėstinė sistemos matrica;
X— nežinomųjų stulpelis;
B yra laisvųjų narių kolona.
Jei matrica B nėra nulinė matrica ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama nehomogeniška.
Jei matrica B= ∅, tada ši tiesinių lygčių sistema vadinama vienarūše. Vienalytė sistema visada turi nulinį (trivialų) sprendimą: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
Jungtinė tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti sprendimą.
Nenuosekli tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, kuri neturi sprendimo.
Tam tikra tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti unikalų sprendimą.
Neapibrėžta tiesinių lygčių sistema yra tiesinių lygčių sistema, turinti begalinį sprendinių skaičių.
Sistemos n tiesinių lygčių su n nežinomųjų
Jei nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, tada matrica yra kvadratinė. Matricos determinantas vadinamas pagrindiniu tiesinių lygčių sistemos determinantu ir žymimas simboliu Δ.
Cramerio metodas sistemoms spręsti n tiesines lygtis su n nežinomas.
Cramerio taisyklė.
Jei pagrindinis tiesinių lygčių sistemos determinantas nėra nulis, tada sistema yra nuosekli ir apibrėžta, o unikalus sprendimas apskaičiuojamas pagal Cramerio formules:
kur Δ i yra determinantai, gauti iš pagrindinio sistemos determinanto Δ pakeičiant i stulpelį į laisvųjų narių stulpelį. .
M tiesinių lygčių sistemos su n nežinomųjų
Kronecker-Cappelli teorema.

Kad ši tiesinių lygčių sistema būtų nuosekli, būtina ir pakanka, kad sistemos matricos rangas būtų lygus sistemos išplėstinės matricos rangui, rangas(Α) = rangas(Α|B).
Jeigu skambėjo (Α) ≠ skambėjo (Α|B), tada sistema akivaizdžiai neturi sprendimų.
Jeigu rangas(Α) = rangas(Α|B), tada galimi du atvejai:
1) skambėjo(Α) = n(iki nežinomųjų skaičiaus) - sprendimas yra unikalus ir gali būti gautas Cramerio formulėmis;
2) rangas (Α)< n − sprendimų yra be galo daug.
Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Sudarykime išplėstinę matricą ( A|B) pateiktos koeficientų sistemos nežinomojoje ir dešinėje pusėse.
Gauso metodas arba nežinomųjų pašalinimo metodas yra padidintos matricos sumažinimas ( A|B) elementariųjų transformacijų pagalba per jo eilutes į įstrižainę formą (į viršutinę trikampę formą). Grįžtant prie lygčių sistemos, nustatomi visi nežinomieji.
Elementarios stygų transformacijos apima:
1) dviejų eilučių sukeitimas;
2) eilutės padauginimas iš kito skaičiaus nei 0;
3) prie eilutės pridėjus kitą eilutę, padaugintą iš savavališko skaičiaus;
4) nulinės eilutės atmetimas.
Išplėstinė matrica, redukuota į įstrižainę, atitinka duotajai lygiavertę tiesinę sistemą, kurios sprendimas nesukelia sunkumų. .
Vienalyčių tiesinių lygčių sistema.
Vienalytė sistema turi tokią formą:

ji atitinka matricos lygtį A X = 0.
1) Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes r(A) = r(A|B), visada yra nulinis sprendimas (0, 0, …, 0).
2) Kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad r = r(A)< n , kuris yra lygus Δ = 0.
3) Jei r< n , tada Δ = 0, tada yra laisvųjų nežinomųjų c 1 , c 2 , …, c n-r, sistema turi netrivialius sprendimus, ir jų yra be galo daug.
4) Bendras sprendimas X adresu r< n gali būti parašytas matricos forma taip:
X \u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
kur sprendimai X 1 , X 2 , …, X n-r sudaryti esminę sprendimų sistemą.
5) Pagrindinę sprendinių sistemą galima gauti iš bendro homogeninės sistemos sprendinio:

,
jei nuosekliai priimsime, kad parametrų reikšmės yra (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1).
Bendrojo sprendinio išskaidymas pagrindinės sprendinių sistemos požiūriu yra bendrojo sprendimo įrašas, kaip linijinis sprendinių derinys, priklausantis pagrindinei sistemai.
Teorema. Kad tiesinių vienalyčių lygčių sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad Δ ≠ 0.
Taigi, jei determinantas yra Δ ≠ 0, tada sistema turi unikalų sprendimą.
Jei Δ ≠ 0, tai tiesinių vienarūšių lygčių sistema turi begalinį sprendinių skaičių.
Teorema. Kad vienalytė sistema turėtų nulinį sprendimą, būtina ir pakanka to r(A)< n .
Įrodymas:
1) r negali būti daugiau n(matricos rangas neviršija stulpelių ar eilučių skaičiaus);
2) r< n , nes jeigu r=n, tada pagrindinis sistemos determinantas Δ ≠ 0, ir pagal Cramerio formules yra unikalus trivialus sprendimas x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, o tai prieštarauja sąlygai. Reiškia, r(A)< n .
Pasekmė. Kad būtų vienalytė sistema n tiesines lygtis su n nežinomieji turi nulinį sprendimą, būtina ir pakanka, kad Δ = 0.

Aptarnavimo užduotis. Internetinis skaičiuotuvas skirtas tiesinių lygčių sistemai tirti. Paprastai problemos būsenoje ją reikia rasti bendras ir specifinis sistemos sprendimas. Tiriant tiesinių lygčių sistemas, sprendžiamos šios problemos:

ar sistema yra bendradarbiaujanti;
jei sistema suderinama, tai ji yra apibrėžta arba neapibrėžta (sistemos suderinamumo kriterijų nustato teorema);
jei sistema apibrėžta, tai kaip rasti jos unikalų sprendimą (naudojamas Cramerio metodas, atvirkštinės matricos metodas arba Jordano-Gausso metodas);
jei sistema neapibrėžta, tai kaip apibūdinti jos sprendinių aibę.

Tiesinių lygčių sistemų klasifikacija

Savavališka tiesinių lygčių sistema turi tokią formą:
a 1 1 x 1 + a 1 2 x 2 + ... + a 1 n x n = b 1
a 2 1 x 1 + a 2 2 x 2 + ... + a 2 n x n = b 2
...................................................
a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ... + a m n x n = b m

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos (kintamųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, m = n).
Savavališkos tiesinių nevienalyčių lygčių sistemos (m > n arba m< n).

Apibrėžimas. Sistemos sprendinys – tai bet kuri skaičių aibė c 1 ,c 2 ,...,c n , kurių pakeitimas į sistemą vietoj atitinkamų nežinomųjų kiekvieną sistemos lygtį paverčia tapatybe.

Apibrėžimas. Dvi sistemos laikomos lygiavertėmis, jei pirmosios sprendimas yra antrosios ir atvirkščiai.

Apibrėžimas. Sistema, turinti bent vieną sprendimą, vadinama Bendras. Sistema, kuri neturi jokio sprendimo, vadinama nenuoseklia.

Apibrėžimas. Sistema su unikaliu sprendimu vadinama tam tikras, o turėti daugiau nei vieną sprendimą yra neapibrėžtas.

Tiesinių lygčių sistemų sprendimo algoritmas

Raskite pagrindinių ir išplėstinių matricų gretas. Jei jie nėra lygūs, tai pagal Kronecker-Capelli teoremą sistema yra nenuosekli ir tyrimas baigiasi čia.
Tegu rangas(A) = rangas(B) . Mes pasirenkame pagrindinį minorą. Šiuo atveju visos nežinomos tiesinių lygčių sistemos skirstomos į dvi klases. Nežinomieji, kurių koeficientai įeina į pagrindinį šalutinį, vadinami priklausomaisiais, o nežinomieji, kurių koeficientai neįtraukti į pagrindinį šalutinį, vadinami laisvaisiais. Atkreipkite dėmesį, kad priklausomų ir laisvų nežinomųjų pasirinkimas ne visada yra unikalus.
Išbraukiame tas sistemos lygtis, kurių koeficientai nebuvo įtraukti į pagrindinį minorą, nes tai yra likusiųjų pasekmės (pagal pagrindinę minoro teoremą).
Lygčių, kuriose yra laisvųjų nežinomųjų, sąlygos bus perkeltos į dešinę pusę. Dėl to gauname lygčių sistemą su r nežinomaisiais, lygiavertę duotajam, kurios determinantas skiriasi nuo nulio.
Gauta sistema sprendžiama vienu iš šių būdų: Cramerio metodu, atvirkštinės matricos metodu arba Jordano-Gausso metodu. Rasti ryšiai, kurie priklausomus kintamuosius išreiškia laisvaisiais.

M tiesinių lygčių su n nežinomųjų sistema vadinama formos sistema

kur aij ir b i (i=1,…,m; b=1,…,n) yra kai kurie žinomi skaičiai ir x 1,…,x n- nežinomas. Koeficientų žymėjime aij pirmasis indeksas ižymi lygties skaičių, o antrasis j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas.

Nežinomųjų koeficientai bus parašyti matricos pavidalu , kurį vadinsime sistemos matrica.

Skaičiai dešiniosiose lygčių pusėse b 1 ,…, b m paskambino nemokami nariai.

Suvestinė n numeriai c 1,…,c n paskambino sprendimasšios sistemos, jei kiekviena sistemos lygtis į ją pakeitus skaičius tampa lygybe c 1,…,c n vietoj atitinkamų nežinomųjų x 1,…,x n.

Mūsų užduotis bus rasti sistemos sprendimus. Tokiu atveju gali susidaryti trys situacijos:

Vadinama tiesinių lygčių sistema, turinti bent vieną sprendinį Bendras. Priešingu atveju, t.y. jei sistema neturi sprendimų, tada ji vadinama nesuderinamas.

Apsvarstykite būdus, kaip rasti sistemos sprendimus.

TIESINIŲ LYGČIŲ SISTEMŲ SPRENDIMO MATRIKS METODAS

Matricos leidžia trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Pateikiame 3 lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą:

Apsvarstykite sistemos matricą ir matricos stulpeliai nežinomų ir laisvų narių

Susiraskime prekę

tie. dėl sandaugos gauname šios sistemos lygčių kairiąsias puses. Tada naudojant matricos lygybės apibrėžimą šią sistemą galima parašyti formoje

arba trumpesnis A∙X = B.

Čia matricos A ir B yra žinomi, ir matrica X nežinomas. Ją reikia surasti, nes. jos elementai yra šios sistemos sprendimas. Ši lygtis vadinama matricos lygtis.

Tegul matricos determinantas skiriasi nuo nulio | A| ≠ 0. Tada matricos lygtis sprendžiama taip. Abi kairėje esančios lygties puses padauginkite iš matricos A-1, atvirkštinė matrica A: . Tiek, kiek A -1 A = E ir E∙X = X, tada matricos lygties sprendinį gauname formoje X = A -1 B .

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi atvirkštinę matricą galima rasti tik kvadratinėms matricoms, matricos metodas gali išspręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius yra toks pat kaip ir nežinomųjų. Tačiau sistemos matricinis žymėjimas galimas ir tuo atveju, kai lygčių skaičius nėra lygus nežinomųjų skaičiui, tada matrica A nėra kvadratas, todėl neįmanoma rasti sistemos sprendimo formoje X = A -1 B.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemas.

CRAMERIO TAISYKLĖ

Apsvarstykite 3 tiesinių lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Trečios eilės determinantas, atitinkantis sistemos matricą, t.y. sudarytas iš koeficientų prie nežinomųjų,

paskambino sistemos determinantas.

Dar tris determinantus sudarome taip: 1, 2 ir 3 determinanto D stulpelius paeiliui pakeičiame laisvųjų terminų stulpeliu.

Tada galime įrodyti tokį rezultatą.

Teorema (Cramerio taisyklė). Jei sistemos determinantas yra Δ ≠ 0, tai nagrinėjama sistema turi vieną ir tik vieną sprendinį, ir

Įrodymas. Taigi, apsvarstykite 3 lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais. 1-ąją sistemos lygtį padauginkite iš algebrinio papildinio A 11 elementas a 11, 2 lygtis – įjungta A21 ir 3-ioji – įjungta A 31:

Pridėkime šias lygtis:

Apsvarstykite kiekvieną skliaustą ir dešinę šios lygties pusę. Pagal teoremą apie determinanto išplėtimą pagal 1 stulpelio elementus

Panašiai galima parodyti, kad ir .

Galiausiai tai nesunku pastebėti

Taigi gauname lygybę: .

Vadinasi,.

Lygybės ir yra išvestos panašiai, iš kur seka teoremos tvirtinimas.

Taigi, pažymime, kad jei sistemos determinantas yra Δ ≠ 0, tai sistema turi unikalų sprendimą ir atvirkščiai. Jeigu sistemos determinantas lygus nuliui, tai sistema arba turi begalinę sprendinių aibę, arba sprendinių neturi, t.y. nesuderinamas.

Pavyzdžiai. Išspręskite lygčių sistemą

GAUSS METODAS

Anksčiau svarstytais metodais galima spręsti tik tas sistemas, kuriose lygčių skaičius sutampa su nežinomųjų skaičiumi, o sistemos determinantas turi skirtis nuo nulio. Gauso metodas yra universalesnis ir tinka sistemoms su bet kokiu lygčių skaičiumi. Jį sudaro nuoseklus nežinomųjų pašalinimas iš sistemos lygčių.

Dar kartą apsvarstykite trijų lygčių sistemą su trimis nežinomaisiais:

Pirmąją lygtį paliekame nepakeistą, o iš 2 ir 3 neįtraukiame terminų, kuriuose yra x 1. Norėdami tai padaryti, padalijame antrąją lygtį iš a 21 ir padauginkite iš - a 11, tada pridėkite su 1 lygtimi. Panašiai mes padalijame trečiąją lygtį į a 31 ir padauginkite iš - a 11 ir pridėkite jį prie pirmojo. Dėl to pradinė sistema bus tokia:

Dabar iš paskutinės lygties pašaliname terminą, kuriame yra x2. Norėdami tai padaryti, padalykite trečiąją lygtį iš , padauginkite iš ir pridėkite prie antrosios. Tada turėsime lygčių sistemą:

Taigi iš paskutinės lygties tai lengva rasti x 3, tada iš 2-osios lygties x2 ir galiausiai nuo 1 d. x 1.

Naudojant Gauso metodą, prireikus lygtis galima sukeisti.

Dažnai vietoj rašymo nauja sistema lygtys apsiriboja išplėstinės sistemos matricos užrašymu:

ir tada, naudojant elementarias transformacijas, paverskite jį trikampiu arba įstrižaine.

Į elementarios transformacijos matricos apima šias transformacijas:

eilučių ar stulpelių permutacija;
eilutę padauginus iš ne nulio skaičiaus;
pridedant prie vienos eilutės kitų eilučių.

Pavyzdžiai: Išspręskite lygčių sistemas Gauso metodu.

Taigi sistema turi begalinį sprendimų skaičių.

Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos pramonėje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant gamybos valdymo ir planavimo, logistikos maršrutų (transporto problemos) ar įrangos išdėstymo problemas.

Lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius.

Tiesinių lygčių sistema yra dviejų ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais terminas, kuriam būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.

Tiesinė lygtis

Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y – nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Lygties sprendimas nubraižant jos grafiką atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendinys.

Tiesinių lygčių sistemų tipai

Paprasčiausi yra tiesinių lygčių sistemų su dviem kintamaisiais X ir Y pavyzdžiai.

F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.

Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia rasti tokias reikšmes (x, y), kurioms esant sistema virsta tikra lygybe arba nustatyti, kad tinkamos vertės x ir y neegzistuoja.

Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.

Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.

Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po „lygybės“ ženklo turi reikšmę arba išreiškiama funkcija, tokia sistema nėra vienalytė.

Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamaisiais pavyzdį.

Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti savavališkai daug.

Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai

Nėra bendro analitinio būdo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, pakaitalai, taip pat grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.

Pagrindinis uždavinys mokant sprendimo metodus yra išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir rasti optimalus algoritmas sprendimai kiekvienam pavyzdžiui. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo taikymo principus.

Programos 7 klasės tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas vidurinė mokykla gana paprasta ir labai išsamiai paaiškinta. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmuosiuose aukštųjų mokyklų kursuose.

Sistemų sprendimas pakeitimo metodu

Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę per antrąjį. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į vieną kintamąjį. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje

Pateiksime 7-osios klasės tiesinių lygčių sistemos pakeitimo metodu pavyzdį:

Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Šio pavyzdžio sprendimas nesukelia sunkumų ir leidžia gauti Y reikšmę Paskutinis žingsnis – gautų reikšmių patikrinimas.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos, o kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, pakeitimo sprendimas taip pat nepraktiškas.

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:

Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą

Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, lygčių sudėjimas po termino ir dauginimas iš įvairūs skaičiai. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis su vienu kintamuoju.

Šio metodo taikymas reikalauja praktikos ir stebėjimo. Nelengva išspręsti tiesinių lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą, kai kintamųjų skaičius yra 3 ar daugiau. Algebrinis sudėjimas yra naudingas, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių skaičių.

Sprendimo veiksmų algoritmas:

Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Kaip rezultatas aritmetinis veiksmas vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.

Sprendimo metodas įvedant naują kintamąjį

Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip du.

Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis išsprendžiama įvesto nežinomojo atžvilgiu, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.

Pavyzdys rodo, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima sumažinti 1-ąją sistemos lygtį iki standartinės kvadratinis trinaris. Galite išspręsti daugianarį radę diskriminantą.

Būtina rasti diskriminanto vertę pagal gerai žinoma formulė: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario daugikliai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, vadinasi, D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra tik vienas sprendinys: x= -b / 2*a.

Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.

Vaizdinis metodas sistemoms spręsti

Tinka sistemoms su 3 lygtimis. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų braižymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.

Grafinis metodas turi nemažai niuansų. Apsvarstykite keletą tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžių.

Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.

Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.

Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.

Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.

2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.

Matrica ir jos atmainos

Matricos naudojamos trumpai užrašyti tiesinių lygčių sistemą. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.

Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.

Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, kurią padauginus originali virsta vienetine, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.

Lygčių sistemos transformavimo į matricą taisyklės

Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.

Matricos eilutė vadinama ne nuliu, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.

Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.

Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.

Atvirkštinės matricos paieškos parinktys

Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| - matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.

Determinantas nesunkiai apskaičiuojamas matricai du po du, tereikia elementus padauginti įstrižai vienas iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad produkte nesikartotų elementų stulpelių ir eilučių numeriai.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu

Matricinis sprendimo radimo metodas leidžia sumažinti sudėtingus žymėjimus sprendžiant sistemas su didelis kiekis kintamieji ir lygtys.

Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.

Sistemų sprendimas Gauso metodu

Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemų su daugybe tiesinių lygčių kintamiesiems.

Gauso metodas yra labai panašus į pakeitimo ir algebrinio sudėjimo sprendimus, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas – paversti sistemą apverstos trapecijos forma. Algebrinėmis transformacijomis ir keitimais vieno kintamojo reikšmė randama vienoje iš sistemos lygčių. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 - su atitinkamai 3 ir 4 kintamaisiais.

Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.

7 klasės mokykliniuose vadovėliuose Gauso sprendimo pavyzdys aprašytas taip:

Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje gautos dvi lygtys 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Bet kurios lygties sprendimas leis jums sužinoti vieną iš kintamųjų x n.

Tekste minima 5 teorema teigia, kad jei vieną iš sistemos lygčių pakeisite lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.

Gauso metodą studentams sunku suprasti vidurinė mokykla, bet yra vienas iš labiausiai įdomių būdų ugdyti į matematikos ir fizikos pamokų giluminių studijų programą įtrauktų vaikų išradingumą.

Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:

Lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys reiškia lygčių skaičius sistemoje.

Pirmiausia jie užrašo matricą, su kuria reikia dirbti, tada visus veiksmus, atliekamus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir toliau atliekamos reikiamos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.

Dėl to turėtų būti gauta matrica, kurioje viena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vienos formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su abiejų lygties pusių skaičiais.

Šis žymėjimas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.

Nemokamas bet kokio sprendimo metodo taikymas pareikalaus kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai taikomi. Kai kurie sprendimų paieškos būdai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra mokymosi tikslais.