Kaip konvertuoti išraišką į vienodai lygią. Tapatybės, apibrėžimas, žymėjimas, pavyzdžiai

Tema "Asmens tapatybės įrodymai» 7 klasė (KRO)

Vadovėlis Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Pamokos tikslai

Švietimas:

supažindinti ir iš pradžių įtvirtinti sąvokas „identiški posakiai“, „tapatybė“, „identiškos transformacijos“;

svarstyti tapatybių įrodinėjimo būdus, prisidėti prie tapatybių įrodinėjimo įgūdžių ugdymo;

patikrinti mokinių įsisavintą nagrinėjamą medžiagą, formuoti studijuojamo pritaikymo naujo suvokimui įgūdžius.

Kuriama:

Ugdykite kompetentingą mokinių matematinę kalbą (paturtina ir apsunkina žodynas naudojant specialius matematinius terminus),

lavinti mąstymą,

Ugdomasis: ugdyti darbštumą, tikslumą, pratimų sprendimo fiksavimo teisingumą.

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymasis

Per užsiėmimus

1 . Laiko organizavimas.

Namų darbų tikrinimas.

Klausimai apie namų darbus.

Aptarimas lentoje.

Reikalinga matematika
Be jos neįmanoma
Mes mokome, mokome, draugai,
Ką prisimename ryte?

2 . Padarykime treniruotę.

Papildymo rezultatas. (Suma)

Kiek skaičių žinai? (Dešimt)

Šimtas skaičius. (procentais)

padalijimo rezultatas? (privatus)

Mažiausias natūralusis skaičius? (vienas)

Ar galima dalijant natūraliuosius skaičius gauti nulį? (Ne)

Koks yra didžiausias neigiamas sveikasis skaičius. (-vienas)

Iš kokio skaičiaus negalima padalyti? (0)

Daugybos rezultatas? (Darbas)

Atimties rezultatas. (Skirtumas)

Komutacinė pridėjimo savybė. (Suma nesikeičia keičiant terminų vietas)

Komutacinė daugybos savybė. (Produktas nekinta keičiantis faktorių vietoms)

Studija nauja tema(apibrėžimas su užrašu sąsiuvinyje)

Raskite reiškinių reikšmę x=5 ir y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms 3(x + y) ir 3x + 3y išraiškų reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x + y ir 2xy. Jei x = 1 ir y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Apibrėžimas: Dvi išraiškos, kurių reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškai lygios.

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3 (x + y) ir 3x + 3y galioja bet kurioms x ir y reikšmėms. Tokios lygybės vadinamos tapatybėmis.

Apibrėžimas: Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis. Su tapatybėmis jau susitikome. Tapatybės – tai lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes (Kiekvieną savybę mokiniai komentuoja ištardami).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a (bc)
a(b + c) = ab + ac

Pateikite kitų tapatybių pavyzdžių

Apibrėžimas: Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Jau teko atlikti keletą identiškų transformacijų, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų išplėtimas.

5 . Nr. 691, Nr. 692 (su skliaustų atidarymo, neigiamų ir teigiamų skaičių dauginimo taisyklių tarimu)

Tapatybės, kaip pasirinkti racionalų sprendimą:(darbas priekyje)

6 . Apibendrinant pamoką.

Mokytojas užduoda klausimus, o mokiniai į juos atsako kaip nori.

Kokios dvi išraiškos vadinamos identiškai lygiomis? Pateikite pavyzdžių.

Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite pavyzdį.

Kokias identiškas transformacijas žinote?

7. Namų darbai. Išmokite apibrėžimus, pateikite identiškų posakių pavyzdžių (bent 5), surašykite juos į sąsiuvinį

Šiame straipsnyje pateikiamas inicialas tapatybių samprata. Čia apibrėžiame tapatybę, pristatome naudojamą žymėjimą ir, žinoma, suteikiame įvairių pavyzdžių tapatybes

Puslapio naršymas.

Kas yra tapatybė?

Logiška medžiagos pristatymą pradėti nuo tapatybės apibrėžimai. Yu. N. Makarychevo vadovėlyje 7 klasių algebra tapatybės apibrėžimas pateikiamas taip:

Apibrėžimas.

Tapatybė yra lygybė, teisinga bet kurioms kintamųjų reikšmėms; bet kokia tikroji skaitinė lygybė taip pat yra tapatybė.

Kartu autorius iš karto nurodo, kad ateityje šis apibrėžimas bus patikslintas. Šis patikslinimas vyksta 8 klasėje, susipažinus su priimtinų kintamųjų reikšmių ir ODZ apibrėžimu. Apibrėžimas tampa:

Apibrėžimas.

Tapatybės yra tikrosios skaitinės lygybės, taip pat lygybės, kurios teisingos visoms leistinoms į jas įtrauktų kintamųjų reikšmėms.

Taigi kodėl, apibrėždami tapatybę, 7 klasėje mes kalbame apie bet kokias kintamųjų reikšmes, o 8 klasėje pradedame kalbėti apie kintamųjų reikšmes iš jų DPV? Iki 8 klasės darbas atliekamas tik su sveikųjų skaičių išraiškomis (ypač su vienanariais ir daugianariais), ir jos turi prasmę bet kokioms į juos įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Todėl 7 klasėje sakome, kad tapatybė yra lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms. O 8 klasėje atsiranda išraiškų, kurios jau turi prasmę ne visoms kintamųjų reikšmėms, o tik reikšmėms iš jų ODZ. Todėl pagal tapatybes mes pradedame vadinti lygybes, kurios yra teisingos visoms leistinoms kintamųjų reikšmėms.

Taigi tapatybė yra ypatinga byla lygybė. Tai yra, bet kokia tapatybė yra lygybė. Tačiau ne kiekviena lygybė yra tapatybė, o tik lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms iš jų priimtinų verčių diapazono.

Tapatybės ženklas

Yra žinoma, kad rašant lygybes naudojamas „=“ formos lygybės ženklas, kurio kairėje ir dešinėje yra keletas skaičių ar posakių. Jei prie šio ženklo pridėsime dar vieną horizontalią liniją, gausime tapatybės ženklas„≡“ arba kaip jis dar vadinamas lygybės ženklas.

Tapatybės ženklas dažniausiai naudojamas tik tada, kai reikia pabrėžti, kad prieš mus yra ne tik lygybė, bet būtent tapatybė. Kitais atvejais tapatybių reprezentacijos forma nesiskiria nuo lygybių.

Tapatybės pavyzdžiai

Pats laikas atnešti tapatybių pavyzdžiai. Pirmoje pastraipoje pateiktas tapatybės apibrėžimas mums padės tai padaryti.

Skaitinės lygybės 2=2 yra tapatybių pavyzdžiai, nes šios lygybės yra teisingos, o bet kuri tikroji skaitinė lygybė pagal apibrėžimą yra tapatybė. Jie gali būti parašyti kaip 2≡2 ir .

Formos 2+3=5 ir 7−1=2·3 skaitinės lygybės taip pat yra tapatybės, nes šios lygybės yra teisingos. Tai yra, 2+3≡5 ir 7−1≡2 3 .

Pereikime prie tapatybių pavyzdžių, kurių žymėjime yra ne tik skaičiai, bet ir kintamieji.

Apsvarstykite lygybę 3·(x+1)=3·x+3 . Bet kuriai kintamojo x reikšmei įrašyta lygybė yra teisinga dėl daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, todėl pradinė lygybė yra tapatybės pavyzdys. Štai dar vienas tapatybės pavyzdys: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, čia kintamųjų x ir y priimtinų reikšmių diapazonas yra visos poros (x, y) , kur x ir y yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį.

Bet lygybės x+1=x−1 ir a+2 b=b+2 a nėra tapatybės, nes yra kintamųjų reikšmės, kurioms šios lygybės bus neteisingos. Pavyzdžiui, jei x=2 lygybė x+1=x−1 virsta neteisinga lygybe 2+1=2−1 . Be to, lygybė x+1=x−1 iš viso nepasiekiama jokioms kintamojo x reikšmėms. O lygybė a+2 b=b+2 a virsta neteisinga lygybe, jei imsime bet kurią įvairios reikšmės kintamieji a ir b . Pavyzdžiui, esant a=0 ir b=1, prieisime neteisingą lygybę 0+2 1=1+2 0 . Lygybė |x|=x , kur |x| - kintamasis x , taip pat nėra tapatybė, nes jis nėra teisingas neigiamos reikšmės x .

Žymiausių tapatybių pavyzdžiai yra sin 2 α+cos 2 α=1 ir a log a b =b .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pastebėti, kad studijuodami matematiką nuolat susiduriame su tapatybėmis. Skaičių veiksmų ypatybių įrašai yra tapatybės, pavyzdžiui, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 ir a+(−a)=0 . Be to, tapatybės yra

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: perstačius terminus sumos reikšmė nekinta. Bet kurių skaičių a ir b lygybė yra teisinga

Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: faktorių permutacija nekeičia sandaugos vertės. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Asociatyvi daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo savybė: norėdami skaičių padauginti iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinių ir asociatyvių sudėjimo savybių išplaukia, kad bet kokia suma galite pertvarkyti terminus, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tai išplaukia iš daugybos komutacinių ir asociatyvinių savybių: bet kuriame sandaugoje jūs galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8 0,25 64 0,5.

Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gausime:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Paskirstymo savybė taip pat galioja, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą skaičių atimties daliai:

Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikykime skaičių a ir -b sumą, a + b-c-d formos skaitinę išraišką laikysime skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Tokioms sumoms galioja ir nagrinėjamos veiksmų savybės.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėtines savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -keturi.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36-36=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x+y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, tinkama bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Išraiškų tapatybės transformacijos

Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti tik dviem etapais, naudojant išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška išraiška x(y-z).

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų atidarymas. Prisiminkite šių transformacijų atlikimo taisykles:

norint gauti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Sudėkime panašius terminus į sumą 5x+2x-3x.

Panašių terminų mažinimui naudojame taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

2 pavyzdys Išplėskime skliaustus reiškinyje 2a+(b-3c).

Skliaustų, prieš kuriuos yra pliuso ženklas, atidarymo taisyklės taikymas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Atliekama transformacija remiasi asociatyvine sudėjimo savybe.

3 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje a-(4b-c).

Naudokime taisyklę skliaustų išplėtimui prieš minuso ženklą:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atliekama transformacija remiasi skirstomąją daugybos savybę ir asociatyvinę sudėties savybę. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį šios išraiškos terminą -(4b-c) kaip sandaugą (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami šias veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Studijuodami algebrą susidūrėme su daugianario (pavyzdžiui ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ ir pan.) ir algebrinės trupmenos (pavyzdžiui $\frac(x+5)(x) sąvokomis )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ ir tt) Šių sąvokų panašumas yra tas, kad tiek daugianariuose, tiek algebrinėse trupmenose yra kintamieji ir skaitinės reikšmės, aritmetinės operacijos: sudėtis, atimtis, daugyba, eksponentas. Skirtumas tarp šių sąvokų yra tas, kad padalijimas iš kintamojo nėra atliekamas daugianariuose, o dalijimas iš kintamojo gali būti atliekamas algebrinėmis trupmenomis.

Tiek daugianariai, tiek algebrinės trupmenos matematikoje vadinamos racionaliosiomis algebrinėmis išraiškomis. Tačiau polinomai yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos, o algebrinės trupmenos yra trupmeniškai racionalus posakius.

Galima gauti iš trupmenos - racionali išraiška visas algebrinė išraiška naudojant identišką transformaciją, kuri šiuo atveju bus pagrindinė trupmenos savybė – trupmenų mažinimas. Pažiūrėkime praktiškai:

1 pavyzdys

Transformuoti: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Sprendimas: Konvertuoti duota trupmeninė racionalioji lygtis galima naudojant pagrindinį turtą trupmenos – santrumpos, t.y. skaitiklį ir vardiklį padalijus iš to paties skaičiaus arba išraiškos, išskyrus $0$.

Šios trupmenos iš karto sumažinti negalima, reikia konvertuoti skaitiklį.

Transformuojame išraišką trupmenos skaitiklyje, tam naudojame skirtumo kvadrato formulę: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Trupmena turi formą

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Dabar matome, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra bendras veiksnys - tai išraiška $x-2$, kurioje sumažinsime trupmeną

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po redukavimo gavome, kad pradinė trupmeninė-racionali išraiška $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ tapo daugianario $x-2$, t.y. visai racionalus.

Dabar atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2\ $ gali būti laikomos identiškomis ne visoms kintamojo reikšmėms, nes Kad egzistuotų trupmeninė-racionali išraiška ir kad būtų galima redukuoti daugianario $x-2$, trupmenos vardiklis neturi būti lygus $0$ (taip pat koeficientui, kuriuo sumažiname. šis pavyzdys vardiklis ir daugiklis yra vienodi, bet taip yra ne visada).

Kintamosios reikšmės, kurioms egzistuos algebrinė trupmena, vadinamos galiojančiomis kintamųjų reikšmėmis.

Trupmenos vardikliui pateikiame sąlygą: $x-2≠0$, tada $x≠2$.

Taigi išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2$ yra identiškos visoms kintamojo reikšmėms, išskyrus $2$.

1 apibrėžimas

identiškai lygus išraiškos yra tos, kurios yra lygios visoms galimoms kintamojo reikšmėms.

Identiška transformacija – tai bet koks pradinės išraiškos pakeitimas identiškai lygiaverte. Tokios transformacijos apima šiuos veiksmus: sudėtį, atimtį, daugybą, skliaustus algebrinės trupmenosį bendrą vardiklį, algebrinių trupmenų redukcija, panašių terminų redukcija ir kt. Reikia atsižvelgti į tai, kad daugybė transformacijų, tokių kaip sumažinimas, panašių terminų sumažinimas, gali pakeisti leistinas kintamojo reikšmes.

Tapatybėms įrodyti naudojami metodai

Konvertuokite kairę tapatybės pusę į dešinę arba atvirkščiai naudodami tapatybės transformacijas

Sumažinkite abi dalis iki tos pačios išraiškos naudodami identiškas transformacijas

Perkelkite vienos išraiškos dalies išraiškas į kitą ir įrodykite, kad gautas skirtumas yra lygus $0 $

Kuris iš pirmiau nurodytų metodų naudoti tam tikrai tapatybei įrodyti, priklauso nuo pirminės tapatybės.

2 pavyzdys

Įrodykite tapatybę $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Sprendimas:Šiai tapatybei įrodyti naudojame pirmąjį iš aukščiau paminėtų metodų, ty kairiąją tapatybės pusę transformuosime tol, kol ji bus lygi dešiniajai.

Apsvarstykite kairę tapatybės pusę: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- tai dviejų daugianario skirtumas. Šiuo atveju pirmasis daugianomas yra trijų narių sumos kvadratas. Norėdami kvadratuoti kelių narių sumą, naudojame formulę:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Norėdami tai padaryti, turime padauginti skaičių iš daugianario. Prisiminkite, kad tam turime padauginti skliausteliuose esantį bendrą koeficientą iš kiekvieno daugianario nario skliausteliuose. Tada gauname:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Dabar grįžkite prie pradinio daugianario, jis bus tokia forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Atkreipkite dėmesį, kad prieš skliaustelį yra ženklas „-“, o tai reiškia, kad atidarius skliaustus visi ženklai, kurie buvo skliausteliuose, pasikeičia į priešingus.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jei pateiksime panašius terminus, tai gausime, kad monomai $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ ir $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ vienas kitą panaikina, t.y. jų suma lygi 0 USD.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Taigi identiškais pakeitimais gavome identiška išraiška kairėje originalios tapatybės pusėje

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška rodo, kad pradinė tapatybė yra teisinga.

Atkreipkite dėmesį, kad pradinėje tapatybėje leidžiamos visos kintamojo reikšmės, o tai reiškia, kad tapatybę įrodėme naudodami identiškas transformacijas, ir tai galioja visoms leidžiamoms kintamojo reikšmėms.