Ką reiškia identiškai lygus. Identiškos lygiavertės išraiškos: apibrėžimas, pavyzdžiai

Studijuodami algebrą susidūrėme su daugianario (pavyzdžiui ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ ir pan.) ir algebrinės trupmenos (pavyzdžiui $\frac(x+5)(x) sąvokomis )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ ir tt) Šių sąvokų panašumas yra tas, kad tiek daugianariuose, tiek algebrinėse trupmenose yra kintamieji ir skaitinės reikšmės, aritmetinės operacijos: sudėtis, atimtis, daugyba, eksponentas. Skirtumas tarp šių sąvokų yra tas, kad padalijimas iš kintamojo nėra atliekamas daugianariuose, o dalijimas iš kintamojo gali būti atliekamas algebrinėmis trupmenomis.

Tiek daugianariai, tiek algebrinės trupmenos matematikoje vadinamos racionaliosiomis algebrinėmis išraiškomis. Tačiau polinomai yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos, o algebrinės trupmenos yra trupmeniškai racionalus posakius.

Sveikąjį skaičių galite gauti iš trupmeninės-racionalios išraiškos algebrinė išraiška naudojant identišką transformaciją, kuri šiuo atveju bus pagrindinė trupmenos savybė – trupmenų mažinimas. Pažiūrėkime praktiškai:

1 pavyzdys

Transformuoti: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Sprendimas: Konvertuoti duota trupmeninė racionalioji lygtis galima naudojant pagrindinį turtą trupmenos – santrumpos, t.y. skaitiklį ir vardiklį padalijus iš to paties skaičiaus arba išraiškos, išskyrus $0$.

Šios trupmenos iš karto sumažinti negalima, reikia konvertuoti skaitiklį.

Transformuojame išraišką trupmenos skaitiklyje, tam naudojame skirtumo kvadrato formulę: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Trupmena turi formą

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Dabar matome, kad skaitiklyje ir vardiklyje yra bendras veiksnys - tai išraiška $x-2$, kurioje sumažinsime trupmeną

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Po sumažinimo gauname originalą trupmeninė racionali išraiška$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ tapo daugianario $x-2$, t.y. visai racionalus.

Dabar atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2\ $ gali būti laikomos identiškomis ne visoms kintamojo reikšmėms, nes Kad egzistuotų trupmeninė-racionali išraiška ir kad būtų galima redukuoti daugianario $x-2$, trupmenos vardiklis neturi būti lygus $0$ (taip pat koeficientui, kuriuo sumažiname. šis pavyzdys vardiklis ir daugiklis yra vienodi, bet taip yra ne visada).

Kintamosios reikšmės, kurioms egzistuos algebrinė trupmena, vadinamos galiojančiomis kintamųjų reikšmėmis.

Trupmenos vardikliui pateikiame sąlygą: $x-2≠0$, tada $x≠2$.

Taigi išraiškos $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir $x-2$ yra identiškos visoms kintamojo reikšmėms, išskyrus $2$.

1 apibrėžimas

identiškai lygus Išraiškos yra tos, kurios yra lygios visoms galimoms kintamojo reikšmėms.

Identiška transformacija – tai bet koks pradinės išraiškos pakeitimas identiškai lygiaverte. Tokios transformacijos apima šiuos veiksmus: sudėtį, atimtį, daugybą, skliaustus algebrinės trupmenosį bendrą vardiklį, algebrinių trupmenų redukcija, panašių terminų redukcija ir kt. Reikia atsižvelgti į tai, kad daugybė transformacijų, tokių kaip sumažinimas, panašių terminų sumažinimas, gali pakeisti leistinas kintamojo reikšmes.

Tapatybėms įrodyti naudojami metodai

Konvertuokite kairę tapatybės pusę į dešinę arba atvirkščiai naudodami tapatybės transformacijas

Sumažinkite abi dalis iki tos pačios išraiškos naudodami identiškas transformacijas

Perkelkite vienos išraiškos dalies išraiškas į kitą ir įrodykite, kad gautas skirtumas yra lygus $0 $

Kuris iš pirmiau nurodytų metodų naudoti tam tikrai tapatybei įrodyti, priklauso nuo pirminės tapatybės.

2 pavyzdys

Įrodykite tapatybę $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Sprendimas:Šiai tapatybei įrodyti naudojame pirmąjį iš aukščiau paminėtų metodų, ty kairiąją tapatybės pusę transformuosime tol, kol ji bus lygi dešiniajai.

Apsvarstykite kairę tapatybės pusę: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- tai dviejų daugianario skirtumas. Šiuo atveju pirmasis daugianomas yra trijų narių sumos kvadratas. Norėdami kvadratuoti kelių narių sumą, naudojame formulę:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Norėdami tai padaryti, turime padauginti skaičių iš daugianario. Prisiminkite, kad tam turime padauginti bendrą koeficientą, esantį už skliaustų, iš kiekvieno daugianario nario skliausteliuose. Tada gauname:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Dabar grįžkite prie pradinio daugianario, jis bus tokia forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Atkreipkite dėmesį, kad prieš skliaustelį yra ženklas „-“, o tai reiškia, kad atidarius skliaustus visi ženklai, kurie buvo skliausteliuose, pasikeičia į priešingus.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Jei pateiksime panašius terminus, tai gausime, kad monomai $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ ir $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ vienas kitą panaikina, t.y. jų suma lygi 0 USD.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Taigi, atlikdami identiškas transformacijas, gavome identišką išraišką kairėje pradinės tapatybės pusėje

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška rodo, kad pradinė tapatybė yra teisinga.

Atkreipkite dėmesį, kad pradinėje tapatybėje leidžiamos visos kintamojo reikšmės, o tai reiškia, kad tapatybę įrodėme naudodami identiškas transformacijas, ir tai galioja visoms leidžiamoms kintamojo reikšmėms.

Skaičiai ir išraiškos, sudarantys pradinę išraišką, gali būti pakeisti išraiškomis, kurios yra identiškos jiems. Tokia pradinės išraiškos transformacija veda į išraišką, kuri jai yra identiška.

Pavyzdžiui, reiškinyje 3+x skaičius 3 gali būti pakeistas suma 1+2 , todėl gaunama išraiška (1+2)+x , kuri yra identiška pradinei išraiškai. Kitas pavyzdys: reiškinyje 1+a 5 laipsnio a 5 laipsnį galima pakeisti jam identiškai lygiaverte sandauga, pavyzdžiui, formos a·a 4 . Taip gausime išraišką 1+a·a 4 .

Ši transformacija neabejotinai yra dirbtinė ir dažniausiai yra pasiruošimas tam tikram tolimesniam pokyčiui. Pavyzdžiui, sumoje 4·x 3 +2·x 2 , atsižvelgiant į laipsnio savybes, terminas 4·x 3 gali būti pavaizduotas sandauga 2·x 2 ·2·x . Po tokios transformacijos pradinė išraiška bus 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Akivaizdu, kad terminai gautoje sumoje turi bendrą koeficientą 2 x 2, todėl galime atlikti tokią transformaciją – skliausteliuose. Po jo prieisime prie išraiškos: 2 x 2 (2 x+1) .

To paties skaičiaus pridėjimas ir atėmimas

Kita dirbtinė išraiškos transformacija yra to paties skaičiaus ar išraiškos pridėjimas ir atėmimas tuo pačiu metu. Tokia transformacija yra identiška, nes iš tikrųjų ji prilygsta nulio pridėjimui, o pridėjus nulį reikšmės nekeičiama.

Apsvarstykite pavyzdį. Paimkime išraišką x 2 +2 x . Jei prie jo pridėsite vieną, o kitą atimsite, tai leis ateityje atlikti dar vieną identišką transformaciją - pasirinkite dvinario kvadratą: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliografija.

• Algebra: vadovėlis 7 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 17 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 240 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: vadovėlis 8 ląstelėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M. : Švietimas, 2008. - 271 p. : nesveikas. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 7 klasė. 14 val. 1 dalis. Mokinio vadovėlis švietimo įstaigos/ A. G. Mordkovičius. - 17 leidimas, pridėti. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-02432-3.

Pagrindinės skaičių sudėties ir daugybos savybės.

Komutacinė sudėjimo savybė: perstačius terminus sumos reikšmė nekinta. Bet kurių skaičių a ir b lygybė yra teisinga

Asociatyvi sudėjimo savybė: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų skaičių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Komutacinė daugybos savybė: faktorių permutacija nekeičia sandaugos vertės. Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Asociatyvi daugybos savybė: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos.

Bet kurių skaičių a, b ir c lygybė yra teisinga

Paskirstymo savybė: norėdami skaičių padauginti iš sumos, galite padauginti tą skaičių iš kiekvieno termino ir pridėti rezultatus. Bet kokiems skaičiams a, b ir c lygybė yra teisinga

Iš komutacinių ir asociatyvių sudėjimo savybių išplaukia, kad bet kokia suma galite pertvarkyti terminus, kaip jums patinka, ir savavališkai sujungti juos į grupes.

1 pavyzdys Apskaičiuokime sumą 1,23+13,5+4,27.

Norėdami tai padaryti, patogu derinti pirmąjį terminą su trečiuoju. Mes gauname:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tai išplaukia iš daugybos komutacinių ir asociatyvinių savybių: bet kuriame sandaugoje jūs galite bet kokiu būdu pertvarkyti veiksnius ir savavališkai sujungti juos į grupes.

2 pavyzdys Raskime sandaugos vertę 1,8 0,25 64 0,5.

Sujungę pirmąjį veiksnį su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, gausime:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Paskirstymo savybė taip pat galioja, kai skaičius padauginamas iš trijų ar daugiau narių sumos.

Pavyzdžiui, bet kurių skaičių a, b, c ir d lygybė yra teisinga

a(b+c+d)=ab+ac+skelbimas.

Žinome, kad atimtį galima pakeisti pridėjimu, pridedant prie minuend priešingą skaičių atimties daliai:

Tai leidžia pateikti skaitinę išraišką tipas a-b laikykime skaičių a ir -b sumą, a + b-c-d formos skaitinę išraišką laikysime skaičių a, b, -c, -d ir tt suma. Tokioms sumoms galioja ir nagrinėjamos veiksmų savybės.

3 pavyzdys Raskime reiškinio reikšmę 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ši išraiška yra skaičių 3,27, -6,5, -2,5 ir 1,73 suma. Pritaikius sudėtines savybes, gauname: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4 pavyzdys Apskaičiuokime sandaugą 36·().

Daugiklis gali būti laikomas skaičių ir - suma. Naudodami daugybos skirstomąją savybę, gauname:

36()=36-36=9-10=-1.

Tapatybės

Apibrėžimas. Dvi išraiškos, kurių atitinkamos reikšmės yra lygios bet kuriai kintamųjų vertei, laikomos identiškomis.

Apibrėžimas. Lygybė, kuri galioja bet kurioms kintamųjų reikšmėms, vadinama tapatybe.

Raskime reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmes, kai x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Gavome tą patį rezultatą. Iš paskirstymo savybės išplaukia, kad apskritai bet kurioms kintamųjų reikšmėms atitinkamos reiškinių 3(x+y) ir 3x+3y reikšmės yra lygios.

Dabar apsvarstykite išraiškas 2x+y ir 2xy. Jei x = 1, y = 2, jie turi vienodas reikšmes:

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes taip, kad šių išraiškų reikšmės nebūtų lygios. Pavyzdžiui, jei x = 3, y = 4, tada

Išraiškos 3(x+y) ir 3x+3y yra vienodos, tačiau išraiškos 2x+y ir 2xy nėra identiškai lygios.

Lygybė 3(x+y)=x+3y, tinkama bet kurioms x ir y reikšmėms, yra tapatybė.

Tikrosios skaitinės lygybės taip pat laikomos tapatybėmis.

Taigi tapatybės yra lygybės, išreiškiančios pagrindines veiksmų su skaičiais savybes:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Galima pateikti kitų tapatybių pavyzdžių:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Išraiškų tapatybės transformacijos

Vadinamas vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte tapatybės transformacija arba tiesiog konvertuojant išraišką.

Posakių su kintamaisiais tapatumo transformacijos atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Norėdami rasti išraiškos xy-xz reikšmę, atsižvelgiant į x, y, z reikšmes, turite atlikti tris veiksmus. Pavyzdžiui, kai x=2.3, y=0.8, z=0.2 gauname:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šį rezultatą galima gauti tik dviem etapais, naudojant išraišką x(y-z), kuri yra identiška išraiškai xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Supaprastinome skaičiavimus, pakeitę išraišką xy-xz identiška lygiavertė išraiška x(y-z).

Išraiškų tapatybės transformacijos plačiai naudojamos skaičiuojant išraiškų reikšmes ir sprendžiant kitas problemas. Kai kurios identiškos transformacijos jau buvo atliktos, pavyzdžiui, panašių terminų sumažinimas, skliaustų atidarymas. Prisiminkite šių transformacijų atlikimo taisykles:

norint atvesti panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir rezultatą padauginti iš bendrosios raidės dalies;

jei prieš skliaustus yra pliuso ženklas, tada skliaustus galima praleisti, išsaugant kiekvieno termino ženklą skliausteliuose;

jei prieš skliaustus yra minuso ženklas, tai skliaustus galima praleisti pakeitus kiekvieno skliausteliuose esančio termino ženklą.

1 pavyzdys Sudėkime panašius terminus į sumą 5x+2x-3x.

Panašių terminų mažinimui naudojame taisyklę:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ši transformacija grindžiama daugybos paskirstymo savybe.

2 pavyzdys Išplėskime skliaustus reiškinyje 2a+(b-3c).

Skliaustų, prieš kuriuos yra pliuso ženklas, atidarymo taisyklės taikymas:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Atliekama transformacija remiasi asociatyvine sudėjimo savybe.

3 pavyzdys Išplėskime skliaustus išraiškoje a-(4b-c).

Naudokime taisyklę skliaustų išplėtimui prieš minuso ženklą:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Atliekama transformacija remiasi skirstomąją daugybos savybę ir asociatyvinę sudėties savybę. Parodykime. Pavaizduokime antrąjį šios išraiškos terminą -(4b-c) kaip sandaugą (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Taikydami šias veiksmų savybes, gauname:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Tapatybės išraiškos, tapatybė. Išraiškos tapatumo transformacija. Asmens tapatybės įrodymai

Raskime reiškinių 2(x - 1) 2x - 2 reikšmes nurodytoms kintamojo x reikšmėms. Rezultatus rašome į lentelę:

Galima daryti išvadą, kad reiškinių reikšmės 2(x - 1) 2x - 2 kiekvienam duota vertė kintamieji x yra lygūs vienas kitam. Pagal skirstomąją daugybos savybę atimties atžvilgiu 2(x - 1) = 2x - 2. Todėl bet kuriai kitai kintamojo x reikšmei išraiškos 2(x - 1) 2x - 2 reikšmė taip pat bus lygūs vienas kitam. Tokios išraiškos vadinamos identiškai lygiomis.

Pavyzdžiui, išraiškos 2x + 3x ir 5x yra sinonimai, nes kiekvienai kintamojo x vertei šios išraiškos įgyja tos pačios vertybės(tai išplaukia iš daugybos skirstomosios savybės sudėjimo atžvilgiu, nes 2x + 3x = 5x).

Dabar apsvarstykite išraiškas 3x + 2y ir 5xy. Jei x \u003d 1 ir b \u003d 1, tada atitinkamos šių išraiškų reikšmės yra lygios viena kitai:

3x + 2y \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Tačiau galite nurodyti x ir y reikšmes, kurių šių išraiškų reikšmės nebus lygios viena kitai. Pavyzdžiui, jei x = 2; y = 0, tada

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Vadinasi, yra tokios kintamųjų reikšmės, kurioms atitinkamos reiškinių 3x + 2y ir 5xy reikšmės nėra lygios viena kitai. Todėl išraiškos 3x + 2y ir 5xy nėra identiškos.

Remiantis tuo, kas išdėstyta pirmiau, tapatybės, visų pirma, yra lygybės: 2(x - 1) = 2x - 2 ir 2x + 3x = 5x.

Tapatybė yra kiekviena lygybė, kuri yra parašyta žinomos savybės veiksmai su skaičiais. Pavyzdžiui,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Taip pat yra tokios lygybės kaip tapatybės:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Jei reiškinyje -5x + 2x - 9 sumažinsime panašius terminus, gausime 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Šiuo atveju sakoma, kad išraiška 5x + 2x - 9 buvo pakeista išraiška 7x - 9, kuris yra identiškas.

Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos taikant operacijų su skaičiais savybes. Visų pirma, identiškos transformacijos su skliaustų atidarymu, panašių terminų konstravimas ir panašiai.

Supaprastinant išraišką reikia atlikti identiškas transformacijas, tai yra pakeičiant kurią nors išraišką jai identiškai lygiaverte išraiška, kuri turėtų būti trumpesnė.

1 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 min;

2) 2 (3x4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Norint įrodyti, kad lygybė yra tapatybė (kitaip tariant, norint įrodyti tapatybę, naudojamos išraiškų tapatybės transformacijos.

Tapatybę galite įrodyti vienu iš šių būdų:

• atlikti identiškas kairiosios pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki dešinės pusės;
• atlikti identiškas dešinės pusės transformacijas, taip sumažinant ją iki kairiosios pusės;
• atlikti identiškas abiejų jo dalių transformacijas, taip pakeliant abi dalis į tas pačias išraiškas.

2 pavyzdys. Įrodykite tapatybę:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 – 4a = 5 (2a – 3b) – 7 (2a – 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Vystymas

1) Transformuokime kairiąją šios lygybės pusę:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Identiškais pakeitimais kairėje lygybės pusėje esanti išraiška buvo sumažinta iki dešinės pusės ir taip įrodė, kad ši lygybė yra tapatybė.

2) Transformuokime dešinę šios lygybės pusę:

5(2a – 3b) – 7(2a – 5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Identiškomis transformacijomis dešinė lygybės pusė buvo redukuota į kairiosios pusės formą ir taip įrodyta, kad ši lygybė yra tapatybė.

3) Šiuo atveju patogu supaprastinti tiek kairę, tiek dešinę lygybės dalis ir palyginti rezultatus:

2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Identiškomis transformacijomis kairioji ir dešinioji lygybės dalys buvo sumažintos iki vienodos formos: 26x - 44. Todėl ši lygybė yra tapatybė.

Kokios išraiškos vadinamos tapačiomis? Pateikite identiškų posakių pavyzdį. Kokia lygybė vadinama tapatybe? Pateikite tapatybės pavyzdį. Kas vadinama išraiškos tapatumo transformacija? Kaip įrodyti tapatybę?

1. (Žodžiu) Arba yra vienodų posakių:

1) 2a + a ir 3a;

2) 7x + 6 ir 6 + 7x;

3) x + x + x ir x 3;

4) 2 (x - 2) ir 2x - 4;

5) m - n ir n - m;

6) 2a ∙ r ir 2p ∙ a?

1. Ar išraiškos yra vienodos:

1) 7x - 2x ir 5x;

2) 5a – 4 ir 4 – 5a;

3) 4m + n ir n + 4m;

4) a + a ir a 2;

5) 3 (a – 4) ir 3a – 12;

6) 5m ∙ n ir 5m + n?

1. (Žodžiu) Ar lygybės tapatybė:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3 (x - y) = 3x - 5y?

1. Atidaryti skliaustelį:

1. Atidaryti skliaustelį:

1. Sumažinti panašių terminų skaičių:

1. Pavadinkite keletą išraiškų, kurios yra identiškos 2a + 3a išraiškoms.
2. Supaprastinkite išraišką naudodami permutuojančias ir jungiamąsias daugybos savybes:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. Supaprastinkite išraišką:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 m);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Žodinis) Supaprastinkite posakį:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Sumažinti panašių terminų skaičių:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5 - 7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5x - 7) + 3x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p – 7) – 2(g – 3);

4) -(3m - 5) + 2 (3m - 7).

1. Atidarykite skliaustus ir sumažinkite panašius terminus:

1) 3 (8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m - 7) - (15 m - 2).

1) 0,6x + 0,4 (x - 20), jei x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, jei a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), jei m = -3,7;

4) 2x - 3 (x + y) + 4y, jei x = -1, y = 1.

1. Supaprastinkite išraišką ir suraskite jos vertę:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), jei x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, jei v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), jei a = -1;

4) 5 (m - n) - 4m + 7n, jei m = 1,8; n = -0,9.

1. Įrodykite tapatybę:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2 (x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

1. Įrodykite tapatybę:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7 (2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

1. Vienos iš trikampio kraštinių ilgis yra cm, o kiekvienos iš kitų dviejų kraštinių ilgis yra 2 cm didesnis už jį. Parašykite trikampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.
2. Stačiakampio plotis x cm, o ilgis 3 cm didesnis už plotį. Parašykite stačiakampio perimetrą kaip išraišką ir supaprastinkite išraišką.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Išplėskite skliaustus ir supaprastinkite išraišką:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a - 1b).

1. Įrodykite tapatybę:

1) 10x – (-(5x + 20)) = 5 (3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3 (a - b - c) + 5 (a - b) + 3c = 8 (a - b).

1. Įrodykite tapatybę:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Įrodykite, kad išraiškos reikšmė

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) nepriklauso nuo kintamojo reikšmės.

1. Įrodykite, kad bet kurios kintamojo reikšmės išraiškos reikšmė

a – (a – (5a + 2)) – 5 (a – 8)

yra tas pats numeris.

1. Įrodykite, kad trijų iš eilės einančių lyginių skaičių suma dalijasi iš 6.
2. Įrodykite, kad jei n yra natūralusis skaičius, tai reiškinio -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) reikšmė yra lyginis skaičius.

Pratimai kartoti

1. 1,6 kg sveriančiame lydinyje yra 15% vario. Kiek kg vario yra šiame lydinyje?
2. Kiek procentų yra jo skaičius 20:

1) kvadratas;

1. Turistas vaikščiojo 2 valandas, o dviračiu važiavo 3 valandas. Iš viso turistas įveikė 56 km. Raskite greitį, kuriuo turistas važiavo dviračiu, jei jis yra 12 km/h didesnis už greitį, kuriuo jis ėjo.

Įdomios užduotys tingiems mokiniams

1. Miesto futbolo čempionate dalyvauja 11 komandų. Kiekviena komanda žaidžia po vienerias rungtynes ​​su kitomis. Įrodykite, kad bet kuriuo varžybų momentu yra komanda, sužaidusi lyginį skaičių rungtynių arba dar nežaidusi.