Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių formų yra piramidė. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime piramides, tiek pilnas, tiek sutrumpintas.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramidės, todėl gerai parodyta, kokia figūra bus aptariama. Nepaisant to, Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Nagrinėjamas geometrinis objektas bendruoju atveju yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su kokiu nors pagrindinei plokštumai nepriklausančiu erdvės tašku. Šis apibrėžimas veda į figūrą, susidedančią iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2*n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygčiai:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Daugiakampis, esantis prie pagrindo, suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingi pagrindai parodyta žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame sujungti n figūros trikampiai, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuleistas nuo jo iki pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdyta, yra pasvirusi piramidė.

Tiesi figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingąja.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudojame integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą sekantinėmis plokštumomis, lygiagrečiomis pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota keturkampė piramidė, kurios aukštis h ir kraštinės ilgis L, kurioje keturkampis žymi plonas sluoksnis skyriuose.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Čia A 0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0 .

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Pakeitę priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norint rasti V reikšmę, pakanka padauginti figūros aukštį iš pagrindo ploto, o tada padalyti rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant savavališko tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Gauta aukščiau esančioje pastraipoje bendroji formulė tūriui galima nurodyti piramidės atveju su teisingas pagrindas. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė sukuria tokią išraišką:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √ 3 / 12 * L 2 * h.

Už teisingą keturkampė piramidė tūrio formulė yra tokia:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * val.

Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrius, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.

Piramidė sutrumpinta

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjovėme jos šoninio paviršiaus dalį, kurioje yra viršūnė. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada formuojama nupjauta piramidė su lygiagrečiomis panašiomis bazėmis. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kito ilgius iš kokio nors koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas, matyti, kad jo viršutinis pagrindas, kaip ir apatinis, suformuotas taisyklingo šešiakampio.

Formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į aukščiau pateiktą, yra:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas įkūrė tikslūs matmenys Cheopso piramidė. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis ilgis kiekviena iš keturių konstrukcijos kraštų buvo 230,363 metro. Piramidės pagrindas yra kvadratinis su dideliu tikslumu.

Pateiktais skaičiais nustatykime šio akmens milžino tūrį. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Sujungę skaičius, gauname:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris yra beveik 2,6 milijono m 3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, prireiks daugiau nei 1000 tokių baseinų!

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazė ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidė vadinama šoninio paviršiaus puse, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršūnės iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotema . įstrižainė Piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė vadinama visų šoninių paviršių plotų suma. plotas viso paviršiaus yra visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į šalia pagrindo esančio apskritimo centrą.

2. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, esančio šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, formulė yra teisinga:

kur V- tūris;

S pagrindinis- bazinis plotas;

H yra piramidės aukštis.

Įprastai piramidei galioja šios formulės:

kur p- pagrindo perimetras;

h a- apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S pagrindinis- bazinis plotas;

V yra taisyklingos piramidės tūris.

nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagreti piramidės pagrindui (17 pav.). Teisinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalimi, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pamatai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai - trapecijos formos. Aukštis Nupjauta piramidė vadinamas atstumu tarp jos pagrindų. Įstrižainė Nupjautoji piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. įstrižainė Nupjautos piramidės atkarpa vadinama plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja formulės:

(4)

kur S 1 , S 2 - viršutinio ir apatinio pagrindo sritys;

S pilnas yra bendras paviršiaus plotas;

S pusė yra šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V yra nupjautinės piramidės tūris.

Įprastai sutrumpintai piramidei galioja ši formulė:

kur p 1 , p 2 - baziniai perimetrai;

h a- taisyklingos nupjautos piramidės apotema.

1 pavyzdys Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad pagrindas yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo - tai piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas bus kampas a tarp dviejų statmenų: t.y. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apibrėžtojo apskritimo centras ir įbrėžtas apskritimas trikampyje ABC). Šoninio šonkaulio pasvirimo kampas (pvz SB) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindinę plokštumą. Dėl šonkaulio SBšis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir OB. Tegul segmento ilgis BD yra 3 bet. taškas APIE skyrius BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės yra cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norint rasti pagrindų plotus, reikia rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai 2 cm ir 8 cm Tai reiškia pagrindų plotus ir Pakeitę visus duomenis į formulę, apskaičiuojame nupjautinės piramidės tūrį:

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindo kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindus ir aukštį. Pagrindai pateikti pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Surask iš kur BET 1 E statmenai nuo taško BET 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D- statmenai nuo BET 1 ant AC. BET 1 E\u003d 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Už radimą DE darysime papildomą brėžinį, kuriame pavaizduosime vaizdą iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE- viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai yra įbrėžto apskritimo spindulys ir OM yra įbrėžto apskritimo spindulys:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai bet Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD yra lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Panaudokime teiginį, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE- viršūnių projekcija S piramidės pagrinde. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį bazinę plokštumą. Pagal teoremą apie plokščios figūros ortogonaliosios projekcijos plotą gauname:

Panašiai tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubrėžkite trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE yra į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Pagal Pitagoro teoremą turime

• 09.10.2014

  Paveikslėlyje parodytas pirminis stiprintuvas skirtas naudoti su 4 tipų garso šaltiniais, tokiais kaip mikrofonas, CD grotuvas, radijo magnetofonas ir kt. Tuo pačiu metu pirminis stiprintuvas turi vieną įėjimą, kuris gali keisti jautrumą nuo 50mV iki 500mV. . stiprintuvo išėjimo įtampa yra 1000mV. Jungiamasi skirtingų šaltinių signalą perjungdami jungiklį SA1, visada gausime ...

• 20.09.2014

  PSU skirtas 15 ... 20 vatų galios apkrovai. Šaltinis pagamintas pagal vieno ciklo impulsinio aukšto dažnio keitiklio schemą. Ant tranzistoriaus sumontuotas osciliatorius, veikiantis 20 ... 40 kHz dažniu. Dažnis reguliuojamas talpa C5. Elementai VD5, VD6 ir C6 sudaro osciliatoriaus paleidimo grandinę. Antrinėje grandinėje, po tilto lygintuvo, ant mikroschemos yra įprastas linijinis stabilizatorius, kuris leidžia turėti ...

• 28.09.2014

  Paveikslėlyje parodytas K174XA11 lusto generatorius, kurio dažnį valdo įtampa. Pakeitus talpą C1 nuo 560 iki 4700pF, galima gauti platų dažnių diapazoną, o dažnis reguliuojamas keičiant varžą R4. Pavyzdžiui, autorius išsiaiškino, kad esant C1 \u003d 560pF, generatoriaus dažnį galima pakeisti naudojant R4 nuo 600 Hz iki 200 kHz, ...

• 03.10.2014

  Įrenginys skirtas maitinti galingą ULF, jis skirtas ± 27 V išėjimo įtampai, todėl kiekvienai rankai apkrauna iki 3 A. PSU yra dvipolis, pagamintas iš sudėtinių tranzistorių KT825-KT827. Abi stabilizatoriaus petys pagamintos pagal tą pačią schemą, tačiau kitoje rankoje (ji nerodoma) keičiamas kondensatorių poliškumas ir naudojami kitos tranzistoriai ...