namai > Abrazyvai

Pateikiamas kvadratinės lygties šaknų radimo algoritmas. Sudarykime kvadratinės lygties sprendimo algoritmą

1. Raskite diskriminantą D pagal formulę D = -4ac.

2. Jei D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Jei D=0, tai lygtis turi vieną šaknį:

4. Jei D>0, tai lygtis turi dvi šaknis:

Dabar pradėkime spręsti mūsų lygtį 3 -10x+3=0,

kur = 3, b = -10 ir c = 3.

Raskite diskriminantą:

D = -4*3*3=64

Kadangi D>0, tada ši lygtis turi dvi šaknis. Mes juos randame:

; .

Taigi, daugianario šaknys f(x)=3 -10+3 bus skaičiai 3 ir .

Hornerio schema

Hornerio schema(arba Hornerio taisyklė, Hornerio metodas) – daugianario reikšmės skaičiavimo algoritmas, parašytas kaip daugianario (monomo) suma, esant tam tikrai kintamojo reikšmei. . Ji savo ruožtu padeda mums išsiaiškinti, ar skaičius yra tam tikro daugianario šaknis, ar ne.

Pirmiausia apsvarstykite, kaip padalijamas daugianomas f(x) į dvinarį g(x).

Tai galima parašyti taip: f(x):g(x)=n(x), kur f(x)- dividendas, g(x)- daliklis a n(x)- privatus.

Tačiau tuo atveju, kai f(x) nedalomas iš g(x) yra bendras išraiškos žymėjimas

Čia laipsnis r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Apsvarstykite galimybę padalyti daugianarį iš dvejetainio. Leisti būti

,

Mes gauname

Kur r yra skaičius, nes r laipsnis turi būti mažesnis už (x-c) laipsnį.

Padauginkime s(x) užsiimk ir gauk

Taigi dalijant iš dvinario, iš gautų formulių galima nustatyti dalinio koeficientus. Toks koeficientų nustatymo būdas vadinamas Hornerio schema.

...
+ ...
c ... r

Dabar pažvelkime į keletą Hornerio schemos taikymo pavyzdžių.

Pavyzdys. Atlikite daugianario padalijimą f(x)= ant x+3.

Sprendimas. Pradžioje būtina rašyti x+3) kaip ( x-(-3)), kadangi pačioje schemoje dalyvaus lygiai -3. Viršutinėje eilutėje rašysime koeficientus, apatinėje - veiksmų rezultatą.


f(x)=(x-2)(1)+16.

Šaknų paieška pagal Hornerio schemą. Šaknų tipai

Pagal Hornerio schemą galima rasti sveikąsias daugianario šaknis f(x). Pažvelkime į tai su pavyzdžiu.

Pavyzdys. Raskite visas daugianario sveikąsias šaknis f(x)= , naudojant Hornerio schemą.

Sprendimas.Šio daugianario koeficientai yra sveikieji skaičiai. Koeficientas prieš aukščiausią laipsnį (mūsų atveju prieš) yra lygus vienetui. Todėl tarp laisvojo nario daliklių (turime 15) ieškosime sveikųjų daugianario šaknų, tai yra skaičiai:

Pradėkime nuo skaičiaus 1.

1 lentelė

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38

Iš gautos lentelės matyti, kad =1 daugianario daugianario f(x)= , mes gavome likutį r=192, o ne 0, o tai reiškia, kad vienetas nėra šaknis. Todėl mes tęsiame patikrinimą ties =-1. Norėdami tai padaryti, nekursime naujos lentelės, o tęsime senąją ir išbrauksime nebereikalingus duomenis.

2 lentelė

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22

Kaip matome iš lentelės, paskutinis langelis pasirodė lygus nuliui, o tai reiškia, kad r=0. Vadinasi? skaičius -1 yra šio daugianario šaknis. Mūsų daugianario daugianario dalijimas f(x)= ant ()=x+1 gavome daugianarį

f(x)=(x+1)(),

koeficientus, kuriems paėmėme iš trečios lentelės Nr.2 eilutės.

Taip pat galime padaryti lygiavertį užrašą

(x+1)(). Pažymėkite jį (1)

Dabar reikia tęsti sveikųjų skaičių šaknų paiešką, bet tik dabar jau ieškosime daugianario šaknų. Šių šaknų ieškosime tarp laisvojo daugianario termino, skaičiaus 45.

Dar kartą patikrinkime skaičių -1.

3 lentelė

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22

Taigi skaičius -1 yra daugianario šaknis, jį galima parašyti kaip

Atsižvelgdami į lygybę (2), lygybę (1) galime parašyti tokia forma

Dabar mes ieškome daugianario šaknų, vėlgi tarp laisvojo termino daliklių. Dar kartą patikrinkime skaičių -1.

Lentelė Nr.4

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21

Pagal lentelę matome, kad skaičius -1 yra daugianario šaknis.

Atsižvelgiant į (3*), lygybę (2*) galime perrašyti taip:

Dabar ieškosime šaknies . Vėl pažvelgsime į laisvojo termino daliklius. Vėl pradėkime tikrinti nuo skaičiaus -1.

5 lentelė

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19

Gavome liekaną, kuri nėra lygi nuliui, o tai reiškia, kad skaičius -1 nėra daugianario šaknis. Patikrinkime kitą skaičių 1.

Lentelė Nr.6

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21

Ir matome, kad vėl netelpa, liekana r(x) = 24. Imame naują skaičių.

Patikrinkime skaičių 3.

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15

7 lentelė

r(x)= 0, tai reiškia, kad skaičius 3 yra daugianario šaknis, šį daugianarį galime parašyti taip:

=(x-3)( )

Atsižvelgdami į gautą išraišką, lygybę (5) galime parašyti taip:

(x-3)( ) (6)

Dabar patikrinkime daugianarį

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+

Lentelė Nr.8

Remdamiesi lentele matome, kad skaičius 3 yra daugianario šaknis . Dabar parašykime taip:

Rašome lygybę (5*), atsižvelgdami į gautą išraišką, taip:

(x-3)()= = .

Raskite dvinario šaknį tarp laisvojo termino daliklių.

Paimkime skaičių 5

Lentelė Nr.9

-21 -20
+ -18 -38
-18 -38
+ -1 -1 -2 -69 -45
-1 -22
+ -1 -24 -45
-1 -22
+ -1 -45
-1 -1 -21
+ -1
-1 -2 -19
+ -21
-21
+ -45
-15
+
+ -5
-5

r(x)=0, taigi 5 yra dvinario šaknis.

Taigi, galime rašyti

Sprendimas šis pavyzdys bus 8 lentelė.

Kaip matyti iš lentelės, skaičiai -1; 3; 5 yra daugianario šaknys.

Dabar eikime tiesiai į šaknų tipai.

1 yra trečiojo laipsnio šaknis, nes skliaustas (x + 1) yra trečiajame laipsnyje;

3- antrojo laipsnio šaknis, antrojo laipsnio skliaustelė (x-3);

5 yra pirmojo laipsnio šaknis arba, kitaip tariant, paprastas.

Svarbios pastabos!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių naudingas šaltinis dėl

Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiojo (ar didesnio) laipsnio.

Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį.

Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą.

1 pavyzdys

Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš

Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka

Dabar tai galime tvirtai pasakyti duota lygtis yra kvadratas!

2 pavyzdys

Padauginkite kairę ir dešinę puses iš:

Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas!

3 pavyzdys

Padauginkime viską iš:

Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys

Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę:

Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis!

Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

  1. kvadratas;
  2. kvadratas;
  3. ne kvadratas;
  4. ne kvadratas;
  5. ne kvadratas;
  6. kvadratas;
  7. ne kvadratas;
  8. kvadratas.

Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus:

  • Užbaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientai ir, kaip ir laisvasis terminas c, nėra lygūs nuliui (kaip pavyzdyje). Be to, tarp pilnųjų kvadratinių lygčių yra duota yra lygtys, kuriose koeficientas (lygtis iš pirmojo pavyzdžio yra ne tik baigta, bet ir sumažinta!)
  • Nebaigtos kvadratinės lygtys- lygtys, kuriose koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

    Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis.

Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau.

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas

Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės!

Neišsamios kvadratinės lygtys yra šių tipų:

  1. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
  2. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.
  3. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

1. i. Kadangi mes žinome, kaip išgauti Kvadratinė šaknis, tada išreikškime iš šios lygties

Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių.

Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!!

6 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ach! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų!

Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies.
8 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia apsieisime be pavyzdžių.

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas

Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur

Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktas.

Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Likę metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.

Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių.

Jei, tada lygtis turi šaknį Ypatingas dėmesys nubrėžti žingsnį. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių.

  • Jei, tada žingsnyje esanti formulė bus sumažinta iki. Taigi lygtis turės tik šaknį.
  • Jei, tada veiksme negalėsime išgauti diskriminanto šaknies. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 veiksmas

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti.

2 žingsnis

Raskite diskriminantą:

Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra.

Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus.

Atsakymas: jokių šaknų

2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.

Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus):

Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą:

Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygus, o šaknų sandauga yra lygi.

12 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes .

Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį:

O produktas yra:

Sukurkime ir išspręskime sistemą:

  • Ir. Suma yra;
  • Ir. Suma yra;
  • Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Išspręskite lygtį

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Atsakymas:

Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to.

Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, bet - nemokamas narys.

Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks.

Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni.

Galima išskirti šiuos lygčių tipus:

I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs.

II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Štai kodėl:

jei, tai lygtis neturi sprendinių;

jei turime dvi šaknis

Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis

jokių šaknų.

Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:

Produktas lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių nulis. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis:

Atsakymas:

Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminantas

Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti nesunku, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas.

Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių.

  • Jei, tada lygtis turi šaknį:
  • Jei, tada lygtis turi tą pačią šaknį, bet iš tikrųjų vieną šaknį:

    Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis.

  • Jei, tada diskriminanto šaknis nėra išgaunama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl yra skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė:

Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su x ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršūnė guli ant ašies) arba dviejuose taškuose.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Tai reiškia, kad sprendimų nėra.

Atsakymas:.

2. Vietos teorema

Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu.

Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys ().

Pažvelkime į kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; .

Lygties šaknų suma yra tokia:

O produktas yra:

Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi:

  • Ir. Suma yra;
  • Ir. Suma yra;
  • Ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi ir yra mūsų lygties šaknys.

Atsakymas: ; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi:

ir: duoti iš viso.

ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: o juk ir darbą.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai.

Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas lygus:

ir: jų skirtumas yra - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama.

Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Lygtis sumažinama, o tai reiškia:

Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės.

Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi:

Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir.

Atsakymas:

Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą.

Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema:

Savarankiško darbo užduočių sprendimai:

Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Pagal Vietos teoremą:

Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės:

Netinka, nes kiekis;

: suma yra tokia, kokios jums reikia.

Atsakymas: ; .

2 užduotis.

Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga lygi.

Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso).

Atsakymas: ; .

3 užduotis.

Hmm... Kur tai yra?

Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį:

Šaknų suma lygi sandaugai.

Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia pirminį koeficientą padaryti lygų:

gerai. Tada šaknų suma lygi, o sandauga.

Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją).

Atsakymas: ; .

4 užduotis.

Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi.

Atsakymas: ; .

5 užduotis.

Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį:

Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turi būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis.

Atsakymas: ; .

Leiskite man apibendrinti:
  1. Vietos teorema naudojama tik duotose kvadratinėse lygtyse.
  2. Naudojant Vieta teoremą, galima rasti šaknis pagal atranką, žodžiu.
  3. Jei lygtis nepateikta arba nerasta tinkamos laisvojo termino faktorių poros, tai sveikųjų skaičių šaknų nėra ir ją reikia išspręsti kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą).

3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas

Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra vaizduojami kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių – sumos arba skirtumo kvadratu, tai pasikeitus kintamiesiems, lygtis gali būti vaizduojama kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis.

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas:

Atsakymas:

IN bendras vaizdas transformacija atrodys taip:

Tai reiškia:.

Ar tai nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė.

Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys.

Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: .

Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui:

  • jei koeficientas, lygtis turi tokią formą: ,
  • jei laisvasis terminas, lygtis turi tokią formą: ,
  • jei ir, lygtis turi tokią formą: .

1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas

1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išreikškite nežinomybę: ,

2) Patikrinkite išraiškos ženklą:

  • jei, tada lygtis neturi sprendinių,
  • jei, tai lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: ,

2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: .

2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur

2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą

1) Pateikiame lygtį į standartinis vaizdas: ,

2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

  • jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
  • jei, tada lygtis turi šaknį, kuri randama pagal formulę:
  • jei, tai lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , bet.

2.3. Pilno kvadrato sprendimas

Jei formos kvadratinė lygtis turi šaknis, tada ją galima parašyti tokia forma: .

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingą išlaikęs egzaminą, dėl priėmimo į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos.

Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, kurie gavo geras išsilavinimas, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? Nežinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamine jums nebus klausiama teorijos.

Jums reikės laiku išspręsti problemas.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku.

Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais išsamią analizę ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame.

Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

  1. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje -
  2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 mokymo programos straipsniuose - Pirkti vadovėlį - 499 rubliai

Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir spręskite!

skaidrė 2

Kvadratinių lygčių ciklas algebros pamokų 8 klasėje pagal vadovėlį A.G. Mordkovičius

Mokytojas MBOU Grushevskaya vidurinė mokykla Kireeva T.A.

skaidrė 3

Uždaviniai: supažindinti su kvadratinės lygties sąvokomis, kvadratinės lygties šaknimi; parodyti kvadratinių lygčių sprendinius; formuoti gebėjimą spręsti kvadratines lygtis; parodykite būdą, kaip išspręsti visas kvadratines lygtis, naudojant kvadratinės lygties šaknų formulę.

skaidrė 4

skaidrė 5

Šiek tiek istorijos Kvadratinės lygtys senovės Babilone. Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis net senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su žemės plotų paieška ir su žemės darbai karinio pobūdžio, taip pat su pačios astronomijos ir matematikos raida. Babiloniečiai mokėjo spręsti kvadratines lygtis maždaug 2000 metų prieš mūsų tikėjimą. Taikant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra ir tokių, pavyzdžiui, pilnųjų kvadratinių lygčių.

skaidrė 6

Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukštas lygis Algebros raida Babilonijoje, neigiamo skaičiaus samprata ir bendrieji kvadratinių lygčių sprendimo metodai nėra dantiraščio tekstuose.

7 skaidrė

Apibrėžimas 1. Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis, kurioje koeficientai a, b, c yra bet kokie realūs skaičiai, o daugianario vadinamas kvadratiniu trinario. a yra pirmasis arba didžiausias koeficientas c yra antrasis koeficientas c yra laisvasis narys

8 skaidrė

Apibrėžimas 2. Kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei jos pirmaujantis koeficientas lygus 1; kvadratinė lygtis vadinama neredukuota, jei pirmaujantis koeficientas skiriasi nuo 1. Pavyzdys. 2 - 5 + 3 = 0 - neredukuota kvadratinė lygtis - sumažinta kvadratinė lygtis

9 skaidrė

3 apibrėžimas. Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai. a + in + c \u003d 0 Nebaigta kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje nėra visų trijų narių; yra lygtis, kuriai bent vienas iš, c koeficientų yra lygus nuliui.

10 skaidrė

Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo būdai.

skaidrė 11

Išspręskite užduotis Nr. 24.16 (a, b) Išspręskite lygtį: arba Atsakymas. arba Atsakymas.

skaidrė 12

4 apibrėžimas Kvadratinės lygties šaknis yra bet kokia kintamojo x reikšmė, kuriai esant kvadratinis trinaris išnyksta; tokia kintamojo x reikšmė dar vadinama kvadratinio trinalio šaknimi Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba nustatyti, kad šaknų nėra.

skaidrė 13

Kvadratinės lygties diskriminantas D 0 D=0 Lygtis neturi šaknų Lygtis turi dvi šaknis Lygtis turi vieną šaknį Kvadratinės lygties šaknų formulės

14 skaidrė

D>0 kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules Pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Atsakymas: 1; -3

skaidrė 15

Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas 1. Apskaičiuokite diskriminantą D pagal formulę D = 2. Jei D 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis.

Programavimas į Lozorius moksleiviams.

Pamoka numeris 12.

Kvadratinės lygties sprendimas.

Matytsinas Igoris Vladimirovičius

Matematikos ir informatikos mokytojas

MBOU vidurinė mokykla su. mergina

Tikslas: parašyti kvadratinės lygties sprendimo programą su bet kokia įvestimi.

Mergina 2013 m.

Kvadratinė lygtis yra viena iš labiausiai paplitusių mokyklos kursų lygčių. Nors tai gana paprasta išspręsti, kartais reikia patikrinti atsakymus. Tam galite naudoti paprasta programa. Parašyti ilgai neužtruks.

Turite pradėti nuo pačios kvadratinės lygties. Iš algebros kurso žinome, kad kvadratinė lygtis yra formos lygtis kirvis 2 + bx + c =0, kur x - kintamasis, a , b ir c yra kai kurie skaičiai ir a .

Iš apibrėžimo matyti, kad lygtyje kinta tik koeficientai a , b Ir c . Tai yra parametrai, kuriuos įvesime į savo programą ir tam iš komponentų sukursime tris įvesties laukus.

14.1 pav. Koeficientų įvesties laukai.

Iš apibrėžimo taip pat išplaukia, kad a . Šiuo atveju lygtis nebus kvadratinė. Ir mes pirmiausia patikrinsime šią sąlygą. Sukurkime mygtuką „Spręsti“ ir jo įvykių kūrėją naudodami operatorių jeigu patikrinkite būklę a . Ir jeigu a =0 sakome, kad mūsų lygtis nėra kvadratinė.Čia yra mygtuko įvykių tvarkytuvė:procedūra TForm1.Button1Click(Siuntėjas: TOobjektas); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(redaguoti1.tekstas); b:=strtofloat(redaguoti2.tekstas); c:=strtofloat(redaguoti3.tekstas); jei a=0, tada Label4.Caption:="Lygtis nėra kvadratinė";galas;

Ryžiai. 14.2 Lygties egzistavimo patikrinimas.

Dabar reikia apibūdinti, kas atsitiks, jei lygtis bus kvadratinė. Tai taip pat bus tame pačiame pareiškime jeigu po žodžio Kitas ir naudojant sudėtinį operatorių.

Jei lygtis yra kvadratinė, tada ją iš karto išspręsime naudodami diskriminanto formulę ir kvadratinės lygties šaknis.

Diskriminantą randame pagal formulę: D := b * b – 4* a * c ;

Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai lygtis neturi sprendinių. Jis bus aprašytas taip:

Jei d tada etiketė 4. Antraštė :='Lygtis neturi sprendimų' Kitas …

Ir tada Kitas bus tiesioginė lygties šaknų paieška naudojant formules:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Čia yra visas operatoriaus kodas jeigu :

jei a=0, tada Label4.Caption:="Lygtis nėra kvadratas" else

pradėti

D:=b*b-4*a*c;

jei d

pradėti

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

galas;

galas;

Ryžiai. 14.3 Programos kvadratinės lygties darbo langas.

Kvadratinė lygtis yra a*x^2 +b*x+c=0 formos lygtis, kur a,b,c yra kai kurie savavališki tikrieji (realieji) skaičiai, o x yra kintamasis. Ir skaičius a = 0.

Skaičiai a,b,c vadinami koeficientais. Skaičius a - vadinamas pirmaujančiu koeficientu, skaičius b yra koeficientas ties x, o skaičius c vadinamas laisvuoju nariu.

Kvadratinių lygčių sprendimas

Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba nustatyti faktą, kad kvadratinė lygtis neturi šaknų. Kvadratinės lygties a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 šaknis yra bet kokia kintamojo x reikšmė, kvadratinis trinaris a*x^2 +b*x+c išnyksta. Kartais tokia x reikšmė vadinama kvadratinio trinalio šaknimi.

Yra keletas kvadratinių lygčių sprendimo būdų. Apsvarstykite vieną iš jų - universaliausią. Jis gali būti naudojamas bet kuriai kvadratinei lygčiai išspręsti.

Kvadratinių lygčių sprendimo formulės

Kvadratinės lygties šaknų formulė yra a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), kur D =b^2-4*a*c.

Ši formulė gaunama sprendžiant lygtį a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 bendra forma, paryškinant dvinario kvadratą.

Kvadratinės lygties šaknų formulėje išraiška D (b^2-4*a*c) vadinama kvadratinės lygties a*x^2 +b*x+c=0 diskriminantu. Šis vardas kilo iš lotynų kalba, vertime "distinguisher". Priklausomai nuo diskriminanto reikšmės, kvadratinė lygtis turės dvi arba vieną šaknį arba išvis neturės šaknų.

Jei diskriminantas yra didesnis nei nulis, tada kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. (x=(-b±√D)/(2*a))

Jei diskriminantas yra nulis, tada kvadratinė lygtis turi vieną šaknį. (x=(-b/(2*a))

Jei diskriminantas yra neigiamas, tada kvadratinė lygtis neturi šaknų.

Bendras kvadratinės lygties sprendimo algoritmas

Remdamiesi tuo, kas išdėstyta, suformuluojame bendrą kvadratinės lygties a*x^2 +b*x+c=0 sprendimo algoritmą, naudodami formulę:

1. Raskite diskriminanto reikšmę naudodami formulę D =b^2-4*a*c.

2. Atsižvelgdami į diskriminanto reikšmę, apskaičiuokite šaknis pagal formules:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Šis algoritmas yra universalus ir tinka bet kokioms kvadratinėms lygtims spręsti. Pilnas ir neišsamus, cituojamas ir nenurodytas.

Taip pat rekomenduojame

Įkeliama...Įkeliama...