함수 y x n의 속성. 지수 함수 - 속성, 그래프, 공식

그래프(그림 2).

그림 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ 함수의 그래프

자연 홀수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성

정의 영역은 모두 실수입니다.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$는 홀수 함수입니다.

$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.

범위는 모두 실수입니다.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

함수는 정의의 전체 영역에 걸쳐 증가합니다.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$에 대해.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

함수는 $x\in (-\infty ,0)$에 대해 오목하고 $x\in (0,+\infty)$에 대해 볼록합니다.

그래프(그림 3).

그림 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ 함수의 그래프

정수 지수가 있는 거듭제곱 함수

먼저 정수 지수가 있는 차수의 개념을 소개합니다.

정의 3

정수 지수 $n$가 있는 실수 $a$의 차수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

그림 4

이제 정수 지수, 속성 및 그래프가 있는 거듭제곱 함수를 고려하십시오.

정의 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$는 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수라고 합니다.

차수가 0보다 크면 자연 지수가 있는 거듭제곱 함수의 경우가 됩니다. 우리는 이미 위에서 그것을 고려했습니다. $n=0$에 대해 선형 함수 $y=1$를 얻습니다. 우리는 그것에 대한 고려를 독자에게 맡깁니다. 음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성을 고려해야 합니다.

음의 정수 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성

범위는 $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$입니다.

지수가 짝수이면 함수가 짝수이고 홀수이면 함수가 홀수입니다.

$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.

가치 범위:

지수가 짝수이면 $(0,+\infty)$, 홀수이면 $\left(-\infty,0\right)(0,+\infty)$입니다.

지수가 홀수이면 함수는 $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$로 감소합니다. 짝수 지수의 경우 함수는 $x\in (0,+\infty)$로 감소합니다. $x\in \left(-\infty ,0\right)$로 증가합니다.

$f(x)\ge 0$ 전체 도메인

지수 함수에 대한 참조 데이터가 제공됩니다 - 기본 속성, 그래프 및 공식. 다음 질문이 고려됩니다: 정의 영역, 값 집합, 단조성, 역함수, 도함수, 적분, 거듭제곱 급수 확장 및 복소수에 의한 표현.

정의

지수 함수 는 다음과 같은 n개의 곱을 일반화한 것입니다.
와이 (n) = 엔 = 에이 에이 에이,
실수 집합 x :
와이 (x) = x.
여기에 고정 실수, 라고 하는 지수 함수의 밑.
밑이 있는 지수 함수라고도 합니다. a를 밑으로 하는 지수.

일반화는 다음과 같이 수행됩니다.
자연 x = 1, 2, 3,... , 지수 함수는 x 요인의 곱입니다.
.
또한, 그것은 숫자를 곱하는 규칙을 따르는 속성 (1.5-8) ()을 가지고 있습니다. 제로와 음수 값정수 , 지수 함수는 공식 (1.9-10)에 의해 결정됩니다. 분수 값 x = m/n의 경우 유리수, , 식 (1.11)에 의해 결정된다. 실수의 경우 지수 함수는 다음과 같이 정의됩니다. 시퀀스 제한:
,
여기서 는 x로 수렴하는 임의의 유리수 시퀀스입니다.
이 정의로 지수 함수는 모든 에 대해 정의되고 속성(1.5-8)과 자연 x 를 충족합니다.

지수 함수의 정의와 그 속성의 증명에 대한 엄격한 수학적 공식은 "지수 함수의 속성 정의 및 증명" 페이지에 나와 있습니다.

지수 함수의 속성

지수 함수 y = a x는 실수 집합()에 대해 다음 속성을 가집니다.
(1.1) 는 정의되고 연속적입니다. for , for all ;
(1.2) ≠일 때 1 많은 의미가 있습니다.
(1.3) 에서 엄격하게 증가하고 에서 엄격하게 감소합니다.
에서 일정하다 ;
(1.4) 에 ;
에 ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

기타 유용한 공식
.
거듭제곱이 다른 지수 함수로 변환하는 공식:

b = e의 경우 지수에 대한 지수 함수의 표현을 얻습니다.

개인 가치

, , , , .

그림은 지수 함수의 그래프를 보여줍니다
와이 (x) = x
네 가지 값에 대해 학위 기반:아= 2 , a = 8 , a = 1/2 그리고 = 1/8 . >에 대한 것임을 알 수 있다. 1 지수 함수는 단조 증가합니다. 학위의 기저가 클수록 성장이 더 강해집니다. ~에 0 < a < 1 지수 함수는 단조 감소합니다. 어떻게 적은 지표정도, 더 강한 감소.

올라가고 내려 가고

지수 함수 at은 엄격하게 단조이므로 극값이 없습니다. 주요 속성은 표에 나와 있습니다.

역함수

차수가 a인 지수 함수의 역수는 a를 밑으로 하는 로그입니다.

그렇다면
.
그렇다면
.

지수 함수의 미분

지수 함수를 미분하려면 그 밑을 숫자 e로 줄이고 도함수 표와 복소수 함수 미분 규칙을 적용해야 합니다.

이렇게 하려면 로그 속성을 사용해야 합니다.
도함수 표의 공식:
.

지수 함수가 주어졌다고 하자:
.
우리는 그것을 기본 e로 가져옵니다.

우리는 복잡한 함수의 미분 규칙을 적용합니다. 이를 위해 변수를 도입합니다.

그 다음에

도함수 테이블에서 (변수 x를 z로 교체):
.
가 상수이므로 x에 대한 z의 미분은 다음과 같습니다.
.
복잡한 함수의 미분 법칙에 따르면:
.

지수 함수의 도함수

.
n차의 도함수:
.
공식의 유도 >> >

지수 함수의 미분 예

함수의 도함수 찾기
y= 35배

해결책

지수 함수의 밑을 숫자 e로 표현합니다.
3 = 전자 로그 3
그 다음에
.
변수를 소개합니다
.
그 다음에

파생 상품 표에서 다음을 찾습니다.
.
하는 한 5ln 3는 상수이고 x에 대한 z의 도함수는 다음과 같습니다.
.
복소수 함수의 미분 법칙에 따르면 다음과 같습니다.
.

답변

완전한

복소수 표현

복소수 함수 고려 지:
에프 (z) = 아즈
여기서 z = x + iy ; 나 2 = - 1 .
우리는 모듈러스 r과 인수 φ로 복소수 상수를 표현합니다.
a = r e 나는 φ
그 다음에


.
인수 φ는 고유하게 정의되지 않습니다. 입력 일반보기
φ = φ 0 + 2 pn,
여기서 n은 정수입니다. 따라서 함수 f (지)도 모호합니다. 종종 그것의 주요 중요성을 고려
.

시리즈 확장

.

참조:
입력. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.