어떤 기능이 모범적입니까? 지수 함수, 속성 및 그래프 - Knowledge Hypermarket

지수 및 로그 함수 VIII

§ 179 지수 함수의 기본 속성

이 섹션에서는 지수 함수의 주요 속성을 연구합니다.

y = 에이 엑스 (1)

아래를 기억하십시오. ㅏ 공식 (1)에서 우리는 1이 아닌 고정된 양수를 의미합니다.

속성 1. 지수 함수의 영역은 모든 실수의 집합입니다.

과연, 긍정적인 ㅏ 표현 ㅏ 엑스 임의의 실수에 대해 정의됨 엑스 .

속성 2. 지수 함수양수 값만 취합니다.

정말로, 만약 엑스 > 0인 경우 § 176에서 입증된 바와 같이,

ㅏ 엑스 > 0.

만약에 엑스 <. 0, то

ㅏ 엑스 =

어디 - 엑스 이미 0보다 큽니다. 그래서 ㅏ - 엑스 > 0. 하지만 그때

ㅏ 엑스 = > 0.

마지막으로 엑스 = 0

ㅏ 엑스 = 1.

지수 함수의 두 번째 속성은 간단한 그래픽 해석을 가지고 있습니다. 이 함수의 그래프(그림 246 및 247 참조)가 x축 위에 완전히 위치한다는 사실에 있습니다.

속성 3. 만약 ㅏ >1, 그때 엑스 > 0 ㅏ 엑스 > 1, 그리고 에 엑스 < 0 ㅏ 엑스 < 1. 만약에 ㅏ < 1, т오, 반대로, 엑스 > 0 ㅏ 엑스 < 1, 그리고 에 엑스 < 0 ㅏ 엑스 > 1.

지수 함수의 이 속성은 또한 간단한 기하학적 해석을 허용합니다. ~에 ㅏ > 1(그림 246) 곡선 y = 에이 엑스 라인 위에 위치한 ~에 = 1에서 엑스 > 0 및 직선 아래 ~에 = 1에서 엑스 < 0.

만약에 ㅏ < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = 에이 엑스 라인 아래에 위치한 ~에 = 1에서 엑스 > 0에서 이 직선 위 엑스 < 0.

제3의 속성에 대한 엄밀한 증거를 제시하자. 하자 ㅏ > 1 및 엑스 임의의 양수입니다. 그것을 보여줍시다

ㅏ 엑스 > 1.

만약 번호 엑스 합리적인 ( 엑스 = 중 / N ) , 그 다음에 ㅏ 엑스 = ㅏ 중 / N = N √ㅏ 중 .

하는 한 ㅏ > 1, 그럼 ㅏ 중 > 1이지만 1보다 큰 수의 근도 분명히 1보다 큽니다.

만약 엑스 비합리적이면 양의 유리수가 있습니다. 엑스" 그리고 엑스" , 숫자의 10진수 근사값으로 사용 엑스 :

엑스"< х < х" .

그러나 C도의 정의에 의해 비합리적인 지표

ㅏ 엑스" < ㅏ 엑스 < ㅏ 엑스"" .

위의 그림과 같이 숫자는 ㅏ 엑스" 하나 이상. 따라서 숫자 ㅏ 엑스 , 이상 ㅏ 엑스" , 또한 1보다 커야 합니다.

그래서, 우리는 그것을 보여주었습니다 ㅏ >1 및 임의의 양성 엑스

ㅏ 엑스 > 1.

만약 번호가 엑스 음수였다면

ㅏ 엑스 =

여기서 숫자는 엑스 긍정적일 것입니다. 그래서 ㅏ - 엑스 > 1. 따라서,

ㅏ 엑스 = < 1.

따라서 ㅏ > 1 및 임의의 음수 엑스

ㅏ 엑스 < 1.

0인 경우< ㅏ < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.

재산 4. 만약 x = 0, 그럼 상관없이 ㅏ 엑스 =1.

이것은 0도의 정의에 따릅니다. 0이 아닌 숫자의 0승은 1과 같습니다. 그래픽으로 이 속성은 다음과 같은 사실로 표현됩니다. ㅏ 곡선 ~에 = ㅏ 엑스 (그림 246 및 247 참조) 축과 교차 ~에 좌표 1이 있는 점에서.

재산 5. ~에 ㅏ >1 지수 함수 = ㅏ 엑스 단조 증가하고 있으며, < 1 - 단조롭게 감소합니다.

이 속성은 또한 간단한 기하학적 해석을 허용합니다.

~에 ㅏ > 1(그림 246) 곡선 ~에 = ㅏ 엑스 성장과 함께 엑스 점점 더 높이 올라가고, ㅏ < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.

5번째 속성에 대한 엄밀한 증명을 해보자.

하자 ㅏ > 1 및 엑스 2 > 엑스 하나 . 그것을 보여줍시다

ㅏ 엑스 2 > ㅏ 엑스 1

하는 한 엑스 2 > 엑스 1. 그럼 엑스 2 = 엑스 1 + 디 , 어디 디 일부 양수입니다. 그래서

ㅏ 엑스 2 - ㅏ 엑스 1 = ㅏ 엑스 1 + 디 - ㅏ 엑스 1 = ㅏ 엑스 1 (ㅏ 디 - 1)

지수 함수의 두 번째 속성에 따르면 ㅏ 엑스 1 > 0. 이후 디 > 0, 지수 함수의 세 번째 속성에 의해 ㅏ 디 > 1. 제품의 두 가지 요소 ㅏ 엑스 1 (ㅏ 디 - 1) 포지티브이므로 이 제품 자체는 포지티브입니다. 수단, ㅏ 엑스 2 - ㅏ 엑스 1 > 0, 또는 ㅏ 엑스 2 > ㅏ 엑스 1, 증명해야 하는 것이었다.

그래서, 에 ㅏ > 1 기능 ~에 = ㅏ 엑스 단조 증가하고 있습니다. 마찬가지로 다음과 같이 증명됩니다. ㅏ < 1 функция ~에 = ㅏ 엑스 단조롭게 감소하고 있습니다.

결과. 1이 아닌 동일한 양수의 거듭제곱이 같으면 지수도 같습니다.

즉, 만약

ㅏ 비 = ㅏ 씨 (ㅏ > 0 및 ㅏ =/= 1),

b = c .

과연 숫자라면 비 그리고 ~와 함께 함수의 단조로움으로 인해 동일하지 않았습니다. ~에 = ㅏ 엑스 그들 중 대부분은 ㅏ >1이 더 크고 에서 ㅏ < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или ㅏ 비 > ㅏ 씨 , 또는 ㅏ 비 < ㅏ 씨 . 이 둘은 조건에 모순된다 ㅏ 비 = ㅏ 씨 . 라는 인식이 남아있다. b = c .

재산 6. 만약 > 1, 그런 다음 논쟁의 무제한 증가와 함께 엑스 (엑스 -> ∞ ) 함수 값 ~에 = ㅏ 엑스 또한 무한한 성장 (~에 -> ∞ ). 논쟁의 무제한 감소와 함께 엑스 (엑스 -> -∞ ) 이 함수의 값은 0으로 유지되는 반면 양수 (~에->0; ~에 > 0).

위에서 증명된 함수의 단조성을 고려하여 ~에 = ㅏ 엑스 , 우리는 고려중인 경우에 기능이 ~에 = ㅏ 엑스 0에서 까지 단조 증가 ∞ .

만약 0 <ㅏ < 1, 그런 다음 인수 x (x -> ∞)가 무제한 증가하면 함수 y \u003d a x의 값은 양수를 유지하면서 0이되는 경향이 있습니다. (~에->0; ~에 > 0). 인수 x의 무제한 감소 (엑스 -> -∞ ) 이 함수의 값은 무한정 증가합니다. (~에 -> ∞ ).

기능의 단조로움으로 인해 y = 도끼 이 경우 함수라고 말할 수 있습니다. ~에 = ㅏ 엑스 부터 단조롭게 감소 ∞ 0으로.

지수 함수의 6번째 속성은 그림 246과 247에 명확하게 반영되어 있습니다. 우리는 그것을 엄격하게 증명하지 않을 것입니다.

지수 함수의 범위만 설정하면 됩니다. y = 도끼 (ㅏ > 0, ㅏ =/= 1).

위에서 우리는 그 기능이 y = 도끼 양수 값만 취하고 0에서 까지 단조 증가합니다. ∞ (에 ㅏ > 1), 또는 단조 감소 ∞ 0으로(0에서< ㅏ <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = 도끼 점프를 변경할 때? 긍정적인 값을 취합니까? 이 질문은 긍정적으로 대답됩니다. 만약에 ㅏ > 0 및 ㅏ =/= 1, 양수 ~에 0을 찾아야 합니다. 엑스 0, 그렇게

ㅏ 엑스 0 = ~에 0 .

(함수의 단조로움 때문에 y = 도끼 지정된 값 엑스 물론 0이 유일한 것입니다.)

이 사실의 증거는 우리 프로그램의 범위를 벗어납니다. 기하학적 해석은 모든 양수 값에 대해 ~에 0 함수 그래프 y = 도끼 선과 교차해야 합니다. ~에 = ~에 0 및 또한 한 지점에서만 (그림 248).

이것으로부터 우리는 속성 7의 형태로 공식화하는 다음과 같은 결론을 도출할 수 있습니다.

재산 7. 지수 함수 y \u003d a x의 변화 영역 (ㅏ > 0, ㅏ =/= 1)모든 양수의 집합입니다.

수업 과정

1368. 다음 기능의 영역을 찾으십시오.

1369. 주어진 숫자 중 1보다 크고 1보다 작은 것:

1370. 지수 함수의 어떤 속성에 기초하여 다음과 같이 주장할 수 있습니까?

a) (5/7) 2.6 > (5/7) 2.5; b) (4/3) 1.3 > (4/3) 1.2

1371. 어느 숫자가 더 큰가요?

ㅏ) π - √3 또는 (1 / π ) - √3; 다) (2 / 3) 1 + √6 또는 (2 / 3) √2 + √5 ;

나) ( π / 4) 1 + √3 또는 ( π / 4) 2; d) (√3 ) √2 - √5 또는 (√3) √3 - 2 ?

1372. 불평등은 동등합니까?

1373. 숫자에 대해 말할 수 있는 것 엑스 그리고 ~에 , 만약 엑스 = 그리고 y , 어디 ㅏ 주어진 양수입니까?

1374. 1) 함수의 모든 값 중에서 가능한가요? ~에 = 2엑스 가장 밝은 부분:

2) 모든 함수 값 중에서 가능한가요? ~에 = 2 | 엑스| 가장 밝은 부분:

ㅏ) 가장 높은 가치; b) 가장 작은 값?

지수 함수는 다음과 같은 n개의 곱을 일반화한 것입니다.
와이 (n) = 엔 = 에이 에이 에이,
실수 집합 x :
와이 (x) = x.
여기에 고정 실수, 라고 하는 지수 함수의 밑.
밑이 있는 지수 함수라고도 합니다. a를 밑으로 하는 지수.

일반화는 다음과 같이 수행됩니다.
자연 x = 1, 2, 3,... , 지수 함수는 x 요인의 곱입니다.
.
또한, 그것은 숫자를 곱하는 규칙을 따르는 속성 (1.5-8) ()을 가지고 있습니다. 제로와 음수 값정수 , 지수 함수는 공식 (1.9-10)에 의해 결정됩니다. 분수 값 x = m/n의 경우 유리수, , 식 (1.11)에 의해 결정된다. 실수의 경우 지수 함수는 다음과 같이 정의됩니다. 시퀀스 제한:
,
여기서 는 x로 수렴하는 임의의 유리수 시퀀스입니다.
이 정의로 지수 함수는 모든 에 대해 정의되고 속성(1.5-8)과 자연 x 를 충족합니다.

지수 함수의 정의와 그 속성의 증명에 대한 엄격한 수학적 공식은 "지수 함수의 속성 정의 및 증명" 페이지에 나와 있습니다.

지수 함수의 속성

지수 함수 y = a x는 실수 집합()에 대해 다음 속성을 가집니다.
(1.1) 는 정의되고 연속적입니다. for , for all ;
(1.2) ≠일 때 1 많은 의미가 있습니다.
(1.3) 에서 엄격하게 증가하고 에서 엄격하게 감소합니다.
에서 일정하다 ;
(1.4) 에 ;
에 ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

기타 유용한 공식
.
거듭제곱이 다른 지수 함수로 변환하는 공식:

b = e의 경우 지수에 대한 지수 함수의 표현을 얻습니다.

개인 가치

, , , , .

그림은 지수 함수의 그래프를 보여줍니다
와이 (x) = x
네 가지 값에 대해 학위 기반:아= 2 , a = 8 , a = 1/2 그리고 = 1/8 . >에 대한 것임을 알 수 있다. 1 지수 함수는 단조 증가합니다. 학위의 기저가 클수록 성장이 더 강해집니다. ~에 0 < a < 1 지수 함수는 단조 감소합니다. 어떻게 적은 지표정도, 더 강한 감소.

올라가고 내려 가고

지수 함수 at은 엄격하게 단조이므로 극값이 없습니다. 주요 속성은 표에 나와 있습니다.

	y = a x , a > 1	y = x, 0 < a < 1
도메인	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
값 범위	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
단조	단조 증가	단조롭게 감소
0, y= 0	아니요	아니요
y축과의 교차점, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

역함수

밑이 a인 지수 함수의 역수는 밑이 a에 대한 로그입니다.

그렇다면
.
그렇다면
.

지수 함수의 미분

지수 함수를 미분하려면 그 밑을 숫자 e로 줄이고 도함수 표와 복소수 함수 미분 규칙을 적용해야 합니다.

이렇게 하려면 로그 속성을 사용해야 합니다.
도함수 표의 공식:
.

지수 함수가 주어졌다고 하자:
.
우리는 그것을 기본 e로 가져옵니다.

우리는 복잡한 함수의 미분 규칙을 적용합니다. 이를 위해 변수를 도입합니다.

그 다음에

도함수 테이블에서 (변수 x를 z로 교체):
.
가 상수이므로 x에 대한 z의 미분은 다음과 같습니다.
.
복잡한 함수의 미분 법칙에 따르면:
.

지수 함수의 도함수

.
n차의 도함수:
.
공식의 유도 >> >

지수 함수의 미분 예

함수의 도함수 찾기
y= 35배

결정

지수 함수의 밑을 숫자 e로 표현합니다.
3 = 전자 로그 3
그 다음에
.
변수를 소개합니다
.
그 다음에

파생 상품 표에서 다음을 찾습니다.
.
하는 한 5ln 3는 상수이고 x에 대한 z의 도함수는 다음과 같습니다.
.
복소수 함수의 미분 법칙에 따르면 다음과 같습니다.
.

답변

완전한

복소수 표현

복소수 함수를 고려하십시오. 지:
에프 (z) = 아즈
여기서 z = x + iy ; 나 2 = - 1 .
우리는 모듈러스 r과 인수 φ로 복소수 상수를 표현합니다.
a = r e 나는 φ
그 다음에

.
인수 φ는 고유하게 정의되지 않습니다. 에 일반보기
φ = φ 0 + 2 pn,
여기서 n은 정수입니다. 따라서 함수 f (지)도 모호합니다. 종종 그것의 주요 중요성을 고려
.

시리즈 확장

참조:
에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 고등 교육 기관의 엔지니어 및 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

대부분의 수학적 문제의 해결은 어떻게 든 수치, 대수 또는 기능 표현의 변환과 연결됩니다. 이것은 특히 솔루션에 적용됩니다. 수학의 USE 변형에서 이러한 유형의 작업에는 특히 작업 C3이 포함됩니다. C3 작업을 해결하는 방법을 배우는 것은 목적뿐만 아니라 성공적인 배달통합 국가 시험뿐만 아니라이 기술은 고등 교육에서 수학 과정을 공부할 때 유용합니다.

작업 C3 수행, 당신은 결정해야 다른 종류방정식과 부등식. 그 중에는 합리적, 비합리적, 지수, 대수, 삼각, 포함 모듈(절대값) 및 결합된 모듈이 있습니다. 이 기사에서는 지수 방정식과 부등식의 주요 유형에 대해 설명합니다. 다양한 방법그들의 결정. C3 문제를 푸는 방법에 관한 기사에서 ""라는 제목 아래 다른 유형의 방정식과 부등식을 푸는 방법에 대해 읽어보십시오. 사용 옵션수학.

구체적인 분석을 진행하기 전에 지수 방정식과 부등식, 수학 교사로서 몇 가지 이론적 자료우리가 필요로 할 것입니다.

지수 함수

지수 함수 란 무엇입니까?

보기 기능 와이 = 엑스, 어디 ㅏ> 0 및 ㅏ≠ 1 지수 함수.

기본 지수 함수 속성 와이 = 엑스:

지수 함수의 그래프

지수 함수의 그래프는 출품자:

지수 함수의 그래프(지수)

지수 방정식의 해

암시적미지의 변수가 모든 거듭제곱의 지수에서만 발견되는 방정식이라고 합니다.

솔루션용 지수 방정식다음의 간단한 정리를 알고 사용할 수 있어야 합니다.

정리 1.지수 방정식 ㅏ 에프(엑스) = ㅏ g(엑스) (어디 ㅏ > 0, ㅏ≠ 1)은 방정식과 동일 에프(엑스) = g(엑스).

또한 학위가 있는 기본 공식과 동작을 기억하는 것이 유용합니다.

Title="(!LANG:QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

실시예 1방정식을 풉니다.

결정:위의 공식과 대체를 사용하십시오.

방정식은 다음과 같습니다.

받은 판별식 이차 방정식긍정적인:

Title="(!LANG:QuickLaTeX.com에서 렌더링됨">!}

이것은 이 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다. 우리는 그들을 찾습니다:

대체로 돌아가서 다음을 얻습니다.

지수 함수는 전체 정의 영역에 대해 엄격하게 양수이기 때문에 두 번째 방정식에는 근이 없습니다. 두 번째 문제를 해결해 보겠습니다.

정리 1에서 말한 것을 고려하여 등가 방정식으로 전달합니다. 엑스= 3. 이것은 작업에 대한 답변이 될 것입니다.

답변: 엑스 = 3.

실시예 2방정식을 풉니다.

결정:급진적 인 표현은 모든 값에 대해 의미가 있기 때문에 방정식은 허용 가능한 값의 영역에 제한이 없습니다 엑스(지수 함수 와이 = 9 4 -엑스양수이고 0이 아님).

곱셈과 나눗셈의 규칙을 사용하여 등가 변환으로 방정식을 풉니다.

마지막 전환은 정리 1에 따라 수행되었습니다.

답변:엑스= 6.

실시예 3방정식을 풉니다.

결정:원래 방정식의 양변은 0.2로 나눌 수 있습니다. 엑스. 이 표현식은 모든 값에 대해 0보다 크므로 이 전환은 동일합니다. 엑스(지수 함수는 해당 영역에서 엄격하게 양수입니다). 그런 다음 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

답변: 엑스 = 0.

실시예 4방정식을 풉니다.

결정:우리는 기사 시작 부분에 주어진 나눗셈 및 곱셈 규칙을 사용하여 등가 변환을 통해 방정식을 기본 방정식으로 단순화합니다.

방정식의 양변을 4로 나누기 엑스, 이전 예에서와 같이 이 표현식은 모든 값에 대해 0이 아니므로 동등한 변환입니다. 엑스.

답변: 엑스 = 0.

실시예 5방정식을 풉니다.

결정:기능 와이 = 3엑스, 방정식의 왼쪽에 서 있는 는 증가합니다. 기능 와이 = —엑스방정식의 오른쪽에 있는 -2/3은 감소하고 있습니다. 즉, 이러한 함수의 그래프가 교차하면 기껏해야 한 점입니다. 이 경우 그래프가 점에서 교차한다고 추측하기 쉽습니다. 엑스= -1. 다른 뿌리는 없을 것입니다.

답변: 엑스 = -1.

실시예 6방정식을 풉니다.

결정:지수 함수가 모든 값에 대해 엄격하게 0보다 크다는 점을 염두에 두고 등가 변환으로 방정식을 단순화합니다. 엑스기사 시작 부분에 제공된 곱 및 부분 거듭제곱을 계산하는 규칙을 사용합니다.

답변: 엑스 = 2.

지수 부등식 풀기

암시적미지의 변수가 일부 거듭제곱의 지수에만 포함되는 부등식이라고 합니다.

솔루션용 지수 부등식다음 정리에 대한 지식이 필요합니다.

정리 2.만약 ㅏ> 1, 다음 불평등 ㅏ 에프(엑스) > ㅏ g(엑스)는 같은 의미의 부등식과 같습니다. 에프(엑스) > g(엑스). 0이면< ㅏ < 1, то 지수 부등식 ㅏ 에프(엑스) > ㅏ g(엑스)는 반대 의미의 부등식과 같습니다. 에프(엑스) < g(엑스).

실시예 7부등식 해결:

결정:다음 형식의 원래 불평등을 나타냅니다.

이 부등식의 두 부분을 3 2로 나눕니다. 엑스, 그리고 (함수의 긍정성 때문에 와이= 3 2엑스) 부등식 기호는 변경되지 않습니다.

대체를 사용합시다.

그런 다음 부등식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

따라서 부등식의 해는 구간입니다.

역 치환으로 전달하면 다음을 얻습니다.

지수 함수의 양수 때문에 왼쪽 부등식은 자동으로 충족됩니다. 활용 알려진 재산로그, 우리는 등가 부등식에 전달합니다:

차수의 밑이 1보다 큰 수이므로 등가(정리 2에 따름)는 다음 부등식으로 전환됩니다.

그래서 우리는 마침내 얻는다 답변:

실시예 8부등식 해결:

결정:곱셈과 거듭제곱의 속성을 사용하여 불평등을 다음과 같은 형식으로 다시 씁니다.

새로운 변수를 소개하겠습니다.

이 대입으로 부등식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

분수의 분자와 분모에 7을 곱하면 다음과 같은 등가 부등식이 나옵니다.

따라서 부등식을 만족한다. 다음 값변하기 쉬운 티:

그런 다음 대체로 돌아가서 다음을 얻습니다.

여기서 차수의 밑이 1보다 크므로 부등식으로 전달하는 것은 (정리 2에 따라) 동일합니다.

마침내 우리는 얻는다 답변:

실시예 9부등식 해결:

결정:

우리는 식으로 부등식의 양쪽을 나눕니다.

지수 함수가 양수이기 때문에 항상 0보다 크므로 부등호를 변경할 필요가 없습니다. 우리는 다음을 얻습니다:

t , 간격:

역 치환으로 넘어가면 원래 불평등이 두 가지 경우로 분할된다는 것을 알 수 있습니다.

첫 번째 부등식은 지수 함수의 양수 때문에 해가 없습니다. 두 번째 문제를 해결해 보겠습니다.

실시예 10부등식 해결:

결정:

포물선 가지 와이 = 2엑스+2-엑스 2는 아래쪽을 향하므로 정점에서 도달하는 값에 의해 위에서부터 경계가 지정됩니다.

포물선 가지 와이 = 엑스 2 -2엑스표시기에 있는 +2는 위쪽을 가리키며, 이는 위쪽에서 도달하는 값에 의해 아래쪽에서 제한됨을 의미합니다.

동시에, 함수는 아래에서 경계가 되는 것으로 판명되었습니다. 와이 = 3 엑스 2 -2엑스방정식의 오른쪽에 +2가 있습니다. 그녀는 그녀에게 도달 가장 작은 값지수의 포물선과 같은 점에서, 이 값은 3 1 = 3입니다. 따라서 원래 부등식은 왼쪽의 함수와 오른쪽의 함수가 한 지점에서 값 3을 취하는 경우에만 참이 될 수 있습니다(에 의해 이러한 기능의 교차 범위는 이 숫자일 뿐입니다. 이 조건은 한 점에서 충족됩니다. 엑스 = 1.

답변: 엑스= 1.

해결 방법을 배우려면 지수 방정식과 부등식,솔루션에 대해 지속적으로 교육해야 합니다. 이 어려운 문제에 다양한 교구, 초등 수학 문제집, 경쟁 문제집, 학교 수학 수업, 개별 세션전문 튜터와 함께. 귀하의 준비와 성공을 진심으로 기원합니다 화려한 결과시험에.

세르게이 발레리비치

P.S 친애하는 손님! 의견에 방정식 풀기 요청을 작성하지 마십시오. 불행히도, 나는 이것을 할 시간이 전혀 없습니다. 이러한 메시지는 삭제됩니다. 기사를 읽어주세요. 아마도 거기에서 스스로 작업을 해결할 수 없었던 질문에 대한 답변을 찾을 수 있습니다.

변수 x=2의 다양한 유리값에 대한 표현식의 값을 찾으십시오. 0; -삼; -

변수 x 대신 어떤 숫자로 대체하든 상관없이 항상 이 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 그래서 우리는 유리수 집합에 대해 정의된 지수 함수(y는 x의 3승)를 고려하고 있습니다.

값의 테이블을 만들어 이 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다.

이 점들을 지나는 부드러운 선을 그리자(그림 1)

이 함수의 그래프를 사용하여 속성을 고려하십시오.

3. 전체 정의 영역에서 증가합니다.

범위는 0에서 더하기 무한대까지입니다.

8. 기능은 아래로 볼록합니다.

하나의 좌표계에서 함수의 그래프를 작성하는 경우; y=(y는 x승의 2, y는 x의 5승, y는 x의 7승), y=(y는 3의 x승)( 그림 .2), 즉 y =(y는 x의 거듭제곱과 같고 1보다 큼) 형식의 모든 함수는 이러한 속성을 갖습니다.

함수를 플롯해 보겠습니다.

1. 값 테이블 컴파일.

얻은 점을 좌표 평면에 표시합니다.

이 점들을 지나는 부드러운 선을 그려봅시다(그림 3).

이 함수의 그래프를 사용하여 속성을 나타냅니다.

1. 정의 영역은 모든 실수의 집합입니다.

2. 짝수도 홀수도 아닙니다.

3. 전체 정의 영역에서 감소합니다.

4. 가장 큰 값도 가장 작은 값도 없습니다.

5. 아래에서는 제한되지만 위에서는 제한되지 않습니다.

6. 정의의 전체 영역에 걸쳐 연속적입니다.

7. 값 범위는 0에서 더하기 무한대까지입니다.

8. 기능은 아래로 볼록합니다.

유사하게, 하나의 좌표계에서 함수의 그래프를 작성하는 경우; y=(y는 x제곱의 1초, y는 x제곱의 1/5, y는 x제곱의 1/7), y=(y는 x제곱의 1/3과 동일한 속성을 가지고 있음을 알 수 있습니다. x의 거듭제곱) x) (그림 4), 즉 y \u003d 형식의 모든 기능(y는 1을 x의 거듭제곱으로 나눈 값과 같으며 0보다 크지만 1보다 작음) 그러한 속성을 가지고

하나의 좌표계에서 함수의 그래프를 구성해 보겠습니다.

이것은 함수 y=y=의 그래프도 대칭적일 것임을 의미합니다(y는 x 및 y의 거듭제곱과 같습니다. 하나와 같은 a의 동일한 값에 대해 제곱 x)로 나눕니다.

지수 함수의 정의를 제공하고 주요 속성을 표시하여 설명된 내용을 요약합니다.

정의: y \u003d 형식의 함수(y는 x의 거듭제곱과 같고 양수이고 1과 다름)를 지수 함수라고 합니다.

지수 함수 y=와 거듭제곱 함수 y=, a=2,3,4,…의 차이점을 기억할 필요가 있습니다. 청각적으로나 시각적으로나. 지수 함수 엑스학위이며, 전원 기능 엑스기초이다.

예 1: 방정식 풀기(3의 x제곱은 9임)

(y는 x의 3승이고 y는 9와 같습니다) 그림 7

그것들은 하나의 공통 점 M(2, 9)(좌표가 2, 9인 em)을 가지고 있다는 점에 유의하십시오. 이는 점의 가로 좌표가 루트가 됨을 의미합니다 주어진 방정식. 즉, 방정식은 단일 근 x = 2를 갖습니다.

예 2: 방정식 풀기

하나의 좌표계에서 함수 y \u003d의 두 개의 그래프를 만들 것입니다(y는 x의 5제곱과 같고 y는 25분의 1과 같습니다). 8. 그래프는 한 점에서 교차합니다. T (-2; (좌표에서 2를 뺀 te, 25분의 1) 따라서 방정식의 루트는 x \u003d -2(숫자 빼기 2)입니다.

예 3: 부등식 풀기

하나의 좌표계에서 y \u003d 함수의 두 그래프를 구성합니다.

(y는 x의 거듭제곱과 같고 y는 27과 같습니다).

그림 9 함수의 그래프는 함수 y=때의 그래프 위에 있습니다.

x 따라서 부등식에 대한 해는 구간(-무한대에서 3까지)입니다.

예 4: 부등식 풀기

하나의 좌표계에서 y \u003d 함수의 두 그래프를 구성합니다(y는 x의 1/4과 같고 y는 16과 같습니다). (그림 10). 그래프는 한 점 K(-2,16)에서 교차합니다. 이것은 부등식에 대한 해가 구간(-2, 마이너스 2에서 플러스 무한대까지)이라는 것을 의미합니다. 왜냐하면 y \u003d 함수의 그래프는 x에서 함수 그래프 아래에 있기 때문입니다.

우리의 추론을 통해 다음 정리의 유효성을 확인할 수 있습니다.

항목 1: If는 m=n인 경우에만 참입니다.

정리 2: If is true if and only if, then the equal is true if and only if (그림 *)

정리 4: If는 if and only if(그림**), 부등식은 if and only if 정리 3: If는 m=n일 때만 참입니다.

예 5: 함수 y= 플로팅

차수 속성 y=를 적용하여 함수를 수정합니다.

구축하자 추가 시스템좌표와 새로운 시스템좌표, 우리는 함수 y \u003d (y는 2의 x의 거듭제곱)를 플로팅합니다. 그림 11.

예 6: 방정식 풀기

하나의 좌표계에서 y \u003d 함수의 두 그래프를 구성합니다.

(Y는 7의 x제곱이고 Y는 8 빼기 x와 같습니다.) 그림 12.

그래프는 한 점 E(1; (좌표가 1인 e, 7)에서 교차하므로 방정식의 근은 x = 1(x는 1임)입니다.

예 7: 부등식 풀기