간격의 방법에 의한 부등식의 솔루션. 구간법으로 2차 부등식 풀기

간격 방법은 불평등을 해결하는 데 보편적인 것으로 간주됩니다. 때때로 이 방법을 갭 방법이라고도 합니다. 하나의 변수로 합리적인 불평등을 해결하고 다른 유형의 불평등을 해결하는 데 모두 사용할 수 있습니다. 우리 자료에서 우리는 문제의 모든 측면에 주의를 기울이려고 노력했습니다.

이 섹션에서 무엇이 당신을 기다리고 있습니까? 갭법을 분석하고 이를 이용한 부등식을 풀기 위한 알고리즘을 고려한다. 만지자 이론적 측면방법의 적용을 기반으로 합니다.

우리는 일반적으로 다루지 않는 주제의 뉘앙스에 특별한 주의를 기울입니다. 학교 커리큘럼. 예를 들어, 간격에 표지판을 배치하는 규칙과 간격 방법을 고려하십시오. 일반보기합리적인 불평등에 연결하지 않고.

Yandex.RTB R-A-339285-1

연산

학교 대수 과정에서 간격 방법이 어떻게 도입되었는지 기억하는 사람은 누구입니까? 일반적으로 모든 것은 f(x) 형식의 부등식을 푸는 것으로 시작됩니다.< 0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤ , >또는 ≥). 여기서 f(x)는 다항식 또는 다항식의 비율일 수 있습니다. 다항식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

변수 x에 대해 계수가 1인 선형 이항식의 곱;
선행 계수가 1이고 근의 음의 판별식이 있는 제곱 삼항식의 곱입니다.

다음은 그러한 불평등의 몇 가지 예입니다.

(x + 3) (x 2 − x + 1) (x + 2) 3 ≥ 0,

(x - 2) (x + 5) x + 3 > 0 ,

(x − 5) (x + 5) ≤ 0 ,

(x 2 + 2 x + 7) (x - 1) 2 (x 2 - 7) 5 (x - 1) (x - 3) 7 ≤ 0 .

간격 방법을 사용하여 예제에서 제공한 대로 이러한 종류의 부등식을 해결하는 알고리즘을 작성합니다.

우리는 분자와 분모의 0을 찾습니다. 이를 위해 우리는 불평등의 왼쪽에 있는 표현식의 분자와 분모를 0과 동일시하고 결과 방정식을 풉니다.
발견 된 0에 해당하는 점을 결정하고 좌표 축에 대시로 표시하십시오.
표현 기호 정의 f(x)각 구간의 해결된 부등식의 왼쪽에서 그래프에 표시합니다.
의 안내에 따라 그래프의 원하는 섹션에 해칭을 적용합니다. 다음 규칙: 부등식에 부호가 있는 경우< или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки >또는 ≥ 인 경우 "+" 기호로 표시된 영역을 음영 처리하여 선택합니다.

우리가 작업할 도면에는 개략도가 있을 수 있습니다. 과도한 세부 사항은 도면에 과부하를 주어 결정을 어렵게 만들 수 있습니다. 규모에 대해서는 별로 관심이 없을 것입니다. 붙이면 충분할거야 정확한 위치좌표 값이 증가함에 따라 점.

엄격한 부등식으로 작업할 때 채워지지 않은(빈) 중심이 있는 원 형태의 점 표기법을 사용합니다. 엄격하지 않은 부등식의 경우 분모의 0에 해당하는 점은 비어 있는 것으로 표시되고 나머지는 모두 일반 검정색으로 표시됩니다.

표시된 점은 좌표선을 여러 숫자 간격으로 나눕니다. 이를 통해 실제로 주어진 부등식에 대한 솔루션인 숫자 집합의 기하학적 표현을 얻을 수 있습니다.

갭법의 과학적 근거

간격 방법의 기반이 되는 접근 방식은 연속 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다. 함수는 이 함수가 연속적이고 사라지지 않는 간격 (a, b)에서 상수 부호를 유지합니다. 동일한 속성이 일반적입니다. 숫자 광선(−∞ , a) 및 (a, +∞).

위의 함수의 성질은 입시 준비를 위한 많은 매뉴얼에 나오는 볼차노-코시 정리에 의해 확인된다.

수치 부등식의 속성을 기반으로 간격에 대한 기호의 불변성을 정당화하는 것도 가능합니다. 예를 들어, 부등식 x - 5 x + 1 > 0 을 취하십시오. 분자와 분모의 0을 찾아 숫자 라인에 넣으면 일련의 간격이 생깁니다. (− ∞ , − 1) , (− 1 , 5) 및 (5 , + ∞) .

간격 중 하나를 선택하고 전체 간격에서 부등식의 왼쪽에서 오는 표현식이 상수 부호를 가질 것임을 보여 줍시다. 이것을 구간(− ∞ , − 1) 이라고 합니다. 이 구간에서 임의의 수 t를 취합시다. 조건 t를 충족합니다.< − 1 , и так как − 1 < 5 , то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t < 5 .

얻은 부등식과 수치 부등식의 속성을 모두 사용하여 t + 1< 0 и t − 5 < 0 . Это значит, что t + 1 и t − 5 – это отрицательные числа независимо от значения 티구간에서 (− ∞ , − 1) .

음수를 나누는 규칙을 사용하여 표현식 t - 5 t + 1의 값이 양수일 것이라고 단언할 수 있습니다. 이는 x - 5 x + 1 표현식의 값이 모든 값에 대해 양수임을 의미합니다. 엑스격차에서 (− ∞ , − 1) . 이 모든 것을 통해 우리는 예제로 취한 간격에서 표현식에 상수 부호가 있다고 주장할 수 있습니다. 우리의 경우 이것은 "+"기호입니다.

분자와 분모의 0 찾기

0을 찾는 알고리즘은 간단합니다. 분자와 분모의 표현식을 0으로 동일시하고 결과 방정식을 풉니다. 어려움이 있는 경우 "인수분해로 방정식 풀기" 항목을 참조할 수 있습니다. 이 섹션에서는 예제로 제한합니다.

분수 x · (x - 0, 6) x 7 · (x 2 + 2 · x + 7) 2 · (x + 5) 3 을 고려하십시오. 분자와 분모의 0을 찾기 위해 우리는 방정식을 얻고 풀기 위해 그것들을 0과 동일시합니다: x (x − 0, 6) = 0 그리고 x 7 (x 2 + 2 x + 7) 2 (x + 5) 3 = 0.

첫 번째 경우, 우리는 두 개의 방정식 x = 0 및 x − 0 , 6 = 0 의 집합으로 이동할 수 있습니다. 이는 두 개의 근 0 과 0 , 6 을 제공합니다. 이들은 분자의 0입니다.

두 번째 방정식은 세 개의 방정식 세트와 동일합니다. x7 = 0, (x 2 + 2 x + 7) 2 = 0, (x + 5) 3 = 0 . 우리는 일련의 변환을 수행하고 x \u003d 0, x 2 + 2 x + 7 \u003d 0, x + 5 \u003d 0을 얻습니다. 첫 번째 방정식의 근은 0이고 두 번째 방정식에는 근이 없습니다. 음수 판별식이 있으므로 세 번째 방정식의 근은 5입니다. 이들은 분모의 0입니다.

이 경우 0은 분자의 0과 분모의 0입니다.

일반적으로 부등식의 좌변에 분수가 있는 경우(반드시 유리할 필요는 없음), 분자와 분모도 0이 되어 방정식을 얻습니다. 방정식을 풀면 분자와 분모의 0을 찾을 수 있습니다.

간격의 부호를 결정하는 것은 간단합니다. 이를 위해 주어진 간격에서 임의로 선택된 점에 대한 부등식의 왼쪽에서 표현식의 값을 찾을 수 있습니다. 임의로 선택한 간격 지점에서 표현식 값의 결과 부호는 전체 간격의 부호와 일치합니다.

이 문장을 예를 들어 살펴보겠습니다.

부등식 x 2 - x + 4 x + 3 ≥ 0 을 취합니다. 부등식의 왼쪽에 있는 표현식은 분자에 0이 없습니다. 0 분모는 숫자 - 3 입니다. 우리는 숫자 라인에 두 개의 간격을 얻습니다. (− ∞ , − 3) 및 (− 3 , + ∞) .

구간의 부호를 결정하기 위해 각 구간에서 임의로 취한 점에 대해 x 2 - x + 4 x + 3 식의 값을 계산합니다.

첫 번째 간격부터 (− ∞ , − 3) 받아 - 4 . ~에 x = -4우리는 (- 4) 2 - (- 4) + 4 (- 4) + 3 = - 24 입니다. 우리는 얻었다 부정적인 의미, 따라서 전체 간격은 "-" 기호와 함께 표시됩니다.

경간을 위해 (− 3 , + ∞) 좌표가 0인 점으로 계산을 수행해 보겠습니다. x = 0의 경우 0 2 - 0 + 4 0 + 3 = 4 3 입니다. 양수 값을 얻었습니다. 즉, 전체 간격에 "+" 기호가 표시됩니다.

다른 방법을 사용하여 기호를 정의할 수 있습니다. 이를 위해 구간 중 하나에서 기호를 찾아 저장하거나 0을 통과할 때 변경할 수 있습니다. 모든 것을 올바르게 수행하려면 다음 규칙을 따라야 합니다. 분모의 0을 통과하지만 분자는 통과하지 않거나 분자는 있지만 분모는 통과하지 못할 때 부호를 반대 방향으로 변경할 수 있습니다. 이 0을 제공하는 표현식은 홀수이며 차수가 짝수이면 부호를 변경할 수 없습니다. 분자와 분모가 모두 0인 점을 얻은 경우 이 0을 제공하는 표현식의 거듭제곱의 합이 홀수인 경우에만 부호를 반대 방향으로 변경할 수 있습니다.

이 자료의 첫 번째 단락 시작 부분에서 고려한 불평등을 기억하면 맨 오른쪽 간격에 "+"기호를 넣을 수 있습니다.

이제 예제를 살펴보겠습니다.

부등식 (x - 2) (x - 3) 3 (x - 4) 2 (x - 1) 4 (x - 3) 5 (x - 4) ≥ 0을 취하여 구간법을 사용하여 풉니다. 이렇게 하려면 분자와 분모의 0을 찾아 좌표선에 표시해야 합니다. 분자의 0은 포인트가 됩니다. 2 , 3 , 4 , 점의 분모 1 , 3 , 4 . 좌표축에 대시로 표시합니다.

분모의 0은 빈 점으로 표시됩니다.

우리는 엄격하지 않은 부등식을 다루기 때문에 나머지 대시를 일반 점으로 바꿉니다.

이제 간격에 점을 배치해 보겠습니다. 가장 오른쪽 범위(4, +∞)는 + 기호가 됩니다.

오른쪽에서 왼쪽으로 이동하면서 나머지 간격을 표시합니다. 좌표가 4인 점을 통과합니다. 분자와 분모의 0입니다. 요약하면 이 0은 다음과 같은 표현을 제공합니다. (x − 4) 2그리고 x − 4. 2 + 1 = 3의 거듭제곱을 더하고 다음을 얻습니다. 홀수. 이것은 이 경우 전환의 부호가 반대로 변경됨을 의미합니다. 간격 (3, 4)에는 빼기 기호가 있습니다.

좌표가 3 인 점을 통해 간격 (2 , 3) 으로 전달합니다. 이것은 분자와 분모 모두 0입니다. 우리는 두 가지 식 (x − 3) 3 덕분에 얻었습니다. (x − 3) 5, 거듭제곱의 합이 3 + 5 = 8 입니다. 짝수를 얻으면 간격의 부호를 변경하지 않고 그대로 둘 수 있습니다.

좌표가 2인 점은 분자의 0입니다. 표현의 정도 x - 2는 1(홀수)과 같습니다. 즉, 이 지점을 지날 때 기호를 반대로 해야 합니다.

마지막 구간 (− ∞ , 1) 만 남습니다. 좌표가 1인 점은 분모가 0입니다. 라는 표현에서 파생되었습니다. (x − 1) 4, 균등한 정도 4 . 따라서 기호는 동일하게 유지됩니다. 최종 도면은 다음과 같습니다.

간격 방법의 사용은 표현식 값의 계산이 많은 양의 작업과 연관된 경우에 특히 효과적입니다. 예를 들어 표현식의 값을 평가해야 할 필요가 있습니다.

x + 3 - 3 4 3 x 2 + 6 x + 11 2 x + 2 - 3 4 (x - 1) 2 x - 2 3 5 (x - 12)

3 - 3 4 , 3 - 2 4 의 어느 지점에서든.

이제 습득한 지식과 기술을 실전에 적용해 봅시다.

실시예 1

부등식 (x - 1) (x + 5) 2 (x - 7) (x - 1) 3 ≤ 0 을 풉니다.

해결책

부등식을 해결하기 위해 구간 방법을 적용하는 것이 좋습니다. 분자와 분모의 0을 찾으십시오. 분자 0은 1과 -5이고 분모 0은 7과 1입니다. 숫자 줄에 표시해 보겠습니다. 우리는 엄격하지 않은 부등식을 다루고 있으므로 분모의 0을 빈 점으로 표시하고 분자의 0을 표시합니다. 5는 채워진 일반 점으로 표시됩니다.

0을 지날 때 부호를 변경하는 규칙을 사용하여 간격의 부호를 적습니다. 간격에서 임의로 가져온 점에서 불평등의 왼쪽에서 표현식 값을 계산하는 가장 오른쪽 간격부터 시작하겠습니다. 우리는 "+"기호를 얻습니다. 좌표선의 모든 점을 순차적으로 통과하고 기호를 배치하고 다음을 얻습니다.

우리는 부호가 ≤ 인 비엄격 부등식으로 작업합니다. 이것은 "-" 기호로 표시된 간격을 음영으로 표시해야 함을 의미합니다.

대답: (- ∞ , 1) ∪ (1 , 7) .

대부분의 경우 합리적인 불평등의 해결은 사전 변환이 필요합니다. 올바른 종류. 그래야만 간격 방법을 사용할 수 있습니다. 이러한 변환을 수행하기 위한 알고리즘은 "합리적인 불평등의 솔루션" 자료에서 고려됩니다.

제곱 삼항식을 부등식으로 변환하는 예를 고려하십시오.

실시예 2

부등식 (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) x 2 + 2 x - 8 > 0 에 대한 해를 구합니다.

해결책

부등식 레코드에서 제곱 삼항식의 판별식이 실제로 음수인지 봅시다. 이것은 우리가 이 부등식의 형태가 우리가 해에 구간 방법을 적용할 수 있게 하는지 여부를 결정할 수 있게 해줍니다.

삼항식의 판별식 계산 x 2 + 3 x + 3: D = 3 2 − 4 1 3 = − 3< 0 . 이제 삼항식 x 2 + 2 x - 8에 대한 판별식을 계산해 보겠습니다. D ' = 1 2 - 1 (- 8) = 9 > 0 . 보시다시피 부등식에는 예비 변환이 필요합니다. 이를 위해 삼항 x 2 + 2 x − 8을 다음과 같이 표현합니다. (x + 4) (x − 2), 그런 다음 간격 방법을 적용하여 부등식 (x 2 + 3 x + 3) (x + 3) (x + 4) (x - 2) > 0 을 해결합니다.

대답: (- 4 , - 3) ∪ (2 , + ∞) .

일반화된 간격 방법은 f(x) 형식의 부등식을 푸는 데 사용됩니다.< 0 (≤ , >, ≥) , 여기서 f(x)는 변수가 하나인 임의의 표현식입니다. 엑스.

모든 작업은 특정 알고리즘에 따라 수행됩니다. 이 경우 일반화된 간격 방법으로 부등식을 해결하는 알고리즘은 이전에 분석한 것과 약간 다릅니다.

함수 f의 영역과 이 함수의 0을 찾습니다.
좌표축에 경계점을 표시하십시오.
숫자 라인에 함수의 0을 표시합니다.
간격의 표시를 결정하십시오.
우리는 해칭을 적용합니다.
답을 적으세요.

숫자 라인에서 정의 영역의 개별 지점을 표시하는 것도 필요합니다. 예를 들어, 함수의 영역은 집합 (− 5 , 1 ] ∪ ( 3 ) ∪ [ 4 , 7) ∪ ( 10 ) . 이것은 우리가 좌표 − 5 , 1 , 3 , 4 , 7 그리고 10 . 포인트들 − 5 및 7은 비어 있는 것으로 표시되고 나머지는 함수의 0과 구별하기 위해 색연필로 강조 표시될 수 있습니다.

엄격하지 않은 부등식의 경우 함수의 0은 일반(음영 처리된) 점으로 표시되고 엄격한 부등식의 경우 빈 점으로 표시됩니다. 0이 정의 영역의 경계 점 또는 개별 점과 일치하면 불평등 유형에 따라 검정색으로 다시 칠해 비어 있거나 채워질 수 있습니다.

응답 기록은 숫자 세트여기에는 다음이 포함됩니다.

빗금친 틈;
부호가 > 또는 ≥인 부등식을 처리하는 경우 더하기 부호가 있는 도메인의 개별 점 또는 부등식에 부호가 있는 경우 빼기 부호< или ≤ .

이제 우리가 주제의 맨 처음에 제시한 알고리즘이 일반화된 간격 방법을 적용하는 알고리즘의 특별한 경우라는 것이 분명해졌습니다.

일반화된 간격 방법을 적용하는 예를 고려하십시오.

실시예 3

부등식 해결 x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7< 0 .

해결책

f (x) = x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 x - 7 과 같은 함수 f를 소개합니다. 함수의 도메인 찾기 에프:

x 2 + 2 x - 24 ≥ 0 x ≠ 7 D (f) = (- ∞ , - 6 ] ∪ [ 4 , 7) ∪ (7 , + ∞) .

이제 함수의 0을 찾아봅시다. 이를 위해 우리는 비합리적인 방정식을 풀 것입니다:

x 2 + 2 x - 24 - 3 4 x - 3 = 0

루트 x = 12 를 얻습니다.

좌표축의 경계점을 지정하려면 다음을 사용합니다. 주황색. 포인트 - 6, 4는 채워지고 7은 비어 있게 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다.

우리는 엄격한 불평등으로 작업하고 있기 때문에 빈 검은 점으로 함수의 0을 표시합니다.

우리는 별도의 간격으로 표시를 결정합니다. 이렇게 하려면 각 간격에서 한 점을 가져옵니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 16 , 8 , 6 그리고 − 8 , 그리고 그 안에 있는 함수의 값을 계산합니다. 에프:

f (16) = 16 2 + 2 16 - 24 - 3 4 16 - 3 16 - 7 = 264 - 15 9 > 0 f (8) = 8 2 + 2 8 - 24 - 3 4 8 - 3 8 - 7 = 56 - 9< 0 f (6) = 6 2 + 2 · 6 - 24 - 3 4 · 6 - 3 6 - 7 = 24 - 15 2 - 1 = = 15 - 2 · 24 2 = 225 - 96 2 >0 f (- 8) \u003d - 8 2 + 2 (- 8) - 24 - 3 4 (- 8) - 3 - 8 - 7 \u003d 24 + 3 - 15< 0

방금 정의한 기호를 배치하고 빼기 기호가 있는 간격에 해칭을 적용합니다.

답은 "-" 기호가 있는 두 구간의 합집합입니다. (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

이에 대한 응답으로 좌표가 -6인 점을 포함했습니다. 이것은 엄밀한 부등식을 풀 때 답에 포함하지 않을 함수의 영이 아니라 정의 영역에 포함되는 정의 영역의 경계점입니다. 이 때 함수의 값은 음수이므로 부등식을 만족합니다.

전체 구간을 포함하지 않은 것처럼 4번 항목은 답에 포함하지 않았습니다 [4, 7) . 이 시점에서 전체 지정된 구간과 마찬가지로 함수의 값은 양수이며 해결하려는 부등식을 만족하지 않습니다.

더 명확한 이해를 위해 다시 적어 보겠습니다. 다음과 같은 경우에는 답에 색깔이 있는 점이 포함되어야 합니다.

이 점들은 빗금친 간격의 일부입니다.
이 점은 함수 영역의 개별 점으로, 부등식을 충족하는 함수의 값이 해결됩니다.

대답: (− ∞ , − 6 ] ∪ (7 , 12) .

텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.

간격 방법분수 합리적 부등식을 푸는 간단한 방법입니다. 이것은 변수에 의존하는 유리(또는 분수-합리) 표현식을 포함하는 부등식의 이름입니다.

1. 예를 들어 다음 부등식을 고려하십시오.

간격 방법을 사용하면 몇 분 안에 해결할 수 있습니다.

이 부등식의 왼쪽에는 분수 유리 함수가 있습니다. 근도, 사인도, 로그도 포함하지 않기 때문에 합리적입니다. 오른쪽은 0입니다.

간격 방법은 분수 유리 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다.

분수 유리 함수는 0과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있습니다.

인수분해하는 방법을 기억하십시오. 제곱 삼항, 즉 형식의 표현입니다.

뿌리는 어디에 있고 이차 방정식.

축을 그리고 분자와 분모가 사라지는 점을 배열합니다.

분모의 0은 구멍이 뚫린 점입니다. 이 점에서 부등식의 왼쪽에 있는 함수가 정의되지 않았기 때문입니다(0으로 나눌 수 없음). 분자의 0과 -는 부등식이 엄격하지 않기 때문에 음영 처리됩니다. 와 우리의 부등식은 그것의 두 부분이 모두 0과 같기 때문에 만족됩니다.

이 점은 축을 간격으로 나눕니다.

이 각 구간에서 불평등의 왼쪽에 분수-합리 함수의 부호를 결정합시다. 분수 유리 함수는 0과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있음을 기억합니다. 이것은 분자 또는 분모가 사라지는 점 사이의 각 간격에서 부등식의 왼쪽에 있는 식의 부호가 "플러스" 또는 "마이너스"로 일정하다는 것을 의미합니다.

따라서 이러한 각 간격에서 함수의 부호를 결정하기 위해 이 간격에 속하는 임의의 점을 취합니다. 우리에게 맞는 사람.
. 예를 들어 부등식의 왼쪽에 있는 식의 부호를 확인하십시오. 각 "대괄호"는 음수입니다. 왼쪽에는 표지판이 있습니다.

다음 간격: . 에 대한 기호를 확인합시다. 왼쪽 기호가 로 변경되었음을 알 수 있습니다.

해 보자 . 표현식이 양수일 때 - 따라서 에서 까지의 전체 간격에서 양수입니다.

의 경우 부등식의 좌변은 음수입니다.

그리고 마지막으로 class="tex" alt="(!LANG:x>7"> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

우리는 표현식이 양수인 간격을 찾았습니다. 답을 쓰는 것이 남아 있습니다.

대답: .

참고: 간격의 표시가 번갈아 나타납니다. 이것은 때문에 발생했습니다 각 점을 지날 때 선형 요인 중 정확히 하나만 부호가 바뀌고 나머지는 그대로 유지됨.

간격 방법이 매우 간단하다는 것을 알 수 있습니다. 간격 방법으로 분수-합리적 불평등을 해결하기 위해 다음 형식으로 가져옵니다.

또는 class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, 또는 .

(왼쪽 - 분수 합리 함수, 오른쪽 - 0).

그런 다음 - 분자 또는 분모가 사라지는 점을 숫자 선에 표시합니다.
이 점은 분수 합리 함수가 부호를 유지하는 간격으로 전체 숫자 선을 나눕니다.
각 간격에서 부호를 찾는 것만 남아 있습니다.
주어진 간격 내의 임의의 지점에서 표현식의 부호를 확인하여 이를 수행합니다. 그 후, 우리는 답을 기록합니다. 그게 다야.

그러나 문제가 발생합니다. 표시가 항상 번갈아 표시됩니까? 아니 항상! 우리는 기계적으로 그리고 생각 없이 표지판을 배치하지 않도록 주의해야 합니다.

2. 다른 부등식을 봅시다.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \왼쪽(x-3\오른쪽))>0"> !}

다시 축에 점을 배치합니다. 점 및 점은 분모의 0이기 때문에 구멍이 뚫립니다. 부등식이 엄격하기 때문에 점에도 구멍이 있습니다.

분자가 양수이면 분모의 두 요소는 모두 음수입니다. 예를 들어, 주어진 간격에서 임의의 숫자를 가져와서 쉽게 확인할 수 있습니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

분자가 양수일 때; 분모의 첫 번째 요소는 양수이고 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

상황이 같을 때! 분자는 양수, 분모의 첫 번째 요소는 양수, 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

마지막으로 class="tex" alt="(!LANG:x>3 사용)"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

대답: .

캐릭터 교체가 왜 깨졌나요? 포인트를 지날 때 승수는 "책임"이기 때문에 기호를 변경하지 않았습니다. 결과적으로 부등식의 왼쪽 전체도 부호를 바꾸지 않았습니다.

결론: 선형 요인이 짝수 거듭제곱인 경우(예: 정사각형) 한 점을 지날 때 왼쪽 식의 부호는 변경되지 않습니다.. 홀수 차수의 경우에는 물론 부호가 바뀝니다.

3. 더 고려 어려운 경우. 불평등이 엄격하지 않다는 점에서 이전과 다릅니다.

왼쪽은 이전 문제와 동일합니다. 표지판 그림은 동일합니다.

아마 답은 같겠죠? 아니다! 솔루션이 추가됩니다. 이는 왼쪽과 오른쪽에서 부등식의 부분이 모두 0이기 때문입니다. 따라서 이 점이 솔루션입니다.

대답: .

수학 시험 문제에서 이런 상황이 종종 발생합니다. 여기서 지원자는 함정에 빠져 점수를 잃게 됩니다. 조심하세요!

4. 분자나 분모를 선형 인수로 분해할 수 없다면 어떻게 될까요? 이 부등식을 고려하십시오.

제곱 삼항식은 인수분해할 수 없습니다. 판별식은 음수이고 근이 없습니다. 하지만 이것은 좋다! 이것은 표현의 부호가 모두에게 동일하다는 것을 의미하며, 특히 양수입니다. 이에 대한 자세한 내용은 속성 문서에서 확인할 수 있습니다. 이차 함수.

이제 우리는 불평등의 양면을 모두에게 긍정적인 값으로 나눌 수 있습니다. 등가 부등식에 도달합니다.

간격 방법으로 쉽게 해결할 수 있습니다.

주의하십시오 - 우리는 불평등의 양쪽을 값으로 나눴습니다. 우리는 그것이 양수임을 확실히 알고 있었습니다. 물론 일반적인 경우에 부등식을 곱하거나 나누면 안 됩니다. 변하기 쉬운, 그의 기호를 알 수 없습니다.

5 . 아주 단순해 보이는 또 다른 부등식을 생각해 보십시오.

그래서 곱하고 싶습니다. 그러나 우리는 이미 똑똑하고 그렇게 하지 않을 것입니다. 결국 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. 그리고 우리는 불평등의 두 부분에 음수 값을 곱하면 불평등의 부호가 변경된다는 것을 알고 있습니다.

우리는 다르게 행동할 것입니다. 모든 것을 한 부분으로 모아 공통 분모로 가져올 것입니다. 0은 오른쪽에 남습니다.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

그리고 그 후 - 적용 가능 간격 방법.

간격 방법분수 합리적 부등식을 푸는 간단한 방법입니다. 이것은 변수에 의존하는 유리(또는 분수-합리) 표현식을 포함하는 부등식의 이름입니다.

1. 예를 들어 다음 부등식을 고려하십시오.

간격 방법을 사용하면 몇 분 안에 해결할 수 있습니다.

이 부등식의 왼쪽에는 분수 유리 함수가 있습니다. 근도, 사인도, 로그도 포함하지 않기 때문에 합리적입니다. 오른쪽은 0입니다.

간격 방법은 분수 유리 함수의 다음 속성을 기반으로 합니다.

분수 유리 함수는 0과 같거나 존재하지 않는 지점에서만 부호를 변경할 수 있습니다.

제곱 삼항식이 어떻게 인수분해되는지, 즉 형식의 표현을 기억하십시오.

여기서 및 는 이차 방정식의 근입니다.

축을 그리고 분자와 분모가 사라지는 점을 배열합니다.

이 점은 축을 간격으로 나눕니다.

다음 간격: . 에 대한 기호를 확인합시다. 왼쪽 기호가 로 변경되었음을 알 수 있습니다.

해 보자 . 표현식이 양수일 때 - 따라서 에서 까지의 전체 간격에서 양수입니다.

의 경우 부등식의 좌변은 음수입니다.

우리는 표현식이 양수인 간격을 찾았습니다. 답을 쓰는 것이 남아 있습니다.

대답: .

간격 방법이 매우 간단하다는 것을 알 수 있습니다. 간격 방법으로 분수-합리적 불평등을 해결하기 위해 다음 형식으로 가져옵니다.

또는 class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle P\left(x \right))(\displaystyle Q\left(x \right)) > 0"> !}, 또는 .

(왼쪽 - 분수 합리 함수, 오른쪽 - 0).

2. 다른 부등식을 봅시다.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \왼쪽(x-3\오른쪽))>0"> !}

다시 축에 점을 배치합니다. 점 및 점은 분모의 0이기 때문에 구멍이 뚫립니다. 부등식이 엄격하기 때문에 점에도 구멍이 있습니다.

분자가 양수일 때; 분모의 첫 번째 요소는 양수이고 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

상황이 같을 때! 분자는 양수, 분모의 첫 번째 요소는 양수, 두 번째 요소는 음수입니다. 왼쪽에는 다음과 같은 기호가 있습니다.

마지막으로 class="tex" alt="(!LANG:x>3 사용)"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

대답: .

3. 좀 더 복잡한 경우를 생각해보자. 불평등이 엄격하지 않다는 점에서 이전과 다릅니다.

왼쪽은 이전 문제와 동일합니다. 표지판 그림은 동일합니다.

아마 답은 같겠죠? 아니다! 솔루션이 추가됩니다. 이는 왼쪽과 오른쪽에서 부등식의 부분이 모두 0이기 때문입니다. 따라서 이 점이 솔루션입니다.

대답: .

수학 시험 문제에서 이런 상황이 종종 발생합니다. 여기서 지원자는 함정에 빠져 점수를 잃게 됩니다. 조심하세요!

4. 분자나 분모를 선형 인수로 분해할 수 없다면 어떻게 될까요? 이 부등식을 고려하십시오.

제곱 삼항식은 인수분해할 수 없습니다. 판별식은 음수이고 근이 없습니다. 하지만 이것은 좋다! 이것은 표현의 부호가 모두에게 동일하다는 것을 의미하며, 특히 양수입니다. 이차 함수의 속성에 대한 기사에서 이에 대한 자세한 내용을 읽을 수 있습니다.

이제 우리는 불평등의 양면을 모두에게 긍정적인 값으로 나눌 수 있습니다. 등가 부등식에 도달합니다.

간격 방법으로 쉽게 해결할 수 있습니다.

주의하십시오 - 우리는 불평등의 양쪽을 값으로 나눴습니다. 우리는 그것이 양수임을 확실히 알고 있었습니다. 물론 일반적으로 부호를 알 수 없는 변수로 부등식을 곱하거나 나누면 안 됩니다.

5 . 아주 단순해 보이는 또 다른 부등식을 생각해 보십시오.

우리는 다르게 행동할 것입니다. 모든 것을 한 부분으로 모아 공통 분모로 가져올 것입니다. 0은 오른쪽에 남습니다.

Class="tex" alt="(!LANG:\genfrac()()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

그리고 그 후 - 적용 가능 간격 방법.

간격 방법을 사용하여 부등식을 해결하는 방법(예제와 함께 알고리즘)

예시 . (OGE의 작업)구간법 \((x-7)^2 으로 부등식 풀기< \sqrt{11}(x-7)\)
해결책:

대답 : \((7;7+\sqrt(11))\)

예시 . 구간 방법 \(≥0\)으로 부등식 풀기
해결책:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		여기에서 언뜻보기에는 모든 것이 정상으로 보이며 불평등은 처음에 원하는 형태로 축소됩니다. 그러나 이것은 그렇지 않습니다. 결국 분자의 첫 번째 및 세 번째 괄호에서 x는 빼기 기호가 있습니다. 네 번째 학위는 짝수(즉, 빼기 기호 제거)이고 세 번째는 홀수(즉, 제거하지 않음)라는 사실을 고려하여 대괄호를 변환합니다. \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) 이와 같이. 이제 우리는 이미 변환된 "제자리에" 대괄호를 반환합니다.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		이제 모든 괄호가 원래대로 보입니다(처음에는 unsigned 한 벌이 오고 그 다음에는 숫자가 나옵니다). 그러나 분자 앞에 마이너스가 있었다. 비교 부호를 바꾸는 것을 잊지 않고 부등식에 \(-1\)를 곱하여 제거합니다.
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		준비가 된. 이제 불평등이 제대로 보입니다. 간격 방법을 사용할 수 있습니다.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7.5\)		축에 점을 배치하고 필요한 간격을 표시하고 페인트합니다.
		\(4\)에서 \(6\)까지의 구간에서는 괄호 \((x-6)\)가 짝수이므로 부호를 변경할 필요가 없습니다(알고리즘의 단락 4 참조). . 깃발은 6이 불평등의 해결책이기도 함을 상기시켜줍니다. 답을 적어봅시다.

대답 : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\(6\right\)\)

예시.(OGE에서 할당)구간 방법을 사용하여 부등식을 풉니다. \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
해결책:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		왼쪽과 오른쪽은 동일합니다. 이것은 분명히 우연이 아닙니다. 첫 번째 욕망은 \(-x^2-64\)로 나누는 것이지만 이것은 실수입니다. 왜냐하면 뿌리를 잃을 가능성이 있습니다. 대신 \(64(-x^2-64)\)를 다음으로 이동하십시오. 왼쪽
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		첫 번째 대괄호에서 빼기를 빼고 두 번째 대괄호를 인수
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		\(x^2\)는 0이거나 0보다 큽니다. 이것은 \(x^2+64\)가 x의 모든 값에 대해 고유하게 양수임을 의미합니다. 즉, 이 표현식은 어떤 식으로든 좌변의 부호에 영향을 미치지 않습니다. 따라서 이 표현으로 부등식의 두 부분을 안전하게 나눌 수 있습니다. 마이너스를 없애기 위해 부등식을 \(-1\)로 나누어 봅시다.
\((x-8)(x+8)≥0\)		이제 간격 방법을 적용할 수 있습니다.
\(x=8;\) \(x=-8\)		답을 적어보자